Calculs de charpente métallique CM66

8/18/2019 Calculs de charpente métallique CM66

1/160


2/160


3/160


4/160


5/160


6/160


7/160


8/160


9/160


10/160


11/160


12/160


13/160


14/160


15/160


16/160


17/160


18/160


19/160


20/160


21/160


22/160


23/160


24/160


25/160


26/160


27/160


28/160


29/160


30/160


31/160


32/160


33/160


34/160


35/160


36/160


37/160


38/160


39/160


40/160


41/160


42/160


43/160


44/160


45/160


46/160


47/160


48/160


49/160


50/160


51/160


52/160


53/160


54/160


55/160


56/160


57/160


58/160


59/160


60/160


61/160


62/160


63/160


64/160


65/160


66/160


67/160


68/160


69/160


70/160


71/160


72/160


73/160


74/160


75/160


76/160


77/160


78/160


79/160


80/160


81/160


82/160


83/160


84/160


85/160


86/160


87/160


88/160


89/160

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001Cours n°12 – Structures à câbles Page 1 / 22

Cours n°12

Struc tures en câbles

SOMMAIRE

1 HISTORIQUE DES CONSTRUCTIONS EN CÄBLES.......................................................... 3

2 NOTIONS DE STATIQUE GRAPHIQUE............................................................................... 4

2.1 CORPS SOUMIS A DEUX FORCES .................................................................................4

2.2 CORPS SOUMIS A TROIS FORCES.................................................................................4

2.3 CORPS SOUMIS A QUATRE FORCES .............................................................................4

3 DYNAMIQUE DES FORCES ET POLYGONE FUNICULAIRE............................................ 5

3.1 DEFINITIONS...............................................................................................................5

3.2 EQUILIBRE D’UN CORPS SOLIDE..................................................................................7

3.4 MOMENT RESULTANT D’UN ENSEMBLE DE FORCES FI .................................................8

Cas 1 : Le dynamique est ouvert. ............................................................................ 8

Cas 2 : le dynamique est fermé ...............................................................................9

3.5 FUNICULAIRE PASSANT PAR DEUX POINTS ................................................................10

4 STATIQUE DES FILS .......................................................................................................... 12

4.1 fil soumis à des charges concentrées.......................................................12

4.2 fil soumis à des charges réparties ............................................................13

5 NOTION DE CÄBLE FUNICULAIRE ET MODE DE FONCTIONNEMENT D’UNCÄBLE..................................................................................................................................15


90/160


6 INTERÊT DE LA PRECONTRAINTE D’UN CÂBLE ..........................................................17

7 TECHNOLOGIE DES CÂBLES...........................................................................................18

7.1 LES DIFFERENTS TYPES DE CABLES..........................................................................18

7.2 DOMAINE D’EMPLOI :...................................................................................................21

7.3 PROTECTION CONTRE LA CORROSION : .................................................................... 22

7.4 MODULE D’ELASTICITE : ...........................................................................................22

7.5 CONTRAINTE ADMISSIBLE :.......................................................................................22

L’art de dérouler un câble toronné d’après le manuel de la compagnie Roebling


91/160


1 HISTORIQUE DES CONSTRUCTIONS EN CÄBLES

L’usage de câbles dans les constructions est très ancien. Des câbles de cuivre ont été retrouvésdans les ruines de Ninive, près de Babylone. Ces vestiges datent de 685 avant Jésus Christ.Un pont suspendu à des chaînes de fer aurait été construit en chine à Yunnan en l’an 65 donton doit une description au jésuite allemand Athanase Kircher au XVIII ème siècle : « Ce pontqui a vingt chaînes, a vingt perches de long, qui font 140 pieds : l’on dit que quand beaucoup de personnes passent dessus, ou qu’il y a quelque grand fardeau, il branle si fort qu’il fait peur àceux qui y sont … »

Des câbles de bronze ont également été découverts dans les fouilles de Pompéi (an 79).

On attribue également les premiers ponts suspendus à des chaînes de fer au moine tibétainThang-stong-rgyal-po (1385-1464) dont le pont sur la rivière Paro. En Europe, le pont de Menai,

au pays de Galles, réalisé entre 1818 et 1826 par Thomas Telford et Davies Gilbert, est un despremiers ouvrages modernes, comprenant un arrangement de barres métalliques de 2.90 mauquel est suspendu un platelage de bois de 176 m. La suspension en chaînes a finalement étéremplacée par des câbles en 1941.

Le pont de Menai -1826- (Pays de Galles)

La production industrielle de câbles, faits d’arrangements de fils métalliques, date de 1832 en Angleterre (Wilson), puis de 1834 en Allemagne (A. Albert), et enfin se développe aux EtatsUnis grâce à John A. Roebling vers 1850.

Allegheny Bridge(1829) Brooklin Bridge (1883)

Deux ponts suspendus de John A. Roebling


92/160


2 NOTIONS DE STATIQUE GRAPHIQUE

La statique graphique est l’étude des conditions d’équilibre des corps au repos à partir de lamesure et du tracé des forces. Elle n’est plus guère utilisée aujourd’hui du fait des progrès ducalcul numérique par ordinateur. Cependant il est utile au constructeur d’apprécier, par unmoyen simple comme le dessin, le fonctionnement des pièces et le cheminement des forces.

Le principe consiste à faire figurer sur une même épure les longueurs et les forces.Nous admettons par la suite que toute force est représentée par un vecteur glissant défini parsa ligne d’action (directrice) et son intensité (longueur du vecteur) ainsi que son orientation.

2.1 CORPS SOUMIS A DEUX FORCES

Ces deux forces sont égales et opposées

A B

2.2 CORPS SOUMIS A TROIS FORCES

Les trois forces sont concourantes et l’une d’entre elles est égale à la somme vectorielle desdeux autres.

A

2.3 CORPS SOUMIS A QUATRE FORCES

On regroupe les forces deux à deux. La résultante en A doit être égale et opposée à larésultante en B. On appelle « droite de Cullman » la droite qui porte ces deux forces égales etopposées. Il y a trois droites de Cullman, car il y a trois façons de grouper ces quatre forces.

A B


93/160


3 DYNAMIQUE DES FORCES ET POLYGONE FUNICULAIRE

3.1 DEFINITIONS

Soit n forces coplanaires. Par un point A0 arbitraire, on mène A0 A1 équipollent à F1, puis A1A2équipollent à F2, puis de proche en proche Ai-1 Ai équipollent à Fi, et enfin An-1Anéquipollent 1 à Fn. Le contour polygonal A0 An est appelé dynamique associé aux forces Fi.La forme du dynamique ne dépend pas du point A0 mais de l’ordre dans lequel on examine cesforces.

P An

A0 dynamique An-1 Fn-1

A1 F1

A2 F2 Ai Fi

Le vecteur A0An est équipollent à la résultante des forces. Il ne dépend pas de l’ordre desforces FiPar un pôle arbitraire P , on trace des droites liant P et l’extrémité des forces Fi du dynamique.Par un point arbitraire du plan a1 choisi sur F1, on trace successivement les droites a0a1, a1a2,parallèles à A0P et A1P, puis à l’intersection avec F2, a2a3, et ainsi de suite…

F1 a0

a1

F2 funiculaire

a2

Fi ai

ai+1

Fi+1 an-1 anF5

1 vecteurs équipollents = vecteurs parallèles, de même direction et de même intensité


94/160


Le contour polygonal a0an est appelé funiculaire 2associé au dynamique Ai et au pôle P. A toutdynamique, il correspond une infinité de funiculaires, le choix de a0 et P étant arbitraire.

