Automatique 7 - Analyse fréquentielle d’un système ...

Lycée Gustave Eiffel de Dijon

Classe préparatoire P.T.S.I.

Année 2016 - 2017

Automatique

7 - Analyse fréquentielle d’un système linéairecontinu invariant

Table des matièresI Introduction 1

II Réponse temporelle 2

III Représentation fréquentielle du comportement – Diagramme de Bode 6

IV Comportements particuliers 9

• Comprendre la représentation du comportement fréquentielle d’un SLCI (diagramme de Bode),• Savoir tracer la réponse harmonique d’un SLCI,• Connaître le tracé des systèmes élémentaires (gain, intégrateur, dérivateur, 1er et 2ème ordre).

Objectif :

Concevoir

Réaliser

Expérimenter

Communiquer

Analyser

Modéliser

Résoudre

Compétences

7 septembre 2016

1

Automatique Analyse fréquentielle d’un système linéaire continu invariant

I. Introduction

Dans les cours précédents, nous avons vu la réponse des systèmes pour des entrées canoniques simples(échelon, rampes, etc.). Ce cours va s’attacher au cas particulier des entrées sinusoïdales.

Les systèmes soumis à des sollicitations cycliques (type sinus) peuvent avoir un comportement complexe,mais utiles (fig.1). Pour certaines fréquences d’entrée, ils peuvent :

• ne pas beaucoup réagir à la sollicitation (atténuation),• reproduire fidèlement la sollicitation d’entrée,• sur-réagir à la sollicitation (résonance...).

(a) Pont de Tacoma (US), entré en résonancepar les sollicitations cycliques du vent.

(b) Filtrage des secousses sismiques d’unbâtiment face aux mouvements du sol.

(c) Suspension de véhicule pour atténuer lesdéfauts de la route.

(d) Traitement des signaux stellaires par leradiotéléscope de d’Arecibo (Porto Rico).

Figure 1 – Exemple de traitements harmoniques des grandeurs physiques.

L’objectif est d’être capable de prévoir et de modéliser ces divers comportements.

Lycée Gustave Eiffel de Dijon 1 / 20 Classe préparatoire P.T.S.I.Année 2016 - 2017


II. Réponse temporelle

1 Rappel : la relation d’entrée-sortie

On se donne un système linéaire continu invariant, reliant l’entrée e(t) à une sortie s(t) via une équationdifférentielle suivante :

amdms(t)

dtm+ · · ·+ a1

ds(t)

dt+ a0s(t) = bn

dne(t)

dtn+ · · ·+ b1

de(t)

dt+ b0e(t) (1)

...que l’on peut représenter dans le domaine de Laplace par une fonction de transfert :

H(p) =bnp

n + · · ·+ b1p+ b0ampm + · · ·+ a1p+ a0

(2)

2 Représentation temporelle

Soit le signal d’entrée suivant :

e(t) = e0 sin(ωt) (3)

• e0 est l’amplitude du sinus ;• ω est la pulsation (= 2πf où f est la fréquence en Hz).

On montre la propriété suivante :

En régime permanent, la réponse s(t) à l’entrée e(t) d’un SLCI est un sinus de la forme :

s(t) = s0(ω) sin(ωt+ φ(ω)) (4)

• s0(ω) est l’amplitude du signal de sortie (inconnue). Elle dépend de la pulsation du signald’entrée. Pour certaines fréquences, elle peut être très faible (filtrage) ou très élevée (raison-nance).

• φ(ω) représente le déphasage, c’est à dire le retard (ou l’avance, s’il est positif) que le signalde sortie aura sur l’entrée. Il dépend également de la pulsation du signal d’entrée.

Propriété 1 :

• On remarquera que e(t) et s(t), bien que décalé, on la même pulsation et oscillent à la mêmefréquence.

