AUTOMATIQUE - Ecole Supérieure Africaine des TIC · asseu olivier automatique continue et...

ASSEU OLIVIER AUTOMATIQUE

1

FORMATION EN

AUTOMATIQUE

ASSERVISSEMENT CONTINU / LINEAIRE

COMMANDE NUMERIQUE / ECHANTILLONNEE

ASSEU OLIVIER AUTOMATIQUE CONTINUE ET NUMERIQUE (NIV. BAC + 3)

1

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE I : INTRODUCTION A L’AUTOMATIQUE ......................................................................................... 3

1.1 QU’EST-CE QUE L’AUTOMATIQUE ? ............................................................................................................ 3

1.2 STRUCTURE DU COURS .................................................................................................................................... 4

CHAPITRE II : CONCEPTS FONDAMENTAUX DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS .......................... 5

2.1 Définitions ............................................................................................................................................................... 5

2.2 Propriétés: ............................................................................................................................................................... 6

2.3 Outils mathématiques pour l’analyse des systèmes linéaires. ............................................................................. 7

2.3.1 Transformation de Laplace - Définition. ....................................................................................................... 7

2.3.2 Transformation de Laplace - Propriétés. ....................................................................................................... 8

2.3.3 Transformées de Laplace particulières .......................................................................................................... 9

2.4 Fonction de transfert. ........................................................................................................................................... 10

2. 5 Réduction de schémas fonctionnels .................................................................................................................... 11

2.5.1 Systèmes en cascade ....................................................................................................................................... 12

2.5.2 Systèmes en parallèle. .................................................................................................................................... 12

2.5.3 Systèmes bouclés ............................................................................................................................................ 13

2.6 Recherche de l’originale d’une TL ...................................................................................................................... 15

2.6.1 Détermination de TL inverse d’une fraction rationnelle ............................................................................ 15

2.6.2 Application à la détermination de la réponse temporelle d’un système. ................................................... 16

2.6.3 Analyse de la réponse des systèmes du 1er ou 2nd ordre .............................................................................. 17

2. 6.4 : Réponse harmonique des systèmes continus linéaires lieux des transferts. ........................................... 22

Chapitre III: Etude de la stabilité des systèmes linéaires. .......................................................................................... 24

3.1 Définition: .............................................................................................................................................................. 24

3. 2 Le critère de Routh. ............................................................................................................................................ 24

3.3 : Critère de Nyquist .............................................................................................................................................. 26

3.4 : Critère de Revers ................................................................................................................................................ 26

3.5 : Critère de qualité des systèmes asservis ........................................................................................................... 27

3.5.1 : Précisions des systèmes asservis ................................................................................................................. 27

3.5.2 : Système sans perturbation et entrée variable. .......................................................................................... 28

3.5.3 : Système avec perturbations seules. ........................................................................................................... 29

3.5.4 : Cas d’un système quelconque (avec e(t) variable et p(t)) ........................................................................ 29

3.5.5 : Degré de stabilité d’un système ................................................................................................................. 29

3.5.6 : Rapidité et amortissement: précision dynamique .................................................................................... 30

Chapitre IV : Correction des systèmes asservis ........................................................................................................... 31

4.1. Introduction ......................................................................................................................................................... 31

4.2. Réalisation d’un correcteur ................................................................................................................................ 31

4.2.1: Principes ........................................................................................................................................................ 31


2

4.2.2 Application à un système du 1er ordre ......................................................................................................... 32

4.3. Les structures des correcteurs. .......................................................................................................................... 33

4.4. Réglage des paramètres du correcteur. .............................................................................................................. 35

4.4.1. Simplification du pôle dominant. ................................................................................................................. 35

4.4.2. Techniques de régulation industrielle ......................................................................................................... 35

Chapitre V : Analyse des systèmes échantillonnés ....................................................................................................... 38

5.1. Introduction ......................................................................................................................................................... 38

5.2. Système en BO et BF .......................................................................................................................................... 39

5.2.1 Système en BO ................................................................................................................................................ 39

5.2.2 Fonction de transfert d’un processus muni d’un BOZ .............................................................................. 40

5.2.3 Système en BF ............................................................................................................................................... 40

5.2.4 Choix de la période d’échantillonnage ........................................................................................................ 41

5.3. Stabilité ................................................................................................................................................................. 41

5.3.1 : Stabilité absolue ........................................................................................................................................... 41

5.3.2 : Critère de JURY .......................................................................................................................................... 42

5.3.3: Etude d’un système du premier ordre ........................................................................................................ 43

5.4. Précision statique ................................................................................................................................................. 43

5.4.1 : Quelques théorèmes ..................................................................................................................................... 43

5.4.2 Précision en absence des perturbations ....................................................................................................... 44

5.4.2 Précision en présence des perturbations ...................................................................................................... 44

5.4.3 Conclusion ...................................................................................................................................................... 45

Chapitre VI : Commande des systèmes asservis échantillonnés ................................................................................. 46

6.1. Introduction ......................................................................................................................................................... 46

6.2. Régulateur PID numérique ................................................................................................................................. 46

6.2.1 Modèle numérique des correcteurs élémentaires ........................................................................................ 46

6.2.2 Correcteur PID numérique .......................................................................................................................... 46

6.2.3 PID numérique de type RST ........................................................................................................................ 47

6.3. Correcteur à pôles dominants ............................................................................................................................. 47

6.4. Correcteur à temps de réponse minimal ............................................................................................................ 49

6.4.1 Temps de réponse minimal absolu (TRMA) ................................................................................................ 49

6.4.2 Système à réponse plate ou pile .................................................................................................................... 50


3

CHAPITRE I : INTRODUCTION A L’AUTOMATIQUE

1.1 QU’EST-CE QUE L’AUTOMATIQUE ?

L’Automatique est un ensemble de théories mathématiques et plus particulièrement une technique

de raisonnements utilisés pour imposer à un système des performances à satisfaire compte tenu des

informations dont on dispose. Pour pouvoir imposer des performances à un système, il faut le

connaître. Pour pouvoir connaître le système, il faut être capable de le décrire.

Exemple1 : Le chauffage d’une pièce.

Schéma en boucle ouverte

Schéma en boucle fermée

Ici la rétroaction permet à partir de la mesure de la grandeur qui nous intéresse appelée sortie

(température du local, vitesse du moteur) de réinjecter cette information dans le système de

commande de façon à tenir compte des variations et des perturbations. On n’utilisera plus

directement l’entrée pour commander le système, mais l’erreur entre l’entrée, qu’on appelle

maintenant, consigne, et la sortie.

Sortie : grandeur physique à réguler (ici la température)

Consigne : grandeur que la sortie doit suivre

: erreur = consigne- sortie

capteur : dispositif permettant de mesurer l’état de la sortie ( capteur de température )

Il faut noter le rôle essentiel du capteur qui permet de mesurer la température. On peut

évidemment pas prétendre commander une grandeur que l’on ne mesure pas.

On devra assurer:

- la précision du système (erreur sur la sortie la plus faible possible )

Radiateur Système de commande

Pièce Système à commander

tension énergie température

correcteur Radiateur Pièce

température consigne

capteur


4

- la rapidité (la sortie atteint la consigne avec le retard le plus faible possible)

- la stabilité (pour une consigne finie, la sortie reste finie).

L’introduction d’une contre réaction peut entraîner des problèmes d’instabilité. La boucle fermée est

seule capable de :

- compenser des perturbations qui ne sont pas mesurables (variation de température extérieure, le

vent ..)

- stabiliser un système qui serait instable en boucle fermée

Quelques définitions

On parlera de REGULATION lorsque la sortie doit suivre une consigne constante et

d’ASSERVISSEMENT lorsque la sortie doit suivre une consigne variable.

On peut donc définir l’Automatique comme la discipline scientifique traitant d’une part de l’analyse

du système à commander, et, d’autre part, du choix, de la conception et de la réalisation du système

de commande. L’Automatique est une discipline de traitement d’informations physiques.

On trouve de l’Automatique à chaque fois qu’il faut contrôler la puissance d’une machine, contrôler

un procédé de fabrication, améliorer la qualité et la régularité de la production (régulation de

température, de concentration, de vitesse, ...).

1.2 STRUCTURE DU COURS

remarque: La plupart des systèmes ne sont linéaires que dans une plage de leur fonctionnement,

mais l’avantage des systèmes linéaire est que l’on sait les décrire facilement (analytiquement ) et

que l’on dispose d’outils mathématiques bien adaptés à leur étude. Dans notre cas, nous

n’étudierons que les systèmes linéaires.

Afin d’atteindre notre objectif qui est d’apprendre à utiliser les outils nécessaires pour imposer des

performances aux systèmes, je vous propose la démarche suivante:

Dans un premier temps:

Nous apprendrons à utiliser les lois de la physique pour décrire un système en fonction de

l’application envisagée.

Dans un deuxième temps:

Nous apprendrons à étudier quelques caractéristiques d’un système à partir du tracé de diagrammes:

diagramme de Bode-Nyquist-Black.

Dans un troisième temps:

Nous apprendrons à utiliser quelques techniques pour imposer des performances à un système

(stabilité - précision statique et dynamique) suivies ensuite de la synthèse des correcteurs et enfin de

l’étude des systèmes numériques.


5

CHAPITRE II : CONCEPTS FONDAMENTAUX DES SYSTEMES

LINEAIRES CONTINUS

2.1 Définitions

Définition 1 : un système est un dispositif régit par une relation de cause à effet. Ce qui sous entend

l’existence d’une grandeur excitatrice (variable d’entrée) et d’une grandeur par laquelle on observe

l’effet de l’excitation (grandeur de sortie).

Remarque: un système peut-être mono-entrée/ mono-sortie ou multi-entrées/multi-sorties. Nous

limiterons notre étude aux systèmes mono-sortie comportant une seule entrée et éventuellement une

perturbation.

Entrées: grandeurs sur lesquelles l’utilisateur peut agir directement (malgré les perturbations).

Exemple du bassin de décantation (figure ci-dessous) : il y a une entrée qui est le débit d’eau

dans la conduite d’arrivée (Qe), et que l’utilisateur peut faire varier grâce à une vanne. Ici les

perturbations sont dues aux intempéries.