Tout système plan de forces est équivalent à un système de deux forces ayant pour ligned’action le premier et le dernier côté du funiculaire et équipollents au premier et au dernierrayon polaires du dynamique, le premier rayon étant parcouru du dynamique vers le pôle, et ledernier rayon étant parcouru du pôle vers le dynamique.

f0 Fi fn

funiculaire

Le dynamique est ouvert si ses sommets A0 et An sont distincts. L’ensemble des n forces estalors réductible à une force Rn équipollente à A0An.

A0

0dynamique ouvert

Rn Pn

AnSi le dynamique est fermé :

si A0 coïncide avec An. Les rayons a0-P et P-an sont confondus. Si o’ et n’ sont distincts, lefuniculaire est ouvert et l’ensemble est réductible à un couple.

F1 m22’ A0 A2

0 et 2

0’ d P’ P

1’ 1m0 F2

A1

Funiculaire ouvert et dynamique fermé

Si o’ et n’ sont confondus, le funiculaire est fermé. L’ensemble des forces est réductible à zéro.

2 Le mot funiculaire vient du latin funiculus : petite corde.


95/160


A0 A4

P dynamique fermé A1

A2 A3

Funiculaire fermé

Funiculaire et dynamique fermés

3.2 EQUILIBRE D’UN CORPS SOLIDE

Tout solide soumis à un ensemble de forces ou de réactions d’appui est en équilibre si l’on peutassocier à ces forces un polygone dynamique et un polygone funiculaire qui soient tous les deuxfermés.

F1

GGGG

1’1’1’1’

2’F2 F3 funiculaire fermé

3’ 1’

F3

0 et 3dynamique fermé

2F2 P

1F1

A0


96/160


On peut choisir un funiculaire particulier, ayant son pôle situé à l’extrémité d’une des forces. Ontrouve alors la ligne de pression.

3.3 LIGNE DE PRESSION :

C’est le funiculaire particulier pour lequel le pôle P du dynamique est confondu avec A0. La lignede pression permet de visualiser le cheminement des forces dans la matière.

A1

2’ 1P 2 A2

1’ a1 a2 3’ A03

A3

funiculaire particulier dynamique

3.4 MOMENT RESULTANT D’UN ENSEMBLE DE FORCES FI

Le moment en un point d’un ensemble de forces est égal au moment en ce point de leurrésultante. Lorsque l’ensemble des forces est réductible à un couple, le moment se réduit aumoment du couple.

Cas 1 : Le dynamique est ouvert

On trace le repère Gxy tel que Gx soit perpendiculaire à Rn, résultante des forces appliquées.

Le moment de la résultante est égal à :

y

0’ m0 bn x

funiculaireb’n

mnn’ Rn

P A0 0 G

dynamique P’n n

An

nnn bb R M 'r

−=


97/160


Le moment de la résultante Rn du funiculaire en G est égal au produit de cette résultante par ladistance à l’axe GY. Les triangles P A0 An et bn m0 mn sont semblables. On en déduit la valeurdu moment en G.

n

n

nn

mm P P M

R A A

A A

P P

mm

bb

Rbb M

0

0

00

'

''

'

×−=

=

=

×−=

r

r

Cas 2 : le dynamiqu e est fermé On considère le cas où le funiculaire est ouvert (réductible à un couple), car sinon le moment estnul en tout point du plan.

ym’o

mnn’ - fn funiculaire ouvert

f0m0

G x 0’

P’dynamique fermé

A0 et An0 et n

P

P’ est la projection de P sur la parallèle à Gy passant par A0.PA0 est parallèle à f0. Les triangles PP’A0 et m0 m’0 mn sont semblables.

Le moment est égal à nmm P P mm f M 0000 '' ×−=×−= r

00

0

00

0

''

f P A

mm

mm

P A

P P

nr

−=

=


98/160


3.5 FUNICULAIRE PASSANT PAR DEUX POINTS

A

0’1 F1

0’2 Fnn’1

Oi i’1

(D) i’2 n’2 B

On

construction du funiculaire passant par A et B

On trace un dynamique de pôle P1, puis un funiculaire passant par A. le coté n’1 ne passe paspar B. On choisit une droite D passant par A. On construit l’intersection de n’1 avec D. Onobtient le point On. De ce point on trace la droite On B. L’intersection avec Fn permet d’obtenirle côté du funiculaire n’2… De proche en proche, on construit le funiculaire déformé passant par A et B . Le pôle P2 est obtenu par intersection de P1 P2 parallèle à D et d’un rayon quelconquei2 du dynamique, parallèle à i’2. Cette construction permet de tracé le polygone d’équilibre d’unfil passant par deux points et soumis à des forces concentrées.

F1 P1dynamique

P2

F2 (D’)


99/160


Exemple : calcul d’une poutre isostatique de longueur L recevant une charge P au 1/3 de sa longueur

y>0

L/3 2L/3

B’L/3 2L/3

A -1’’ m-1 2’’ B x>0

0’ 1’

0’’ 1’ ‘ Ra A0P1

P’2 P2 dynamique(D) m0 Rb

A1O1

Funiculaire fermé

(D’)

On choisit un pôle arbitraire P1.On trace le dynamique associé au pôle P1, puis le funiculaire associé 0’1’.Le point B’, intersection du rayon 1’ avec la réaction d’appui Rb, ne correspond pas avec l’extrémité de la

poutre, on fait un changement de pôle par rapport à D, perpendiculaire à AB.On obtient le funiculaire 0’’1’’.

Les réactions d’appuis sont trouvées en lisant les grandeurs P’2 A0 et A1P’2.

La poutre est en équilibre sous P, Ra, Rb : le dynamique et le funiculaire doivent être fermés.La droite AB représente les côtés –1’’ et 2’’ du funiculaire associé à P2P’2.

Le moment des forces de gauche à l’aplomb de la coupure (ou moment fléchissant) s’évalue simplementen mesurant m-1 mo (0) et en effectuant le produit des longueurs, affecté dusigne moins. On retrouve facilement par le graphique le résultat donné par la RDM.

9

2

'

3

32

'

0122

01

22

PL M

mm P P M

mm

L

P

P P

=

×−=

−

=

−

−


100/160


4 STATIQUE DES FILS

Un fil est un solide à ligne moyenne infiniment souple et flexible. Tout moment de flexionprovoque une déformation importante. L’équilibre d’un fil est obtenu par un tracé tel quel’équilibre des forces de gauche se résume à une traction dans le fil. Ce tracé est funiculaire del’état de charge appliqué au fil. Le fil est considéré, en première approche comme inextensible.Sa longueur est invariable.

4.1 fil soumis à des charges concentrées

La figure d’équilibre est une ligne brisée passant par les appuis. Cette ligne est confondue avecla ligne funiculaire particulière qui a la même longueur que le fil.

Exemple 1 : fil soumis à une charge concentrée

V1 a bT1 T2 dynamique

lH1

1 2F P’ P

f

FLe funiculaire donne la géométrie du fil de longueur L. La flèche est calculée à partir de la longueur du filet la position de la charge.La valeur de la traction horizontale H est égale à PP’, distance du pôle à la force F.

f ba

Pab H H H

f b f a L

ba

a P

f

f bT

ba

b P

f

f aT

)(21

²²²²

²²2

²²1

+===

+++=

+

+=

+

+=


101/160


Exemple 2 : fil soumis à 2 charges concentrées

Câble =funiculaire dynamiquel l l

TA

F F A B F H P

f

TB F

La longueur du fil L permet d’obtenir la flèche f. Le calcul du moment le long du fil

permet de déterminer H.

f

Fl H

l

f

H

F =⇒=

²²2 f l l L ++=

Exemple 3 : fil soumis à n charges concentrées

Fi 0

H P dynamique

56

A 0’ funiculaireB

1’ 5’2’ Fi 3’ 4’

On trouve de proche en proche la ligne funiculaire, qui est aussi la forme d’équilibre du câble. Laconnaissance de L, longueur du fil, permet de connaître la forme d’équilibre.

