Calcul differentiel

Calcul différentiel

Essaidi Ali

17 mars 2016

1 Applications différentiables :

1.1 Différentielle d’une application :Proposition et définition 1.1 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → Fet a ∈ U .

— On dit que f est différentiable en a si ∃u ∈ L (E,F ) telle que ∀a+ h ∈ U, f(a+ h) = f(a) + u(h) + o(‖h‖).Dans ce cas, l’application u est unique, on l’appelle la différentielle de f en a ou l’application linéaire tangente à f ena et on la note df(a) ou dfa ou Df(a).

— On dit que f est différentiable surU si f est différentiable en tout point deU . Dans ce cas, l’applicationU → L (E,F )x 7→ df(x)

s’appelle la différentielle de f sur U et on la note df .

Remarques : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .— f est différentiable en a si, et seulement si, f admet unDL1(a). Dans ce cas, ∀a+h ∈ U, f(a+h) = f(a)+df(a)(h)+

o(‖h‖), df(a)(h) se note aussi df(a).h.— Si f est différentiable en a alors f est continue en a.— La différentiabilité et la différentielle de f en a ne dépendent pas des normes choisies sur E et F .— Si f est différentiable en a alors df(a) est Lipschitzienne sur E. En particulier continue sur E.

Proposition 1.1 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E et f : U → F .— Si f est constante sur U alors f est différentiable sur U et on a df = 0 (i.e ∀a ∈ U,df(a) = 0).— Si f est la restriction, sur U , d’une application linéaire g alors f est différentiable sur U et on a ∀a ∈ U,df(a) = g (i.e∀a ∈ U,∀h ∈ E,df(a)(h) = g(h)).

Exemples :— Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie. L’application f : u ∈ L(E) 7→ tru est linéaire sur L(E) donc

différentiable sur L(E) et on a df = f . Autrement dit, ∀u, h ∈ L(E),df(u)(h) = f(h) = tr(h).— L’application f : M ∈ Mn(R) 7→ tM est linéaire sur Mn(R) donc différentiable sur Mn(R) et on a ∀M,H ∈Mn(R),df(M)(H) = f(H) = tH .

— L’application f : (x, y) ∈ R2 7→ (2x+3y, 5x−7y) est linéaire sur R2 donc différentiable sur R2 et on a ∀(x, y), (h, k) ∈R2,df(x, y)(h, k) = f(h, k) = (2h+ 3k, 5h− 7k).

Proposition 1.2 — Soit E,F,G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E×F et f : U →G.Si f est la restriction, sur U , d’une application bilinéaire g alors f est différentiable sur U et on a ∀(a, b) ∈ U,∀(h, k) ∈E × F,df(a, b)(h, k) = g(a, k) + g(h, b).

— Généralement, Soit E1, . . . , En, F des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E1×· · ·×Enet f : U → F .Si f est la restriction, sur U , d’une application multilinéaire g alors f est différentiable sur U et on a ∀(a1, . . . , an) ∈U,∀(h1, . . . , hn) ∈ E1 × · · · × En :

df(a1, . . . , an)(h1, . . . , hn) = g(h1, a2, . . . , an) + g(a1, h2, a3, . . . , an) + · · ·+ g(a1, . . . , an−1, hn)

Exemples :— L’application f : (x, y) ∈ R2 7→ xy est bilinéaire sur R2 donc différentiable sur R2 et on a ∀(x, y), (h, k) ∈

R2,df(x, y)(h, k) = f(h, y) + f(x, k) = hy + xk.— Soit E un espace euclidien. L’application f : (x, y) ∈ E2 7→ 〈x, y〉 est bilinéaire sur E donc différentiable sur E et on

a ∀x, y, k, h ∈ E,df(x, y)(h, k) = f(h, y) + f(x, k) = 〈h, y〉+ 〈x, k〉.

1

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

— L’application f : (A,B,C) ∈ (Mn(R))3 7→ ABC est multilinéaire sur (Mn(R))3 donc différentiable sur (Mn(R))3et on a ∀A,B,C,H,K,L ∈ (Mn(R))3,df(A,B,C)(H,K,L) = f(H,B,C)+f(A,K,C)+f(A,B,L) = HBC+AKC +ABL.

Proposition 1.3 Soit E,F1, . . . , Fn des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F1 ×· · · × Fn et a ∈ U . On pose f = (f1, . . . , fn).f est différentiable en a si, et seulement si, f1, . . . , fn sont différentiables en a. Dans ce cas, df(a) = (df1(a), . . . ,dfn(a)).

Exemple : Soit f : R2 → R3 définie par f(x, y) = (x+ y, 2x+ 3y, xy).Les composantes f1(x, y) = x+y, f2(x, y) = 2x+3y et f3(x, y) = xy de f sont différentiables sur R2 car f1, f2 sont linéaireset f3 bilinéaire donc f est différentiable sur R2 et on a ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 :

df(x, y)(h, k) = (df1(x, y)(h, k),df2(x, y)(h, k),df3(x, y)(h, k)) = (h+ k, 2h+ 3k, xk + hy)

Proposition 1.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimensions finies, I un intervalle ouvert de R, f : I → F et a ∈ I .f est différentiable en a si, et seulement si, f est dérivable en a. Dans ce cas, ∀t ∈ R,df(a)(t) = tf ′(a). En particulier,df(a)(1) = f ′(a).

Démonstration :⇒ ) On f différentiable en a donc ∀a+ t ∈ I, f(a+ t) = f(a) + df(a)(t) + o(t) = f(a) + tdf(a)(1) + o(t) d’où f est

dérivable en a et on a f ′(a) = df(a)(1).⇐ ) On f dérivable en a donc ∀a+ t ∈ I, f(a+ t) = f(a) + tf ′(a) + o(t), or t 7→ tf ′(a) est linéaire de R vers E donc f

est différentiable en a et on a ∀t ∈ R,df(a)(t) = tf ′(a).Exemples :

— L’application f : t ∈ R 7→ t2 est dérivable sur R donc différentiable sur R et on a ∀t, h ∈ R,df(t)(h) = hf ′(t) = 2ht.— L’application f : t ∈]0,+∞[7→ ln(t) est dérivable sur ]0,+∞[ donc différentiable sur ]0,+∞[ et on a ∀t ∈]0,+∞[,∀h ∈

R,df(t)(h) = hf ′(t) = ht .

— Soit A ∈ Mn(R). L’application f : t ∈ R 7→ exp(tA) est dérivable sur R donc différentiable sur R et on a ∀t, h ∈R,df(t)(h) = hf ′(t) = hA exp(tA).

1.2 Dérivées directionnelles :Définition 1.1 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U eth ∈ E \ {0}.

On dit que f admet une dérivée en a suivant le vecteur h ou dérivable en a suivant le vecteur h si limt→0

f(a+ th)− f(a)t

existe.

Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée de f en a suivant h et on la note Dhf(a).

Proposition 1.5 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U eth ∈ E \ {0}.

— L’application ϕ(t) = f(a+ th) est définie au voisinage de 0.— f est dérivable en a suivant h si et seulement si ϕ est dérivable en 0. Dans ce cas, Dhf(a) = ϕ′(0).

Démonstration :— On a a ∈ U et U ouvert donc ∃ε > 0,B(a, ε) ⊂ U . Soit α = ε

‖h‖ , on a ∀t ∈] − α, α[, ‖(a + th) − a‖ = |t|‖h‖ <α‖h‖ = ε donc a+ th ∈ U donc ϕ(t) = f(a+ th) est défini d’où ϕ est définie sur ]− α, α[.

— On a, ∀t ∈] − α, α[, ϕ(t)−ϕ(0)t = f(a+th)−f(a)t donc f est dérivable en a suivant h si, et seulement si, la limite

limt→0

f(a+ th)− f(a)t

existe, si, et seulement si, la limite limt→0

ϕ(t)− ϕ(0)t

existe, si, et seulement si, ϕ est dérivable en0.

Dans ce cas, Dhf(a) = limt→0

f(a+ th)− f(a)t

= limt→0

ϕ(t)− ϕ(0)t

= ϕ′(0).

Remarque : Cette proposition est pratique pour calculer les dérivées directionnelles.Exemples :

— Dérivée de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→ xy en (2, 1) suivant le vecteur (1, 2) : On pose ϕ(t) = f((2, 1) + t(1, 2)) =f(2 + t, 1 + 2t) = (2 + t)(1 + 2t) donc, au voisinage de 0, ϕ′(t) = (1 + 2t) + 2(2 + t) d’où ϕ′(0) = 1 + 4 = 5.On déduit que f est dérivable en (2, 1) suivant (1, 2) et on a D(1,2)f(2, 1) = ϕ′(0) = 5.

— Dérivée de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→ xyx+y en (1, 1) suivant le vecteur (1, 2) : On pose ϕ(t) = f((1, 1)+t(1, 2)) =

f(1+ t, 1+2t) = (1+t)(1+2t)2+3t donc, au voisinage de 0, ϕ′(t) =

((1 + 2t) + 2(1 + t))(2 + 3t) + 3(1 + t)(1 + 2t)

(2 + 3t)2d’où

ϕ′(0) = 2(1+2)+34 = ϕ′(0) = 9

4 .On déduit que f est dérivable en (1, 1) suivant (1, 2) et on a D(1,2)f(1, 1) =

94 .

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— Dérivée de l’application f : (x, y, z) ∈ R3 7→ xy + yz + zx en (1, 1, 1) suivant le vecteur (1, 2, 3) : On pose ϕ(t) =f((1, 1, 1)+t(1, 2, 3)) = f(1+t, 1+2t, 1+3t) = (1+t)(1+2t)+(1+2t)(1+3t)+(1+t)(1+3t) donc, au voisinagede 0, ϕ′(t) = (1+2t)+2(1+ t)+2(1+3t)+3(1+2t)+(1+3t)+3(1+ t) d’où ϕ′(0) = 1+2+2+3+1+3 = 12.On déduit que f est dérivable en (1, 1, 1) suivant (1, 2, 3) et on a D(1,2,3)f(1, 1, 1) = ϕ′(0) = 12.

— Dérivée de l’application f : M ∈ Mn(R) 7→ exp(M) en 0 suivant la matrice H ∈ Mn(R) \ {0} : On pose ϕ(t) =f(A+ tH) = exp(tH) donc, au voisinage de 0, ϕ′(t) = H exp(tH) d’où ϕ′(0) = H .On déduit que f est dérivable en 0 suivant H et on a DHf(0) = ϕ′(0) = H .

— Dérivée de l’application f : M ∈ Mn(R) 7→ det(M) en In suivant la matrice E11 + E22 : On pose ϕ(t) = f(In +t(E11 + E22)) = det(In + tE11 + tE22) = det diag(1, (1 + t), (1 + t), 1, · · · , 1) = (1 + t)2 donc, au voisinage de 0,ϕ′(t) = 2(1 + t) d’où ϕ′(0) = 2.On déduit que f est dérivable en In suivant E11 + E22 et on a DE11+E22f(In) = ϕ′(0) = 2.

— Soit p ∈ N∗. Dérivée de l’application f : M ∈ Mn(R) 7→ Mp en A ∈ Mn(R) suivant la matrice In : On pose

ϕ(t) = f(A + tIn) = (A + tIn)p =

p∑k=0

Ckp tkAp−k donc, au voisinage de 0, ϕ′(t) =

p∑k=1

kCkp tk−1Ap−k d’où

ϕ′(0) = kAk−1.On déduit que f est dérivable en A suivant In et on a DInf(A) = ϕ′(0) = kAk−1.

Remarque : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .Si f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul de E alors f n’est pas forcément continue en a. En particulier, si f estdérivable en a suivant tout vecteur non nul de E alors f n’est pas forcément différentiable en a.