Sorties: grandeurs à asservir

Exemple du bassin de décantation: niveau de l’eau dans le bassin. L’utilisateur visualise l’écart

entre le repère R et le niveau dans le tube. A partir de l’estimation de , l’opérateur décide alors de

réagir en tournant manuellement la vanne pour régler le débit d’eau et l’amener juste en R.

vanne

Qe

R

Qs

SYSTEME entrées sorties


6

Définition 2 : Un système est linéaire continu si l’entrée et la sortie de ce système sont liées par

une relation dynamique décrite par une équation différentielle à coefficients constants.

e(t) entrée, s(t) sortie

)(......)(

.)(

.)(......)(

.)(

.01

1

101

1

1teb

dt

tedb

dt

tedbtsa

dt

tsda

dt

tsda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n

Ordre du système = ordre de différentiation maximal de la sortie. En général m n.

Réponse d’un système à une entrée = pour une entrée e(t) donnée, évolution de la sortie s(t) à partir

de la même date et sur la même durée.

2.2 Propriétés:

Additivité:

Si s1(t) est la réponse du système à l’entrée e1(t), et s2(t) est la réponse du système à l’entrée e2(t),

alors la réponse du système à e1(t)+e2(t) est s1(t)+s2(t).

Proportionnalité.

Si s(t) est la réponse du système à l’entrée e(t), sa réponse à l’entrée k.e(t) est k.s(t).

Conséquences:

Lorsque le signal reçoit une perturbation, on peut étudier séparément la réponse du système à

l’entrée, et sa réponse à la perturbation, et appliquer pour avoir la réponse globale ce principe de

superposition.

Pour étudier la réponse d’un système linéaire continu à une entrée complexe, on peut décomposer

cette entrée complexe en une somme d’entrées élémentaires, et étudier séparément la réponse à

chacune des entrées élémentaires.

La linéarité d’un système peut se vérifier dans la pratique : on applique à l’entrée du système

successivement deux signaux différents, puis la somme des deux signaux. On doit observer en sortie

la somme des deux signaux.

Réponse d’un système linéaire.

Pour une entrée e(t) donnée, la solution de l’équation différentielle peut se décomposer en deux

contributions s(t) =s1(t)+s2(t).

s1(t) : solution générale de l’équation sans second membre

s2(t) : solution particulière quelconque avec second membre

s1(t) : régime transitoire, ou réponse libre du système, qui ne dépend que des conditions initiales

(état du système à l’instant initial ).

s2(t) : réponse forcée ou régime permanent, pratiquement de même nature que l’entrée.

Réponse

forcée

Réponse

libre


7

2.3 Outils mathématiques pour l’analyse des systèmes linéaires.

Le comportement des systèmes linéaires continus peut être décrit par une équation différentielle à

coefficient constant faisant intervenir l’entrée et la sortie du système. L’expression la plus générale

de cette équation, appelée modèle du système, peut être donnée par :

)(......)(

.)(

.)(......)(

.)(

.01

1

101

1

1teb

dt

tedb

dt

tedbtsa

dt

tsda

dt

tsda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n

Un modèle pour quoi faire ? Concevoir, comprendre, prévoir, commander (décider)

Une fois qu’on a réussi à écrire ce modèle, plusieurs problèmes se posent.

Lorsque cette équation est d’ordre supérieur à deux (n > 2), il est difficile de la résoudre

directement.

Or, pour prévoir l’évolution de la sortie au cours du temps, on doit résoudre cette équation.

N’oublions pas que l’objectif est de faire une étude globale du système, connaître ses

caractéristiques générales en ce qui concerne la stabilité, la rapidité, et la précision. Ces propriétés

ne se déduisent pas de l’équation de façon évidente.

Nécessité d’un outil mathématique permettant :

- de résoudre l’équation différentielle quel que soit son degré pour des entrées données.

- d’étudier la stabilité du système

Cet outil est la Transformation de Laplace (TL).

2.3.1 Transformation de Laplace - Définition.

Soit s(t), un signal temporel causal (s(t) = 0 pour t<0), sa transformée de Laplace, notée S(p), est

donnée par :

T L s t S p s t e dtpt. . ( ) ( ) ( ).

0

pC

Remarque : la Transformation de Laplace fait passer d’une fonction d’une variable réelle (le temps,

une dimension) à une fonction de la variable complexe p (deux dimensions). Les fonctions d’une

variable complexe ont plusieurs modes de représentations graphiques possibles (module et phase, en

fonction de la variable, module en fonction de la phase, etc...) qui ont chacune un intérêt différent

pour l’analyse des systèmes.

Pour s(t) donné, S(p) est unique, et on peut revenir à s(t) par la transformée de Laplace inverse,

notée T.L.-1 : s t T L S p( ) . . ( )1


8

2.3.2 Transformation de Laplace - Propriétés.

Ce qui nous intéresse : pouvoir écrire la TL des fonctions qui apparaissent dans les modèles des

systèmes, quelle que soit la forme sous laquelle ces fonctions apparaissent :

- dérivées

- additivité

- linéarité

- retardées

Linéarité

TF{af(t)} = aF(p) avec a = constante

TF{af(t) + bg(t)} = aF(p) + bG(p)

Additivité

Si T L s t S p. . ( ) ( )1 1

et T L s t S p. . ( ) ( )2 2

alors T L s t s t S p S p. . ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

Dérivation à l’ordre 1

T Lds

dtt p S p s. . ( ) . ( ) ( )

0 où s s t

tt

( ) lim ( )00

0

Dérivation à l’ordre 2

T Ld s

dtt T L

d

dt

ds

dtt p p S p s

ds

dt

T Ld s

dtt p S p p s

ds

dt

. . ( ) . . ( ) . . ( ) ( ) ( )

. . ( ) . ( ) . ( ) ( )

2

2

2

2

2

0 0

0 0

Généralisation à l’ordre n (peut se démontrer par récurrence)

T Ld s

dtt p S p p s

d s

dt

n

n

n nn

n. . ( ) . ( ) . ( ) ... ( )

11

10 0

Les sd s

dt

n

n( ),..., ( )0 0

1

1

sont les conditions initiales du système.

Intégration (se déduit de la dérivation)

TL s u duF p s

p

t

( ).( ) ( )

0

0

Retard


9

T L s t s t e dt s u e du

T L s t e S p

pt p u

p

. . ( ) ( ). ( ).

. . ( ) . ( )

( )

0 0

2.3.3 Transformées de Laplace particulières

Il y a quelques fonctions dont on doit connaître absolument la TL, car elles sont utilisées

couramment comme signal d’entrée sur les systèmes, soit lors de l’étude théorique (sur le papier

seulement), soit lors des expérimentations.

Ces fonctions sont : l’impulsion de Dirac, la rampe et l’échelon

Impulsion de Dirac

L’impulsion de Dirac est une distribution (extension des fonctions) notée généralement (t) que l’on

peut se représenter de la façon suivante.

Soit une fonction nulle partout sauf sur un intervalle [-T/2, +T/2], et qui vaut 1/T en zéro. Cette

fonction est représentée ci-dessous, pour trois valeurs T1<T2<T3 de T.

Lorsque T tend vers zéro, cette fonction tend vers une limite qui serait nulle partout sauf à l’origine,

où serait concentrée toute son énergie. Cette limite n’est pas une fonction, c’est la distribution de

Dirac.

Ce qui importe, ce n’est pas de comprendre exactement ce qu’est une distribution de Dirac, mais

plutôt de bien connaître ses propriétés, et de savoir les utiliser pour modéliser les signaux

numérisés.

Exemple d’utilisation pratique : l’analyse modale.

L’analyse modale d’une structure mécanique consiste à étudier les « modes vibratoires » ou encore

les fréquences de résonance de cette structure. Une méthode couramment employée dans l’industrie

est de frapper la structure avec un marteau et d’analyser le contenu fréquentiel des vibrations

produites par le choc. Le coup de marteau initial peut être modélisé par une impulsion de Dirac.

L’impulsion de Dirac peut aussi servir à modéliser des parasites, bruits, chocs...

L’impulsion de Dirac prend toute son importance lorsqu’on travaille en numérique, car on peut alors

générer facilement une impulsion physique (un échantillon non nul dans une suite d’échantillons

T3

T2

T1 t


10

nuls), et la réponse des systèmes à l’impulsion donne des renseignements très importants sur leurs

caractéristiques. Il convient de noter que :

TL t ( ) 1 :

Fonction échelon unité (fonction de Heaviside)

L’échelon unité, habituellement noté u(t), est défini par :

u(t) = 0 pour t < 0 (causalité)

u(t) = 1 pour t > 0

avec u(0-) = 0 et u(0+) = 1

Cette fonction a une grande importance en automatique, car elle permet d’exprimer

mathématiquement la causalité.

Exemple : la fonction u(t).cos(t+) est une fonction sinusoidale causale.

Notons que :

TF{u(t)} = 1/p

La rampe

Fonction notée r(t) = a.t.u(t) ayant comme TL : TL{r(t)} = a/p2

Pour a = 1, on a une rampe unitaire appelée aussi échelon de vitesse

Cette fonction est utilisée pour étudier la précision des systèmes. Elle peut servir à modéliser la

grandeur appliquée à l’entrée du système lors d’une phase de démarrage.

2.4 Fonction de transfert.

Soit un système continu linéaire décrit par l’équation :

ad s

dtt b

d e

dttn

n

nn

n N

m

m

mm

m M

. ( ) . ( )

0 0

En appliquant la TL aux deux membres de cette équation, on obtient :

a p S p P p b p E p P pn

n

n

n N

s m

m

m

m M

e. . ( ) ( ) . . ( ) ( )

0 0

où Pe(p) et Ps(p) sont des polynômes en p respectivement d’ordre n-1 et m-1 dont les coefficients se

calculent en fonction des conditions initiales. On voit que l’intérêt de la TL est principalement

qu’elle transforme une dérivation en temps en un produit par p en Laplace.

Ceci nous permettra d’exprimer S(p) en fonction de E(p) et des conditions initiales, ce qui n’est pas

possible directement en temps.

a r(t)

t


11

Nn

n

n

n

se

Nn

n

n

n

Mm

m

m

m

pa

pPpPpE

pa

pb

pS

00

0

.

)()()(.

.

.

)(

Supposons que les conditions initiales soient nulles, ce qui veut dire que le système est au repos et

on lui applique une entrée non nulle.

Pe(p) et Ps(p) sont donc nuls.

)(.

.

.

)(

0

0 pE

pa

pb

pSNn

n

n

n

Mm

m

m

m

Posons : )(

)(

.

.

