AUTOMATIQUE COMMANDE PAR RETOUR...

Automatique

AUTOMATIQUECOMMANDE PAR RETOUR D’ETAT

M. BATEMAN

Ecole de l’Air

25 novembre 2016

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Automatique

1 Commande par retour d’etatExemple introductifPrincipePlacement des poles

2 Synthese du correcteurCalcul de K : cas mono-commandeCalcul de K : cas multi-commandesSynthese de la precommande

3 Commande par retour de sortie

4 Comparaison retour d’etat / de sortie

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Automatique

Retour d’etat

Exemple introductif

Commande par retour d’etat - Exemple introductif

Objectif : controler la trajectoire d’un avion (cap ψ, distance a laroute y) en controlant sa gıte φ

ψ =gφ

v0y = v0ψ(t)

ψ < 0

couloir aerien

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Automatique

Retour d’etat

Principe

Commande par retour d’etat - Principe

Systeme non corrige :

x = Ax+ Bu

y = Cx

z = Mx

Proprietes

Le systeme est commandable

Tous le vecteur d’etat est mesure et C = In

Comportement non corrige : poles en BO = Spe(A)

z : vecteur des variables controlees avec dim(z) = p ≤ dim(u)=m

Loi de commande

u = He−Kx

e : vecteur des consignes dim(e) = p

Systeme corrige :

x = (A− BK)x+ BHe

y = Cx

z = Mx

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Automatique

Retour d’etat

Principe

x = Ax+ Bu

y = Cx

z = Mx

Proprietes

Loi de commande

u = He−Kx

Systeme corrige :

x = (A− BK)x+ BHe

y = Cx

z = Mx

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Automatique

Retour d’etat

Principe

x = Ax+ Bu

y = Cx

z = Mx

Proprietes

Loi de commande

u = He−Kx

Systeme corrige :

x = (A− BK)x+ BHe

y = Cx

z = Mx

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Automatique

Retour d’etat

Principe

x = Ax+ Bu

y = Cx

z = Mx

Proprietes

Loi de commande

u = He−Kx

Systeme corrige :

x = (A− BK)x+ BHe

y = Cx

z = Mx

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Automatique

Retour d’etat

Principe

Commande par retour d’etat - Structure de commande

Systeme

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Automatique

Retour d’etat

Principe

A propos de la dimension des matrices

Commande par retour d’etat u = He−Kx

e consignes avec dim(e) = dim(z)H matrice de precommande

H ∈ R en mono-consigne / mono-sortieH ∈ Mmp(R) si m consignes - p sorties controlees

K matrice de contre-reaction

K ∈ M1n(R) en mono-commandeK ∈ Mmn(R) si m commandes

Pratiquement, les coefficients de ces matrices sont des gains.

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Automatique

Retour d’etat

Principe

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Automatique

Retour d’etat

Principe

6 / 25

Automatique

Retour d’etat

Principe

6 / 25

Automatique

Retour d’etat

Principe

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Automatique

Retour d’etat

Principe

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Automatique

Retour d’etat

Principe

On veut

un comportement dynamique donne

le suivi de la consigne en regime permanent

Resume methodologique

choix des poles souhaites de la boucle fermee (νiBF )i∈[1..n]

determination de K tel que Sp(A− BK) = (νiBF )i∈[1..n]

determination de H tel qu’en regime permanent (x = 0) on aitz = e

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Automatique

Retour d’etat

Placement

Choix des poles - Rappel

Specifications modales

Stabilite

Marge de stabiliteTemps de reponse

Amortissement reduit

Bande passantedynamique actionneurssensibilite au bruit

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Automatique

Retour d’etat

Placement

Stabilite

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Automatique

Retour d’etat

Placement

Stabilite

8 / 25

Automatique

Retour d’etat

Placement

Stabilite

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Automatique

Retour d’etat

Placement

Stabilite

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Automatique

Synthese K

Calcul de K : cas mono-commande

Cas mono-commande1 On s’impose Sp(A− BK) = (νiBF i∈[1..n])

2 on deduit PA−BK (ν).

3 On pose K = (k1 k2 · · · kn) et on calcule |νIn − (A− BK)|

4 qu’on identifie a PA−BK (ν) d’ou les ki

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Automatique

Synthese K

9 / 25

Automatique

Synthese K

9 / 25

Automatique

Synthese K

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Automatique

Synthese K

Exemple : Calcul d’une commande : cas mono-commande

objectif : ξ = 0.7, tr5% = 10s soit ωn = 0.3rad/smatrice de contre-reaction : K =

(k1 k2

polynome caracteristique : PA−BK (ν) = ν2 + 2ξωnν + ω2n

numeriquement PA−BK (ν) = ν2 + 0.42ν + 0.09a identifier a :

