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BTS Chimie

Exercices equationsdifferentielles

etudede

fonction

plansd’experiences

statistiquesadeux

variables

lois

statistiqueinferentielle

reponses

2009, ex 1 non lineaire ajustement2009, ex 2 binomiale, normale test I

2008, ex 1 systeme exponentielle2008, ex 2 Pois, binom, norm test I

2007, ex 1 normale test I

2007, ex 2 systeme exponentielle I

2006, ex 1 systeme trigo-expo2006, ex 2 3 facteurs normale confiance2005, ex 1 Pois, binom, norm test I

2005, ex 2 systeme exponentielle2004, ex 1 non lineaire ajustement2004, ex 2 2 facteurs normale test2003, ex 1 systeme exponentielle I

2003, ex 2 2 facteurs normale confiance2002, ex 1 1er ordre exponentielle2002, ex 2 normale test I

2001, ex 1 Pois, binom, norm test I

2001, ex 2 2eme ordre integ./parties2000, ex 1 systeme exponentielle ajustement2000, ex 2 normale confiance I

1999, ex 1 normale test I

1999, ex 2 non lineaire exponentielle1998, ex 1 normale test I

1998, ex 2 systeme exponentielle I

1997, ex 1 dev.limite exponentielle1997, ex 2 binomiale, normale test I

1996, ex 1 normale1996, ex 2 1er ordre exponentielle1995, ex 1 normale test1995, ex 2 1er ordre exponentielle ajustement1994, ex 1 normale confiance1994, ex 2 non lineaire ajustement1993, ex 1 normale I

1993, ex 2 integ./parties ajustement I

1992, ex 1 non lineaire ajustement

×

BTS chimiste 2009 Exercice 1 / 10 points

On etudie la reaction de dimerisation du buta -1,3 - diene en phase gazeuse, symbolisee par : 2B (gaz)→ C(gaz).On etudie la cinetique de cette reaction.• A l’instant t = 0, la concentration du buta -1,3 - diene est notee a, [B]init = a ou a est strictement positif.• De meme a l’instant t, la concentration du buta -1,3 - diene est notee x(t).

[B] = x(t) ou x est une fonction telle que : 0 < x(t) 6 a.

On admet que la vitesse v de la reaction obeit a la loi cinetique : (1) v = k[B]2

ou k est une constante strictement positive liee e la reaction, et on rappelle que la vitesse v de la reaction est definiepar :

(2) v(t) = −dx

dt= −x′(t) ou x′ est la fonction derivee de la fonction x.

Le temps t s’exprime en minutes.

Partie A : etude theorique

1. Justifier que le fonction x verifie l’equation differentielle. notee (E), − x′

x2= k en utilisant les relations (1) et (2).

2. Demontrer que la solution de l’equation differentielle (E) verifiant la condition initiale x(0) = a est telle que :

x(t) =a

akt+ 1.

3. Exprimer le temps de demi-reaction, note t0,5 au bout duquel la moitie du buta -1,3 - diene initial a ete consommee,en fonction de k et a.

4. Exprimer le temps de trois-quarts de reaction, note t0,75 au bout duquel les trois-quarts du buta -1,3 - dieneinitial ont ete consommes, en fonction de k et a.

5. Verifier quet0,75t0,5

= 3.

6. Apres quel instant, exprime en fonction de k et a, restera-t-il moins de 10 % du buta -1,3 - diene initial ?

Partie B : exploitation de resultats experimentauxOn donne a = 2, 000mol.L−1. On obtient experimentalement les resultats suivants :

t en minutes 0 5 10 15 20 25 30

x(t)(en mol.L−1

)2,000 1,301 0,999 0,803 0,665 0,571 0,498

1. Lire dans le tableau ci-dessus les valeurs approchees des temps de demi-reaction et trois-quarts de reaction, puisverifier que ces valeurs approchees sont dans un rapport 3 comme etabli dans la partie A question 5.

2. Reproduire sur la copie et completer le tableau ci-dessous (on arrondira a 10−3) :

t en minutes 0 5 10 15 20 25 30

z(t) =1

x(t)

3. (a) Calculer le coefficient de correlation lineaire entre t et z arrondi a 10−4.

(b) Un ajustement lineaire est-il justifie ?

4. Determiner une equation de la droite des moindres carres sous la forme z = mt + p (m et p seront donnes avecune precision de 10−2). En deduire une expression approchee de x(t) en fonction de t.

5. En utilisant le resultat de la modelisation de la deuxieme question de la partie A. determiner une valeur approcheede la constante k de la reaction .

Sujet×


Une entreprise fabrique en grande serie des fioles jaugees de laboratoire de contenance theorique 500 mL. Ces fiolesjaugees sont donc calibrees sur 500 mL (dans toute la suite du probleme on designera par fiole une fiole jaugee), Ons’interesse a la qualite de la calibration a l’aide d’un controle gravimetrique.

Les resultats des calculs seront arrondis au millieme sauf indication contraire.

Partie A

On appelle X la variable aleatoire qui, a chaque fiole, associe le resultat du controle gravimetrique en mL. On considereque X suit une loi normale de moyenne 500 et d’ecart type σ = 0, 1.

1. Calculer la probabilite d’obtenir le resultat du controle dans l’intervalle [499,8 ; 500,2].

2. Determiner a 10−3 pres le nombre positif h tel que 80 % des resultats appartiennent a l’intervalle [500−h ; 500+h].

Partie B

On refuse toutes les fioles pour lesquelles le volume obtenu lors du controle gravimetrique est superieur a 500, 2 mLou inferieur a 499,8 ml et elles sont alors considerees comme defectueuses, On suppose maintenant que la probabilitequ’une fiole soit defectueuse est egale a 0, 05.Dans un lot d’un tres grand nombre de fioles, on effectue un controle sur 50 fioles choisies au hasard. On appelle alorsY la variable aleatoire qui, a tout lot de 50 fioles, associe le nombre de fioles defectueuses.On assimile les prelevements de 50 fioles a des tirages de 50 fioles avec remise.

1. Justifier que Y suit une loi binomiale de parametres 50 et 0, 05.

2. (a) Donner une valeur approchee de la probabilite qu’il n’y ait aucune fiole defectueuse dans le lot.

(b) Donner une valeur approchee de la probabilite qu’il y ait au moins trois fioles defectueuses dans le lot.

Partie C

A l’occasion d’une commande, un laboratoire recoit des fioles de l’entreprise, laquelle lui assure que les fioles jaugeesont bien une contenance de 500 mL. Il envisage d’effectuer un test de conformite de la commande recue, avec la valeurµ = 500 annoncee par l’entreprise. Pour realiser ce test d’hypothese bilateral, il effectuera un prelevement aleatoire,assimile a un prelevement avec remise de 100 fioles prises dans le lot recu.Soit X la variable aleatoire qui, a un tel prelevement, associe le volume moyen des 100 fioles.

1. Construction du test

A l’hypothese nulle H0 : � µ = 500 �, on oppose l’hypothese alternative H1 : � µ 6= 500 �.

Sous l’hypothese nulle H0, on admet que X suit la loi normale de moyenne 500 et d’ecart typeσ√100

= 0, 01.

(a) En se placant sous l’hypothese H0, determiner la valeur arrondie a 10−2 pres du reel h tel que la probabiliteP (µ− h 6 X 6 µ+ h) soit egale a 0, 95.

(b) En deduire l’intervalle d’acceptation de l’hypothese H0 au seuil de risque de 5 %.

(c) Enoncer la regle de decision du test.

2. Utilisation du test

le laboratoire, apres avoir preleve 100 fioles, constate un volume moyen de 499, 96 mL.

Appliquer le test a l’echantillon puis conclure.

Sujet×


On considere les reactions suivantes :

Ak1−→ B

k2−→←−k3

C

ou k1, k2, k3 designent des constantes reelles strictement positives. A l’instant t, on designe par x(t), y(t), z(t) lesconcentrations respectives en mol.L−1 des produits A, B et C. Les lois de la cinetique chimique permettent d’ecrire :

dx

dt= k1x

dy

dt= k1x− k2y + k3z

dz

dt= k2y − k3z

On suppose que, pour cette reaction :k1 = 1 ; k2 = 1 ; k3 = 0, 5 ; x(0) = 1 ; y(0) = 0 ; z(0) = 0.On obtient ainsi le systeme d’equations differentielles :

x′ = −x (1)

y′ = x− y + 0, 5z (2)

z′ = y − 0, 5z (3)

avec les conditions initiales z(0) = 1 ; y(0) = 0 ; z(0) = 0.

Partie A

1. Resoudre l’equation (1). En deduire z(t) en tenant compte de la condition initiale.

2. (a) En utilisant l’equation (3), exprimer y en fonction de z et z′ puis en deduire l’expression de y′ en fonctionde z” et z′.

(b) En reportant dans l’equation (2) les resultats obtenus aux questions 1. et 2. a., en deduire que z est solutionde l’equation differentielle (E) : z” + 1, 5z′ = e−t.

3. (a) Determiner le reel α de sorte que la fonction ϕ : t 7−→ αe−t soit une solution de l’equation (E).

(b) Resoudre l’equation differentielle (H) : z”+ 1, 5z′ = 0. En deduire que les solutions de (E) sont les fonctionsz definies par :

z(t) = λe−1,5t + µ− 2e−t.

ou λ et µ sont des constantes reelles.

(c) En utilisant l’equation (3), en deduire l’expression de y(t).

(d) Sachant que y(0) = 0 et z(0) = 0, determiner les constantes λ et µ.

Partie BOn considere les fonctions f, g et h definies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(t) = e−t

g(t) = e−t − 4

3e−1,5t +

1

3

h(t) = −2e−t +4

3e−1,5t +

2

3

Sujet×


1. (a) Determiner, en justifiant, la limite en +∞ de la fonction g.

(b) Montrer que, pour tout nombre reel t de l’intervalle [0 ; +∞[, g′ peut s’ecrire g′(t) = e−t(−1 + 2e−0,5t

).

(c) En deduire que la fonction g admet un maximum en un reel t0 (on donnera la valeur exacte de t0). Donnerune valeur approchee a 10−3 pres du maximum de g (la valeur exacte n’est pas demandee).

2. Les trois courbes donnees sur le graphique en annexe sont les representations graphiques des fonctions f, g et h.

(a) Indiquer sur ce graphique laquelle des trois courbes est la courbe Cg, laquelle est Cf , laquelle est Ch, enjustifiant la reponse.

(b) On admet que f(t), g(t), h(t) sont les concentrations respectives des produits A, B, C a l’instant t.Determiner a l’aide du graphique une approximation de l’instant t1, a partir duquel la concentration de Adevient inferieure a celle de B et une approximation de l’instant t2 a partir duquel la concentration de Cdevient superieure a celle de B. Placer t1 et t2 sur le graphique.

Annexe

1

1 2 3O

Sujet×


Une entreprise conditionne et commercialise un desherbant liquide a base de glyphosate en bidons de 540 millilitres.

Partie ALa machine qui remplit les bidons peut etre reglee au moyen d’un dispositif gradue en millilitres. Lorsque celui-ci estregle sur la valeur m, le volume moyen de desherbant par bidon est m. On suppose que la variable aleatoire X qui, atout bidon choisi au hasard dans la production, associe le volume en millilitres de desherbant qu’il contient, suit uneloi normale de moyenne m et d’ecart type 5.

1. On regle le dispositif sur la valeur m = 540. Calculer la probabilite de l’evenement � 535 6 X 6 545 �. Onarrondira le resultat a 10−3 pres.

2. Sur quelle valeur in faut-il regler le dispositif pour que la probabilite de l’evenement � X 6 550 � soit egale a0, 95 ? (La reponse sera arrondie a l’unite.)

3. Un bidon est commercialisable s’il contient au moins 530 millilitres de desherbant.On suppose, dans cette question, que le reglage est tel que 2 % des bidons ne sont pas commercialisables. Onpreleve au hasard 100 bidons dans la production. La production est suffisamment importante pour que l’on puisseassimiler le prelevement a un tirage avec remise. On designe par Y la variable aleatoire qui, a tout echantillonainsi obtenu, associe le nombre de bidons de l’echantillon non commercialisables,

(a) Quelle loi de probabilite suit la variable aleatoire Y ? Quels en sont les parametres ? Justifier. Calculerl’esperance mathematique de Y .

(b) On admet qu’on peut approcher la loi precedente par une loi de Poisson. Quel est le parametre de cette loide Poisson?

(c) Determiner une valeur approchee a 10−3 pres de la probabilite de l’evenement � L’echantillon contient auplus 3 bidons non commercialisables �.

Partie BUne grande surface de jardinerie qui recoit un lot important de bidons de ce desherbant decide de controler la teneuren glyphosate du desherbant dont la valeur annoncee par le fabricant est de 170 g/L.On designe par µ la moyenne en g/L de la teneur en glyphosate des bidons du lot recu par la grande surface.On preleve au hasard un echantillon de 50 bidons dans le lot recu afin de l’adresser a un laboratoire. Le lot est supposeassez important pour que l’on puisse assimiler ce prelevement a un tirage avec remise.On note G la variable aleatoire qui, a chaque echantillon de 50 bidons preleves au hasard dans le lot, associe la teneurmoyenne en glyphosate en g/L de ces bidons.On admet que la variable aleatoire G suit une loi normale de moyenne inconnue µ et d’ecart type 0, 9.La grande surface construit un test d’hypothese :l’hypothese nulle est H0 : µ = 170l’hypothese alternative est H1 ; µ 6= 170le seuil de signification est fixe a 5 %.

1. Sous l’hypothese nulle, determiner le reel h tel que P(170− h 6 G 6 170 + h

)= 0, 95.

