Baccalauréat ES - 2016 - Maths au LFKLmaths-lfkl.e-monsite.com/medias/files/es-annee-2016.pdf ·...

[ Baccalauréat ES 2016 \

L’intégrale d’avril à novembre 2016

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Pondichéry 21 avril 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Liban 31 mai 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Amérique du Nord 1er juin 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Centres étrangers 8 juin 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Polynésie 10 juin 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Métropole 22 juin 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Asie 22 juin 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Antilles-Guyane 23 juin 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Métropole 11 septembre 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Antilles-Guyane 12 septembre 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Amérique du Sud 25 novembre 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

À la fin index des notions abordéesÀ la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l’index

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2016 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat ES Pondichéry \

21 avril 2016

Exercice 1 4 pointsCommun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatrequestions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la co-pie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’estdemandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence deréponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucunpoint.

1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x) = 3x − x ln x

On admet que f est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et on désigne par f ′ safonction dérivée.

Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ on a :

a. f ′(x) = 3−1

xb. f ′(x) = 3− ln x c. f ′(x) = 2− ln x

2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

a. 4 095 b. 8 191 c.1−214

1−2

3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7] dont lafonction de densité est représentée ci-dessous.

1 2 3 4 5 6 7

15

0

P (A) désigne la probabilité d’un évènement A et E (X ) l’espérance de la va-riable aléatoire X .

a. P (36 X 6 7) =1

4b. P (X > 4) = P (26 X 6 5) c. E (X ) =

9

5

4. On réalise un sondage sur un échantillon de n personnes (n, entier naturelnon nul).

Parmi les tailles de l’échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui per-met d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec uneamplitude de 0,02 ?

a. n = 5000 b. n = 100 c. n = 10000*

Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.


La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour ali-menter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définiesur l’intervalle [1 ; 15] par :

C (x) = 0,3x2− x +e−x+5

où x désigne la quantité de granulés en tonnes et C (x) le coût de fabricationquotidien correspondant en centaines d’euros.

• Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de300 euros.

La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction R défi-nie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

R(x) = 3x

où x désigne la quantité de granulés en tonnes et R(x) la recette quotidiennecorrespondante en centaines d’euros.

• On définit par D(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’eu-ros, c’est-à-dire la différence entre la recette R(x) et le coût C (x), où x désignela quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe (page 9), on donne C et ∆ les représentations gra-phiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O.Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, etavec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidiende l’entreprise est minimal.

2. a. Déterminer les valeurs C (6) et R(6) puis en déduire une estimation durésultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes degranulés fabriqués et vendus.

b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entre-prise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultatnet positif, c’est-à-dire un bénéfice.

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

g (x) =−0,6x +4+e−x+5

On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note g ′ sa fonc-tion dérivée.

1. a. Calculer g ′(x) pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15].

b. En déduire que la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15].

Pondichéry 4 21 avril 2016


2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 15], enprécisant les valeurs g (1) et g (15) arrondies à l’unité.

b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation g (x) = 0 admetune unique solution α sur l’intervalle [1 ; 15].

Donner une valeur approchée de α à 0,1 près.

c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g (x) sur l’in-tervalle [1 ; 15].

Partie C : Application économique

1. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a :

D(x) =−0,3x2+4x −e−x+5

2. On admet que la fonction D est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note D ′

sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a D ′(x) = g (x), où gest la fonction étudiée dans la partie B.

3. En déduire les variations de la fonction D sur l’intervalle [1 ; 15].

4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son béné-fice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près.

b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.

*


Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 :

• 49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat tech-nologique et les autres un baccalauréat professionnel ;

• 91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6 %des candidats au baccalauréat technologique.

Source : DEPP (juillet 2015)

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considèreles évènements suivants :

• G : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat général » ;

• T : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat technologique » ;

• S : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel » ;

• R : « Le candidat a été reçu ».

Pour tout évènement A, on note P (A) sa probabilité et A son évènement contraire.De plus, si B est un autre évènement, on note PB (A) la probabilité de A sachant B .

1. Préciser les probabilités P (G),P (T ),PT (R) et PG (R).



2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trou-vées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.

3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalau-réat technologique et l’ait obtenu est égale à 0,181 2.

4. Le ministère de l’Éducation Nationale a annoncé un taux global de réussitepour cette session de 87,8 % pour l’ensemble des candidats présentant l’undes baccalauréats.

a. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au bac-calauréat professionnel et l’ait obtenu est égale à 0,248 45.

b. Sachant que le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel,déterminer la probabilité qu’il ait été reçu. On donnera une valeur ap-prochée du résultat au millième.

Partie B

À l’issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues parles candidats en mathématiques et en français.On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléa-toire XM qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d’écart-type 3,5.De même la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire XF quisuit la loi normale de moyenne 13,2 et d’écart-type 2,1.

1. Déterminer P (96 XM 6 16) en donnant le résultat arrondi au centième.

2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillé la fonction densitéassociée à la variable aléatoire XM .

La fonction densité associée à XF est représentée sur un seul de ces graphiques.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.

0,05

0,10

0,15

0,20

5 10 15 20 250

0,05

0,10

0,15

0,20

5 10 15 20 250

0,05

0,10

0,15

0,20

5 10 15 20 250

Graphique 1 Graphique 2 Graphique 3

*

Exercice 4 5 pointsCandidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 eurossans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d’unmontant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à300 euros est versée par l’emprunteur à l’organisme de crédit le 25 de chaque mois.Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 % puis baisse de 300 euros.Le premier versement a lieu le 25 février 2016.



On note un le capital restant dû en euros juste après la n-ième mensualité (n entiernaturel non nul). On convient que u0 = 5700.Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1. a. Démontrer que u1, capital restant dû au 26 février 2016 juste après lapremière mensualité, est de 5 485,50 euros.

b. Calculer u2.

2. On admet que la suite (un ) est définie pour tout entier naturel n par :

un+1 = 1,015un −300

On considère l’algorithme suivant :

Variables : n est un entier naturelu est un nombre réel

Traitement : Affecter à u la valeur 5 700Affecter à n la valeur 0Tant que u > 4500 faire

u prend la valeur 1,015×u−300n prend la valeur n+1

Fin Tant queSortie : Afficher n

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de co-lonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.

Valeur de u 5 700

Valeur de n 0

u > 4500 (vrai/faux) vrai vrai faux

b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un −20000.

a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : vn+1 = 1,015× vn .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

un = 20000−14300×1,015n .

4. À l’aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :

a. Démontrer qu’une valeur approchée du capital restant dû par l’emprun-teur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros.

b. Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser in-tégralement le prêt.

c. Quel sera le montant de la dernière mensualité ?

d. Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consom-mation, quel sera le coût total de son achat ?

*

Exercice 4 5 pointsCandidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une étude statistique sur une population d’acheteurs a montré que :



• 90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet af-firment vouloir continuer à utiliser internet pour faire le suivant. Les autrespersonnes comptent faire leur prochain achat en magasin ;

• 60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vou-loir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuerleur prochain achat en utilisant internet.

Dans toute la suite de l’exercice, n désigne un entier naturel non nul. Une personneest choisie au hasard parmi les acheteurs. On note :

• an la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat sur internet ;

• bn la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat en magasin.

On suppose de plus que a1 = 1 et b1 = 0.On note Pn =

(

an bn)

l’état probabiliste correspondant au n-ième achat. AinsiP1 =

(

1 0)

.On note :

• A l’état : « La personne effectue son achat sur internet » ;

• B l’état : « La personne effectue son achat en magasin ».

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B .

2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommetsdans l’ordre alphabétique.

3. a. Calculer la matrice M4.

b. En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e

achat sur internet est égale à 0,812 5.

4. On note P = (a b) l’état stable associé à ce graphe.

a. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système :

{

0,1a − 0,4b = 0a + b = 1

b. Résoudre le système précédent.

c. À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achatssur internet ?

5. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a :

an+1 = 0,5an +0,4

b. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petitentier naturel n non nul tel que an 6 0,801.

Variables : N est un entier naturelA est un nombre réel

Initialisation : Affecter à N la valeur 1Affecter à A la valeur 1

Traitement : Tant que . . .Affecter à A la valeur 0,5× A+0,4Affecter à N la valeur . . . .

Fin Tant queSortie : Afficher N

c. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ?



ANNEXE

N’est pas à rendre avec la copie

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

52

54

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

∆

C

*


Durée : 3 heures

[ Baccalauréat ES/L Liban \

31 mai 2016


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse nerapporte ni n’enlève aucun point.Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte.Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Au-cune justification n’est demandée.

1. La représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R esttracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses−3 et 0.

1

2

3

4

-1

-2

-3

1 2 3 4-1-2-3-4-5-6-7 0 x

yC f

a. f ′(0) =−1 b. f ′(−1) = 0 c. f ′(−3) =−1 d. f ′(−3) = 3

2. On note g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x)= (x +1) ln(x).

a. g ′(x) =1

xb. g ′(x) = 1+ ln(x)

c. g ′(x) =−

1

x2d. g ′(x) = 1+

1

x+ ln(x)

3. On considère la fonction h définie sur [0 ; 7] et représentée par la courbe ci-dessous :


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 80 x

y

Ch

a.∫5

0h(x) dx = h(5)−h(0) b. 20 <

∫5

0h(x) dx < 30

c. 15 <

∫5

0h(x) dx < 20 d.

∫5

0h(x) dx = 20

4. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde k ′′

d’une fonction k définie sur [0 ; +∞[.

1

2

3

-1

1 2 30

Ck ′′

a. k est concave sur l’intervalle[1 ; 2].

b. k est convexe sur l’intervalle[0 ; 2].

c. k est convexe sur [0 ; +∞[. d. k est concave sur [0 ; +∞[.

*


Liban 11 31 mai 2016


Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégienset 40 % de lycéens.Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones por-tables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portableet que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un.On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux évènementssuivants :

— C : « le jeune choisi est un collégien » ;

— L : « le jeune choisi est un lycéen » ;

— T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

Rappel des notations

Si A et B sont deux évènements, p(A) désigne la probabilité que l’évènement A seréalise et pB (A) désigne la probabilité de A sachant que l’évènement B est réalisé.On note aussi A l’évènement contraire de A.

1. Donner les probabilités : p(C ), p(L), p(T ), pC (T ).

2. Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le ren-seigner avec les données de l’énoncé.

3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un télé-phone portable.

4. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il pos-sède un téléphone portable.

5. a. Calculer p(T ∩L), en déduire pL(T ).

b. Compléter l’arbre construit dans la question 2.

Partie B

En 2012 en France, selon une étude publiée par l’Arcep (Autorité de régulation descommunications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2 500 par mois. On admet qu’enFrance le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisépar une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ= 2500 et d’écart-type σ= 650.

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les proba-bilités arrondies au millième.