• Ce qui précède est vrai pour des entrées de types cosinus : la sortie sera également un cosinusd’amplitude s0 et déphasé de φ(ω)

• Par la suite, pour simplifier l’écriture, on ne notera pas toujours la dépendance de s0(ω) etφ(ω) à ω, et on pourra les noter simplement : s0 et φ

Remarques 1 :

3 Représentation dans le domaine complexe

a) Notation complexe

On peut remarquer que les expressions (3) et (4) peuvent être vues comme les parties imaginaires desfonctions complexes suivantes :



e(t) = e0 sin(ωt) (5)= Im(e0 cos(ωt)+je0 sin(ωt)) (Ici, comme en physique, le nombre (6)

complexe de carré (−1) se note j.)= Im(e0ejωt) (7)

= Im(e(t)) avec e(t) = e0ejωt (8)

s(t) = s0 sin(ωt+ φ) (9)= Im(s0 cos(ωt+φ))+js0 sin(ωt+φ))) (10)= Im(s0ej(ωt+φ)) (11)

= Im(s(t)) avec s(t) = s0ej(ωt+φ) (12)

(pour des cosinus, on prendra la partie réelle, mais la démarche est la même). e(t) et s(t) sont les notationscomplexes des fonctions sinusoïdales e(t) et s(t). Même si seules les parties imaginaires nous intéressent, cesfonctions complexes vont simplifier la représentation du comportement harmonique.

b) Equation différentielle complexe

Trouver s(t) revient donc à trouver s(t). Or, s(t) est solution de l’équation différentielle (1), en utilisant e(t)comme fonction d’entrée :

amdms(t)

dtm+ · · ·+ a1

ds(t)

dt+ a0s(t) = bn

dne(t)

dtn+ · · ·+ b1

de(t)

dt+ b0e(t) (13)

On montre, d’après l’équation (13), que :

s(t) = H(jω)e(t) (14)

où H(p) représente la fonction de transfert reliant E(p) à S(p) dans le domaine de Laplace, et ωest la pulsation de e(t).

Propriété 2 :

D’après ce qui précède, l’équation (1) devient :

amdm(s0e

j(ωt+φ))

dtm+ · · ·+ a1

d(s0e

j(ωt+φ))

dt+a0

(s0e

j(ωt+φ))

= bndn(e0e

jωt)

dtn+ · · ·+ b1

d(e0e

jωt)

dt+ b0

(e0e

jωt)

(15)

⇔ (am(jω)m + · · ·+ a1(jω) + a0) s0ej(ωt+φ) = (bn(jω)

n + · · ·+ b1(jω) + b0) e0ej(ωt) (16)

⇔

(m∑α=0

aα(jω)α

)s(t) =

n∑β=0

aβ(jω)β

e(t) (17)

⇔ s(t) =

(∑nβ=0 bβ(jω)

β∑mα=0 aα(jω)

α

)e(t) (18)

⇔ s(t) = H(jω)e(t) (19)

Démonstration 1 :

H(jω) est donc un nombre complexe. Il peut s’écrire sous la forme exponentielle :

H(jω) = G(ω)ejφ(ω) =s(t)

e(t)(20)



où φ est le même que dans l’équation (12).

On appelle gain du système à la pulsation ω (noté G(ω)) le module de H(jω) :

G(ω) = |H(jω)| = s0e0

(21)

Il représente le coefficient de multiplication de l’amplitude, entre l’entrée et la sortie.

Définition 1 : Gain

On appelle déphasage du système à la pulsation ω (noté φ(ω)) l’argument de H(jω) :

φ(ω) = arg(H(jω)) (22)

Il représente le retard(ou l’avance s’il est positif) qu’a la sortie par rapport à l’entrée.