2. Enoncer la regle de decision du test.

3. Le resultat obtenu par le laboratoire pour la teneur moyenne en glyphosate des bidons de l’echantillon qui a etepreleve est x = 171, 4 g/L.Au vu de ce resultat, la grande surface estime que le produit est conforme a ce qu’annonce le fabricant. A-t-elleraison? Justifiez votre reponse.

Sujet×


Deux chaınes de production CA et CB d’un laboratoire pharmaceutique fabriquent, en tres grande quantite, le comprimed’un nouveau medicament dont la masse theorique de vente est de 900 mg.Les questions 1, 2 et 3 sont independantes.

1. On note XA (respectivement XB) la variable aleatoire qui, a un comprime pris au hasard dans la production dela chaıne CA (respectivement CB), associe sa masse en mg.On sait que XA (respectivement XB) suit la loi normale de parametres (mA ; σA) (respectivement (mB ; σB).Un comprime est juge conforme au cahier des charges si sa masse est comprise entre 880 mg et 920 mg.

(a) On donne mA = 896 mg et σA = 10 mg. Calculer, a 10−2 pres, la probabilite qu’un comprime pris au hasarddans CA soit conforme.

(b) On donne mB = 900 mg. La probabilite qu’un comprime fabrique par CB soit conforme est 0, 97. Determiner,a l’unite pres, l’ecart type σB.

2. Dans la production totale, 40 % des comprimes proviennent de la chaıne CA et 60 % de la chaıne CB. La chaıneCA produit 4 % de comprimes non conformes et la chaıne CB en produit 3 %.On preleve au hasard un comprime dans la production du laboratoire.On noteA l’evenement � Le comprime a ete fabrique par la chaıne CA �,B l’evenement � Le comprime a ete fabrique par la chaıne CB �,C l’evenement � Le comprime est conforme �.

(a) A partir de l’enonce, determiner les probabilites des evenements A et B ainsi que les probabilites condition-nelles de C sachant A et de C sachant B que l’on notera respectivement PA(C) et PB(C).

(b) Calculer alors la probabilite P (C) de l’evenement C.

(c) On preleve un comprime au hasard dans la production et on constate qu’il est conforme.Determiner, a 10−3 pres, la probabilite qu’il provienne de la chaıne CA.

3. Le controleur qualite n’etant pas satisfait de la production de la chaıne CA, il decide de la faire regler. Apresce reglage, on teste l’hypothese nulle H0 : mA = 900 mg, contre l’hypothese alternative H1 : mA 6= 900 mg, auseuil de risque 5 %. On designe par XA la variable aleatoire qui, a chaque echantillon non exhaustif de taille 100,associe sa masse moyenne en mg. Sous H0, on admet que XA suit la loi normale de parametres (900 ; 1).

(a) Determiner le nombre reel positif h tel que : P (900− h 6 XA 6 900 + h) = 0, 95.

(b) Enoncer la regle de decision permettant d’utiliser ce test.

(c) Un tirage de 100 comprimes dans la production de la chaıne CA est effectue. La masse moyenne obtenue estx = 899 mg. Appliquer le test.

Sujet×


Etude de la cinetique de deux reactions successives du 1er ordreOn considere les reactions successives suivantes :

Ak1

Bk2

C

ou k1, et k2 designent des nombres reels strictement positifs.On designe par a − x, y et z les concentrations en mol.L−1 a l’instant t des produits A, B et C (t est exprime enminutes), a designant la concentration a l’instant t = 0 du produit A, seul present au debut de la reaction.x, y et z sont des fonctions de t definies sur l’intervalle [0 ; +∞[.D’apres la conservation de la matiere on a : x = y + z. Les lois cinetiques donnent :

dx

dt= k1(a− x) (1)

dy

dt= k1(a− x)− k2y (2)

z = x− y (3)

Partie A :

1. L’equation (1) s’ecrit aussi : x′ + k1x = k1a (E1) avec k1 nombre reel positif non nul.

(a) Resoudre l’equation homogene (E0) : x′ + k1x = 0.

(b) Determiner une solution particuliere xp(t) de (E1) sous la forme d’une fonction constante.

(c) En deduire la solution generale de (E1).

(d) Sachant que la solution x de (E1) cherchee verifie x(0) = 0, montrer que :

x(t) = a(1− e−k1t

)

2. On suppose, dans cette question, que k1 et k2 sont des nombres reels positifs distincts.

(a) Montrer que l’equation (2) equivaut a (E2) :

y′ + k2y = k1ae−k1t

(b) Resoudre l’equation homogene (E′0) : y′ + k2y = 0.

(c) Determiner une solution particuliere yp(t) de (E2) sous la formeyp(t) = λe−k1t ou λ est une constante reelle a determiner.

(d) En deduire la solution generale de (E2).

(e) Sachant que y(0) = 0, montrer que : y(t) =ak1

k2 − k1

(e−k1t − e−k2t

).

3. Donner l’expression de z(t).

Partie B : Etude d’un exempleCas de la reduction d’un sel mercurique :

Hg2+ 7−→ Hg+ 7−→ Hg

(en presence de H2 sous pression constante), avec a = 10−3 mol.L−1, k1 = 0, 0283 min−1 et k2 = 0, 0033 min−1.

1. Verifier que : z(t) = 10−3(1 + 0, 132e−0,0283t − 1, 132e−0,0033t

).

2. Calculer limt→+∞

z(t).

3. Determiner la derivee de la fonction z.

4. Montrer que, pour tout nombre reel t strictement positif : e−0,0283t < e−0,0033t.

5. En deduire le signe de z′(t) et le sens de variation de z sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Sujet×


On considere trois reactions d’ordre 1 formant le cycle suivant :

C

B

A

On designe par x, y et z les concentrations en mol.L−1 a l’instant t des produits A, B et C (t exprime en minutes).Sachant qu’a chaque instant t, on a : x + y + z = 3, les lois cinetiques donnent, en remplacant z par 3 − x − y, lesequations suivantes :

dx

dt= −2x− y + 3 (1)

dy

dt= −y + x (2)

z = 3− x− y (3)

avec les conditions initiales x(0) = 3, y(0) = z(0) = 0.

Les deux premieres equations permettent d’etablir une equation differentielle du second ordre lineaire a coefficientsconstants (E1) verifiee par x :

(E1)d2x

dt2+ 3

dx

dt+ 3x = 3.

On rappelle qued2x

dt2est la derivee seconde de la fonction x et que

dx

dtest la derivee de la fonction x.

1. Resoudre dans C l’equation du second degre d’inconnue r suivante :

(Ec) r2 + 3r + 3 = 0.

2. En deduire la solution generale de l’equation differentielle du second ordre suivante

(E0)d2x

dt2+ 3

dx

dt+ 3x = 0.

3. Determiner une fonction constante solution particuliere de l’equation differentielle du second ordre (E1).

4. En utilisant les resultats precedents, donner la solution generale de l’equation differentielle (E1).

5. En utilisant l’equation (1), calculer la valeur prise par la derivee de la fonction x en zero : x′(0).

6. Montrer que la solution de l’equation differentielle (E1) qui verifie les conditions initiales est la fonction x definiepour t > 0 par

x(t) = 1 + 2e−1,5t cos

(√3

2t

).

7. Calculer la derivee de la fonction x. En deduire l’expression de la fonction y.

8. Determiner la fonction z en utilisant l’equation (3).

9. Calculer, en les justifiant, les limites de x(t), y(t) et z(t) lorsque t tend vers +∞.

Sujet×


Partie AOn produit du styrene par deshydrogenation catalytique de l’ethylbenzene. Pour etudier le rendement de cette produc-tion, on realise un plan d’experience 23 complet, construit selon l’algorithme de Yates.Les trois facteurs sont :X1 : la nature du catalyseur ;X2 : la temperature ;X3 : le rapport molaire vapeur d’eau / ethylbenzene.

En fonction du domaine experimental, on attribue les niveaux suivants a chacun des facteurs :

niveau −1 +1

X1 : catalyseur C1 C2

X2 : temperature 800 K 1000 K

X3 : rapport molaire 4/1 9/1

On realise huit experiences dont les resultats sont donnes par le tableau suivant :

experience 1 2 3 4 5 6 7 8

catalyseur C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2

temperature 800 K 800 K 1000 K 1000 K 800 K 800 K 1000 K 1000 K

rapport molaire 4/1 4/1 4/1 4/1 9/1 9/1 9/I 9/1

rendement (%) 46 40 92 80 48 42 95 85

Le modele retenu pour le rendement Y est un modele polynomial de la forme

Y = a0 + a1X11 + a2X2 + a3X3 + a12X1X2 + a13X1X3 + a23X1X3 + a123X1X2X3 + ε.

Les reponses concernant cette partie A seront donnees sur la feuille Annexe qui sera jointe a la copie.

1. Completer la matrice complete des experiences et des effets, ci-jointe en annexe ; calculer une estimation ponctuellede chacun des coefficients du modele.

2. Si on considere qu’un effet dont l’estimation ponctuelle est inferieure a 1 % est non significatif, donner l’expressiondu modele.

3. La representation graphique de l’effet du facteur X1 est donnee par le graphique ci-joint en annexe. Justifier lesvaleurs de Y donnees sur le graphique en annexe.Quel est l’effet global du facteur X1 ?Quelle conclusion peut-on en tirer afin d’obtenir le meilleur rendement ?

Sujet×


Partie BOn utilise le styrene dans la fabrication du polystyrene. A la fin de la chaıne de transformation un broyeur delivre lepolystyrene en granules. Afin de controler la granulometrie, on preleve un echantillon de 100 granules et on mesure leurdiametre, en millimetre. La moyenne m et l’ecart type s de cet echantillon sont tels que m = 4, 63 et s = 0, 15.

1. Cet echantillon etant assimile a un echantillon non exhaustif, deduire des resultats obtenus pour cet echantillonune estimation ponctuelle (a 10−2 pres) de la moyenne µ et de l’ecart type σ des diametres des granules delivrespar ce broyeur.Dans la suite de l’exercice on considerera que la valeur de l’ecart type σ est l’estimation ponctuelle obtenue.

2. On suppose que la variable aleatoire X qui, a tout echantillon non exhaustif de taille n = 100, associe la moyennedes diametres des granules de cet echantillon suit une loi normale. Quels sont les parametres de cette loi ?

3. Determiner un intervalle de confiance de la moyenne des diametres µ avec un coefficient de confiance egal a 95 %.

Sujet×


Annexe : Exercice 2 - Partie A

1. Matrice des effets :

Experience Moyenne X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 Y observe

1 46

2 40

3 92

4 80

5 48

6 42

7 95

8 85

Estimation des effets a0 a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123

Calcul des estimations ponctuelles des effets :

a0 =

a1 =

a2 =

a3 =

a12 =

a13 =

a23 =

a123 =

2. Expression du modele :

Y =

3. Representation graphique de l’effet de facteur X1 :

X1

Y

−1 1

61, 75

70, 25

Sujet×


Une entreprise fabrique des appareils de mesures qui doivent satisfaire a un cahier des charges.

Partie AUne etude prealable a montre que 99 % des appareils fabriques sont conformes au cahier des charges. On choisit, auhasard et de facon non exhaustive (tirages avec remise), n appareils dans l’ensemble de la production.

1. On suppose dans cette question que n = 10. Soit X la variable aleatoire egale au nombre d’appareils conformesparmi les 10.

(a) Pourquoi X suit-elle une loi binomiale ? Quels sont les parametres de cette loi ?

(b) Determiner la probabilite pour qu’il y ait au moins 9 appareils conformes parmi les 10 ; donner une valeurarrondie du resultat a 10−3 pres.

2. On suppose dans cette question que n = 500.Soit Y la variable aleatoire egale au nombre d’appareils non conformes parmi les 500.On considere l’evenement E � le nombre d’appareils non conformes est superieur ou egal a 6 �

(a) Pourquoi peut-on approcher la loi binomiale de la variable aleatoire Y par la loi de Poisson de parametre 5 ?

(b) En utilisant cette approximation calculer la probabilite de l’evenement E arrondie au centieme.

Partie BL’entreprise met en place un nouveau dispositif cense ameliorer la fiabilite des appareils produits. Deux chaınes defabrication sont mises en service : la chaıne no 1, sans nouveau dispositif et la chaıne no 2 avec le nouveau dispositif.Afin de tester l’hypothese selon laquelle le nouveau dispositif ameliore de maniere significative la fiabilite des appareilsproduits, on a preleve de maniere aleatoire 200 appareils a la sortie de chacune des deux chaınes de fabrication.Un pourcentage p1 (resp. p2) d’appareils issus de la chaıne no 1 (resp. no 2) ont fonctionne parfaitement pendant les3 premiers mois.

1. (a) Expliquer pourquoi on met en place un test unilateral.

(b) On prend pour hypothese nulle H0 : p1 = p2. Preciser l’hypothese H1 alternative qui va etre opposee al’hypothese H0.

On note F1 (resp. F2) la variable aleatoire qui a chaque echantillon de taille 200 provenant de la chaıne no 1 (resp.no 2) associe la frequence f1 (resp. f2) d’appareils ayant parfaitement fonctionne pendant 3 mois. Sur les deuxechantillons preleves, on a obtenu des valeurs observees qui sont : f1 = 87 % et f2 = 93 %.On note D = F2− F1.Sous l’hypothese nulle, les deux chaınes sont censees produire le meme pourcentage p d’appareils conformes et la

loi suivie par D (celle que l’on adopte) est la loi normale : N(0 ;

√p(1− p)

200+

p(1− p)

200

).

On prend p = 0, 9 car p =p1 + p2

2.