1. Calculer la probabilité qu’un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS parmois.

2. Calculer p(X > 4000).

3. Sachant que p(X 6 a)= 0,8, déterminer la valeur de a. On arrondira le résultatà l’unité.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

*

Exercice 3 5 pointsCandidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candi-dats de la série L



L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contratsannuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplé-mentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimerle nombre de contrats annuels à venir.En 2015, l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.On modélise la situation par une suite (un ) où un représente le nombre de contratssouscrits auprès de l’entreprise PiscinePlus l’année 2015+n. Ainsi, on a u0 = 75.

1. a. Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2016.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 1,12un −6.

2. L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contratsavec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l’entreprise devra embaucher da-vantage de personnel.

On cherche à connaître en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pourcela, on utilise l’algorithme suivant :

L1 Variables : n est un nombre entier na-turel

L2 U est un nombre réelL3 Traitement : Affecter à n la

valeur 0L4 Affecter à U la valeur 75L5 Tant que U 6 100 faireL6 n prend la valeur n+1L7 U prend la valeur 1,12U −6L8 Fin Tant queL9 Sortie : Afficher . . .

a. Recopier et compléter la ligne L9.

b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de co-lonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l’unité.

Valeur de n 0Valeur de U 75

c. Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme puisinterpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a un+1 = 1,12un −6 et u0 = 75.

On pose pour tout entier naturel n : vn = un −50.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En préciser la raisonet le premier terme.

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n puis montrer que, pourtout entier naturel n, on a un = 25×1,12n

+50.

c. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation un > 100.

d. Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?

*

Exercice 3 5 pointsCandidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité



L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contratsannuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.C’est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n’ontque deux choix possibles : soit ils s’occupent eux-mêmes de l’entretien de leur pis-cine, soit ils souscrivent un contrat avec l’entreprise PiscinePlus.On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.Le patron de cette entreprise remarque que chaque année :

• 12 % des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident desouscrire un contrat avec l’entreprise PiscinePlus ;

• 20 % de particuliers sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus décident de lerésilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets C et Loù :

• C est l’évènement « Le particulier est sous contrat avec l’entreprise Piscine-Plus » ;

• L est l’évènement « Le particulier effectue lui-même l’entretien de sa piscine ».

Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on notepour tout entier naturel n :

• cn la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l’entreprise Piscine-Plus l’année 2015+n ;

• ln la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l’année2015+n.

On note Pn =

(

cn ln)

la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2015+n.Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’entreprise PiscinePlus atteindra l’ob-jectif d’avoir au moins 35 % des propriétaires de piscines comme clients sous contratd’entretien.

Partie A

1. Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la ma-trice de transition associée au graphe dont les sommets sont pris dans l’ordreC et L.

2. a. Montrer que l’état stable de ce graphe est P =

(

0,375 0,625)

.

b. Déterminer, en justifiant, si l’entreprise PiscinePlus peut espérer atteindreson objectif.

Partie B

En 2015, on sait que 15 % des propriétaires de piscines étaient sous contrat avecl’entreprise PiscinePlus. On a ainsi P0 =

(

0,15 0,85)

.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a cn+1 = 0,68cn +0,12.

2. À l’aide d’un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d’annéesl’entreprise PiscinePlus atteindra son objectif :



L1 Variables : n est un nombre entier na-turel

L2 C est un nombre réelL3 Traitement : Affecter à n la valeur 0L4 Affecter à C la valeur 0,15L5 Tant que C < 0,35 faireL6 n prend la valeur n+1L7 C prend la valeur

0,68C +0,12L8 Fin Tant queL9 Sortie : Afficher n

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de co-lonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième.

Valeur de n 0Valeur de C 0,15

b. Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme puisinterpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a cn+1 = 0,68cn +0,12 et quec0 = 0,15.

On pose, pour tout entier naturel n, vn = cn −0,375.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En préciser la raisonet le premier terme.

On admet que, pour tout entier naturel n, on a cn = −0,225× 0,68n+

0,375.

b. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation cn > 0,35.

c. Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ?

*


Soit f la fonction définie sur l’intervalle [3 ; 13] par :

f (x) =−2x +20−e−2x+10.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Montrer que la fonction dérivée f ′, de la fonction f , définie pour tout x del’intervalle [3 ; 13], a pour expression :

f ′(x) = 2(

−1+e−2x+10) .

2. a. Résoudre dans l’intervalle [3 ; 13] l’inéquation : f ′(x)> 0.

b. En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle [3 ; 13] et dresser le tableau devariations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin,arrondies à 10−3.

c. Calculer l’intégrale∫13

3f (x) dx.

On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 près.



Partie B : Application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de pro-duction est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production estcommercialisée.Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et lavente de x centaines de toboggans est modélisé sur l’intervalle [3 ; 13] par la fonctionf .En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir unbénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l’euro.

2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l’euro.

Partie C : Rentabilité

Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usinedoit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse.*


Durée : 3 heures

[ Baccalauréat Terminale ES Amérique du Nord \

1er juin 2016


Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

À une sortie d’autoroute, la gare de péage comporte trois voies.Une étude statistique a montré que :

• 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ;un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moinsde 10 secondes ;

• 52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiementpar carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moinsde 10 secondes ;

• les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autremoyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants :

• G : « l’automobiliste emprunte la voie de gauche » ;

• C : « l’automobiliste emprunte la voie du centre » ;

• D : « l’automobiliste emprunte la voie de droite » ;

• T : « l’automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».

On note T l’évènement contraire de l’évènement T .

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. Calculer la probabilité p(C ∩T ).

3. L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moinsde 10 secondes.

a. Justifier que p(D ∩T ) = 0,03.

b. Calculer la probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droitepasse le péage en moins de 10 secondes.

Partie B

Quelques kilomètres avant la sortie de l’autoroute, un radar automatique enregistrela vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire V qui, à chaqueautomobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h−1.On admet que V suit la loi normale d’espérance µ= 120 et d’écart-type σ= 7,5.

1. Déterminer la probabilité p(120 < V < 130). On arrondira le résultat au mil-lième.

2. Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supé-rieure ou égale à 138 km.h−1.

Déterminer la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné. On arrondirale résultat au millième.*


Exercice 2 5 pointsCandidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candi-dats de la série L

Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mo-bile.Le 1er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d’un mois surl’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, 8 000 nou-velles personnes s’abonnent.

1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016.

Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numé-rique (un ) où un représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de nmois après le 1er janvier 2016.

La suite (un ) est donc définie par :

u0 = 4 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,92un +8.

2. On considère l’algorithme suivant :

VariablesN est un nombre entier naturelU est un nombre réelTraitementU prend la valeur 4N prend la valeur 0Tant que U < 40

U prend la valeur 0,92×U +8N prend la valeur N +1

Fin Tant queSortieAfficher N

a. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de co-lonnes que nécessaire.

Les valeurs de U seront arrondies au dixième.

Valeur de U 4 . . . . . .Valeur de N 0 . . . . . .

Condition U < 40 vraie . . . . . .

b. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cerésultat dans le contexte de l’exercice.

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un −100.

a. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,92 et calculer sonpremier terme v0.

b. Donner l’expression de vn en fonction de n.

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un = 100−96×0,92n .

4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir delaquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000.*

Amérique du Nord 18 1er juin 2016


Exercice 2 5 pointsCandidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un groupe de presse édite un magazine qu’il propose en abonnement.Jusqu’en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la versionpapier.Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d’avis : 10 % desabonnés à la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à laversion numérique passent à la version papier.On admet que le nombre global d’abonnés reste constant dans le temps.Pour tout nombre entier naturel n, on note :

an la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l’année2010+n ;

bn la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l’an-née

2010+n ;

Pn =

(

an bn)

la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010+n.

On a donc a0 = 1, b0 = 0 et P0 =(

1 0)

.

1. a. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et Boù le sommet A représente l’état « abonné à la version papier » et B l’état« abonné à la version numérique ».

b. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordreA, B des sommets.

c. Montrer que P1 =(

0,9 0,1)

.

2. On admet que, pour tout entier naturel n, on a an+1 = 0,9an +0,06bn et

bn+1 = 0,1an +0,94bn .

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l’évolution des deux typesd’abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1 Algorithme 2Entrée EntréeSaisir n Saisir nTraitement Traitementa prend la valeur 1 a prend la valeur 1b prend la valeur 0 b prend la valeur 0Pour i allant de 1 à n Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur 0,9 × a +

0,06×bc prend la valeur a

b prend la valeur 0,1 × a +

0,94×ba prend la valeur 0,9 × a +

0,06×bAfficher a et b b prend la valeur 0,1 × c +

0,94×bFin Pour Afficher a et b

Fin Pour

Sachant qu’un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhaitdu directeur, préciser lequel en justifiant la réponse.

3. a. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a an+1 = 0,84an +0,06.



b. On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par un =

an −0,375.

Montrer que la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,84 et cal-culer u0.

c. Donner l’expression de un en fonction de n.

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a an = 0,375 + 0,625 ×

0,84n .

4. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la pro-portion d’abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50 %.

*


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions po-sées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point.Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucunejustification n’est demandée.

1. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [10 ; 50]. La probabilitéque ce nombre appartienne à l’intervalle [15 ; 20] est :

a.5

50b.

1

8c.

1

40d.

1

5

2. Le prix d’un produit est passé de 200 ( à 100 (.

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’envi-ron :

a. 50 % b. 25 % c. 29 % d. 71 %

3. On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f définie et conti-nue sur l’intervalle [0 ; 18].



10

20

30

40

−10

−20

−30

−40

2 4 6 8 10 12 14 16 18

C f

O

On peut affirmer que :

a. Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont néga-tives sur l’intervalle [0 ; 2].

b. Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont néga-tives sur l’intervalle [8 ; 12].

c. Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont crois-santes sur l’intervalle [0 ; 2].

d. Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18] sont crois-santes sur l’intervalle [8 ; 12].

4. Lors d’un sondage, 53,5 % des personnes interrogées ont déclaré qu’elles vo-teront pour le candidat A aux prochaines élections. L’intervalle de confianceau seuil de 95 % donné par l’institut de sondage est [51 % ; 56 %]. Le nombrede personnes qui ont été interrogées est alors :

a. 40 b. 400 c. 1 600 d. 6 400*


Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par

f (x) = 9x2(1−2ln x)+10.

La courbe représentative de f est donnée ci-dessous :



0

5

10

15

20

0 0,5 1,0 1,5

1. a. Montrer que f ′(x) = −36x ln x où f ′ désigne la fonction dérivée de lafonction f sur l’intervalle ]0 ; 1,5].

b. Étudier le signe de f ′(x) sur l’intervalle ]0 ; 1,5].

c. Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l’in-tervalle ]0 ; 1,5].

2. On admet que f ′′(x) = −36ln x − 36 où f ′′ désigne la dérivée seconde de lafonction f sur l’intervalle ]0 ; 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d’in-flexion dont l’abscisse est e−1.

3. Soit F la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par

F (x)= 10x +5x3−6x3 ln x.

a. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ]0 ; 1,5].

b. Calculer∫1,5

1f (x) dx.

