Blocage de Coulomb et effet tunnel

Boîte quantique

Effet tunnel élastique Effet tunnel inélastique

TR ( )ωZ Principaux tempscharactéristiques

TeRV

=Γtransfert de la charge=taux de transfert tunnel

temps de relaxationdu circuit [ ]CZRT ,min=τ

autres temps( )

F

Ttun

εεεετ

=

∂∂

=ln

htunnel

Coulombien

=

CeC 2

hτ

Energie de charge / blocage de Coulomb

Ve C

CG

QQG

Coulomb: en. électrostatiqueboîte à 1 électronΣ

=CeEC 2

2

GCCC +=Σ

limitations: activation CB ETk <

fluctuations quantiques KT RR > ( ) ( )SehN

ehRK 22 4

,=

2Fλ

2F

SNλ

= cond. tunnel TNhe

RG

TT

2

21==

val. typiques KEfFC C 11 =⇒=Σ

Effets Coulombiens observables pour KTCB RRETk <> ,

La boîte à un électron

Ve C

CG

QQG

VQs

Cs

Niveaux de la boîte

GQQq −=charge sur l’île

G

GGG

UUVUCQCUQ

+=== ;

circuit série équivalent

G

GGSS

GS

CCCQQCVCQ

CCC

++

==

+=111

( ) ( ) ( ) VCqCC

VCqqCC

qC

VCCC

qdqCC

qC

VC

dqCC

CqQC

dqCQdqqUE

GG

G

G

G

S

G

q

GG

S

q

G

GS

G

q

G

Gq

G

=+

−−+

=

−+

=

+

+=

+

−===

∫

∫∫∫

,22

1

21

1)(

222

2

0

000

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−++−=q

iFC VfqqEqE

0

2 εε

( )GC CC

eE+

=2

2

( )

( )

+−+ →

−

−

= >

∑

∑212

exp

expnqg

kTEq

kTqE

kTqEq

q CEkT

q

q

C

21

+n

Boîte supraconductrice: effet de parité

Ve,2e C

CG

QQG

( )∆⋅⋅−∆= VkTD νln

ε

Qubits supraconducteurs Systèmes quantiques controlésà quelques degrés de liberté

many-particle condensatewave function ψ(r) n : nombre de paires de Cooper

ϕ : phase du supraconducteurvariables conjugués:

ϕ and n

quasihole excitations

quasiparticle excitations

Cooper pairs

superconducting gap

ε∆

∆F

E

in =],[ϕ

Y. Nakamura et al.,V. Bouchiat et al.,E. Bibow et al.

Q

CVg

Régime de charge

∆φ >> ∆n

J.R. Friedman et al.D. Vion et al.O. Buisson et al.,

L

Régime de phase

∆φ << ∆n

Boîte à paires de Cooper: qubit de charge

Effet tunnel → Effet Josephson

C,EJC

V

ϕ

q[ ] ( )[ ] ( )ϕϕϕ ˆexpˆ,ˆexpˆ,ˆ iqiiq ±=±⇒= m

q états propres de qétats de charge

( ) ( ) 11ˆexp ±±=± qqqiϕ

transfère une paire de Cooperà travers la jonction

( )

( ) ( )∑

−++−−=

−−=

q

JC

JC

qqqqEqqqqE

EqqEH

112

ˆcosˆ

2

2 ϕ

( )

−−

−

2

2

12

2qEE

EqE

cJ

Jc

Sous-espace (0,1)

( )qEE

C

J

212tan

−=α

12

cos02

sin

12

sin02

cos

αα

αα

+−=+

+=−

q q

q q( )

qEqiqiqqE

qH i

CC ∂

∂−=⇒−=

∂∂ ε

212 ))

( )

( )xJzel

xJ

zc

EE

EqEH

σσ

σσ

+−=

−−−=

21

221

Variante: boîte à deux ports

V⇑

0

2ΦΦ

≈ πθ

1ϕ

EJ/2

q( )