Exemple : Soit la fonction f(x, y) =

®y3

x si x 6= 0

0 si x = 0et (h, k) ∈ R2 \ {(0, 0)} : On pose ϕ(t) = f((0, 0) + t(h, k)) =

f(th, tk)) :— Si h = 0 alors ϕ(t) = 0 donc ϕ′(0) = 0 d’où f est dérivable en (0, 0) suivant (h, k) et on a D(h,k)f(0, 0) = 0.— Si h 6= 0 alors ∀t ∈ R, ϕ(t) = t2 k

3

h donc ϕ′(0) = 0 d’où f est dérivable en (0, 0) suivant (h, k) et on a D(h,k)f(0, 0) =0.

On déduit que f est dérivable en (0, 0) suivant tout vecteur non nul, ce pendant, f n’est pas continue en (0, 0) car ∀t ∈R∗, f(t3, t) = t3

t3 = 1 →t→0

1 6= 0 = f(0, 0).

Proposition 1.6 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .Si f est différentiable en a alors f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul de E et on a ∀h ∈ E \ {0}, Dhf(a) =df(a)(h).

Démonstration :Soit h ∈ E \ {0} donc l’application ϕ(t) = f(a+ th) est définie au voisinage de 0.On a f différentiable en a donc ϕ(t) = f(a+ th) = f(a) + df(a)(th) + o(t) = ϕ(0)+ tdf(a)(h) + o(t) donc ϕ est dérivableen 0 et on a ϕ′(0) = df(a)(h).On déduit que f est dérivable en a suivant h et on a Dhf(a) = df(a)(h).Remarque : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .S’il existe un vecteur non nul h de E tel que f ne soit pas dérivable en a suivant h alors f n’est pas pas différentiable en a.

Exemple : Soit l’application f(x, y) =

{|x|y2x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon.

On pose ∀t ∈ R∗, ϕ(t) = f((0, 0)+ t(1, 1)) = f(t, t) = |t|2 donc ϕ n’est pas dérivable en 0 donc f n’est pas dérivable en (0, 0)

suivant (1, 1) d’où f n’est pas différentiable en (0, 0).Remarque : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .

On suppose que f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul. Si l’application h 7→®Dhf(a) si h 6= 0

0 si h = 0n’est pas linéaire

sur E alors f n’est pas différentiable en a.


®xy2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinonet (h, k) 6= (0, 0).

On pose ϕ(t) = f(th, tk) donc ϕ(t) = t hk2

h2+k2 = tf(h, k) d’où ϕ′(0) = f(h, k). On déduit que f est dérivable en (0, 0)suivant (h, k) et on a D(h,k)f(0, 0) = f(h, k).Or l’application f n’est pas linéaire donc f n’est pas différentiable en (0, 0).Remarque : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .

Si f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul et l’application h 7→®Dhf(a) si h 6= 0

0 si h = 0est linéaire sur E alors f n’est

pas forcément différentiable en a.




y(x2 + y2)

32

(x2 + y2)2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinonet (h, k) 6= (0, 0).

On pose ϕ(t) = f(th, tk) donc ϕ(t) = t|t| y(x2 + y2)32

t2(x2 + y2)2 + y2d’où ϕ′(0) = 0. On déduit que f est dérivable en (0, 0) suivant

(h, k) et on a D(h,k)f(0, 0) = 0. L’application (h, k) 7→®D(h,k)f(0, 0) si (h, k) 6= (0, 0)

0 si (h, k) = (0, 0)est alors linéaire sur R2 car nulle

sur R2.Supposons que f est différentiable en (0, 0) donc ∀(h, k) ∈ R2 \ {(0, 0)},df(0, 0)(h, k) = D(h,k)f(0, 0) = 0 d’où f(h, k) =f(0, 0) + df(0, 0)(h, k) + o

Ä√h2 + k2

ä= oÄ√

h2 + k2ä

.

Absurde, car∣∣∣ f(t,t2)√

t2+t4

∣∣∣ = t2(t2+t4)(t2+t4)2+t4 = 1+t2

(1+t2)2+1 →12 6= 0.

1.3 Dérivées partielles :Définition 1.2 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1, . . . , en) une base deE, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .On appelle dérivées partielles de f en a les dérivées, si elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1, . . . , en.Dans ce cas, si i ∈ {1, . . . , n}, la dérivée de f en a suivant ei s’appelle la i-ième dérivée partielle de f en a. On la note :Deif(a) ou Dif(a) ou ∂f

∂xi(a).

Si f est dérivable suivant ei en tout x ∈ U alors l’application x ∈ U 7→ ∂f∂xi

(x) s’appelle la i-ième application dérivée partiellede f sur U . On la note : Deif ou Dif ou ∂f

∂xi.

Remarque : Technique de calcul des dérivées partielles lorsque f(x) est exprimé en fonction des coordonnées de x :Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1, . . . , en) une base de E, U un ouvertde E, f : U → F et a = a1e1 + · · ·+ anen ∈ U .Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on pose gi(t) = f(a1e1 + · · · ai−1ei−1 + tei + ai+1ei+1 + · · ·+ anen).La i-ième dérivée partielle de f en a existe si, et seulement si, gi est dérivable en ai. Dans ce cas, ∂f

∂xi(a) = g′i(ai).

Exemples :— Calcul des dérivées partielles de f : (x, y) ∈ R2 7→ xy en (1, 2) :

— On a g1(x) = f(x, 2) = 2x donc ∂f∂x (1, 2) = g′1(1) = 2.

— On a g2(y) = f(1, y) = y donc ∂f∂y (1, 2) = g′2(2) = 1.

— Calcul des dérivées partielles de f : (x, y) ∈ R2 7→ xyx2+y2+1 en (0, 0) :

— On a g1(x) = f(x, 0) = 0 donc ∂f∂x (0, 0) = g′1(0) = 0.

— On a g2(y) = f(0, y) = 0 donc ∂f∂y (0, 0) = g′2(0) = 0.

— Calcul des dérivées partielles de f : (x, y, z) ∈ R3 7→ xy + yz − xyz en (1,−1, 2) :

— On a g1(x) = f(x,−1, 2) = −x− 2 + x2 = −x2 − 2 donc ∂f

∂x (1,−1, 2) = g′1(1) = − 12 .

— On a g2(y) = f(1, y, 2) = 3y − 12y donc ∂f

∂y (1,−1, 2) = g′2(−1) = 3 + 12 = 7

2 .

— On a g3(z) = f(1,−1, z) = −1− z − 1z donc ∂f

∂z (1,−1, 2) = g′3(2) = −1 + 14 = − 3

4 .— Calcul des dérivées partielles de f : a+ bX + cX2 ∈ R2[X] 7→ a+ ab+ abc en P = X + 2X2 ∈ R2[X] :

— On a g1(a) = f(a+X + 2X2) = a+ a+ 2a = 4a donc ∂f∂a (P ) = g′1(a) = 4.

— On a g2(b) = f(bX + 2X2) = 0 donc ∂f∂b (P ) = g′2(b) = 0.

— On a g3(c) = f(X + cX2) = 0 donc ∂f∂c (P ) = g′3(c) = 0.

Remarque : Technique de calcul des dérivées partielles lorsque f(x) est exprimé en fonction x :Dans ce cas, on utilise la même technique que dans le cas des dérivées directionnelles.Exemples :

— Calcul des dérivées partielles de f : P ∈ Rn[X] 7→ P 3 en P ∈ Rn[X] :Soit k ∈ {1, . . . , n} et on pose ϕ(t) = f(P + tXk) = (P + tXk)3 donc ϕ(t) = P 3 + 3tXkP 2 + 3t2X2kP + t3X3k

d’où ϕ′(0) = 3XkP 2.On déduit que ∂f

∂Xk(P ) = ϕ′(0) = 3XkP 2.

— Soit p ∈ N∗. Calcul des dérivées partielles de f :M ∈Mn(R) 7→Mp en M ∈Mn(R) :Soit i, j ∈ {1, . . . , n} et on pose ϕ(t) = f(M+ tEij) = (M+ tEij)

p donc ϕ(t) =Mp+ t(EijMp−1+MEijM

p−2+M2EijM

p−3 + · · ·+Mp−1Eij) + o(t) d’où ϕ′(0) = EijMp−1 +MEijM

p−2 +M2EijMp−3 + · · ·+Mp−1Eij .

On déduit que ∂f∂mij

(M) = ϕ′(0) = EijMp−1 +MEijM

p−2 +M2EijMp−3 + · · ·+Mp−1Eij .

Proposition 1.7 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1, . . . , en) une base deE, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .



Si f est différentiable en a alors les dérivées partielles de f en a existent et on a ∀h = h1e1 + · · · + hnen ∈ E,df(a)(h) =

Dhf(a) =n∑i=1

hi∂f

∂xi(a).

Démonstration :On a f est différentiable et les dérivées partielles de f en a sont des dérivées directionnelles en a donc les dérivées partielles def en a existent.Soit h = h1e1 + · · · + hnen ∈ E. On a df(a)(h) = df(a)(h1e1 + · · · + hnen) = h1df(a)(e1) + · · · + hndf(a)en =

h1∂f

∂x1(a) + · · ·+ hn

∂f

∂xn(a).

Remarques :— La réciproque est fausse.— Si les dérivées partielles de f en a existent alors les dérivées directionnelles de f en a n’existent pas forcément. En

effet, soit l’application f(x, y) =

®xy

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon. On a ∀t ∈ R, f(t, 0) = f(0, t) = 0 donc ∂f

∂x (0, 0) =

∂f∂y (0, 0) = 0 mais ∀(h, k) ∈ R2 avec hk 6= 0, f(th,tk)t = 1

t f(h, k) n’admet pas de limite lorsque t → 0 donc f n’estpas dérivable en (0, 0) suivant (h, k).

— Si les dérivées directionnelles de f en a existent alors si h = h1e1 + · · ·+ hnen ∈ E on n’a pas forcément Dhf(a) =n∑i=1

hi∂f

∂xi(a). En effet, pour la fonction f(x, y) =

®x2yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon. On a ∂f

∂x (0, 0) = ∂f∂y (0, 0) = 0 mais

∀(h, k) ∈ R2 avec hk 6= 0 on a D(h,k)f(0, 0) = f(h, k) 6= 0.— Si les dérivées partielles de f en a existent alors f est différentiable en a si, et seulement si, f(a + h) = f(a) −

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi + o(‖h‖).

Exemple : Étude de la différentiabilité de f(x, y) =

®x3yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinonen (0, 0) :

On a ∀t ∈ R, f(t, 0) = f(0, t) = 0 donc ∂f∂x (0, 0) = ∂f

∂y (0, 0) = 0 d’où f est différentiable en (0, 0) si, et seulement si,f(x, y) = o((x, y)).On a ∀(x, y) 6= (0, 0),

∣∣∣ f(x,y)‖(x,y)‖2

∣∣∣ = x2|xy|(x2+y2)

√x2+y2

≤ (x2+y2)|xy|(x2+y2)

√x2+y2

≤ |xy|√x2+y2

≤ x2+y2√x2+y2

=√x2 + y2 →

(x,y)→(0,0)0 donc

f(x, y) = o((x, y)) d’où f est différentiable en (0, 0) et on a df(0, 0) = 0.

Définition 1.3 SoitE,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles n et p respectivement, BE une basede E, BF une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .Si f est différentiable en a alors on appelle matrice Jacobienne de f en a par rapport aux bases BE et BF la matrice del’application linéaire df(a) dans les bases BE et BF . On la note Jf (a) et on a Jf (a) = mat(df(a),BE ,BF ).Si n = p, le réel det Jf (a) s’appelle le Jacobien de f en a et on le note Jacf(a).

Remarque : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles n et p respectivement, BE =(e1, . . . , en) une base de E, BF = (ε1, . . . , εp) une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .On pose f = f1ε1 + · · ·+ fpεp. Si f est différentiable en a alors :

Jf (a) = matBF(df(a)(e1), . . . ,df(a)(en)) =

Ü∂f1∂x1

(a) ∂f1∂x2

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)...

......

