Calcul Scientifique pour les Sciences de lIngénieur Bruno Koobus Franck Nicoud.

Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Bruno KoobusFranck Nicoud

Organisation du moduleDate

Horaire

Intervenant Lieu Séance

12/03/09

9h-12h

F. Nicoud Bat. 16 TD 02

Cours 1

19/03/09

9h-12h


Cours 2

23/03/09

9h-12h


Cours 3

25/03/09

8h-11hB. Koobus Bat. 9

TD 32Cours 4

30/03/09


TD 33Cours 5

02/04/09


A préciserCours 6

MD "Calcul Scientifique" 3

Trois familles de méthodes• Éléments finis (B.

Koobus)

• Volume finis (non abordés dans ce module)

• Méthodes aux différences finies (F. Nicoud)


Eléments finis en quelques mots• A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP

sous la forme

• Les fonctions forment une base de l’espace de dimension N dans lequel on cherche à approximer la ‘vraie’ solution f par fh.

• Les coefficients fi sont déterminés en imposant à fh d’être la meilleure approximation de f dans l’espace de dimension N choisi.

N

iiih xfxf

1

)()(

)(xi


Éléments finis en quelques mots• Un choix classique est de prendre linéaire par

morceaux et égale à 1 au nœud i du maillage, nulle partout ailleurs

)(xi

Linéaire

1 0

Nulle


Éléments finis en quelques mots• On cherche à résoudre E(f)=0

• Avec l’approximation on commet une erreur E(fh)

• La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme

• N équations, N inconnues …

N

iiih xfxf

1

)()(

)(xi

0)()(,,...,2,11

xdxfExNkN

iiik

0:ex

K

f


Volumes finis en quelques mots• Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type

• On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence

• Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit

0)(

fFdivt

f

iVk

kkk

ni

ni

i dSnFt

ffV

de faces

1

iV1n

if


Volumes finis en quelques mots• Les flux sur les faces de sont calculés à partir des

valeur de f dans les cellules voisines

iV

iVk

kkk

ni

ni

i dSnFt

ffV

de faces

1

iV

1n

2n

3n


Différences finies• Contrairement aux éléments et volumes finis, cette

technique n’est pas adaptée aux maillages non cartésiens

• Mais elle est très intuitive

• En 1D, les trois méthodes sont équivalentes

• Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux différentes méthodes


Différences finies• L’idée est de remplacer les dérivées partielles

aux points de maillage par des développement de Taylor

• Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit fi=f(xi)

i 1i 2i1i2i3i x

ixx

1ix 2ix1ix2ix3ix


DERIVEES PREMIERES


Dérivées premières• Développement de Taylor au nœud i:

• Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

i 1i 2i1i2i3i x

212

221

11 2 ii

x

ii

xiiii xxo

dx

fdxx

dx

dfxxff

ii

212

221

11 2 ii

x

ii

xiiii xxo

dx

fdxx

dx

dfxxff

ii


• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i 1i 2i1i2i3i x

x

22

22

1 2xo

dx

fdx

dx

dfxff

ii xxii

22

22

1 2xo

dx

fdx

dx

dfxff

ii xxii

211 020 xo

dx

dfxff

ixii

Dérivées premières


• Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par

• Erreur d’approximation est• Schéma centré d’ordre 2

x

fffD

dx

df iii

xi

2110

1

)( xo



• On peut manipuler les développements limités pour obtenir d’autres approximations de la dérivée première

•

•

)1(11 o

x

fffD

dx

df iii

xi


)1(11 o

x

fffD

dx

df iii

xi


Maillage non uniforme• Développement de Taylor au nœud i:

i 1i 2i1i2i3i x

212

221

11 2 ii

x

ii

xiiii xxo

dx

fdxx

dx

dfxxff

ii

212

221

11 2 ii

x

ii

xiiii xxo

dx

fdxx

dx

dfxxff

ii

11 iii xx iii xx 1


Maillage non uniforme• Développement de Taylor au nœud i:

i 1i 2i1i2i3i x

212

221

11 2

i

x

i

xiii o

dx

fd

dx

dfff

ii

2

2

22

1 2 i

x

i

xiii o

dx

fd

dx

dfff

ii

2

1i

2i

2211

221

2211

21

21 ii

xiiiiiiiiiii odx

dffff

i

offf

dx

df

iiii

iiiiiii

xi 11

1222

112

1


• Maillage régulier

• En conservant plus de termes dans les développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants

