CAP III Ombre portate e aggetti Applicazioni pratiche III Ombre portate e... · W. Grassi...

W. Grassi -Termoenergetica e Risparmio Energetico in Edilizia –Cap. III Ombre portate e aggetti. 1


III-1 ombre portate da aste Iniziamo a guardare l’effetto delle ombre portate da un asta verticale sul piano orizzontale e da un asta orizzontale su un piano verticale, come disegnato in figura III-1.

L’asta OP, di altezza la (la=1m) e di spessore nullo, sia piantata su un terreno orizzontale infinito. Con α ed az si indichino rispettivamente gli angoli di altezza solare e di azimut ad una certa ora del giorno. OP’ sia l’ombra dell’asta sul piano orizzontale a quella data ora e, con xP’ ed yP’, si indichino le coordinate cartesiane ortogonali, con origine in O (base dell’asta) e con le direzioni ed i versi disegnati in figura (a). Riferiamoci al 21 Giugno ad una latitudine di 40°N. In esso l’alba (angolo di altezza solare superiore allo 0) ha luogo fra le 4 e le 5 ed il tramonto fra le 19 e le 20. Invece, un piano verticale rivolto a Sud comincia ad essere illuminato fra le 8 e le 9 e termina fra le 15 e le 16. Nella figura III-2 sono indicate le ombre, OP’, sul piano orizzontale determinate da un asta verticale, alta 1m, e collocata in 8, per varie ore del giorno. Esse corrisponderebbero alle indicazioni fornite da una meridiana con asta verticale il 21 Giugno. In figura III-3 sono disegnate le ombre di un’asta orizzontale collocata nel punto O di una parete verticale, lo stesso giorno. Ancora una volta le ore cui si fa riferimento sarebbero quelle date da una meridiana ad asta orizzontale. Le linee tratteggiate ad y=costante sono quelle che rappresenterebbero l’ombra portata sulla parete verticale da un aggetto verticale che avese per estremo l’asta considerata. Le diverse ore considerate nelle figure dipendono, ovviamente, dai diversi orari di soleggiamento delle superfici prese in considerazione. Nella pratica edilizia l’effetto delle ombre viene utilizzato tramite frangisole di vario tipo per ridurre la quota di irradiazione solare che interessa sia le pareti opache sia quelle vetrate. Con questo tipo di protezione passiva si è in grado di ridurre, anche di molto, gli impieghi di energia per la climatizzazione estiva. Dalle relazioni scritte in figura si ottiene facilmente che: asta verticale

SUD

α

az

h

o

P

P’

x

yP’

xP’y

o

( ) ( )

( ) ( )azsenh

y

azh

x

P

P

α

α

tan

;costan

'

'

=

=

(a)

SUD

α

azh

Po

P’

x

y

o

( )αtan

)tan(

22''

'

hxy

azhx

PP

P

+=

=

(b) Figura III-1 Ombre portate (OP’) da un asta (OP) verticale ed orizzontale rispettivamente sul piano orizzontale (a) e verticale (b) su cui è montata.


αtan1

tan

2'

2'

'

'

=+

=

h

yx

azx

y

PP

P

P

asta orizzontale

αα

α

costan

tan

222'

2'

'

'

senaz

h

yx

senazx

y

PP

P

P

+=+

=

Per cui sia l’ombra di un’asta verticale sul piano orizzontale, sia quella di un’asta verticale ortogonale ad una parete piana sono, come prevedibile, funzione della lunghezza dell’asta, h, e degli angoli di altezza solare e di azimut. Prendiamo. Per il momento, prendiamo come riferimento il Sud

asta verticale

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1,5 -1,3 -1,1 -0,9 -0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5

xP'

yP'

SUD

OVEST

EST

12

10

8

6

16

18

14

x

y

P’O

Figura III–2 Ombre portata da un asta verticale di 1m collocata nel punto O di un piano

orizzontale il 21 Giugno alla latitudine di 40°N, nelle varie ore. .