2. Preciser les parametres de la loi suivie par D.

3. Si α est le seuil de risque, on designe par hα le reel positif tel que : P (D 6 hα) = 1− α.

(a) On suppose dans cette question que α = 0, 01.Determiner la valeur arrondie au centieme hα.Enoncer la regle de decision du test. Conclure quant a l’efficacite presumee du nouveau dispositif au seuilde risque 0, 01.

(b) On suppose dans cette question que α = 0, 05.Determiner hα.Enoncer la regle de decision du test.Conclure quant a l’efficacite presumee du nouveau dispositif au seuil de risque 0, 05.

Sujet×


Le benzene, a l’etat de vapeur, dilue dans un gaz inerte, reagit avec le dichlore.

Partie ALa reaction de chloration du benzene, dans certaines conditions, conduit a la formation de monochlorobenzene et dedichlorobenzene. On peut admettre que la concentration en dichlore est constante pendant toute la duree de la reaction(car cette concentration en dichlore est tres grande par rapport a la concentration en benzene).

A l’instant t, exprime en minute, on designe par x(t), y(t) et z(t) les concentrations molaires respectives du benzene,du monochlorobenzene et du dichlorobenzene en micromole par litre.

A l’instant t = 0, les concentrations molaires sont egales a :pour le benzene [C6H6] = 0, 2pour le monochlorobenzene [C6H5Cl] = 0pour le dichlorobenzene [C6H4Cl2] = 0.

On admet que les fonctions x, y et z sont solutions sur [0 ; +∞[ du systeme differentiel (S)

x′(t) = −k1x(t) : (E1)

y′(t) = k1x(t) − k2y(t) : (E2)

z′(t) = k2y(t) : (E3)

ou k1 et k2 sont des constantes de vitesse, 0 < k1 < k2.

1. (a) Resoudre l’equation differentielle (E1).

(b) Determiner la solution de (E1) verifiant la condition initiale x(0) = 0, 2.

2. (a) Montrer que les solutions y du systeme (S) verifient l’equation differentielle (E4) :

y′(t) + k2y(t) = 0, 2k1e−k1t, avec t ∈ [0 ; +∞[.

(b) Determiner le reel A de sorte que t 7−→ Ae−k1t soit solution de l’equation differentielle (E4).

(c) Resoudre l’equation differentielle (E4).

(d) Determiner la solution de (E4) verifiant la condition initiale y(0) = 0.

3. (a) Verifier que pour tout t superieur ou egal a 0 , on a : x′(t) + y′(t) + z′(t) = 0.

(b) En deduire la solution z du systeme (S) verifiant les conditions initiales a l’instant t = 0.

Partie BOn considere les fonctions f et g definies respectivement sur [0 ; +∞[ par :

f(t) = e−k1t − e−k2t et g(t) =0, 2k1k2 − k1

f(t).

1. (a) Calculer la derivee f ′(t).

(b) Montrer que l’equation f ′(t) = 0 admet une unique solution, qu’on notera tm sur R+. Exprimer tm enfonction de k1 et k2.

(c) Etudier les variations de f sur R+.

(d) En deduire que la fonction g admet un maximum en tm.

2. Au cours d’une experience on constate que le maximum de la fonction g est atteint a l’instant t = 30.Quelle relation peut-on deduire entre k1 et k2 ?

Sujet×


On etudie la cinetique, a 100˚C, de la substitution de l’atome de chlore de l’acide monochloroacetique par OH− selonla reaction :

Cl-CH2COO− + OH− 7−→ HO-CH2COO− + Cl−

• a l’instant t = 0, les concentrations des reactifs sont : [OH−]0 = a et [Cl-CH2COO−]0 =a

2, ou a est un reel donne

tel que a > 0,

• de meme a l’instant t, [OH−] = a− x(t) et [Cl-CH2COO−] =a

2− x(t) avec 0 6 x(t) <

a

2,

• a l’instant t, le rendement de la reaction vaut r(t) =x(t)

a/2.

On admet que la vitesse de la reaction est donnee par la relation :

v =dx

dt= k ·

[Cl-CH2COO−] ·

[OH−]

ou k est une constante liee a la reaction avec t s’exprimant en secondes.

PARTIE A : etude theorique

1. Etablir l’equation differentielle, notee (E), liantdx

dt, x, a et k.

2. Trouver les constantes λ et µ, exprimees en fonction de a, telles que :

pour tout z de l’intervalle[0 ;

a

2

] 2

(a− x)(a− 2x)=

λ

a− x+

µ

a− 2x

3. Montrer que la solution de l’equation differentielle (E) verifiant la condition initiale x(0) = 0 est telle que :

ln

(a− x(t)

a− 2x(t)

)=

ak

2t ou ln est la fonction logarithme neperien.

4. Montrer que r(t) =2(1− eAt

)

1− 2eAtou A =

ak

2et r designe le rendement de la reaction.

5. On considere dans cette question que A = 8 · 10−4 ; determiner alors le temps t (arrondi a la seconde) pour lequelle rendement r(t) de la reaction est egal a 0, 9.

Partie B : exploitation de resultats experimentaux - determination de k

On donne a = 1, 65 mol.L−1. En posant y(t) = ln

(a− x(t)

a− 2x(t)

), on obtient les resultats experimentaux suivants :

t (en secondes) 0 150 300 900 1200 1500 1800 2100 2400

x(t) 0 0,097 0,222 0,688 0,902 1,130 1,408 1,550 1,938

1. Determiner l’equation de la droite des moindres carrees sous la forme : y = mt+ p ou m et p sont des coefficientsreels ; m sera donne avec une precision de 10−6 et p avec une precision de 10−3.

2. En estimant que p est tres proche de 0, et en utilisant le resultat de la modelisation de la 3e question de la partieA, determiner une valeur approchee de la constante k de la reaction.

Sujet×


Etude experimentale d’une colle a prise chimique

Un fabricant met au point une nouvelle colle a prise chimique (par polymerisation). Durant la phase de collage, laresistance a la traction de la colle augmente de facon significative jusqu’a une valeur maximale. Le fabricant veutetudier la � duree de prise �, c’est a dire la duree necessaire pour que la resistance de la colle atteigne les trois quartsde sa valeur maximale.

Partie ALe fabricant etudie l’influence de deux facteurs, la temperature et l’humidite ambiantes, sur la duree de prise de lacolle.Il note X1 (resp. X2) la variable qui associe au facteur temperature (resp. humidite) son niveau, et Y la duree de priseetudiee (exprimee en minutes).Il procede a un plan d’experience factoriel 22 dont les resultats figurent ci-dessous.

Tableau 1 :

Tempera-ture

Humidite Duree de prise(en min) Y

niveau -1 +1

18 C faible 11 temperature 18 C 22 C

22 C faible 9 humidite faible forte

18 C forte 10

22 C forte 13

Le modele retenu pour Y est un modele polynomial du type

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + a12X1X2 + ε

1. Reproduire et completer la matrice complete des experiences et des effets, construite selon l’algorithme de Yates :

Experience Moyenne X1 X2 X1X2 Y

1

2

3

4

Effets a0 a1 a2 a12

Sujet×


2. Calculer les estimations ponctuelles des effets principaux et de l’interaction.Ecrire l’equation du modele de Y en fonction de X1 et X2.

3. Interpretation des effets :

(a) Peut-on negliger l’interaction ?

(b) A la temperature de 20˚C (X1 = 0) comment varie la duree de prise lorsque l’humidite varie du niveaufaible a fort ?

Partie BLe fabricant effectue une deuxieme campagne de mesures : il fait realiser 100 collages independants, dans des conditionsde temperature variables entre 18˚C et 22˚C. Les resultats sont donnes ci-dessous.

Tableau 2 :

Duree deprise enminutes

[8,5 ; 9[ [9 ; 9,5[ [9,5 ; 10[ [10 ; 10,5[ [10,5 ; 11[ [11 ; 11,5[ [11,5 ; 12[ [12 ; 12,5[ [12,5 ; 13[

Effectif 0 6 9 17 22 27 13 4 2

1. Calculer la moyenne x et l’ecart type s de la serie de mesures du tableau 2 (on donnera x a 0,01 pres et s a 0,1pres).

2. On admet ici que la duree de prise est une variable aleatoire X suivant une loi normale de moyenne µ inconnueet d’ecart-type σ = 0, 8.

On note X la variable aleatoire qui a une serie quelconque de 100 collages independants associe sa duree moyennede prise.

Donner la loi de probabilite de X en fonction de µ et σ.

3. Le fabricant construit un test bilateral pour tester l’hypothese nulle H0 : � µ = 10, 75 � au seuil de significationde 95 % ; l’hypothese alternative est donc H1 : � µ 6= 10, 75 �

(a) Sous l’hypothese H0, determiner la valeur arrondie a 0, 01 pres du reel h telle que :

P (µ− h 6 X 6 µ+ h) = 0, 95.

(b) En deduire l’intervalle d’acceptation de l’hypothese H0 au seuil de signification de 95 %.

(c) Enoncer la regle de decision du test.

(d) Appliquer le test a la serie de mesures du tableau 2 et conclure.

Sujet×


Etude de la cinetique d’une reaction en chaıne.

On considere un reacteur dans lequel on fait reagir du CH4 dans du Cl2 en exces. Dans ce cas, on peut modeliser lesreactions par des cinetiques d’ordre 1 :

CH4 −→ CH3Cl −→ CH2Cl2 −→ CHCl3 −→ CCl4

On note a = [CH4]0, la concentration initiale en CH4 et k une constante reelle non nulle exprimee en min−1. Le tempst est exprime en minutes.

Les valeurs approchees seront arrondies au centieme le plus proche.

Les trois parties A, B et C sont independantes.

Partie A

[CH4]t, etant la concentration en CH4 a l’instant t, on pose x(t) =[CH4]t

a. A l’instant t = 0, la concentration en CH4

est egale a a et donc x(0) = 1.Les lois cinetiques donnent l’equation differentielle suivante :

dx

dt= −4kx (1)

1. (a) Donner la solution generale de l’equation differentielle (1).

(b) Determiner la solution de l’equation (1) qui verifie la condition initiale x(0) = 1.

[CH3Cl]i etant la concentration en CH3Cl a l’instant t, on pose y(t) =[CH3]t

a.

A l’instant t = 0, la concentration en CH3Cl est nulle, donc y(0) = 0.

Les lois cinetiques donnent l’equation differentielle suivante :dy

dt= −3ky + 4ke−4kt qui s’ecrit sous la forme :

y′ + 3ky = 4ke−4kt (2)

2. Resoudre l’equation differentielle homogene associee : y′ + 3ky = 0.

3. Determiner une solution particuliere de l’equation (2) de la forme t 7−→ λe−4kt ou λ est une constante reelle.

4. (a) Donner la solution generale de l’equation differentielle (2).

(b) Determiner la solution de l’equation differentielle (2) qui verifie la condition initiale y(0) = 0.

Partie B

[CH2Cl2]t et [CHCl3]t etant les concentrations en CH2Cl2 et CHCl3 a l’instant t, on pose z(t) =[CH2Cl2]t

aet

v(t) =[CHCl3]t

a. A l’instant t = 0, ces concentrations sont nulles et donc z(0) = v(0) = 0.

Les lois cinetiques donnent les equations differentielles suivantes

dz

dt= −2kz + 12k

(e−3kt − e−4kt

)(3)

dv

dt= −kv + 2kz (4)

Sujet×


1. Montrer que v′(0) = 0.

2. (a) Montrer que l’equation (4) s’ecrit sous la forme : z(t) =1

2k[v′(t) + kv(t)].

(b) En derivant cette expression de z, exprimer z′ =dz

dten fonction de v′ =

dv

dtet de v′′ =

d2v

dt2.

(c) En reportant les expressions de z et dedz

dtdans l’equation (3), montrer que v verifie l’equation differentielle

du second ordre lineaire a coefficients constants (E1) suivante :

v” + 3kv′ + 2k2v = 24k2(e−3kt − e−4kt

)(E1)

3. Resoudre l’equation differentielle homogene (E0) associee : v” + 3kv′ + 2k2v = 0.

4. Determiner une solution particuliere de l’equation (E1) de la forme t 7−→ αe−3kt + βe−4kt ou α et β sont desconstantes reelles.

5. Donner la solution generale de l’equation differentielle (E1).

On suppose maintenant que k = 0,1 min−1 .

6. Montrer que la solution v qui verifie les conditions initiales v(0) = 0 et v′(0) = 0 est definie par :

v(t) = 4e−0,1t − 12e−0,2t + 12e−0,3t − 4e−0,4t

Partie COn considere la fonction v definie par tout reel t > 0 par

v(t) = 4e−0,1t − 12e−0,2t + 12e−0,3t − 4e−0,4t.

1. (a) Calculer la derivee v′ de v.

(b) Verifier que la derivee de v peut s’ecrire sous la forme :

v′(t) = 0, 4e−0,1t(4e−0,1t − 1

) (e−0,1t − 1

)2.

2. Etudier le signe de v′(t) en fonction de t. En deduire le tableau de variations de la fonction v sur l’intervalle[0 ; 75].

3. Representer graphiquement la fonction v : t 7−→ v(t) pour t ∈ [0 ; 75] dans un repere orthogonal d’unitesgraphiques, 1 mm sur l’axe des abscisses (1 cm represente donc 10 minutes) et 20 cm sur l’axe des ordonnees.