•

•

)(12

88 32112 xox

ffff

dx

df iiii

xi

Ordres plus élevés

)(60

945459 5321123 xox

ffffff

dx

df iiiiii

xi


• ordre 1 aval

• ordre 1 amont

• ordre 2 aval

• ordre 2 amont

Formules décentrées

)1(1 ox

ff

dx

df ii

xi

)(2

34 12 xox

fff

dx

df iii

xi

)(2

34 12 xox

fff

dx

df iii

xi

)1(1 ox

ff

dx

df ii

xi


• Problème modèle 1D: Eq. de convection

• Conditions limites et initiale:

Comparaison des schémas

m/s1,m8m2,0 00

Uxx

fU

t

f

m2.0,4/exp)0,( 22 aaxxf 0),8(),2( tftf

s0t s5t


Exemple de résolution analytique

• Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

2

2

0 y

CD

x

CU

t

C

?),( txC

0),(lim

txCx

0U

)()0,( 0 xCxC


Exemple de résolution analytique• Si la concentration est initialement de la

forme on peut obtenir la solution analytique …

Dta

tUx

Dta

aCtxC

2

20

2

2

0 4exp),(

2200 4/exp)()0,( axCxCxC


Exemple de résolution analytique• Effet de la diffusion

D

aU 0Re

Re

20Re

200Re

2Re


• Équation semi-discrète

• On calcule les fi entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas

Test numérique

iDfUdt

dfi

i ,00

010

x

ffU

dt

df iii 02

110

x

ffU

dt

df iii

i 1i 2i1i2i3i x

ifx

1if 2if1if2if3if

amont ordre 1 centré ordre 2


Test numérique

amont ordre 1

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds


Ordre 2 centré / Ordre 1 amont

• Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2)

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit

• Ordre 2 meilleur que ordre 1


Test numérique

avalordre 1

centré ordre 2



Ordre 2 centré / Ordre 1 aval

• Ordre 1 aval ne permet pas d’obtenir de solution « acceptable » à t=5

• L’amplitude obtenue est très grande

• Le signal n’est pas la forme d’une Gaussienne


Test numérique

centré ordre 4

centré ordre 2



Ordre 2 centré / Ordre 4 centré

• Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 4 meilleur que ordre 2


Test numérique

amont ordre 2

centré ordre 2



Ordre 2 centré / Ordre 2 amont

• Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points

• Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière

• Ordre 2 amont amortit plus le signal

• L’ordre ne dit pas tout sur un schéma …


Consistance/convergence/stabilité

• Tous les schémas testés sont consistants (ordre strictement supérieur à 0)

• Presque tous sont stables (solution bornée), à part le schéma aval d’ordre 1

• Le théorème d’équivalence de Lax permet alors d’assurer que mis à part le schéma aval d’ordre 1, tous les schémas testés sont convergents