)(

0

0

pD

pN

pa

pb

pHNn

n

n

n

Mm

m

m

m

d’où )().()( pEpHpS

N(p) et D(p) sont des polynômes en p qui peuvent être factorisés.

Par définition, la fraction rationnelle H(p) est appelée la fonction de transfert ou la transmitance du

système.

Définition : La fonction de transfert d’un système est le rapport de la transformée de Laplace de la

variable de la sortie à celle de la variable d’entrée, sous l’hypothèse que les conditions initiales

soient nulles.

(exemple : TL du système constitué par la cellule RC)

Le schéma bloc d’un système est composé de blocs fonctionnels, de sommateurs, de comparateurs

reliés entre eux par des arcs orientés. A chaque arc est associé une variable et à chaque bloc, une

transformation de l’information.

Par définition :

Les racines de N(p) sont appelées les zéros de la fonction de transfert.

Les racines de D(p) sont appelées les pôles de la fonction de transfert.

2. 5 Réduction de schémas fonctionnels

La représentation des éléments d’un système par leur fonction de transfert permet de les combiner

pour réduire les schémas fonctionnels.

H(p) e(t) s(t)


12

2.5.1 Systèmes en cascade

les deux systèmes S1 et S2 de fonction de transfert H1(p) et H2(p) étant en cascades, on a :

V(p) = H1(p). E(p)

S(p) = H2(p).V(p) = H2(p)H1(p)E(p)

or par définition de la fonction de transfert F(p) = Y(p)/E(p)

donc H(p) = H2(p).H1(p)

Cette expression se généralise à n FT en cascade, selon les mêmes conditions.

Exemple

Pour adopter cette écriture, il faut se rappeler que la mise en cascade de deux systèmes fait appel à

la notion d’impédance d’entrée et de sortie et suppose en particulier que l’impédance d’entrée de S2

est infinie devant l’impédance de sortie S1. Autrement dit, le système S2 n’influence pas le

fonctionnement de S1.

pCRA

pCRpH

.1.11

1..

.2.21

1)(

Par contre, si l’on supprime la chaîne d’amplification, nous aurons « la mise en série » de deux

cellules R-C. On ne pourra plus écrire que la fonction de transfert résultante est le produit de la

fonction de transfert de chaque cellule.

2.5.2 Systèmes en parallèle.

s(t)

S1 S2

e(t) v(t)

Système en cascade

e(t) s(t)

Cellule R-C avec amplificateur

H2(p)

H1(p)

y(t) e(t)

Système en parallèle


13

L’analyse du bloc précédent donne:

S1(p) = H1(p).E(p) ; S2(p) = H2(p).E(p)

et S(p) = S1(p)+S2(p) car s(t) = s1(t) + s2(t)

Il en résulte que : S(p) = (H1(p) + H2(p)).E(p)

Par définition de la fonction de transfert équivalente :

H(p) = S(p)/E(p) = (S1(p) + S2(p))/E(p) = H1(p) + H2(p)

Dans le cas fréquent où s(t) = s1(t) - s2(t) on a H(p) = H1(p) - H2(p)

2.5.3 Systèmes bouclés

On parlera de systèmes bouclés lorsque la commande de l’installation dépend d’une façon ou d’une

autre de la sortie.

2.5.3.1 Structure canonique des systèmes asservis

Il est usage d’appeler chaîne directe la cascade C(p) F1(p) qui conduit de (t) à s(t) et de chaîne

retour l’ensemble G(p).

La boucle ouverte est constituée de la cascade des éléments de la chaîne directe et retour, soit

C(p),F1(p), G(p). On obtient ainsi la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO).

Pour l’obtention de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF), on écrit

)1()(

)()(

pE

pSpH

)2()().().()( 1 ppCpFpS et )3()().()()( pSpGpEp

(1) et (3) donnent )]().()()[().()( 1 pSpGpEpCpFpS

)(.)()()(1

)().()(

1

1 pEpGpCpF

pCpFpS

soit )(.

)()()(1

)()()(.

)(

1)(

1

1 pEpGpCpF

pGpCpF

pGpS

)(.)(1

)(.

)(

1)( pE

pF

pF

pGpS

On en déduit que : )(1

)(.

)(

1)(

pF

pF

pGpH

C(p) F1(p)

s(t) e(t)

G(p)


14

2.5.3.2 Schéma bloc à retour unitaire équivalent

2.5.3.3 Introduction de perturbation dans les schémas blocs

)()()().()( 21 pWpHpEpHpS

)()()(1

)()()(.

)()(

1)(

)().().(1

)().().(.

)(

1)( 21

pGpCpF

pGpCpF

pGpCpHet

pFpCpG

pFpCpG

pGpH

On suppose que D(p) est faible et voisine de 1.

Exercice : déterminer la fonction de transfert globale du système bouclé suivant :

F(p) 1/G(p

)

s(t) e(t)

e(t)

C(p) F(p)

s(t)

G(p)

D(p)

w(t)

s(t)

e(t)

w(t) H(p)

G4(p)

s(t) e(t)

G3(p)

G1(p)

G2(p)


15

Montrer que

)(1

)()).()().((1

)(1

)())()().((

.)(

1

)(

)(

4

4213

4

4213

3

pG

pGpGpGpG

pG

pGpGpGpG

pGpE

pS

))()()(()()(1

))()()((

)(

)(

21434

214

pGpGpGpGpG

pGpGpG

pE

pS

2.6 Recherche de l’originale d’une TL

2.6.1 Détermination de TL inverse d’une fraction rationnelle

Soit:

n

i

ii

m

j

jj

pa

pb

pD

pNpH

0

0

)(

)()(

Rappeler la notion de gain statique et de FT normalisée.

Supposons que D(p) = 0 admet r racines Pi (i=1,2,..,n)

Si ni désigne l’ordre de multiplicité d’une racine Pi , on peut écrire :

nnnnpppppppD rn

rnn r ..)....().()()( 2121

21

r

i

ini

m

j

jj

pp

pb

pH

1

0

)(

)(

On montre que H(p) admet la décomposition en élément simple suivante :

r

i

ni

kk

i

ikn

pp

cbpH

1 1 )()(

avec i

i

i

i

pp

n

kn

kn

i

ikpFpip

dp

d

knc

])]()[()!(

1)(

)(


16

Exemple

Trouver la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles suivantes :

)1)(1(

1)(,

)2()1(

1)(,

23

22)(

23222

2

1

ppppF

pppF

pp

pppF

Réponse :

11

1)(

,2

1

1

1

)1(

1)(,

2

2

1

11)(

23

221

pp

p

ppF

ppppF

pppF

)())2

3cos(()(

)()2()(),()2)(()(

5.0

3

2

2

2

1

ttAeetf

teetetfteettf

tt

ttttt

Théorème de la valeur initiale

Soit TL{f(t)}= F(p)

alors )(.lim)(lim0

pFptfpt

Théorème de la valeur finale

)(.lim)(lim0

pFptfpt

2.6.2 Application à la détermination de la réponse temporelle d’un système.

2.6.2.1 Généralités

La démarche permettant de calculer la réponse temporelle d’un système à une entrée donnée peut

être schématisée comme suit:

1) Etablir l’équation différentielle reliant l’entrée et la sortie du système.

2) Appliquer la TL aux deux membres de cette équation pour obtenir une expression du type:

S(p)=FT(p).E(p)

où FT(p) désigne la fonction de transfert du système qui est une fraction rationnelle de deux

polynômes en p.

3) Déterminer la TL{E(p)} de signal d’entrée e(t) et calculer S(p) pour cette entrée particulière.

4) Décomposer l’expression obtenue pour S(p) en facteurs premiers, et appliquer la TL inverse de

façon à obtenir l’expression de s(t).

Remarque : une fois que l’expression dont on doit calculer la TL inverse est décomposée en

facteurs premiers, on obtient toujours une somme de termes d’ordre 1 ou d’ordre 2.


17

Exemple : soit le système linéaire, d’entrée e(t) et de sortie s(t), décrit par :

)()()(

2)(

2

2

tetsdt

tds

dt

tsd On pose )()( 2 tete t

Les conditions initiales sont nulles 0)0('0)0( sets . En déduire s(t).

Que dire du régime permanent ?

Réponse : Si les conditions initiales sont nulles :

)())45cos(25,0()(

2

1.

222

1)(

2 ttets

ppppS

t

0)(lim

tst

2.6.2.2 : Temps de réponse d’un système linéaire.

Définition: Le temps de réponse d’un système linéaire est le temps au bout duquel l’amplitude du

régime transitoire devient une fraction donnée de l’amplitude du régime permanent.

)(%)()( tststspp

On montre que pour un système du 1er ordre de constante de temps soumis à un échelon, le temps

de réponse à 5% est donné par 3r

t . Alors que pour un système du second ordre de coefficient

d’amortissement 0,707 et de pulsation naturelle n

,

on a : 2. n

tr .

2.6.3 Analyse de la réponse des systèmes du 1er ou 2nd ordre

2.6.3.1 Système du 1er ordre

Le comportement dynamique d’un système du premier ordre est décrit par un modèle dont la forme

la plus générale est :

ads

dtt a s t b

de

dtt b e t

1 0 1 0. ( ) . ( ) . ( ) . ( )

Par transformation de Laplace, et en supposant les conditions initiales nulles, on obtient :

a p a S p b p b E p1 0 1 0. . ( ) . . ( )

D’où S p FT p E p( ) ( ). ( )


18

où FT(p), la fonction de transfert, est donnée par

01

01

0 .

.

)(

)()(

apa

bpb

pE

pSpFT

CI

Donc, S pa

b p b

a p

b p bE p( )

.

.

.. ( )

0

1 0

1

1 0

Compte tenu de la linéarité de la Transformation de Laplace, la sortie s(t), pour une entrée e(t)

donnée, est la somme de deux termes s1(t) et s2(t), donnés par :

)(.

.)(

01

011 pE

ap

bTLts

a

et

)(.

.

.)(

01

112 pE

apa

pbTLts

Remarque : s2(t) est égale à la dérivée de s1(t) à un facteur près. Il suffit donc d’étudier s2(t), puis

de la dériver, pour obtenir la réponse globale s(t).

En général, on étudie les systèmes d’ordre 1 à partir d’une forme canonique de la fonction de

transfert, ce qui n’enlève rien à la généralité de l’étude. Cette forme canonique est :

FT pK

p( )

.

1

K = Gain statique.