4.2 fil soumis à des charges réparties

On découpe les forces en une infinité de petites forces élémentaires et on est ramené au casprécédent. On trouve une courbe dynamique en choisissant P sur l’horizontale de A0, et unecourbe funiculaire. La figure d’équilibre du fil est la courbe funiculaire. A l’abscisse x, correspond

B A T f

f l F T =

+=

²²


102/160


103/160


5 NOTION DE CÄBLE FUNICULAIRE ET MODE DE FONCTIONNEMENT D’UN CÄBLE

Galilée, en 1638, décrit la forme d’une chaine tendue comme celle d’une parabole. La

description mathématique d’un câble soumis à ses charges de poids propre est due à JacquesBernoulli (Bâles-1690).On considère un câble symétrique plan de longueur l et de flèche f, ancré à ses deux extrémités A et C. Il est soumis à une charge uniforme p, constante. Le point B est situé sur l’axe desymétrie de la figure. Les trois équations de la statique permettent de trouver la tension le longdu câble.

T

0)3(

0)2(

0)1(

=

=

=

∑

∑∑

B

y

x

M

F

F

M H

HB α

0222

)3(

)2(

)1(

22

22

=+−=+−=+−⇒

=⇒

=⇒

Hy x

p Hy px x

p HyVx x

p

pxV

H H B

B

2

2 )4( x

H

p y =

C’est l’équation d’une parabole rapportée à son sommet B. L’équilibre des forces permet dedéfinir la géométrie du câble. En désignant par R le rayon de courbure au sommet, l’équationdevient :

H

p

R xd

yd

H

px

R

x

dx

dytg

R

x y

==

===

=

1

2

2

2

2

α

On retrouve ainsi l’équation différentielle établie à l’aide de la statique graphique au paragrapheprécédent. Le rayon de courbure est obtenu en reportant f (flèche) et l (distance entre sesextrémités) dans l’équation du câble. Il est égal à :

On en déduit que la composante horizontale H est constante tout le long du câble et égale

à : f

l p pR H

8

2

==

p(x)

f

l R

8

2

=

R

y

V

x


104/160


La force V croit du centre vers les extrémités du câble. D’après le théorème de Pythagore, latension du câble T est égale à:

2

2

2222

)(1

8

1)(1

R

x H T

xl

f

R

x

dx

dytg

tg H H

V

H V H T

+=

===

+=+=+=

α

α

La tension du câble croit avec l’abscisse x . Elle est maximale aux extrémités du câble, c’està dire aux ancrages A et C.

La longueur du câble est obtenue, avec une approximation suffisante, grâce à la formule

suivante :3

42

5

32

3

8

l

f

l

f l L −+=

Câble surbaissé :

On dit que le câble est surbaissé quand l’angle de la tangente aux extrémités est inférieur à10 degrés. La tangente de l’angle est alors inférieure à :

R176.0≤α tg

α


105/160


La solution de cette équation différentielle donne l’équation du câble, qui est une chaînette(courbe en sinus hyperbolique). Cette courbe est « plus ronde » que la parabole.

6 INTERÊT DE LA PRECONTRAINTE D’UN CÂBLE

Exemple 1 : Lorsque le câble n’est pas précontraint, la figure d’équilibre ne dépend que de la longueurdu câble et de son allongement sous l’effet de la tension. Cette déformation peut être importante.Lorsque l’on tend le câble, avant application de la charge, le câble se déforme jusqu’à l’obtention del’équilibre des forces internes et de la charge appliquée. La flèche du câble est plus faible que dans le casprécédent, car la composante de la force de précontrainte dirigée dans le même sens que l’action croitavec l’angle du câble. L’état d’équilibre est atteint plus tôt et la flèche totale est plus faible.

A P B

A B

Exemple 2 : Considérons un fil vertical, non tendu. A mi-hauteur on accroche un poids P que l’onaugmente progressivement. La partie inférieure se détend. L’allongement du câble lorsque la charge

augmente ne dépend que des caractéristiques mécaniques de la partie supérieure: longueur du fil,section, module. Si l’on précontraint ce fil, la déformation dépendra de la rigidité de la partie supérieure etde la partie inférieure tant que cette dernière restera en tension, et ce, jusqu’à ce que la précontrainteinférieure soit annulée par l’allongement relatif du fil. La déformation relative sera la moitié de celleobtenue dans le cas du fil sans précontrainte. La précontrainte raidi le système. Le dernier point 5correspond à l’annulation de la précontrainte inférieure. Les déformations du fil non tendu et du filprécontraint sont égales.

1 2 3 4 5

l ∆T ∆

'T T ∆+2 f

1 f

21 f f ≥


106/160


7 TECHNOLOGIE DES CÂBLES

7.1 LES DIFFERENTS TYPES DE CABLES

On utilise plusieurs types d’éléments tendus :

- Les barres à haute résistance ou en acier ordinaire- Les câbles faits de fils tréfilés parallèles- Les monotorons- Les câbles toronnés ou assemblages de torons- Les câbles clos

BARRES EN ACIER A HAUTE RESISTANCE

TYPE SECTION(mm2)

CLASSE Frg (KN) frg (Mpa) Feg (KN) feg (Mpa)

Φ 6

531,0 1030 547 1 030 443 834

Φ 6

531,0 1230 653 1 230 575 1 083

Φ 3

804,0 1030 830 1 032 670 833

Φ 3

804,0 1230 990 1 231 870 1 082

Φ 36

1018,0 1030 1 050 1 031 850 835

Φ 36

1018,0 1230 1 250 1 228 1100 1 081

Utilisées pour mettre en précontrainte des pièces courtes

BARRES EN ACIER 460 POUR TIRANTS(Utilisées pour des haubans de faible puissance)

Typ e D iamètre(mm)

Sect ion(mm2)

Frg (kN) Feg (kN) PoidsKg/m

M20 19 254 153 115 2

M24 22 380 221 167 2.95

M30 28 572 350 264 4.6

M36 34 855 510 384 6.75

M42 39 1195 694 523 9.18

M48 44. 1520 911 687 12.09

M56 52 2124 1253 945 16.6

M64 59 2827 1649 1244 21.9

M76 71 4072 2381 1795 31.6

M90 85 5809 3403 2566 45.2

M100 95 7238 4243 3200 56.3

FILS TREFILES A FROID EN ACIER A HAUTERESISTANCE (utilisés pour fabriquer des câbles à fils parallèles : haubans, précontrainte du béton)

TYPE SECTION(mm2)

CLASSE Frg (KN) frg (Mpa)

Φ 7

38.5 1570 60.4 1570

Φ 8

50.2 1570 79 1570

Φ 7

38.5 1670 64.3 1 670

Φ 8

50.2 1670 84 1 670


107/160


Arrangements de câbles toronnés selon le catalogue de la compagnie RoeblingUtilisés pour des suspensions de pont

TORONS EN ACIER A HAUTE RESISTANCEUtilisés pour des câbles de précontrainte et deshaubans

TYPE SECTION(mm2)

CLASSE Frg (KN) frg (Mpa) Feg (KN) feg (Mpa)