On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B : Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en comptedans l’évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dansla partie A, où x représente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction enbourse et f (x) représente le prix de l’action, exprimé en euros.Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie oufausse en justifiant la réponse.

Proposition 1 :« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. »

Proposition 2 :« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieureà 17 (. »*


[ Baccalauréat ES Centres étrangers 8 juin 2016 \

EXERCICE 1 4 pointsCommun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions sui-vantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n ’estdemandée. Une bonne réponse rapporte un point, Une mauvaise réponse ou l’absencede réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante

Soit la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par

f (x) = 5− x +2ln x.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f , ainsi que T,la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 4.

0

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b A

T

C

x

y

1. On note f ′ la fonction dérivée de f , on a :

a. f ′(x) =−1+2x b. f ′(x) =−2ln x + (5− x)2

xc. f ′(x) =

−x +2

xd. f ′(x) = 4+

2

x.

2. Sur l’intervalle ]0 ; 10], l’équation f ′(x) = 0 admet :

a. Aucune solu-tion

b. Une seule so-lution

c. Deux solu-tions

d. Plus de deuxsolutions

3. Une équation de T est :

a. y =

1

2x +5,7 b. y = 5,7x −

1

2c. y =−

1

2x +1+2ln 4 d. y =−

1

2x +3+2ln 4


4. La valeur de l’intégrale∫3

1f (x) dx appartient à l’intervalle :

a. [1 ; 3] b. [4 ; 5] c. [8 ; 9] d. [10 ; 15]*


Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie « pneu neige » et lacatégorie « pneu classique ». Sur chacun d’eux, on effectue des tests de qualité pouraméliorer la sécurité.On dispose des informations suivantes sur le stock de production :

— le stock contient 40 % de pneus neige ;

— parmi les pneus neige, 92 % ont réussi les tests de qualité ;

— parmi les pneus classiques, 96 % ont réussi les tests de qualité.

Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note :

— N l’évènement : « Le pneu choisi est un pneu neige » ;

— C l’évènement : « Le pneu choisi est un pneu classique » ;

— Q l’évènement : « Le pneu choisi a réussi les tests de qualité ».

Rappel des notations :Si A et B sont deux évènements, p(A) désigne la probabilité que l’évènement A seréalise et pB (A) désigne la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement Best réalisé. On notera aussi A l’évènement contraire de A.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Partie A

1. Illustrer la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité de l’évènement N ∩Q et interpréter ce résultat par unephrase.

3. Montrer que p(Q)= 0,944.

4. Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilitéque ce pneu soit un pneu neige ?

Partie B

On appelle durée de vie d’un pneu la distance parcourue avant d’atteindre le témoind’usure.On note X la variable aléatoire qui associe à chaque pneu classique sa durée de vie,exprimée en milliers de kilomètres. On admet que la variable aléatoire X suit la loinormale d’espérance µ= 30 et d’écart-type σ= 8.

1. Quelle est la probabilité qu’un pneu classique ait une durée de vie inférieureà 25 milliers de kilomètres ?

2. Déterminer la valeur du nombre d pour que, en probabilité, 20 % des pneusclassiques aient une durée de vie supérieure à d kilomètres.

Centres étrangers 24 8 juin 2016


Partie C

Une enquête de satisfaction effectuée l’an dernier a révélé que 85 % des clients étaientsatisfaits de la tenue de route des pneus du fabricant. Ce dernier souhaite vérifier sile niveau de satisfaction a été le même cette année.Pour cela, il décide d’interroger un échantillon de 900 clients afin de conclure surl’hypothèse d’un niveau de satisfaction maintenu.Parmi les 900 clients interrogés, 735 sont satisfaits de la tenue de route.Quelle va être la conclusion du directeur avec un niveau de confiance 0,95 ? Détaillerles calculs, la démarche et l’argumentation.*

EXERCICE 3 5 pointsCandidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candi-dats de la série L

Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger.Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de filmsproposés aux abonnés augmente de 6 %.

Partie A

On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique (un ) où n dé-signe le nombre de mois depuis l’ouverture du site. On a donc u0 = 500.

1. Calculer u1 et u2 et donner le résultat arrondi à l’unité.

2. Exprimer un en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite (un ).

Partie B

Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien de mois le site auradoublé le nombre de films proposés par rapport au nombre de films proposés à l’ou-verture.

1. On veut déterminer cette valeur à l’aide d’un algorithme.

Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l’algorithme donne lerésultat attendu.

L1 : Initialisation Affecter à U la valeur 500L2 : Affecter à N la valeur 0L3 : Traitement Tant que U . . . . . .L4 : Affecter à N la valeur N +1L5 : Affecter à U la valeur . . . . . .L6 : Fin Tant queL7 : Sortie Afficher . . . . . .

2. On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre demois recherché.

Partie C

En raison d’une offre de bienvenue, le nombre d’abonnés au lancement est 15 000.Sur la base des premiers mois, on estime que le nombre des clients abonnés au siteévolue suivant la règle suivante :chaque mois, 10 % des clients se désabonnent et 2 500 nouveaux abonnés sont en-registrés.On note vn l’estimation du nombre d’abonnés n mois après l’ouverture, on a ainsiv0 = 15000.



1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a vn+1 = 0,9× vn +2500.

2. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par wn = vn −

25000.

a. Montrer que la suite (wn) est géométrique de raison 0,9 et préciser sonpremier terme.

b. En déduire que, pour tout entier n, vn = 25000−10000×0, 9n .

c. Peut-on prévoir, à l’aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d’abon-nés sur le long terme ? Justifier la réponse.

*

EXERCICE 3 5 pointsCandidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une compagnie aérienne utilise huit aé-roports que l’on nomme A, B, C, D, E, F, Get H.Entre certains de ces aéroports, la compa-gnie propose des vols dans les deux sens.Cette situation est représentée par legraphe Γ ci-contre, dans lequel :

• les sommets représentent les aéro-ports,

• les arêtes représentent les liaisonsassurées dans les deux sens par lacompagnie.

AB

C

D

E

F

G

H

Partie A

1. a. Déterminer, en justifiant, si le graphe Γ est complet.

b. Déterminer, en justifiant, si le graphe Γ est connexe.

2. Déterminer, en justifiant, si le graphe Γ admet une chaîne eulérienne. Si oui,donner une telle chaîne.

3. Donner la matrice d’adjacence M du graphe Γ en respectant l’ordre alphabé-tique des sommets du graphe.

4. Pour la suite de l’exercice, on donne les matrices suivantes :

M2=

3 1 2 2 1 1 0 11 4 1 2 2 0 2 02 1 3 1 1 2 0 12 2 1 4 1 1 1 11 2 1 1 3 0 1 01 0 2 1 0 2 0 10 2 0 1 1 0 3 01 0 1 1 0 1 0 2

et M3=

4 8 3 7 6 1 4 18 4 8 8 3 6 1 43 8 2 7 4 1 6 17 8 7 6 7 3 3 26 3 4 7 2 3 1 41 6 1 3 3 0 5 04 1 6 3 1 5 0 41 4 1 2 4 0 4 0

Un voyageur souhaite aller de l’aéroport B à l’aéroport H.

a. Déterminer le nombre minimal de vols qu’il doit prendre, Justifier lesréponses à l’aide des matrices données ci-dessus.

b. Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs.



Partie B

Les arêtes sont maintenant pondéréespar le coût de chaque vol, exprimé eneuros.Un voyageur partant de l’aéroport A doitse rendre à l’aéroport G.En utilisant l’algorithme de Dijkstra, dé-terminer le trajet le moins cher.

AB

C

D

E

F

G

H

40

10045

110

50

120

60

50

40

55

80

90

*


Partie A

Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] par

f (x) =0,4

20e−x+1

+0,4.

1. Montrer que f ′(x) =8e−x

(20e−x+1)2

où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonc-

tion f .

2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1 f ′(x) := 8∗e (̂−x)/(20∗e (̂−x)+1)2

→ f ′(x) :8 ·e−x

400(e−x )2+40e−x

+12 g (x) := Dérivée [ f ′(x)]

→ g (x) :=160(e−x )2

−8e−x

8000(e−x )3+1200(e−x )2

+60e−x+1

3 Factoriser [g (x)]

→ 8e−x·

20e−x−1

(20e−x+1)3

En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.

Partie B

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant lesvillages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction f , définie dans la partieA, modélise le profil de ce projet routier. La variable x représente la distance hori-zontale, en kilomètres, depuis le village A et f (x) représente l’altitude associée, enkilomètres.

La représentation graphique C f de la fonction f est donnée ci-dessous.



0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 1 2 3 4 5 6 7

+

+

A

BC f

x

f (x)

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à C f en un point M estappelé « pente en M ».On précise aussi qu’une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur dela tangente à la courbe de f en M égal à 0,05.Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point de C f la pentene dépasse 12 %.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse enjustifiant la réponse.

Proposition 1L’altitude du village B est 0,6 km.Proposition 2L ’écart d’altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre.Proposition 3La pente en A vaut environ 1,8 %.Proposition 4Le projet de route ne sera pas accepté.*


[ Baccalauréat ES Polynésie 10 juin 2016 \



On s’intéresse à l’ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandesbanques.Une étude montre que 42 % des demandes de prêts sont déposées auprès de labanque Karl, 35 % des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa,alors que cette proportion est de 23 % pour la banque Miro.Par ailleurs :

• 76 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont accep-tées ;

• 65 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont accep-tées ;

• 82 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont accep-tées.

On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprèsdes trois banques.On considère les évènements suivants :

• K : « la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl » ;

• L : « la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa » ;

• M : « la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro » ;

• A : « la demande de prêt est acceptée ».

On rappelle que pour tout évènement E , on note P (E ) sa probabilité et on désignepar E son évènement contraire.

Dans tout l’exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième desrésultats.

Partie A

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banqueKarl et soit acceptée.

3. Montrer que P (A) ≈ 0,735.

4. La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu’elle ait été dépo-sée à la banque Miro.

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse à la durée moyenne d’un prêt immobilier.On note X la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, enannées.On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espéranceµ = 20 et d’écart-type σ= 7.

1. Calculer la probabilité que la durée d’un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.

2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près du nombre réel a tel que

P (X > a) = 0,1.

Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.*



Une entreprise s’intéresse au nombre d’écrans 3D qu’elle a vendus depuis 2010 :

Année 2010 2011 2012Nombre d’écrans 3D vendus 0 5 000 11 000

Le nombre d’écrans 3D vendus par l’entreprise l’année (2010+n) est modélisé parune suite (un ), arithmético-géométrique, de premier terme u0 = 0.On rappelle qu’une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier natureln, une relation de récurrence de la forme un+1 = a×un +b où a et b sont deux réels.

1. a. En supposant que u1 = 5000, déterminer la valeur de b.

b. En supposant de plus que u2 = 11000, montrer que pour tout entier na-turel n, on a :

un+1 = 1,2×un +5000.