= constante de temps.

a) Réponse impulsionnelle (Réponse à une entrée impulsion de Dirac).

e(t) = (t) E(p) = 1

Donc, pour cette entrée particulière, S pK

p( )

.

1

d’où s t TLK

p( )

.

1

1

Remarque : la réponse impulsionnelle d’un système est toujours la transformée de Laplace inverse

de la fonction de transfert.

Par transformation de Laplace inverse, on obtient :

Ke u t

t

. . ( )

K/

t

s(t) Réponse impulsionnelle


19

Un système auquel on applique une impulsion et qui revient dans sa position de repos (initiale) est

un système stable.

b) Réponse indicielle (réponse à une entrée en échelon.).

e(t) = u(t) E(p) = 1/p

D’où

S pK

p p( )

..

1

1

Par transformation de Laplace inverse, on obtient :

s t K e u t

t

( ) . . ( )

1

K = Gain statique. En régime stabilisé, pour une entrée constante égale à E, la sortie est constante et

est égale à K.E.

K

t

s(t) Réponse indicielle


20

2.6.3.2 : Système du 2nd ordre

Equation différentielle décrivant le comportement dynamique d’un système du second ordre dont

l’entrée est e(t), et la sortie s(t) :

)()()(

)()()(

012

2

2012

2

2 tebdt

tdsb

dt

tedbtsa

dt

tdsa

dt

tsda

Fonction de transfert : H(p) = S(p) / E(p)

Pour obtenir cette expression, on calcule la transformée de Laplace des deux membres de l’équation

différentielle. Les conditions initiales étant supposées nulles, l’équation devient :

)()()()( 012

2012

2 pEbpbpbpSapapa

012

2

012

2

)(

)()(

apapa

bpbpb

pE

pSpFT

A partir de cette expression de la fonction de transfert, on peut, pour une entrée e(t) donnée, calculer

la réponse temporelle s(t) du système à cette entrée, par transformée de Laplace inverse de

l’expression :

)()(01

22

012

2 pEapapa

bpbpbpS

Cette expression peut se décomposer en une somme de trois termes :

)()()()(

)()()()(

012

012

2

0

012

2

1

012

2

22

pSpSpSpS

pEapapa

bpE

apapa

pbpE

apapa

pbpS

La transformée de Laplace étant une transformation linéaire, la transformée inverse de cette somme

de trois termes est égale à la somme de leurs transformées inverses respectives. De plus, si l’on note

si(t) les transformées inverse respectives des trois termes Si(p), on voit qu’il suffit de calculer s0(t),

car les deux autres s’en déduisent facilement par dérivation :

2

02

0

22

0

0

11 )()(

dt

sd

b

btset

dt

ds

b

bts


21

Aussi suffit-il d’étudier la réponse temporelle d’un système du second ordre type, dont la fonction

de transfert est de la forme :

)()(01

22

00 pE

apapa

bpS

On a l’habitude d’étudier cette fonction de transfert type sous une forme dite canonique :

Réponse indicielle :

p

E

ppm

KpS 0

200

0 .2

21

)(

(forme canonique pour E(p) = E0/p)

0 = pulsation propre du système, est positive.

m = amortissement, peut être positif ou négatif.

K = Gain statique.

Cas où m 1, le trinôme

2

00

221

ppm admet deux racines réelles. Si les

coefficients du trinôme sont tous positifs, les racines sont alors négatives. La réponse du système est

dite apériodique.

)1)(1()(

21

0

ppp

KEpS

)1()( 21

21

2

21

10

tt

eeKEts

Cas où m < 1, le trinôme

2

00

221

ppm admet deux racines complexes conjuguées. Si

les coefficients du trinôme sont positifs alors la réponse du système est oscillatoire amortie.

)1

()1cos(1

1[)(2

20

2 m

marctgettm

m

eKts

tm o

A noter : 2

0

1

1

2100%

2

mTeteD p

mm


22

2. 6.4 : Réponse harmonique des systèmes continus linéaires lieux des transferts.

Considérons la configuration suivante:

Un système linéaire de fonction de transfert F(p) commandé par une entrée sinusoïdale e(t)=E.sin(t

) présente en régime permanent, une sortie sinusoïdale amplifiée (ou atténuée ) et déphasée par

rapport à l’entrée avec un gain et un déphasage qui sont respectivement le module et l’argument du

nombre complexe F(j).

))(sin()()( tEts avec

)())((

)()(

jFArg

jF

)()()()( )( jBAejF j

Ainsi, l’étude fréquentielle ou harmonique d’un système se réduit à celle du nombre complexe F(j)

que l’on peut représenter sur un diagramme de Bode, Nyquist ou Black.

2. 6. 4.1: Diagramme de Bode.

On utilise deux courbes simultanément: la caractéristique d’amplitude représentée par 20 log(())

en fonction de log() et la caractéristique de phase représentée par () en fonction de log().

Exemple :

Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert p

KpF

1)( avec K>0

Diagramme de Bode pour les amplitudes.

20log|F(j)|=20log(K) – 20log|1+j|

On procède à l’approximation asymptotique suivante :

Si <1/ 20log|1+j| 0

Si >1/ 20log|1+j| 20log|j|

F(p)

s(t) e(t)


23

On montre que si

|G| = 1 alors |G|dB = 0 dB

|G| > 1 alors |G|dB > 0 dB (Amplification)

|G| < 1 alors |G|dB < 0 dB (Atténuation)

Par ailleurs, on montre que 20log |G| est une droite de pente 6 dB octave, et -20log |G| est une droite

de pente -6db octave.

2.6.4.2 : Diagramme de Nyquist.

Soit un système de fonction de transfert F(p). Tracer le lien de Nyquist d’un tel système, revient à

tracer la courbe dans le plan complexe. Le lieu est gradué en w.

On oriente la courbe dans le sens des w croissant.

2.6.4.3 : Diagramme de Black.

C’est la représentation de Bode mais transcrite dans un seul plan. Un point du plan de Black est

repéré par le module et la phase de F(jw) pour w donné.

On repèrera la phase sur l’axe des abscisses et le module (en dB) sur l’axe des ordonnés. Là encore,

le lieu doit être gradué en w et orienté, sinon il n’a aucune valeur.


24

Chapitre III: Etude de la stabilité des systèmes linéaires.

3.1 Définition:

D’une manière générale, un système est stable quand il tend à revenir à son état permanent après

une perturbation. D’un point de vue algébrique, un système linéaire continu est stable si les pôles de

sa fonction de transfert ont leur partie réelle négative, c’est à dire s’ils se trouvent dans le demi-plan

gauche du plan complexe. Ce demi-plan est couramment noté Q.

Considérons un système caractérisé par la fonction de transfert :

F(p) = N(p) / D(p)

Les pôles de F(p) sont les racines de l’équation D(p) = 0 appelée couramment équation

caractéristique. On posera, dans la suite de ce cours, D(p) = 1 + H(p).G(p)

Les zéros de F(p) sont les racines de l’équation N(p) = 0.

Exemple: F(p) = k/[(1 + p)(1+0.1p)]

Il en résulte que le système précédent est stable. Dans de nombreux cas il n’est pas trivial de

résoudre l’équation caractéristique ou bien l’on ne dispose que d’une représentation graphique

(Bode, Nyquiste, Black) du système. Dans de tels cas quelques méthodes pour étudier la stabilité

des systèmes ont été proposées. On peut citer:

-Le critère de Routh-Hürwitz

-Le critère de Revers

-Le critère de Nyquist.

3. 2 Le critère de Routh.

Le critère de Routh est une méthode triviale pour étudier la stabilité des SLC (Systèmes Linéaires

Continus) qui consiste à déterminer le signe des racines de l’équation caractéristique. Il a en fait

proposé une méthode consistant à étudier la stabilité à partir des coefficients de l’équation

caractéristique. Ce critère se compose de deux conditions :

Une condition nécessaire

Soit l’équation caractéristique écrite sous la forme : a0 + a1.p +, a2.p2 +…+ an.p

n

Selon Routh, la stabilité exige que tous les coefficients ai de l’équation caractéristique soient

positifs

Une condition nécessaire et insuffisante

Si la condition nécessaire est vérifiée, il faut alors construire le tableau de Routh comme ci-après :


25

Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3

an an-2 an-4…

an+1 an-3 an-5…

A1

A2

A3…

B1 B2 B3…

C1 C2 …

Avec :

A1 = …

On arrête la construction de ce tableau dès qu’un zéro apparaît dans la colonne 1. La condition n°2

s‘énonce ainsi :

Pour que le système soit stable en boucle fermée, il faut et il suffit que tous les coefficients de la

première colonne soient positifs.

S’il apparaît des changements de signe dans la première colonne, l’équation caractéristique a des

racines a partie réelle positive. Le nombre de pôles instables est égal au nombre de changements de

signe.

Exemple: soit un système de fonction de transfert : F(p) = 4/[p.(1 + p)(1 + 0.1p)]

L’équation caractéristique s’écrit : 4 + p + 1.1p2 + 0.1p3 = 0

Condition 1 : Tous les ai sont positifs ; il faut donc construire le tableau de Routh.

Condition 2 : on a a0 = 4 a1 = 1 a2 = 1.1 a3 = 0.1

…

On

Pose

On

détermin

e


26

3.3 : Critère de Nyquist

On rappelle que pour observer la stabilité du système bouclé, il suffit de vérifier que l’équation

caractéristique 1 + H(p)G(p) = 0 n’a pas de racine dans le demi-plan complexe positif. Il revient au

même de dire que, si H(p)G(p) n’entoure pas le point (-1, 0), alors l’équation 1 + H(p)G(p) n’a pas

de racine dans le demi-plan complexe positif (demi-plan appelé contour de bromwich).

Enoncé du critère de Nyquist.

Un système bouclé est stable si son lieu de transfert en boucle ouverte n’entoure pas le point

critique (-1, 0)

En d’autres termes, pour que H(p)G(p) n’entoure pas le point (-1,0), il faut et il suffit que :

Son nombre de pôles et zéros dans le demi-plan complexe positif soit nul

Ou que le nombre de pôles positifs soit égal au nombre de zéros positifs

3.4 : Critère de Revers

Le critère de revers s’applique aux systèmes linéaires asservis pour lesquels la fonction de transfert

et les boucles ouvertes ne présentent pas des pôles ou zéro instables.