T 13standard

93,0 1860 173 1 860 154 1 656

T13standard

93,0 1770 164 1 763 146 1 570

T 15standard

139,0 1770 246 1 770 220 1 583

T 15standard

139,0 1670 232 1 669 207 1 489

T 13 super 100,0 1860 186 1 860 166 1 660

T 15 super 150,0 1770 265 1 767 236 1 573

T 15 super 150,0 1860 279 1 860 249 1 660


108/160


LES MONOTORONS (enroulement en spirale):(utilisés pour des haubans, suspentes et des suspensions)

Diamètremm

Sectionmm2

Masse par mKg/m

Rigidité axiale(EA)Nm

Force de rupturegrade 1570

kN

Force de rupturegrade 1770

kN13 105 0.85 18.4 152 171

16 156 1.26 27.3 225 254

30 530 4.29 92.8 766 864

40 942 7.63 160.1 1362 1536

50 1473 11.91 243 2129 2400

60 2121 17.2 350 3065 3456

70 2891 23.6 462.6 4169 4700

80 3673 30.8 569 5240 /

90 4653 39 721 6640 /


109/160


LES CABLES CLOS :(Utilisés pour des haubans , suspentes, et suspension)

Diamètremm

Sectionmm2

Masse par mKg/m

Rigidité axiale(EA)Nm

Force de rupturekN

30 594 5.3 92 858

40 1090 7.22 125 1170

50 1710 15.3 265 2470

60 2490 22.2 386 3590

70 3390 30.2 525 499080 4420 39.5 685 6390

90 5600 50 868 8090

100 6990 62.6 1083 10100

110 8460 75.7 1311 12200

120 10100 90.1 1565 14500

130 11900 107 1844 16200

7.2 DOMAINE D’EMPLOI :

Les barres sont utilisées lorsque les longueurs des tirants sont courtes et que les efforts detraction sont faibles. Le réglage s’effectue par manchons filetés et les extrémités doivent être

articulées. Elles sont handicapées par leur poids et lorsqu’il y a des flexions parasites qui créentdes variations de contraintes nuisibles vis a vis de la résistance à la fatigue.

Les câbles sont utilisés lorsque la finesse des tirants est recherchée ou lorsqu’une précontrainteimportante est nécessaire pour raidir la structure.

Les câbles toronnés sont principalement utilisés dans les ouvrages d’art à haubans ou les pontssous tendus, qui demandent des puissances considérables et une mise en tension active.

Les câbles clos et les monotorons sont utilisés pour les toitures, les câbles de rive desstructures en textile, les suspentes des arcs de type bow-string, et certains ouvrages haubanés.Les câbles clos permettent la reprise de charges importantes, avec des diamètres faibles.


110/160


Les pièces d’ancrage sont volumineuses (culots sertis à la résine ou au zinc, barres relais etvérins de traction). Ces dispositions technologiques doivent être intégrées avec soin dans leprojet définitif.

sertissage d’un culot au zinc

7.3 PROTECTION CONTRE LA CORROSION :

Elle est assurée par peinture ou métallisation pour les barres, par gaine PEHD et enrobage decire pétrolière ou au coulis de ciment pour les torons, par galvanisation et peinture pour lescâbles clos et les groupes de torons des ponts suspendus. Certains câbles ou barres peuventêtre réalisés en acier inoxydable mais les caractéristiques mécaniques sont plus faibles.

7.4 MODULE D’ELASTICITE :

Il est égal à 200 000Mpa pour les barres et les fils, et à 190 000 Mpa pour les torons. Il est plusfaible (car c’est un module apparent que l’on mesure, et non le module du métal seul) pour lescâbles clos, et les groupes de torons torsadés. Il varie alors de 140 000 à 157 000 Mpa

7.5 CONTRAINTE ADMISSIBLE :

On adopte généralement une tension admissible inférieure ou égale à 0.45 Frg, avec Frg laforce de rupture du câble. Les variations de tension doivent rester inférieures à 0.20 Frg sousl’effet des charges d’exploitation et des charges climatiques pour éliminer le risque de rupturepar fatigue de l’acier.

Williamsburg Bridge (1903)


111/160

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2000Cours n°13 – Structures légères Page 1 / 24

Cours n°13

Struc tu res légères

1 DOMAINE DE DEFINITION ................................................................................................... 2

2 LES STRUCTURES A CABLES ........................................................................................... 4

2.1 LES STRUCTURES HAUBANEES......................................................................... 7

2.2 LES STRUCTURES A CABLES SOUPLES .........................................................12

2.2.1 Le câble simple.......................................................................................... 12

2.2.1 Les ouvrages suspendus linéaires............................................................13

2.2.3 Les poutres à câbles : ...............................................................................16

2.2.4 Les couvertures en câbles ........................................................................ 18

2.4 LES STRUCTURES HYBRIDES ...........................................................................22


112/160


1 DOMAINE DE DEFINITION

Les structures légères sont des structures où l’on cherche à éliminer les sollicitations de flexionet à transmettre directement les charges appliquées aux appuis en mobilisant les matériaux entraction et en compression. Les éléments tendus sont particulièrement efficaces, car ils neprésentent pas d’instabilité élastique. Le dimensionnement des pièces en traction peut ainsi êtreminimal.La figure suivante montre le passage des structures comprimées ou fléchies aux structurestendues.

Pour réaliser des structures de grande portée telles que les hangars, les halls d’exposition, les

couvertures de stades, de salles de spectacle et les ponts et passerelles, les ingénieurs ontrecours à des structures utilisant des câbles ou des tirants, et mettant ainsi en œuvre une faiblequantité de matière. Le poids de la structure porteuse est ainsi minimum.

Ces structures posent cependant quatre types de problèmes :

- Les câbles ont un tracé d'équilibre courbe ou polygonal. Les courbures sont souventimportantes et posent parfois des problèmes d'encombrement vis à vis des volumes utilisables,en particulier lorsqu'il s'agit de bâtiments.


113/160


-Les forces horizontales ou verticales nécessaires pour tendre les systèmes de câbles sont trèsimportantes, et il faut réaliser d'imposants massifs d'ancrages au sol ou en rive des structures.

-Les contraintes de fabrication et de montage de la structure sont importantes, car la stabilitégénérale n'est obtenue qu'une fois le schéma statique final réalisé.

-La stabilité et la rigidité d'ensemble de la structure vis à vis des actions alternées et desphénomènes dynamiques (vent, charges mobiles) doivent être soigneusement vérifiées, et cesstructures posent parfois problème compte tenu de leur destination: mouvements et confort del'utilisateur, amplitude des déformations, fatigue des matériaux.

Le système porteur est souvent constitué de câbles ou de barres tendues associés à despoutres.

Dès que la portée devient grande, on utilise généralement des câbles en acier dur pour réaliser

la suspension. Les câbles ont des propriétés mécaniques intéressantes en traction. Ilsprésentent des contraintes de rupture très élevées (1570 à 1 860 N/mm², c’est à dire 3 à 4 foisplus que les aciers ordinaires de charpente).

Ces structures sont stabilisées par :

-des masses-de la précontrainte-des éléments fléchis associés à des câbles, avec lesquels ils constituent des structureshybrides-des ancrages au sol

Les structures peuvent être souples ou rigides :

Elles seront souples si la structure subit des déplacements sans allongement avant de trouversa position d’équilibre.

∆

f

Elles seront rigides si les déplacements de la structure résultent uniquement des allongementsdes matériaux.