0

1

2

3

4

5

6

7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x (m)

y (m

)

basso

alto

OVEST EST

1211

10

9

13

14

15

O P’

Figura III–3 Ombre portata da un asta orizzontale di 1m collocata nel punto O di un piano

verticale il 21 Giugno alla latitudine di 40°N.


e consideriamo, per l’asta verticale, l’ombra proiettata verso Nord, mentre per quella orizzontale l’ombra proiettata sulla parete sottostante. Asta verticale L’ombra più corta si ottiene alle ore 12, in corrispondenza di az=0 e del massimo valore dell’altezza solare. In queste condizioni la sua lunghezza è pari a (az=0):

)12(tan1'

oreh

xP

α=

Saranno quindi in ombra tutti i punti compresi nel segmento che va dal punto, O, in cui è infissa l’asta fino al punto P’. Tali punti sono in ombra per 0≤α≤α(ore 12). Con i valori dell’altezza solare il 21 Giugno a latitudine di 40°N si hanno i seguenti dati:

ora αααα (°) az(°)

5 4,259 117,35

6 14,85 108,5

7 25,99 99,93

8 37,42 90,99

9 48,87 80,58

10 59,86 66,41

11 69,21 42,62

12 73,49 0

13 69,21 -42,62

14 59,86 -66,41

15 48,87 -80,58

16 37,42 -90,99

17 25,99 -99,93

18 14,85 -108,5

19 4,259 -117,35

Per cui la lunghezza dell’ombra alle 12, con h=1m, vale xP’=0,30m (si tenga presente che le scale degli assi nella figura III-2 hanno valori diversi e questo può ingannare). Gli stessi ragionamenti si possono fare per l’asta orizzontale. In questo caso, alla stessa ora, si ottiene:

αtan

0

'

'

hy

x

P

P

==

Per cui yP’=3,37m e restano in ombra tutti i punti relativi ad eventuali angoli di altezza solare compresi fra 73,49° e 90°.

h

P

P’

h

P

P’

h

o

P’

h

o

P’

Figura III-4 ombre di una seria di aste parallele verticali e orizzontali.


Lasciando, quindi, il contributo delle aste, andiamo a vedere quali siano gli effetti di strutture continue realizzate o meno allo scopo di proteggere dalla radiazione solare.


III-2 Le ombre di ostacoli continui verticali. Calcolo degli angoli di ostacolo Procediamo,adesso a calcolare, come esempio di utilizzo di quanto detto, il periodo di insolazione di un punto posto in prossimità di un muro, come in figura III-5, ma orientato a SUD (γ=0). La linea orizzontale superiore del muro determina un angolo di altezza solare al di sotto del quale i punti retrostanti restano in ombra:

+=

22arctan),(

yx

hyxostα

se con x si indica la coordinata generica, alla base del muro (retta di intersezione fra muro e terreno, dalla parte del muro affacciata verso il punto), avente origine nel punto O (vedi figura III-5) e positiva nella direzione di b (gli estremi della base del muro hanno coordinate x=-a, x=b) per ogni punto della base del muro. Con y, invece si indica la coordinata, giacente sul piano orizzontale,

avente ancora origine nel punto, direzione ortogonale al muro e verso dal punto O in allontanamento dal muro (con riferimento a detta figura y=d). Per quanto riguarda l’azimut il punto resta in ombra se questo angolo è compreso fra:

−−=

+=

y

xc

azy

xc

az ovestostestost2arctan2arctan ,,

Per esempio se un punto è posto ad una data distanza y=d e ad x=-c/2 i valori di questi angoli sono:

=d

hyxost arctan),(α e

==d

cazaz ovestostestost arctan0arctan ,,

Quindi il punto sarà in ombra se l’angolo di altezza solare sarà minore di quello d’ostacolo, a partire da mezzogiorno (azost,est=0) e vi resterà fino al raggiungimento azost, ovest

Vediamo ora qual è l’effetto delle due linee verticali che delimitano il muro. In corrispondenza degli angoli di azimut già esaminati l’angolo di altezza solare varia durante le stagioni come mostrato in figura III-6.

.P

c

h

x

y

SUD

y

x

.PSUD

Ovest

Est

azost,ovest

azost,est

y

x

OO

O

c/2

-c/2

αost

Figura III-5 Punto posto dietro (rispetto alla posizione del sole, a sinistra in figura) un muro. Caratteristiche geometriche per la determinazione della zona d’ombra.