PA−BK (ν) =

∣∣∣∣

(ν 00 ν

(0 0v0 0

)(k1 k2

)∣∣∣∣

il vient : K =(0.84 0.009

0 100 200 300 400 500 600 700−10

Trajectoire réelleTrajectoire de consigne

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Automatique

Synthese K

(k1 k2

PA−BK (ν) =

∣∣∣∣

(ν 00 ν

(0 0v0 0

)(k1 k2

)∣∣∣∣

il vient : K =(0.84 0.009

0 100 200 300 400 500 600 700−10

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Automatique

Synthese K

(k1 k2

PA−BK (ν) =

∣∣∣∣

(ν 00 ν

(0 0v0 0

)(k1 k2

)∣∣∣∣

il vient : K =(0.84 0.009

0 100 200 300 400 500 600 700−10

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Automatique

Synthese K

(k1 k2

PA−BK (ν) =

∣∣∣∣

(ν 00 ν

(0 0v0 0

)(k1 k2

)∣∣∣∣

il vient : K =(0.84 0.009

0 100 200 300 400 500 600 700−10

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Automatique

Synthese K

(k1 k2

PA−BK (ν) =

∣∣∣∣

(ν 00 ν

(0 0v0 0

)(k1 k2

)∣∣∣∣

il vient : K =(0.84 0.009

0 100 200 300 400 500 600 700−10

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Automatique

Synthese K

(k1 k2

PA−BK (ν) =

∣∣∣∣

(ν 00 ν

(0 0v0 0

)(k1 k2

)∣∣∣∣

il vient : K =(0.84 0.009

0 100 200 300 400 500 600 700−10

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Automatique

Synthese K

Calcul de K : cas multi-commandes

∀i ∈ [1..n], poser vi le−→vp associe a la vp νi de A−BK et resoudre

le systeme lineaire a n equations, n +m inconnues

(A− BK)vi = νivi

(A− νi In − B)︸︷︷︸

n×(n+m)

︸︷︷︸

(n+m)×m

On pose wi = Kvi

wi ∈ Rm : m entrees

le noyau engendre unsous-espace de dim(m)

Pour la valeur propre νi , ce calcul renvoie m vecteurs(vi

1 wi1)T

, . . . ,(vi

)Tet a priori toute CL de ces m

vecteurs convient :

+ . . . γm

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Automatique

Synthese K

Calcul de K : cas multi-commandes - suite

On reitere le processus pour les n valeurs propres desirees enboucle fermee.

On construit les matrices

P = (v1, v2 · · · vn) ∈ Cn×n

W = (w1w2 · · ·wn) ∈ Cm×m

Comme on a pose wi = Kvi , il vient :

K = WP−1

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Automatique

Synthese K

P = (v1, v2 · · · vn) ∈ Cn×n

W = (w1w2 · · ·wn) ∈ Cm×m

K = WP−1

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Automatique

Synthese K

P = (v1, v2 · · · vn) ∈ Cn×n

W = (w1w2 · · ·wn) ∈ Cm×m

K = WP−1

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Automatique

Synthese K

Du sens des vecteurs wi

La matrice de contre-reaction :

K = WP−1

u = e−Kx

u = e−WP−1x

u = e−WP−1Pζ (ζ vecteur d’etat dans la base modale)

u = e−Wζ

Les vi traduisent la sensibilite des variables d’etat aux modesdefinis par les poles νi

Les wi traduisent celles des commandes a ces memes modes

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Automatique

Synthese K

K = WP−1

u = e−Kx

u = e−WP−1x

u = e−Wζ

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Automatique

Synthese K

K = WP−1

u = e−Kx

u = e−WP−1x

u = e−Wζ

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Automatique

Synthese K

K = WP−1

u = e−Kx

u = e−WP−1x

u = e−Wζ

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Automatique

Synthese K

K = WP−1

u = e−Kx

u = e−WP−1x

u = e−Wζ

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Automatique

Synthese K

K = WP−1

u = e−Kx

u = e−WP−1x

u = e−Wζ

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Automatique

Synthese K

Exemple : controle de la dynamique laterale d’un airliner

poles ν −1 ± i −1 −0.0075

vecteur propre ~v v11 v21 v12 v22 v13 v23β 0.1884e±i124 0.0156e±i161 0.1538e i180 0.0303e i180 0.0109e i180 0.0497e i180

p 0.2564e±i166 0.0191e±i136 0.1715e i180 0.0241e i180 0.0401e i180 0.0052

r 0.4362e±i42 0.0982e±i47 0.5889e i180 0.1363 0.0107 0.0010e i180

φ 0.3006e±i179 0.0695e i180 0.6027e i180 0.1343e i180 0.9956e i180 0.0838

vecteur ~w w11 w2

1 w12 w2

2 w13 w2

δn 0.7843e±i17 0.0564e±i48 0.4754 0.1081 0.0068 0.0799

δℓ 0.0548e±i140 0.9908 0.1037 0.9748 0.0832 0.9920

Table – Poles et vecteurs propres de A− BK

(v1iw1

(v2iw2

avec γ1 = 1, γ2 = 0 (arbitraire) K = WP−1

β p r φ( )3.8563 −5.0818 −0.1777 0.1536 δn0.4296 −0.2895 −0.2855 −0.0797 δℓ

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Automatique

Synthese K

Exemple : controle de la dynamique laterale d’un airliner

A t = 0 l’avion est ecarte de son equilibre φ(0) = 0.5rad

−0.02

−0.01

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

Réponse à un angle de gîte initial de 0.5 rad

Temps (seconds)

de 0 1 2 3 4 5 6 7 8

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

Temps (s)

