Auteur: Mr GRASSET – Lycée Clos Maire BEAUNE. Tableau damortissement à amortissements constants...

Auteur: Mr GRASSET – Lycée Clos Maire BEAUNE

Tableau d’amortissement à amortissements constants

Tableau d’amortissement à annuités constantes

Les annuités

Intérêts composés

Exploitation pédagogique

Tableau d’amortissement sous EXCEL

INTERETS COMPOSES

Définition:

Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période de placement (mois, trimestre, année…), l’intérêt de la période est incorporé au capital pour le calcul de l’intérêt de la période suivante.

Calcul de la valeur acquise:

Un capital C0 est placé au taux périodique t, la valeur acquise Cn au bout de n périodes est:

n0n )t1(CC

L’intérêt I est:

0n CCI

Exemple: un capital de 10000€ est déposé au taux annuel de 4% pendant 8 ans. La capitalisation est annuelle.

t=0,04 et n=8

10000C0 8

8

88

04,110000C

)04,01(10000C

€69,13685C8

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Calcul d’une valeur actuelle

La valeur actuelle d’un capital Cn est le capital C0 qu’il faut placer à l’époque 0 pour obtenir Cn à l’époque n.

Exemple:

La valeur acquise d’un capital placé au taux annuel de 6,3% pendant 5 ans est 8143,62 € (capitalisation annuelle).

Calcul du capital placé: 8143,62 x (1+0,063) -5 = 6000 €

nn0 )t1(CC


LES ANNUITES

On appelle annuité un règlement constant versé pendant des intervalles de temps successifs égaux.

Valeur actualisée d’annuités constantes:

C’est le cas lorsque l’on verse à intervalles réguliers la même somme d’argent pour se constituer un capital.

Exemple: pour rembourser une dette, on verse chaque année en fin d’année pendant 4 ans une somme de500€ (taux d’actualisation annuel: 6%; capitalisation annuelle).

Somme versée

0

1 2 3 4

500 500 500 500

année

nn0 )t1(CC


Calculons la valeur actualisée totale notée V0 au début de la première année. Le premier versement est effectué 1 an après la date choisie pour calculer l’actualisation.

Année du versement Versement Durée Valeur actuelle de chaque versement C0=Cn(1+t)-n

1 500 1 500x1,06-1 ≈ 471,70

2 500 2 500x1,06-2 ≈ 445,00

3 500 3 500x1,06-3 ≈ 419,81

4 500 4 500x1,06-4 ≈ 396,05

TOTAL ≈ 1732,56

Nous observons que les valeurs actualisées successives forment une suite géométrique de premier terme:

U1 = 500 x 1,06-1

Et de raison q = 1,06-1

Leur somme est: 55,1732106,1

1)06,1(x06,1x500V 1

411

0


Si, pendant n périodes, on verse en fin de chaque période une même somme « a » en vue de rembourser une dette, la somme des valeurs actualisées V0 de tous les versements, une période avant le premier versement est:

t)t1(1

aVn

0

t:taux par périodea:versement constantn:nombre de versements

Valeur acquise par des annuités constantes:

On place chaque année, en début d’année pendant 4 ans, une somme a = 800€ (taux annuel 5%, capitalisationannuelle):

capital versé

1 2 3 4

800 800 800 800

année

Le capital placé en début de première année a rapporté pendant trois ans quand arrive le début de la quatrième année


La valeur acquise Vn par l’ensemble des versements constants au moment du dernier versement est donnée par:

t1)t1(

aVn

n

t:taux par période

a:versement constantn:nombre de versements

Calculons la valeur acquise totale notée V4 au début de la quatrième année juste après le versement des 800€

Année du versement Versement Durée Valeur actuelle de chaque versement C0=Cn(1+t)-n

1 800 3 800x1,053 = 926,10

2 800 2 800x1,052 = 882

3 800 1 800x1,05 = 840

4 800 0 800x1 = 800

TOTAL = 3448,10

Nous remarquons que les valeurs acquises 800; 800x1,05… forment une suite géométrique de premier terme:

u1 = 800 et de raison q = 1,05

On peut donc calculer leur somme en appliquant la formule:1q1q

xuSn

1n

10,3448105,1105,1

x800SV4

44

C’est-à-dire:


L’ESSENTIEL

Intérêts composés

Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes

Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes

n0n )t1(CC

Cn : valeur acquiseC0 : capital initialt : taux par périoden : nombre de périodes

t1)t1(

aVn

n

t)t1(1

aVn

0




TABLEAU D’AMORTISSEMENT

L’emprunt indivis: c’est un emprunt contracté auprès d’un seul prêteur: banquier, établissement financier… en opposition avec un emprunt obligataire pour lequel il y a plusieurs prêteurs. L’emprunteur verse au prêteur des annuités ou versements de remboursement comportant des intérêts sur la somme restant due et le remboursement d’une partie de la dette.