I valori degli angoli così trovati possono essere riportati su un diagramma goniometrico come quello di figura III-5 La sovrapposizione fra questo diagramma e quello stereografico (delle stesse dimensioni) consente di individuare i periodi dell’anno in cui il punto resta in ombra. Ancora una volta i semicerchi individuano gli angoli di altezza solare mentre i raggi indicano l’angolo di azimut rispetto alla normale al muro. Se questi è orientato a Sud detta normale viene a coincidere col Sud del diagramma stereografico, altrimenti essa formerà col Sud un angolo pari a γ. Il diagramma goniometrico (proprio per consentire detta sovrapposizione) avrà lo stesso raggio usato per quello stereometrico (7,5 0 15 cm). Esempio Facciamo un esempio numerico, attribuendo i seguenti valori h= 5m, y=d= 4m e considerando i due casi: A. a=b=c/2 B. a=2c/3 e b=c/3 Come prima cosa calcoliamo l’andamento di αost in funzione di x nei due casi. Si ottengono i seguenti valori:

Caso A Caso B x αost az x αost az

-3 45,02 -36,88 -4 41,49 -45,02-2,5 46,69 -32,02 -3,5 43,27 -41,21

-2 48,21 -26,57 -3 45,02 -36,89-1,5 49,51 -20,56 -2,5 46,69 -32,09

-1 50,51 -14,04 -2 48,21 -26,58-0,5 51,15 -7,13 -1,5 49,51 -20,57

0 51,37 0 -1 50,52 -14,040,5 51,15 7,13 -0,5 51,15 -7,13

1 50,52 14,04 0 51,37 01,5 49,51 20,57 0,5 51,15 7,13

2 48,21 26,58 1 50,51 14,042,5 46,69 32,02 1,5 49,51 20,57

3 45,02 36,88 2 48,21 26,58 Si vede, quindi che nel caso A il punto è sempre in ombra finché l’angolo di altezza solare è minore di 45,02° (45°12’), mentre nel caso B quando quest’angolo è inferiore a 41,49° (41°29’). In un piano α - az, nei due casi si ottengono i seguenti grafici corrispondenti agli angoli in cui il punto P è in ombra (figura III-6):

Per quanto concerne l’azimut si sono calcolati i valori punto per punto in modo da poter individuare la zona d’ombra sul diagramma goniometrico.. Si possono riportare questi valori su un diagramma goniometrico in cui, come detto, i cerchi rappresentano gli angoli di altezza solare ed i raggi gli angoli di azimut.

0

10

20

30

40

50

60

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

az (°)

δδδδ (°)

0

10

20

30

40

50

60

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

az (°)

δδδδ (°)

Figura III–6 Valori per cui il punto P (punto 0,0) resta in ombra nel piani dell’angolo di altezza

solare e dell’azimut


Nella figura III-7 sono indicate le relative zona d’ombra, azzurra nel caso A e fucsia nel caso B. Si vede come in quest’ultimo caso la zona dell’ombra sia spostata più ad est poiché il punto è collocato ad ovest rispetto alla mezzeria. Disegnando lo stesso tipo di diagramma dell’ombra sul piano delle traiettorie solari si ottengono i periodi dell’anno e le ore del giorno in cui il punto P resta in ombra. Tutto ciò è mostrato in figura III-8.

-7,5

-5,5

-3,5

-1,5

0,5

2,5

4,5

6,5

-7,5 -5,5 -3,5 -1,5 0,5 2,5 4,5 6,5

11 GIUGNO +23°05’

17 LUGLIO +21°11’

15 MAGGIO +18°47’

16 AGOSTO +13°27’

15 APRILE +09°24’

15 SETTEMBRE +02°13’

16 MARZO –02°25’

15 OTTOBRE -09°36’

16 FEBBRAIO –12°57’

14 NOVEMBRE –18°54’

17 GENNAIO -20°25’

10 DICEMBRE -23°03’

s

80

706050

40

30

20

10

0

10102020

30304040

5050

6060

7070

8080

9090

120120

EO

--1010--2020

--3030--4040

--5050

--6060

--7070

--8080

--9090

--120120

--110110

--100100

LAT 44°N1112 10131415

1617

18

9

87

6

Figura III-8 Maschera d’ombra del punto P riporata sul diagramma delle traiettorie solare nel

caso A dell’esempio.