Définition 2 : Déphasage

t

e(t)

+e(t)e(t)π +3 π /2 +2 π +5 π /2 +3 π +7 π /2

−3.5

−3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

+0.5

+1.0

+1.5

+2.0

+2.5

+3.0

+3.5

H(jω)=1e0j

H(jω)=2e0j

H(jω)=1e-π/2j

e(t)=2sin(t)

t

S1(t)

+ π +3 π /2 +2 π +5 π /2 +3 π +7 π /2

−3.5

−3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

+0.5

+1.0

+1.5

+2.0

+2.5

+3.0

+3.5

t

s2(t)

+ π +3 π /2 +2 π +5 π /2 +3 π +7 π /2

−3.5

−3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

+0.5

+1.0

+1.5

+2.0

+2.5

+3.0

+3.5

t

s3(t)

+ π +3 π /2 +2 π +5 π /2 +3 π +7 π /2

−3.5

−3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

+0.5

+1.0

+1.5

+2.0

+2.5

+3.0

+3.5

s1(t)

s2(t)

s3(t)

(avec ω=1)

Exemple 1 :



En pratique, on ne cherchera pas à écrire la forme exponentielle. On cherchera directement les modules etarguments.

Soit un système du premier ordre, de fonction de transfert :

H(p) =2

1 + 0,2p(23)

L’entrée du système est un signal sinusoïdal d’amplitude e0 = 10 et de pulsation ω = 3 :

e(t) = 10 sin(3t) (24)

L’objectif est de retrouver le signal de sortie (sans calculer la réponse par la méthode classique).

• Signal de sortie : s(t) ≈

• Représentation des signaux d’entrée et de sortie :

X

Y

+0.3 +0.7 +1.1 +1.5 +1.9 +2.3 +2.7 +3.1 +3.5 +3.9 +4.3 +4.7

−18.0

−16.0

−14.0

−12.0

−10.0

−8.0

−6.0

−4.0

−2.0

+2.0

+4.0

+6.0

+8.0

+10.0

+12.0

+14.0

+16.0

+18.0

Exemple 2 :



III. Représentation fréquentielle du comportement – Dia-gramme de Bode

Nous venons de voir que le gains et le déphasage de la réponse étaient dépendants de la pulsation d’entrée :G(ω) et φ(ω). Selon la fréquence d’excitation (fréquence de l’entrée), l’amplitude peut être plus ou moins grande(atténuations, phénomènes de résonance, etc.). Il en est de même pour le déphasage (avance, retard, etc.).

Pour représenter le comportement global du système, nous allons donc représenter G(ω) et φ(ω) pour toutesles valeurs de ω.

1 Rappel sur les logarithmes

• On rappelle que log est le logarithme décimal :

log(x) = log10(x) =ln(x)

ln(10)(25)

• log(1) = 0, log(10) = 1.• log est définie et bijective sur R+∗, tendant vers −∞ au voisinage de 0+ et +∞ au voisinage

de +∞.• log(a) = b ⇔ a = 10b

Remarques 2 : Logarithme décimal

2 Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode se décompose en réalité en 2 diagrammes (fig.2) :• un diagramme de gain : représentant le gain en décibel en fonction de ω.• un diagramme de phase : représentant le déphasage (en degrés ◦) de la réponse en fonction de ω.

Figure 2 – Exemple de diagramme de Bode.

• Gain en décibel Selon les systèmes, le gain peut varier de manière exponentielle vers 0 ou +∞. Afin desimplifier le graphe, on ne trace pas simplement le gain G(ω), mais le gain en décibel Gdb(ω). En outre, le gainen dB possède un sens énergétique fort (énergie acoustique, etc.)



On appelle gain en décibel

Gdb(ω) = 20 log(G(ω)) = 20 log(|H(jω)|) (26)

Définition 3 : Gain en décibel

• Diagramme de Bode Le diagramme de Bode sera par exemple de la forme de la figure 2. L’axe des ω estlui même représenté sur une échelle logarithmique (en puissance de 10).