ϕθ

ϕϕ

cos2

cos

coscos2 21

J

JJ

E

EH

−=

+−=

1221 ,

2ϕϕθϕϕϕ −=

+=

2, 12

21qqKqqq −

=+=

[ ] [ ] iKiq == ,,ˆ,ˆ θϕ

L2

22

0

ΦΦ

− πθ bloque θ

canonique classique⇒

EJ* modulable

0

* cosΦΦ

= πJJ EE

q

πθ 2/

2/1=q0=q

θ θ

différence de courant mesurable, sauf pour

[ ]ππθ 2mod,0=⇒ grille: manipulation (entrée)

boucle: lecture (sortie)

Mesure de la charge moyenne avec un SET supra

SET

C-pairbox

Capacitive coupling

V. Bouchiat 1998

Le transistor a un électron (SET-normal)

UV

C C'

CG

U

C C'

-V

Pas de passage tunnel à travers C: boîte a un électron avec charge d'offset q=CV

CG

Pas de passage tunnel a travers C: boîte a un électron avec charge d'offset q'=-C'V

.p

E

.p+1

0

0*

.p

E

.p+1

0

10*

1-1

Indicede flux

( ) ( )2'' qUCenEnE GC −−=

( ) ( )2'' qUCenEnE GC −−=

eV/2 eV/2eV eV

I-V:transfert sequentiel de charge (stochastique)

( )nP

taux de transition vers l’état de charge n, à partir du reservoir gauche

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )kqchqileGkqkG

G nEfeVfddRe

n εεδεεεε −+−+=Γ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

112

r2

221 TVVhe

R ileileGGG

νν=

Coef trans.moyen

def: ( ) ( ) GchG eVnEn −=∆

G∆

D∆

GeV

DeV( )nEch

( ) ( )( ) 1exp

12

−

∆∆

=Γ

kTnn

Ren

G

G

GG

rbasse T ( ) ( ) 0,0 →Γ>∆ nn GG

r

processus inverse:principe de bilan détaillé

( ) ( ) ( )G

GGG Re

nnn 2,0 ∆=Γ<∆

r tunnelinggain d’énergie

( )nGΓs

( ) ( ) ( )nkT

nn GG

G Γ

∆=+Γ

rsexp1

transfert 1±→ nn

( ) ( )nn GG Γ+Γrs

( ) ( )nn DD Γ+Γsr ( )1−nP

transfert nn →−1

( )1−Γ nG

r( )1−Γ nD

s

( )1−nP( )1+Γ nG

s( )1+Γ nD

rtransfert nn →+1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]111111,, +Γ++Γ++−Γ++−Γ−+Γ+Γ+Γ+Γ−= nnnPnnnPnnnntnPtnP DGDGDDGG

rssrsrrs&

flux entrant

Flux sortant

0, état stationnaireLimite n/n+1kT <Ech

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnn

nnnPDDGG

DG

Γ+Γ+Γ+Γ+Γ++Γ

= srrs

rs11 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnnneIDDGG

DGDG

Γ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ−+ΓΓ

= srrs

vsrv11

Caractéristiques d'un SET

V

I

en fonction du bias en fonction de la grille

U=0GC

eU2

=

tRVI

4=

cE−

cE

−=

eEV

RI C

t21

( ) ( )1111,+Γ

+Γ

=Γ

Γ−= ++ nneI

DG

( ) ( ) ( )DG

DGDDGG VVe

nn−∆∆

∝Γ∆∝Γ∆∝Γ −+ ,,

G∆

D∆

GeV

DeV

Caracteristiques I-V (high T)

SET métallique- basse T

J. Pekola et al.: PRL73, (1994)

CB ETk < high-T CB ETk >

−=

TNkeVg

TkE

GG

BB

C

T

1

TkE

GG

B

C

T 6=

∆eTkNV B439.52/1 =

N: # of junctions

SET: N=2

thermométrie primaire

Spectroscopie SET d'une boîte quantique

UV/2

C C'

CG-V/2

Stability diagram: diamonds=blocked conductance

niveaux de l’île

2)1()2( ε+−EE

1)0()1( ε+−EE

0)1()0( ε+−−EE

2Ve

2Ve−

GeU

Spectroscopie de conductnce:Position du pic= nnEnE ε+−− )1()(

(Ishikuro et al. APL71, 3691 (1997).)