0

1

2

3

4

5

6

7

-7,5 -5,5 -3,5 -1,5 0,5 2,5 4,5 6,51020304050607080 0

10-10 0-20 20

40

-30 30

-40

50-50

60-60

-70 70

80-80

90-90 0

1

2

3

4

5

6

7

-7,5 -5,5 -3,5 -1,5 0,5 2,5 4,5 6,51020304050607080 0

2010

-20-10

90

80

70

60

50

40

30

0

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

(A) (B)

Figura III-7 Maschere d’ombra per il punto P nel caso: A) a=b=c/2 e B) a=2c/3 e b=c/3.


III-2 Calcolo dell’ombreggiamento di un aggetto orizzontale Consideriamo adesso l’ombra proiettata da un aggetto orizzontale su una parete verticale sottostante rivolta a Sud (vedi figura III-9 ). Consideriamo un punto P sulla parete. Dal momento in cui i raggi solari (retta che collega il sole al punto in esame) sono nella posizione di figura, l’intera lunghezza la dell’aggetto contribuisce alla formazione dell’ombra sulla parete verticale sottostante. In tal caso gli angoli di altezza e di azimut del sole per cui il punto è in ombra sono

11

22

* tanarctan cos 1

cos

12arctan tan .2

12arctan tan .2

a

a

a

a

a

a

lh y y yaz

l h h h az

cx lxx

Ovest az az azl c c c

cx lxx

Est az az azl c c c

αα −> → > = −

+ < = − → < = − −

− > = → > = − +

In cui l’origine delle x è sulla mezzeria della parete ed y* rappresenta il valore di y al di sopra del quale il punto è in ombra. Considerando ancora il punto P al centro (intersezione fra le diagonali) della parete ed una lunghezza dell’aggetto pari alla metà dell’altezza della stessa (per esempio potrebbe essere un terrazzo di 1,5m su una parete di 3 metri) si ha:

( )

1 2

arctan 1 cos arctan cos

arctan 0,5 ; arctan 0,5 .

a

a a

h yaz az

l h

c caz az az az

l l

α > − =

< = − > =

In effetti l’aggetto comincia a proiettare ombra anche prima che il sole giunga nella posizione suddetta per cui è opportuno fare riferimento alla figura (numero) in cui si considera un sistema di coordinate tridimensionali, con l’asse z che indica la distanza dall’intersezione dell’aggetto con la parete verticale (si depura z dallo spessore della parete sottostante). Per ottenere la condizione per cui il punto P(x, y, z=0) resta in ombra è sufficiente sostituire, nelle relazioni precedenti il valore della lunghezza dell’aggetto, la, con z. Si è, così facendo, in grado di

α

SUD

la

h

c

azP

Piano orizzontale passante per il punto P

y

P

0

h

c

Figura III-9 Posizione di un punto generico di coordinate x e y posto su una parete sottostante ad un aggetto orizzontale.

c /2

x


studiare il propagarsi dell’ombra sulla parete in tutte le condizioni che si possono verificare. Ai punti che si trovano all’interno del rettangolo definito da y*, da x1 o x2 , e dai limiti restanti della parete, si devono aggiungere quelli posti nel triangolo individuato dalla proiezione della retta congiungente l’intersezione del raggio solare con l’aggetto e il punto individuato dalle coordinate suddette (vedi figura).

L’area dell’ombra è individuata, in conclusione, dal rettangolo di lati:

2tan

22

tan2

cos

tan1*

1

2

cazz

cx

c

oppure

azzcxc

azzhy

−−+=+

−=+

−= α

e dal triangolo rettangolo di cateti y* ed x*=c/2-x1, la mattina e 22/* xcx −= il pomeriggio.

E’ anche possibile calcolare l’ombra dello spigolo dell’aggetto, che coincide con l’ipotenusa del triangolo ed è, quindi rappresentata dalla retta passante per i punti di coordinate (x*, y*) e (c/2, h). L’equazione di detta retta è:

*2

*

*

*

xc

xx

yh

yy

−

−=−−

E,quindi:

α

SUD

z

h

c

az

Px

Piano orizzontale passante per il punto P

y

P(x,y,z=0)