∆

f

∆l


114/160


Il faut analyser les structures souples par rapport aux déplacements, et vérifier qu’elles sonttoujours propres à l’usage après chargement, et les structures rigides par rapport auxcontraintes de fatigue (nombre de cycles et intensité de la variation de charges), notamment au

niveau de leurs ancrages.

On distingue ainsi parmi ces structures légères :

-les structures haubanées,

-les structures suspendues,

-les poutres à câbles,

-les structures sous-tendues,

-les nappes de câbles ou les membranes tendues.

2 LES STRUCTURES A CABLES

Très utilisé pour les ponts de grande portée (100 m à 1 600 m), ce concept est égalementappliqué aux bâtiments. L’utilisation de câbles permet de suspendre les toitures et donc deréduire la hauteur des poutres. Les industriels ont compris l’intérêt qu’il y avait à établir unrapport entre la qualité de leurs produits et l’esthétique de leurs usines. Des structuresspectaculaires ont été développées dans le domaine des halles industrielles et des équipements

sportifs : INMOS microprocesseur au Pays de Galles, Fleetguard à Quimper, PA Technologyaux USA, dues à l’Architecte R. Rogers, Centre Renault de Swindon de Norman Foster. Cesprécurseurs anglais ont inspiré beaucoup d’autres architectes.

Centre Renault de Swindon (N Foster)


115/160


La stabilisation d'ensemble de la structure peut être assurée :

- Par la masse de la structure

C’est la formule choisie au Stade de France où un lest en béton situé à l’extrémité de la toiture,empêche le soulèvement du porte-à-faux. C’est également le cas des ponts rubans en dalle debéton, le béton assurant le non-soulèvement de la structure et sa stabilité transversale : pontpour piétons de Sacramento ou couverture en voile de béton mince conçue par Alvaro Siza àLisbonne.

Principe statique du pont ruban

Les culées d'ancrage ont une masse élevée pour s’opposer à la traction du câble

- Par une précontrainte

C’est le cas des poutres à câbles où deux câbles de courbures opposées sont liés entre eux pardes éléments tendus ou comprimés. Sous charge, le câble supérieur se tend, et le câble

inférieur se détend. La tension initiale des câbles permet de conserver la rigidité del’ensemble quel que soit le cas de charge.

C'est également le cas des nappes de câbles tendues sur des poutres de rive rigides ou desancrages.


116/160


Passerelle de l’exposition de Hanovre (J Schlaich)

- Par des éléments de structure de propriétés différentes

Une poutraison rigide ou semi-rigide est portée par des câbles. La poutre ou la dalle assure larésistance aux flexions et torsions locales. Elle assure également le transfert des charges jusqu’à la suspension. C’est le cas des ouvrages haubanés, suspendus ou sous-tendus. Onappelle ces constructions des structures hybrides.

Parfois, la poutre porteuse sert à ancrer le câble : c’est le cas général pour les ouvrageshaubanés ou sous-tendus. La poutre reçoit donc un effort normal important. Les câbles desouvrages suspendus sont, quant à eux, ancrés sur d’imposants massifs.

Les structures peuvent également être classées en fonction de leur rigidité:

Les ouvrages suspendus linéaires ou les nappes de câbles suspendus sont du type souple.

Les ouvrages haubanés sont du type raide.

Les structures hybrides sont du type raide

Des schémas statiques intermédiaires peuvent être adoptés, combinant, les deux systèmes.

L’adoption d’un système haubané ou suspendu permet de réduire considérablement la hauteurdes poutres. Les toitures des bâtiments ainsi réalisées sont plus légères et moins volumineuses.


117/160


2.1 LES STRUCTURES HAUBANEES

le millenium - Richard Rogers

Elles sont constituées par une poutre, un ou plusieurs mâts, et des haubans. Ces haubans sontorganisés en nappes parallèles (en harpe) ou convergent en un point sur le pylône.

- Le haubanage est organisé en harpe : les câbles sont parallèles. Ce système demande alorsune rigidité supérieure des pylônes qui reprennent des flexions plus importantes.

- Le haubanage converge sur le sommet du pylône : la rigidité de l’ouvrage est plus grande etla flexion du pylône est limitée.

- Des dispositions intermédiaires peuvent être adoptées en étalant, par exemple, les

ancrages en tête du mât.

H

h

L

en harpe


118/160


en éventail

mixte

Le rapport hauteur du mât à la portée H/L de la poutre porteuse est voisin de 0.20 à 0.25 pourun système symétrique constitué de deux mâts et une traverse.

L’espacement des haubans sur la traverse doit être tel que la flexion de cette poutre reste

limitée entre deux haubans consécutifs. Il est possible de réduire la hauteur de la poutreporteuse. Ainsi l’élancement de la poutre porteuse (rapport h/L) peut être très réduit :

On obtient ainsi h/L = 1/300 au Pont de Normandie (record mondial de portée avec uneouverture de 856 m).

Le pont de Normandie


119/160


Dimensionnement du câble par la méthode du pendule :

+ TiVi

+

α

i

Hi

P = mg

On écrit que la tension du câble équilibre le poids d’un tronçon élémentaire de poutre, comprisentre deux attaches. L’effort de compression de la poutre augmente à chaque ancrage i decâble et la tension des haubans est d'autant plus forte que le câble est incliné sur l'horizontale.

Hi

mg

Hi

Vitg

mg ViTi

HiTi

i

i

i

−==

−==

=

α

α

α

sin

cos

Ouvrage auto-ancré :

Un ouvrage est auto-ancré lorsque le système câble-poutre est fermé et lorsque les réactionstransmises au milieu extérieur équilibrent uniquement les charges de gravité. La traction descâbles est équilibrée par la compression de la poutre. C’est le cas des ponts haubanés, et plusrarement, de certains ouvrages suspendus.

Ouvrage haubané auto-ancré


120/160


Ouvrage suspendu auto-ancré

Avec massifs d'ancrage

Un exemp le de stru ctu re h aubanée : l ’us ine Fleetgu ard à Quim per - Ar chit ecte Ric hardRogers

Fleetguard (Quimper-France)

Il s’agit d’une toiture suspendue selon une maille carrée de 18 m x18 m. Cette couverture est portée pardes mâts situés à l’extérieur du bâtiment. Les poutres HK et KN sont rotulées sur les poteaux. Les tirantssont constitués de barres rondes.

On distingue plusieurs famille de tirants :


121/160


Les tirants porteurs CIJD et DLME dont le tracé est descendant. Ils soutiennent la toiture et portent lacharge permanente et la neige. Leur tracé polygonal est funiculaire des charges ponctuelles.

Les tirants HIJK et KLMN destinés à stabiliser la toiture vis à vis du soulèvement, dont le tracé estascendant : ils résistent au vent. Le soulèvement est transmis au câblage par les bielles I, J et L, M.

Les tirants CK, HD, DN et KE stabilisent la structure vis à vis des effets dissymétriques, qui relient la têtede mât à la toiture pour rigidifier l’ensemble : neige localisée sur une travée, vent transversal

Les éléments comprimés et rigides sont les mâts C, D, E et les jambes de forces AH et NG réalisées entube d’acier. Ces jambes de forces servent à stabiliser la structure vis à vis des efforts horizontaux dus auvent.

Cette couverture est extrêmement légère. Le poids de charpente est inférieur à 50 kg par m2

C D E

I J L MW H K N

B F

A G

1 2 3

-P 5/2P 3P 5/2P -P = 6P

Centre Renault de Swindo n (GB) de Norman Foster :

Ce bâtiment, symbole du High Tech anglais, comprend:

Les poutres d'acier polygonales, reprenant par leur forme naturelle le soulèvement du au vent sur une

maille 24 x 24 m².

