Atome hydrogénoïde Potentiel de Coulomb de symétrie sphérique Solutions en coordonnées...

Atome hydrogénoïde

• Potentiel de Coulomb

-20 - 10 10 20zHa.u.L

- 1

-0.8

- 0.6

- 0.4

-0.2

EHa.u.L ) 4(

)(

0

2

r

eZrV

de symétrie sphérique

Solutions en coordonnées polaires


• Potentiel de Coulomb

) 4(

)(

0

2

r

eZrV

de symétrie sphérique

Solutions en coordonnées polaires

x

y

z

r

222 zyxr

r

zzr arccos cos

x

y

x

y arctan tan

Hamiltonien en coordonnées polaires

r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

rr

rrTR

22

2 1

2ˆ


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

rr

rrTR

22

2 1

2ˆ

2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

rr

rrTR

22

2 1

2ˆ

2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L

2222 ˆˆˆˆzyx LLLL


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L

i

Lz

ˆ


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L

i

Lz

ˆ

0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L

i

Lz

ˆ

0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH ) ˆ]ˆ,ˆ[ ( cba LiLL


0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ ,0]ˆ,ˆ[ 22 zz LLLHLH ) ˆ]ˆ,ˆ[ ( cba LiLL

Il existe des fonctions propres communes à H, L2 et Lz

fonctions propres communes à L2 et Lz: Harmoniques sphériques

• fonctions propres de Lz

i

Lz

ˆ imimz emeL ˆ ,...2,1,0)2( mee imim



i

Lz


• fonctions propres de L2

2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL

imef ) () ,( essayons:



i

Lz



2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL


) ( ) (sin

) (sin

sin

12

222

ff

mf



i

Lz



2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL


SOLUTIONS:

) (cos) (, lmml Pf Fonctions de Legendre

||,.....3,2,1,0 )1( 2 mllll



i

Lz



2

2

222

sin

1sin

sin

1ˆ

L 0]ˆ,ˆ[ 2 zLL

),() (cos) ,( ml

imlm YeP

Fonction de Legendre ||,.....3,2,1,0 )1( 2 mllll

Harmonique sphérique


imlm

ml ePY ) (cos) ,(

lm

l

,..,2,1,0

,.....3,2,1,0

) ,()1() ,(ˆ 22 ml

ml YllYL

) ,() ,(ˆ ml

mlz YmYL

fonctions propres communes à H, L2 et Lz: Orbitales atomiques

r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2

Essayons: ),()() ,,( mlYrRr


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2


)()( ) 4(

2

)1(ˆ0

2

2

2

rERrRr

eZ

r

llTR


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2


)()( ) 4(

2

)1(ˆ0

2

2

2

rERrRr

eZ

r

llTR

Solutions:0/)()( naZr

nlnl erLrR

Polynôme de Legendre

Rayon de Bohr


r

eZ

r

LTH R ) 4(

2

ˆˆˆ

0

2

2

2


)()( ) 4(

2

)1(ˆ0

2

2

2

rERrRr

eZ

r

llTR

Solutions:

0/)()( naZrnlnl erLrR )1(,..3,2,1,0 ,

2

2

lnRyn

ZEn


• Solutions finales dépendent de 3 nombres quantiques


• Solutions dépendent de 3 nombres quantiques

immllnmln ePrRr ) ( )( ) ,,(

) , ( mlY

harmonique sphérique

partie radiale

Fonctions d`onde




) , ( mlY


partie radiale

....... , 3 , 2 , 1n

Fonctions d`onde




) , ( mlY


partie radiale

....... , 3 , 2 , 1n 1 ... ,1 ,0 nl

Fonctions d`onde




) , ( mlY


partie radiale

....... , 3 , 2 , 1n

llllllm ,1 ,2 ...,.. , 0 ...., ), 2 ( ), 1 ( ,

1 ... ,1 ,0 nl

Fonctions d`onde




) , ( mlY


partie radiale

....... , 3 , 2 , 1n

llllllm ,1 ,2 ...,.. , 0 ...., ), 2 ( ), 1 ( ,

1 ... ,1 ,0 nl

Fonctions d`onde Énergie

2

2

Ryn

ZEn


• Partie (fonction) radiale

a0 = 0.529177 x10-10 m rayon de Bohr

) )4(

a ( 2

20

10 Zemr

e


• Partie angulaire

) cos ) ( ( Pf mlml Harmoniques sphériques


• Quantification de l`énergie:– Énergie dépend de n

seulement

– ( Même résultat que modèle de Bohr )

– État stationnaire dépend de n, l et m

2

2

Ryn

ZEn

mln orbitale mn ) lettre ( .

.

.

.

5

4

3

2

1

0 lettre

h

g

f

d

p

sl


• Quantification de l`énergie:– Énergie dépend de n

seulement

– ( Même résultat que modèle de Bohr )

– État stationnaire dépend de n, l et m

2

2

Ryn

ZEn

mln orbitale mn ) lettre ( .

.

.

.

5

4

3

2

1

0 lettre

h

g

f

d

p

sl

états 2ngn


-20 - 10 10 20zHa.u.L

- 1

-0.8

- 0.6

- 0.4

-0.2

EHa.u.L

-20 -10 10 20zHa.u.L

- 1

- 0.8

-0.6

- 0.4

- 0.2

EHa.u.LAtome hydrogénoïde

1 n

-20 -10 10 20zHa.u.L

- 1

- 0.8

-0.6

- 0.4

- 0.2


1 n 1s

-20 -10 10 20zHa.u.L

- 1

- 0.8

-0.6

- 0.4

- 0.2


2 n

-20 -10 10 20zHa.u.L

- 1

- 0.8

-0.6

- 0.4

- 0.2


2 n 22 2 ,2 110 -p , p, ps

-20 -10 10 20zHa.u.L

- 1

- 0.8

-0.6

- 0.4

- 0.2


3 n

-20 -10 10 20zHa.u.L

- 1

- 0.8

-0.6

- 0.4

- 0.2


3 n

d, dd

p, ps

120

10

3 3 ,3

3 3 ,3

Atkins, figs.(13.6) et (13.8)

couchessous-couche


• Signification des nombres quantiques l et m



• l longueur du vecteur moment cinétique

1 L )( lll




• m 1 composante (Lz) du moment cinétique

1 L )( lll

z mL




• m 1 composante (Lz) du moment cinétique

1 L )( lll

z mL Atkins, fig.(12.33)

Atome hydrogénoïde:nombres quantiques

• n=nombre quantique principal

gouverne l`énergie • l=nombre quantique azimutal

gouverne la grandeur du moment cinétique

• m=nombre quantique magnétique• gouverne la composante z du moment cinétique• gouverne l`énergie dans un champ magnétique (effet Zeeman)

2

2

Ryn

ZEn

1 L )( lll

z mL

)(2

2

, Ryn

ZBE zmn z Bm

Orbitales atomiques

• Représentation polaire:• Partie angulaire seulement ) (cos mlP

) (cos mlP

Orbitales atomiques

• Représentation polaire:• Partie angulaire seulement ) ( mlP

cos

Orbitales atomiques

• Représentations radiales: ou )( rR nl )( 22 rRr nl

)( rR nl )( 22 rRr nl

Orbitales atomiques

• Représentation totale par contours

3pz 3dzz

3dx2-y2 3dxy

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