0

h

c/2

z

y

x ombra

Figura III-10 Ombre sulla parete


**

2

**

*2

*

xx

cyh

yn

xc

yhm

nmxy

−

−−=

−

−=

+=

Le relazioni precedenti (numero), ricavate per una parete con aggetto esposta a sud, permettono di tracciare facilmente la zona dell’ombra portata dall’aggetto sulla parete, mentre quella relativa all’ipotenusa del triangolo danno l’ombra di un’asta perpendicolare ad una parete verticale (meridiana). I punti che individuano la zona d’ombra, oltre al punto estremo dello spigolo in alto, ad est la mattina (x/c=1/2, y/h=0) e ad ovest (x/c=-1/2, y/h=0) il pomeriggio, individuato dall’intersezione fra l’aggetto e il muro, sono quelli di coordinate (x1/c; y*/h) e (x2/c; y*/h). In figura 2.2. il primo punto esce dalla superficie del muro. La figura successiva (2.2. ) fa vedere l’andamento dell’ombra in due giorni dell’anno e ad ore diverse.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

x/c

y/h

limite orizzontale zona d'ombra limite destro zona d'ombra limite sinistro zona d'ombra

estremo parete estremo parete linea d'ombra laterale

x2/cx1/c

y*/h

Figura III-11 Ombra proiettata sualla parete alle 10 del 21 Giugno. In grigio è contrassegnata la zona in ombra.


Quanto detto finora consente di progettare le strutture, dette frangisole (brise soleil), atte a schermare, dalla radiazione solare, zone di pareti o di strutture vetrate nei periodi dell’anno e nelle ore in cui questa è indesiderata, in base a quanto previsto dal diagramma bioclimatico. In generale si può dire che sulla maschera d’ombra, per un aggetto orizzontale si può dire , in un dato punto, la linea orizzontale (parallela alla parete), determina una relazione fra l’angolo di altezza solare data dalle formule su scritte, in cui compare l’estensione la dell’aggetto. Quelle che delimitano l’aggetto ai lati, perpendicolari alla parete, si ottengono invece sostituendo ad la il valore dell’ascissa corrente z con 0≤z≤ la. Esempio Si consideri un aggetto con le seguenti dimensioni h=3m, c=5m e la=1,5m. Il punto P abbia le coordinate x=0, y=1,5m. Si ottengono i seguenti grafici dell’andamento dei valore limite dell’altezza solare e dell’azimut per cui tale punto resta in ombra. Linea orizzontale (parallela alla parete

05101520253035404550

-60-50-40-30-20-100102030405060

az (°)

Figura III-13 linea dell’ombra proiettata dalla linea orizzontale per un punto P posto in x=0 e y=1,5m.

0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

0 , 4

0 , 5

0 , 6

0 , 7

0 , 8

0 , 9

- 0 , 6 - 0 , 5 - 0 , 4 - 0 , 3 - 0 , 2 - 0 , 1 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6

x / c

y / h

0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

0 , 4

0 , 5

0 , 6

0 , 7

0 , 8

0 , 9

1

-0 , 6 - 0 , 5 - 0 ,4 - 0 ,3 - 0 ,2 - 0 ,1 0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 , 8

x

y

0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

- 0 ,6 -0 ,5 -0 ,4 -0 , 3 -0 ,2 -0 , 1 0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 , 4 0 ,5 0 , 6

x /c

y /h

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

x

y

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

x

y

2 1 G iu g n o

O re 1 2 O re 1 4

O re 10 O re 12 O re 1 4

2 1 G en n a io

Figura III-12 Ombra proiettata (grigio scuro) da un aggetto orizzontale sulla parete verticale sottostante. In alcuni casi sono lasciate visibili le linee utili alla costruzione dell’ombra


Linea ortogonale alla parete

27

27,5

28

28,5

2929,5

30

30,5

31

31,5

5560657075808590

az (°)

Figura III-14 Linea dell’ombra della linea ortogonale alla parete, la mattina, per un punto P di coordinate x=0 e y=1,5m. A questo punto si può utilizzare un apposito diagramma circolare (figura III-15) su cui, nella metà superiore sono indicati gli angoli di altezza solare e di azimut e, nella metà inferiore sono disegnate le curve che corrispondono alla linee d’ombra causate dalle linee orizzontali parallele alla parete e quelle dovute alla linee ortogonali alla parete stessa (vedi anche Figura III-16).

La figura III-16 mostra più in dettaglio la parte inferiore del diagramma suddetto, con indicati i due tipi di linee d’ombra e sull’asse verticale gli angoli di altezza solare..