Effets de charge dans les MOSFETs « ultimes »

Boeuf et al. (ST-Microelectronics)

non-overlapping gatesSpeed:

formation ofa quantum dot

Tunnel barriers at large Vg

Statistique des pics: loi de Porter-Thomas

x

Fonction d'ondes des fils

NN+1

Fonction d'ondes de l'état N

Correlation entre tG et tD via ψΝ

Loi de Porter-Thomas

H=0, ensemble orthogonal, ν=2

Η0, ensemble unitaire, ν=4

22

22

2

DG

DG

GG

tt

tt

t

+∝Γ

∝Γ

( ) ( )∫−=2/

2/ ,, ,w

w DGNDG dyyxyt ψξ

( ) ( )

ΓΓ

−

ΓΓ

Γ−=Γ

−

0

12/

00 2exp

2!12/2νν

νν

ν

P

Mécanique des circuits quantiques

Objectif: separer les degré de liberté du SET duCircuit externe

( ) ( ) ( ) ( ) 2211

222

22

22

11

2

coscos22

222

22 ϕϕψ

jj EELe

eqUnqCenq

CeH −−

+−−+−=h

Peut etre obtenu a partir du Lagrangien

Transformation canonique

( ) ( ) ( ) ( )sd pnnn ϕϕϕϕ ,,,,,, 2211 →2

, 2121

ϕϕϕ −=−= dnnn

212211 , ϕϕϕκκ +=+= snnp

2

2

1

1

Cn

Cn

Cp

S

+=

Préserver les relations de commutation !

extboxC HHH += −

( )( ) ( ) d

sjgboxC Enn

CCeH ϕϕ cos

2cos2

22 2

21

2

−−+

=−

Absent dans une analyse classique( )( ) ( )

LeeUpq

CeH

sext 22

222 22

22 ψ

+−−=h

Dynamique d’un circuit LC externe

Qubit: lecture par JQP

VBA Mesure

E

G

Manipulation cohérente (Nakamura)

InstabilitéJQP

U

manipulation

préparationlecture

0

préparation

( )102

1+==E

( )102

1−=G

( )EG +=2

10

manipulation( )CRT=τ

( )0→UOscilationde Rabi

E

G

( )U→0

Processus JQPbias( ) 22

221

22

−−

eUC

eCV

Ce GB 1 paire

( )B

GB eVeUC

eCV

Ce

−∆+

−−

22

12 1QP( )

BGB eVeUC

eCV

Ce 2

2222 22

−

+ 0 paire

I=2e/cycle

Circuit à deux îles

Vg1 Vg2

EJ , Ec

S1 S2

Vb

E'JE'J

Base d’états de chargepnnpnn ds ,,/,, 21

n1 n2

21 ggS VVV +=

12 ggD VVV −=paramètres

Diagramme de stabilité (Vb=0)

bbDg

dbSg

s keVe

CVeVC

nC

ee

CVeVC

nC

eE −

−−+

−−=

2222

124

(nd,ns) min E

Cas supra: couplage Josephson le long des lignes jaunes (deg. électrostatique)

0 4e/3Cg

0|2,0⟩

|0,2⟩

|0,0⟩degeneracy

linesVS

VDT P

Base restreinte d’états0,2,2,0,0,0

e

g0,22,00,0 γβα ++=

Pompes à électrons: standard de courant

Pumping cycle

Diagramme de stabilité: valeurs n1,n2 qui minimisent Eel en function de

C1V1 and C2V2

Zorin et al (1998)

tVPVtV Ω+= cos)()( 011

tVPVtV Ω+= sin)()( 022

p 1+p)'0,0()1,0(

)0,1(

Pothier et al. (1992)

)0,0(

)0,1()0,0(

)'0,0()1,0(

)0,0()1,0(

)'0,0(

Cycle en 3 temps

A

B

C

efI =

( ) 11.0 −< TTCRf

Cotunneling

Etat final:un trou à gauche et un électron à

droite+une paire électron trou dans l'île

Deux états intermédiaires possibles

e

e e

e

t t

qε

'qεkε 'kε2

V

2V

−

( ) kq E εε −→+ 10 ( ) '' 10 qk E εε −→+

kε

'kε

kε

'kε

Théorie des perturbations au second ordre

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22

2

22 210

110

1232 kTeV

EERR

VVIG

t

K ππ

+

−→

+→

==

( )