Comme nous l’avons dit, ce diagramme se décompose en un diagramme de gain et un diagramme de phase.Pour chacun de ces deux diagrammes, on pourra représenter les courbes de deux manières :• soit en traçant les fonctions réelles Gdb(ω) et φ(ω) à l’aide d’un logiciel,• soit en représentant (à la main) son comportement asymtpotique (on trace les asymptotes au voisinage

de ±∞, puis on « lisse » le tracé à la main).Évidemment, dans la plupart des exercices que nous ferons, c’est la 2ème méthode qui sera utilisée.

• Tracé du diagramme de gain en db :1. Calculer G(ω) puis Gdb(ω) en fonction de ω.2. Trouver l’équation de l’asymptote quand ω 7→ 0. L’objectif est d’approximer à Gdb(ω) (en

négligeant certains termes) à une équation linéaire en log(ω) : Gdb(ω) ≈ a× (log(ω)) + b

3. Trouver l’équation de l’asymptote quand ω 7→ +∞. De même, l’objectif est d’approximerà Gdb(ω) (en négligeant certains termes) à une équation linéaire en log(ω) : Gdb(ω) ≈c× (log(ω)) + d

4. Trouver la pulsation de coupure ωc . Il s’agit de la valeur de ω pour laquelle les asymptotesse coupent.

5. Tracer le graphe

• Tracé du diagramme de phase :1. Calculer le déphasage φ(ω) en fonction de ω.2. Trouver l’équation de l’asymptote quand ω 7→ 0.3. Trouver l’équation de l’asymptote quand ω 7→ +∞.4. Reprendre la même pulsation de coupure ωcque précédemment.5. Tracer le graphe.

Méthode 1 : Tracés asymptotiques d’une fonction simple

Lorsque le comportement asymptotique se présente sous la forme : Gdb(ω) ≈ a × (log(ω)) + b,cela se représente sur l’échelle logarithmique par une droite de « a dB par décade », c’est à direqu’à chaque fois que ω augmente d’une puissance de 10, Gdb(ω) augmente de a.

Remarque 3 :

On souhaite représenter le diagramme de Bode d’un système dont la fonction de transfert est :

H(p) =K

1 + τp=

10

1 + p(K = 10 et τ = 1) (27)

1. Calcul de G(ω) et Gdb(ω) :

Exemple 3 :



G(ω) =

Gdb(ω) =

4. Pulsation de coupure ωc : On cherche le point où les deux asymptotes se croisent, c’est à dire :

• Calcul de la phase :

1. Calcul du déphasage φ(ω) :

φ(ω) =

2. Calcul du déphasage au voisinage de 0 :

φ(ω) ≈ω 7→0

3. Calcul du déphasage au voisinage de +∞ :

φ(ω) ≈ω 7→+∞



5. Tracer le graphe :

10−2 10−1 100 101 102−20

−10

0

10

20

dB

rad/s

10−2 10−1 100 101 102−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

◦

rad/s

IV. Comportements particuliers

1 Filtrage

On appelle « filtre » tout système dont la réponse harmonique ne laisse passer qu’une partiedes fréquences et atténue (fortement) les autres. On différenciera principalement :• les filtres passe-bas : Il ne laisse passer que les basses fréquences et atténuent les hautes

fréquences (fig.3a) ;• les filtres passe-haut : Il ne laisse passer que les hautes fréquences et atténuent les basses

fréquences (fig.3b) ;• les filtres passe-bande : Il ne laisse passer qu’une bande de fréquences (on parle de fenêtre

de fréquences) (fig.3c) ;• les filtres coupe-bande : Il laisse passer toutes les fréquences sauf une certaine fenêtre (c’est

l’inverse du passe-bande) (fig.3d).

Définition 4 : Filtres



10−1 100 101−25

−15

−5

5dB

rad/s

Pulsationde coupure

(a) Filtre passe-bas

10−1 100 101−25

−15

−5

5dB

rad/s

Pulsationde coupure

(b) Filtre passe-haut

10−1 100 101−25

−15

−5

5dB

rad/s

Bande passante

(c) Filtre passe-bande

10−1 100 101−25

−15

−5

5dB

rad/s

Bande rejetée

(d) Filtre coupe-bande

Figure 3 – Différents types de filtres.