2. a. Calculer u3 et u4.

b. En 2013 et 2014, l’entreprise a vendu respectivement 18 000 et 27 000écrans 3D.

La modélisation semble-t-elle pertinente ?

Dans toute la suite, on fait l’hypothèse que le modèle est une bonne estima-tion du nombre d’écrans 3D que l’entreprise va vendre jusqu’en 2022.

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un +25000.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 1,2.

Préciser la valeur de son premier terme v0.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, un = 25000×1,2n−25000.

4. On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventesd’écrans 3D dépassera 180 000 unités.

a. Prouver que résoudre l’inéquation un > 180000 revient à résoudre l’in-équation 1,2n

> 8,2.

b. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il détermine etaffiche le plus petit entier naturel n, solution de l’inéquation 1,2n

> 8,2.

Variables : N est un entier naturelW est un nombre réel

Initialisation : N prend la valeur 0W prend la valeur . . . . . .

Traitement : Tant que . . . . . .W prend la valeur W ×1,2. . . . . .

Fin du Tant queSortie : Afficher . . .

c. Déterminer cet entier naturel n.

d. À partir de 2023, l’entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombrede ses ventes d’écrans 3D. Combien d’écrans 3D peut-elle prévoir devendre en 2025 ?

Polynésie 30 10 juin 2016


*

EXERCICE 3 5 pointsEnseignement obligatoire

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse enjustifiant la réponse.Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse nonjustifiée n’est pas prise en compte.Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes

On rappelle que R désigne l’ensemble des nombres réels.

1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x) = x ln x − x +1.

Affirmation A : La fonction f est croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[.

Affirmation B : La fonction f est convexe sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Affirmation C : Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, f (x)6 50.

2. On donne ci-dessous la courbe représentative Cg d’une fonction g définie surR.

On admet que g est dérivable sur R et on rappelle que g ’ désigne la fonctiondérivée de la fonction g .

On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe Cg au point A de cette courbe,d’abscisse 1 et d’ordonnée 2. Cette tangente coupe l’axe des abscisses au pointd’abscisse 2.

1

2

3

4

5

6

7

−1

1 2−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

1 2 3−1

b A

Cg

T

O



Affirmation D : g ′(1) =−2.

Affirmation E :∫1

0g (x) dx < 3.

*

EXERCICE 3 5 pointsEnseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse enjustifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est paspénalisée.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes

1. On donne le graphe probabiliste suivant :

A B

0,6

0,3

0,4 0,7

Affirmation A : L’état stable associé à ce graphe est

(

2

3

1

3

)

.

2. On donne le graphe pondéré G suivant :

A

B C

D

EF

2

3

1

1

4

1

24 2

Affirmation B : Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes lesarêtes de ce graphe.

Affirmation C : La plus courte chaîne entre les sommets A et D est une chaînede poids 5.

3. On considère la matrice

M =

0 1 0 11 0 1 10 1 0 01 1 0 0

.

On suppose que M est la matrice d’adjacence d’un graphe à quatre sommetsA,B,C ,D dans cet ordre.

Affirmation D : Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommetB au sommet D.

4. On considère les matrices A =

(

a 00 a

)

et B =

(

−1 00 a

)

.

Affirmation E : Il existe un nombre réel a pour lequel B est l’inverse de A.



*


Un publicitaire envisage la pose d’un panneau rectangulaire sous une partie de rampede skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative dela fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

f (x) = 4e−0,4x .

Cette courbe C f est tracée ci-dessous dans un repère d’origine O :

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y (en mètres)

x (en mètres)C f

A

D C

B

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes sui-vantes : le point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses,le point D est sur l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbe C f .

1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x = 2.

Montrer qu’une valeur approchée de l’aire du panneau publicitaire est 3,6 m2.

2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l’énoncé,quelles sont les dimensions de celui dont l’aire est la plus grande possible ?

On donnera les dimensions d’un tel panneau au centimètre près.

*


[ Baccalauréat ES Métropole – La Réunion \

22 juin 2016


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatrequestions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sansjustifier le choix effectué.Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple oul’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satis-faits de la formation reçue au cours de l’année 2013. Pour cela, il interroge unéchantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportionde stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013 est :

a. [0,713 ; 0,771] b. [0,692 ; 0,808]c. [0,754 ; 0,813] d. [0,701 ; 0,799]

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle[4 ; 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

a.6

11b.

10

7c.

10

11d.

6

73. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (x +1)e−2x+3. La fonction

f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f ′ est donnée par :

a. f ′(x) =−2e−2x+3 b. f ′(x) = e−2x+3

c. f ′(x) = (−2x +3)e−2x+3 d. f ′(x) = (−2x −1)e−2x+3

4. On considère une fonction f définie et dérivable surR telleque sa fonction dérivée f ′ soit aussi dérivable sur R. Lacourbe ci-contre représente la fonction f ′′.

On peut alors affirmer que :a. f est convexe sur [-2 ; 2].b. f est concave sur [-2 ; 2].c. La courbe représentative de f sur [-2 ; 2] admet unpoint d’inflexion.d. f ′ est croissante sur [-2 ; 2].

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1 2−1−2 *


EXERCICE 2 5 pointsCandidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pourl’Europe.Afin d’entretenir son parc, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 %de son parc automobile et d’acheter 3 000 voitures neuves.

On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite :Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de voitures présentes dans le parcautomobile au 1er mars de l’année 2015+n.On a donc u0 = 10000.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75un +3000.

2. Pour tout entier naturel n, on considère la suite (vn) définie par

vn = un −12000.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. Pré-ciser son premier terme.

b. Exprimer vn en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite (vn).

c. Justifier que, pour tout entier naturel n, un = 12000−2000×0, 75n .

d. En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions pré-cédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures quecomptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombred’années ?

3. On admet dans cette question que la suite (un ) est croissante.

On aimerait déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comp-tera au moins 11 950 voitures.

a. Recopier l’algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu’il per-mette de répondre au problème posé.

Initialisation U prend la valeur 10 000N prend la valeur 0

Traitement Tant que . . .N prend la valeur . . .U prend la valeur . . .

Fin Tant queSortie Afficher . . .

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année recherchée.

c. Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation

12000−2000×0,75n > 11950.

*

Exercice 2 5 pointsCandidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidienne-ment un footing à compter du 1er janvier 2014.On admet que :

• Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain estde 0,2 ;

Métropole – La Réunion 35 2 juin 2016


• s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemainest de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».Pour tout entier naturel n, on note :

• cn la probabilité de l’évènement « Hugo court le (n+1)-ième jour » ;

• rn la probabilité de l’évènement « Hugo ne court pas le (n+1)-ième jour » ;

• Pn la matrice(

cn rn)

correspondant à l’état probabiliste le (n+1)-ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.On a donc : P0 =

(

c0 r0)

=

(

1 0)

.

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C etR.

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabé-tique des sommets.

3. On donne M6=

(

0,750016 0,2499840,749952 0,250048

)

·

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité c6 qu’Hugo coure le7e jour ?

Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de c6.

4. a. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, cn+1 = 0,2cn +0,6.

5. Pour tout entier naturel n, on considère la suite (vn) définie par vn = cn −0,75.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,2. Préci-ser le premier terme.

b. Exprimer vn en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite (vn).

c. Justifier que, pour tout entier naturel n, cn = 0,75+0,25×0,2n .

d. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29décembre 2014 ?

e. Conjecturer alors l’état stable de ce graphe.

Comment valider votre conjecture ?

*


Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégo-ries : rock, techno, rap, reggae . . . dont certaines sont interprétées en français.Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode« lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équi-probable parmi l’ensemble du répertoire.Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute unechanson grâce à ce mode de lecture.On note :• R l’évènement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;• F l’évènement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».

Les parties A et B sont indépendantes.

PARTIE A



1. Calculer p(R), la probabilité de l’évènement R.

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduirecette donnée en utilisant les évènements R et F .

3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégo-rie rock et qu’elle soit interprétée en français.

4. Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que p(

F ∩R)

= 0,28.

5. En déduire pR (F ) et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.

PARTIE B Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de sontéléphone portable.On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée(en minutes) correspondante ; on admet que X suit la loi normale d’espérance µ =

30 et d’écart-type σ= 10.Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et45 minutes ?

2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure ? *


La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction fdéfinie et dérivable sur [0,5 ; 6]. Les points A (1 ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur lacourbe (C).Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointilléssur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.On note f ′ la fonction dérivée de f .

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

b

A

b B

(C)


PARTIE A : ÉTUDE GRAPHIQUE



1. Déterminer f ′(1,5).

2. La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées(0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente.

3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du do-maine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équa-tions x = 1 et x = 2.

4. Déterminer la convexité de la fonction f sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse.

PARTIE B :ÉTUDE ANALYTIQUE

On admet que la fonction f est définie sur [0,5 ; 6] par

f (x) =−2x +5+3ln(x).

1. Pour tout réel x de [0,5 ; 6], calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) =−2x +3

x.

2. Étudier le signe de f ′ sur [0,5 ; 6] puis dresser le tableau de variation de f sur[0,5 ; 6].

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement une solution α sur [0,5 ; 6].

Donner une valeur approchée de α à 10−2 près.

4. En déduire le tableau de signe de f sur [0,5 ; 6].

5. On considère la fonction F définie sur [0,5 ; 6] par F (x) =−x2+2x +3x ln(x).

a. Montrer que F est une primitive de f sur [0,5 ; 6].

b. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre lacourbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 2. Endonner ensuite une valeur arrondie au dixième.

*


[ Baccalauréat ES – Asie \

23 juin 2016

EXERCICE 1 6 points

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative C f d’unefonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−1; 5].On note f ′ la fonction dérivée de f .La courbe C f passe par le point A (0; 1) et par le point B d’abscisse 1.La tangente T0 à la courbe au point A passe par le point C (2; 3) et la tangente T1 aupoint B est parallèle à l’axe des abscisses.

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1 2 3 4 5−1

b

A

bB

bC

T0

T1

C f

PARTIE A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pourchacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.Une bonne réponse rapporte 0,75 point.Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point.Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur exacte de f ′(1) est :

a. 0

b. 1

c. 1,6

d. autre réponse

2. La valeur exacte de f ′(0) est :

a. 0

b. 1

c. 1,6

d. autre réponse

3. La valeur exacte de f (1) est :

a. 0

b. 1


c. 1,6

d. autre réponse

4. Un encadrement de∫2

0f (x) dx par des entiers naturels successifs est :

a. 36∫2

0f (x) dx 6 4 b. 26

∫2

0f (x) dx 6 3

c. 16∫2

0f (x) dx 6 2 d. autre réponse

PARTIE B

1. On admet que la fonction F définie sur [−1; 5] par F (x)=−(x2+4x+5)e−x est

une primitive de la fonction f .

a. En déduire l’expression de f (x) sur [−1; 5].

b. Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine du planlimité par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =

0 et x = 2.