ANALYSE SPECTRALE


Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2

• L’erreur commise est

)exp(Re)exp(Re)( jkxjkdx

dfjkxxf

x

ff

dx

dfxjkif ii

xi

i

2,)exp(Re 11

)exp()sin(

Re xjkixk

xkjk

dx

df

ix

xk

xk

)sin(


Signification de kx

• Sinusoïde de période L décrite avec N points

• x = L / N, k = 2/L donc kx = 2/ N

(exact)0xk

4

xk

2

xk xk


Analyse spectrale• Tout se passe comme si on résolvait l’équation

• Les différentes longueurs d’onde ne se déplacent pas à la même vitesse

0)sin(

0

x

f

xk

xkU

t

f

centréordre 2

exact


Analyse spectrale• Équation effective 0)(0

x

fxkEU

t

f

SCHEMA

Centré ordre 2

Amont ordre 1

Amont ordre 2

Centré ordre 4

)(Re xkE )(Im xkE

0

0

xk

xk

)sin(

xk

xk

)sin(

xk

xk

1)cos(

)cos(2)sin(

xkxk

xk

xk

xkxk

3)cos(4)2cos(

)cos(43

)sin(xk

xk

xk


Analyse spectrale


Lien avec l’ordre du schéma• Dans la limite kx → 0, la vitesse de propagation tend vers U0

• La vitesse avec laquelle l’erreur tend vers zéro dépend de l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Re(E(kx)) = 1+O((kx)n), avec n l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Im(E(kx)) = O((kx)n), avec n l’ordre du schéma

• Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(kx)) = 0

• Les schémas stables sont tels que: Im(E(kx)) ≤ 0


Dispersion• La vitesse de propagation effective n’est égale à la vitesse

théorique que dans la limite kx → 0

• Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite

• Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général

• Que se passe-t-il lorsque l’on convecte ?)(xf

jkxe ',' kke xjk


Déformation du signal• On peut décomposer cette fonction comme une somme de

fonctions harmoniques (en rendant f périodique éventuellement)

• La solution théorique après t s de simulation est

• Numériquement le mode devient

• La solution numérique est donc

jkxkefxf ˆ)(

)(0

0ˆ)( tUxjkkeftUxf

))(( 0tUxkExjke jkxe

)(ˆ)( 0)(

00

0))(1(

tUxfegtUxg tUxjk

e

k

tUxkEjk


DERIVEES SECONDES


• Maillage régulier

• On utilise le fait que

• En appliquant l’opérateur à

Dérivées secondes

)(2

1011

010

1012

2

xox

fDfDfDD

dx

fd iii

xi

ii xxdx

df

dx

d

dx

fd

2

2

ifD01

01D

)(4

22

222,022

2

xox

ffffD

dx

fd iiii

xi



i 1i 2i1i2i3i x

x

Problème de localité

222

2

2

4

2

x

fff

dx

fd iii

xi

x

La dérivée seconde approximée de cette fonction est nulle !!


• Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor

i 1i 2i1i2i3i x

33

33

2

22

1 62xo

dx

fdx

dx

fdx

dx

dfxff

iii xxxii

33

33

2

22

1 62xo

dx

fdx

dx

fdx

dx

dfxff

iii xxxii

Dérivées secondes

)(2

2111,0

22

2

xox

ffffD

dx

fd iiii

xi



i 1i 2i1i2i3i x

x

Problème de localité

211

2

2

x

fff

dx

fd iii

xi

x

La dérivée seconde approximée de cette fonction est non nulle, mais pas infinie …


Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2 à 2


)exp(Re)exp(Re)( 22

2

jkxkdx

fdjkxxf

2

112

2 2,)exp(Re

x

fff

dx

fdxjkif iii

x

i

i

)exp(1)cos(

2Re22

2

xjkix

xk

dx

fd

ix

22

)cos(12

xk

xk


Analyse spectrale

• Schéma centré d’ordre 2 à 4


2

222

2

4

2,)exp(Re

x

fff

dx

fdxjkif iii

x

i

i

)exp(1)2cos(

2

1Re

22

2

xjkix

xk

dx

fd

ix

222

)2cos(1

xk

xk


Analyse spectrale

• Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique

2

4



• Utile pour les coefficients de diffusivité variables

i 1i 2i1i2i3i x

Interprétation volumes finis

211

2

2 22/12/1

x

fff

x

dxdf

dxdf

dx

fd iiixx

x

ii

i


Retour sur le schéma amont ordre 1

• Rappel: ce schéma introduit beaucoup de dissipation par comparaison avec le centré d’ordre 2

• En effet:

• Utiliser ce schéma revient donc à résoudre

avec un schéma centré d’ordre 2

211111 2

22 x

fffx

x

ff

x

ff iiiiiii

2

20

0 2 x

fxU

x

fU

t

f

D


i 1i 2i1i2i3i x

Laplacien

),(22

2

1,,1,

2

,1,,1 yxoy

fff

x

ffff jijijijijiji

xi

j

1j

2j

1j

2jx

y

December, 2007 VKI Lecture 54

Another consequence of dispersion

• In practical computations, the solution may be polluted by high frequency numerical perturbations

• In practice, the numerical perturbations are not single harmonics

• Consider a simple wave packet :

KkjKxjkxxf ,)exp(Re)(

x

2/K

2/k


Group velocity• Solve the 1D convection equation numerically, viz.

• With k<<K:

0)(0

x

fxKkEU

t

f txKkEUxKkjf )()(exp 0

)()( xKdK

dEkxKExKkE

txK

dK

dKEU

txKdK

dEKUtxKEUxktxKEUxKtxKkEUxKk

)(

0000

0

)()(

Group velocity


Group velocitySCHEME

2nd order centered

4th order centered

)( xKE

xK

xK

)sin(

)cos(43

)sin(xK

xK

xK

dK

dKEUVg 0

)cos(0 xKU

)2cos()cos(43

0 xKxKU

0/UVg

Wiggles can propagate upstream !

The more accurate the scheme,the largest the group velocity, the smallest the dissipation of artificial waves …

2nd

4th


Numerical test

t=2

t=4

Smooth wave Wave packet

xx xx

2nd order 2nd order 4th order4th order

0

x

f

t

f


Numerical test• 1D convection equation (D=0)

• Initial and boundary conditions:

m/s1,m8m8,0 00

Uxx

fU

t

f

0),8( tf Zero order extrapolation

m2.0,4/exp)0,( 22 aaxxf


Numerical test 0

x

f

t

f

t=3

t=6

t=9

t=12

t=15

t=18

t=21

t=24

t=27


INTEGRATION TEMPORELLE


Schéma en temps• La solution est évaluée en une succession de temps

discrets

• Le pas de temps t est le plus souvent constant

• Itération n: passer de tn à tn+1

),( nini txff

tntxix ni


Différences finies• Même démarche que pour les dérivées en espace:

développements de Taylor en temps• Euler explicite:

• Euler implicite:

)1(1

ot

ff

t

f nnn

)1(1

ot

ff

t

f nnn


Equation semi-discrète• Problème aux valeurs initiales:

• Algorithme exact

• Comment estimer l’intégrale de K ?

00 )(),,( ftftfKdt

df

11

),(1

n

n

n

n

t

t

nt

t

nn dttfKfdtdt

dfff


Intégrations classiques en temps• Crank-Nicolson:

• Adams-Bashforth

• Runge-Kutta d’ordre p

nnnn fKfKt

ff

11

2

p

k

n

knn f

k

Ktf

0

1

!

11 32

nnnn fKfKt

ff


Intégration en temps • Méthode à un pas:

• Méthode d’ordre p si:

),,(1 ttftff nnnn

pnnnn

tOttft

ff

),,(1


Augmentation de l’ordre • Il suffit de prendre un développement de Taylor plus

grand …

• Et de définir comme

)(!

...2

2

2

21 p

p

p

pnn to

p

t

dt

fdt

dt

fdt

dt

dfff

),,( ttf nn

...6

)(

2),,(

22

tKKKKKKKKKKK

tKKKKttf

nff

nntf

nf

nt

nf

nnnft

ntt

nnf

nt

nnn


Passage pratique à l’ordre 2 • Plutôt que d’estimer des dérivées d’ordre élevées, il est

préférable de mieux choisir les endroits où on évalue K• On part de

• Par identification jusqu’à l’ordre 1 inclus

),(),(),,( 21 tttfKAtfKAttfnK

nnnn

nfnt

nnnf

nt

n KtKtAKAAt

KKKK

221 )(2

122

121 AA

K n


Runge-Kutta d’ordre 2 • Schéma à deux « étapes » (A1=0, A2=1):

21

12

1

2,

2

),(

ktff

tt

tkfKk

tfKk

nn

nn

nn


Passage pratique à l’ordre p • On part de

• Par identification on obtient les coefficients qui permettent d’obtenir l’ordre p

tttkfKk

tttkfKk

tfKk

in

i

jijj

ni

nn

nn

,

...