Les tirants, constitués de barres rondes, ABCDEFGH assurent la fonction porteuse vis à vis du poids propre et de la neige. Les poinçons D et E transmettent la charge verticale au tirant inférieur: Lestraverses sont sous-tendues.

Les tirants intermédiaires MIC et MJC, puis NKF et MLF raidissent les poteaux vis à vis des chargeshorizontales de vent, qu'ils transmettent directement au sol en M et N, comme les gréements des voiliersde plaisance transmettent la poussée vélique à la coque (Norman Foster est un passionné d'aviation, devol à voile et de navigation dont il utilise les techniques).

Les poteaux CM et FN et les câbles BA et GH assurent l'encastrement du portique.


122/160


C F

B GW W/2

I J K LD E

A M N H -W/2

Mc Mf

Mm Mn

2.2 LES STRUCTURES A CABLES SOUPLES

2.2.1 Le câble sim pl e

Le câble prend sa position d'équilibre en fonction des charges appliquées.


123/160


2.2.1 Les ouvrages su sp endus linéaires

Les ouvrages suspendus sont constitués d’un câble porteur, de suspentes régulièrementespacées, de suspentes et d’une poutre appelée poutre de rigidité. Le rapport de la hauteur despylônes à la portée L est de 0.10L à 0.15L.

La poutre de rigidité permet la répartition des charges d’exploitation entre les suspentes (casdes ponts et passerelles pour piétons) et la stabilité de l'ouvrage en torsion. Les ouvrages dontles suspentes sont verticales sont des ouvrages souples. Ils sont moins sensibles auxphénomènes de fatigue, à l’exception des zones d’ancrages ou ils subissent des flexionsalternées. Ces structures sont très utilisées pour les ponts et passerelles de très grande portée.

Golden Gate Bridge


124/160


Rigidité croissante

suspendu

triangulé

mixte

haubané

haubané croisé

Si les suspentes des ouvrages suspendus sont triangulées, elles raidissent la structure. Cettedisposition convient davantage aux ouvrages supportant des charges légères comme lespasserelles pour piétons car les variations de tension dans les suspentes sont plus importantes


125/160


(risque de détente et de fatigue de l'acier). Les systèmes mixtes raidissent la poutre auvoisinage du pylône, en particulier s'il y a des charges localisées.

passerelle piéton (J Schlaich)

Le calcul simplifié du câble porteur, conduit à partir du moment de la poutre isostatique associéedonne :

Avec Miso =moment de la poutre droite associé en MN x mH = réaction horizontale (MN)f = flèche du câble (m)T = tension du câble (mN)

σ = contrainte dans l’acier (MN/m²) A = section d’acier (m²)R= rayon de courbure du câble (m)

AT

H T

f

l R

pR f

Miso H

=

=

=

==

σ

α cos

8

²

l

f

R

H

T


126/160


2.2.3 Les pout res à câbl es :

Ces poutres planes sont constituées par des câbles tendus de concavités opposées. Elles ne

mettent en jeu que des tractions. La tension initiale de chaque câble est calculée pour que lesmembrures ne se détendent jamais. Ces poutres sont donc précontraintes, et doivent êtreancrées en rive. Si les suspentes sont verticales, la structure est souple. Si les suspentes sonttriangulées, la structure est rigide.Les montants et diagonales sont réalisés en câbles s'ils sont tendus (structure biconcave) ou enbarres rigides s'ils sont comprimés (structure biconvexe), selon le signe de la concavité desmembrures.La répartition des tensions entre le câble inférieur et le câble supérieur dépend des sections etdes flèches relatives des câbles.

Un bel exemple de poutre à câble est donné par la couverture du stade de Stuttgart (H Siegel &partner - architecte, Schlaich & Bergermann - ingénieurs) faite d'une poutre à câbles et d'unetoile tendue sur des arceaux en charpente tubulaire appuyés sur le câble inférieur. Un anneaucentral en câbles tendus maintient l'ensemble en traction.


127/160


H/2cosα

Gott l ieb-Daimler Stadium câbles caissons comprimés

H

Anneau de traction

H/2cosα2

H/2

α


128/160


2.2.4 Les cou vertu res en câbles

les structures spatiales suspendues

Les principes de suspension bi ou tri-dimensionnels sont appliqués aux systèmes porteurs. Lessuspentes portent ensuite une poutraison classique de petite portée.

Couverture suspendue

Cylindre comprimé

Anneau comprimé

Couverture avec axe de révolution

Anneaux de compression

Couverture de révolution

Les couvertures de révolution sont de deux types:

- Biconcaves, elles exigent au centre deux anneaux tendus portés par des montantscomprimés.

- Biconvexes, les anneaux de compression sont rejetés à l'extérieur.

Les systèmes porteurs des poutres à câbles peuvent être générés par rotation autour de l' axede symétrie. Ces couvertures permettent de réaliser de grandes salles circulaires ou elliptiques.


129/160


Anneau central et câbles tendus (stade de Séoul- J Schlaich)

Les nappes de câbles

Deux câbles antagonistes :

Trois câbles de retenue


130/160


Multiplication des câbles des deux familles

Des couvertures tendues sont réalisées par deux réseaux de câbles orthogonaux et decourbures inverses reliés entre eux.

Ces nappes de câbles sont fixées en rives à des ancrages ponctuels, à des câbles de lisières, àun anneau de compression ou une structure rigide.

Les deux nappes ont des concavités inverses afin de résister tant aux charges verticalespesantes qu’aux charges de soulèvement dues au vent. Elles sont reliées entre elles soitdirectement, soit par des montants verticaux comprimés ou des fils tendus.

Ces nappes sont précontraintes par les tensions exercées grâce aux câbles de bordures.

Ce type de structure a notamment été développé, à titre expérimental, par Robert le Ricolais etsurtout par Frei Otto.

Le stade de Munich construit pour les jeux olympiques de 1972 illustre parfaitement ce type destructure. La nappe de câble est recouverte de plaques translucides acryliques. La maille a 75cm de côté.

.

Le stade olympique de Munich (détails)


131/160


Si le réseau de câbles est constitué de deux nappes quadrangulaires, la structure est souple.

Nappe souple

Si le réseau de câbles est constitué de trois nappes triangulaires la structure est rigide.

Nappe rigide


132/160


Le stade de Munich (1972)

2.4 LES STRUCTURES HYBRIDES

Les structures hybrides associent la flexion de poutres et la traction des câbles. Les pontshaubanés présentant peu de câbles (dans ce cas la flexion des poutres n’est plus dérisoire) etles ponts sous tendus sont des structures hybrides. De très grands ouvrages ont été construitsur ce modèle, comme le pont sur le Neckar (portée 278 m), et le pont sur l’Argen (portée 258m). Ces deux ouvrages comprennent un tablier en caisson métallique et un sous-bandage en

câbles toronnés. Le tirant est précontraint pour réduire la déformation sous poids propre.


133/160


pont sur le Neckar (F Léonardt) pont sur l’Argen (J Schlaich)

détail d’entrée des câbles

Des sous-bandages particuliers peuvent être réalisés en profilés d'acier. Il est alors passif, c'està dire que la tension dans le tirant dépend de la déformation d'ensemble de la structure après

chargement. Il est nécessaire de construire l’ouvrage avec une déformation inverse de celle qu’ilsubira lorsqu’il sera mis en place.