Sujet×


Partie I : plan d’experiencesPour etablir un modele du rendement en trichloromethane, on realise un plan factoriel d’experiences complet portantsur deux facteurs X1 et X2 qui representent la temperature et la duree du passage des gaz dans le reacteur. Ce pland’experiences est construit selon l’algorithme de Yates.On suppose que le rendement y du phenomene est modelise par une expression de la forme :

y = a0 + a1X1 + a2X2 + a12X1X2 + ε

ou a0, a1, a2, a12 sont des reels et ε une variable aleatoire qui suit une loi normale de moyenne 0 et d’ecart type σ, ouσ est un reel superieur a zero.On attribue les niveaux suivants aux facteurs :

niveau −1 1

duree X1 10 minutes 20 minutes

temperature X2 50˚C 100˚C

Les quatre experiences realisees ont donne les resultats suivants :

experience 1 2 3 4

duree 10 minutes 20 minutes 10 minutes 20 minutes

temperature 50˚C 50˚C 100˚C 100 ˚C

rendement 0,05 0,10 0,15 0,25

1. Etablir la matrice complete des experiences et des effets.

2. Calculer les estimations ponctuelles des effets.

3. Donner l’expression du modele.

4. Interpretation

(a) Que represente le coefficient a0 par rapport a ces experiences ?

(b) En interpretant des effets des deux facteurs, quelles sont les conditions optimales pour la fabrication dutrichloromethane?

Partie II : etude statistiqueLes valeurs approchees seront arrondies au millieme le plus proche.

On suppose que l’estimation ponctuelle de a1 est 0, 038. On considere que l’effet du facteur X1, est estime par unevariable aleatoire qui suit une loi normale d’ecart type σe = 0, 005.Calculer un intervalle de confiance de l’effet du facteur X1 au seuil de risque 5 %.

Sujet×


Lorsqu’un fil conducteur est parcouru par un courant electrique d’intensite constante, celui-ci s’echauffe par effet Jouleet sa temperature varie en fonction du temps. Designons par θ(t) la temperature du conducteur exprimee en degresCelsius a l’instant t exprime en secondes.A l’instant de la mise sous tension, choisi comme instant origine (t = 0), la temperature du conducteur est celle dumilieu ambiant : θ(0) = 18 (condition initiale).Dans les conditions de l’experience, le bilan energetique se traduit par l’equation differentielle

(E) θ′(t) + 10kθ(t) = 2, t > 0

dans laquelle k est une constante qui depend du conducteur et du milieu ambiant.

Partie AOn suppose, dans cette partie, que le conducteur est parfaitement isole, c’est-a-dire que k = 0.

1. Ecrire l’equation differentielle correspondant a k = 0 puis resoudre cette equation differentielle.

2. Representer graphiquement les variations de θ dans un repere orthogonal d’unite graphiques : 1 cm en abscissepour 2 secondes et 1 cm en ordonnee pour 2 ˚C.

3. Calculer le temps necessaire pour que la temperature du conducteur atteigne 30 ˚C.

Partie BOn suppose, dans cette partie, que le conducteur n’est pas thermiquement isole et que k = 5× 10−3.

1. Verifier que la temperature du conducteur s’exprime par : θ(t) = 40− 22e−0,05t.

2. (a) Calculer la temperature stationnaire du conducteur : θe = limt→+∞

θ(t).

Donner l’interpretation graphique de ce resultat.

(b) Determiner le developpement limite de θ au voisinage de t = 0, a l’ordre 2. En deduire une equation de latangente a la courbe representative de θ en son point d’abscisse 0 et preciser la position de la courbe parrapport a cette tangente, au voisinage de t = 0.

3. (a) Etudier les variations de θ en fonction de t.

(b) Construire la courbe representative de θ sur le meme graphique que dans la partie A.

(c) Calculer la temperature du conducteur a l’instant t = 20.

(d) Calculer le temps necessaire pour que la temperature du conducteur atteigne 39,99 ˚C.

Sujet×


Un laboratoire de chimie est charge de conditionner des flacons d’eau de toilette destines a une parfumerie. On definitune variable aleatoire X associant a chaque flacon le volume de son contenu exprime en cm3. On suppose que X suitla loi normale de moyenne µ (inconnue) et d’ecart type σ = 0, 036.

Premiere partieDans cette partie, on prend pour µ la valeur annoncee par le fournisseur : µ = 43, 041. Le cahier des charges indiqueque le flacon est conforme lorsque le volume de son contenu appartient a l’intervalle [42,970 ; 43,130].

On choisit un flacon au hasard dans la production.

1. Determiner la probabilite pour qu’il soit conforme.

2. Trouver un intervalle centre en µ dans lequel le volume a 85 % de chances de se trouver.

Deuxieme partieA l’occasion d’une commande, le parfumeur recoit du laboratoire un lot de flacons. Il envisage d’effectuer un test deconformite de la moyenne µ de la production, avec la valeur m = 43, 041 annoncee par le fournisseur. Pour realiser cetest d’hypothese bilateral, il effectue un prelevement aleatoire, assimile a un prelevement avec remise de 75 flacons prisdans le lot recu.

Les resultats sont consignes dans le tableau suivant :

Volume [42,930 ; 42,970[ [42,970 ; 43,010[ [43,010 ; 43,050[ [43,050 ; 43,090[ [43,090 ; 43,130]

Effectif 2 7 39 19 8

1. Calcul de la moyenneCalculer la moyenne x de cet echantillon (arrondie a 10−3 pres) en faisant l’hypothese que les valeurs observeessont respectivement celle du centre de chaque classe.

2. Construction du testOn oppose l’hypothese nulle H0 : µ = m a l’hypothese alternative H1 : µ 6= m.

(a) Quelle est la loi de probabilite suivie par la moyenne d’echantillonnage X ? En preciser les parametres.

(b) En se placant sous l’hypothese H0, determiner la valeur arrondie a 10−3 pres du reel h tel que : P (µ− h 6

X 6 p+ h) = 0, 95.

(c) En deduire l’intervalle d’acceptation de l’hypothese H0 au seuil de risque de 5 %.

(d) Enoncer la regle de decision du test.

3. Utilisation du testPeut-on affirmer, au seuil de risque de 5 %, que la valeur m annoncee pour µ est correcte ?

Sujet×


Une entreprise fabrique des flacons destines a contenir une substance particuliere. Un flacon est dit conforme s’il verifieun ensemble de criteres definis par l’entreprise. On appelle p la proportion de flacons conformes dans l’ensemble de laproduction.

Premiere partieUn processus de controle de la conformite des flacons a ete mis au point par l’entreprise. On s’interesse dans cettepartie aux risques d’erreurs de ce controle et on suppose que la proportion p de flacons conformes est egale a 0, 8.On preleve un flacon au hasard dans l’ensemble de la production. On note :C l’evenement : � le flacon preleve est conforme � ; on a donc P(C) = 0, 8.A l’evenement : � le flacon preleve est accepte par le controle �.

Une etude preliminaire a permis d’estimer les risques d’erreurs de ce controle :– la probabilite de refuser un flacon sachant qu’il est conforme est de 0, 05 on a donc P

(A/C

)= 0, 05.

– la probabilite d’accepter un flacon sachant qu’il n’est pas conforme est de 0, 1 on a donc P(A/C

)= 0, 1.

1. (a) Determiner la probabilite qu’un flacon soit accepte sachant qu’il est conforme.

(b) Determiner la probabilite qu’un flacon soit accepte par le controle.

(c) Determiner la probabilite qu’un flacon ne soit pas conforme sachant qu’il a ete accepte par le controle.(Arrondir le resultat au centieme).

2. On admet que la probabilite de choisir un flacon non conforme parmi ceux qui ont ete acceptes par le controleest egale a 0, 03.On preleve au hasard et avec remise des echantillons de 100 flacons dans l’ensemble des flacons qui ont ete acceptespar le controle.On appelle X la variable aleatoire qui, a tout echantillon de ce type, associe le nombre de flacons non conformesde cet echantillon.

(a) Quelle est la loi suivie par X ?

(b) On admet que la loi de X peut etre approchee par une loi de Poisson.Quel est le parametre de cette loi de Poisson?Calculer, a l’aide de cette loi de Poisson, une valeur approchee de la probabilite de l’evenement (X > 5).

Seconde partieOn se propose de construire et d’utiliser un test unilateral pour valider ou refuser, au seuil de risque 5 %, l’hypotheseselon laquelle la proportion p de flacons conformes dans l’ensemble de la production, sur une periode donnee, est egalea 0,8. (Hypothese nulle H0 : � p = 0, 8 � ; hypothese alternative H1 : � p < 0, 8 �).Pour cela, on preleve au cours de cette periode dans l’ensemble de la production des echantillons de 200 flacons, auhasard et avec remise.On appelle F la variable aleatoire qui, a tout echantillon de ce type, associe la proportion de flacons conformes de cetechantillon. On admet que la loi de F est une loi normale N (p ; σ).

1. Sous l’hypothese H0 :

(a) Montrer qu’une valeur approchee de σ est 0, 03.

(b) Determiner le reel positif h tel que P(F > 0, 8− h) = 0, 95. (Arrondir le resultat au centieme).

2. Enoncer la regle de decision relative a ce test de validite d’hypothese.

3. Dans un echantillon de 200 flacons, on a trouve 156 flacons conformes.Au vu de cet echantillon, doit-on, au seuil de risque 5 %, accepter ou refuser l’hypothese ?

Sujet×


L’objet de cet exercice est l’etude du potentiel electrique dans un electrolyte.

On considere un electrolyte, le chlorure de sodium NaCl, mis en solution dans l’eau a la temperature de 25 C et deconcentration 10−2 mol.L−1.Un ion Na+ etant choisi, on prend son centre comme origine de l’espace rapporte a un repere.Cet ion cree, en tout point de l’atmosphere ionique qui l’entoure, un potentiel electrique U fonction de la distance xde ce point au centre de l’ion considere.

1. Expression de U(x).On admet que cette fonction U de la variable reelle x, avec x > 0, est solution de l’equation differentielle

(E) : x2U ′′ + 2xU ′ = b2x2U,

ou b est une constante reelle strictement positive.

(a) Pour tout x > 0, on pose Y (x) = xU(x).Calculer Y ′(x) et Y ”(x).

On considere l’equation differentielle (E1) Y ′′ − b2Y = 0.

Demontrer que Y est solution de (E1) si et seulement si U est solution de (E).

(b) Resoudre l’equation differentielle (E1).

En deduire, pour tout x > 0, l’egalite (i) : U(x) =1

x

(Ae−bx +Bebx

), ou A et B sont des constantes reelles.

2. Calcul de la constante B

Le potentiel etant nul a l’infini, on a limx→+∞

U(x) = 0.

Montrer, en utilisant l’egalite (i), qu’alors B = 0. (On montrera que si B etait non nulle, alors limx→+∞

U(x) serait

egale a +∞).

On a donc, pour tout x > 0, U(x) =A

xe−bx.

3. Calcul de la constante A

(a) Soit α un nombre reel superieur ou egal a 4.

A l’aide d’une integration par parties, calculer, en fonction de α, l’integrale I(α) =

∫ α

4

xex dx.

Determiner la limite I de I(α) lorsque α tend vers +∞.

(b) L’expression de l’electroneutralite conduit a l’egaliteA·I = k, ou k est une constante reelle positive. ExprimerA en fonction de b et de k.

En deduire que, pour tout x > 0, U(x) =kb2

1 + 4b

1

xe−b(x−4).

4. Tableau de variations de U, pour des valeurs particulieres de b et de k

On considere que, pour tout x > 0, U(x) =0, 16

xe−0,0325(x−4).

(a) Calculer U ′(x) et etudier le sens de variations de U .

(b) Calculer la limite de U en 0.

(c) Donner le tableau de variations de U .

Sujet×


On se propose d’etudier le systeme de reactions successives suivant : A −→ B −→ C.On appelle x(t), y(t) et z(t) les concentrations respectives des produits A, B et C a l’instant t exprime en minutes.A l’instant t = 0, on a les concentrations initiales : x(0) = a, y(0) = 0 et z(0) = 0. Les lois de la cinetique chimiquemontrent que x, y et z sont solution sur [0 ; +∞[ du systeme (S) :

dx

dt= −k1x (1)

dy

dt= k1x− k2y (2)

dz

dt= k2y (3)

ou k1 et k2 sont deux nombres reels distincts.

Premiere partie

1. Resoudre l’equation differentielle (1). Determiner la solution de (1) qui verifie la condition x(0) = a.

2. (a) Montrer que les solutions du systeme (S) verifient l’equation differentielle

(4) : y′ + k2y = ak1e−k1t.

(b) Resoudre l’equation differentielle (4). Determiner la solution de (4) qui verifie la condition y(0) = 0.

3. (a) Montrer que pour tout t > 0, on a :x′(t) + y′(t) + z′(t) = 0.

(b) En deduire a l’aide des conditions initiales, la solution z du systeme (S).

Deuxieme partieOn a realise une experience du type A −→ B −→ C, a une temperature fixe et on a obtenu les resultats suivants surles concentrations du produit A :

ti (en min) 0 0,5 1 2 4,5 6 7

xi (en mol.L−1) 2 1,213 0,736 0,271 0,022 0,005 0,002

On pose X = lnx.

1. (a) Recopier et completer le tableau suivant en donnant des resultats arrondis a 10−2 pres.

ti (en min) 0 0,5 1 2 4,5 6 7

Xi = lnxi

(b) Donner une valeur approchee a 10−5 pres du coefficient de correlation de la serie statistique (ti;Xi). Unajustement affine de X en t par la methode des moindres carres est-il justifie ?

2. (a) Donner une equation de la forme X = αt + β de la droite de regression de X en t par la methode desmoindres carres. On donnera des valeurs approchees a 10−2 pres des coefficients α et β.

(b) Sachant que l’etude theorique montre que pour tout t ∈ [0 ; +∞[, on a x(t) = ae−k1t et que x(0) = 2,determiner une valeur approchee de k1 a 10−2 pres.

