Calcul fractionnaire - Soutien

$: Calcul fractionnaire - Soutien$
ADDITION ET SOUSTRACTION DE

� ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS Coupons un gâteau en 8 parts identiquess'appelle un huitième de gâteau. Comment effectuer l'opération suivante

8

3

8

2 +

Les parts étant identiques, si nous ajoutons deux parts de gâteau et trois part de gâteau, nous

obtenons cinq parts de gâteau ( soit cinq huitièmes de gâteau :

� Problème : Et si les parts ne sont pas identiques ?

Soit à effectuer l'opération suivante :

THEME

CALCUL FRACTIONNAIRE

SOUTIEN

=

8

2

ADDITION ET SOUSTRACTION DE

ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS

identiques. Chaque part

Comment effectuer l'opération suivante ?


obtenons cinq parts de gâteau ( soit cinq huitièmes de gâteau : 8

5 )

Et si les parts ne sont pas identiques ?

l'opération suivante :

THEME :


SOUTIEN

+

ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS



83

85

3

2

Les parts des gâteaux ne sont pas les mêmes ! Certaines parts sont des tiers et les autres des demis. Il est vrai que nous obtenons au total 3 parts, mais avec des morceaux différents. Ce n'est pas satisfaisant.

Une idée ! Si nous partagions le premier gâteau en parts plus petites ( en sixièmes ) C'est possible. Il suffit de recouper chaque part en deux !Et si nous partagions le deuxième gâteau également en découpant chaque part en trois.En partageant ainsi les deux gâteaux, nous obtenons alors des parts identiques( des sixièmes )!

Remarquons que 6 est un multiple de 3 et un multiple de 2 ( c'estdu 2.

2

1

3

2 +

Les parts des gâteaux ne sont pas les mêmes ! Certaines parts sont des tiers et les autres des demis. Il est vrai que nous obtenons au total 3 parts, mais avec des morceaux différents. Ce n'est pas

Une idée ! Si nous partagions le premier gâteau en parts plus petites ( en sixièmes ) C'est possible. Il suffit de recouper chaque part en deux ! Et si nous partagions le deuxième gâteau également en sixièmes. découpant chaque part en trois. En partageant ainsi les deux gâteaux, nous obtenons alors des parts identiques

6 est un multiple de 3 et un multiple de 2 ( c'est-à-dire que 6 est dans la table du 3 et

Les parts des gâteaux ne sont pas les mêmes ! Certaines parts sont des tiers et les autres des demis. Il est vrai que nous obtenons au total 3 parts, mais avec des morceaux différents. Ce n'est pas

Une idée ! Si nous partagions le premier gâteau en parts plus petites ( en sixièmes )

sixièmes. C'est possible en

En partageant ainsi les deux gâteaux, nous obtenons alors des parts identiques

dire que 6 est dans la table du 3 et

Attention, si nous prenions au départ

même quantité de gâteau nous devons maintenant en prendre

second gâteau, pour avoir la même part, nous devons en prendre maintenant

6

4

2 3

2 2

3

2 =××= et

2

1

2

1 =

Nous obtenons alors ( les parts sont identiques ) 7 parts

fractionnaire : 6

7

� Méthode : Dans une addition ( ou une soustraction ), ldénominateurs différents nous devons d'abord ldénominateur avant d'effectuer l'opération

Nous écrirons alors :

2 3

2 2

2

1

3

2

××=+

ttention, si nous prenions au départ 3

2du premier gâteau, nous nous apercevons que pour avoir la

même quantité de gâteau nous devons maintenant en prendre 6

4. De même, comme nous prenions

second gâteau, pour avoir la même part, nous devons en prendre maintenant 6

3

6

3

3 2

3 =××

Nous obtenons alors ( les parts sont identiques ) 7 parts, appelées des sixièmes, soit en écriture

Méthode :

une addition ( ou une soustraction ), lorsque les fractions ont des différents nous devons d'abord les réduire au même

avant d'effectuer l'opération.