Exemple de tablier sous-tendu en profilés d’acier (J Schlaich)


134/160


135/160

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2000Cours n°14 – Les membranes Page 1 / 23

Cours n°14

Les memb ranes

1 LES MEMBRANES ................................................................................................................ 3

1.1 DOMAINE D’UTILISATION .....................................................................................3

1.2 EQUILIBRE DE DEUX CORDES.............................................................................3

1.3 EQUILIBRE DE MEMBRANE..................................................................................4

1.3.1 Equilibre de surfaces cylindriques .............................................................. 6

1.3.2 Equilibre de surfaces de révolution soumise à un système de charge derévolution ..................................................................................................... 6

2 LES STRUCTURES TEXTILES............................................................................................. 9

2.1 LIBRES OU SIMPLES..................................................................................................10

2.2 CABLES DE VALLEE..................................................................................................10

2.3 ARCEAUX RIGIDES OU BORDURES RIGIDES ...............................................................11

2.4 SUPPORTS RIGIDES OU POINT HAUT (MATS)..............................................................11

2.5 SURFACES DE REVOLUTION ......................................................................................11

2.6 PARAPLUIES ............................................................................................................12

2.7 CARACTERISTIQUES DES TEXTILES PVC ..................................................................12

3 LES STRUCTURES GONFLABLES ...................................................................................15

3.1 EQUILIBRE D’UNE BULLE DE SAVON ..........................................................................15

3.2 EQUILIBRE DES ENVELOPPES SOUMISES A UNE PRESSION INTERNE ..........................16


136/160


3.3 CHARGES APPLIQUEES SUR LES ENVELOPPES GONFLABLES ....................................18

3.4 MEMBRANES DOUBLES .............................................................................................19

4 LES DEVELOPPEMENTS D’AVENIR ................................................................................23


137/160


1 LES MEMBRANES

1.1 DOMAINE D’UTILISATION

Contrairement aux coques qui peuvent supporter des compressions et des flexions, lesmembranes sont constituées de surfaces à double courbure travaillant uniquement à la traction.

Elles peuvent être réalisées en béton de faible épaisseur, en câbles d’acier, croisés selon leslignes de forces, en plaques d’acier ou en textile (PVC ou Kevlar). Ces membranes doivent êtreprécontraintes pour être stables.

1.2 EQUILIBRE DE DEUX CORDES

Deux cordes antagonistes, situées dans deux plans perpendiculaires s’équilibrent, si lesrésultantes des forces appliquées sur chaque brin sont égales. L’ensemble présente une rigiditéstructurelle qui varie avec l’angle de chaque corde dans son plan. Lorsqu’on charge cettestructure, la corde inférieure se détend et la corde supérieure se tend.

Equilibre de deux cordes

R1>0

R2


138/160


1.3 EQUILIBRE DE MEMBRANE

On peut imaginer qu’une membrane est un réseau de cordes parallèles et perpendiculaires

tendues. Au lieu de former des angles, le grand nombre de point de croisement fait que lamembrane présente deux courbures, qui, pour que la structure soit stable, doivent être inverses.

Equilibre d’un grand nombre de corde

L’état de contrainte dans la membrane peut être représenté par de la traction pure oucompression pure (contraintes principales), ou des contraintes combinées de traction (oucompression) et cisaillement simultané. Le cisaillement déforme la membrane suivant le biais.

τ

N2 -τ

N1 -N1

-N2

Traction pure (ou compression pure) cisaillement

Si les courbures sont de même signe, la membrane ne présente pas de rigidité propre.

L’équilibre de membrane ne fait intervenir que des tractions, des compressions et descisaillements pour équilibrer la charge appliquée. Il n’y a aucune flexion.


139/160


Equilibre d’un petit élément de membrane

Dans une toile, il n’y a aucune compression, contrairement aux coques. La compression estannulée soit par une précontrainte de la membrane obtenue par mise en tension des lisières,soit par une pression ou une dépression intérieure.

La forme idéale est la surface minimale, c’est à dire celle qui mobilise l’énergie de déformationminimale. On peut la trouver par analogie avec des films de savon établis sur des supportsrigides.

Les surfaces à simple courbure (cylindres, cônes) peuvent être stables par leur poids qui leurdonne une rigidité structurelle.

Les surfaces à double courbure, et dont les courbures sont de même signe (sphère), ne sont

stables que si leur poids est suffisant ou si une pression interne les maintient en tension.

p0

Les surfaces à double courbure inversée (paraboloïde hyperbolique) sont naturellement stables,

si leur tension initiale ne s’annule pas sous l’effet des charges appliquées.

La théorie de membrane permet l’évaluation des tensions par les seules lois de la statique. Lesvaleurs ainsi obtenues sont indépendantes des déformations.

ds

dx

Φ

dx

x

N N

∂

∂+

11

ds s

N N

∂

∂+

22

1 N

2 N

τ

dx x∂

∂+ τ

τ ds

s∂∂+ τ τ

Φz

τΦs


140/160


1.3.1 Equil ibre de surfaces cyl indriq ues

Dans la direction x, le rayon de courbure est infini (courbure nulle). Les équations d’équilibre

deviennent :

n

t

x

R

N

s

N

x

T

s

T

x

N

Φ=

Φ=∂

∂+

∂

∂

Φ=∂

∂+

∂

∂

2

2

1

Dans cette catégorie, on peut également classer les ponts rubans c’est à dire les ponts oupasserelles réalisés à partir de câbles tendus entre les culées.

Outre le projet de Dykerhoff et Wydmann pour le pont sur le Bosphore conçu en 1958, mais jamais réalisé, certaines passerelles pour piétons ont été réalisées aux Etats-Unis (passerellesur la rivière Sacramento en Californie : portée de 127 m - épaisseur : 38 cm), au Japon, enSuisse et en Allemagne sur ce principeLa stabilité verticale est donnée par le poids et la stabilité horizontale par la rigidité du béton quipermettent de lutter contre les soulèvements et les balancements dus au vent.

1.3.2 Equi lib re de su rfaces de révo lu ti on so um ise à un sys tème de charg e de révo lu ti on

Les tensions de membranes équilibrent les forces réparties appliquées perpendiculairement à lasurface :

n R

N

R

N Φ=+

2

2

1

1

n P

N2

N1

ϕ

r

ϕ rH

HR

VV

τ

dxN2

ds s∂

∂+ τ

τ

N1

ds

dx x

N N

∂

∂+

11

dx x∂

∂+ τ

τ τ

ds s

N N

∂

∂+

22


141/160


La tension le long des méridiens est obtenue en écrivant directement l’équilibre des forces lelong d’un parallèle. Les forces appliquées sur la partie supérieure sont équilibrées par lescomposantes verticales des tensions appliquées le long d’un parallèle.

ϕ π sin22

r P N −=

Exemple du pavi l lon d e Lisbonn e d’Alvaro Siza :

Le pavillon de Lisbonne

Il s’agit d’une couverture tendue constituée d’un voile de béton porté par des câbles de précontrainte.L’ensemble constitue une membrane tendue cylindrique. La portée est de 68 m, et la flèche de la courbeest voisine de 3,00 m. On veut trouver la puissance des câbles et l’épaisseur de béton nécessaire.

La membrane est cylindrique. Elle est soumise à des charges verticales descendantes (poids propre,neige) et des charges verticales ascendantes (vent). Elle est régulièrement suspendue le long desgénératrices de rive : les cisaillements sont donc nuls sous les cas de charge uniformes et symétriques.

La charge de neige extrême est prise égale à 60 kg/m2La charge de vent extrême est prise égale à 175 kg/m2

La traction maximale dans les câbles est donnée par :

Poids propre + neige = traction maximale

L’épaisseur minimale de béton est déterminée pour que la membrane ne se soulève jamais sous un ventextrême.