Tableau d’amortissement:

L’ensemble des éléments de remboursement est présenté dans un tableau qui précise pour chaque période:

Le capital restant dû; L’amortissement du capital ou remboursement du capital; L’intérêt; L’annuité ou versement de remboursement.

Annuités constantes: lorsque les versements de remboursement d’un capital sont égaux, on parle de remboursement par annuités constantes.

Pour le calcul des annuités constantes, il faut qu’il y ait équivalence entre le montant emprunté et les annuités.

t)t1(1

aVn

0

ou

n0

)t1(1

tVa


Méthode pour compléter un tableau d’amortissement à annuités constantes.

Calcul de l’annuité ou montant de l’échéance.

n0

)t1(1

tVa

On utilise la relation:

L’intérêt. I = D x t

intérêtCapital restant

dû

Taux périodique

L’amortissement.M + I = a

amortissement

intérêt

Annuité ou versement

Capital restant dû.

Il se calcule à partir de la ligne précédente. 1n1nn MDD


Feuille de calcul Microsoft Office

rang de l'échéance capital restant dû amortissement intérêts annuitéA B C D E

123456789

101112131415161718192021

Titre des colonnes du tableau

On prépare un tableau ayant pour titres de colonne:

Première ligne du tableau:

On reporte le capital restant dû et l’annuité;On calcule l’intérêt correspondant; B2 x 0,005On en déduit l’amortissement; M = a - I

Emprunt de 5000€ à 6% l’an. Il rembourse tous les mois la même mensualité pendant 8 mois.

V0 = 5000 ; tmensuel = 0,005 et n = 8

14,639)005,01(1

005,0x5000a 8

€

Colonne annuité:

On complète la colonne « annuité » en recopiant l’annuité déterminée précédemment Colonne amortissement:

On complète la colonne « amortissement » en calculant les nombres de la suite géométrique ayant pour 1er terme l’amortissement de la première ligne et pour raison 1+t: Dans C3 écrire: C2*(1+0,005) et recopierColonnes restantes:

On en déduit la colonne «Capital restant dû » et la colonne « intérêt ». Dans B3 écrire: B2-C2 et recopier


Tableau d’amortissement à amortissement constant.

Dans le cas de l’amortissement constant, l’emprunteur rembourse la même somme en ce qui concerne le capital, c’est-à-dire que les amortissements vont être constants mais les annuités vont varier.

Calcul de l’amortissement:

nV

M 0M: amortissementV0: capital empruntén: nombre de périodes.

Calcul du montant de l’annuité:

M1 = M2 = ……. = Mn

an = In + MnIn = Dn x t

intérêt Taux périodiqueCapital restant

dû

amortissement

intérêt

Annuité ou versement

n0 InV

a M: amortissementV0: capital empruntén: nombre de périodes.In: intérêt correspondant à la période


Exemple de construction d’un tableau d’amortissement à amortissement constant.

On emprunte 3200€ que l’on rembourse aux conditions suivantes:durée : 4ansremboursement : en 4 versements en fin d’année, les amortissements sont constantstaux annuel: 10%


rang de l'échéance capital restant dû amortissement intérêt annuitésA B C D E

123456789

101112131415161718

Première ligne du tableau:

On complète le capital restant dû; B2 = 3200On calcule l’amortissement; C2 = 3200/4 recopier

Colonne « capital restant dû »:

On complète la colonne: B3 = B2 – C2 et recopier Colonne « intérêts »:

On complète la colonne: D2 = B2 *0,1 et recopier

Colonne « annuités »:

On complète la colonne: E2 = D2 + C2 et recopier


CONCLUSION

Le tableau d’amortissement précise pour chaque période:

Le capital restant dûL’amortissement

du capitalL’intérêt

Le montant del’échéance

Si les annuités sont constantes, les amortissements successifs forment une suitegéométriques de raison (1+t)

Si les amortissements sont constants, les annuités forment une suitearithmétique de raison

ntV0


En classe de Terminale BAC Professionnel Tertiaire (comptabilité et commerce), les amortissements sont étudiés. L’exemple de séquence proposée permet de traiter un crédit automobile.

Je propose une activité destinée à constituer un tableau d’amortissement sur ordinateur, à l’aide du logiciel de calcul EXCEL. Par ce biais, nous utilisons la transversalité entre les mathématiques, la comptabilité, l’informatique mais également le domaine commercial.