2. Montrer que sur l’intervalle [1; 5], l’équation f (x) = 1 admet au moins unesolution.*

EXERCICE 2 6 points


Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.

Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l’industrie informatique.

PARTIE A

On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification.La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à untirage avec remise de 100 clés.On admet que la probabilité qu’une clé USB prélevée au hasard dans la productiond’une journée soit défectueuse est égale à 0,015.On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe lenombre de clés défectueuses de ce prélèvement.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminerales paramètres.

2. Calculer les probabilités p(X = 0) et p(X = 1).

3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soientdéfectueuses.

PARTIE B

Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée enMo/s, appartient à l’intervalle [98; 103]. Une clé est dite conforme pour l’écriturelorsque sa vitesse d’écriture exprimée en Mo/s appartient à l’intervalle [28; 33].

Asie 40 23 juin 2016


1. On note R la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans lestock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire R suitla loi normale d’espérance µ= 100 et d’écart-type σ= 1.

Calcule la probabilité qu’une clé soit conforme pour la lecture.

2. On note W la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans lestock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire Wsuit une loi normale.

Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléa-toire W .

26 27 28 29 30 31 32 33 34

L’unité d’aire est choisie de façon à ce que l’aire sous la courbe soit égale à unet l’aire grisée est environ égale à 0,95 unité d’aire. La droite d’équation x = 30est un axe de symétrie de la courbe.

Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire W . Justifier.

PARTIE C

Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à unéditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasarddans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimilerce tirage à un tirage avec remise.On constate que 94 clés sont sans défaut.

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la pro-portion des clés USB qui sont sans défaut.*

EXERCICE 3 5 points

Élèves de ES n’ayant pas suivi la spécialité mathématiques, et élèves de L

Le 1er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3 000 élèves.Une étude statistique interne a montré que chaque 1er septembre :

• 10 % de l’effectif quitte l’établissement ;

• 250 nouveaux élèves s’inscrivent.

On cherche à modéliser cette situation par une suite (un ) où, pour tout entier natureln, un représente le nombre d’élèves le 1er septembre de l’année 2015+n.

1. Justifier qu’on peut modéliser la situation avec la suite (un ) telle que


2. Pour tout entier naturel n, on pose vn = un −2500.

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,9. Préciser v0.



b. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

En déduire que pour tout entier naturel n, un = 500×0,9n+2500.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1 −un =−50×0,9n .

En déduire le sens de variation de la suite (un ).

4. La capacité optimale d’accueil est de 2 800 élèves. Ainsi, au 1er septembre 2015,l’ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, lecontexte restant le même, l’ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.*

EXERCICE 3 5 points

Élèves de ES ayant suivi la spécialité mathématiques

PARTIE A

On considère le graphe G ci-dessous

A C F I K

B E H

D G J

1. En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne.

Si oui, donner une telle chaîne.

2. On considère la matrice M ci-après (a, b, c et d sont des nombres réels).

M =

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 0 0 01 0 0 a 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1 b 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 0 0 1 1 1 00 0 1 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 10 0 0 0 c 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 1 0 0 0 10 0 0 0 d 0 0 1 1 1 0

a. Déterminer les réels a, b, c et d pour que la matrice M représente lamatrice d’adjacence associée au graphe G , les sommets étant pris dansl’ordre alphabétique.



b. On donne

M3=

0 8 10 8 0 0 0 5 5 5 08 0 0 0 10 13 6 0 0 0 5

10 0 0 0 11 16 9 0 0 0 68 0 0 0 7 12 8 0 0 0 40 10 11 7 0 0 0 10 10 7 00 13 16 12 0 0 0 13 13 12 00 6 9 8 0 0 0 5 5 7 05 0 0 0 10 13 5 0 0 0 85 0 0 0 10 13 5 0 0 0 85 0 0 0 7 12 7 0 0 0 70 5 6 4 0 0 0 8 8 7 0

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant Aà J . Préciser ces chemins.

PARTIE B

On oriente et on pondère le graphe G ci-dessus pour qu’il représente un réseau d’ir-rigation.

A C F I K

B E H

D G J

2

5

3

3

2

5

3

4

5

6

2

4

5

2

1

2

3

3

5

• Le sommet A correspond au départ d’eau, le sommet K au bassin d’infiltrationet les autres sommets représentent les stations de régulation.

• Les arêtes représentent les canaux d’irrigation et les flèches, le sens du ruis-sellement.

• La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations duréseau.

Déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d’eau en A et le bassind’infiltration en K et donner sa longueur.*

EXERCICE 4 3 points


D’après une enquête menée auprès d’une population, on a constaté que :

• 60 % de la population sont des femmes ;

• 56 % des femmes travaillent à temps partiel ;

• 36 % de la population travaillent à temps partiel.

On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu’elle travaille à tempspartiel.Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?*


[ Baccalauréat ES–L Antilles–Guyane \

juin 2016


Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées estexacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, nin’enlèvent aucun point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. On donne le tableau de variation d’une fonction f définie sur l’intervalle [−1 ; 3] :

Dans l’intervalle [−1 ; 3], l’équa-tion f (x) = 0 admet :a. exactement 3 solutionsb. exactement 2 solutionsc. exactement 1 solutiond. pas de solution

x −1 1 2 3

−2

2

−1

−0,5

variations

de f

2. L’équation ln(2x) = 2 admet une unique solution x0 sur R. On a :

a. x0 = 0 b. x0 =e2

2c. x0 =

ln 2

2d. x0 = 3,6945

3. La suite (un ) est la suite géométrique de premier terme u0 = 400 et de raison1

2.

La somme S = u0 +u1 +·· ·+u10 est égale à :

a. 2×(

1−0,510)

b. 2×(

1−0,511)

c. 800×(

1−0,510)

d. 800×(

1−0.511)

4. On considère l’algorithme ci-dessous :

Variables : n est un nombre entier naturelU est un nombre réel

Traitement : Affecter à n la valeur 0Affecter à U la valeur 50Tant que U < 120 faire

U prend la valeur 1,2×Un prend la valeur n+1


En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :

a. 4 b. 124,416 c. 5 d. 96

5. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 2+3ln(x).

La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 a pour équa-tion :

a. y =

3

xb. y = 3x −1 c. y = 3x d. y = 3x +2

*


EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, uti-litaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d’assurance sansfranchise.Une étude statistique a permis d’établir que :

• 30 % des clients ont loué une berline et 10 % ont loué un véhicule de luxe.

• 40 % des clients qui ont loué une berline ont choisi l’option d’assurance sansfranchise.

• 9 % des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l’option d’assurancesans franchise.

• 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l’option d’assu-rance sans franchise.

On prélève au hasard la fiche d’un client et on considère les évènements suivants :

• B : le client a loué une berline.

• L : le client a loué un véhicule de luxe.

• U : le client a loué un véhicule utilitaire.

• A : le client a choisi l’option d’assurance sans franchise.

1. Recopier et compléter l’arbre de pro-babilités ci-contre avec les données del’énoncé.

2. Quelle est la probabilité que le client aitloué une berline et ait choisi l’optiond’assurance sans franchise ?

3. Calculer la probabilité qu’un client aitchoisi l’option d’assurance sans fran-chise.

4. Calculer PL(A), la probabilité que leclient ait souscrit une assurance sansfranchise sachant qu’il a loué une voi-ture de luxe.

B

. . .

A. . .

A

L. . .

A . . .

A

U

A . . .

A

Partie B

Le temps d’attente au guichet de l’agence de location, exprimé en minutes, peut êtremodélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [1 ; 20].

1. Quelle est la probabilité d’attendre plus de douze minutes ?

2. Préciser le temps d’attente moyen.

Partie C

Cette agence de location propose l’option retour du véhicule dans une autre agence.Une étude statistique a établi que le nombre mensuel de véhicules rendus dans uneautre agence peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normaled’espérance µ= 220 et d’écart-type σ= 30.Si pour un mois donné, le nombre de véhicules rendus dans une autre agence dé-passe 250 véhicules, l’agence doit prévoir un rapatriement des véhicules.À l’aide de la calculatrice, déterminer, à 0,01 près, la probabilité que l’agence doiveprévoir un rapatriement de véhicules.*

Antilles-Guyane 45 22 juin 2016


EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité


Partie A

Des touristes sont logés dans un hôtelH.Un guide souhaite faire visiter la ré-gion à ces touristes en empruntant lesroutes signalées comme d’intérêt tou-ristique par l’office du tourisme.Les tronçons de route qu’il souhaiteemprunter sont représentés sur legraphe ci-contre.Le long de chaque arête figure ladistance en kilomètres des différentstronçons.

b

b

b

b

b

b

b

B

G

H

C

D

E

F

129

21

39

13

208

7 511

1. a. Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une etune seule fois sur chacun d’eux, en partant de l’hôtel et en y revenant ?Justifier la réponse.

b. Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une etune seule fois sur chacun d’eux, en partant de l’hôtel mais sans forcé-ment y revenir ? Justifier la réponse.

2. Un musée est situé en E. Déterminer le plus court chemin menant de l’hôtelH au musée E. Justifier la réponse.

Partie B

L’office de tourisme évalue chaque année les hôtels de sa région et répertorie lesmeilleurs sur son site internet. On admet que dans cette région, la création ou ladisparition d’hôtels est négligeable. On constate que, chaque année :

• 10 % des hôtels répertoriés ne seront plus répertoriés l’année suivante ;

• 20 % des hôtels non répertoriés sur le site seront répertoriés l’année suivante.

1. Réaliser un graphe décrivant cette situation (on notera R l’évènement « l’hôtelest répertorié » et R son évènement contraire).

2. Écrire la matrice de transition de ce graphe.

3. En 2015, 30 % des hôtels de la région étaient répertoriés.

Quel pourcentage d’hôtels sera répertorié en 2016 ? en 2017 ?

4. Quel pourcentage d’hôtel serait répertorié à long terme ?

*


La courbe ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction f définie et déri-vable sur l’intervalle [0 ; 6].ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2 ; 0) et le point C a pourcoordonnées (4 ; 0).



0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

−0,5

−1,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0

b b

b b

C

BA

D

Partie ADans cette partie A, les réponses seront données à partir d’une lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) > 0.

2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée dumaximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6].

3. Quel semble être le signe de f ′(x) sur l’intervalle [2 ; 6] ? Justifier.

4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d’in-flexion ?

5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de∫4

1f (x) dx.

Partie B

La fonction f est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par

f (x) = (10x −5)e−x .

Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas deles justifier) :

f ′(x) = (−10x +15)e−x et f ′′(x) = (10x −25)e−x .

1. Dresser le tableau de variation de f en précisant la valeur de l’extremum et lesvaleurs aux bornes de l’ensemble de définition.

2. Étudier la convexité de f sur l’intervalle [0 ; 6].

3. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 6] par

F (x) = (−10x −5)e−x est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 6].