∂fp∂x1

(a)∂fp∂x2

(a) · · · ∂fp∂xn

(a)

ê=

Å∂fi∂xj

(a)

ã1≤i≤p1≤j≤n

Exemples :— La matrice Jacobienne de f : (x, y) ∈ R2 7→ (2x+3y, 6x−7y) : On a f1(x, y) = 2x+3y et f2(x, y) = 6x−7y donc :

∀(x, y) ∈ R2, Jf (x, y) =

(∂f1∂x (x, y)

∂f1∂y (x, y)

∂f2∂x (x, y)

∂f2∂y (x, y)

)=

Å2 36 −7

ãOn peut aussi remarquer que f est linéaire donc ∀(x, y) ∈ R2,df(x, y) = f d’où ∀(x, y) ∈ R2, Jf (x, y) =

Å2 36 −7

ã.

— Matrice Jacobienne de f : (x, y) ∈ R2 7→ (x+ y, xy) : On a f1(x, y) = x+ y et f2(x, y) = xy donc :

∀(x, y) ∈ R2, Jf (x, y) =

(∂f1∂x (x, y)

∂f1∂y (x, y)

∂f2∂x (x, y)

∂f2∂y (x, y)

)=

Å1 1y x

ãwww.mathlaayoune.webs.com 5/19 [email protected]


— Matrice Jacobienne de f : (x, y) ∈ R2 7→ (x + y, x2 + y2, x2 − y2) : On a f1(x, y) = x + y,f2(x, y) = x2 + y2 etf3(x, y) = x2 − y2 donc :

∀(x, y) ∈ R2, Jf (x, y) =

Ü∂f1∂x (x, y)

∂f1∂y (x, y)

∂f2∂x (x, y)

∂f2∂y (x, y)

∂f3∂x (x, y)

∂f3∂y (x, y)

ê=

Ñ1 12x 2y2x −2y

é— Matrice Jacobienne de f : (x, y, z) ∈ R2 7→ x2 + xy + yz2 : On a :

∀(x, y, z) ∈ R3, Jf (x, y, z) =Ä∂f∂x (x, y, z)

∂f∂y (x, y, z)

∂f∂z (x, y, z)

ä=(2x+ y x+ z 2yz

)Interprétation matricielle de la différentielle : Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nullesn et p respectivement, BE une base de E, BF une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U .Si f est différentiable en a alors ∀h ∈ E, [df(a)(h)]BF

= Jf (a)× [h]BE.

Exemples d’application au calcul de la différentielle :— Calcul de la différentielle de f : (x, y) ∈ R2 7→ x sin y − y sinx : Soit (x, y), (h, k) ∈ R2. On a :

Jf (x, y)

Åhk

ã=(sin y − y cosx x cos y − sinx

)Åhk

ã= (sin y − y cosx)h+ (x cos y − sinx)k

Donc df(x, y)(h, k) = (sin y − y cosx)h+ (x cos y − sinx)k.— Calcul de la différentielle de f : (x, y) ∈ R2 7→ (x2y, xy) : Soit (x, y), (h, k) ∈ R2. On a :

Jf (x, y)

Åhk

ã=

Å2xy x2

y x

ãÅhk

ã=

Å2xyh+ x2kyh+ xk

ãDonc df(x, y)(h, k) = (2xyh+ x2k, yh+ xk).

— Calcul de la différentielle de f : (x, y, z) ∈ R3 7→ (xy + yz + zx, xyz) : Soit (x, y, z), (h, k, l) ∈ R2. On a :

Jf (x, y, z)

Ñhkl

é=

Åy + z x+ z x+ yyz xz xy

ãÑhkl

é=

Å(y + z)h+ (x+ z)k + (x+ y)l

yzh+ xzk + xyl

ãDonc df(x, y)(h, k) = ((y + z)h+ (x+ z)k + (x+ y)l, yzh+ xzk + xyl).

1.4 Opérations sur les applications différentiables :Proposition 1.8 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f, g : U → Fet a ∈ U .Si f et g sont différentiables en a. Alors :

— f + g est différentiable en a et on a d(f + g)(a) = df(a) + dg(a). En particulier, Jf+g(a) = Jf (a) + Jg(a).— ∀λ ∈ R, λf est différentiable en a et on a d(λf)(a) = λdf(a). En particulier, Jλf (a) = λJf (a).

Proposition 1.9 Soit E,F,G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, a ∈ U ,f : U → F , V un ouvert de F tel que f(U) ⊂ V et g : V → G.Si f est différentiable en a et g différentiable en f(a) alors g ◦ f est différentiable en a et on a d(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a).En particulier, Jg◦f (a) = Jg(f(a))× Jf (a).

Démonstration :Soit h ∈ E tel que a+ h ∈ U .On a f différentiable en a donc f(a+ h) = f(a) + df(a)(h) + o(‖h‖).On a g différentiable en f(a) donc (g◦f)(a+h) = g (f(a) + df(a)(h) + o(‖h‖)) = g(f(a))+dg(f(a)) (df(a)(h) + o(‖h‖))+o(‖df(a)(h) + o(‖h‖) ‖) = (g ◦ f)(a) + (dg(f(a)) ◦ df(a))(h) + dg(f(a)) (o(‖h‖)) + o(‖df(a)(h) + o(‖h‖) ‖).On a dg(f(a)) linéaire donc continue donc ∃k ∈ R, ‖dg(f(a)) (o(‖h‖)) ‖ ≤ k o(‖h‖) d’où dg(f(a)) (o(‖h‖)) = o(‖h‖).On a df(a) linéaire donc continue donc ∃l ∈ R, ‖df(a)(h)+o(‖h‖) ‖ ≤ l‖h‖+o(‖h‖) = O(‖h‖) donc df(a)(h)+o(‖h‖) =O(‖h‖) d’où o(‖df(a)(h) + o(‖h‖) ‖) = o(‖h‖).On déduit que (g ◦ f)(a + h) = (g ◦ f)(a) + (dg(f(a)) ◦ df(a)) (h) + o(‖h‖) donc g ◦ f est différentiable en a et on ad(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a).Exemples :



— Calcul de la différentielle de l’application f :M ∈Mn(R) 7→M2 : Soit les applications :

u : Mn(R) → (Mn(R))2

M 7→ (M,M)et v : (Mn(R))2 → Mn(R)

(M,N) 7→ MN

On a u linéaire surMn(R) donc différentiable surMn(R) et on a ∀M,H ∈Mn(R),du(M)(H) = (H,H).On a v bilinéaire sur (Mn(R))2 donc différentiable sur (Mn(R))2 et on a ∀M,N,H,K ∈Mn(R),dv(M,N)(H,K) =v(M,K) + v(H,N) =MK +HN .On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur Mn(R) comme composée de deux applications différentiables et ona ∀M,H ∈ Mn(R),df(M)(H) = d(v ◦ u)(M)(H) = (dv(u(M)) ◦ du(M))(H) = dv(M,M)(du(M)(H)) =dv(M,M)(H,H) =MH +HM .

— Soit A ∈ Sn(R). Calcul de la différentielle de l’application f : X ∈Mn1(R) 7→ tXAX : Soit les applications :

u : Mn(R) → (Mn(R))2

X 7→ (X,X)et v : (Mn(R))2 → Mn(R)

(X,Y ) 7→ tXAY

On a u linéaire surMn(R) donc différentiable surMn(R) et on a ∀X,H ∈Mn(R),du(X)(H) = (H,H).On a v bilinéaire sur (Mn(R))2 donc différentiable sur (Mn(R))2 et on a ∀X,Y,H,K ∈Mn(R),dv(X,Y )(H,K) =v(X,K) + v(H,Y ) = tXAK + tHAY .On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur Mn(R) comme composée de deux applications différentiables et ona ∀X,H ∈ Mn(R),df(X)(H) = d(v ◦ u)(X)(H) = (dv(u(X)) ◦ du(X))(H) = dv(X,X)(du(X)(H)) =dv(X,X)(H,H) = tXAH + tHAX = 2tXAH car A est symétrique.

— Soient E un espace euclidien. Calcul des différentielles des applications f : x ∈ E 7→ ‖x‖2 et g : x ∈ E \ {0} 7→ ‖x‖ :

1. Différentielle de l’application f : Soit les applications :

u : E → E2

x 7→ (x, x)et

v : E2 → R(x, y) 7→ 〈x, y〉

On a u linéaire sur E donc différentiable sur E et on a ∀x, h ∈ E,du(x)(h) = (h, h).On a v bilinéaire sur E2 donc différentiable sur E2 et on a ∀x, y, h, k ∈ E,dv(x, y)(h, k) = v(x, k) + v(h, y) =〈x, k〉+ 〈h, y〉.On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur E comme composée de deux applications différentiables et on a∀x, h ∈ E,df(x)(h) = d(v ◦ u)(x)(h) = (dv(u(x)) ◦ du(x))(h) = dv(x, x)(du(x)(h)) = dv(x, x)(h, h) =〈x, h〉+ 〈h, x〉 = 2〈u, h〉.

2. Différentielle de l’application g : Soit l’application :

w : ]0,+∞[ → Rt 7→

√t

On a f différentiable sur E \ {0} et ∀x ∈ E \ {0},∀h ∈ E,df(x)(h) = 2〈u, h〉.On a w dérivable sur ]0,+∞[ donc différentiable sur ]0,+∞[ et on a ∀t ∈]0,+∞[,∀h ∈ R,dw(t)(h) = w′(t)h =h

2√t.

On a ∀x ∈ E \ {0}, g(x) = (w ◦ f)(x) donc g est différentiable sur E \ {0} comme composée de deux applica-tions différentiables et on a ∀x ∈ E \ {0},∀h ∈ E,dg(x)(h) = d(w ◦ f)(x)(h) = (dw(f(x)) ◦ df(x))(h) =

dw(‖x‖2)(df(x)(h)) = dv(‖x‖2)(2〈u, h〉) = 〈x,h〉‖x‖ .

— Soient E un espace euclidien et a ∈ E. Calcul de la différentielle de l’application f : x ∈ E 7→ 〈a, x〉x : Soit lesapplications :

u : E → E2

x 7→ (x, x)et

v : E2 → E(x, y) 7→ 〈a, x〉y

On a u linéaire sur E donc différentiable sur E et on a ∀x, h ∈ E,du(x)(h) = (h, h).On a v bilinéaire sur E2 donc différentiable sur E2 et on a ∀x, y, h, k ∈ E,dv(x, y)(h, k) = v(x, k) + v(h, y) =〈a, x〉k + 〈a, h〉y.On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur E comme composée de deux applications différentiables et on a ∀x, h ∈E,df(x)(h) = d(v ◦u)(x)(h) = (dv(u(x))◦du(x))(h) = dv(x, x)(du(x)(h)) = dv(x, x)(h, h) = 〈a, x〉h+ 〈a, h〉x.

— Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ (xy, x+ y, x− y) et g : (x, y, z) ∈ R3 7→ x+ yz. Calcul de la différentielle de g ◦ f :— Méthode 1 : On a :

1. ∀(x, y), (h, k) ∈ R2,df(x, y)(h, k) = (xk + hy, h+ k, h− k).2. ∀(x, y, z), (h, k, l) ∈ R3,dg(x, y, z)(h, k, l) = h+ zk + yl.



Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2,d(g◦f)(x, y)(h, k) = (dg(f(x, y))◦df(x, y))(h, k) = dg(xy, x+y, x−y)(df(x, y)(h, k)) =dg(xy, x+y, x−y)(xk+hy, h+k, h−k) = xk+hy+(x−y)(h+k)+(x+y)(h−k) = (2x+y)h+(x−2y)k.

— Méthode 2 : On a :

1. ∀(x, y) ∈ R2, Jf (x, y) =

Ñy x1 11 −1

é.

2. ∀(x, y, z) ∈ R3, Jg(x, y, z) =(1 z y

).

Donc ∀(x, y) ∈ R2, Jg◦f (x, y) = Jg(f(x, y))×Jf (x, y) = Jg(xy, x+y, x−y)×Jf (x, y) =(1 x− y x+ y

)×Ñ

y x1 11 −1

é=(2x+ y x− 2y

).

Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2, Jg◦f (x, y)

Åhk

ã=(2x+ y x− 2y

)Åhk

ã= (2x + y)h + (x − 2y)k d’où d(g ◦

f)(x, y)(h, k) = (2x+ y)h+ (x− 2y)k.— Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ (2x+ y, x+ 2y) et g : (x, y) ∈ R2 7→ (xy, x2 + y2). Calcul de la différentielle de g ◦ f :


1. ∀(x, y), (h, k) ∈ R2,df(x, y)(h, k) = (2h+ k, h+ 2k).

2. ∀(x, y), (h, k) ∈ R2,dg(x, y)(h, k) = (yh+ xk, 2xh+ 2yk).

Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2,d(g◦f)(x, y)(h, k) = (dg(f(x, y))◦df(x, y))(h, k) = dg(2x+y, x+2y)(df(x, y)(h, k)) =dg(2x+y, x+2y)(2h+k, h+2k) = ((x+2y)(2h+k)+(2x+y)(h+2k), 2(2x+y)(2h+k)+2(x+2y)(h+2k) =((4x+ 5y)h+ (5x+ 4y)k, (10x+ 8y)h+ (8x+ 10y)k).


1. ∀(x, y) ∈ R2, Jf (x, y) =

Å2 11 2

ã.

2. ∀(x, y) ∈ R2, Jg(x, y) =

Åy x2x 2y

ã.

Donc ∀(x, y) ∈ R2, Jg◦f (x, y) = Jg(f(x, y))×Jf (x, y) = Jg(2x+y, x+2y)×Jf (x, y) =Åx+ 2y 2x+ y4x+ 2y 2x+ 4y

ã×Å

2 11 2

ã=

Å4x+ 5y 5x+ 4y10x+ 8y 8x+ 10y

ã.

Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2, Jg◦f (x, y)

Åhk

ã=

Å4x+ 5y 5x+ 4y10x+ 8y 8x+ 10y

ãÅhk

ã=

Å(4x+ 5y)h+ (5x+ 4y)k(10x+ 8y)h+ (8x+ 10y)k

ãd’où d(g ◦ f)(x, y)(h, k) = ((4x+ 5y)h+ (5x+ 4y)k, (10x+ 8y)h+ (8x+ 10y)k).

Corollaire 1.10 (Règle de la chaîne) Soit E,F,G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies respectives m,n, p ∈N∗, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U , V un ouvert de F tel que f(U) ⊂ V et g : V → G. On pose f = (f1, . . . , fn) etg = (g1, . . . , gp).

Si f est différentiable en a et g différentiable en f(a) alors ∀i ∈ {1, . . . , p},∀j ∈ {1, . . . ,m}, ∂(g ◦ f)i∂xj

(a) =n∑k=1

∂gi∂xk

(f(a))∂fk∂xj

(a).

Application à la résolution des équations aux dérivées partielles du premier ordre :— Soit a ∈ R. Cherchons les fonctions f : R2 → R différentiables sur R2 telles que ∂f

∂x −∂f∂y = a :

On considère le changement de variables (u, v) = ϕ(x, y) = (x+ y, x− y) donc ϕ est inversible et soit g = f ◦ ϕ−1.On a f = g ◦ ϕ donc, d’après la règle de dérivation en chaîne :

∂f

∂x=

∂g

∂u

∂ϕ1

∂x+∂g

∂v

∂ϕ2

∂x=

∂g

∂u+∂g

∂v

∂f

∂y=

∂g

∂u

∂ϕ1

∂y+∂g

∂v

∂ϕ2

∂y=

∂g

∂u− ∂g

∂v

Donc∂f

∂x− ∂f

∂y= 2

∂g

∂vd’où

∂g

∂v=a

2.

On déduit qu’il existe une fonction h : R → R dérivable sur R telle que g(u, v) =∫a

2dv + h(u) =

a

2v + h(u) donc

f(x, y) = (g ◦ ϕ)(x, y) = g(ϕ(x, y)) = g(x+ y, x− y) = a2 (x− y) + h(x+ y).



— Cherchons les fonctions f :]0,+∞[2→ R différentiables sur ]0,+∞[2 telles que x∂f∂x + y ∂f∂y = 1 :On considère le changement de variables (x, y) = ϕ(u, v) = (u, uv) et soit g = f ◦ ϕ.D’après la règle de dérivation en chaîne :

∂g

∂u=

∂f

∂x

∂ϕ1

∂u+∂f

∂y

∂ϕ2

∂u=

∂f

∂x+ v

∂f

∂y

Donc u∂g

∂u= u

∂f

∂x+ uv

∂f

∂y= x

∂f

∂x+ y

∂f

∂y= 1 d’où

∂g

∂v=

1

ucar u = x 6= 0 puisque x > 0.

On déduit qu’il existe une fonction h :]0,+∞[→ R dérivable sur ]0,+∞[ telle que g(u, v) =∫

du

u+ h(v) = lnu +

h(v), or (u, v) =(x, yx

)donc f(x, y) = f(ϕ(u, v)) = (f ◦ ϕ)(u, v) = g(u, v) = g

(x, yx

)= lnx+ h

(yx

).

— Cherchons les fonctions f :]0,+∞[2→ R différentiables sur ]0,+∞[2 telles que x∂f∂y − y∂f∂x = 1 :

On considère le passage aux coordonnées polaires (x, y) = ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) avec ρ > 0 et θ ∈]−π, π[ et soitg = f ◦ ϕ.D’après la règle de dérivation en chaîne :

∂g

∂θ=

∂f

∂x

∂ϕ1

∂θ+∂f

∂y

∂ϕ2

∂θ

= −ρ∂f∂x

sin θ + ρ∂f

∂ycos θ

= −y ∂f∂x

+ x∂f

∂y

Donc∂g

∂θ= 1 d’où, il existe une fonction h :]0,+∞[→ R dérivable sur ]0,+∞[ telle que g(u, v) =

∫dθ + h(ρ) =

θ + h(ρ).On déduit que f(x, y) = f(ρ cos θ, ρ sin θ) = f(ϕ(ρ, θ)) = (f ◦ ϕ)(ρ, θ) = g(ρ, θ) = θ + h(ρ) = arctan y

x +

h(√x2 + y2).

Remarque : Soit ρ > 0 et θ ∈]− π, π[. Si x = ρ cos θ et y = ρ sin θ alors ρ =√x2 + y2 et θ = 2arctan y

x+√x2+y2

.

Corollaire 1.11 Soit I un intervalle de R, a ∈ I , E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles,f : I → E, U un ouvert de E tel que f(I) ⊂ U et g : U → F .Si f est dérivable en a et g différentiable en f(a) alors g ◦ f est dérivable en a et on a (g ◦ f)′(a) = dg(f(a))(f ′(a)).

Si, en plus, (e1, . . . , en) est une base de E et f = f1e1 + · · ·+ fnen alors (g ◦ f)′(a) =n∑k=1

∂g

∂xk(f(a))f ′k(a).

Interprétation géométrique : Cette expression permet de déterminer le vecteur tangent en a à l’image par f d’un chemin ϕsur U .Technique : Comment montrer qu’une application n’est pas différentiable :Pour montrer que f n’est pas différentiable en a, on cherche une application à variable réelle ϕ : I → U avec 0 ∈ I , ϕ(0) = a,

ϕ dérivable en 0 et (f ◦ ϕ)′(0) 6=n∑i=1

∂f

∂xi(a)ϕ′i(0).

Exemple : Montrons que f(x, y) =

®x3yx4+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinonn’est pas différentiable en (0, 0) :

On a ∀x ∈ R, f(x, 0) = f(0, x) = 0 donc ∂f∂x (0, 0) =

∂f∂y (0, 0) = 0.

Supposons que f est différentiable en (0, 0) et soit ϕ(t) = (t, t2).On a ϕ est dérivable en 0 et f différentiable en (0, 0) = ϕ(0) donc f ◦ϕ est dérivable en 0 et on a (f ◦ϕ)′(0) = ∂f

∂x (0, 0)ϕ′1(0)+

∂f∂y (0, 0)ϕ

′2(0) = 1× 0 + 2× 0× 0 = 0.

D’autre part, on a ∀t ∈ R, (f ◦ ϕ)(t) = t2 donc (f ◦ ϕ)′(0) = 1

2 6= 0. Absurde, d’où f n’est pas différentiable en (0, 0).

2 Gradient, vecteurs tangents :

2.1 Gradient :Proposition et définition 2.1 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U → R et a ∈ U .Si f est différentiable en a alors ∃!b ∈ E,∀h ∈ E,df(a)(h) = 〈b, h〉. b s’appelle le gradient de f en a et on le note ∇f(a) ou



gradf(a).Si f est différentiable sur U alors l’application x ∈ U 7→ ∇f(x) s’appelle l’application gradient de f sur U et on la note ∇fou gradf .

Exemples : Soit E un espace euclidien.— L’application gradient de l’application f : x ∈ E 7→ ‖x‖2 : On a déjà montré que f est différentiable sur E et que∀x, h ∈ E,df(x)(h) = 2〈x, h〉 = 〈2x, h〉 donc ∀x ∈ E,∇f(x) = 2x.

— L’application gradient de l’application g : x ∈ E \ {0} 7→ ‖x‖ : On a déjà montré que g est différentiable sur E \ {0}et que ∀x ∈ E \ {0},∀h ∈ E,dg(x)(h) = 〈x,h〉

‖x‖ =¨

x‖x‖ , h

∂donc ∀x ∈ E,∇f(x) = x

‖x‖ .Expression du gradient dans une base orthonormée : Soit E un espace euclidien non nul, (e1, . . . , en) une base orthonorméede E, U un ouvert de E, f : U → R et a ∈ U .

Si f est différentiable en a alors ∀h =n∑k=1

hkek ∈ E, 〈∇f(a), h〉 = df(a)(h) =n∑k=1

∂f

∂xk(a)hk =

⟨n∑k=1

∂f

∂xk(a)ek,

n∑k=1

hkek

⟩=⟨

n∑k=1

∂f

∂xk(a)ek, h

⟩donc ∇f(a) =

n∑k=1

∂f

∂xk(a)ek.

Exemples : Soit E un espace euclidien.— L’application gradient de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→ xy : On a f différentiable sur R2 donc ∀(x, y) ∈ R2,∇f(x, y) =Ä

∂f∂x (x, y),

∂f∂y (x, y)

ä= (y, x).

— L’application gradient de l’application g : (x, y, z) ∈ R3 7→ x2 + yz : On a f différentiable sur R3 donc ∀(x, y, z) ∈R3,∇f(x, y, z) =

Ä∂f∂x (x, y, z),

∂f∂y (x, y, z),

∂f∂z (x, y, z)

ä= (2x, z, y).

Interprétations géométriques : Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, a ∈ U , f : U → R différentiable en a.On suppose que ∇f(a) 6= 0 et soit h ∈ E unitaire.

— On a df(a)(h) = 〈∇f(a), h〉 ≤ ‖∇f(a)‖ donc df(a)(h) est maximale si, et seulement si, h = ∇f(a)‖∇f(a)‖ .

— Pour t > 0 assez petit, on a f(a+ th)−f(a) w t〈∇f(a), h〉 ≤ ‖∇f(a)‖ = t¨∇f(a), ∇f(a)‖∇f(a)‖

∂w fÄa+ t ∇f(a)‖∇f(a)‖

ä−

f(a) donc la variation de f en a est maximale lorsque h = ∇f(a)‖∇f(a)‖ , autrement dit, la variation de f en a est maximale

lorsqu’on se déplace suivant la direction∇f(a). On dit que le gradient de f en a est la direction de la plus grande pentede f en a.

2.2 Vecteurs tangents :Définition 2.1 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E et a ∈ A.Un vecteur v de E est dit tangent à A en a s’il existe une suite (xn) dans A \ {a} et une suite (αn) de réels positifs telles quexn → a et αn(xn − a)→ v.L’ensemble des vecteurs tangents à A en a se note TaA.Si TaA est un sous-espace vectoriel de E alors a+ TaA s’appelle l’espace affine tangent à A en a ou la variété affine tangenteà A en a.