Rappels: La fonction de transfert en boucle ouverte est:

FTBO(p)= S(p)/E(p) = H(p)

Quant à la fonction de transfert du système asservi, elle est donnée par :

FTBF(p)= S(p)/E(p) = H(p)/[1+ H(p) G(p)]

a) Enoncé du critère du Revers.

Si, en parcourant dans le plan complexe le lieu de transfert d’un système en boucle ouverte dans le

sens des w croissants, on laisse le point critique à gauche, le système bouclé est stable. Il est instable

dans le cas contraire.

Remarque: Il est important de noter qu’on travaille sur la fonction de transfert en boucle ouverte

pour conclure sur la stabilité de la boucle fermée.

Ce critère n’implique pas nécessairement la connaissance du modèle mathématique du système sous

la forme de sa fonction de transfert puisque le tracé de Nyquist peut être obtenu expérimentalement

à partir d’une analyse harmonique.

Par contre, l’application du critère à partir de la fonction de transfert implique le calcul du point

d’intercession du lieu avec l’axe réel.

b) Extension du Critère du Revers dans le plan de Bode.

Dans le plans de Bode, le point critique se transforme en (0 db, -180). Il suffit donc d’observer la

valeur du gain en BO lorsque l’argument de la FTBO est égal à –180°.

Un exemple d’application est donné par :


27

Le Lieu I : On observe un gain G < 0 dB pour = -180°. Le système est donc stable en

boucle fermée

Le Lieu II : Cette fois G > 0 dB pour = -180°. Le système est donc instable en boucle

fermée

c) Extension du Critère du Revers dans le plan de Black.

Dans le plan de Black, le point critique est, comme dans le plan de Bode, (0 dB, -180°).

Il est aisé de contacter qu’un lieu, correspondant à un système stable et qui laisse le point critique à

gauche dans le plan de Nyquist, le laisse cette fois à droite dans le plan de Black.

3.5 : Critère de qualité des systèmes asservis

La fonction d’un système asservi est de faire suivre à la sortie S(p), une loi fixée par E(p) selon la

configuration suivante (cas général):

P(p)

E(p) + (p) + + S(p)

-

L’idéal serait que, dans le cas d’un asservissement parfait, que l’on puisse assurer la stabilité, la

précision, une bonne rapidité malgré les perturbations P(p). La stabilité a été déjà étudiée.

3.5.1 : Précisions des systèmes asservis

Le rôle des systèmes asservis est de faire suivre à la sortie s(t) une loi fixée par e(t), avec pour idéal

(t) = e(t) – s(t) = 0. En pratique, que peut-il se passer ?

L’entrée varie : le système fonctionne en suiveur et réalise la fonction d’asservissement

L’entrée est constante mais un signal de perturbation peut venir se superposer au signal

utile en un point quelconque de la chaîne. Le fait de maintenir = 0 malgré cette

perturbation impose que le système fonctionne en régulateur.

En fait, les deux sources d’erreur sont présentes simultanément, mais en vertu du théorème de

superposition, on peut écrire que : (t) = e(t) + p(t) avec

e(t) : signal d’erreur dû aux variations de l’entrée

p(t) : signal d’erreur dû à la perturbation.

Nous nous intéresserons dans ce paragraphe à l’erreur permanente, c’est à dire à l’erreur statique

(). En appliquant le théorème du retard, nous pouvons écrire que :

)(lim)(lim 0 ppt pt

C(p)

F(p)


28

3.5.2 : Système sans perturbation et entrée variable.

On a P(p)=0, il vient : (p) = E(p) – H(p) (p) avec H(p) = C(p).F(p) d’où :

(p) = E(p)/[1 + FTBO]

Donc, l’écart est lié d’une part à la forme du signal d’entrée et d’autre part, à la forme de la

FTBO .

a) Influence de l’entrée.

si l’entrée est un échelon, l’écart est appelé écart de position et est noté p

si e(t) est une rampe, l’écart est appelé écart de traînage et est noté t

si e(t) est une parabole, l’écart est appelé écart en accélération et est noté a

b) Influence de la FTBO

La forme de la FTBO va dépendre du nombre d’intégrateur qu ‘elle contient. D’une manière

générale :

FTBO = KN(p)/[PrD(p)] avec N(0) = D(0) = 1, r = classe du système

Système de classe 0 (r = 0 : pas d’intégrateur)

On a FTBO = KN(p)/[D(p)]

Et donc (p) = E(p).D(p)/[D(p) + KN(p)]

A-Entrée en échelon. E (p) = G/p. L’écart de position est, selon le théorème de retard :

p = limp->0 p(p) = G/[1 + K]

B-Entrée en rampe. E(p) = G/p2. L’écart de traînage est de :

t = limp->0 p(p) = infini

C-Entrée en accélération. E(p) = G/p3. On montre, comme précédemment, que a --> infini

Conclusion: un système de classe 0 ne suit ni en vitesse ni en accélération.

Système de classe 1 (un intégrateur)

On a FTBO = KN(p)/[p.D(p)]

Et donc (p) = E(p).p.D(p)/[p.D(p) + KN(p)]


29

A-Entrée en échelon. E (p) = G/p. L’écart de position est : p = 0

B-Entrée en rampe. E(p) = G/p2. L’écart de traînage est de : t = G/k

C-Entrée en accélération. On montre que : a ---> infini

Conclusion : Un intégrateur annule l’écart de position et rend fini l’écart de traînage.

3.5.3 : Système avec perturbations seules.

On travaille maintenant à entrée constante donc en régulateur. On s’intéresse aux variations s(t)

dues à une perturbation p(t) de la grandeur de sortie. La fonction de transfert vis à vis de la

perturbation s’écrit :

)(1

)(

)(

)(

pH

pF

pP

pS

avec H = F.C

Etude d’un cas particulier pour un système de classe 1.

On pose: C(p) =K1.N1(p)/[p.D1(p)] et F(p) =K2.N2(p)/[D2(p)]

Dans le cas d’une perturbation permanente : P(p) = P0/p on a s(t) = limp->0 pS(p) = 0

Avec S(p) = p.K2/(K1.K2)

Conclusion: Un intégrateur placé en amont d’une perturbation annule ses effets.

3.5.4 : Cas d’un système quelconque (avec e(t) variable et p(t))

Le système est cette fois sollicité par des variations d’entrées et des perturbations. Et pour obtenir

une meilleure précision en plus de la stabilité, une solution consiste à placer un intégrateur en amont

de F(p) donc juste après le comparateur : C’est la place du Correcteur.

Un correcteur intégral :

annule l’effet des perturbations,

rend l’écart de position nul et l’écart de traînage fini.

C’est l’outil de la précision statique. Par contre, il faudra si possible revoir la stabilité car

l’intégrateur déstabilise un système.

3.5.5 : Degré de stabilité d’un système

Apprécier le degré de stabilité d’un système, c’est quantifier son éloignement (le lieu de transfert)

du point critique. Les critères servant à chiffrer ce degré sont principalement :

la marge de gain (MG),

la marge de phase (Mp),

la marge de retard (MR)


30

la marge de phase (MM)

a) La marge de gain et la marge de phase

Elle se détermine facilement dans le plan de Black (figure ci-dessous). Pour une bonne marge de

gain et de phase, l’on vérifie que :

MG 6 dB et 60° MP 30°

b) La marge de retard et la marge de module

Un retard introduit un déphasage pur proportionnel à la marge de gain.

on déduit que Mr = MP / cr

La marge de Module mesure la distance entre le point critique et le lieu de transfert en BO :

MM = | 1 + FTBO |

3.5.6 : Rapidité et amortissement: précision dynamique

Une bonne précision dynamique donne un amortissement moyen pour un temps de réponse faible.

Un amortissement moyen correspond à une réponse transitoire à faible dépassement.

La précision dynamique est appelée aussi qualité du système asservi. Elle chiffre l’erreur transitoire

apparaissant dans la réponse à un échelon. Si on veut un amortissement élevé pour un temps de

réponse faible, on a intérêt à minimiser l’erreur dynamique


31

Chapitre IV : Correction des systèmes asservis

4.1. Introduction

L’objectif de l’asservissement est d’imposer à la sortie s(t) le comportement du signal e(t).

L’obtention de ce résultat (à travers le cahier des charges) fait intervenir le respect de contraintes

de stabilité, de rapidité, et de précision dynamique.

La structure permettant le respect de ces contraintes, est composée d’un bloc C(p) appelé correcteur,

dont l’entrée est l’écart consigne/sortie et la sortie la commande u(t) appliquée au système.

Le respect du cahier des charges d’un asservissement consiste alors :

à choisir une structure de correcteur adéquat.

au réglage des paramètres du correcteur pour satisfaire les performances imposées par le

cahier des charges.

4.2. Réalisation d’un correcteur

Considérons un système bouclé, comportant un correcteur C(p) :

P(p)

+

+

Un correcteur est représentable par une équation différentielle au même titre que le processus qu’il

doit contrôler.

4.2.1: Principes

principe 1

On sait que la perturbation peut être effacée si la chaîne directe comporte un Intégrateur en amont

de cette perturbation. Dans ces conditions si F ne comporte pas d’intégrateur, C(p) en comportera au

moins un.

La constante de temps de l’intégrateur peut compenser la constante de temps dominante du

processus

C(p) F(p)

S(p) E(p)


32

Principe 2

La perturbation étant effacée, la FTBF s’écrit :

H(p)= S(p) /E(p) = C(p).F(p)/[1+ C(p).F(p)]

D’où

)](1)[(

)()(

pHpF

pHpC

(E.2-1)

En règle générale, on s’oriente vers une FTBF du second ordre de la forme canonique :

2

221

1)(

nn

ppH

(E.2-2)

Principe 3

Le correcteur doit être physiquement réalisable, ce qui implique que le degré du numérateur soit

inférieur ou égal au degré du dénominateur (d°(N) d°(D).

Principe 4

Une fois le modèle de correcteur choisi, il faudra vérifier par simulation ou par tout autre moyen

analogue que l’ensemble de la chaîne correctrice fonctionne normalement (pas de saturation,

stabilité, perturbation effacée …)

4.2.2 Application à un système du 1er ordre

soit un système de 1er ordre F(p) = k/[1 + p] dont on désire améliorer la précision statique et la

rapidité de réponse en BF. A partir des équations E .2-1 et E.2-2 on déduit le correcteur :

)1(

)1(

)2(1

1)(

2

2 Tpp

pG

pp

pK

pCr

nn

avec

K

G nr

2 et

nT

21

Ce correcteur est physiquement réalisable car le d°(N) < d°(D). Nous remarquons aussi qu’il

contient un intégrateur, ce qui permettra d’annuler l’erreur statique et atténuer les perturbations.


