RDM : calculs en statique des treillis 1/11

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Calculs statique des treillis

par la RDM

Dfinition

Un treillis est une structure constitue d'un assemblage de barres articules entre elles, ces articulations sont les nuds de la structure. Les charges extrieures sont supposes appliques aux nuds de la structure. Les lments du treillis ne travaillent donc qu'en traction compression.

Pour que parler de treillis, il faut que les charges sur les lments du treillis soient faibles devant les charges nodales. Dans le cas contraire il faudra prendre en compte la flexion des lments, nous parlerons de portiques.

L'objectif de ce chapitre est de vous initier au calcul analytique de la rponse statique d'un treillis bidimensionnel. Ces calculs permettent d'obtenir trs rapidement l'tat de contrainte (effort normal) dans les lments d'une structure simple. La connaissance de l'effort normal dans les lments du treillis permet de vrifier que la structure reste dans le domaine lastique, et qu'il n'y a pas d'instabilit (tude du flambement). Utile pour le pr dimensionnement, savoir effectuer ces calculs analytiques permet d'assimiler l'utilisation des outils d'analyse qui sont utiliss lors des calculs numriques.

Pour les treillis plus complexes (gomtrie, forte hyperstaticit, ou cas de chargement multiples) ou pour les tudes dynamiques, la mthode des lments finis prsente dans le chapitre suivant, permettra d'effectuer les calculs numriques.

Dans ce chapitre nous ne traitons que des problmes statiques

Thormes nergtiques de la RDM

Nous nonons les trois principaux thormes nergtiques couramment utiliss pour les calculs statiques. La dmonstration de ces thormes est base sur l'existence de l'nergie de dformation lastique. Vous trouverez ces dmonstrations dans tous les ouvrages de rsistance des matriaux. Nous nous attacherons d'avantage leur utilisation dans le cadre du calcul pratique des structures.

Les trois thormes peuvent se dduire de l'criture du principe des travaux virtuel en statique

0int extW W + = Soit en utilisant l'nergie de dformation lastique : ext dW E =

L'nergie lastique emmagasine est gale l'nergie fournie pour dformer la structure depuis son

tat initial jusqu' son tat final, c'est le travail des forces extrieures appliques la structure.

Thorme de Maxwell - Betty Le travail d'un systme de force 1F dans le dplacement produit par un systme de force 2F est gal

au travail du systme de force 2F dans le dplacement produit par le systme de force 1F .

Ce que nous pouvons noncer sous la forme : (1 2) (2 1)W W = O 1 2 2 1 F F =

L'intrt de ce thorme est historique (1864-1872) on trouve ce thorme de rciprocit dans d'autres domaines de la physique (lectricit, lectromagntisme, fonctions de transfert). Du point de vue mcanique ce thorme de rciprocit nonce la symtrie de l'oprateur "raideur" lie l'existence de l'nergie de dformation lastique. Castigliano (1873) l'a utilis dans la dmonstration de son thorme.

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Illustration du thorme de Maxwell-Betty

Fx = x a=

1

Fau

ES=

Q2 ?u =

La solution du problme 1 est connue : 1Fa

uES

=

Appliquons le thorme de Maxwell-Betty

2 1Fa

Fu Qu QES

= = ==> 2Qa

uES

=

Rsultat prvisible

Thorme de Castigliano. La drive partielle de l'nergie de dformation de la structure par rapport un effort est gale au dplacement du point d'application selon la ligne d'action de cet effort.

Ce que nous pouvons noncer sous la forme : d FE

F =

Ce thorme est trs pratique, puisqu'il permet de calculer le dplacement d'un point de la structure sans avoir intgrer les quations diffrentielles locales. Pour calculer le dplacement d'un point qui n'est pas charg on introduit une charge fictive X dans la direction souhaite.

0

( , )dX

X

E F X

X

=

=

Mnabra a eu l'ide d'utiliser le thorme de Castigliano pour dterminer les inconnues hyperstatiques d'un problme. Cette utilisation particulire porte le nom de thorme de Mnabra.

Thorme de Mnabra. Pour une structure hyperstatique de degr N, les N inconnues hyperstatiques iX minimisent

l'nergie de dformation lastique de la structure.

Ce que nous pouvons noncer sous la forme : [ ] ( , )1, 0d ii

E F Xi N

X

=

L'intrt est vident puisque ce thorme permet de construire le systme matriciel des N quations pour dterminer les N inconnues hyperstatiques.

Ce thorme peut tre vu comme l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange, puisqu'il consiste couper les liaisons hyperstatiques pour faire apparaitre soit des efforts internes soit des efforts de liaison. On calcul alors l'nergie de dformation en fonction de ces inconnues. Pour respecter les liaisons coupes il faut crire que le travail de l'effort de liaison est nul, c'est le thorme de Mnabra.