Proposition 2.1 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E, a ∈ A et γ :]− ε, ε[→ A tel que γ(0) = a.Si γ est dérivable en 0 alors γ′(0) est un vecteur tangent à A en a.

Démonstration :On a 1

n → 0 donc ∃n0 ∈ N,∀n ≥ n0,1n < ε et considérons les suite (αn)n≥n0

et (xn)n≥n0telles que ∀n ≥ n0, αn = 1

n etxn = γ

(1n

).

On a γ dérivable en 0 donc :— γ est continue en 0 d’où xn = γ

(1n

)→ γ(0) = a.

— αn(xn − a) = 1n

(γ(1n

)− γ(0)

)→ γ′(0).

On déduit que γ′(0) est un vecteur tangent à A en a.

Proposition 2.2 Si U est un ouvert de R2, (x0, y0) ∈ U et f : U → R différentiable en (x0, y0) alors :— L’ensemble des vecteurs tangents à la surface S d’équation z = f(x, y) au point M0 = (x0, y0, f(x0, y0)) est un plan

vectoriel.— la surface S admet en M0 un plan affine tangent d’équation : (x−x0)∂f∂x (x0, y0)+ (y− y0)∂f∂y (x0, y0)− (z− z0) = 0.

Démonstration :Soit α, β ∈ R et γ(t) = 1

2 (x0 + 2αt, y0, f(x0 + 2αt, y0)) +12 (x0, y0 + 2βt, f(x0, y0 + 2β)) donc γ(0) =M0.

On a (x0, y0) ∈ U et U ouvert donc f est définie au voisinage de (x0, y0) d’où γ est définie au voisinage de 0.On a f différentiable sur U donc γ est dérivables en 0 et on a γ′(0) = α(1, 0, ∂f∂x (x0, y0)) + β(0, 1, ∂f∂y (x0, y0)).

Or, d’après la proposition précédente, γ′(0) ∈ TM0S donc Vect{(1, 0, ∂f∂x (x0, y0)), (0, 1,∂f∂y (x0, y0))} ⊂ TM0S.



Soit (u, v, w) ∈ TM0S donc ∃(un, vn) ∈ UN,∃αn ∈ (R+)N tels que (un, vn, f(un, vn)) → (x0, y0, f(x0, y0)) et (αn(un −

x0), αn(vn − y0), αn(f(un, vn)− f(x0, y0)))→ (u, v, w).On a αn(f(un, vn) − f(x0, y0)) = αn(un − x0)

∂f∂x (x0, y0) + αn(vn − y0)

∂f∂y (x0, y0) + αno(‖(un − x0, vn − y0)‖) et

αno(‖(un − x0, vn − y0)‖) = αn‖(un − x0, vn − y0)‖o(1) → ‖(u, v)‖ × 0 = 0 donc αn(f(un, vn) − f(x0, y0)) →u∂f∂x (x0, y0) + v ∂f∂y (x0, y0) d’où w = u∂f∂x (x0, y0) + v ∂f∂y (x0, y0). On déduit que :

(u, v, w) = (u, v, u∂f∂x (x0, y0)+v∂f∂y (x0, y0)) = u(1, 0, ∂f∂x (x0, y0))+v(0, 1,

∂f∂y (x0, y0)) ∈ Vect

¶(1, 0, ∂f∂x (x0, y0)), (0, 1,

∂f∂y (x0, y0))

©donc TM0

S = Vect¶(1, 0, ∂f∂x (x0, y0)), (0, 1,

∂f∂y (x0, y0))

©.

TM0S est alors un plan vectoriel, en particulier, le plan affine tangent à S en M0 a pour équation :∣∣∣∣∣∣x− x0 1 0y − y0 0 1

z − z0 ∂f∂x (x0, y0)

∂f∂y (x0, y0)

∣∣∣∣∣∣ = (x− x0)∂f

∂x(x0, y0) + (y − y0)

∂f

∂y(x0, y0)− (z − z0) = 0

Exemple : Équation du plan P tangent à la surface S : z = xy au point (1, 1, 1) :On considère la fonction f : (x, y) ∈ R2 7→ xy donc S : z = f(x, y), 1 = f(1, 1) et ∂f∂x (1, 1) =

∂f∂y (1, 1) = 1.

On déduit que P : (x− 1) + (y − 1)− (z − 1) = 0 donc P : x+ y − z = 1.Remarque : Soit E est un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de E, f : U → R et c ∈ R.l’ensemble A = {x ∈ U/f(x) = c} s’appelle la ligne de f de niveau c et f(x) = c s’appelle l’équation de A.En dimension 3, A s’appelle la surface de f de niveau c et, en dimension 2, A s’appelle la ligne ou la courbe de f de niveau c.

Proposition 2.3 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U → R, A une ligne de niveau de f et a ∈ A.Si f est différentiable en a alors le gradient de f en a est orthogonal aux vecteurs tangents à A en a.

Démonstration :Soit x un vecteur tangent à A en a donc ∃(xn) ∈ AN,∃(αn) ∈ (R+)N tels que xn → a et αn(xn − a)→ v.On a f(xn) = f(a + (xn − a)) = f(a) + 〈∇f(a), xn − a〉 + o(‖xn − a‖) donc 〈∇f(a), xn − a〉 + o(‖xn − a‖) = 0 carf(xn) = f(a) puisque xn, a ∈ A et A est une ligne de niveau de f .D’autre part, on a αn〈∇f(a), xn − a〉 + αno(‖xn − a‖) = 〈∇f(a), αn(xn − a)〉 + o(‖αn(xn − a)‖) → 〈∇f(a), x〉 donc〈∇f(a), x〉 = 0 d’où ∇f(a) ⊥ x.

Proposition 2.4 Soit U un ouvert de R2, c ∈ R et f : U → R différentiable sur U .Supposons qu’il existe (x0, y0) ∈ U tel que f(x0, y0) = c. Si ∇f(x0, y0) 6= 0 alors l’équation de la tangente à la courbed’équation f(x, y) = c en (x0, y0) est (x− x0)∂f∂x (x0, y0) + (y − y0)∂f∂y (x0, y0) = 0.

Exemple : Équation de la tangente T à l’ellipseH : x2

a2 + y2

b2 = 1 au point (x0, y0) ∈ H.

On pose f(x, y) = x2

a2 + y2

b2 donc ∇f(x0, y0) =(2x0

a2 ,2y0b2

)6= (0, 0) donc T : (x − x0)

x0

a2 + (y − y0)y0b2 = 0 d’où T :

xx0

a2 + yy0b2 = 1.

Proposition 2.5 Soit U un ouvert de R3, c ∈ R et f : U → R différentiable sur U .Supposons qu’il existe (x0, y0, z0) ∈ U tel que f(x0, y0, z0) = c. Si ∇f(x0, y0, z0) 6= 0 alors l’équation du plan tangent à lasurface d’équation f(x, y, z) = x en (x0, y0, z0) est (x−x0)∂f∂x (x0, y0, z0)+(y−y0)∂f∂y (x0, y0, z0)+(z−z0)∂f∂z (x0, y0, z0) = 0.

Exemple : Équation du plan tangent P à la sphère S : x2 + y2 + z2 = 1 au point (x0, y0, z0) ∈ S.On pose f(x, y, z) = x2+ y2+ z2 donc∇f(x0, y0, z0) = (2x0, 2y0, 2z0) 6= (0, 0) donc P : x0(x−x0)+ y0(y− y0)+ z0(z−z0) = 0 d’où P : xx0 + yy0 + zz0 = 1.

3 Applications continûment différentiables :Proposition et définition 3.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E etf : U → F . Les assertions suivantes sont équivalentes :

— f est différentiable sur U et sa différentielle est continue sur U .— Les dérivées partielles de f existent et sont continues sur U .

Dans ce cas, On dit que f est continûment différentiable sur U ou que f est de classe C 1 sur U .

Démonstration :⇒ ) On a f différentiable sur U donc les dérivées partielles de f existent sur U .Soit a ∈ U et ε > 0. On a U ouvert et df continue sur U donc ∃α > 0,∀h ∈ E, si ‖h‖ ≤ α alors a + h ∈ U et9df(a+ h)− df(a)9 ≤ ε.Soit i ∈ {1, . . . , n}. On a ∀h ∈ E tel que ‖h‖ ≤ α,

∥∥∥ ∂f∂xi (a+ h)− ∂f∂xi

(a)∥∥∥ = ‖(df(a+ h)− df(a))(ei)‖ ≤ 9df(a+ h)−



df(a) 9 ‖ei‖ ≤ ε‖ei‖ donc les dérivées partielles de f sont continues en a et par suite sur U .⇐ ) Soit a ∈ U et ε > 0.On a U ouvert et les dérivées partielles de f sont continues sur U donc ∃α > 0,∀h ∈ E, si ‖h‖∞ < α alors a + h ∈ U et∀i ∈ {1, . . . , n},

∥∥∥ ∂f∂xi (a+ h)− ∂f∂xi

(a)∥∥∥ ≤ ε.

Soit h =n∑i=1

hiei ∈ E tel que ‖h‖∞ ≤ α. On a f(a + h) − f(a) =n∑k=1

(f

(a+

k∑i=0

hiei

)− f

(a+

k−1∑i=0

hiei

))avec la

convention h0 = 0 et e0 = 0.

Soit k ∈ {1, . . . , n} et on pose ϕk(t) = f

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

)donc ϕk est définie sur ]− α, α[.

Soient t ∈]− α, α[ et u ∈ R∗ tel que t+ u ∈]− α, α[. On a :ϕk(t+ u)− ϕk(t)

u=

1

u

(f

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek + uek

)− f

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

)).

Or, les dérivées partielles de f sur U existent donc limu→0

1

u

(f

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek + uek

)− f

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

))=

∂f

∂xk

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

).

On déduit que ϕk est dérivable en t et on a ϕ′k(t) =∂f

∂xk

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

)et puisque les dérivées partielles de f sont

continues sur U donc ϕ est de classe C 1 sur ]− α, α[.

On a f(a+ h)− f(a) =n∑k=1

(ϕk(hk)− ϕk(0)) =n∑k=1

∫ hk

0

ϕ′(t)dt =n∑k=1

∫ hk

0

∂f

∂xk

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

)dt donc :

‖f(a+ h)− f(a)−n∑k=1

hk∂f

∂xk(a)‖ =

∥∥∥∥∥ n∑k=1

∫ hk

0

(∂f

∂xk

(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

)− ∂f

∂xk(a)

)dt

∥∥∥∥∥≤

n∑k=1

∣∣∣∣∣∫ hk

0

∥∥∥∥∥ ∂f∂xk(a+

k−1∑i=0

hiei + tek

)− ∂f

∂xk(a)

∥∥∥∥∥dt∣∣∣∣∣

≤n∑k=1

∣∣∣∣∣∫ hk

0

εdt

∣∣∣∣∣=

n∑k=1

ε|hk|

≤n∑k=1

ε‖h‖∞

= nε‖h‖∞

.

On déduit que f(a+ h) = f(a) +n∑k=1

hk∂f

∂xk(a) + o(‖h‖) d’où f est différentiable en a.

Montrons que df est continue en a :Soit h ∈ E tel que ‖h‖∞ < α et ε > 0.

On a ∀k =n∑i=1

kiei ∈ E, ‖df(a+h)(k)−df(a)(k)‖ =∥∥∥∥∥ n∑i=1

Å∂f

∂xi(a+ h)− ∂f

∂xi(a)

ãki

∥∥∥∥∥ ≤ n∑i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi (a+ h)− ∂f

∂xi(a)

∥∥∥∥ |ki| ≤n∑k=1

ε|ki| ≤n∑k=1

ε‖k‖∞ = nε‖k‖∞.