Figura III-15 Diagramma circolare per la valutazione delle ombre: in alto gli angoli di altezza solare e

di azimut ed in basso le linee d’ombra (vedi Figura III-16)


Con riferimento ai dati dell’esempio precedente la Figura III-17 mostra il diagramma circolare completo, in cui, sull’alto sono contrassegnati con i circoletti blu gli angoli definiti dalle linee ortogonali e con i rossi quelli della linea orizzontale. Per ottenere la maschera d’ombra si riportano i valori dal diagramma superiore su quello inferiore trovando una maschera d’ombra per il punto P prima considerato come quello (un po’ approssimativo dal punto di vista grafico) disegnato nella parte inferiore.

Linee dell’ombra di linee orizzontali parallele alla parete

Linee dell’ombra di linee ortogonali alla parete

Figura III-16 Linee d’ombra

Figura III-17 Costruzione della maschera d’ombra: rosso linea orizzontale, blu linee ortogonali, cerchietti bianchi raccordo fra le rispettive linee d’ombra.


• ESEMPI (Curati dall’Ing. Elena Menchetti).

Per chiarire ulteriormente il problema, si propone qui un esempio pratico di progettazione di una schermatura solare con frangisole orizzontali (ad esempio un comune balconcino). Problema 1: Dato un aggetto orizzontale soprastante una superficie trasparente esposta a ovest, dotata delle dimensioni caratteristiche riportate in figura, verificare il periodo dell’anno in cui questa rimane ombreggiata totalmente nel suo punto centrale. La latitudine del sito è 45°.

Svolgimento: Si calcolano prima di tutto gli angoli caratteristici del balcone, ovvero quelli segnati in figura. L’angolo βp indica, sul piano della superficie trasparente, la distanza tra la retta congiungente il punto terminale del balcone e il centro della finestra (posto ad altezza davanzale perché si richiede totale ombreggiamento) e la retta orizzontale della base della finestra. L’angolo αp indica invece, sul piano ortogonale alla finestra, la distanza tra un raggio orizzontale e la retta congiungente l’estremo dell’aggetto e il centro della finestra. La denominazione con il pedice sta ad indicare che sono angoli di progetto e non vanno confusi con gli angoli di altezza solare o di inclinazione di una superificie. Nel caso in esame si avranno αp = 59,5° e βp =46,7 °. Quindi si procede a disegnare la maschera di ombreggiamento della finestra sul goniometro solare, come se la superficie fosse orientata a pieno sud, così come rappresentata in figura. Si ricordi che l’angolo alfa rappresenta l’ombreggiamento dell’aggetto orizzontale, mentre l’angolo beta indica che non essendoci un aggetto verticale, per angoli < 46,7° si ha insolazione (è assimilabile ad una zona di ombra, ma al contrario!).


Quindi si procede ruotando rigidamente la maschera di 90° verso ovest, cosicché l’asse di simmetria della zona coincida con l’orientamento reale della finestra. L’ultimo passo per ottenere le informazioni richieste consiste nel sovrapporre la zona d’ombra ricavata dal goniometro solare con il diagramma delle traiettorie solari. Così facendo, si ottiene il periodo dell’anno in cui la finestra risulta completamente ombreggiata. Come si nota dalla figura la finestra rimane interamente ombreggiata nelle ore pomeridiane (12-14) nei mesi da aprile a agosto circa, mentre nei mesi di marzo e settembre l’ombra è garantita soltanto fino alle 13. Inoltre, si capisce come per finestre su pareti orientate ad est o ad ovest l’aggetto orizzontale (balconcino) risulti alquanto insufficiente poiché durante le ore del tardo pomeriggio, esso non scherma i raggi solari, neanche se avesse una lunghezza caratteristica (d, nel disegno) doppia rispetto a quanto ipotizzato.


Problema 2: Dato una superficie vetrata analoga a quella del precedente problema, si calcoli le dimensioni caratteristiche di un aggetto orizzontale che procuri un ombreggiamento del 70% della finestra nel suo punto centrale, a partire dal 1° giugno fino al 1° settembre dalle 14 alle 16. Svolgimento: Il primo passo, utile per risolvere il problema, è disegnare la superficie finestrata e i relativi angoli caratteristici.