LPoids propre - vent > 0

e

m07.02500

175

2/175

=≥

≥

e

mkg e ρ

f

Vi

L’épaisseur de béton doit permettre de respecter le parfait enrobage des câbles de précontrainte.


142/160


gaineladediamètre

3

=Φ

Φ≥e

Si on utilise des câbles toronnés dont la gaine de protection à un diamètre de 7 cm environ, l’épaisseur ne peut être inférieure à 20 cm. Le poids au mètre carré est alors de 500 kg/m2. Il est supérieur à la sous pression due au vent.

La tension des câbles est, en première approche, considérée comme constante (câble surbaissé).

Rvent -T

T

.

kgf 107895

67.19238

68

8

560

)(

2

2

=

=×

=

=

×=

+=

T

m R

f

L R

RT

R N eT ρ

pe+N

En utilisant des câbles constitués de 7 torons T15 « super » de force utile (0.45 Frg) unitaire voisinede 12.5 tonnes par toron, on disposera un câble 7xT15 tous les 0.80 mètres. Ces câbles sont ancrés dansles bâtiments latéraux qui jouent le rôle de culées.

Les câbles sont adhérents au béton de la couverture. Lorsque le vent soulève la couverture, la tension

des câbles est partiellement transférée au béton ( le câble se détend, et son raccourcissement est gêné par le béton) et la variation de contrainte de compression du béton vaut :

2kgf/cm1710020

67.192175=

×

×=∆

=∆

σ

σ e

VR

Cette variation de contrainte est très faible, et très inférieure à la résistance du béton en compression.

Vent

∆P ∆P

∆σ

e>3 Φ


143/160


2 LES STRUCTURES TEXTILES

Les membranes textiles sont très anciennes, car le Colisée, à Rome (80 av. JC), était sans

doute couvert par un vélarium. Un grand nombre de projets ont été développés par Frei Otto(professeur à Yale, Berkeley et Stuttgart).

Les membranes textiles sont les plus répandues. Les textiles les plus performants sont réalisésà base de Kevlar, et les plus courants sont en PVC. Le plan de coupe, généralement réalisé parordinateur, dépend des dimensions de la structure lorsqu’elle est précontrainte. Il est doncdéduit directement du calcul de la structure déformée. L’étude de la forme est conduite pourréduire les compressions et permettre leur reprise par la précontrainte de le structure.

Ces structures sont mises en place sur des câbles de bordure, eux-mêmes reliés à desstructures métalliques. Les câbles sont généralement en acier inoxydable ou en acier galvanisé(selon le budget). Il en est de même pour les pièces d’ancrage et de réglage : platines, ridoirs,

visserie ou rivets. Un soin extrême doit être apporté dans le dessin des liaisons, avec les câbleset les charpentes pour réduire les concentrations d’efforts, et éviter une usure prématurée surles charpentes.

La résistance d’une toile PVC est d’environ 750 à 800 kg pour 5 cm. Elle est de 3000 kg pour 5cm pour une toile en Kevlar. Il est donc nécessaire de prévoir des courbures prononcées lors del’établissement du projet. Les rayons de courbure courants sont compris entre 5 à 8 m afin delimiter les tensions dans la toile. Le plan de coupe doit tenir compte des allongements de la toilesous la précontrainte.

Le tracé d’ensemble des surfaces doit être soigneusement étudié pour éviter la formation depoches d’eau.

Le problème principal des structures textiles reste tout de même leur durabilité

Classement des structures textiles :

On peut classer ces structures en 5 catégories :

1- Libres ou simples

2- Câbles de vallée

3- Arceaux rigides ou bordures rigides

4- Supports rigides ou point haut (mâts)

5- Structures gonflables

1

2

3

45


144/160


2.1 LIBRES OU SIMPLES

Elles sont soit simplement suspendues et ancrées sur des points fixes, soit précontraintes pardes câbles de lisière ancrés dans le sol.

2.2 CABLES DE VALLEE

Les points bas sont obtenus par mise en tension d’un câble de vallée, qui permet de créer unenoue. La répétition d’une surface élémentaire permet de créer des vagues successivesparallèles ou radiales. La toile est fortement précontrainte par les câbles mis en place sur les

arêtes (AB) et les noues (CD). Les rives sont tenues par des poutres ou des points hauts et bas.

A

B

C

D

Câble de retenue


145/160


2.3 ARCEAUX RIGIDES OU BORDURES RIGIDES

Les surfaces sont tendues en faîtage et en rive sur des poutres rectilignes ou des arceauxrigides non coplanaires qui permettent de donner la forme de la toile. Ces poutres de rivespeuvent être fléchies ou simplement comprimées. Elles sont souvent réalisées en treillis pourrésister aux flexions importantes engendrées par la traction de la toile. Les rives peuvent aussiêtre constituées de câbles de lisières.

2.4 SUPPORTS RIGIDES OU POINT HAUT (MATS)

Les points hauts sont donnés par des selles d’appui. La toile est tendue en rive sur des câblesde lisière.

2.5 SURFACES DE REVOLUTION

Elles sont supportées soit par un mât (axe), soit par des arceaux : les formes obtenues sont deshyperboloïdes de révolution, complets ou partiels.

Selle d’appui


146/160


Portion de cylindre dont la génératrice est une hyperbole

2.6 PARAPLUIES

Ces toiles sont montées sur des ossatures rayonnantes, simples ou articulées. La stabilitéhorizontale est donnée par la répétition des formes ou l’accroche sur des parois en rive.

2.7 CARACTERISTIQUES DES TEXTILES PVC

Le type correspond au grammage du tissu. CH et TR signifient dans le sens de la trame et de lachaîne.

type RésistancemoyennekN/5cm

Grammage>g/m2

AdhérencekN/5cm

Largeur desoudure>cm

Tenue dessouduresà 65°ckN/5cm

Réactionau feu

CH 3.0 CH 2.61

TR 3.0

720 0.1 3

TR 2.6

M2

CH 4.2 CH 3.32

TR 4.0

1000 0.12 4

TR 3.3

M2

CH 5.5 CH 3.63TR 5.2

1200 0.12 5TR 3.6

M2

CH 5.0 CH 4.54

TR 6.5

1400 0.12 6

TR 4.5

M2

CH 8.0 CH 55

TR 8.5

2000 0.12 8

TR 5

M2

Coefficient de sécurité : Il est pris égale à 4 en pleine toile et 5 dans les zones de couture ou desoudure

Rayons maximaux : ils sont obligatoirement inférieurs à 70 m et couramment compris entre 5 et15 m

toilearticulation


147/160


Pente minimale : elle est de 20% pour assurer un bon écoulement des eaux de pluie

Rayon des câbles de bordure : ces rayons ne doivent pas être supérieurs à 25 m

Cas de charge :

Poids propre + neige + précontrainte

Poids propre + vent + précontrainte

Le cas de rupture d’un élément de toile doit être examiné si la toile participe à la stabilitéd’ensemble de la construction.

Exemp le du Stade de Tou lou se (P Ferret, F Cardete et G Huet - arch itectes – Setec T.P.I.

s tructu res) :

Le Stadium de Toulouse

Il s’agit d’une couverture en toile tendue, montée sur des arceaux parallèles espacés de 12 m, et prenantappui sur des consoles métalliques de 36 m.Pour que la structure soit stable tant au vent ( force dirigée vers le haut) qu’à la neige

Calculs de charpente métallique CM66

Documents

Transcript of Calculs de charpente métallique CM66