33

4.3. Les structures des correcteurs.

A- Correcteur intégral pur

C

(p)

U(p)

Si l’on pose Ti = RC, la fonction de transfert du correcteur intégral est de la forme :

U(p)/(p) = 1/(Ti p)

A- Correcteur proportionnel et intégral (PI)

La forme de ce correcteur PI est de la forme :

)11()(pT

GpCi

r

De façon similaire, on définit aussi le Correcteur intégral approché appelé aussi à retard de

phase :

)1

1()(

paT

pTGpC

i

ir

B- Correcteur dérivée (PD)

La forme de ce correcteur PD est de la forme :

C(p) = Gr[1 + Td p]

Le correcteur PD pur n’étant pas réalisable, on définit ainsi le Correcteur dérivé approché appelé

aussi à avance de phase où l’on filtre l’action dérivée :

)1

1()(

pT

paTGpC

d

dr

C. Le correcteur PID

Le correcteur proportionnel, intégral et dérivée (P.I.D) le plus connu du monde industriel est

apprécié pour sa relative facilité de mise en oeuvre (réalisation + réglage), et pour sa relative

robustesse (face aux perturbations, incertitude).

R -

+


34

Les Structures générales, les plus utilisées, du correcteur PID sont les suivantes :

type schéma équations

série

U

C(p) = Gr[1 + 1/(Ti p)][1 + Td p]

Parallèle

C(p) = Gr + 1/(Ti p) + Td p

Mixte

C(p) = Gr[1 + 1/(Ti p) + Td p]

Le correcteur mixte n’étant pas réalisable, nous serons obligés de filtrer l’action dérivée, c’est à

dire ajouter un terme du 1er ordre au dénominateur. D’où la forme du correcteur filtré :

C(p) = Gr[1 + 1/(Ti p) + aTd p/(1+Td p)]

NB :

Gr : gain de l’action proportionnelle.

Le coefficient Gr permet d’agir sur la rapidité et la stabilité du système bouclé.

Ti : Constante d’intégration

L’action intégrale du correcteur est utile lorsque le système ne possède pas de pôle en Q.

Il est à noter que l’action intégrale pénalise la rapidité du système bouclé.

Td : Constante de dérivation.

L’action dérivée permet aussi d’agir sur la stabilité et la rapidité du système bouclé.

Remarques:

a) Lorsque C(p)=K, le correcteur C(p) est appelé correcteur propositionnel.

b) La correction dérivée pure n’est que théorique. Il n’est pas réalisable physiquement et est

caractérisé par un gain infini en HF (tous les bruits sont amplifiés). On préfère donc au correcteur

précédent, le correcteur dérivé approché appelé aussi à avance de phase.

P I D

P

I

D

I

D

P


35

4.4. Réglage des paramètres du correcteur.

Il est important de maintenant choisir ou régler les paramètres suivants : (k, Ti, Td). Le réglage de

ces paramètres est un problème quotidien pour l’Automaticien. Il est alors nécessaire de mettre en

œuvre des méthodes simples, rapides et suffisamment précises.

4.4.1. Simplification du pôle dominant.

Si l’on choisit d’utiliser un correcteur PI ou PD, le zéro apporté par le correcteur PI ou par le

correcteur PD peut permettre la simplification du pôle dominant. Cette solution simple et efficace

permet souvent d’améliorer les performances sans complexité de réglage. Dans le cas d’un PID, les

deux zéros apportés par le correcteur simplifient deux pôles ou un pôle du processus.

Exemple: FTBO = F(p)= K/(1+p)(1+5p)

Un tel système présente deux constantes de temps 1 et 5 et donc un pôle dominant -1/5.

On asservit le système précédent avec un correcteur et une boucle à retour unitaire.

Performances demandées: Erreur de position nulle et système bouclé plus rapide.

Réponse: si l’on choisit le correcteur de la forme C(p) = (1+5p)/(5p), la FTBO corrigée vaut

FTBO (p) = K/[5p(1 + p)]

4.4.2. Techniques de régulation industrielle

Nous examinerons ici un certain nombre de techniques utilisées dans l’industrie permettant de

concevoir un régulateur à partir d’un modèle donné et pour des performances désirées.

Régulateur en cascade

Une régulation en cascade permet de minimiser les effets d’une ou plusieurs perturbations.

régulateur 1 régulateur 2 P(p)

E + E1 + + S1 S

C2 C2 F1 F2

R


36

On va introduire une boucle interne dont le rôle va être de détecter plus rapidement la perturbation

et de compenser ses effets.

La régulation comporte deux régulateurs :

Le régulateur primaire agissant sur l’ensemble (correcteur C1)

Le régulateur secondaire agissant sur la boucle interne (correcteur C2) et comportant

impérativement un intégrateur (annulant l’écart statique)

Le correcteur P.I.R

Les systèmes à retard important se trouvent facilement dans l’industrie, en particulier là où il y a

transport de matières : cimenterie, pâte à papier, etc… Les PID ne peuvent pas compenser

entièrement ces retards, et dans ces conditions, ils conduisent à des réponses fortement oscillatoires.

On utilise alors certaines techniques ayant pour but principal de masquer le retard réel afin de

travailler ensuite sur la stabilité et la précision.

L’utilisation d’un correcteur PIR ou correcteur Proportionnel, Intégral et Retard, est intéressant

dans le cas de système identifié selon le modèle de Broïda :

eTp

pKpF

1)(

Le schéma fonctionnel du correcteur PIR est donné par :

On a donc )]exp(1[

)1(.)()(

TpApTpTAG

pEpU

i

ir

Et la fonction de transfert en BO s’écrit alors : FTBO = U(p). F(p) /E(p)

Avec F(p), le modèle de Broïda.

Si on effectue les réglages suivants Ti = et Gr =1/K, les FTBO et FTBF deviennent

eApAe

Tp

Tp

FTBO

1( et

pA

FTBF eTp

1

Le système bouclé se comporte donc comme un 1er ordre retardé de gain 1 et de constant de temps

/A, ce qui revient à diminuer le temps de réponse (hors temps de retard bien entendu). Ce

correcteur donne de bons résultats lorsque le modèle du processus est simple. Il est toutefois

nécessaire d’avoir une bonne connaissance, à priori, du retard T

Méthode de Ziégler et Nichols

Gr[1+1/(Tip)]

A

1/(Tip)[1-Exp(-Tp)]

-

+ E (p) U(p)


37

C’est la méthode (méthode empirique) la plus ancienne basée sur l’observation de la réponse du

processus et la connaissance de la structure de régulateur utilisé. Ziégler et Nichols utilisent un

modèle très simple de processus :

p

KpF eTp

)(

Ils ont ensuite cherché, pour ce modèle, les paramètres du correcteur minimisant le critère de

performance ITAE.

Dans le cas où le système de fonction de transfert F(p) est bouclé par un correcteur proportionnel,

on recherche pour quel gain Ko de la boucle, des oscillations entretenues de période To,

apparaissent (limite de stabilité). Chacun des modèles F(p) est alors caractérisé par deux paramètres

(Ko, To) qui serviront à faire la synthèse du correcteur.

NB (définition du critère de performance): Minimiser l’erreur dynamique revient à minimiser

l’aire hachurée sur la figure ci-dessous

Cette aire correspond à dtt)( . Les bornes d’intégration dépendent en fait de l’erreur statique :

Si p = 0, on intègre de 0 à l’infini

Si p 0, on intègre de 0 à 2tr (tr étant le temps de réponse) pour être sûr que le régime

transitoire est terminé

Le critère de performance d’un système bouclé est donc défini par : dttft

0)(

Avec t = infini ou t = 2tr. Selon la forme de la fonction f, plusieurs critères sont possibles :

Critère IAE (Integral of Absolute Error) : dttt

0)(

Critère ISE (Integral of Square Error) ou critère de l’erreur quadratique : dttt

0

2)(

Critère ITAE (Time Multiplied by Absolute Error): dtttt

0)(


38

Chapitre V : Analyse des systèmes échantillonnés

5.1. Introduction

Un système asservi est dit échantillonné si sa fonction régulateur est réalisée par un système

programmable (calculateur ou système microprogrammé)

Fondamentalement, la boucle d’asservissement ne change pas ; le système que l’on désire

commander par un calculateur ne change pas : il est toujours continu

Le signal de sortie, mesuré par un capteur puis filtré pour éliminer les bruits, est ensuite

échantillonné par le CAN. On obtient le signal de sortie numérisé Umn

Un algorithme de correction permet de définir le signal de réglage numérique Urn qui

attaquera le BOZ puis le processus

Une horloge synchronisée sur celle du processus permet d’échantillonner le signal de

mesure filtré au niveau du CAN

Enfin le CNA (Convertisseur – Numérique – Analogique) délivre au BOZ un signal de

réglage échantillonné Ur*, signal de réglage de processus. En fait le BOZ est assuré par le

registre de sortie de calculateur (interface parallèle). Il permet de maintenir la valeur

analogique autant de temps qu’il le faudra.

Le processus numérique devient

Ainsi nous pouvons noter que :

Les actionneurs deviennent mixtes : entrée numérique et sortie analogique (c’est le cas

des systèmes MLI ou DSP pour le pilotage de moteurs, système de chauffage…)

Clavier Correcteur CNA Processus BOZ

CAN filtre Capteur

horloge

calculateur

Ur Urn Ur*

S

Um Umn

Ucn

-

+

Correcteur CNA Processus BOZ CAN Capteur

+ Filtre

S

Urn Umn

Ucn

-

+


39

F1(p

)

F2(p

) T S1(z) E(z) S(z)

F1(z) F2(z)

Les capteurs deviennent numériques (codeur incrémental associé à un compteur)

Le plus souvent, l’échantillonnage est effectué à des instants équidistants : l’espace entre ces

instants est appelé période d’échantillonnage

On appelle échantillonneur l’organe effectuant le prélèvement des échantillons. Il est

représenté par un schéma fonctionnel de la manière suivante :

Pour attaquer un système linéaire continu par un signal échantillonné, on va « reconstituer » le

signal continu à partir du signal échantillonné, donc on va filtrer celui-ci.