Parallelamente, occorre individuare le specifiche richieste per quanto riguarda gli angoli sul diagramma delle traiettorie solari, tenendo conto che la finestra è rivolta ad ovest. Si calcolano quindi gli angoli caratteristici facendo uso delle relazioni fondamentali riportate all’inizio del capitolo, e si riportano sul grafico. Il giorno 1° settembre si hanno i seguenti angoli di altezza solare e azimuth solare: α (16)= 27° ; az = -73° α (14)= 45° ; az = -44° Analogamente il giorno 1° giugno: α (16)= 36° ; az = -86° α (14)= 57° ; az = -57°


Confrontando questo diagramma con quello ottenuto nel problema precedente, si capisce che la criticità per il calcolo di αp è data dall’altezza solare di 27°, ovvero bisogna imporre che αp=25°. Tale valore tiene conto del fatto che la curva ad arco passante dal punto critico (α = 27°) assume un valore di circa 25° nel centro (in questo caso nel punto di pieno ovest). Per quanto riguarda invece l’angolo βp O, bisogna garantire che l’aggetto a ovest della finestra sia sufficiente a garantire ombra nel punto con α = 45°. Considerando l’andamento delle linee radiali corrispondenti ad aggetti verticali, si impone che βp O = 46°, ovvero sia poco maggiore dell’angolo critico. Questo si impone soltanto per il lato ad ovest della finestra, poiché il lato nord non viene colpito dal sole. Per questo si impone soltanto che l’aggetto copra almeno tutta la lunghezza della finestra, ovvero che a = 0,6 m. Da qui si ricava, con delle semplici relazioni trigonometriche, che: arctg(βp N) = e/a = 1,19/0,6 ovvero che βp N = 63,24°. Verifichiamo adesso graficamente se la maschera d’ombra risulta sufficiente:


Come si nota dal diagramma delle traiettorie solari, tutta la zona in blu (che deve essere ombreggiata) risulta compresa nella maschera d’ombra, e anzi, nel valutare l’angolo di progetto sul lato ovest βp = 46°, avremmo potuto considerare un valore meno cautelativo, ovvero maggiore (48-50°). Si lasciano comunque i valori trovati. Si procede adesso al calcolo delle dimensioni caratteristiche dell’aggetto, che garantiscano gli angoli appena trovati. La sporgenza dell’aggetto (d) si calcola in base al valore αp=25°, e risulta essere: d = e/ tg (αp) = 2,55 m La dimensione laterale verso ovest dell’aggetto (f) si calcola in base al valore βp O = 46°, e risulta: f = e/tg(βp O) = 1,14 m La dimensione laterale dell’aggetto verso nord è stata imposta pari a 0,6 m. Si nota dai risultati ottenuti che l’aggetto risultante è sproporzionato e mal realizzabile, in quanto oltre due metri e mezzo di pensilina sono strutturalmente difficoltosi e esteticamente scadenti. Questo è dovuto principalmente all’orientamento a ovest della finestra. In questi casi sono preferibili degli aggetti verticali o dei frangisole a tenda veneziana orientabili. Se invece la finestra fosse orientata a sud, le dimensioni in gioco sarebbero molto minori (e si ricordi, non avremmo dovuto traslare il goniometro solare, ma soltanto sovrapporlo al digramma delle traiettorie solari).


3. Calcolo dell’ombreggiamento di un aggetto verticale Nel caso in cui si abbia un aggetto verticale, le considerazioni fatte precedentemente vengono applicate analogamente, modificando opportunamente il riferimento. In questo caso l’aggetto ha lo scopo di schermare la radiazione solare proveniente lateralmente. Nel caso di superficie trasparente rivolta a sud, verrà schermata la radiazione del mattino o del pomeriggio. Ma come si vedrà dagli esempi riportati sotto l’aggetto verticale è principalmente utilizzato per schermare pareti rivolte a ovest-sudovest o est-sudest. Non si sta qui a ripetere per intero tutti i calcoli, bensì si riporta soltanto la costruzione della maschera di ombreggiamento e l’uso del diagramma delle traiettorie solari, che risultano di immediata applicazione e che si comprendono bene con il seguente esempio. Problema 3 Dato una superficie vetrata con le dimensioni caratteristiche riportate in figura e orientata a 40° sudovest, si progetti un aggetto verticale per garantire ombreggiamento del 100% della finestra nel suo punto centrale a partire dal 21 maggio fino al 21 agosto dalle 9 alle 11.