E est de dimension finie donc toute les normes sont équivalentes d’où ∃β > 0, ‖‖∞ ≤ β‖‖ et par suite ‖df(a + h)(k) −df(a)(k)‖ ≤ nβε‖k‖.On déduit que 9df(a+ h)− df(a)9 ≤ nβε donc df est continue en a.D’où f est différentiable sur U et sa différentielle est continue sur U .Remarque : Soient E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F .



Si les composantes de f sont composées de fonctions usuelles (polynômes, fractions, fonctions trigonométriques, fonctionspuissance, exponentiels ...) en les coordonnées de la variable alors f est de classe C 1 sur U .Exemples :

— La fonction f(x, y, z) = 3x2z + xyz − z3y2 + x− 2 est de classe C 1 sur R3 car polynomiale en x, y et z.— La fonction f(x, y, z) = xy+4x2y+1

x2−y2 est de classe C 1 sur A = {(x, y) ∈ R2/x2 6= y2} car fraction en x et y sur A.— La fonction f(x, y, z) = 3x sin(x+y)+xy− ln(2x2+xy)+ y

x +√xy est de classe C 1 sur B = {x, y) ∈ R2/xy > 0}

car se compose de fonctions usuels en x et y sur B.— La fonction M 7→ detM est de classe C 1 surMn(R) car polynomiale en les coefficient de M .— La fonction M 7→ χM est de classe C 1 sur Mn(R) car ses composantes (les coefficients du polynôme χM ) sont

polynomiales en les coefficient de M .

Exemple : Étude de l’application f(x, y) =

®xy3

x4+y2 si(x, y) 6= (0, 0)

0 sinon:

f est fraction en x et y sur R2 \ {(0, 0)} donc de classe C 1 sur R2 \ {(0, 0)} d’où le problème se pose en (0, 0).On a ∀t ∈ R, f(t, 0) = f(0, t) = 0 donc ∂f

∂x (0, 0) =∂f∂y (0, 0) = 0.

Soit (x, y) 6= (0, 0) donc ∂f∂x (x, y) =

y3(y2−3x4)(x4+y2)2 et ∂f∂y (x, y) =

xy2(3x4+y2)(x4+y2)2 d’où :∣∣∣∣∂f∂x (x, y)− ∂f

∂x(0, 0)

∣∣∣∣ = |y|y2(y2 + 3x4)

(x4 + y2)2≤ |y|(x

4 + y2)(3y2 + 3x4)

(x4 + y2)2≤ 3|y| →

(x,y)→(0,0)0

Et ∣∣∣∣∂f∂y (x, y)− ∂f

∂y(0, 0)

∣∣∣∣ = |x|y2(3x4 + y2)

(x4 + y2)2≤ |x|(x

4 + y2)(3x4 + 3y2)

(x4 + y2)2≤ 3|x| →

(x,y)→(0,0)0

On déduit que les dérivées partielles de f sont continues en (0, 0) d’où f est de classe C 1 sur R2.

Proposition 3.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles et U un ouvert de E.L’ensemble des applications de U vers F continûment différentiables sur U est un R-espace vectoriel. On le note C 1(U,F ).

Proposition 3.2 SoientE,F,G des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles,U un ouvert deE, f : U → F ,V un ouvert de F tel que f(U) ⊂ G et g : V → G.Si f ∈ C 1(U,F ) et g ∈ C 1(V,G) alors g ◦ f ∈ C 1(U,G).

Proposition 3.3 Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , I un intervalle deR et γ : I → E telle que γ(I) ⊂ U .

Si γ ∈ C 1(I, E) et f ∈ C 1(U,F ) alors ∀α, β ∈ I , si a = f(α) et b = f(β) alors f(b)− f(a) =∫ β

α

df(γ(t))(γ′(t))dt.

Démonstration :Soit α, β ∈ I , a = f(α), b = f(β) et on considère l’application g = f ◦ γ sur I .On a γ ∈ C 1(I, E) et f ∈ C 1(U,F ) donc g est de classe C 1 sur I et on a ∀t ∈ I, g′(t) = df(γ(t))(γ′(t)).

On déduit que f(b)− f(a) = g(β)− g(α) =∫ β

α

g′(t)dt =

∫ β

α

df(γ(t))(γ′(t))dt.

Remarques : Soient E,F deux espaces euclidiens non nuls, U un ouvert de E, f : U → F et γ ∈ C 1([a, b], U).— On dit que f dérive d’un potentiel sur U si ∃g ∈ C 1(U,R) telle que f = ∇g.

— L’intégral∫ b

a

〈f(γ(t)), γ′(t)〉dt s’appelle la circulation de f le long du chemin γ.

— Si f dérive d’un potentiel g sur U alors la circulation de f le long du chemin γ est g(γ(b))− g(γ(a)). En particulier, lacirculation de f le long du chemin γ ne dépend que de γ(a) et γ(b) et non pas du chemin suivi.

Corollaire 3.4 (Caractérisation des applications constantes sur un ouvert connexe par arcs :)Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies respectives n, p ∈ N∗, U un ouvert connexe par arcs non videde E et f ∈ C 1(U,F ) de composantes f1, . . . , fp dans une base de F . Les assertions suivantes sont équivalentes :

— f est constante sur U .— ∀x ∈ U,df(x) = 0.— ∀x ∈ U, Jf (x) = 0.— ∀x ∈ U,∀i ∈ {1, . . . , p},∀j ∈ {1, . . . , n}, ∂fi∂xj

(x) = 0.

Démonstration :— 1⇒ 2) : On a f constante sur U donc ∀x ∈ U,df(x) = 0.— 2 ⇐⇒ 3 ⇐⇒ 4) Soit x ∈ U . On a df(x) = 0 ⇐⇒ Jf (x) = 0 ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , p},∀j ∈ {1, . . . , n}, ∂fi∂xj

(x) =0.



— 2 ⇒ 1) Démonstration dans le cas U convexe : Soit a, b ∈ U , on a U convexe donc ∀t ∈ [0, 1], a + t(b − a) ∈ U ,considérons alors l’application γ : t ∈ [0, 1] 7→ a+ t(b− a).

On a γ ∈ C 1([0, 1], U) et f ∈ C 1(U,F ) donc f(b)− f(a) =∫ 1

0

df(γ(t))(γ′(t))dt = 0 d’où f(b) = f(a).

On déduit que ∀a, b ∈ U, f(b) = f(a) donc f est constante sur U .Application : Expression de arctanx+ arctan y :On considère l’ouvert U = {(x, y) ∈ R2/xy 6= 1} et soit l’application f : (x, y) ∈ U 7→ arctanx+ arctan y − arctan x+y

1−xy .On a ∀x, y ∈ U :

∂f

∂x(x, y) =

1

1 + x2− (1− xy) + y(x+ y)

(1− xy)21

1 +Äx+y1−xy

ä2=

1

1 + x2− 1 + y2

(1− xy)2 + (x+ y)2

=1

1 + x2− 1 + y2

1 + x2y2 + x2 + y2

=1

1 + x2− 1 + y2

(1 + x2)(1 + y2)=

1

1 + x2− 1

1 + x2= 0

et puisque f(x, y) = f(y, x) alors on a aussi ∂f∂y (x, y) = 0.On déduit que f est constantes sur les ouverts connexes par arcs de U , c’est à dire, sur U1 = {(x, y) ∈ R2/xy < 1},U2 = {(x, y) ∈]0,+∞[2/xy > 1} et U3 = {(x, y) ∈]−∞, 0[2/xy > 1}. On déduit que :

— Si xy ≤ 1 alors f(x, y) = f(0, 0) = 0 car (0, 0) ∈ U1 d’où arctanx+ arctan y = arctan x+y1−xy .

— Si x, y > 0 et xy > 1 alors f(x, y) = limt→+∞

f(t, t) = π donc arctanx+ arctan y = arctan x+y1−xy + π.

— Si x, y < 0 et xy > 1 alors f(x, y) = limt→−∞

f(t, t) = −π donc arctanx+ arctan y = arctan x+y1−xy − π.

En fin, si x, y ∈ R tels que xy = 1 alors arctanx+ arctan y = arctanx+ arctan 1x =

®π2 si x > 0

−π2 si x < 0.

On déduit que arctanx+ arctan y =

arctan x+y1−xy si xy ≤ 1

−π2 si xy = 1 et x < 0

arctan x+y1−xy − π si xy > 1 et x, y < 0

π2 si xy = 1 et x > 0

arctan x+y1−xy + π si xy > 1 et x, y > 0

.

4 Applications de classe C k, extrema :

4.1 Applications de classe C k :Notation : Soit k ∈ N∗, E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U →F .

— ∀i ∈ {1, . . . , n}, on note, ∂kf∂xki

= ∂∂xi

(∂k−1f

∂xk−1i

).

— ∀α1, . . . , αp ∈ N∗ tels que α1 + · · ·+ αp = k, ∀i1, . . . , ip ∈ {1, . . . , n}, on note, :

∂kf

∂xα1i1· · · ∂xαpip

=∂α1

∂xα1i1

Ç∂α2

∂xα2i2

Ç· · ·Ç∂αpf

∂xαpip

å· · ·åå

Exemple : Pour l’application f : (x, y, z) ∈ R2 7→ x2y4z on a

—∂2f

∂x2(x, y, z) =

∂

∂x

Å∂

∂x(x2y4z)

ã= 2

∂

∂x(xy4z) = 2y4z.

—∂2f

∂z∂y(x, y, z) =

∂

∂z

Å∂

∂y(x2y4z)

ã= 4

∂

∂z(x2y3z) = 4x2y3z.

—∂3f

∂y3(x, y, z) =

∂2

∂y2

Å∂

∂y(x2y4z)

ã= 4

∂2

∂y2(x2y3z) = 4

∂

∂y

Å∂

∂y(x2y3z)

ã= 12

∂

∂y(x2y2z) = 24x2yz.

—∂3f

∂x∂z∂x(x, y, z) =

∂2

∂x∂z

Å∂

∂x(x2y4z)

ã= 2

∂2

∂x∂z(xy4z) = 2

∂

∂x

Å∂

∂z(xy4z)

ã= 2

∂

∂x(xy4) = 4y4z.

—∂4f

∂x∂y2∂z(x, y, z) =

∂

∂x

Å∂2

∂y2

Å∂

∂z(x2y4z)

ãã=

∂

∂x

Å∂2

∂y2(x2y4)

ã= 12

∂

∂x(x2y2) = 24xy2.



Définition 4.1 Soit k ∈ N∗, E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E etf : U → F .

— Soit a ∈ U . On appelle dérivée partielle d’ordre k de f en a tout vecteur ∂kf

∂xα1i1···∂xαp

ip

(a) de F avec i1, . . . , ip ∈

{1, . . . , n} et α1, . . . , αp ∈ N∗ tels que α1 + · · ·+ αp = k lorsqu’il existe.— Toute application x ∈ U 7→ ∂kf


ip

(x) avec i1, . . . , ip ∈ {1, . . . , n} et α1, . . . , αp ∈ N∗ tels que α1+ · · ·+αp = k,

lorsqu’elle est définie sur U , s’appelle application dérivée partielle d’ordre k de f sur U . On la note ∂kf


ip

.

Exemple :

— Dérivées partielles d’ordre deux en (0, 0) de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→®

xy3

x4+y2 si(x, y) 6= (0, 0)

0 sinon:

On déjà montré qu ∂f∂x (0, 0) =

∂f∂y (0, 0) = 0 et ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂f∂x (x, y) =

y3(y2−3x4)(x4+y2)2 et ∂f∂y (x, y) =

xy2(3x4+y2)(x4+y2)2 .

— On a ∀t ∈ R, ∂f∂x (t, 0) = 0 donc ∂2f∂x2 (0, 0) = 0.

— On a ∀t ∈ R, ∂f∂x (0, t) = t donc ∂2f∂y∂x (0, 0) = 1.

— On a ∀t ∈ R, ∂f∂y (t, 0) =∂f∂y (0, t) = 0 donc ∂2f

∂x∂y (0, 0) =∂2f∂y2 (0, 0) = 0.