On admet pour la suite que : a = 2, k1 = 1 et k2 = 0, 5.

Sujet×


Troisieme partieOn considere les fonctions x, y et z definies sur [0 ; +∞[ par :

x(t) = 2e−t y(t) = 4(e−0,5t − e−t

)z(t) = 2

(1− 2e−0,5t + e−t

)

On appelle C1, C2 et C3 leurs courbes representatives respectives dans un repere orthogonal (O, ~ı, ~). (Les unitesgraphiques sont 2 cm pour l’unite en abscisse et 5 cm pour l’unite en ordonnee).

1. La courbe C1 est tracee sur la feuille donnee en annexe. En deduire le tableau de variation de la fonction x.

2. Etudier les variations de la fonction y. On appelle tM la valeur de t pour laquelle y admet un maximum yM .Determiner les valeurs exactes de tM et de yM .Dresser le tableau de variation de y.

3. (a) Montrer que C3 admet une asymptote ∆.

(b) Etudier les variations de z et dresser son tableau de variation.

4. Tracer la droite ∆ et les courbes C1, C2 et C3 dans le repere (O, ~ı, ~).

5. On appelle τ l’instant ou les concentrations des produits A et B sont egales. Determiner par lecture graphiqueune valeur approchee de τ exprimee en minutes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

Sujet×


Dans la fabrication de comprimes effervescents, il est prevu que chaque comprime doit contenir 1625 mg de bicarbonatede sodium. Afin de controler la fabrication de ces medicaments, on a preleve un echantillon de 150 comprimes et on amesure la quantite de bicarbonate de sodium pour chacun d’eux. Les resultats obtenus sont resumes dans le tableausuivant :

Classes [1610 ; 1615[ [1615 ; 1620[ [1620 ; 1625[ [1625 ;1630[ [1630 ;1635[

Effectifs 7 8 42 75 18

1. En convenant que les valeurs mesurees sont regroupees au centre de chaque classe, calculer une valeur approcheea 10−2 pres de la moyenne m et de l’ecart type s de cet echantillon.

2. A partir des resultats obtenus pour cet echantillon, assimile a un echantillon non exhaustif, donner les estimationsponctuelles M et σ de la moyenne M et de l’ecart type σ de la quantite de bicarbonate de sodium dans lapopulation (formee de l’ensemble de tous les comprimes fabriques et supposee tres grande). Dans la questionsuivante, on prendra pour valeur de σ son estimation σ.

3. On appelle X la variable aleatoire qui a tout echantillon de taille n = 150 associe la quantite moyenne debicarbonate de sodium de cet echantillon.

(a) X peut-elle etre approchee par une loi classique ? Si oui, laquelle ? Donner ses parametres.

(b) Determiner un intervalle de confiance de la quantite moyenne de bicarbonate de sodium dans la populationavec le coefficient de confiance 95 %.Calculer l’amplitude de cet intervalle et interpreter le resultat.

(c) Quelle devrait etre la taille minimum de l’echantillon preleve pour connaıtre avec le coefficient de confiance95 % la quantite moyenne de bicarbonate de sodium dans la population a 1 mg pres ?

Sujet×

BTS chimiste 1999 Exercice 1 / ? points

Deux laboratoires A et B fabriquent des tubes a essai et les conditionnent dans des paquets. Tous les paquets contiennentle meme nombre de tubes.

1. On note X1 la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre de tubes defectueux par paquet provenant de l’en-treprise A. Sur un echantillon aleatoire de 49 paquets provenant du laboratoire A les nombres de tubes defectueuxpar paquet sont les suivants :

7 5 5 4 4 4 9 7 9 2 7 8 7 8 4

4 9 10 5 10 6 4 5 6 1 2 5 7 8 0

6 0 1 5 2 0 5 2 3 3 4 1 3 10 1

0 10 2 7

Calculer une valeur approchee a 10−2 pres de la moyenne m1 et de l’ecart-type s1 de cet echantillon. On admetdans la suite de cet exercice qu’une estimation ponctuelle µ1 de la moyenne µ1 de la variable aleatoire X1 est4,84 et qu’une estimation ponctuelle σ1 de l’ecart-type σ de X1 est 2,99.

2. On note X2 la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre de tubes defectueux par paquet provenant del’entreprise B. Sur un echantillon aleatoire de 64 paquets provenant du laboratoire B on a obtenu une moyennem2 de 3,88 tubes defectueux et un ecart-type s2 de 1,45.En deduire une estimation ponctuelle µ2 de la moyenne µ2 de la variable aleatoireX2 et une estimation ponctuelleσ2 de l’ecart-type σ2 de X2.

3. On se propose de construire un test d’hypothese pour comparer les qualites de production des laboratoires A et B.On note X1 la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre moyen de tubes defectueux par paquet dans desechantillons aleatoires de 49 paquets de la production du laboratoire A. On note X2 la variable aleatoire prenantpour valeur le nombre moyen de tubes defectueux par paquet dans des echantillons aleatoires de 64 paquets dela production du laboratoire B.

(a) Le nombre d’observations etant important, on admet que les lois de probabilite de X1 et X2 peuvent etreapprochees par des lois normales.Exprimer la moyenne et l’ecart-type de chacune de ces variables aleatoires en fonction de ceux de X1 et deX2.Dans toute la suite, on considere donc que X1 et X2 sont deux variables aleatoires independantes suivantune loi normale.

(b) On note D la variable aleatoire telle que : D = X1 −X2.Quelle est la loi de probabilite de D ? Determiner la moyenne et l’ecart-type de D. Justifier.

4. Dans cette question, on admet que D suit la loi normale N (µ1 − µ2 ; 0, 46).On pose pour hypothese nulle H0 : µ1 = µ2 et pour hypothese alternative H1 : µ1 6= µ2.

(a) Calculer, sous l’hypothese H0, les nombres h et k tels que :

P (−h < D < h) = 0, 99 et P (−k < D < k) = 0, 95.

(b) Enoncer la regle de decision relative a ce test lorsqu’on choisit un seuil de signification de 1 %, puis de 5 %.

(c) Peut-on conclure apres examen des echantillons donnes dans les questions 1 et 2 que la difference desmoyennes observees est significative au seuil de risque de 1 %? Au seuil de risque de 5 %?

Sujet×


On considere la reaction irreversible : A+B −→ C.Les concentrations initiales des produits A et B sont en mol.L−1, respectivement 0,3 et 0,5. A l’instant t, en minutes,les concentrations des produits A et B sont :

[A] = 0, 3− x(t) et [B] = 0, 5− x(t).

La fonction x, derivable sur [0 ; +∞[ verifie :

x(0) = 0 si t ∈ [0 ; +∞[, 0 6 x(t) < 0, 3

x verifie l’equation differentielle (E) :dx

dt= 0, 02(0, 3− x)(0, 5− x),

ou 0,02 est la constante de vitesse de la reaction en L.mol−1.min−1.

1. (a) Trouver les constantes reelles a et b telles que pour x 6= 0, 3 et x 6= 0, 5 :

1

(0, 3− x)(0, 5 − x)=

a

0, 3− x+

b

0, 5− x.

(b) Montrer que la solution de l’equation differentielle (E) verifiant la condition initiale x(0) = 0 est telle que :

ln

(3(0, 5− x)

5(0, 3− x)

)= 0, 004t.

(c) Montrer que : x(t) = 0, 3× 1− e−0,004t

1− 0, 6e−0,004t.

2. (a) Montrer que pour t dans [0 ; +∞[ :

x′(t) =0, 00048e−0,004t

(1 − 0, 6e−0,004t)2.

(b) Calculer limt→+∞

x(t) et en deduire l’existence d’une asymptote D a Γ.

(c) Dresser le tableau de variation de x.

(d) Tracer soigneusement dans un repere orthogonal (1 cm pour 50 unites sur l’axe (O ; t), 1 cm pour 0,05 unitesur l’axe (O ;x)), la courbe Γ, son asymptote D, et la tangente a l’origine pour t ∈ [0 ; 1 000].

(e) Au bout de combien de temps x prendra-t-elle la valeur 0,27 ? On donnera d’abord une valeur de t luegraphiquement, puis on precisera la valeur exacte par le calcul.

Sujet×


Deux filiales d’une meme entreprise fabriquent des piles de 9 volts. On admet que les durees de vie moyennes des pilesissues des filiales A et B suivent des lois de probabilite d’esperances mathematiques respectives µA et µB.Dans la production de la filiale A, on a preleve un echantillon de 55 piles et on a consigne dans le tableau ci-dessousles resultats concernant leur duree de vie :

duree de vie (en heures) [75 ; 77[ [77 ; 79[ [79 ; 81[ [81 ; 83[ [83 ; 85[ [85 ; 87[ [87 ; 89[ [89 ; 91[ [91 ; 93[

Nombre de piles 7 8 3 7 7 4 5 5 9

En ce qui concerne la filiale B, on a teste un echantillon de 75 piles et on a obtenu les statistiques suivantes : duree devie moyenne m2 = 81h, ecart-type correspondant σ2 = 4, 5h.

1. Determiner a 10−1 pres, la duree de vie moyenne m1 et l’ecart-type correspondant σ1 pour l’echantillon prelevedans la production de la filiale A. (Pour ce calcul, on supposera que les effectifs sont concentres au centre desclasses).

2. Trouver les estimations ponctuelles mA et mB de la duree de vie moyenne des piles fabriquees par les filiales A etB, a 10−1 pres et les estimations ponctuelles σA et σB des ecarts-types correspondants. On justifiera les resultats.

3. On se pose la question de savoir si la difference des moyennes des durees de vie observees dans les deux echantillonsest imputable a une meilleure fabrication dans l’une des deux filiales ou tout simplement a des fluctuationsd’echantillonnage. Dans ce but, on construit un test unilateral.On note XA la variable aleatoire prenant pour valeur la duree de vie moyenne d’une pile dans un echantillon detaille 55 provenant de la filiale A.On note XB la variable aleatoire prenant pour valeur la duree de vie moyenne d’une pile dans un echantillon detaille 75 provenant de la filiale B.

On admet que : XA suit la loi normale de moyenne µA et d’ecart-typeσA√55

; XB suit la loi normale de moyenne

µB et d’ecart-typeσB√75

.

XA et XB sont des variables aleatoires independantes.On pose D = XA −XB et on admet que D suit une loi normale.

(a) Calculer l’ecart-type de D.

(b) On pose comme hypothese nulle H0 : � µA = µB �

et comme hypothese alternative H1 : � µA > µB �.Calculer, sous l’hypothese H0, le nombre h tel que : P (D < h) = 0, 95.

(c) Enoncer la regle de decision relative a ce test lorsqu’on choisit un seuil de signification de 5 % et conclure.

Sujet×


On etudie des reactions chimiques au cours desquelles un corps A subit des transformations selon le schema suivant :

A

B

C

k2

k1k4

k3

k1, k2, k3, k4 sont des constantes de vitesse.On note x(t), y(t), z(t) les concentrations respectives des produits A, B, C a un instant t donne (t exprime en minutes).Les conditions initiales sont x(0) = 1, y(0) = 0 et z(0) = 0.On dispose au dessus de la cuve ou a lieu la reaction une burette par laquelle on verse du produit A a une vitesseconstante dans la cuve.Dans ces conditions initiales experimentales, les fonctions x, y, z definies sur l’intervalle [0 ; +∞[ verifient le systemedifferentiel suivant :

dx

dt= 1− 2x+ y + z

dy

dt= x− y

dz

dt= x− z

Partie A

1. (a) Calculerd

dt(x+ y + z) et, a l’aide des conditions initiales, en deduire que y(t) + z(t) = 1 + t− x(t).

(b) Demontrer que x est solution de l’equation differentielle (E) :dx

dt+ 3x = 2 + t.

2. (a) Determiner une fonction affine x0 solution de l’equation (E).

(b) Resoudre alors l’equation (E).

(c) Determiner une solution particuliere x1 de l’equation (E) verifiant la condition initiale x1(0) = 1.

3. Demontrer qued

dt(y − z) + y − z = 0, et en deduire que y = z.

Des questions precedentes deduire l’expression de y(t) et z(t).

Partie BOn considere maintenant la fonction f definie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f(t) =5

9+

1

3t+

4

9e−3t

On designe par C sa courbe representative dans un repere orthonormal (unite graphique 5 cm).

1. Calculer f ′(t) et etudier les variations de la fonction f en justifiant clairement l’etude du signe de la derivee.

2. Calculer limt→+∞

f(t). Demontrer que la droite D d’equation y =1

3t+

5

9est asymptote a la courbe C. Preciser la

position de la courbe par rapport a son asymptote.

3. Representer dans le meme repere orthonormal (d’unite 5 cm) la courbe C, son asymptote D et sa tangente aupoint d’abscisse 0.

Partie CPreciser alors, a l’aide des resultats des parties A et B, a partir de quel instant α on aura retrouve la concentrationinitiale en produit A. (On donnera α a la seconde pres).

Sujet×


Partie ASoit f la fonction definie sur l’intervalle [0 ; 10[ par :

f(x) =2400x

1− 0, 1xe−

1

3x

1. Demontrer que, pour tout reel x appartenant a [0 ; 10[ :

f ′(x) =800e−

1

3x

(1− 0, 1x)2(0, 1x2 − x+ 3)

En deduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10[.

2. Determiner la limite de f(x) lorsque x tend vers 10 (On rappelle que x < 10).

3. Ecrire les developpements limites de1

1− 0, 1xet e−

1

3x a l’ordre 1 au voisinage de 0.

En deduire le developpement limite de f(x) a l’ordre 2 au voisinage de 0.