δ n (rad)

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

Temps (s)

δ l (rad)

Variables d’etat Commandes

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Synthese K

Calcul de K : Decouplage des modes

On veut decoupler le pole νi (i ∈ [1, . . . , n]) de m − 1 variables

d’etat et/ou entree

x1xjxn

u1ukum

On definit les m − 1 vecteurs de contraintes suivants :

1 . . . j . . . n +m

( )0 0 1 0 0

cn+ki =

1 . . . . . . n + k n +m

( )0 0 0 1 016 / 25

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Synthese K

Calcul de K : Decouplage des modes

Les m − 1 produits scalaires verifient :

= 0 . . . cn+ki .

Pour calculer un vecteur(vi wi

)Tunique, On resout alors le

systeme de n +m − 1 equations a n +m inconnues :

A− νi In −B

On reitere le procede pour ν1 a νn et on calcule les matrices :

P = (v1, v2 · · · vn) et W = (w1w2 · · ·wn) et K = WP−1

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Automatique

Synthese K

Exemple de reglage

Decouplage des modes lents des modes rapides de la dynamiquelongitudinale d’un avion

open-loop poles −2.1496 ± 7.7455i −0.0347 + 0.0535iclosed-loop poles −7 ± 7i −0.1 ± 0.1i

eigenvector −→v 1L,

−→v 2L

−→v 3L,

−→v 4L

V 0 ×

α × 0

q × ×

θ × ×

inputvector −→w 1L,

−→w 2L

−→w 3L,

−→w 4L

δm × ×

δτ × ×

0 10 20 30 40 50 60 70 80−0.2

Vitesse

Time (sec)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−0.2

Incidence (°)

Time (sec)

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Automatique

Synthese K

Synthese H

Calcul de H

On suppose le systeme en BF stableEn regime permanent x = 0on veut z = e

autant de sorties a controler que de commandesdim(z) = dim(u)

H = −[M(A− BK)−1B

moins de sortie a controler que de commandesdim(z) < dim(u)

H = −[M(A− BK)−1B

Remarques

H depend du modele ⇒ imperfection du modele imperfection du suivi de consigne

Precision obtenue par insertion d’un integrateur maisdegradation de la stabilite

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Automatique

Retour de sortie

Commande par retour de sortie

Mise en œuvre du retour d’etat necessite de mesurer les etats⇒ en pratique on fait du retour de sortieu = He−Kx = He−KCx

Autant de poles places que de mesures et K ∈ Rm×p avec p le

nombre de mesures

Dynamique du systeme fixee par Sp(A− BKC)

Determination de K analogue au retour d’etat par resolution

de (A− λi In B)

avec wi = KCvi puis

K = W(CV)−1

p poles places sur les n du systeme ⇒ (n − p) poles noncontroles

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Retour de sortie

Commande par retour de sortie - Structure de commande

Systeme

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Automatique

Comparaison

Exemple de comparaison retour d’etat / de sortie

Etude d’un avion en longitudinal avec ou sans prise en compte dela dynamique de la servo-commande

Notations

α : incidenceq : vitesse de tangageδm : braquage de la profondeurδmc : demande de braquage de la profondeur

Application du theoreme du moment cinetique autour de l’axe detangage

{α = q

q = mq q +mα α+mδm δm

Modele de servo-commande : 1er ordre, gain statique unitaireτ ˙δm + δm = δmc

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Comparaison

Exemple de comparaison retour d’etat / de sortie

Modele servo δm = δmc

entree : u = δm

sorties : Y = (α, q)t

etats : Xe = (α, q)t

mα mq

Y = I2Xe

RETOUR D’ETAT : tous polesplaces

Modele servo δm = 11+τp

entree : u = δmc

sorties : Y = (α, q)t

etats : Xs = (α, q, δm)t :

mα mq mm

0 0 −1τ

RETOUR DE SORTIE : 2 polesplaces, 1 pole libre

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

Evolution carte des poles

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.8 0.66 0.52 0.4 0.26 0.12

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Automatique

Comparaison

−10 −8 −6 −4 −2 0 2−8

10 8 6 4 2

0.91 0.83 0.72 0.58 0.4 0.2

POLES PLACES

Augmentation perfos demandées

Déstabilisation mode actionneur

POLE LIBRE

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Automatique

Comparaison

0 1 2 3 4 50

Poles placés : ω0 =4 ξ =0.2

étatsortie

0 1 2 3 4 50

étatsortie

0 1 2 3 4 50

étatsortie

0 1 2 3 4 50

étatsortie

0 1 2 3 4 50

étatsortie

0.5 1 1.5 2 2.5 3

étatsortie

Réponses temporelles à une consigne α = 2°

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