7/24/2019 Branches Infinie s

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On dit que la courbe de fadmet une branche parabolique daxe (Ox).

Soit limx+

f(x)

x = +. Dans ce cas, f(x) grandit plus vite que x.

Exemples :

f(x) =ex, g(x) =x2, h(x) = x4 + 2x3 1

x2 + 4 .

On dit que la courbe de fadmet une branche parabolique daxe (Oy).

Soit limx+

f(x)

x = a R. Dans ce cas, la vitesse de croissance de f(x) est comparable

a celle de ax quand x grandit. Pour effectuer cette comparaison, on etudie une dernierelimite : celle de la difference f(x) ax et on distingue deux cas :

Soit limx+

f(x) ax= b R et la courbe de fadmet la droite dequation y = ax +bpour asymptote oblique.Exemples :

f(x) = x3

+x+ 1x2 + 4

, g(x) = x(x2 + 2xx2 + 1), h(x) = x2 ln

x+ 2x

.

Soit limx+

f(x)ax = et la courbe de f admet une branche parabolique dedirection y=ax.Exemples :

f(x) =x+

x, g(x) =x

2 ln x+ 1

ln x

.

********************

Resume :

1. Calcul de limx+

f(x).

- Si cest un reel , asymptote dequation y= .- Si cest +

, passer a letape 2.

2. Si le resultat precedent est +, calcul de limx+

f(x)

x .

- Si cest 0 ou +, pas dasymptote mais une branche parabolique.- Si cest un reel anon nul, passer a letape 3.

3. Si le resultat precedent est un nombre non nul a R, calcul de limx+

f(x) ax.- Si cest un reel b, la droite dequation y = ax+b est alors asymptote a la courbe de f.- Si cest +, pas dasymptote mais une branche parabolique daxe oblique.

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2 Exercices

Exercice 1 Etudier le comportement asymptotique des fonctions suivantes.

g(x) =cos(x)

x , h(x) =

9x4 + 3x3 1

x2 + 1 .

********************

Exercice 2 Etudier le comportement a linfini des fonctions suivantes

f : x 2x3 +x 1x2 + 1

, g(x) =

x9 + 2x

x2 1********************

Exercice 3 Soient f et g definies par

f(x) = ln1 +x

x

, g(x) = x+ 2 ln1 +x

x

.

1. Etudier le comportement de fautour de +. Donner lequation de leventuelle asymp-tote.

2. A laide de la question precedente, etudier le comportement de la fonction g en +.

3 Complements

En realite, letude des branches infinies dune fonction fpourrait se resumer a la question

suivante :

Existe-t-il une fonction plus simple que fqui se comporte comme fautour de + ?

Pour repondre a cela, on cherche donc une fonction g plus simple telle que

limx+

f(x) g(x) = 0.

Dans la premiere partie, on se contente de comparer favec des fonctions affines (i.e. desdroites). Mais rien ne nous empeche de comparer f a des fonctions plus complexes.

Exercice 4 Montrer que les courbes associees aux fonctionsf : x

x4 + sin(x) etg : x x2sont asymptotiques.

********************

Exercice 5 Montrer que les courbes des fonctions suivantes sont asymptotiques.

f(x) = ex +ex

2 , g(x) =

ex ex2

.

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