Partie BOn considere un gaz dont l’equation caracteristique est, pour 100 moles, a temperature constante :

P (V − 0, 1) = 2400e−1

3V

ou le volume V exprime en m3 est tel que V > 0, 1 et P designe la pression exprimee en Pa.

1. Demontrer que P = f

(1

V

).

2. D’apres le resultat de la question 3 de la partie A, on en deduit que le reel2400

V− 560

V 2est une bonne approximation

de P lorsque V est assez grand.

Dans la suite de cette partie, on supposera que V > 10 et P =2400

V− 560

V 2.

3. Determiner une valeur approchee a 10−1 pres du volume V pour lequel la pression est egale a 100 Pa.

Sujet×


Les trois questions sont independantes.

Dans un laboratoire pharmaceutique, une machine automatique fabrique en grande quantite des suppositoires contenantdu paracetamol.On designe par X la variable aleatoire qui, a tout suppositoire pris au hasard dans la production, associe la masse (enmg) de paracetamol qu’il contient.On admet que X suit une loi normale de moyenne m et d’ecart-type σ = 8.

1. Dans cette question, on suppose que m = 170.

(a) Calculer P (150 < X < 180).

(b) Determiner le reel α pour que :P (170− α < X < 170 + α) = 0, 85.

On donnera une valeur approchee de α a 10−1 pres.

2. On suppose que la probabilite qu’un suppositoire, pris au hasard dans le stock, soit conforme au cahier des chargesest egale a 0,85. Le medicament est commercialise en boıtes de 10 suppositoires.On designe par Y la variable aleatoire qui, a toute boıte de 10 suppositoires, associe le nombre de suppositoiresconformes qu’il contient.

(a) Preciser la loi de Y et indiquer ses parametres.

(b) Calculer P (Y > 9).

3. On veut controler la qualite de la fabrication sur une periode donnee. Dans ce but, pendant le fonctionnement dela machine, on preleve de temps a autre un suppositoire dont on mesure la masse de paracetamol. On constitueainsi un echantillon de 100 suppositoires.Les tirages sont supposes independants. A chaque echantillon ainsi constitue, on associe la masse moyenne X (enmg) de paracetamol de ses suppositoires.On se propose de construire un test permettant d’accepter ou de refuser, au seuil de signification de 5 %, l’hy-pothese selon laquelle la masse moyenne de paracetamol contenue dans un suppositoire est egale a 170 mg.On pose pour hypothese nulle H0 : m = 170 et pour hypothese alternative H1 : m 6= 170.

(a) Sous l’hypothese nulle H0, quelle est la loi de la variable aleatoire X ? On precisera ses parametres.

(b) Enoncer clairement la regle de decision du test.

(c) Les resultats des mesures de l’echantillon preleve sont donnes dans le tableau suivant :

masse (mg) [145 ; 155[ [155 ; 165[ [165 ; 175[ [175 ; 185[ [185 ; 195[

effectifs 7 30 43 16 4

Au vu de cet echantillon, peut-on accepter l’hypothese H0 au seuil de signification de 5 %?

Sujet×


Dans une entreprise de produits d’entretien, on envisage de distribuer gratuitement a l’occasion d’une campagnepublicitaire dix mille sachets d’une nouvelle poudre a laver. On remplit les sachets a l’aide d’une machine. Pendantl’operation, on se livre au prelevement d’un sachet de temps a autre pour en controler la masse. Les cinq cents sachetspreleves constituent un echantillon dont les masses en g se repartissent en 10 classes donnees dans le tableau suivant :

Classes Effectifs

[141,143[ 11

[143,145[ 27

[145,147[ 53

[147,149[ 85

[149,151[ 104

[151,153[ 97

[153,155[ 60

[155,157[ 30

[157,159[ 18

[159,161[ 15

1. (a) Calculer une valeur approchee de la moyenne m et de l’ecart type s de cette serie.Compte-tenu de l’erreur commise en supposant toutes les observations d’une classe au centre de celle-ci, onse contentera d’une precision de 0,5.10−2.

(b) On suppose que le poids d’un sachet pris au hasard dans le stock suit une loi gaussienne de moyenne µ etd’ecart type σ. Utiliser ces donnees pour estimer ponctuellement la moyenne µ et l’ecart type σ de l’ensembledes sachets confectionnes.

2. Soit X la variable aleatoire prenant pour valeur la masse en grammes d’un sachet. On suppose que X suit la loinormale N (150 ;4).Calculer les probabilites suivantes :

(a) P (X < 148).

(b) P (147 < X < 157).

3. Pour livrer les sachets a une agence chargee de la distribution, on conditionne ceux-ci sous la forme de caissonsde 120 sachets. Soit Y la variable aleatoire qui a tout caisson de 120 sachets associe la moyenne des masses engrammes d’un sachet de poudre.

(a) Justifier que Y suit la loi normale N(150;

4√120

).

(b) Trouver a pour que l’on ait : P (150− a < Y < 150 + a) = 0, 95.

Sujet×


Le but du probleme est l’etude de la desintegration d’un corps radioactif, le Thorium227, qui donne du Radium223, lequelse desintegre a son tour en donnant du Radon219.Les parties 1 et 2 sont independantes.

Partie 1

1. Soit N0 le nombre d’atomes de Thorium a l’instant t = 0, N1 le nombre d’atomes de Thorium un jour apres, Nk

le nombre d’atomes de Thorium k jours apres (k entier).On sait que le nombre d’atomes de Thorium diminue de 3,7 % par jour.

(a) Donner l’expression de N1 en fonction de N0, puis Nk+1 en fonction de Nk.

(b) En deduire la nature de la suite (Nk) et l’expression de Nk en fonction de N0 et k.Determiner alors a 10−4 pres le coefficient a tel que Nk = N0.e

ak.

2. On considere la fonction N definie sur [0 ; +∞[ par : N(t) = N0.e−0,038t.

On admet que N(t) represente le nombre d’atomes de Thorium a l’instant t (l’unite de temps est le jour).

(a) Etudier la limite de N en +∞.

(b) Etudier les variations de N et donner son tableau de variation.

Partie 2A l’instant t = 0, on isole N0 atomes de Thorium. On note R(t) le nombre d’atomes de Radium a l’instant t, pourt dans l’intervalle [0 ; +∞[. A l’instant t = 0, il n’y a aucun atome de Radium. On admet que la fonction R est lasolution sur [0 ; +∞[ de l’equation differentielle

(E) : y′ + 0, 062y = 0, 038N0.e−0,038t

qui verifie la condition initiale R(0) = 0.

1. (a) Montrer que la fonction y1 definie sur [0 ; +∞[ par : y1(t) =

(19

12

)N0.e

−0,038t est une solution de (E).

(b) Determiner dans [0 ; +∞[ la solution generale y0 de l’equation sans second membre associee a l’equation(E).

(c) En deduire la solution generale y de (E).

(d) Determiner alors la fonction R.

2. On considere la fonction f definie sur [0 ; +∞[ par

f(t) = e−0,038t − e−0,062t

(a) Determiner la limite de f en +∞.

(b) Montrer que f ′(t) = e−0,038t[−0, 038 + 0, 062e−0,024t

].

(c) Donner la valeur exacte t0, puis une valeur decimale approchee a 10−1 pres de la solution de l’equationf ′(t) = 0.Justifier alors le signe de f ′(t) suivant les valeurs de t.

(d) Donner le tableau de variation de f .

3. Donner l’expression de R(t) en fonction de f(t). En deduire le tableau de variation de R.

Sujet×


Une entreprise d’imprimerie compose les differents tomes d’une encyclopedie des sciences et des techniques.

1. On note X1 la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre de fautes d’impression par page du premier tome.Sur un echantillon aleatoire de 48 pages, le nombre de fautes est le suivant :

8 4 6 1 4 6 7 5 3 4 4 9 1 9 1 2

5 1 9 6 4 6 3 2 5 5 3 4 3 6 4 5

3 4 4 1 7 7 4 1 5 3 2 2 1 1 7 3

Calculer la moyenne µ1 et l’ecart-type σ1 de cet echantillon.

On admet, dans la suite de cet exercice, qu’une estimation ponctuelle m1 de la moyennem1 de la variable aleatoireX1 est 4,17 et qu’une estimation ponctuelle s1 de l’ecart-type s1 de X1 est 2,29.

2. On note X2 la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre de fautes d’impression par page du deuxiemetome.Sur un echantillon aleatoire de 64 pages de ce deuxieme tome on a obtenu une moyenne µ2 de 3,31 fautesd’impression et un ecart-type σ2 de 1,63.En deduire une estimation ponctuelle m2 de la moyennem2 de la variable aleatoireX2 et une estimation ponctuelles2 de l’ecart-type s2 de X2.

3. On se propose de construire un test d’hypothese pour observer l’evolution dans la qualite du travail d’impression.

(a) On note X1 la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre moyen de fautes d’impression dans desechantillons aleatoires de 48 pages du premier tome et X2 la variable aleatoire prenant pour valeur lenombre moyen de fautes d’impression dans des echantillons aleatoires de 64 pages du deuxieme tome.Quelles sont les lois de probabilite des variables aleatoires X1 et X2 ?

(b) On note D la variable aleatoire telle que D = X1 −X2.

On admet que D suit la loi normale N(m1 −m2;

√s1

2

48+

s22

64

). On pose pour hypothese nulle H0 :

m1 = m2 et pour hypothese alternative H1 : m1 6= m2.

i. Calculer, sous l’hypothese H0, les nombres h et k tels que :

P (−h < D < h) = 0, 99 et P (−k < D < k) = 0, 95

ii. Enoncer la regle de decision relative a ce test successivement lorsque l’on choisit un seuil de significationde 1 % puis de 5 %.

iii. Peut-on conclure au vu des echantillons donnes dans les questions 1. et 2. que la difference des moyennesobservees est significative– au seuil de risque de 1 %?– au seuil de risque de 5 %?

Sujet×


Dans la reaction d’oxydo-reduction du persulfate de potassium K2S2O8 par l’iodure de potassium KI en exces, on dosel’iode I−3 liberee au moyen d’une solution titree de thiosulfate de sodium dans des prelevements effectues a intervallesde temps reguliers.

Soient x(t) le volume de solution verse correspondant a une duree de reaction t et a la valeur limite de x correspondanta la reaction totale. Dans tout le probleme, on suppose que : 0 6 x(t) < a.On sait que la fonction x verifie l’equation differentielle :

dx

dt= kT (a− x)

On se propose de verifier qu’a la temperature T de l’experience, kT est une constante positive.

Partie A : etude theorique en supposant que kT a la valeur constante k (k > 0).

1. Resoudre l’equation differentielle :dx

dt= k(a− x)

dans laquelle x est une fonction de la variable reelle positive t.Determiner la solution particuliere de cette equation differentielle verifiant la condition initiale x(0) = 0.

2. Soit f la fonction numerique definie sur [0 ; +∞[ par :

f(t) = a(1− e−kt

)

(a) Etudier les variations de la fonction f .

(b) Soit Γ la courbe representant la fonction f dans un repere cartesien (O, ~ı, ~).Donner une equation de la tangente a Γ au point O(0 ; 0).Montrer que Γ possede une asymptote et en preciser une equation.

3. Le temps t etant exprime en minutes et x en millilitres, on a obtenu, a la temperature T = 306K, x(10) = 4, 2 etx(20) = 7, 5. Montrer que a verifie la relation

(a− 4, 2)2 = a(a− 7, 5).

En deduire la valeur de a.

Partie B : verification experimentale de la constance de kT .Les mesures poursuivies a 306K ont donne les resultats suivants :

ti 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

xi 4,2 7,5 10,1 12,2 13,8 15,1 16,1 16,9 17,6 18,1 18,5

On admet dans cette partie que a = 20.

1. On pose y = ln

(a

a− x

). Dresser le tableau des valeurs de ti et yi (on donnera pour yi des valeurs decimales

approchees a 10−3 pres).

2. Calculer une valeur decimale approchee a 10−5 pres du coefficient de correlation lineaire de la serie double(ti ; yi).

3. Calculer, en justifiant, une valeur decimale approchee de kT a 10−3 pres.

Sujet×


Pour controler le niveau de remplissage des flacons remplis d’ether par une machine automatique, on realise des mesuressur un echantillon de 50 flacons extraits au hasard de la production. Le tableau ci-dessous rassemble les resultatsobtenus :

ether (mL) xi [249 ; 249,5[ [249,5 ; 250[ [250 ; 250,5[ [250,5 ; 251[ [251 ; 251,5[

effectifs ni 2 9 24 12 3

1. Calculer la moyenne me et l’ecart-type σe de la serie statistique ainsi definie.

2. Soit X la variable aleatoire associant a tout flacon la quantite d’ether qu’il contient. On suppose que X suit uneloi normale de parametres m et σ.On admet que, dans ces conditions, la moyenne d’echantillonnage X , associant a tout echantillon de taille n, la

moyenne des quantites d’ether observees, suit une loi normale de parametres m etσ√n.

(a) Donner des estimations de m et σ.

(b) Utiliser ces estimations pour determiner l’intervalle de confiance de m au seuil de risque 5 %.

(c) On suppose que X suit une loi normale de parametres m = 250 et σ = 0, 5.Determiner le pourcentage de flacons dont le volume d’ether depasse la valeur 249,5.

Sujet×


On considere la reaction trimoleculaire irreversible A+B + C −→ D.On designe par a = [A]0, b = [B]0 et c = [C]0 les concentrations initiales de produits A, B et C (exprimees en milliemede mole par litre), x(t) la concentration en produit D a l’instant t (exprime en minutes), k la constante de la vitessede reaction.L’objet de l’exercice consiste a preciser la fonction x en admettant que celle-ci verifie l’equation differentielle

(E) :dx

dt= k(a− x)(b − x)(c − x)

avec a = 7, b = 5 et c = 5.