— Dérivées partielles d’ordre deux en (0, 0) de l’application g(x, y) =

{xy(x2−y2)x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon:

On a ∀t ∈ R, g(t, 0) = g(0, t) = 0 donc ∂g∂x (0, 0) =

∂g∂x (0, 0) = 0.

Soit (x, y) 6= (0, 0) donc :

∂g

∂x(x, y) =

(3x2y − y3)(x2 + y2)− 2x(x3y − xy3)(x2 + y2)2

=3x4y + 3x2y3 − x2y3 − y5 − 2x4y + 2x2y3

(x2 + y2)2=y(x4 + 4x2y2 − y4)

(x2 + y2)2

On a ∀(a, b) ∈ R2, g(a, b) = −g(b, a) donc :

∂g

∂y(x, y) = −∂f

∂x(y, x) =

x(x4 − 4x2y2 − y5)(x2 + y2)2

— On a ∀t ∈ R, ∂g∂x (t, 0) = 0 donc ∂2g∂x2 (0, 0) = 0.

— On a ∀t ∈ R, ∂g∂x (0, t) = −t donc ∂2g∂y∂x (0, 0) = −1.

— On a ∀t ∈ R, ∂g∂y (0, t) = 0 donc ∂2g∂y2 (0, 0) = 0.

— On a ∀t ∈ R, ∂g∂y (t, 0) = t donc ∂2g∂x∂y (0, 0) = 1.

— Dérivées partielles d’ordre deux en (0, 0) de l’application h : (x, y) 7→®

y4

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon:

— On a ∀t ∈ R, f(t, 0) = 0 et f(0, t) = t2 donc ∂f∂x (0, 0) =

∂f∂y (0, 0) = 0.

— On a ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂f∂x (x, y) =−2xy4

(x2+y2)2 et ∂f∂y (x, y) =4y3(x2+y2)−2y5

(x2+y2)2 = 2y3(2x2+y2)(x2+y2)2 .

— On a ∀t ∈ R, ∂h∂x (t, 0) = 0 donc ∂2h∂x2 (0, 0) = 0.

— On a ∀t ∈ R, ∂h∂x (0, t) = 0 donc ∂2h∂y∂x (0, 0) = 0.

— On a ∀t ∈ R, ∂h∂y (0, t) = 2t donc ∂2g∂y2 (0, 0) = 2.

— On a ∀t ∈ R, ∂h∂y (t, 0) = 0 donc ∂2h∂x∂y (0, 0) = 0.

Définition 4.2 Soit E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F .— Soit k ∈ N∗. On dit que f est de classe C k sur U si les dérivées partielles d’ordre k de f existent et sont continues sur

U .— On dit que f est de classe C∞ sur U si ∀p ∈ N∗, f est de classe C p sur U .



Remarque : Soient E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F .Si les composantes de f sont composées de fonctions usuelles (polynômes, fractions, fonctions trigonométriques, fonctionspuissance, exponentiels ...) en les coordonnées de la variable alors f est de classe C∞ sur U .

Proposition 4.1 Soit k ∈ N∗ ∪{∞}, E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles et U un ouvert deE.L’ensemble des applications de U vers F de classe C k sur U est un R-espace vectoriel. On le note C k(U,F ) ou C k(U) lorsqueF = R.

Proposition 4.2 Soit k ∈ N∗ ∪ {∞}, E,F,G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvertde E, f : U → F , V un ouvert de F tel que f(U) ⊂ V et g : V → G.Si f ∈ C k(U,F ) et g ∈ C k(V,G) alors (g ◦ f) ∈ C k(U,G).

Lemme 4.3 Soit U un ouvert de R2 tel que (0, 0) ∈ U , F un R espace vectoriel normé de dimension finie non nulle etf : U → F .Si f ∈ C 2(U,F ) alors ∂2f

∂x∂y (0, 0) =∂2f∂y∂x (0, 0).

Démonstration :Soit ε > 0. On a f ∈ C 2(U,F ) donc ∂2f

∂x∂y est continue en (0, 0) d’où ∃α > 0,∀|x| < α, ∀|y| < α,∥∥∥ ∂2f∂x∂y (x, y)−

∂2f∂x∂y (0, 0)

∥∥∥ ≤ε.Soit y ∈] − α, α[ et on pose ϕ(x) = ∂f

∂y (x, y) − x ∂2f∂x∂y (0, 0). On a ϕ est définie sur ] − α, α[ et ∀|x| < α,ϕ′(x) =

∂2f∂x∂y (x, y)−

∂2f∂x∂y (0, 0) donc ϕ est C 1 sur ]− α, α[ et ∀|x| < α, ‖ϕ′(x)‖ ≤ ε.

Donc ‖ϕ(x)− ϕ(0)‖ =∥∥∥∥∫ x

0

ϕ′(t)dt

∥∥∥∥ ≤ ∣∣∣∣∫ x

0

‖ϕ′(t)‖dt∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ x

0

εdt

∣∣∣∣ ≤ ε|x|.On déduit que ∀|x| < α, ∀|y| < α,

∥∥∥∂f∂y (x, y)− x ∂2f∂x∂y (0, 0)−

∂f∂y (0, y)

∥∥∥ ≤ ε|x|.Soit x ∈] − α, α[ et on pose ψ(y) = f(x, y) − xy ∂2f

∂x∂y (0, 0) − f(0, y). On a ψ est définie sur ] − α, α[ et ∀|y| < α,ψ′(y) =∂f∂y (x, y)− x

∂2f∂x∂y (0, 0)−

∂f∂y (0, y) donc ψ est C 1 sur ]− α, α[ et on a ∀|y| < α, ‖ψ′(y)‖ ≤ ε|x|.

Donc ‖ψ(y)− ψ(0)‖ =∥∥∥∥∫ y

0

ψ′(t)dt

∥∥∥∥ ≤ ∣∣∣∣∫ y

0

‖ψ′(t)‖dt∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ y

0

ε|x|dt∣∣∣∣ ≤ ε|xy|.

On déduit que ∀|x| < α, ∀|y| < α,∥∥∥f(x, y)− xy ∂2f

∂x∂y (0, 0)− f(0, y)− f(x, 0) + f(0, 0)∥∥∥ ≤ ε|xy|.

De même, en utilisant la continuité de ∂2f∂y∂x en (0, 0) on obtient :

∃β > 0,∀|x| < β,∀|y| < β,∥∥∥f(x, y)− xy ∂2f

∂y∂x (0, 0)− f(x, 0)− f(0, y) + f(0, 0)∥∥∥ ≤ ε|xy|.

Donc, pour γ = min(α, β), on obtient ∀|x| < γ, ∀|y| < γ,∥∥∥f(x, y)− xy ∂2f

∂x∂y (0, 0)− f(0, y)− f(x, 0) + f(0, 0)∥∥∥ ≤ ε|xy| et∥∥∥f(x, y)− xy ∂2f

∂y∂x (0, 0)− f(x, 0)− f(0, y) + f(0, 0)∥∥∥ ≤ ε|xy| donc ∀|x| < γ, ∀|y| < γ,

∥∥∥xy ∂2f∂y∂x (0, 0)− xy

∂2f∂x∂y (0, 0)

∥∥∥ ≤2ε|xy|.On déduit que

∥∥∥ ∂2f∂y∂x (0, 0)−

∂2f∂x∂y (0, 0)

∥∥∥ ≤ 2ε d’où ∂2f∂y∂x (0, 0) =

∂2f∂x∂y (0, 0).

Théorème 4.1 (Théorème de Schwarz) Soient E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, n =dimE, U un ouvert de E et f : U → F .Si f ∈ C 2(U,F ) alors ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂2f

∂xi∂xj= ∂2f

∂xj∂xisur U .

Démonstration :Soient i, j ∈ {1, . . . , n}, B = (e1, . . . , en) la base de E et a ∈ U .On pose g(x, y) = f(a+ xei + yej) donc g est C 2 au voisinage de (0, 0).On a ∂g

∂x (x, y) =∂f∂xi

(a+ xei + yej) donc ∂2g∂y∂x (x, y) =

∂2f∂xj∂xi

(a+ xei + yej).

De même, ∂2g∂x∂y (x, y) =

∂2f∂xi∂xj

(a+ xei + yej).

Donc ∂2f∂xi∂xj

(a) = ∂2g∂x∂y (0, 0) =

∂2g∂y∂x (0, 0) =

∂2f∂xj∂xi

(a) d’après le lemme précédent.Remarque : Soient E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, n = dimE, U un ouvert de E etf : U → F .Pour montrer que f 6∈ C 2(U,F ), on peut vérifier que ∃i, j ∈ {1, . . . , n},∃a ∈ U, ∂2f

∂xi∂xj(a) 6= ∂2f

∂xj∂xi(a).

Exemples :

— Pour l’application f : (x, y) 7→®

xy3

x4+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon, on a montré que ∂2f

∂x∂y (0, 0) = 0 6= 1 = ∂2f∂y∂x (0, 0) donc f

n’est pas de classe C 2 sur R2.



— Pour l’application g : (x, y) 7→

{xy(x2−y2)x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon, on a montré que ∂2g

∂x∂y (0, 0) = 1 6= −1 = ∂2g∂y∂x (0, 0)

donc g n’est pas de classe C 2 sur R2.Remarque : Soient E,F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, n = dimE, U un ouvert de E et f : U → F .Si ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂2f

∂xi∂xj= ∂2f

∂xj∂xialors f n’est pas forcément de classe C 2 sur U .

Exemple : Pour l’application h : (x, y) 7→®

y4

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon, on a montré que ∂2f

∂x∂y (0, 0) =∂2f∂y∂x (0, 0) = 0.

On a montré que ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂f∂x (x, y) = −2xy4(x2+y2)2 donc ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂

2f∂y∂x (x, y) = −2x 4y3(x2+y2)2−4y5(x2+y2)

(x2+y2)4 =

−8 x3y3

(x2+y2)3 d’où ∀t 6= 0, ∂2f

∂y∂x (t, t) = −1 6→ 0 = ∂2f∂y∂x (0, 0).

On déduit que ∂2f∂y∂x n’est pas continue en (0, 0) donc f n’est pas de classe C 2 sur R2.

4.2 Extrema des fonctions à valeurs réelles :Proposition 4.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f : U → R et a ∈ U tel que f soitdifférentiable en a.Si f admet un extremum local en a alors df(a) = 0.

Démonstration :Soit h ∈ E et on pose ϕ(t) = f(a+ th). On a f différentiable en a donc ϕ est dérivable en 0 et on a ϕ′(0) = df(a)(h).On a f admet un extremum local en a donc ϕ admet un extremum en 0 donc 0 = ϕ′(0) = df(a)(h) d’où df(a) = 0.Remarque : La réciproque est fausse. En effet, pour f(x) = x3 on a f ′(0) = 0 mais f n’admet pas d’extremum en 0.

Définition 4.3 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f : U → R et a ∈ U .On dit que a est un point critique ou stationnaire de f si f est différentiable en a et df(a) = 0.

Théorème 4.2 (Développement de Taylor-Young d’ordre 2)Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, (e1, . . . , en) une base de E, U un ouvert E et f : U → R.

Si f ∈ C 2(U) alors ∀a ∈ U,∀h =n∑i=1

hiei ∈ E :

f(a+ h) = f(a) + df(a)(h) +1

2

n∑i,j=1

hihj∂2f

∂xi∂xj(a) + o

(‖h‖2

)Démonstration :Soit a ∈ U et ε > 0. On a f ∈ C 2(U) donc les dérivées partielles d’ordre deux de f sont continues en a donc ∃α > 0,∀h ∈ E,si ‖h‖ ≤ α alors a+ h ∈ U et ∀i, j ∈ {1, . . . , n},

∣∣∣ ∂2f∂xj∂xi

(a+ h)− ∂2f∂xj∂xi

(a)∣∣∣ ≤ ε.