6

7

6

3 4

6

3

6

4

3 2

3 1

2

2 =+=+=××+

+

Nous pouvons multiplier numérateur et dénominateur d'une fraction par un même

nombre ( non nul ) sans changer la valeur de cette fraction.

du premier gâteau, nous nous apercevons que pour avoir la

De même, comme nous prenions 2

1 du

appelées des sixièmes, soit en écriture

orsque les fractions ont des es réduire au même

Nous pouvons multiplier numérateur et dénominateur d'une fraction par un même

nombre ( non nul ) sans changer la valeur de cette fraction.

Ou plus rapidement : 3

2 +

Exemples : � Calcul de

3

2

4

3 +

Intéressons nous uniquement aux dénominateurs. Ils sont égaux à 4 et 3 et sont donc différents.Nous ne pouvons donc pas effectuer au même dénominateur". Afin d'obtenir ce dénominateur commun, nous devons chercher un multiple commun de 4 et 3, soit plus simplement, nous devons chercher, dans les tables de multiplication de 4 et de 3( le plus petit possible afin d'éviter de trop gros calculs dans la suite )

Attention : Nous devons multiplier dénominateur

déterminé.

Nous avons alors : 4

3

3

2

4

3 =+

� Calcul de 3

42 +

La difficulté vient ici, non pas de la fraction, mais du nombre ( simple ) 2. Nous savons additionner des fractions. Nous allons donc changer l'écriture du nombre entier 2. L'écriture fractionnaire est le résultat d'une division.résultat ? Il en existe en vérité une infinité. Par exemple :

4 : 2 = 2 Nous pouvons donc remplacer 2 par la fraction




6

7

6

3

6

4

2

1 =+=

Intéressons nous uniquement aux dénominateurs. Ils sont égaux à 4 et 3 et sont donc différents.Nous ne pouvons donc pas effectuer ( immédiatement ) l'opération. Il faut ( les fractions ) les " réduire

Afin d'obtenir ce dénominateur commun, nous devons chercher un multiple commun de 4 et 3, soit plus ercher, dans les tables de multiplication de 4 et de 3

( le plus petit possible afin d'éviter de trop gros calculs dans la suite ).

"12" figure dans les deux tables un multiple commun à 3 et 4 ; c'est

Le dénominateur commun aux deux fractions sera donc 12

34

33

3

2

4

3 +××=+

Attention : Nous devons multiplier dénominateur et numérateur par le nombre

12

17

12

89

12

8

12

9

43

42

34

33 =+=+=××+

××

( ou

La difficulté vient ici, non pas de la fraction, mais du nombre ( simple ) 2. Nous savons additionner des fractions. Nous allons donc changer l'écriture du nombre entier 2. L'écriture fractionnaire est le résultat d'une division. Existe t'il une division donnant 2 comme

? Il en existe en vérité une infinité. Par exemple :

4 : 2 = 2 Nous pouvons donc remplacer 2 par la fraction 2

4


6


8


248

3× 4×

Intéressons nous uniquement aux dénominateurs. Ils sont égaux à 4 et 3 et sont donc différents. l'opération. Il faut ( les fractions ) les " réduire

Afin d'obtenir ce dénominateur commun, nous devons chercher un multiple commun de 4 et 3, soit plus ercher, dans les tables de multiplication de 4 et de 3, un nombre commun

figure dans les deux tables ( nous dirons que 12 est

un multiple commun à 3 et 4 ; c'est d'ailleurs le plus petit ).

Le dénominateur commun aux deux fractions sera donc

43

42

××

numérateur par le nombre

( ou 12

17

12

8

12

9

3

2

4

3 =+=+ )

La difficulté vient ici, non pas de la fraction, mais du nombre ( simple ) 2. Nous savons additionner des

donnant 2 comme

4

Etc… ...124

248

4

8

3

6

2

4 2 =====

Mais il existe une division très simple donnant comme résultat 2. C'est 1

2

Remarque : Tout nombre entier est le résultat ( quotient ) de la division de ce nombre par 1.