2 Comportement fréquentiel d’un gain pur K

H(p) = KE(p) S(p)

Un gain pur K (fig.4a) :• Gain en dB : constant : Gdb(ω) = 20 log(K).• Déphasage : nul : φ = 0◦.

Propriété 3 : Réponse harmonique d’un gain pur

La démonstration est triviale.

3 Comportement fréquentiel d’un intégrateur pur

H(p) = Kp

E(p) S(p)

Un gain pur K (fig.4b) :• Gain en dB : droite de pente −20 dB/décade.• Déphasage : retard constant : −90◦.

Propriété 4 : Réponse harmonique d’un intégrateur pur



G(ω) =

∣∣∣∣Kjω∣∣∣∣ = K

ω(28)

Gdb(ω) = 20 log

(K

ω

)(29)

= −20 log(ω) + 20 log(K) (30)

φ(ω) = arg

(K

jω

)(31)

= arg(K)− arg (jω) (32)= 0− 90 (33)

Démonstration 2 :

4 Comportement fréquentiel d’un dérivateur pur

H(p) = KpE(p) S(p)

Un gain pur K (fig.4c) :• Gain en dB : droite de pente +20 dB/décade.• Déphasage : avance constante : +90◦.

Propriété 5 : Réponse harmonique d’un dérivateur pur

G(ω) = |Kjω| = Kω (34)Gdb(ω) = 20 log (Kω) (35)

= 20 log(ω) + 20 log(K) (36)

φ(ω) = arg (Kjω) (37)= arg(K) + arg (jω) (38)= 0 + 90 (39)

Démonstration 3 :

5 Comportement fréquentiel d’un système du 1er ordre

H(p) =K

1 + τp

E(p) S(p)

Un système du 1er ordre a un comportement de filtre passe bas :• Gain en dB :◦ au voisinage de 0 : asymptote horizontale d’équation y = 20 log(K)

◦ au voisinage de +∞ : asymptote d’équation y = 20 log(ω) + (20 log(Kτ

)) (pente de

−20 dB/décade• Déphasage :◦ au voisinage de 0 : asymptote horizontale d’équation y = 0◦

◦ au voisinage de +∞ : asymptote horizontale d’équation y = −90◦ (retard)

• Pulsation de coupure : ωc =1

τ

Propriété 6 : Réponse harmonique d’un 1er ordre



10−1 100 1010

10

20

30dB

rad/s

20 log(K)

10−1 100 101−20

−10

0

10

20

◦

rad/s

0◦

(a) Gain purH(p) = K(= 10)

10−1 100 1010

10

20

30dB

rad/s

20 log(K)dB/décade

−20

10−1 100 101−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

◦

rad/s

−90◦

(b) Intégrateur purH(p) = K

p

(= 10

p

)

10−1 100 1010

10

20

30dB

rad/s

20 log(K)

+20 dB/décade

10−1 100 1010

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

◦

rad/s

+90◦

(c) Dérivateur purH(p) = Kp

(= 10

p

)

Figure 4 – Diagrammes de Bode de blocs élémentaires.

10−1 100 101 102 1030

10

20

30dB

rad/s

ωc =1τ

3 dB

20 log(K)

−20dB/décade

10−1 100 101 102 103−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

◦

rad/s

−45◦

−90◦

0◦

Figure 5 – Diagramme de Bode caractéristique d’un système du premier ordre. Ici H(p) = 101+0.1p

)

6 Comportement fréquentiel d’un système du 2ème ordre

H(p) =K

1ω2

0p2 + 2z

ω0p+ 1

E(p) S(p)



a) Cas où z ≥ 1 :

H(p) est factorisable comme produit de deux 1er ordre :

H(p) =K

(1 + τ1p)× 1

(1 + τ2p)(40)

(si z = 0, alors τ1 = τ2)

Le diagramme de Bode de H(p) est la somme des diagrammes du 1er ordre obtenue parla factorisation ci-dessus (voir démonstration 8). Il en résulte :• Pulsations de coupure : Il y en a 2 : ωc1 = 1

τ1et ωc2 = 1

τ2.