1. Resolution de l’equation differentielle (E)

(a) Montrer que pour tout reel z 6∈ {5 ; 7},

1

(7− z)(5− z)2=

1

4

(1

7− z− 1

5− z+

2

(5− z)2

)

(b) Determiner une primitive G de la fonction g definie sur [0 ; 5[ par

g(z) =1

(7− z)(5− z)2

(c) Montrer, en resolvant l’equation differentielle (E) avec la condition initiale x(0) = 0, que

1

4ln

(7

5× 5− x(t)

7− x(t)

)+

x(t)

10(5− x(t))= kt

Il n’est pas demande d’exprimer x en fonction de t.

2. Determiner la constante k, sachant que x(1) = 1.On donnera la valeur exacte de k et sa valeur approchee arrondie a 10−4 pres.

3. On admet dans cette question que t et x(t) sont lies par

1

4ln

(7

5× 5− x(t)

7− x(t)

)+

x(t)

10(5− x(t))= 0, 0078t

Si cette relation permet le calcul de t connaissant x(t), elle ne permet pas en revanche de prevoir, autrement quegraphiquement, quelle sera la valeur de x(t) a l’instant t. L’objet de cette question est la determination d’uneexpression approchee de x(t) en fonction de t, valable sur l’intervalle [2 ; 4].

(a) Recopier et completer (en arrondissant a 10−2 pres) le tableau suivant :

ti 2,96

xi = x(ti) 2 2,5 3 3,5 4

yi = ln(5− xi)

(b) Determiner le coefficient de correlation de y et t. L’ajustement affine de y par rapport a t, par la methodedes moindres carres, est-il de bonne qualite ? Justifier la reponse.

(c) Determiner une equation de la droite de regression de y en t, en arrondissant ses coefficients au millieme leplus proche.

(d) En deduire une expression approchee de x(t) en fonction de t, notee xappr(t).

(e) Comparer les valeurs de xappr(t) a celles de x(t) pour les valeurs de t de la question 3.(a).

Sujet×


Le service qualite d’une usine pharmaceutique decide de controler la quantite d’acide acetylsalicylate de lysine, contenudans les sachets produits par une machine automatique. Pour cela, il mesure la masse, en grammes, de cinquante sachetschoisis au hasard. Les resultats sont consignes dans le tableau suivant :

Masse xi Effectif ni

[0,87 ; 0,88[ 1

[0,88 ; 0,89[ 5

[0,89 ; 0,90[ 7

[0,90 ; 0,91[ 20

[0,91 ; 0,92[ 9

[0,92 ; 0,93[ 3

[0,93 ; 0,94[ 3

[0,94 ; 0,95[ 2

1. Calculer la moyenne et l’ecart-type de la serie statistique ainsi definie.

2. Soit X la variable aleatoire qui a tout sachet associe la masse d’acide acetylsalicylate de lysine qu’il contient. Onsuppose que X suit une loi normale de moyenne m = 0, 90 et d’ecart-type σ = 0, 015.

(a) Calculer, sur une production de 10 000 sachets, le nombre de sachets qui ont une masse comprise entre 0,89et 0,91.

(b) Determiner l’intervalle centre en m contenant 95 % des masses de sachets.

(c) Un reglage de la machine permet de modifier l’ecart-type σ de X . Determiner σ pour que 99 % au moinsdes sachets aient leur masse superieure a 0,895 g ?

Sujet×


La vitesse des molecules d’un gaz peut etre consideree comme une variable aleatoire dont la fonction de repartition estF definie sur [0 ; +∞[ par :

F (x) =

∫ x

0

f(v)dv avec f(v) = Av2e−Bv2

f est une fonction dont les valeurs peuvent etre determinees experimentalement grace a l’appareil de Lammert (pourun gaz a une temperature donnee).La premiere partie de l’exercice va permettre de determiner les constantes A et B caracteristiques de la fonction fassociee au mercure gazeux a la temperature de 373 K.La deuxieme partie se compose d’une etude de f et du calcul de la vitesse moyenne des molecules dans les memesconditions.Ces deux parties sont independantes.

Premiere partieUne experience realisee avec l’appareil de Lammert a donne resultats suivants avec du mercure gazeux a 373 K :

v 200 300 400 600 800 1000

f(v) 4,1.10−4 7,2.10−4 9,8.10−4 10,6.10−4 6,7.10−4 2,8.10−4

(v est mesure en m.s−1)

1. Calculer, pour chaque valeur de v, la valeur de y = lnf(v)

v2.

Rassembler les resultats dans un tableau contenant en premiere ligne les valeurs de x = v2 et en deuxieme ligneles valeurs correspondantes de y, au centieme le plus proche.

2. Calculer le coefficient de correlation lineaire de x et y.Un ajustement affine est-il justifie ?

3. Determiner une equation de la droite de regression de y en x par la methode des moindres carres.

4. Deduire de ce qui precede une expression approchee de f(v).

Deuxieme partieSoit f la fonction definie sur [0 ; +∞[ par

f(x) = Ax2e−Bx2

ou A = 1, 14.10−8 et B = 3, 72.10−6.

1. Determiner la limite de f en +∞.

2. Calcul de la vitesse moyenne des molecules de mercure gazeux a une temperature de 373 K.

(a) Soit u la fonction definie sur [0 ; +∞[ par u(x) = e−Bx2

. Calculer u′(x).

(b) En deduire le calcul de M(α) =

∫ α

0

xf(x)dx en utilisant une integration par parties.

(c) On admettra que la vitesse moyenne est egale a la limite de M(α) quand α tend vers +∞.Calculer cette vitesse moyenne.

Sujet×


On realise une reaction chimique autocatalytique superposee a une reaction non autocatalytique A −→ B.A un certain moment de la reaction pris comme instant initial (t = 0), on a [A] = a− x0 et [B] = x0.A l’instant t (t > 0), [A] = a− x, [B] = x.

I. On admet que la vitesse de reaction est donnee par la relation :

(R) v =dx

dt= k[A][B]

k est une constante liee a la reaction.

1. Etablir l’equation differentielle liantdx

dt, x, a et k.

2. Determiner en fonction de a et k les coefficients α et β verifiant

1

kx(a− x)=

α

a− x+

β

x

3. Resoudre alors, pour x dans l’intervalle ]0 ; a[, l’equation differentielle etablie au 1.

II. On realise une experience de ce type a 20 C, on obtient les resultats suivants, t en minutes et [A] en mol.L−1 :

t 100 270 480 600 705 800

[A] 0,370 0,357 0,313 0,261 0,209 0,136

1. On donne a = 0, 377. En deduire les valeurs de x.

On prend y = ln

(x

a− x

)comme variable intermediaire.

2. Representer dans un repere orthogonal les points de coordonnees (ti; yi).

3. Etablir l’equation de la droite des moindres carres y = f(t) pour les valeurs de t comprises entre 100 et 800.

4. Calculer le coefficient de correlation. L’ajustement lineaire est-il legitime?

5. En deduire une valeur approchee de k, et une expression approchee de x(t).

Sujet×


Partie A

1. Soit T =X − 500

0, 1. T suit la loi N (0 ; 1).

p(499, 8 6 X 6 500, 2) = p(−2 6 T 6 2) = 2Π(2)− 1 ' 0, 9544.

2. p(500− h 6 X 6 500 + h) = p(−10h 6 T 6 10h) = 2Π(10h)− 1 = 0, 8 donne 10h ' 1, 28, d’ou h ' 0, 128.

Partie B

1. 50 tirages avec remise, independants, de probabilite de succes 0,5.Y suit la loi B(50 ; 0, 05).

2. (a) p(Y = 0) =

50

0

0, 050 × 0, 9550 ' 0, 077

(b) p(Y > 3) = 1−p(Y = 0)−p(Y = 1)−p(Y = 2) = 1−0, 9550−50×0, 05×0, 9549−1225×0, 052×0, 9548 ' 0, 459

Partie C

1. (a) Soit T ′ =X − 500

0, 01. T ′ suit la loi N (0 ; 1).

P (µ− h 6 X 6 µ+ h) = P (−100h 6 T ′ 6 100h) = 2Π(100h)− 1 = 0, 95.D’ou h = 0, 02.

(b) L’intervalle d’acceptation est : [499,98 ; 500,02].

(c) On accepte H0 si et seument si la moyenne appartient a l’intervalle [499,98 ; 500,02].

2. La moyenne n’appartient pas a l’intervalle. On refuse H0.

Elements de reponses×


Partie A

1. Soit T la variable aleatoire definie par T =X − 540

5. T suit la loi N (0 ; 1).

p(535 6 X 6 545) = p(−1 6 T 6 1) = 2Π(1)− 1 ' 0, 683.

2. Soit T la variable aleatoire definie par T =X −m


p(X 6 550) = p(T 6550−m

5 ) = 0, 95 donne550−m

5= 1, 645.

D’ou m ' 542.

3. (a) Y suit la loi N

(p ;

√p(1− p)

n

)ou p vaut 0,02 et n vaut 100.

Y suit la loi N (0, 02 ; 0, 014).L’esperance de Y vaut np = 2.

(b) On a λ = 2.

(c) p(Y 6 3) = 0, 857 en se basant sur la table de la loi de Poisson de parametre 2.

Partie B

1. Soit T la variable aleatoire definie par T =G− 170

0, 9. T suit la loi N (0 ; 1).

P(170− h 6 G 6 170 + h

)= P (− h

0,9 6 T 6h0,9 ) = 2Π( h

0,9)− 1 = 0, 95.D’ou h ' 1, 76.

2. On accepte H0 si et seulement si x ∈ [168,24 ; 171,76].

3. On accepte H0, au risque de 5 %.



1. (a) Soit TA la variable aleatoire definie par TA =XA − 896

10. TA suit la loi N (0 ; 1).

p(880 6 XA 6 920) = p(−1, 6 6 TA 6 2, 4) = Π(2, 4)− 1 + Π(1, 6) ' 0, 94.

(b) Soit TB la variable aleatoire definie par TB =XA − 900

σB

. TB suit la loi N (0 ; 1).

p(880 6 XB 6 920) = p(− 20σB

6 TB 6 20σB

) = 0, 97 donne 2Π( 20σB

)− 1 = 0, 97.

D’ou20

σB

' 2, 17. Puis σB ' 9.

2. (a)

A0,4

C0,96

C0,04

B0,6

C0,97

C0,03p(A) = 0, 4. p(B) = 0, 6. pA(C) = 0, 96. pB(C) = 0, 97.

(b) p(C) = p(A ∩C) + p(B ∩ C) = 0, 966.

(c) pC(A) =p(A ∩ C)

p(C)=

0, 384

0, 97' 0, 396.

3. (a) Soit T = XA−900. T suit la loi N (0 ; 1). P (900−h 6 XA 6 900+h) = P (−h 6 T 6 h) = 2Π(h)−1 = 0, 95.D’ou h ' 1, 96.

(b) On accepte H0 si et seulement si la masse moyenne obtenue appartient a l’intervalle [898,04 ; 901,96].

(c) 899 ∈ [898,04 ; 901,96], donc on accepte H0. La chaıne est reglee (au seuil de 5 %).



Partie A

1. (a) La solution generale x de (E0) est definie par : x(t) = Ce−k1t, ou C ∈ R.

(b) En posant xp(t) = C, (E1) devient : k1C = k1a, d’ou xp(t) = a.

(c) La solution generale x de (E1) est donnee par : x(t) = Ce−k1t + a, avec C ∈ R.

(d) La condition initiale donne C + a = 0, d’ou C = −a.x(t) = a(1− e−k1t).

2. (a) L’equation (2) est equivalente a y′ + k2y = k1(a − x). En remplacant x par a(1 − e−k1t), on obtient bieny′ + k2y = k1ae

−k1t.

(b) La solution generale y de (E′0) est definie par y(t) = Ce−k2t avec C ∈ R.

(c) En remplacant dans (E2), on obtient : −k1λ+ k2λ = ak1. D’ou λ =ak1

k2 − k1.

yp(t) =ak1

k2 − k1e−k1t

(d) La solution generale y de (E2) est definie par y(t) = Ce−k2t +ak1

k2 − k1e−k1t avec C ∈ R.

(e) La condition initiale donne : C +ak1

k2 − k1= 0. D’ou C = − ak1

k2 − k1.

y(t) =ak1

k2 − k1(e−k1t − e−k2t).

3. z(t) = x(t) − y(t) = a

(1− e−k1t − k1

k2 − k1(e−k1t − e−k2t)

)= a

(1− k2

k2 − k1e−k1t +

k1k2 − k1

e−k2t)

)

Partie B

1. a = 10−3,k2

k2 − k1= −0, 132 et

k1k2 − k1

= −1, 132.

2. limt→+∞

z(t) = 10−3.

3. z′(t) = 0, 0000037356(−e−0,0283t + e−0,0033t).

4. Pour tout t positif, −0, 0283t < −0, 0033t, et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R,alors e−0,0283t < e−0,0033t.

5. Grace a la question 3. on en conclut que z′(t) > 0. La fonction z est croissante sur [0 ; +∞[.



Partie A

1. (a) On effectue 10 tirages avec remise independants, avec une probabilite de succes de 0,99. X suit la loiB(10 ; 0, 99).

(b) p(X > 9) = p(X = 9) + p(X = 10) = 10× 0, 999 × 0, 01 + 0, 9910 ' 0, 996.

2. (a) E(Y ) = np = 500× 0, 01 = 5.

(b) p(Y > 6) ' 0, 381

Partie B

1. (a) On met en place un test unilateral pour voir si p1 est bien inferieur a p2.