Si a est un nombre entier, nous avons 1

a a =

Par exemple : 1

47 47 = ;

1

1 1 = ;

1

3 - 3 - =

Remarque : De même ( nombre décimal non entier )

10

6 0,6 = ;

10

37 3,7 = ;

100

429 4,29 = ;

1000

67 0,067 =

Revenons à notre calcul.

Nous avons : 3

4

1

2

3

42 +=+

Les dénominateurs ( 1 et 4 ) étant différents, nous devons réduire ces deux fractions au même dénominateur. Cherchons dans la table du 1 ( !!! ) et dans la table du 3 , un multiple commun.

La table du 1 contenant tous les nombres entiers, nous constatons que 3 est un multiple commun. Ce sera donc le dénominateur commun aux deux fractions. La seconde fraction étant déjà en tiers ( dénominateur

égal à 3 ), il n'y a rien à faire !

3

4

31

32

3

4

1

2

3

42 +

××=+=+

Nous avons donc :

3

10

3

46

3

4

3

6

3

4

31

32

3

4

1

2

3

42 =+=+=+

××=+=+ ( ou

3

10

3

4

3

6

3

4

1

2

3

42 =+=+=+ )

� Calcul de 8

3

4

1 −

La soustraction se traite comme l'addition. Les dénominateurs étant différents, nous devons réduire les deux fractions au même dénominateur. Le plus petit multiple commun à 4 et 8 est 8 ( 8 = 4 x 2 et 8 = 8 x 1 ). Nous avons donc :

8

1

8

1 -

8

32

8

3

8

2

8

3

24

21

8

3

4

1 −==−=−=−××=−

� Calcul de 3

2

2

1 −−

Attention au signe "-". Nous avons :

6

7 -

6

7 -

6

4 - 3 -

6

4 -

6

3 -

23

22 -

32

31

3

2 -

2

1 - ====

××

××−=

3× Rien (ou x 1)

� MULTIPLICATION ET DIVISION

MULTIPLICATION Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Avant d’effectuer ces deux opérations, il est

rechercher une simplification.

DIVISION Diviser par une fraction, c’est

b

a :

Remarque : Pas de réduction au même dénominateur

division.

Remarque : Il y a, pour l'instant, en Mathématiques, deux opérations ( ou deux familles d'opérations )

• L'addition • La multiplication

Dans la famille addition, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une addition déguisée sur les relatifs ) qui s'appelle la soustraction. Alors que l'addition est l'opération "gentille", la soustraction est l'opération "embêtante" de la Dans la famille multiplication, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une multiplication déguisée – voir cours sur les fractions ) qui s'appelle la division. Alors que la multiplication est l'opération "gentille", la division est l'opération "embêtante" de la famille.

Pas de problème(s) lorsque les opérations appartiennent à la même famille.

Mais attention. "familles", il faudra suivre certaines

MULTIPLICATION ET DIVISION DES FRACTIONS

MULTIPLICATION Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les

dénominateurs entre eux. Avant d’effectuer ces deux opérations, il est

d b

c a

d

c

b

a

××=×

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.

c b

d a

c

d

b

a

d

c

××=×=:

de réduction au même dénominateur pour effectuer une multiplication ou une

Il y a, pour l'instant, en Mathématiques, deux opérations ( ou deux familles d'opérations )

Dans la famille addition, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une addition déguisée sur les relatifs ) qui s'appelle la soustraction. Alors que l'addition est l'opération "gentille", la soustraction est l'opération "embêtante" de la famille.

Dans la famille multiplication, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une multiplication déguisée ) qui s'appelle la division. Alors que la multiplication est l'opération

ation "embêtante" de la famille. Pas de problème(s) lorsque les opérations appartiennent à la même famille.