EXEMPLE TRAITE: Monsieur DURAND souhaite changer sa voiture. Il va emprunter une somme de 15000 euros sur 5 ans et la rembourser par mensualités. La banque lui propose un taux de 5,5% annuel.

« RECETTE DU TABLEAU D’AMORTISSEMENT »

INGREDIENTSLe capital emprunté: V0 = …………………..La durée en mois: n = ……… moisLe taux annuel : T = …………….

USTENSILES

La formule du taux proportionnel mensuel : t = ………………La formule générale de l’intérêt mensuel : i = ………………..La formule générale de la mensualité : a = ……………………..La formule générale de l’amortissement mensuel : amortissement = …………..


PREPARATION

Sur la feuille de calcul EXCEL, remplir les 6 colonnes suivantes:

Colonne A: CAPITAL Colonne B: DUREE Colonne C: TAUXColonne D: INTERET Colonne E: MENSUALITE Colonne F: CAPITAL AMORTI


A B C D E F G123456789

101112131415161718192021

ASTUCE



CAPITAL DUREE TAUX INTERET MENSUALITE CAPITAL AMORTIA B C D E F G

123456789

10111213141516171819202122

Remplissons la colonne A du capital:

Noter 100000 dans la cellule A2: « capital de départ » A3=SI(A2>F1;A2-F1;0): « capital restant dû » Répéter la procédure jusqu’à A61.

ASTUCE

Remplissons la colonne B de la durée:

Noter 60 dans B2Noter 2 dans B3B4=B3+1 et ainsi de suite jusqu’à B61

Passons au taux dans la colonne C:

C2=5,5/(100*12) : « taux mensuel proportionnel car l’intérêt va être calculépar mois ».Copier ce résultat jusqu’à C61



CAPITAL DUREE TAUX INTERET MENSUALITECAPITAL AMORTI100000 60 0,004583333100000 2 0,004583333100000 3 0,004583333100000 4 0,004583333100000 5 0,004583333100000 6 0,004583333100000 7 0,004583333100000 8 0,004583333100000 9 0,004583333100000 10 0,004583333100000 11 0,004583333100000 12 0,004583333100000 13 0,004583333100000 14 0,004583333100000 15 0,004583333100000 16 0,004583333100000 17 0,004583333100000 18 0,004583333100000 19 0,004583333100000 20 0,004583333100000 21 0,004583333

A B C D E F G123456789

101112131415161718192021

Calculons l’intérêt mensuel dans la colonne D:

D2=A2*C2 soit « intérêt=capital X durée »Ajouter la condition : D3=SI(A3*C3>0;A3*C3;0)Copier jusqu’à D61

Calculons la mensualité dans la colonne E:

E2=((A2xC2)/(1-PUISSANCE(1+C2;-B2))E3=SI(D3>0,1;E2;0)Copier la cellule jusqu’à E61



CAPITAL DUREE TAUX INTERET MENSUALITECAPITAL AMORTI100000 60 0,004583 458,3333 1910,116217100000 2 0,004583 451,6793 1910,116217100000 3 0,004583 444,9948 1910,116217100000 4 0,004583 438,2797 1910,116217100000 5 0,004583 431,5338 1910,116217100000 6 0,004583 424,7569 1910,116217100000 7 0,004583 417,949 1910,116217100000 8 0,004583 411,1099 1910,116217100000 9 0,004583 404,2395 1910,116217100000 10 0,004583 397,3376 1910,116217100000 11 0,004583 390,404 1910,116217100000 12 0,004583 383,4386 1910,116217100000 13 0,004583 376,4414 1910,116217100000 14 0,004583 369,412 1910,116217100000 15 0,004583 362,3505 1910,116217100000 16 0,004583 355,2565 1910,116217100000 17 0,004583 348,1301 1910,116217100000 18 0,004583 340,971 1910,116217100000 19 0,004583 333,7791 1910,116217100000 20 0,004583 326,5542 1910,116217100000 21 0,004583 319,2962 1910,116217100000 22 0,004583 312,0049 1910,116217100000 23 0,004583 304,6803 1910,116217

A B C D E F G H123456789

101112131415161718192021222324

F2=E2-D2Copier la cellule jusqu’à F61

Calculons l’amortissement dans la colonne F:

Calculons le coût total du crédit:

Dans la cellule E63, entrer:=SOMME(E2:E61)-100000

Vous devez obtenir: 14606,97303

Cliquer sur l’icône pour transférer votre tableau sous EXCEL.


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