,

),(

1

1

22112

1

p

jjj

nn kAttf1

),,(


Passage pratique à l’ordre p • Nombre de coefficients à fixer:

• Système non-linéaire sous déterminé

12

)1(22/)1(

01 1

ppp

pA

pp

p

i

ij

i


Runge-Kutta ordre 4 • Problème aux valeurs initiales:

43211 22

6kkkk

tff nn

tttkfKk

ttk

tfKk

ttk

tfKk

tfKk

nn

nn

nn

nn

,

2,

2

2,

2

),(

34

23

12

1


ANALYSE SPECTRALE


Facteur d’amplification• Forme de la solution

• Comment l’amplitude d’une perturbation de nombre d’onde k évolue-t-elle en temps ?

jkxetftxf )(ˆ),(

ijkxnnini efftxf ˆ),(

nn fAf ˆˆˆ 1


Stabilité Von Neumann• On s’intéresse désormais à l’équation complètement

discrétisée, y compris pour le terme temporel

• signal amorti

• exact

• instabilité

:1ˆ A

:1ˆ A

:1ˆ A


Exemple 1• Convection pure:

• Schéma centré ordre 2 en espace

• Euler explicite en temps

00

x

fU

t

f

x

fftUff

ni

nin

ini

211

01


Exemple 1 - suite• Pour une perturbation du type

• Ce schéma est (inconditionnellement) instable

)sin(1ˆ 0 xkx

tUjA

ijkxnni eff ˆ

1ˆ: Ak


Exemple 2• Décentré amont d’ordre 1 en espace• Euler explicite en temps

• Ce schéma est (conditionnellement) stable

x

fftUff

ni

nin

ini

1

01

)sin()cos(11ˆ 0 xkjxkx

tUA

1,1ˆ 0

x

tUCFLkA


Exemple 3• Centré ordre 2 en espace• Runge-Kutta d’ordre 2 en temps

• Ce schéma est inconditionnellement instable

1)2cos(

4)sin(1ˆ

2

xkCFL

xkjCFLA

xx

ff

x

fftU

x

fftUff

ni

ni

ni

ni

ni

nin

ini

222

22

2222

0110

1


Exemple 3 - suite• Centré ordre 2 en espace• Runge-Kutta d’ordre 2 en temps

• Ce schéma est inconditionnellement instable

3

0 !

ˆˆ

k

kk

k

KtA

x

xkjU

ef

efKK

i

i

jkxn

jkxn

)sin(

ˆ

ˆˆ

0 x

fUfK

0


Exemple 4• Centré ordre 2 en espace• Runge-Kutta d’ordre 3 en temps

• Ce schéma est conditionnellement stable

73.1,1ˆ CFLkA

8.1CFL

3

0 !

ˆˆ

k

kk

k

KtA

x

xkjUK

)sin(ˆ

0


• Centré ordre 2 en espace• Runge-Kutta d’ordre 4 en temps


Exemple 5

82.2,1ˆ CFLkA

8.1CFL

4

0 !

ˆˆ

k

kk

k

KtA

x

xkjUK

)sin(ˆ

0


Exemple 6• Diffusion pure:

• Schéma centré ordre 2 en espace

• Euler explicite en temps

2

2

x

fD

t

f

2111 2

x

ffftDff

ni

ni

nin

ini


Exemple 6 - suite• Pour une perturbation du type


1)cos(2

1ˆ2

xkx

tDA

ijkxnni eff ˆ

5.0,1ˆ2

x

tDFkA o


Zone de stabilité• Dans le cas général d’une équation linéaire

• On définit l’opérateur associé à K

• Le schéma induit une équation du type

p

k

kk

k

KtAKtPA

0 !