Mais attention. Si un calcul comporte des opérations venant des deux

, il faudra suivre certaines règles et certaines priorités

d

c

b

a :

DES FRACTIONS

Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Avant d’effectuer ces deux opérations, il est souhaitable de

pour effectuer une multiplication ou une

Il y a, pour l'instant, en Mathématiques, deux opérations ( ou deux familles d'opérations )

Dans la famille addition, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une addition déguisée – voir cours

sur les relatifs ) qui s'appelle la soustraction. Alors que l'addition est l'opération "gentille", la

Dans la famille multiplication, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une multiplication déguisée ) qui s'appelle la division. Alors que la multiplication est l'opération

Pas de problème(s) lorsque les opérations appartiennent à la même famille.

Si un calcul comporte des opérations venant des deux

priorités.

d

cb

a

également note se

Dans l'expression 3

2

4

3 + ,il y a une addition et deux divisions ( les fractions ). Ce mélange d'opérations

provenant des deux familles, pose problème. Il est vrai que l'addition n'est pas directe. Il faut tout

d'abord réduire au même dénominateur !

Par contre dans l'expression3

7

5

2 × , il y a une multiplication et deux divisions ( les fractions) . Nous

restons dans la même famille. Il a très peu ( ou pas ) de problèmes.


3

7

5

2 ×

Nous avons : 15

14

35

72

3

7

5

2 =××=×

� Calcul de 9

8

4

3 ×

Nous avons : 3

2

334

243

94

83

9

8

4

3 =×/××/×/

=××=×

�Remarque : Surtout, ne pas effectuer avant une tentative de simplification

� Calcul de 247

2

3

247 ×

Nous avons : 3

2

2473

2247

247

2

3

247 =×

×=×

� Calcul de 325

14

28

20 ××

Nous avons : 5

6

15

32

15574

37254

12528

31420

1

3

25

14

28

203

25

14

28

20 =××=

××/×××///××/×=

××××=××=××

� Calcul de )8

15(-

5

4 ×

Nous avons : 8

15

5

4-)

8

15(-

5

4 ×=× 2

3-

245

534-

85

154- =

××××=

××=

� Calcul de 9

4:

3

2

Nous avons : 2

3

223

332

43

92

4

9

3

2

9

4:

3

2 =×/×××/

=××=×=

1ère étape : Le signe

(règle des signes ) 2ème étape : Le calcul Ne pas oublier le signe à

chaque étape

� Calcul de 2:3

4

Nous avons : 1

2:

3

42:

3

4 =

�Remarque : Si on divise par 2 les 3

4

donnent 2 parts, donc 4 tiers divisés par

� Calcul de ) 8

3 - ( :

5

4-

Nous avons : ) 3

8 - ( :

5

4- =

� Calcul de

5432

-

Nous avons :

5432

-

5432

-=

� SUITES D'OPERATIONS

REGLES DE CALCUL

1. Le calcul entre parenthèses est prioritaire

2. En l’absence de parenthèses, multiplication et la division sont sur l’addition et la soustraction.

1ère étape : Division en

multiplication

1ère étape : Le signe

3

2

23

122

23

14

2

1

3

4

1

2 =/×××/

=××=×=

3

4 d'un gâteau, nous obtenons

3

2 du gâteau

par 2 donnent 2 tiers !!! )

10

3

245

34

85

34

8

3

5

4)

8

3 - (

5

4- =

×/××/

=××=×=×=

6

5 -

223

52 -

43

52 -

4

5

3

2 -

5

4:

3

2 -

5432

==××

×=××=×==

OPERATIONS

REGLES DE CALCUL

Le calcul entre parenthèses est

En l’absence de parenthèses, la sont prioritaires

sur l’addition et la soustraction.