• Gain en dB :◦ au voisinage de 0 : asymptote horizontale d’équation y = 20 log(K) ;◦ entre ωc1 et ωc2 : courbe asymptotique oblique de pente −20 dB/décade (pour info :y = −20 log(ω) + (20 log

(Kτ1

))) ;

◦ au voisinage de +∞ : asymptote oblique de pente : −40 dB/décade (pour info :y = −40 log(ω) +

(20 log

(Kτ1τ2

))).

• Déphasage :◦ au voisinage de 0 : asymptote horizontale d’équation y = 0◦ ;◦ entre ωc1 et ωc2 : courbe asymptotique d’équation y = −90◦ ;◦ au voisinage de +∞ : asymptote d’équation y = −180◦.

Propriété 7 : Réponse harmonique d’un 2ème ordre avec z ≥ 1

On souhaite tracer le diagramme de Bode de la fonction suivante :

H(p) =2

10p2 + 11p+ 1(41)

On donne :

Le diagramme de Bode de H1(p) =2

1+p

10−3 10−2 10−1 100 101−20

−10

0

10dB

rad/s

10−3 10−2 10−1 100 101−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

◦

rad/s

Le diagramme de Bode de H2(p) =1

1+10p

10−3 10−2 10−1 100 101−20

−10

0

10dB

rad/s

10−3 10−2 10−1 100 101−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

◦

rad/s

Exemple 4 :



Tracer le diagramme de Bode de H(p).

10−3 10−2 10−1 100 101−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10dB

rad/s

10−3 10−2 10−1 100 101−190

−180

−170

−160

−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

◦

rad/s

b) Cas où z < 1 :

Le cas d’un système du deuxième ordre peu amorti peut engendrer un phénomène de résonance. Toutefois,ce phénomène n’apparaît que pour une valeur de z assez faible (voir ci-après). La figure 6 représente les deuxcas de figure.

• Cas sans résonance (z ∈ [√22 ; 1]) :

Le comportement asymptotique est (voir fig.6) :• Pulsation de coupure : ω0.• Gain en dB :◦ au voisinage de 0 : asymptote horizontale d’équation y = 20 log(K) ;◦ au voisinage de +∞ : asymptote oblique de pente : −40 dB/décade (pour info :y = −40 log(ω) + (20 log (Kω0))).

• Déphasage :◦ au voisinage de 0 : asymptote horizontale d’équation y = 0◦ ;

Propriété 8 : Réponse harmonique d’un 2ème ordre sans résonance



◦ au voisinage de +∞ : asymptote horizontale d’équation y = −180◦.

• Cas avec résonance (z ∈ [0;√22 ]) : L’équation du gain en dBest (voir fig.6) :

Gdb(ω) = |H(jω)| = K√(1−

(ωω0

)2)2

+ 4z2(ωω0

)2 (42)

Celle de l’argument :

φ(ω) = arg(H(jω)) = −arctan 2z ω

ω0

1−( ωω0)2

(43)

La résonance est un phénomène de sur-amplitude qui apparaissant autour d’une pulsationparticulière ωr appelée pulsation de résonance.

Dans le cas d’un système du 2ème ordre, elle ne peut apparaître que si z <√22 avec :

ωr = ω0

√1− 2z2 (44)

Définition 5 : Résonance

La pulsation de résonance correspond au maximum du gain en dB. C’est à dire au minimum deson dénominateur (le gain est d’autant plus grand que le module du dénominateur est petit).