4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de∫4

2f (x) dx.

5. On souhaiterait que l’aire du rectangle ABCD soit égale à l’aire du domainegrisé sur la figure. Déterminer, à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle.




Afin de lutter contre la pollution de l’air, un département a contraint dès l’année2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits pol-luants qu’elles rejettent dans l’air.Ces entreprises ont rejeté 410 tonnes de ces polluants en 2013 et 332 tonnes en 2015.On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés estconstant.

1. Justifier que l’on peut considérer que l’évolution d’une année sur l’autre cor-respond à une diminution de 10 %.

2. En admettant que ce taux de 10 % reste constant pour les années à venir, dé-terminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces en-treprises ne dépassera plus le seuil de 180 tonnes fixé par le conseil départe-mental.

*



14 septembre 2016


Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.À partir d’une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé lecomportement des clients par :

• 60 % des clients sont des hommes ;

• 80 % des hommes mangent un dessert alors que seulement 45 % des femmesen mangent un.

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :

• H l’évènement « le client interrogé est un homme » ;

• D l’évènement « le client interrogé a mangé un dessert ».

On note également :

• A l’évènement contraire d’un évènement A ;

• p(A) la probabilité d’un évènement A.

PARTIE A

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé undessert.

3. Montrer que p(D) = 0,66.

4. Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité quece soit une femme ?

PARTIE B

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits desmenus proposés dans ses restaurants.Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 sedéclarent satisfaits des menus proposés.

1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clientssatisfaits.

2. Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et doncveut un intervalle de confiance au niveau de 95 % d’amplitude 0,06.

Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel inter-valle. *



Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pourchacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.Une bonne réponse rapporte un point.Une mauvaise réponse ou l’absence de réponses n’enlève ni ne rapporte aucun point.Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.Les parties de cet exercice sont indépendantes.

PARTIE A

1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 90 et d’écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de p (X > 100) est :

a. 0,500 b. 0,452 c. 0,048 d. 0,952

2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de p

(

µ−206 Y 6µ+20)

est :

a. 0,68 b. 0,5 c. 0,8 d. 0,95

PARTIE B

Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction f deux fois dérivablesur [−5;3]. On donne ci-dessous le tableau de variation de f ′.

x −5 −1 1 3

Variation de f ′

−0,5

−3

4

0

3. La fonction f est :

a. croissante sur [−5 ; 3]

b. décroissante sur [−5 ; 1]

c. décroissante sur [−5 ; 3]

d. croissante sur [−1 ; 3]


a. convexe sur [−5 ; −1]

b. concave sur [−5 ; −1]

c. concave sur [−5 ; 1]

d. convexe sur [−5 ; 3]

*

Métropole – La Réunion 50 14 septembre 2016



Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1 500 arbres. Les exploitants de cette fo-rêt prévoient que chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres serontplantés.On modélise le nombre d’arbres de cette forêt par une suite (un ) où, pour tout entiernaturel n, un est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année (2015+n).Ainsi u0 = 1500.

PARTIE A

1. Calculer u1 et u2.

2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,95×un +50.

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un −1000.

a. Montrer que la suite (vn) est géométrique. En préciser la raison et le pre-mier terme.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, un = 1000+500×0,95n .

c. En déduire le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre2030.

PARTIE B

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stèrede bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ?




Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants :un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des in-dices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous.Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes repré-sentent des chemins pédestres qui les relient.

A

B

C

D

E

F

G

H

PARTIE A

1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois etune seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.

2. On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe (les sommets sont prisdans l’ordre alphabétique).

On donne la matrice M4=

20 18 20 21 11 13 5 518 32 25 25 17 16 10 1020 25 31 19 13 13 14 521 25 19 31 13 21 4 1211 17 13 13 11 6 4 313 16 13 21 6 20 3 135 10 14 4 4 3 9 15 10 5 12 3 13 1 10

.

Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Lesciter tous.

PARTIE B

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la duréemoyenne d’attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce re-levé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant :



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x

y

0

b

b

b

bb

b

b

b

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente à la billetterie.On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui à l’heure associe ladurée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la duréed’attente.On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction f définie par

f (x) = ax2+bx +c

avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points (9 ; 9), (11 ; 20) et (16 ; 2)appartiennent à la représentation graphique de f .

1. Calculer les trois réels a, b et c.

2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attentepeut être inférieure à dix minutes.*




On définit une fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5] par

g (x) = 5x −3x ln x.

1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 ; 5], g ′(x) = 2−3ln x.

2. Étudier le signe de g ′(x) et en déduire le sens de variation de g sur [0,5;5].

3. En déduire pour quelle valeur x0, arrondie au centième, la fonction g atteintun maximum.

4. Montrer que l’équation g (x) = 4 admet deux solutions sur [0,5;5] que l’on noteα1 et α2. En donner un encadrement d’amplitude 0,01.

5. Résoudre g (x)> 4.

6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 ; 5] par

G(x) =−

3

2x2 ln x +

13

4x2

est une primitive de g sur [0,5 ; 5].

7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5]. Ondonnera la valeur arrondie au millième.

*


[ Baccalauréat ES (spécialité) Antilles–Guyane \

septembre 2016


Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées estexacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, nin’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

1. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = xex ; la fonction f est :

a. concave sur ]−∞ ; 0] b. convexe sur ]−∞ ; 0]c. concave sur [0 ; +∞] d. convexe sur [0 ; +∞[

2. On considère l’équation d’inconnue x :

(3x +1)e5x= 0.

Cette équation admet sur R :

a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 3 so-lutions

3. On a constaté que, sur 10 ans, le prix d’une certaine denrée a augmenté de 8 %par an.

On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l’unitéprès, de :

a. 80 % b. 116 % c. 216 % d. 43 %

4.La courbe Cg ci-contre représente une fonc-tion g définie et dérivable sur [0 ; 3].On note g ′ sa fonction dérivée ; on a :a. g ′(2) =−1b. g ′(2) =−5

c. g ′(2) =4

3d. g ′(2) = 2

1

2

1 2 3

Cg

5. Soit la fonction h définie sur R par h(x) = e3x+2.

Une primitive H de h peut être définie sur R par :

a. H(x) = 3e3x+2 b. H(x) = 13 e3x+2

c. H(x) = (3x +2)e3x+2 d. H(x) = e3x+2

6.


Pour la loi normale représentée ci-contre ona P (9 < X < 12) ≈ 0,82 (à 10−2 près).Les paramètres de la loi X sont :a. µ= 10 et σ= 2b. µ= 11 et σ= 2c. µ= 10 et σ= 1d. µ= 11 et σ= 3

6 7 8 9 10 11 12 13 14

*

EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées : Pilates (P), Step (S) et Zumba(Z).D’une semaine sur l’autre les abonnés peuvent changer d’activité.Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 %en Zumba.D’après l’analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d’unesemaine sur l’autre :

• Si l’abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30 %des cas, sinon il choisit Step dans 10 % des cas et Zumba dans 60 % des cas.

• Si l’abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30 % descas, sinon il choisit Pilates dans 50 % des cas et Zumba dans 20 % des cas.

• Si l’abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20 %des cas, sinon il choisit Pilates dans 20 % des cas et Step dans 60 % des cas.

On considère qu’il n’y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long del’année. Soit En =

(

pn sn zn)

, la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de larépartition parmi les trois activités P, S et T, n semaines après le 1er septembre 2015.

1. Donner, sans justification, la matrice E0.

2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.

3. On donne M la matrice carrée 3×3 de transition respectant l’ordre P, S et Z.

M =

0,3 0,1 0,60,5 0,3 0,20,2 0,6 0,2

.

a. Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matrice M .

b. Calculer E1.

c. Déterminez la répartition prévisible dans chaque activité au bout de troissemaines.

4. Peut-on affirmer, à 10−2 près, qu’au bout de 6 semaines environ 1/3 des abon-nés se répartissent dans chaque activité.

5. Au 1er septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Com-bien peut-on prévoir d’abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cettedate ?

Antilles-Guyane 56 septembre 2016


6. a. Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne E corres-pondant à l’état probabiliste stable.

b. Vérifier cette conjecture.

*


La fonction f est définie sur [ 0 ; 1] par f (x) = 2x.On considère une variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité dont la fonctionde densité est f .Cette fonction de densité est représentée ci-dessous.

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,50

0,5

1,0

1,5

2,0

0 0,5 1,0 1,5

1. a. Quelle est la valeur, en unité d’aire, de la surface hachurée ? Préciser ladémarche utilisée.

b. Interpréter ce résultat en terme de probabilité.

2. Calculer la probabilité P (06 X 6 0,75).*


Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des per-sonnes dépendantes.En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquellel’évolution peut être modélisée de la façon suivante :

• Chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés .

• Chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.

1. Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algo-rithme suivant :

Variables : n et U sont des nombresTraitement : Affecter à U la valeur 600

Affecter à n la valeur 0Tant que U < 800 faire

U prend la valeur U −U ×0,05+80n prend la valeur n+1




a. Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes quenécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité).

valeur de U 600 . . .valeur de n 0 . . .test U < 800 vrai . . .

b. Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme.

c. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

2. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite (un ) où un est le nombred’abonnés pendant l’année 2015+n.

On a ainsi, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95un +80 et u0 = 600.

a. Donner u1 et u2 (arrondir les valeurs à l’unité).

b. On introduit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un −

1600.

Montrer que (vn) est une suite géométrique.

Préciser la raison et le premier terme de cette suite.

c. En déduire que l’on a, pour tout entier naturel n, un = 1600− 1000×

0,95n .

3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.

Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle en-visager un jour des travaux d’agrandissement ?*



14 septembre 2016


Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.À partir d’une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé lecomportement des clients par :

• 60 % des clients sont des hommes ;

• 80 % des hommes mangent un dessert alors que seulement 45 % des femmesen mangent un.

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :

• H l’évènement « le client interrogé est un homme » ;

• D l’évènement « le client interrogé a mangé un dessert ».

On note également :

• A l’évènement contraire d’un évènement A ;

• p(A) la probabilité d’un évènement A.

PARTIE A

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé undessert.

3. Montrer que p(D) = 0,66.

4. Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité quece soit une femme ?

PARTIE B

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits desmenus proposés dans ses restaurants.Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 sedéclarent satisfaits des menus proposés.

1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clientssatisfaits.

2. Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et doncveut un intervalle de confiance au niveau de 95 % d’amplitude 0,06.

Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel inter-valle.*



Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pourchacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.Une bonne réponse rapporte un point.Une mauvaise réponse ou l’absence de réponses n’enlève ni ne rapporte aucun point.Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.Les parties de cet exercice sont indépendantes.