Un filtre couramment utilisé est le Bloqueur d’Ordre 0 (BOZ). Il est appelé ainsi car il maintient

constante l’amplitude de chaque impulsion pendant une période d’échantillonnage (voir figure ci-

dessous où l’on obtient fB(t) après l’application du BOZ)

La fonction de transfert du BOZ est définie par :

pp

eB

Tp

1

)(0

En régime harmonique, on montre que

2

2sin

)( 20

1T

T

jj Te

eB

Tj

Tj

Le module du BOZ s’écrit

2

2sin

)(0 T

T

TjB

5.2. Système en BO et BF

5.2.1 Système en BO

F(z) = F1(z).F2(z)

f*(t) f(t) T

f*(t)

t

0 T 3T 4T

f(t)

fB (t)

t

0 T 3T 4T


40

F1(p

)

F2(p) E(z) S(z) T

B0(p) F(p) E(z) S(z) T

E(z)

e(t) T e*(t)

s*(t) S(z)

*(t)

F(z) = [F1 F2](z)

5.2.2 Fonction de transfert d’un processus muni d’un BOZ

p

pe

B

Tp

1

)(0

On a S(z) = [B0F](z).E(z) avec [B0F](z) =

)()(

)()(

pFp

TZp

pFTZpF

pp

pFTZ ee

TPTp

Le terme e-Tp.F(p)/p représente tout simplement F(p)/p retardé d’une période d’échantillonnage T.

Ainsi, d’après le théorème de retard : TZ[G(p).e-Tp] = z-1.TZ[G(p)]

D’où

ppF

TZzFB z )()( 1

1

0

5.2.3 Système en BF

On montre que les 2 systèmes bouclés sont identiques

Considérons un système en BF

De ces équations

Sm(z) = [FR](z) Ur(z)

S(z) = C(z).F(z). (p)

(p) = E(p) – Sm(z)

F(z)

E(z)

- Sm(z)

(z) + T

E(z)

-

Sm(z)

(z) + T

R(p)

C(p) Ur(z) F(p) S(z)

C(z)


41

on déduit

)]().[(1

)().(

)(

)(

zFRzC

zFzC

zE

zS

5.2.4 Choix de la période d’échantillonnage

Le comportement d’un système asservi échantillonné doit être le même qu’un système asservi

continu (stable, précis, rapide).

Ce comportement du système numérique va aussi dépendre de la période d’échantillonnage T qui ne

peut être choisie n’importe comment :

Si elle est trop petite, le calculateur travaille inutilement alors que le processus n’a pas

évolué

Si elle est trop grande, le calculateur pourra rater des évènements importants (perturbations

par exemple) où les erreurs générées seront difficilement rattrapables.

Selon le théorème de Shannon, on doit avoir :

1/T > 2.f0

Mais en pratique on choisit (où f0 la plus grande fréquence transmise par le processus en BF) :

5.f0 < 1/T < 25.f0 (3.I)

NB : La plus haute fréquence transmise par le processus est donnée par sa bande passante

Pour un système du 1er ordre en BF : F(p) = 1/(1 + p), la pulsation de coupure est c = 1/ ; donc

la plus haute fréquence transmissible est donnée par : f0 = c/(2) = 1/(2). Si on applique la

relation (3.I), il vient :

5/(2) < 1/T < 25/(2) et on prend souvent 0,25. < T <

Pour un système du 2nd ordre bouclé :

2

221

1)(

nn

pp

pF

La pulsation de coupure s’écrit :

1)21()21(222

nc

La bande passante est liée à n et . Si = 0.7, ce qui est le souvent le cas en régulation (faible

dépassement et temps de réponse minimum) alors c = n.

En appliquant la relation (3.I), on prend : 0,25 Tn 1,25

5.3. Stabilité

5.3.1 : Stabilité absolue

Considérons un système bouclé :


42

)(1

)().()(

zFTBO

zFzCzFTBF

avec

FTBO(z) = C(z).F(z) pour un système bouclé à retour unitaire

FTBO(z) = C(z)[FR](z) pour un système bouclé à retour non unitaire

Règle de stabilité :

Règle 1 : Un système échantillonné est stable en BF si les pôles de sa fonction de transfert en z

ont un module inférieur à 1, soit |zi |<1 . Dans le plan des z, ils sont situés dans le cercle du

rayon 1

Règle 2 : Un système bouclé est stable si les racines de son équation caractéristique donnée par (1

+ FTBO(z) = 0) ont, chacune, leur module inférieur à 1.

5.3.2 : Critère de JURY

L’équation caractéristique peut encore s’écrire [1 + N(z)/D(z)] = 0 avec FTBO(z)=N(z)/D(z)

Cette équation devient alors N(z) + D(z) = 0 ou encore a0 + a1 z + a2 z2 + … + an zn = 0

Pour un système physique, tous les coefficients ai sont réels et an > 0

Critère de Jury

Un système en BF est stable si les (n + 1) conditions suivantes sont satisfaites :

1) 00

n

iia

2) 00

)1()1(

n

ii

in

a

3) |a0| < an

4) |a0 j

| - |an-j j

| > 0 pour j = 1,2,...,n-2 et ai0 = ai (0 i n)

avec aa

aaa l

k

l

ln

l

kln

ll

k

0

1

pour 0 l n-3 et 0 k n – l – 1

Application à un système d’ordre 1 :

L’équation caractéristique s’écrit a0 + a1 z = 0 et on obtient les deux relations suivantes :

a1 + a0 > 0

a1 - a0 > 0


L’équation caractéristique s’écrit a0 + a1 z + a2 z2 = 0 et on obtient les relations suivantes :


43

a0 + a1 + a2 > 0

a0 – a1 + a2 > 0

|a0 | < a2


L’équation caractéristique s’écrit a0 + a1 z + a2 z2 = 0 et on obtient les relations suivantes :

a0 + a1 + a2 + a3 > 0

-a0 + a1 - a2 + a3 > 0

|a0 | < a3

a02 + a3

2 > a0a2 – a1a3

5.3.3: Etude d’un système du premier ordre

On montre très rapidement que la fonction de transfert du processus muni de son BOZ est :

F(z) = K0 / (z – z0) avec K0 = (1-e-T ) et z0 = e-T

La FTBF s’écrit H(z) = FTBO/(1+FTBO) = KK0/(z – z0 + KK0 ), d’où l’équation caractéristique :

KK0 – z0 + z = 0. Ce qui impose

a0 = KK0 – z0 = K – z0(1+ K)

a1 = 1

En appliquant le critère de Jury, on a:

a0 + a1 > 0 K > -1 toujours vérifié

a1 – a0 > 0 K < (1+z0) / (1-z0)

La condition d’échantillonnage impose 0.25 < T < où est la constante de temps en BF.

En choisissant = 0.5BO , avec BO = 1s = constante de temps en BO, on a alors :

0.125 s < T < 0.5 s. Et en prenant T = 0.2 s, il vient K < 10,1

En échantillonnant à T = 0,2 s, le système est stable si 0 K 10

Conclusion : Contrairement à un système continu, un système de 1er ordre échantillonné peut être

instable lorsqu’on le boucle. L’échantillonnage a donc un effet déstabilisant.

5.4. Précision statique

5.4.1 : Quelques théorèmes

E(z)

-

(z) + T B0(p)

K T

1/(1+p)

S(z)

F(z)


44

Théorème de la valeur initiale : f(0) = limz F(z)

Théorème de la valeur finale : f() = limz1 (1-z-1 )F(z)

Théorème du retard : si g*(t) = f*(t-kT) alors G(z) = z-k.F(z)

5.4.2 Précision en absence des perturbations

Considérons un système bouclé sans perturbation :

On a (z) = E(z)-Um(z) et Um(z) = K[B0FR](z). (z) d’où

)]([1)(

)(0 zFRBKzE

z

Pour obtenir l’écart permanent, il suffit d’appliquer le théorème de la valeur finale

= limz1 (1-z-1 ). (z) = = limz1 (1-z-1 ).E(z)/(1+FTBO)

5.4.2 Précision en présence des perturbations

Considérons un système bouclé avec perturbations :

Ce schéma peut se transformer :

On démontre que

E(z)

-

(z) + T B0(p)

K

T

F(p)

S(z)

R(p) Um(z)

Ur(z)

E(z)

-

(z) + T K

T

F2 (p) S(z)

R(p) Um(z)

Ur(z)

T

P(z)

B0 F1(p)

E(z)

-

(z) + T K

T

F2 (p)

S(z)

R(p) Um(z)

Ur(z)

T P(z)

B0 F1F2(p)


45

)(.)]([1

)]([)]([1

)()(

210

2

210zP

zRFFBKzRF

zRFFBKzE

z

5.4.3 Conclusion

Le comportement demandé au système échantillonné est le même que celui demandé au système

continu : ses propriétés doivent être robustes vis à vis de :

Sa stabilité

Sa précision statique

Sa précision dynamique

Les méthodes de réglage, par contre, différeront, d’une part à cause de la constitution du régulateur,

d’autre part à cause du fait que les paramètres du système bouclé dépendent pour une grande partie

de la fréquence d’échantillonnage.


46

Chapitre VI : Commande des systèmes asservis échantillonnés

6.1. Introduction

Dès lors que les performances d’un système échantillonné ne sont pas jugées suffisantes, il y a lieu,

comme en continu, de corriger le système. Le correcteur sera cette fois numérique, donc

programmable et pourra être décrit par un algorithme.

L’expérience montre que l’utilisation de calculateurs numériques permet de développer des

stratégies de correction beaucoup plus puissantes qu’en continu. Nous citerons :

Les PID numériques que l’on trouve dans le commerce

Les correcteurs à temps de réponse minimal, beaucoup plus numériques que les

précédents

Les correcteurs à pôles dominants, très performants et très rapides à mettre en œuvre

6.2. Régulateur PID numérique

6.2.1 Modèle numérique des correcteurs élémentaires

L’intégration et la dérivation numériques n’existent pas mathématiquement. Il est donc nécessaire

de discrétiser ces deux opérateurs.

On transpose la dérivée et l’intégration dans le domaine numérique :

T

txtx

dtdx )1()(

(1 – z-1)T

tx )(

)()()( txdtdsdttxts (1 – z-1)

T

ts )(

dttxtxz

Tts )()(1

)(1

d’où l’on déduit :

Règle : A l’opérateur continu dtd (et respectivement dt ) correspond l’opérateur discrétisé

Tz 1)1( 1 (et respectivement

11 zT ).