2ème étape : Le signe ( règle des signes )

3ème étape : Le Attention à la simplification

Division en

multiplication

Le signe 2ème étape :

du gâteau ( 4 parts divisées par 2

Le calcul la simplification

étape : Le calcul


4

9

3

1

3

2A ×−=

La multiplication étant prioritaire, nous ne devons surtout pas effectuer l'opération 3

1

3

2 − ( même si les

dénominateurs sont identiques ).

Nous avons donc : 43

91

3

2A

××−=

43

331

3

2A

×//××−=

4

3

3

2A −=

12

1-

12

1 -

12

9 -8

12

9

12

8

34

33

43

42

4

3

3

2A ===−=

××−

××=−=

� Calcul de )2

1-(-1-2 )

3

2-

6

1(B ×=

Le calcul entre parenthèses est prioritaire.

Nous devons donc effectuer 3

2-

6

1 et

2

1-1-

Nous pouvons les calculer séparément, puis réintroduire les résultats dans l'expression B.

2

1-

23

13-

6

3-

6

3-

6

4-1

6

4-

6

1

23

22-

6

1

3

2-

6

1 =××=====

××=

et 2

3-

2

3 -

2

1- 2 -

2

1-

2

2-

2

1-

21

21-

2

1-

1

1-

2

1-1- ====

××==

En remplaçant les parenthèses par les deux résultats obtenus, nous avons : ( attention aux

parenthèses d'écriture évitant d'avoir deux symboles à la suite )

) 2

3- ( -2

2

1- B ×=

La multiplication est prioritaire. Nous avons donc :

) 2

3- ( -

1

2

2

1- B ×=

) 2

3- ( -

12

21-B

××=

) 2

3- ( -

2

2- B =

2

1

2

3 2-

2

3

2

2- B =+=+=

Il est cependant préférable de faire les calculs simultanément ( en même temps ) et à l'intérieur de

l'expression.

)2

1-(-1-2 )

3

2-

6

1(B ×=

) 2

1-

1

1- (-2 )

23

22-

6

1(B ×

××=

) 2

1-

21

21- (-2 )

6

4-

6

1(B

×××=

A présenter, de préférence en

colonne ( afin d'éviter des oublis ) Possibilité de reprendre en

ligne lors de la dernière

opération

Lorsqu'une fraction a un numérateur et un dénominateur égaux, cette

fraction est égale à 1.

Nous avons donc :

) 2

3- ( --B 1= =

2

3 -1 +=

2

1

2

3 2-

2

3

2

2- B =+=+=

) 2

1-

2

2- (-2 )

6

4-1(B ×=

) 2

1- 2 - (-2 )

6

3-(B ×=

) 2

3 - (-2 )

23

13(-B ×

××=

) 2

3 - (-2 )

2

1(-B ×=

) 2

3- ( -

12

21-B

××=

) 2

3- ( -

2

2- B =

2

1

2

3 2-

2

3

2

2- B =+=+=

� Calcul de

31

1

32

21

C−

−=

Si nous écrivions cette expression en ligne, nous aurions :

C = ) 3

11 ( : )

3

2

2

1 ( −− ( Attention aux parenthèses nécessaires dans cette écriture en ligne )

Par conséquent, nous devons calculer en priorité 3

2

2

1 − et 3

11 − .

Sans revenir à l'écriture el ligne, nous pouvons constater que l'opération principale contenue dans

cette expression est une division

C = . Pour pouvoir effectuer cette opération, nous devons

donc calculer le numérateur, soit 3

2

2

1 − , et le dénominateur, soit 3

11 − .

Comme précédemment, nous pouvons effectuer séparément ces deux calculs, puis les réintroduire dans

l'expression.