PARTIE A

1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 90 et d’écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de p (X > 100) est :

a. 0,500 b. 0,452 c. 0,048 d. 0,952

2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de p

(

µ−206 Y 6µ+20)

est :

a. 0,68 b. 0,5 c. 0,8 d. 0,95

PARTIE B

Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction f deux fois dérivablesur [−5;3]. On donne ci-dessous le tableau de variation de f ′.

x −5 −1 1 3

Variation de f ′

−0,5

−3

4

0


a. croissante sur [−5 ; 3]

b. décroissante sur [−5 ; 1]

c. décroissante sur [−5 ; 3]

d. croissante sur [−1 ; 3]


a. convexe sur [−5 ; −1]

b. concave sur [−5 ; −1]

c. concave sur [−5 ; 1]

d. convexe sur [−5 ; 3]

*




Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1 500 arbres. Les exploitants de cette fo-rêt prévoient que chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres serontplantés.On modélise le nombre d’arbres de cette forêt par une suite (un ) où, pour tout entiernaturel n, un est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année (2015+n).Ainsi u0 = 1500.

PARTIE A


2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,95×un +50.

3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n, par vn = un −1000.

a. Montrer que la suite (vn) est géométrique. En préciser la raison et le pre-mier terme.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, un = 1000+500×0,95n .

c. En déduire le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre2030.

PARTIE B

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stèrede bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ? *




Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants :un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des in-dices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous.Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes repré-sentent des chemins pédestres qui les relient.

A

B

C

D

E

F

G

H

PARTIE A

1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois etune seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.

2. On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe (les sommets sont prisdans l’ordre alphabétique).

On donne la matrice M4=

20 18 20 21 11 13 5 518 32 25 25 17 16 10 1020 25 31 19 13 13 14 521 25 19 31 13 21 4 1211 17 13 13 11 6 4 313 16 13 21 6 20 3 135 10 14 4 4 3 9 15 10 5 12 3 13 1 10

.

Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Lesciter tous.

PARTIE B

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la duréemoyenne d’attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce re-levé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant :



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x

y

0

b

b

b

bb

b

b

b

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente à la billetterie.On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui à l’heure associe ladurée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la duréed’attente.On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction f définie par

f (x) = ax2+bx +c

avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points (9 ; 9), (11 ; 20) et (16 ; 2)appartiennent à la représentation graphique de f .

1. Calculer les trois réels a, b et c.

2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attentepeut être inférieure à dix minutes.*




On définit une fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5] par

g (x) = 5x −3x ln x.

1. Montrer que pour x appartenant à [0,5 ; 5], g ′(x) = 2−3ln x.

2. Étudier le signe de g ′(x) et en déduire le sens de variation de g sur [0,5 ; 5].

3. En déduire pour quelle valeur x0, arrondie au centième, la fonction g atteintun maximum.

4. Montrer que l’équation g (x) = 4 admet deux solutions sur [0,5 ; 5] que l’onnote α1 et α2. En donner un encadrement d’amplitude 0,01.

5. Résoudre g (x)> 4.

6. Montrer que la fonction G définie sur [0,5 ; 5] par

G(x) =−

3

2x2 ln x +

13

4x2

est une primitive de g sur [0,5 ; 5].

7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [0,5 ; 5]. Ondonnera la valeur arrondie au millième. *


[ Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie \

16 novembre 2016


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponsene rapporte ni n’enlève aucun point.Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucunejustification n’est demandée.

1. On considère f la fonction définie sur R par :

f (x) = (2x +3)e−x .

a. f ′(x) = 2e−x b. f ′(x) =−2e−x

c. f ′(x) = (2x +5)e−x d. f ′(x) = (−2x −1)e−x

2. On considère le nombre I =∫1

0

(

2e2x+3

)

dx.

a. I = e2+3 b. I = e2

+2

c. I = 2e2+3 d. I = 2e2

−2

3. On considère g la fonction définie sur R par :

g (x)= 5ex+3.

La tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 0 passe par lepoint :

a. A(1 ; 5e+3) b. B(−1 ; 5)

c. C(1 ; 13) d. D(0 ; 3)

4. On considère h la fonction définie sur R par :

h(x) = x3−6x +3.

a. h est strictement croissante surR

b. h est concave sur [0 ; +∞[

c. h est concave sur R d. h est convexe sur [0 ; +∞[

*


EXERCICE 2 5 pointsCandidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Soit (un ) la suite définie par :



2. On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par :wn = un −200.

a. Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique dont on précisera laraison et le premier terme.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

un = 200+150×0,5n .

Partie B

Une commune propose aux enfants d’adhérer à une association sportive. Au pre-mier septembre 2015 le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500dont 350 filles.Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l’évolution dunombre d’adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :

— Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellentpas leur inscription ; par ailleurs l’association accueille chaque année 100 nou-velles filles.

— D’une année à l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmentede 10 %.

1. On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par unesuite (Fn) où Fn désigne le nombre de filles adhérentes à l’association en l’an-née 2015+n. On a donc F0 = 350.Pour tout entier naturel n, exprimer Fn+1 en fonction de Fn .

2. On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par unesuite (Gn), où Gn désigne le nombre de garçons adhérents à l’association l’an-née 2015+n.

a. Pour tout entier naturel n, exprimer Gn en fonction de n.

b. À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ?3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette

association, va dépasser celui des filles. On propose l’algorithme suivant :

InitialisationAffecter à n la valeur 0Affecter à G la valeur 150Affecter à F la valeur 350Traitement

Tant que G 6 Fn prend la valeur n+1G prend la valeur 1,1GF prend la valeur 0,5F +100

Fin tant que

Sortie Afficher le nombre n

Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna 66 16 novembre 2016


a. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les ré-sultats seront arrondis à l’unité.

Valeur de n 0 1 . . .Valeur de G 150 . . . . . .Valeur de F 350Condition G 6 F vrai . . .

b. En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé.

*

EXERCICE 2 5 pointsCandidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu’ilréussisse le plongeon suivant est de 0,7.Par contre, lorsqu’il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu’il réussisse le plon-geon suivant est égale à 0,2.On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.L’état « plongeon réussi » est noté R.L’état « plongeon non réussi » est noté R .Pour tout entier naturel n > 1, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plon-geon est notée an , tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ièmeplongeon est notée bn .La matrice ligne Pn =

(

an bn)

donne l’état probabiliste du système lors du n-ièmeplongeon.

1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets R et R .

2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et Rétant classés dans cet ordre.

3. Justifier que P1 =(

1 0)

.

4. Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son qua-trième plongeon.

5. Montrer que pour tout entier naturel n > 1, an+1 = 0,5an +0,2.

6. Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ouégale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.

On cherche alors à déterminer au bout de combien d’essais Pierre arrête sasérie de plongeons.

On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel n > 1 tel que

an 6 0,41.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il permette de répondre àla question posée.



InitialisationAffecter à N la valeur 1A prend la valeur 1

TraitementTant que . . . . . . . . .

N prend la valeur . . . . . . .A prend la valeur . . . . . . .

Fin Tant que

SortieAfficher . . . . . . . . .

7. On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n > 1 par

un = an −0,4.

a. Démontrer que la suite (un ) est une suite géométrique dont on préciserala raison et le premier terme.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n > 1, an = 0,6×0,5n−1+0,4.

c. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que an 6 0,41.

d. Au bout de combien d’essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ?

*


Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une enquête révèle que dans un lycée, 67 % des élèves jouent régulièrement aux jeuxvidéo.On sait de plus que 57 % des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49 %jouent régulièrement aux jeux vidéo.On choisit au hasard un élève du lycée.On note : J l’évènement : « l’élève joue régulièrement aux jeux vidéo », et F l’évène-ment : « l’élève est une fille ».

1. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par laprobabilité correspondante.

F. . .

J. . .

J. . .

F. . .

J

J

2. Calculer la probabilité que l’élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeuxvidéo.



3. Montrer que la probabilité que l’élève soit un garçon qui joue régulièrementaux jeux vidéo est égale à 0,390 7.

4. Calculer la probabilité que l’élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachantque c’est un garçon. Arrondir au dix-millième.

Partie B

Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s’offrir une tablette numérique pourson anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette demarque Alpha.Elle s’inquiète quant à l’autonomie de sa tablette en mode veille.On admet que l’on peut modéliser la durée d’autonomie de chaque tablette de marqueAlpha en mode veille par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espéranceµ= 120 et d’écart-type σ= 10.La durée X est exprimée en heures.

1. Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille uneautonomie strictement inférieure à 5 jours.

2. Déterminer p(966 X 6 144). Arrondir le résultat au millième.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie C

Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91 % des utilisateurs de cettetablette sont satisfaits de leur achat.Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affir-mation.Il interroge au hasard 150 clients ayant acheté cette tablette ; parmi eux, 130 se dé-clarent satisfaits de leur acquisition.Peut-on valider l’affirmation du service des ventes de la société ? Justifier.*


Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

La fonction f est définie sur l’intervalle [0,5 ; 10] par :

f (x) = ax +2+b ln(x)

où a et b sont deux nombres réels.On note f ′ la fonction dérivée de f .Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

— la courbe représentative Γ de la fonction f ;

— la droite d tangente à la courbe Γ au point A de coordonnées (1 ; 1) ;

— la droite d ′ tangente à la courbe Γ au point B d’abscisse 3.



1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1−2−3

Γ

d

d ′

A

B

E

b

b

b

On sait de plus que :

— la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (0 ; −1).

— la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie A

1. Donner par lecture graphique la valeur de f ′(1), puis celle de f ′(3).

2. Calculer f ′(x).

3. En déduire les valeurs des nombres a et b.

Partie B

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0,5 ; 10] par :

f (x) =−x +2+3ln(x).

1. Montrer que pour x dans [0,5 ; 10],

f ′(x) =−x +3

x.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d’abscisse 1.

3. Étudier le signe de f ′(x) sur l’intervalle [0,5 ; 10], puis dresser le tableau devariations de f sur cet intervalle.

4. Montrer que sur l’intervalle [0,5 ; 3] l’équation f (x) = 0 admet une unique so-lution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.

5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

1 intégrer [3ln(x)− x +2]

3x ln(x)− x −

x2

2

Calculer, en unités d’aire, l’aire S du domaine délimité par la courbe Γ, l’axedes abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 8.On donnera la valeur exacte de S puis sa valeur arrondie au centième.

Partie C

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de f est située endessous des deux tangentes aux points A et 8. Il affirme :« La courbe représentative de f sur l’intervalle [0,5 ; 10] est entièrement située endessous de chacune de ses tangentes. »Démontrer que l’affirmation de Tom est exacte.*


[ Baccalauréat ES/L Amérique du Sud \

24 novembre 2016


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse nerapporte ni n’enlève aucun point.Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucunejustification n’est demandée.

1. La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère or-thonormé, d’une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6].

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6x

y

b

b

C f

On pose I =∫4

2f (x) dx. Un encadrement de I est :

a. 06 I6 2 b. 26 I6 4 c. 46 I6 6 d. 66 I6 8

2. Soit g la fonction définie sur R par g (x) = 2ex−3x2.

La courbe représentative de g admet un point d’inflexion qui a pour abscisse :

a. 1 b. 0 c. ln3 d. ln 2

3. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(10 ; 0,6).