(b) H1 : p1 < p2.

2. D suit la loi N (0 ; 0, 03).

3. (a) Soit T =D

0, 03. T suit la loi N (0 ; 1).

Π( hα

0,03 ) = 0, 99 donne hα ' 2, 33× 0, 03 ' 0, 07.On accepte H0 si et seulement si f2 − f1 < 0, 07.Comme 0, 93− 0, 87 = 0, 06 < 0, 07 on accepte H0 au seuil de risque 0,01 : on peut penser que le dispositifn’est pas efficace a ce seuil de risque.

(b) Soit T =D

0, 03. T suit la loi N (0 ; 1).

Π( hα

0,03 ) = 0, 95 donne hα ' 1, 96× 0, 03 ' 0, 06.On accepte H0 si et seulement si f2 − f1 < 0, 06.Comme 0, 93− 0, 87 = 0, 06 on refuse H0 au seuil de risque 0,05 : on peut penser que le dispositif est efficacea ce seuil de risque.



Partie A

1. (a) x(t) = α e−4kt, α ∈ R.

(b) De x(0) = 1, on tire α = 1, puis x(t) = e−4kt.

2. y(t) = α e−3kt, ou α ∈ R.

3. (2) devient : (−4kλ+ 3kλ)e−4kt = 4ke−4kt, d’ou −λ = 4, puis λ = −4.Une solution particuliere de (2) est donnee par : t 7−→ −4e−4kt.

4. (a) y(t) = α e−3kt − 4e−4kt, ou α ∈ R.

(b) De y(0) = 0, on tire α− 4 = 0, puis α = 4.La solution particuliere : y(t) = 4e−3kt − 4e−4kt.

Partie B

1. L’equation (4) en 0 donne : v′(0) = −kv(0) + 2kz(0) = 0.

2. (a) L’equation (4) donne : 2kz = v′ + kv, puis z =1

2k(v′ + kv).

(b) En derivant, on obtient : z′ =1

2k(v′′ + kv′).

(c) L’equation (3) devient :1

2k(v′′ + kv′) = −(v′ + kv) + 12k(e−3kt − e−4kt)

D’ou v′′ + kv′ = −2kv′ − 2k2v + 24k2(e−3kt − e−4kt), puis v′′ + 3kv′ + 2k2v = 24k2(e−3kt − e−4kt).

3. v(t) = λe−kt + µe−2kt, avec λ et µ reels.

4. En posant v(t) = αe−3kt + βe−4kt, alors v′(t) = −3kαe−3kt − 4kβe−4kt, et v′′(t) = 9k2αe−3kt + 16k2βe−4kt.(E1) devient : 2k

2αe−3kt + 2k2βe−4kt = 24k2(e−3kt − e−4kt).

d’ou

2α = 24

6β = −24puis

α = 12

β = −4La solution particuliere est definie par v(t) = 12e−3kt − 4e−4kt.

5. La solution generale de (E1) : v(t) = λe−kt + µe−2kt + 12e−3kt − 4e−4kt, avec λ et µ reels.

6. Comme k = 1, on posev(t) = λe−0,1t + µe−0,2kt + 12e−0,3t − 4e−0,4t. D’ou v′(t) = −0, 1λe−0,1t − 0, 2µe−0,2kt − 3, 6e−0,3t + 1, 6e−0,4t.

De

v(0) = 0

v′(0) = 0on tire

λ+ µ+ 8 = 0

−0, 1λ− 0, 2µ− 2 = 0, puis

λ = 4

µ = −12v(t) = 4e−0,1t − 12e−0,2t + 12e−0,3t − 4e−0,4t

Partie C

1. (a) v′(t) = −0, 4e−0,1t + 2, 4e−0,2kt − 3, 6e−0,3t + 1, 6e−0,4t

(b) On verifie l’egalite en developpant l’expression donnee :

0, 4e−0,1t(4e−0,1t − 1

) (e−0,1t − 1

)2=(1, 6e−0,2t − 0, 4e−0,1t

) (e−0,2t − 2e−0,1t + 1

)

= 1, 6e−0,4t − 3, 2e−0,3t + 1, 6e−0,2t − 0, 4e−0,3t + 0, 8e−0,2t − 0, 4e−0,1t

= 1, 6e−0,4t − 3, 6e−0,3t + 2, 4e−0,2t − 0, 4e−0,1t

= v′(t)



2. v′(t) est du signe de 4e−0,1t − 1 (nulle pour t = 0).

t

v′(t)

v

0

0

0

10 ln 4 75

v(10 ln 4)

v(75)

0+ −

3. 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 10 20 30 40 50 60 70



Premiere partie

1. Soit T la variable aleatoire definie par T =X − 43, 041

0, 036.

T suit la loi N (0 ; 1).p(42, 970 6 X 6 43, 130) = p(−1, 97 6 T 6 2, 47) = Π(2, 47)−Π(−1, 97) = Π(2, 47) + Pi(1, 97)− 1 ' 0, 9688.

2. On cherche h tel que : p(43, 041− h 6 X 6 43, 041 + h) = 0, 85.

D’ou 2Π(

h0,036

)− 1 = 0, 85

h = 1, 44× 0, 036 ' 0, 052.On a l’intervalle [42,989 ; 43,093].

Deuxieme partie

1. Calcul de la moyennex = 43, 043

2. Construction du test

(a) X suit la loi normale N (43, 041 ; σ√75).

(b) Soit T ′ la variable aleatoire definie par T ′ =X − 43, 041

σ√75

. T ′ suit la loi N (0 ; 1).

h = 1, 96× σ√75' 0, 008.

(c) [43,033 ; 43,049]

(d) On accepte H0 si et seulement si m est incluse dans l’intervalle [43,033 ; 43,049].

3. 43,041 ∈ [43,033 ; 43,049], donc oui.



Premiere partie

1.

C0,8

A0,95

A0,05

C0,2

A0,1

A0,99(a) pC(A) = 0, 95.

(b) p(A) = p(C ∩A) + p(C ∩ A) = 0, 78.

(c) pA(C) =0, 02

0, 78' 0, 03.

2. (a) X suit la loi B(100 ; 0, 03).

(b) E(X) = np = 100× 0, 03 = 3 = λ.p(X > 5) ' 0, 084.

Seconde partie

1. (a) σ =

√p(1− p)

n=

√0, 8× 0, 2

200' 0, 03.

(b) Soit T =F − 0, 8

0, 03. T suit la loi N (0 ; 1).

Π( h0,03 ) = 0, 95 donne h ' 1, 96× 0, 03 ' 0, 06.

2. On accepte H0 si et seulement si on trouve une proportion superieure a 0,74.

3. On trouve une proportion de 0,78. Au seuil de risque 5 %, on accepte H0.



1. m ' 1625, 47. s ' 4, 66.

2. M = 1625, 47. σ =

√150

149× 4, 66 ' 4, 68.

3. (a) X peut-elle etre approchee par la loi N (1625, 47 ; 4, 68).

(b) L’amplitude vaut h = 1, 96× 4, 68 ' 9, 17.L’intervalle de confiance 95% est : [1616,3 ; 1634,64].

(c) On a 1, 96× 4, 68√n

= 0, 5. On trouve n ' 336, 56. L’echantillon doit avoir une taille d’au moins 337.



1. m1 ' 4, 84. s1 ' 2, 96.

2. µ2 = m2 = 3, 88. σ2 =

√64

63× s2 ' 1, 46.

3. (a) X1 suit la loi N

(µ1 ;

σ1√49

).

X2 suit la loi N

(µ1 ;

σ2√64

).

(b) La moyenne de D vaut m1 −m2 = 0, 96.

L’ecart-type de D vaut

√σ1

2

49+

σ22

64' 0, 46

4. (a) h = 2, 575× 0, 46 ' 1, 05.k = 1, 96× 0, 46 ' 0, 90.

(b) Au seuil de 1 %, on accepte H0 si et seulement si la difference est inferieure a 1,05.Au seuil de 5 %, on accepte H0 si et seulement si la difference est inferieure a 0,90.

(c) La difference est de 0,96.Au seuil de 1 %, on accepte H0 : la difference n’est pas significative.Au seuil de 5 %, on refuse H0 : la difference est significative.



1. m1 = 84. σ1 ' 5, 5.

2. mA = m1 = 84. σA =

√55

54× σ1 ' 5, 6.

mB = m2 = 81. σB =

√75

74× σ2 ' 4, 5.

3. (a) σD =

√σ2A

55+

σ2B

75' 0, 92.

(b) h = 1, 96× 0, 92 ' 1, 8.

(c) On accepte H0 si et seulement si la difference est inferieure a 1,8.Ici, la difference des moyennes est de 3. On refuse H0 au seuil de 5 %.



Partie A

1. (a)d

dt(x+ y + z) = 1− 2x+ y + z + x− y + x− z = 1.

On en deduit que la fonction t 7→ x(t) + y(t) + z(t) = t+ C ou C est une constante.Comme x(0) + y(0) + z(0) = 1, C = 1 ; d’ou la conclusion.

(b) D’apres la premiere egalite du systeme, on a : y + z = x′ − 1 + 2x.En remplacant dans l’egalite precedente, on obtient : x′ − 1 + 2x = 1 + t− x ; d’ou la conclusion.

2. (a) En posant x0(t) = at+ b, l’equation (E) devient : a+3at+3b = 2+ t. D’ou a =1

3et b =

5

9. x0(t) =

1

3t+

5

9.

(b) Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme t 7→ Ke−3t +1

3t+

5

9, ou K ∈ R.

(c) De x1(0) = 1, on tire : K +5

9= 1 ; d’ou K =

4

9.

x1(t) =5

9+

1

3t+

4

9e−3t.

3. En utilisant les deux dernieres egalites du systeme differentiel, on a :d

dt(y − z) + y − z = x− y − (x− z) + y − z = 0.

On en deduit que (y − z) est solution de l’equation differentielle : x′ + x = 0.Donc y(t)− z(t) = Ke−t. Or, les conditions initiales donnent y(0)− z(0) = 0 ; d’ou K = 0 ; d’ou la conclusion.

La question 1.(a) donne : y(t) =1

2(1 + t− x(t)) =

1

2

(4

9+

2

3t− 4

9e−3t

)= z(t).

Partie B

1. f ′(t) =1

3− 4

3e−3t est du signe de 1− 4e−3t.

t

f ′(t)

0 ln 4

3+∞

f

0− +

2. limt→+∞

f(t) = +∞. limt→+∞

[f(t)−[1

3t+

5

9

]= lim

t→+∞

4

9e−3t = 0.

Comme l’exponentielle est toujours positive, C est au dessus de D.

3.0

1

0 1α

Partie Cα ' 1, 3. On trouve 1min 18 secondes environ.



1. (a) Soit T =X − 170


P (150 < X < 180) = P (−2, 5 < T < 0, 5) = Π(0, 5)−Π(−2, 5) = Π(0, 5)− 1 + Π(2, 5) = 0, 6853.

(b) 2Π(α8 )− 1 = 0, 85 donneα

8= 1, 44, d’ou α = 11, 5.

2. (a) Y suit la loi B(10 ; 0, 85).

(b) P (Y > 9) = P (Y = 9) + P (Y = 10) = 10× 0, 859 × 0, 15 + 0, 8510 = 0, 5443.

3. (a) X suit la loi N (170 ; 0, 8).

(b) h = 1, 96× 0, 8 ' 1, 57.On accepte H0 si et seulement si la moyenne appartient a l’intervalle [168,43 ; 171,57].

(c) x = 168. On refuse H0.



1. x ' 0, 91. σ ' 0, 015

2. (a) Soit T =X − 0, 9

0, 015. T suit la loi N (0 ; 1).

p(0, 89 < X < 0, 91) = p(−23 < T < 2

3 ) = 2Π(23 )− 1 ' 0, 4972.Sur 10 000 sachets, on doit en trouver 4 972 qui ont une masse comprise entre 0,89 et 0,91.

(b) p(0, 9− h < X < 0, 9 + h) = p(− h0,015 < T < h

0,015 ) = 0, 95.

2Π( h0,015 )− 1 = 0, 95

h

0, 015= 1, 96

h ' 0, 03L’intervalle est : [0,87 ; 0,93].

(c) Soit T =X − 0, 9

σ. T suit la loi N (0 ; 1).

p(X < 0, 895) = 0, 01p(T < − 0,005

σ) = 0, 01

Π(0,005σ

) = 0, 990, 005

σ= 2, 33

σ ' 0, 002



Premiere partie

1.x 40 000 90 000 160 000 360 000 640 000 1 000 000

y −18, 40 −18, 64 −18, 91 −19, 64 −20, 68 −222. Le coefficient de correlation vaut −0, 9999 environ. L’ajustement affine est justifie.

3. y = −3, 72.10−6x− 18, 29.

4. lnf(v)

v2= −3, 72.10−6v2 − 18, 29

f(v)

v2= e−3,72.10−6v2−18,29

f(v) = e−18,29v2e−3,72.10−6v2

f(v) = 1, 14.10−8v2e−3,72.10−6v2

Deuxieme partie

1. limx→+∞

f(x) = 0

2. (a) u′(x) = −2Bxe−Bx2

(b) M(α) =

∫ α

0

−2Bxe−Bx2 × −A2B

x2 dx =

[−A2B

x2u(x)

]α

0

−∫ α

0

−AB

xu(x) dx =−A2B

α2u(α)−∫ α

0

A

2B2u′(x) dx

M(α) =−A2B

α2u(α)− A

2B2[u(x)]α0

M(α) =−A2B

α2e−Bα2 − A

2B2e−Bα2

+A

2B2

(c) La vitesse moyenne vautA

2B2' 412 m.s−1


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