ˆˆ:ex,ˆˆ

i

i

jkxn

jkxn

ef

efKK

ˆ

ˆˆ

),( tfKdt

df


Zone de stabilité• On trace la courbe dans le plan complexe 1ˆ A

KtKt ˆ,ˆ

RK1 RK2

RK3 RK4


Zone de stabilité• Le schéma complet est stable ssi la trajectoire de

est contenue dans la zone de stabilité Kt ˆ

RK1

RK2

RK3

RK4)sin(ˆ xkjCFLKt

1)cos(2ˆ xkFKt o

82.2CFL

2

1oF

Convection pure

Diffusion pure


Effet de l’ordre

RK1

RK2

RK3

RK4

)sin(ˆ xkjCFLKt

82.2CFL

Convection pure ordre 2


)2sin(

)sin(8

6ˆ

xk

xkCFLjKt

05.2CFL


)3sin()2sin(9)sin(4530

ˆ xkxkxkCFLjKt

77.1CFL

82.2ˆ Kt


Stabilizing computations


Non linear stability• Ensuring the linear stability is sometimes not enough,

especially when performing LES or DNS of turbulent flows

• Recall the budget of TKE in isotropic turbulence

• So in the inviscid limit, in absence of external forcing, the TKE should be conserved

• Most of the numerical schemes do not meet this property

raten dissipatio TKE :

22

2

2/

i

j

j

ii

x

u

x

u

dt

ud


A 1D model example

• Consider the 1D Burgers equation in a L-periodic domain

• Multiply by u, integrate over space:

02

x

u

t

u

dxdt

udL

x0

2

,02

02

0

22

I

L

xdx

x

uu

dt

ud 03

22 0

3

0

2

0

2

L

x

L

x

L

xudx

x

uudx

x

uuI


Numerical test• Solve the Burgers equation in a 1D periodic domain with

random initialization

• Use a small time step to minimize the error due to time integration (RK4)

• Plot TKE versus time for different schemes

– Upwind biased

– Centered, divergence form

– Centered, advective form x

uuu

x

u iii

22 11

2

x

uu

x

u ii

2

21

21

2

x

uu

x

u ii

21

22


Upwind biased

Divergence form

Advective form

div

iteration

0

2

2

logt

u

u

adv

upwind

Expected behavior

Numerical test

x

uuu

x

u iii

22 11

2

x

uu

x

u ii

2

21

21

2

x

uu

x

u ii

21

22


iteration

Numerical test

Centered, hybrid form:

x

uu

x

uuu

x

u iiiii 2

22

23

1 21

2111

2

div

adv

upwind

1/3adv+2/3div

0

2

2

logt

u

u

Expected behaviorobtained

by mixing adv and div


Explanation

2: node

21

21

2

ii

i

uuudx

x

uui

2:1 node

222

1

2ii

i

uuudx

x

uui

2:2 node

21

23

2

2

iii

uuudx

x

uui

222

21

2211

221 iiiiiiii uuuuuuuu

11222: node

iii uuudxx

uui

iii uuudxx

uui

22

122:1 node

132

222:2 node

iii uuudxx

uui

2

2122

12

112

iiiiiiii uuuuuuuu

Divergence form Advective form

For 2 x Divergence form + Advective form, the sum is zero …

x

uu

x

uuu

x

u iiiii 2

22

23

1 21

2111

2


Generalization to Navier-Stokes• The same strategy can be applied to Navier-Stokes, • The convection term are then discretized under the

skew-symmetric form

j

ij

j

ji

x

uu

x

uu

2

1

CFL

<Ko-

K>/<

Ko>

LxL periodic domain

Random initial velocity

Error in TKE at time L/Ko1/2

t3 behavior

Conservative mixed scheme(Divergence form unstable)

Calcul Scientifique pour les Sciences de lIngénieur Bruno Koobus Franck Nicoud.

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