En appliquant cette règle aux correcteurs continus élémentaires suivants :

CI(p) = 1/(Ti p) : pour l’action intégrale

CD(p) = Td p pour l’action dérivée

où 1/p représentant l’opérateur d’intégration et p l’opérateur dérivé, il vient :

1

)(

zzKzC iI avec Ki = T/Ti

z

zKzC dD1)( avec Kd = Td /T (E6.1)

6.2.2 Correcteur PID numérique


47

La réalisation d’un PID numérique est très facile à partir des modèles élémentaires précédents. Ainsi

pour un PID mixte avec action dérivée filtrée CDF :

C(p) = Gr(1 + CI + CDF) = )1

.11(pT

pTa

pTG

d

d

ir

on montre que :

)1)(1(

)(1

11

22

110

zsz

zrzrrzC (E6.2)

avec

r0 = Gr(1+Ki+aKd)

r1 = -Gr(1+Kd+Ki Kd+2aKd)

r2 = Gr Kd(1+a) et s1 = -Kd

L’algorithme de commande Ur(z) est déduit de : Ur(z) = (z).C(z)

D’où (1-z-1)(1+s1z1)Ur(z) = ( r0 + r1z

-1 + r2z-2) (z) et en échantillonnant on obtient :

Uk(k) = (1-s1).ur(k-1) + r1.s1.ur(k-2) + r0. (k) + r1. (k-1) + r2. (k-2)

6.2.3 PID numérique de type RST

En posant C(z) = R(s) / S(z), le schéma fonctionnel d’un système bouclé devient :

De l’équation (E6.2), on déduit les expressions de R(z) et S(z) où l’on aura 4 paramètres de réglages

(r0, r1, r2 et s1). La FTBF s’écrivant H(z) = Y(z) / E(z), il est donc possible de déterminer les 4

paramètres en fonction des pôles de la FTBF.

Couramment on cherche à obtenir une FT du 2nd ordre où l’on impose le coefficient

d’amortissement, le temps de réponse ou de montée…

6.3. Correcteur à pôles dominants

E(z)

- Sm(z)

(z) + T C(z)

Ur(z)

R

----------

S F(z)

Y(z) E(z) 1

----------

S F(z) Y(z) E(z)

T=R

R


48

Ce correcteur numérique a pour but d’obtenir un système en BF dont le comportement est proche de

celui d’un système 2nd ordre. Le système corrigé sera caractérisé par :

Son régime transitoire (amortissement, pulsation wn, dépassement, tr, tpic)

Son régime permanent avec une erreur statique nulle pour un échelon de position et de

vitesse

Pour ce faire le correcteur de la forme C(z) = GC1(z)C2(z)C3(z) devra répondre aux impératifs

suivants (avec G une constante):

Il doit compenser les pôles et zéros dominants de la FTBO (à l’exclusion de z = 0). Ceci

implique que C(z) comporte un terme C0(z) tel que :

)1)(1(

)1)(1()(

22

11

22

11

1

zbzb

zazazC

où bi sont les pôles dominants de la FTBO(z) et ai les zéros dominants.

Pour annuler l’écart de position et vitesse, le correcteur contiendra un terme :

qzzC

212

)1(1)( où q est le nombre d’intégrateurs de la FTBO.

Enfin C(z) comportera autant de paramètres que de spécifications demandées

(amortissement, temps de réponse, dépassement …) d’où présence d’un terme :

)1)(1(

)1)(1()(

14

13

12

11

3

zAzA

zAzAzC où Ai correspondent, chacun, à une spécification.

Application

Pour F1(z) = 1/[p(1+p)], calculons le correcteur permettant d’obtenir :

p = v = 0 avec un coefficient = 0.7 et tpic = 4T

Choix de la période : De la FTBF(p) du système continu : FTBF(p) = 1/(1 + p + p2), on déduit n =

1 rd/s, ce qui implique 0.25 s T 1.25 s. Prenons T = 0.5 s

Calcul de la FTBO(z) : Le processus muni de son BOZ admet pour FTBO(z) :

)6.01)(1(

11.0)(

11

1

1

zz

zzzF

E(z)

-

(z) + T B0(p)

C(z)

T

F1(p)

S(z)

F(z)


49

Calcul du correcteur : Le correcteur aura comme pour FT :

12

11

11

1

1

1

11

1

6.01.)(

zA

zA

zz

zGzC

Détermination des coefficients Ai

La FTBF s’écrit : H(z) = C(z).F(z) /[ 1 + C(z).F(z)]

Et en identifiant cette fonction avec un second ordre, on déduit les coefficients :

A2 = 0 ; G = 13.45 et A1 = -0.584

6.4. Correcteur à temps de réponse minimal

Si l’on désire un temps de réponse minimal, alors le régime transitoire doit comporter un nombre

fini et minimal de périodes d’échantillonnage. En d’autres termes, le polynôme qui décrit (z) doit

être de degré n (avec n = fini), soit :

nznTzTzFzC

zEz

)(...)()0(

)()(1

)()( 1

On impose aussi à ces systèmes une erreur nulle en régime permanent, donc :

() = limz->1(1- z-1)E(z)[1-H(z)] (E6.3)

où H(z) la FTBF et E(z) l’entrée de type échelon de position, de vitesse ou d’accélération ayant pour

expression respective : 3

2

2 )1(

)1(

)1(,

1

z

zzTet

zTz

zz (E6.4)

On peut généraliser l’entrée sous la forme :

11

1

)1(

)()(

n

n

z

zBTzE

B(z-1) est un polynôme de degré n (avec n = fini), n’ayant pas de racine z = 1.

Ainsi de H(z) = C(z)F(z)/[1+C(z)F(z)], on déduit :

)()1(

)(1)( 1

11

zBT

z

zHz n

n

Pour que (z) soit de degré fini et minimum, il faut que le terme [1+H(z)]/(1-z-1 )n+1 soit lui-même

de degré fini et minimum. Or, le polynôme le plus simple est le polynôme : z0 = 1. Donc la

condition sur H(z) s’écrit :

1 + H(z) = (1 – z-1)n+1 (E6.5)

6.4.1 Temps de réponse minimal absolu (TRMA)

Un système est minimal absolu si la FTBO a tous ses éléments stables, autrement dit, elle ne doit

posséder ni pôle ni zéro à l’extérieur du cercle de rayon 1.

compensation 1 intégrateur

supplémentaire

2 spécifications


50

En appliquant l’équation (E6.5), les valeurs des FTBF des systèmes minimaux absolus pour les

différents types d’entrées (dont les expressions sont données par l’équation E6.4) sont :

Entrée de type échelon de position (e(t) = 1 ordre n = 0) : H(z) = FTBF(z) = z-1

Entrée de type échelon de vitesse(e(t) = t ordre n = 1) : H(z) = 2z-1 – z-2

Entrée de type échelon d’accélération (e(t) = t2 n = 2) : H(z) = 3z-1 – 3z-2 + z-3

La réponse du système minimal absolu est S(z) = H(z)E(z)

On en déduit la FT du correcteur :

11

11

)1)((

)1(1

)](1)[(

)()(

n

n

zzF

z

zHzF

zHzC

Application

Reprenons l’exemple du paragraphe 3 de ce chapitre où F(z) = FTBO(z) est donnée par :

)6.01)(1(

11.0)(

11

1

1

zz

zzzF

Si l’on désire un TRMA pour une entrée en rampe (donc n = 1), le système minimal absolu admet

donc pour FTBF : H(z) = z-1(2-z-1) et la FT du correcteur s’écrit :

)1)(1(

)6.01)(5.01(20)(

11

11

zz

zzzC correcteur parfaitement réalisable

Les réponses aux échelons de position et vitesse sont les suivantes (pour T=0.5s):

Position : S(z) = (2z-1- z-2) / (1-z-1) = 2z-1 + z-2 + z-3 + … (voir figure a)

Vitesse: S(z) = 0.5z-1(2z-1- z-2)/(1 – z-1)2 = z-2 + 1.5z-3 + 2z-4+… (voir figure a)

s*(t)

1

0.5 1 1.5 2 t 0.5 1 1.5 2 2.5

Fig (a) Fig (b)

Fig(a) : erreur nulle à compter de l’échantillon de rang 2, avec un dépassement pour T=0,5.

Fig(b) : erreur de traînage nulle aux instants d’échantillonnage (à partir de n=2).

NB : Les systèmes à TRMA, bien que construits pour un type bien défini d’entrée, ont une forte

tendance à onduler en sortie.

6.4.2 Système à réponse plate ou pile

L’inconvénient des systèmes minimaux absolus est qu’il existe des oscillations « cachées », bien

que l’erreur statique soit nulle aux instants d’échantillonnage. L’idéal est donc d’obtenir une

réponse à une consigne dans les délais les plus brefs et sans oscillations : c’est la notion de réponse

plate ou réponse pile.

L’on montre que ces oscillations proviennent des discontinuités du signal de commande issu du

BOZ qui fournit en réalité des signaux en « escalier ».


51

D’une manière générale, l’obtention d’une réponse pile exige :

Une erreur nulle en régime permanent. Ce qui se traduit par () = 0 d’où H(1)=1 pour une

entrée de type échelon unité avec () = limz->1(1- z-1)E(z)[1-H(z)]

Une erreur limitée à un nombre fini d’échantillons en régime transitoire. Ce qui implique

que si F(z) = N(z)/D(z) alors la FTBF est de la forme H(z)=N(z)R(z) où le degré de N(z) est

fixé par le processus et R(z) = k (k=constante)

La figure (a) du paragraphe 4.1 donne une allure d’une réponse pile à un échelon

Application

Reprenons l’exemple du paragraphe 3 de ce chapitre où F(z) = FTBO(z) est donnée par :

)6.01)(1(

11.0)(

11

1

1

zz

zzzF = N(z)/D(z)

On a donc à résoudre le système:

H(z)=kN(z) avec N(z)=0.1z-1(1+z-1)

H(1)=1

On obtient k = 5, d’où la FT du correcteur : C(z) = H(z)/[F(z)- F(z).H(z)], soit :

)1(5.01

)6.01)(1(5)(

11

11

zz

zzzC Correcteur parfaitement réalisable.

La sortie du système bouclé s’écrit :

S(z) = H(z)E(z) = 0.5z-1(1+z-1).1/(1-z-1) = 0.5z-1 + z-2 + z-3 + ...

On voit que l’erreur s’annule à compter de l’échantillon de rang 2.

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