Ainsi, on cherche la valeur ωr de ω qui minimise

√(1−

(ωω0

)2)2

+ 4z2(ωω0

)2, ou encore qui

minimise(1−

(ωω0

)2)2

+ 4z2(ωω0

)2, ou encore qui minimise :

(ω20 − ω2

)2+ 4z2ω2

0ω2

Cette expression est minimale lorsque sa dérivée (par rapport à ω) s’annule, soit :

d((ω20 − ω2

)2+ 4z2ω2

0ω2)

dω= 0 (45)

⇔ −4ω(ω20 − ω0

)+ 8z2ω2

0ω = 0 (46)

⇔{ω = 0 (pas intéressant pour nous)ω = ω0

√1− 2z2

(47)

La seconde solution ne peut exister que si |z| <√22

Démonstration 4 :

Le comportement asymptotique est (voir fig.6) :• Pulsation de coupure : ω0.• Pulsation de résonance : ωr = ω0

√1− 2z2

• Gain en dB : Tout est pareil que dans la propriété 8, sauf qu’il faut rajouter le pic derésonance à la pulsation ωr . En ce point, l’amplitude est multipliée par un coefficient desurtension Q :

Q =1

2z√1− z2

Propriété 9 : Réponse harmonique d’un 2ème ordre avec résonance



Cela signifie que le gain en dB est augmenté de +20 log(Q).• Déphasage : Identique à la propriété 8

100 101 102−10

0

10

20

30dB

rad/s

ω0

ωr

20 log(Q)

Cas 1 : 0 < z <√2

2

Cas 2 :√2

2< z < 1 −40dB/décade

20 log(K)

100 101 102−190

−180

−170

−160

−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

◦

rad/s

0◦

−90◦

−180◦

Figure 6 – Comportement harmonique d’un système du 2ème ordre en régime pseudo-périodique, avec et sansrésonance.

7 Cas des fonctions inverses

Soit H(p) et G(p) deux fonctions de transfert inverses l’une et l’autre (au sens de la multiplication) telles queG(p) = 1

H(p) . Supposons connu le diagramme de Bode de H(p). On souhaite alors tracer le diagramme de G(p).

Pour tracer le diagramme de Bode de G(p) à partir du diagramme de son inverse H(p), il suffitde prendre l’opposé du gain et de l’argument :

Gdb(ω)|G(p) = −Gdb(ω)|H(p) (48)φ(ω)|G(p) = −φ(ω)|H(p) (49)

Propriété 10 : Diagramme de Bode des fonctions inverses



Cela revient à dire que le tracé de G(p) est le symétrique du tracé de H(p) par rapport à l’axedes abscisses.

Si G(p) = 1H(p) , alors :

G(ω)|G(p) =

∣∣∣∣ 1

H(p)

∣∣∣∣ = 1

|H(p)|(50)

Gdb(ω)|H(p) = 20 log

(1

|H(p)|

)(51)

= −20 log(|H(p)|) (52)= −Gdb(ω)|H(p) (53)

φ(ω)|G(p) = arg

(1

H(p)

)(54)

= − arg(H(p)) (55)= −φ(ω)|H(p) (56)

Démonstration 5 :

Tracer le diagramme de Bode de la fonction H(p) = 2 + 4p

10−2 10−1 100 101−20

−10

0

10

20dB

rad/s

10−2 10−1 100 101−100−90−80−70−60−50−40−30−20−10

0102030405060708090

100

◦

rad/s

Exemple 5 :

8 Cas général

Soit H(p) une fonction de transfert, produit de 2 fonctions de transfert F(p) et G(p) :

H(p) = F(p)×G(p) (57)

Alors le diagramme de Bode de H(p) se « construit » en faisant la somme des diagramme de

Propriété 11 :



Bode de F(p) et G(p) :

Gdb(ω)|H(p) = Gdb(ω)|F(p) +Gdb(ω)|G(p) (58)φ(ω)|H(p) = φ(ω)|F(p) + φ(ω)|G(p) (59)