Svolgimento: Analogamente al procedimento del problema 2, si calcolano gli angoli caratteristici delle specifiche richieste facendo uso delle relazioni fondamentali riportate all’inizio del capitolo, e si riportano sul diagramma delle traiettorie solari. Il giorno 21 maggio si hanno i seguenti angoli di altezza solare e azimuth solare: α (9)= 45,5° ; az = 71° α (11)= 62° ; az = 31,5° Analogamente il giorno 21 agosto: α (9)= 39° ; az = 63,4° α (11)= 54,4° ; az = 25,7° Si vede dal diagramma che non ci si limita all’unione dei quattro punti per trovare l’area in cui è richiesto ombreggiamento, poiché cio’ escluderebbe il mese di giugno. La zona d’ombra quindi è delimitata dalle curve orarie 9-11, ma è estesa fino alla traiettoria di giugno. Quindi si calcolano gli angoli solari anche per il giorno 21 giugno: α (9)= 47° ; az = 74° α (11)= 66° ; az = 34°


Proviamo quindi ad imporre gli angoli cosi’ come richiesti e a verificare se, traslando la maschera d’ombra, si soddisfano le specifiche. L’angolo di altezza solare critico è il maggiore (oltre il quale puo’ penetrare la radiazione solare), pari a 66° e determina il valore di βp . Nel goniometro solare tale angolo comporta la seguente zona d’ombra esterna alla linea radiale riportata in rosso:

Gli angoli di azimuth solare determinano invece la profondità dell’aggetto (la lunghezza c in figura) e quindi l’angolo αp. In questo caso, per essere cautelativi occorre adottare l’azimuth solare minore (pari a 25,7°) per garantire l’ombra in quelle ore. Sul goniometro solare tale angolo va a limitare radicalmente la zona d’ombra: al di sotto della linea verde si ha soleggiamento.


Adesso andiamo a verificare se la traslando il goniometro di 40° sudovest e sovrapponendo questo al diagramma delle traiettorie solari, si ha l’ombreggiamento desiderato:

Come si nota, si ha ombreggiamento nel periodo voluto, ma l’angolo αp è decisamente troppo cautelativo e permette di avere ombra anche nelle ore centrali del giorno, cosa non richiesta dal problema. E’ più corretto invece adottare un angolo αp che abbia il valore minimo dell’azinuth solare, ma calcolato al netto della successiva traslazione (40° a sudovest). In questo caso, quindi, è sufficiente mantenere un angolo di 25,7°-(-40°)=65,7°. Per sicurezza si adotta quindi αp=65°. Queste correzioni e questi accorgimenti saranno più immediati quando si avrà più familiarità con la costruzione dei grafici. L’ultimo passo da fare è quindi quello di calcolare le dimensioni caratteristiche dell’aggetto. La sporgenza dell’aggetto (c) si calcola in base al valore αp=65°, e risulta essere: c = a/ tg (αp) = 0,6 m


La dimensione verticale superiore dell’aggetto (d) si calcola in base al valore βp = 66°, e risulta: d = tg(βp)*a = 2,7 m Questo vuol dire che l’aggetto sporge rispetto al limite superiore della finestra di poco meno di due metri. La dimensione verticale inferiore dell’aggetto (e) viene assunta pari a 0,85 m, ovvero la lunghezza minima per la copertura della finestra. La radiazione solare non assume mai la direzione “basso-alto” e quindi non deve essere schermata in tal senso. Si nota infatti che nella costruzione della maschera d’ombra nel goniometro solare il vincolo inferiore dell’aggetto verticale non viene presa in considerazione. Anche in questo caso si nota come la soluzione che prevede il solo aggetto verticale sia insufficiente o quantomeno dispendiosa. Per schermare il sole delle 11 di giugno occorre avere un aggetto verticale molto alto (e poco sporgente). In verità se si vuole schermare il sole nelle ore centrali del giorno (e se la parete è rivolta a sud o sud ovest) è opportuno utilizzare un aggetto orizzontale, non verticale. Si capisce chiaramente da questi esempi quanto sia importante uno studio approfondito del problema dell’ombreggiamento che non sia rivolto ad una sola tipologia di sistema schermante, ma che consideri gli aspetti geometrici, strutturali ed estetici.

CAP III Ombre portate e aggetti Applicazioni pratiche III Ombre portate e... · W. Grassi...

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