Soit h =n∑i=1

hiei ∈ E tel que ‖h‖ ≤ α et ϕ : t ∈ [0, 1] 7→ f(a + th) donc ϕ est C 2 sur [0, 1] comme composée

de deux applications de classe C 2 et on a ∀t ∈ [0, 1], ϕ′(t) =n∑i=1

∂f

∂xi(a + th)hi et ϕ′′(t) =

n∑i=1

Å∂f

∂xi(a+ th)

ã′hi =

n∑i=1

(n∑j=1

∂2f

∂xj∂xi(a+ th)hj

)hi =

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a+ th)hihj .

On a ϕ est C 2 sur [0, 1] donc, d’après la formule de Taylor avec reste intégrale, ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +

∫ 1

0

(1 − t)ϕ′′(t)dt =

ϕ(0) + ϕ′(0) +1

2ϕ′′(0) +

∫ 1

0

(1− t)(ϕ′′(t)− ϕ′′(0))dt.

On déduit que f(a+h) = f(a)+df(a)(h)+1

2

n∑i,j=1

∂2f

∂xj∂xi(a)hihj+

∫ 1

0

(1−t)n∑

i,j=1

Å∂2f

∂xj∂xi(a+ th)− ∂2f

∂xj∂xi(a)

ãhihjdt.

On a

∣∣∣∣∣∣∫ 1

0

(1− t)n∑

i,j=1

Å∂2f


∂xj∂xi(a)

ãhihjdt

∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖h‖2∞n∑

i,j=1

∫ 1

0

∣∣∣∣ ∂2f


∂xj∂xi(a)

∣∣∣∣dt ≤ n2ε‖h‖2∞.

On déduit que∫ 1

0

(1− t)n∑

i,j=1

Å∂2f


∂xj∂xi(a)

ãhihjdt = o

(‖h‖2

)d’où le résultat.



Définition 4.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, B une base de E, U un ouvert E, f ∈ C 2(U)et a ∈ U .La matrice

Ä∂2f

∂xi∂xj(a)ä1≤i,j≤n

s’appelle la matrice Hessienne de f en a par rapport à la base B. On la note Hf (a).

Remarque : D’après le théorème de Schwarz la matrice Hessienne est symétrique. En particulier, d’après le théorème spectralelle diagonalisable.Interprétation matricielle du développement de Taylor-Young d’ordre deux : Soit E un R-espace vectoriel normé de di-mension finie non nulle, B une base de E, U un ouvert E et f ∈ C 2(U).Si a ∈ U et h ∈ E tel que a+ h ∈ U alors f(a+ h) = f(a) + Jf (a)H + 1

2tHHf (a)H + o

(‖h‖2

)avec H = [h]B.

Exemples :— Développement de Taylor-Young d’ordre deux de la fonction f(x, y) = x sin y en (x, y) ∈ R2 :

On a ∂f∂x (x, y) = sin y, ∂f∂y (x, y) = x cos y, ∂

2f∂x2 (x, y) = 0, ∂

2f∂y2 (x, y) = −x sin y et ∂2f

∂x∂y (x, y) = cos y donc Jf (x, y) =(sin y x cos y

)et Hf (x, y) =

Å0 cos y

cos y −x sin y

ãd’où ∀(h, k) ∈ R2 :

f(x+ h, y + k) = f(x, y) + Jf (x, y)

Åhk

ã+ 1

2

(h k

)Hf (x, y)

Åhk

ã+ o(h2 + k2

)= f(x, y) +

(sin y x cos y

)Åhk

ã+ 1

2

(h k

)Å 0 cos ycos y −x sin y

ãÅhk

ã+ o(h2 + k2

)= x sin y + h sin y + kx cos y + hk cos y − 1

2xk2 sin y + o

(h2 + k2

)— Développement de Taylor-Young d’ordre deux de la fonction f(x, y) = sinxy en (x, y) ∈ R2 :

On a ∂f∂x (x, y) = y cosxy, ∂f∂y (x, y) = x cosxy, ∂

2f∂x2 (x, y) = −y2 sinxy, ∂

2f∂y2 (x, y) = −x2 sinxy et ∂2f

∂x∂y (x, y) =

−xy sinxy donc Jf (x, y) =(y cosxy x cosxy

)et Hf (x, y) =

Å−y2 sinxy −xy sinxy−xy sinxy −x2 sinxy

ãd’où ∀(h, k) ∈ R2 :

f(x+ h, y + k) = f(x, y) + Jf (x, y)

Åhk

ã+ 1

2

(h k

)Hf (x, y)

Åhk

ã+ o(h2 + k2

)= f(x, y) +

(y cosxy x cosxy

)Åhk

ã+ 1

2

(h k

)Å−y2 sinxy −xy sinxy−xy sinxy −x2 sinxy

ãÅhk

ã+ o(h2 + k2

)= sinxy + hy cosxy + kx cosxy + hkxy sinxy − 1

2y2h2 sinxy − 1

2x2k2 sinxy + o

(h2 + k2

)Corollaire 4.5 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, B une base de E, U un ouvert de E, f ∈C 2(U) et a ∈ U un point critique de f .

— Si les valeurs propres de la matrice Hessienne Hf (a) sont strictement positives alors f admet un minimum local stricteen a.

— Si les valeurs propres de la matrice Hessienne Hf (a) sont strictement négatives alors f admet un maximum local stricteen a.

Démonstration :Soit h ∈ E \ {0} tel que a+ h ∈ U et H = [h]B.On a a est un point critique donc Jf (a) = 0. D’autre part, Hf (a) est symétrique donc ∃O ∈ O(n),∃D = diag(λ1, . . . , λn)Mn(R)tels que Hf (a) =

tODO. Posons X = OH .

D’après la formule de Taylor-Young d’ordre 2, f(a + h) − f(a) = Jf (a)H +1

2tHHf (a)H + o

(‖h‖2

)=

1

2tHODOH +

o(‖h‖2

)=

1

2tXDX + o

(‖h‖2

)=

1

2

n∑i=1

λix2i + o

(‖h‖2

).

On déduit que pour h assez proche de 0 le signe de f(a+ h)− f(a) est celui den∑i=1

λix2i .

— Si les valeurs propres de la matrice Hessienne Hf (a) sont strictement positives alorsn∑i=1

λix2i > 0 car X 6= 0 puisque

h 6= 0, O inversible et X = OH . On déduit qu’au voisinage de a, f(a + h) > f(a) donc f admet un minimum localstricte en a.

— Si les valeurs propres de la matrice Hessienne Hf (a) sont strictement négatives alorsn∑i=1

λix2i < 0. On déduit qu’au

voisinage de a, f(a+ h) < f(a) donc f admet un maximum local stricte en a.

Définition 4.5 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, U un ouvert E, f ∈ C 2(U) et a ∈ U .On dit que f admet un point col ou un point selle en a s’il existe deux vecteurs h et k de E tels l’application t 7→ f(a + th)admet un maximum local stricte en 0 et l’application t 7→ f(a+ tk) admet un minimum local stricte en 0.



Notation de Monge : Soient U un ouvert non vide de R2, f ∈ C 2(U) et (a, b) ∈ U .On pose p = ∂f

∂x (a, b), q =∂f∂y (a, b), r =

∂2f∂x2 (a, b), s = ∂2f

∂x∂y (a, b) et t = ∂2f∂y2 (a, b) donc :

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +(p q

)Åhk

ã+(h k

)År ss t

ãÅhk

ã+ (h2 + k2)

= f(a, b) + hp+ kq + 12 (rh

2 + 2shk + tk2) + o(h2 + k2

)Corollaire 4.6 Soient U un ouvert non vide de R2, f ∈ C 2(U) et (a, b) ∈ U un point critique de f .

On note Hf (a, b) =

År ss t

ã(Notation de Monge) et on suppose que rt− s2 6= 0.

— Si rt− s2 > 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a.— Si rt− s2 > 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a.— Si rt− s2 < 0 alors f admet un point col en a.

Démonstration :On pose Sp(Hf (a)) = {α, β} donc detHf (a) = rt− s2 = αβ et trHf (a) = r + t = α+ β.

— Supposons que rt− s2 > 0 et r > 0 donc rt > s2 ≥ 0 donc t > 0 d’où r+ t > 0. On déduit que α et β ont même signeet α+ β > 0 donc α > 0 et β > 0 d’où f admet un minimum local stricte en a.

— Supposons que rt− s2 > 0 et r < 0 donc rt > s2 ≥ 0 donc t < 0 d’où r+ t < 0. On déduit que α et β ont même signeet α+ β < 0 donc α < 0 et β < 0 d’où f admet un maximum local stricte en a.

— Si rt− s2 < 0 alors α et β ont des signes opposés.Supposons, par exemple que α > 0 et β < 0. Soit H un vecteur propre associé à α et K un vecteur propre associé à β.Soit B la base canonique de R2 et h, k ∈ R2 tels que H = [h]B et K = [k]B.Pour t au voisinage de 0, le signe de f(a + th) − f(a) est celui de tHHf (a)H = α‖h‖2 > 0 donc f(a) < f(a + th)d’où l’application t 7→ f(a+ th) admet un minimum local stricte en 0.Pour t au voisinage de 0, le signe de f(a + tk) − f(a) est celui de tKHf (a)K = β‖k‖2 < 0 donc f(a) > f(a + tk)d’où l’application t 7→ f(a+ tk) admet un maximum local stricte en 0.On déduit que f admet un point col en a.

Exemples :— Extrema de la fonction f(x, y) = x2 + y2 + xy − 3x− 6y :

— Recherche des points critiques de f :

Soit le système

{ ∂f∂x (x, y) = 0

∂f∂y (x, y) = 0

doncß

2x+ y − 3 = 02y + x− 6 = 0

d’où (x, y) = (0, 3) est l’unique point critique

de f .— Recherche des extrema de f :

On a ∂2f∂x2 (x, y) = 2, ∂

2f∂y2 (x, y) = 2 et ∂2f

∂y∂x (x, y) = 1 donc la matrice hessienne de f en (0, 3) est Hf (0, 3) =Ö∂2f∂x2 (0, 3)

∂2f∂x∂y (0, 3)

∂2f∂y∂x (0, 3)

∂2f∂y2 (0, 3)

è=

Å2 11 2

ã=

År ss t

ãdonc rt− s2 = 4− 1 = 3 > 0 et r = 2 > 0 d’où f admet un

minimum local stricte en (0, 3).— Extrema de la fonction f(x, y) = x3 − y2 − 3xy :

— Recherche des points critiques de f :

Soit le système

{ ∂f∂x (x, y) = 0

∂f∂y (x, y) = 0

doncß

3x2 − 3y = 0−2y − 3x = 0

doncßx2 = y3x = −2y donc

ß2x2 = −3x3x = −2y

d’où (x, y) = (0, 3) ou (x, y) =(− 3

2 ,94

). On déduit que f admet deux points critiques (0, 0) et

(− 3

2 ,94

).

— Recherche des extrema de f :On a ∂2f

∂x2 (x, y) = 6x, ∂2f∂y2 (x, y) = −2 et ∂2f

∂y∂x (x, y) = −3

— Cas du point critique (0, 0) : La matrice hessienne de f en (0, 0) est Hf (0, 0) =

Ö∂2f∂x2 (0, 0)

∂2f∂x∂y (0, 0)

∂2f∂y∂x (0, 0)

∂2f∂y2 (0, 0)

è=Å

0 −3−3 −2

ã=

År ss t

ãdonc rt− s2 = −9 < 0 donc f admet un point col en (0, 3).

— Cas du point critique(− 3

2 ,94

): La matrice hessienne de f en (0, 0) est Hf

(− 3

2 ,94

)=

Ö∂2f∂x2

(− 3

2 ,94

)∂2f∂x∂y

(− 3

2 ,94

)∂2f∂y∂x

(− 3

2 ,94

)∂2f∂y2

(− 3

2 ,94

)è

=Å−9 −3−3 −2

ã=

År ss t

ãdonc rt−s2 = 9 > 0 et r = −9 < 0 d’où f admet un maximum local stricte en

(− 3

2 ,94

).


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