La probabilité qui admet pour valeur approchée 0,012 est :

a. p(X = 2) b. p(X > 2) c. p(X 6 2) d. p(X < 2)

4. Une société de vente en ligne de chaussures souhaite connaître la proportiond’articles présentant un défaut de coloris. Pour cela, on prélève au hasard dansle stock 400 paires de chaussures. On constate que 24 paires présentent cedéfaut.


L’intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion p depaires de chaussures présentant un défaut de coloris est :

a. [0,89 ; 0,99] b. [0,01 ; 0,11] c. [0,05 ; 0,07] d. [0,92 ; 0,96]

*


Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 45] par

g (x)=−20x +5x ln(x)+30.

1. a. On note g ′ la fonction dérivée de g .

Montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; 45], on a g ′(x) =−15+5ln(x).

b. Montrer que l’inéquation −15+5ln(x)> 0 est équivalente à x > e3.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction g (les valeurs seront ar-rondies au centième si besoin).

2. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α sur l’inter-valle [1 ; 45].

b. Donner un encadrement de α d’amplitude 0,01.

c. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x dans l’intervalle [1 ; 45].

3. On considère la fonction G définie sur l’intervalle [1 ; 45] par

G(x) =−11,25x2+2,5x2 ln(x)+30x.

Montrer que G est une primitive de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 45].

4. a. Calculer une valeur approchée au dixième de l’intégrale∫45

10g (x) dx.

b. Déduire de la question précédente la valeur moyenne de g sur l’inter-valle [10 ; 45]. Arrondir le résultat à l’unité.

Partie B

Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la températureatmosphérique jusqu’à 45 km d’altitude.On admet que la fonction g définie dans la partie A modélise la température de l’air,exprimée en degrés Celsius, en fonction de l’altitude x du ballon sonde, expriméeen km.

À l’aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

1. Déterminer l’altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à 0degré Celsius.

2. Déterminer la température minimale relevée par la sonde.

3. On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10 km et45 km d’altitude.

Déterminer la température moyenne de la stratosphère. Le résultat sera ar-rondi au degré.

Amérique du Sud 72 24 novembre 2016


*

EXERCICE 3 5 pointsCandidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candi-dats de la série L

Le gérant d’un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son éta-blissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial del’UNESCO et l’hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement commel’indique le tableau ci-dessous :

Année 1997 1998 1999 2000Nombre de clients 950 1 105 2 103 2 470

1. Déterminer le pourcentage d’augmentation du nombre de clients entre 1997et 2000.

Par ailleurs, depuis le 1er janvier 2000, une étude statistique a permis de mettreen évidence que, chaque année, l’hôtel compte 1 200 nouveaux clients et que70 % des clients de l’année précédente reviennent.

On modélise cette situation par une suite (un ) où un représente le nombretotal de clients de l’hôtel durant l’année 2000+n.

On a ainsi u0 = 2470 et, pour tout entier naturel n, on a un+1 = 0,7un +1200.

2. Déterminer le nombre total de clients durant l’année 2001.

3. Le gérant de l’hôtel souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le nombrede clients annuel dépassera 3 900.

Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l’année corres-pondante.

Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3

U prend la valeur 2 470

N prend la valeur 0

Tant que U < 3900

U prend la valeur

0,7×U +1200

N prend la valeur N +1

Fin tant que

Afficher 2000 + N


N prend la valeur 0

Tant que U > 3900

U prend la valeur

0,7×U +1200


Fin tant que

Afficher 2000 + N


N prend la valeur 0

Tant que U < 3900

U prend la valeur

0,7×U +1200


Fin tant que

Afficher U

4. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par

vn = un −4000.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,7 etpréciser le premier terme.

b. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.

c. Justifier que un = 4000−1530×0,7n pour tout entier naturel n.

d. Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé3 900.

5. À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l’hôtel peutespérer avoir chaque année.*

EXERCICE 3 6 pointsCandidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.



Partie A

Un groupe de touristes a réservé toutes les chambres d’un hôtel-restaurant à Venisequi propose tous les soirs à ses pensionnaires le choix entre un menu gastronomiqueet un menu traditionnel.On considère, pour la modélisation, que chaque soir les clients choisissent un desdeux menus et que le restaurant est réservé aux clients de l’hôtel.Une étude sur les habitudes des clients montre que, si un soir donné, un client choi-sit le menu gastronomique, il choisit également le menu gastronomique le soir sui-vant dans 60 % des cas.Si le client choisit le menu traditionnel un soir donné, il choisit également le menutraditionnel le soir suivant dans 70 % des cas.

Afin de mieux prévoir ses commandes pour la saison estivale, le gérant souhaiteconnaître la proportion de clients choisissant le menu gastronomique ou le menutraditionnel à partir du 1er juin 2015. Ce soir-là, 55 % des clients ont choisi le menugastronomique.

On note g0 la probabilité qu’un client ait choisi le menu gastronomique le soir du1er juin 2015 ; on a donc g0 = 0,55.Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note gn la probabilité qu’un clientchoisi au hasard prenne le menu gastronomique le n-ième soir après le 1er juin 2015.Ainsi, g1 est la probabilité qu’un client ait choisi le menu gastronomique le soir du2 juin 2015.De la même façon, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note tn laprobabilité qu’un client, choisi au hasard, prenne le menu traditionnel le n-ièmesoir après le 1er juin 2015.

On note Pn la matrice(

gn tn)

correspondant à l’état probabiliste au n-ième soir.

On note G l’état « le client choisit le menu gastronomique » et T l’état « le client choi-sit le menu traditionnel ».

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets G etT.

Dans la suite de l’exercice, on admet que la matrice de transition M de ce graphe, en

considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, est M =

(

0,6 0,40,3 0,7

)

.

2. a. Donner la matrice P0 correspondant à l’état initial.

b. Calculer la probabilité qu’un client choisisse le menu gastronomique le4 juin 2015. On arrondira le résultat au centième.

3. a. Déterminer la matrice P = (g t) correspondant à l’état stable du grapheprobabiliste.

b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

L’hôtel propose également à ses clients des balades en gondole sur les canaux deVenise.Le graphe ci-dessous représente les principaux canaux de Venise empruntés par legondolier.Chaque arête représente un canal et chaque sommet un lieu de la ville.Le poids de chaque arête représente la durée de parcours, exprimée en minutes,entre deux lieux de la ville en empruntant les canaux.Le gondolier employé par l’hôtel inspecte régulièrement les canaux pour en vérifierla navigabilité.Il souhaite optimiser son trajet en inspectant une fois et une seule chaque canal.



R

L

5 C6

P

3S4

G

3

U

4

M

2

6

5

10

74

C : Ca’PesaroG : Palazzo Grimani di San LucaL : Palazzo LabiaM : Piazza San MarcoP : Ponte Di RialtoR : Piazzale RomaS : Campo Di San PoloU : Universita Ca’Foscari

1. Justifier qu’un tel trajet est possible et indiquer quels sont les lieux possiblesde départ et d’arrivée.

2. Déterminer la durée pour effectuer ce trajet.

*



Partie A

L’entreprise Éclairage vend des ampoules à deux magasins de bricolage : Atelier etBricolo. Cette entreprise propose trois types d’ampoules : les ampoules fluocom-pactes qui représentent 30 % du stock, les ampoules halogènes qui représentent25 % du stock et les ampoules à LED qui représentent 45 % du stock.On sait que :

• 65 % des ampoules fluocompactes sont achetées par le magasin Atelier ;

• 70 % des ampoules halogènes sont achetées par le magasin Bricolo ;

• 50 % des ampoules à LED sont achetées par le magasin Atelier.

On prélève au hasard une ampoule provenant du stock de l’entreprise Éclairage.On considère les évènements suivants :

F : « l’ampoule est une ampoule fluocompacte » ;

H : « l’ampoule est une ampoule halogène » ;

L : « l’ampoule est une ampoule à LED » ;

A : « l’ampoule est achetée par le magasin Atelier » ;

B : « l’ampoule est achetée par le magasin Bricolo ».

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :



F

A

B

H

A

B

L

A

B

2. Calculer p(F ∩ A) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Calculer la probabilité qu’une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo.

Partie B

Une norme de qualité stipule qu’une marque peut commercialiser ses ampoules sileur durée de vie est supérieure à 20 000 heures avec une probabilité d’au moins0,95.

1. On note X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures,d’une ampoule de la marque ÉclaireBien. On admet que X suit la loi normaledont la fonction de densité est tracée ci-après.

L’aire grisée comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 0,46.

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

0,46

À l’aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

a. Donner l’espérance mathématique de X .

b. Déterminer p(20000 < X < 60000).

c. Déterminer si la marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules.Justifier la réponse.

2. On note Y la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures,d’une ampoule de la marque BelleLampe.

On admet que Y suit la loi normale d’espérance 42 000 et d’écart-type 15 000.

a. Justifier que la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser sesampoules.

b. Déterminer le nombre a, arrondi à l’unité, tel que p(Y < a) = 0,05 etinterpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.*


Index

aire, 38, 40, 47, 70aire et intégrale, 11, 38, 47, 57algorithme, 7, 8, 13, 14, 18, 19, 25, 30, 35,

42, 44, 57, 66, 67, 73algorithme de Dijkstra, 27, 46arbre de probabilités, 6, 12, 17, 24, 29, 45,

49, 59, 68

chaîne, 32chaîne eulérienne, 26, 42

dérivée, 3, 4, 10, 15, 22, 23, 27, 34, 38, 54,55

état stable, 8, 32, 36, 57, 74

fonction convexe, 11, 27, 31, 34, 38, 47,50, 55, 60, 65

fonction logarithme népérien, 64fonction logarithme népétien, 38

graphe, 8, 14, 26, 32, 42, 46, 52, 56, 62, 74graphe probabiliste, 14, 67, 74

intégrale, 15, 24, 32, 72intervalle de confiance, 3, 21, 25, 34, 41,

49, 59, 69, 72

lecture graphique, 4, 37, 44, 47, 70loi binomiale, 40, 71loi normale, 6, 12, 17, 24, 29, 37, 41, 45,

50, 56, 60, 69, 76loi uniforme, 3, 34, 45

matrice, 8, 14, 19, 26, 32, 36, 42, 46, 52,56, 67, 74

point d’inflexion, 22, 34, 47, 71primitive, 21, 22, 38, 40, 47, 54, 55, 64, 72probabilités, 5, 7, 12, 17, 19, 24, 29, 37, 45,

49, 57, 59, 67, 68, 74, 75

Q. C. M., 3, 10, 20, 23, 34, 39, 44, 50, 55,60, 65, 71

suite, 3, 7, 13, 15, 18, 25, 26, 30, 35, 36, 41,44, 51, 58, 61, 66, 68, 73, 74

taux, 51, 55

valeur moyenne, 16, 54, 64, 72Vrai–Faux, 31

77

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