6

1 -

6

1 -

6

4 -3

6

4

6

3

23

22

32

31

3

2

2

1 ===−=××−

××=−

et 3

2

3

1

3

3

3

1

31

31

3

1

1

1

3

11 =−=−

××=−=−

En réintroduisant ces résultats dans l'expression C, nous avons :

42

1 -

23

31 -

26

31 -

2

3

6

1 -

3

26

1

-

3

26

1 -

C =××//×=

××=×===

Il est préférable de rédiger ainsi ( les calculs sont faits simultanément ) L'écriture ici peut se faire en ligne ( pas d'oublis réellement possibles )

4

1 -

223

31 -

26

31 -

2

3

6

1 -

3261

-

3261

-

3261 -

31

33

64 -3

31

3131

64

63

31

11

2322

3231

31

1

32

21

C =××//×=

××=×====

−=

−××

−=

−

××−

××

=−

−=

A�SUIVRE�

Exercice 1 : Brevet des Collèges - Clermont – 1999

Calculer et donner les résultats sous la forme la plus simple possible :

9

8

4

3

4

7 C ×−= )

3

2 1 ( : )

3

2 1 ( D +−=

Exercice 2 : Brevet des Collèges – Orléans – 1996

On donne les nombres A et B suivants : 21

8

4

3 2 A ×−= ;

12

7 : )

3

5

4

3 ( B

−−=

Donner une écriture fractionnaire de chacun des nombres A et B, le dénominateur étant un entier

positif inférieur à 10.

Exercice 3 : Brevet des Collèges – Amérique – 1999

On donne les nombres : a = 15

14 et b =

6

7

Calculer A et B tels que : A = a - b et B = b

a

Exercice 4 : Brevet des Collèges – Groupe Est – 2005

Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

16

9

3

2 -

4

5 A ×=

Exercice 5 : Brevet des Collèges – Groupe Ouest – 2005

Calculer 4

15

2

5 - 2 A :=

On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie.

Exercice 6 : Brevet des Collèges – Groupe Sud – 2005 Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.

Calculer l'expression : 2

5

3

4 -

3

13 A ×= (donner le résultat sous sa forme la plus simple).

Exercice 7 : Brevet des Collèges – Polynésie – 2003

Calculer A ; on donnera la réponse de A sous la forme simplifiée : 5

12

9

15 - 3 A ×=

Exercice 8 : Brevet des Collèges –La Réunion – 2003

On considère 7

8 )

3

2

2

11 ( A ×−=

Ecrire A sous forme d’une fraction irréductible (les calculs intermédiaires figureront sur la copie).

Voir sur ce site : Calcul fractionnaire

ADDITION ET SOUSTRACTION

Pour additionner ou soustraire deux fractions, nous devons les dénominateur.

d

b

d

a +

MULTIPLICATION

Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les

dénominateurs entre eux. Avant d’effectuer ces deux opérations, il est souhaitable de rechercher une simplification.

d

c

b

a ×

DIVISION

Diviser par une fraction, c’est

b

a

REGLES DE CALCUL

1. Le calcul entre parenthèses est prioritaire

2. En l’absence de parenthèses

division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

RESUME D

ADDITION ET SOUSTRACTION :

REDUCTION AU MEME DENOMINATEUR

MULTIPLICATION ET DIVISION :

FACILE MAIS NE PAS EFFECTUER TROP RAPIDEMENT

Calcul fractionnaire -

SOUSTRACTION

Pour additionner ou soustraire deux fractions, nous devons les réduire au même

d

b a

d

b +=


dénominateurs entre eux. Avant d’effectuer ces deux opérations, il est souhaitable de rechercher une

d b

c a

d ××=

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.

c b

d a

c

d

b

a

d

c

b

a

××=×=:

Le calcul entre parenthèses est prioritaire

En l’absence de parenthèses, la multiplication et la

prioritaires sur l’addition et la soustraction.

RESUME D'UN RESUME

ADDITION ET SOUSTRACTION :


MULTIPLICATION ET DIVISION :


b

a :

Rappel

réduire au même


dénominateurs entre eux. Avant d’effectuer ces deux opérations, il est souhaitable de rechercher une



d

cb

a

également note se d

c

Calcul fractionnaire - Soutien

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