G(ω)|H(p) = |F(p)| × |G(p)| (60)Gdb(ω)|H(p) = 20 log (|F(p)| × |G(p)|) (61)

= 20 log (|F(p)|)× (|G(p)|)(62)

= Gdb(ω)|F(p) ×Gdb(ω)|G(p)

(63)

φ(ω)|H(p) = arg (F(p)×G(p)) (64)= arg(F(p)) + arg(G(p)) (65)= φ(ω)|H(p) + φ(ω)|H(p) (66)

Démonstration 6 :

Dans le cas de divisions, le paragraphe sur les fonctions inverses nous amène à faire la sous-traction des graphes.

Remarque 4 :

La propriété précédente peut se généraliser avec le produit de plein de fonction de transfert.Plaçons nous dans le cas le plus général.Soit une fonction de transfert H(p) quelconque. Nous avons vu que celle-ci pouvait se mettre sous la forme

d’une fraction rationnelle, que le numérateur peut se factoriser en produits de termes de degrés 1 ou 2 et il estde même pour le dénominateur. Supposons que nous les ayons factorisé au maximum. On se retrouve avec uneexpression de la forme :

H(p) =K

pα

(1 + τn1p)(1 + τn2p)× · · · ×(

1ω2n1p2 + 2zn1

ωn1p+ 1

)(1ω2n2p2 + 2zn2

ωn2p+ 1

)× . . .

(1 + τd1p)(1 + τd2p)× · · · ×(

1ω2d1p2 + 2zd1

ωd1p+ 1

)(1ω2d2p2 + 2zd2

ωd2p+ 1

)× . . .

=K

pα

∏i

(1 + τnip)∏j

(1

ω2nj

p2 +2znjωnj

p+ 1

)∏k

(1 + τnkp)∏l

(1

ω2nl

p2 +2znlωnl

p+ 1

) (67)

On notera alors que l’expression (67) n’est rien d’autre que le produit de fonctions du 1er et du 2ème ordre,éventuellement inversées :

H(p) =K

pα︸︷︷︸Intégrateurs

× 1 + τn1p

1︸︷︷︸1er ordre inversé

× 1 + τn2p

1︸︷︷︸1er ordre inversé

× · · · ×1ω2n1p2 + 2zn1

ωn1p+ 1

1︸︷︷︸2ème ordre inversé

×1ω2n2p2 + 2zn2

ωn2p+ 1

1︸︷︷︸2ème ordre inversé

× . . .

× 1

1 + τd1p︸︷︷︸1er ordre

× 1

1 + τd2p︸︷︷︸1er ordre

× · · · × 11ω2d1p2 + 2zd1

ωd1p+ 1︸︷︷︸

2ème ordre

× 11ω2d2p2 + 2zd2

ωd2p+ 1︸︷︷︸

2ème ordre

× . . . (68)

Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert : H(p) =1 + 5p

20 + 10,2p+ 0,1p2Pour cela, on

procédera de la manière suivante :• Factorisation au maximum des numérateur et dénominateur.• Décomposition en produit de fonctions de transfert élémentaires.

Exemple 6 :



• Tracer les diagrammes asymptotiques de chaque fonction de transfert élémentaire.• Faire la « somme de ces tracés asymptotiques ».• Tracer à la main la vraie courbe (lisse).

10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30dB

rad/s

10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

◦

rad/s

Questions de cours

Q1. Soit H(p) = 51+4p . Calculer son gain et son déphasage lorsque ω = 2.

Q2. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de H(p).

Q3. Quelle est la pente du gain en décibel d’un système du deuxième ordre au voisinage de0 ? et de +∞ ?



Q4. Donner l’allure (grossière) du diagramme de gain en décibel d’un filtre passe-haut.

Q5. Soit G(p) = 2p10p2+21p+2 . Tracer le diagramme de Bode de G(p).


Automatique 7 - Analyse fréquentielle d’un système ...

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