Hyperstaticit

La premire question se poser lorsque l'on aborde le calcul statique d'une structure treillis est celle de l'hyperstaticit de la structure.

Dans un premier temps il faut considrer l'hyperstaticit "extrieure" c'est dire l'ensemble des liaisons cinmatiques qui bloquent les mouvements d'ensemble de la structure. Si la structure possde des mouvements rigides (champ de dplacement non nul n'entrainant pas de dformation de la structure) il faudra tenir compte de ces mouvements d'ensemble dans le bilan des inconnues du problme.

Pour la grande majorit des structures les liaisons cinmatiques sont gnralement surabondantes (structures portantes de type; ponts, pylnes, grues, etc.) et le problme est hyperstatique extrieur. Cependant pour certains problmes les conditions aux limites ne font intervenir que des chargements

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extrieurs (conditions naturelles), le modle possde alors un ou plusieurs modes rigides dont il faudra tenir compte dans le bilan des inconnues du problme.

Exemples : Hyperstaticit extrieure

F

F

une structure uniquement soumise un ensemble de charges formant un torseur nul (condition d'quilibre). N'ayant aucune liaison cinmatique, cette structure aura selon la dimension de l'espace physique : 1 dplacement rigide pour un problme monodimensionnel, 3 dplacements rigides pour un problme bidimensionnel, et 6 dplacements rigides pour un problme tridimensionnel.

La structure ci-contre possde donc 3 mouvements rigides (problme plan)

F

A

Ce problme est quivalent au prcdent il ne comporte plus qu'un mode rigide

Nous avons introduit deux conditions aux limites cinmatiques ( ) 0Au =

.

Le mouvement rigide restant est la rotation par rapport au point A.

L'quilibre de la structure permet de vrifier AR F=

, le problme est bien

quivalent.

F

A B

Ce problme est quivalent aux prcdents Le mouvement rigide de rotation est bloqu par la condition d'appui en B. Ce problme est un problme isostatique quivalent au problme initial.

Les dformations et les contraintes de ces trois problmes sont identiques. Ce qui change ce sont les constantes d'intgration qui apparaissent dans le calcul du champ de dplacement.

Il existe plusieurs problmes isostatiques quivalents (non unicit de la solution du problme initial)

Ayant le degr d'hypostaticit extrieure (nombre de mouvements d'ensemble possibles) on peut dterminer le degr d'hyperstaticit d'une structure treillis par un simple dnombrement des nuds et des barres.

Un treillis est une structure discrte constitue de bN barres relis entre elles aux nN nuds de la

structure.

Pour calculer la rponse statique du treillis nous disposons des quations d'quilibre de chaque nud, le

nombre d'quations dpend donc de la dimension de l'espace physique. Soit 2 nN quations pour un

problme bidimensionnel (3 nN quations dans le cas tridimensionnel).

Le bilan des inconnues naturelles du problme sont :

L'effort normal dans chaque barre du treillis soit eN inconnues.

Les efforts au niveau des conditions aux limites cinmatiques,

A ces inconnues naturelles (efforts) il faut ajouter le nombre de mouvements d'ensemble s'il y en a. Ce qui est quivalent ajouter le nombre de liaison pour dfinir un problme isostatique extrieur.

Le degr d'hyperstaticit de la structure treillis est donn par le nombre d'inconnues moins le nombre d'quations

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Les structures industrielles sont en gnral fortement hyperstatiques, car cela leur assure de la raideur supplmentaire et donc une meilleure stabilit (au dtriment du poids). Pour les structures hyperstatiques la distribution des efforts internes et externes dpend de la gomtrie et des matriaux. La rsolution de ces problmes est de ce fait plus complexe et fera appel aux thormes nergtiques.

Dans le cas d'une structure isostatique la rpartition des efforts ne dpend que de la gomtrie, ce type de problme se rsout "assez simplement" en utilisant les quations d'quilibre.

Si la structure est hypostatique (degr d'hyperstaticit ngatif) au moins un lment conserve une ou plusieurs possibilits de mouvement. Du point de vue mcanique le systme n'est pas stable on ne peut pas le traiter en statique. En gnral cette situation est d une erreur de modlisation car un systme hypostatique est un mcanisme, et ne peut pas tre modlise en statique sauf considrer des mouvements stationnaires ce qui impose des liaisons cinmatiques.

Exemple : Hyperstaticit d'une structure

F

F

Cette structure possde 4 nuds, le problme est plan, nous disposons donc de 8