2

2234

=

ct

K

res

co

EeV

RR

GG

π

basse T

( ) 3VVI ∝

valeurs typiquesRt=400 kΩRK=26 kΩ

4102 −⋅=resco

seqII

petit sauf si Iseq bloqué

Pompes à électrons: standard de capacitance

U1 U2 U3 U4 U5 U6V CSS

Pout C

QU =

J. Martinis et al (1999)

Multiple junction:suppress cotunneling

qε

'qεkε 'kε2

V

2V

−

Cotunneling: conserves energyhigher order in tunneling

710−≈∆CCNIST 1999

triangle métrologique:

Josephsoneffect

Electronpump

QuantumHall effectV I

sec-1f

ehV2

=efI =

he

sppGH

2

12 ±=

+= teVvVV

h2sin0CII >

Josephson junction:2 superconductors

separated by oxyde layer

6.4830

=Φ

=VfJ GHz/mV

1610−<∆

J

J

ff

Most accurate standard

few pA

remplacer le kg

accuracy: 710−

need more current!

accuracy:1010−=

∆

H

H

GG

Double-île comme qubitn1 n2 ( )xJzel EEH σσ +−=

21

+= bd

gel VV

CC

eE32

el

J

EE

2tan =α

2,02

cos0,22

sin

2,02

sin0,22

cos

αα

αα

+−=

+=

e

g

États propres

+= bs

gs VV

CC

eE34

JE sE

eVB

Spectroscopie tunnel

VBAA

Mesure

IIe

g0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

V D (m

V)

VS (mV)

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100

V B= -75µV

V D (mV)

V S (m V )

Grenoble: Lafarge, LevyO. Buisson, F. Hekking

Transformations adiabatiques

11.5

2

-0.5-0.25 0 0.25 0.5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

11.5

2

-0.5-0.25 0 0.25 0.5

T point P point

0 4e/3Cg

0

VS

VD

P|2,0⟩|0,0⟩

|0,2⟩

|0,0⟩|2,0⟩

|0,2⟩

|e⟩ cycle -I≤4ef

0 4e/3C

0

P

|2,0⟩

|0,2⟩

|0,0⟩

I≤2ef

VS

VD

|0,0⟩

|2,0⟩

|0,2⟩

Geometric description

α

β

γ0,02,00,2 γβα ++=sevolution of state

motion of point (|αs|, |βs|, |γs|) in the abstract space of charge states

( ) ( )rr ses Csi ),(γ⇒

∫ ∇=C

dssiCs rrr r )()(),(γ

),(4 CsΩ=

geometrical interpretationof Berry's phase in space ofcharge state.

|0,0⟩

|0,2⟩

|2,0⟩→ |0,2⟩

Observable: geometrical current

chargetransferred

phaseacross

( )CQ γϕ∂∂=

eiQ 2],[ =ϕ

Effect of tunneling

2π

rotations

elementary charged transferred throughcentral junction during evolution dr:

infinitesimal z rotation

( ) φβααββα ddd 22 +=−

( )∫ −= αββαπ

ddeQ 8Q(C)

γ(C)

|2,0⟩

SQUID

ΦDC

δΦ(t)I(t)

Ce Re

Le

IDC Vm

Quantum circuit Read-out

SQUID: manipulation and quantum measurements

Environment circuitControl line

15µm

sample:- MQT at zero-flux- no MQT at other flux

(Presence of flux noise…)

φ(t)

ϕ

-9

-6

-3

0

3

6

9

-500 -250 0 250 500

I p

V (µV)

Escape measurements

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Esca

pe p

roba

bilit

y

Ib (µA)

41 mK150 mK227 mK392 mK

∆t=50µs

ϕ

U(ϕ)

MQT

TA

Currentbiased

0

Ib

Read out<V>

t

t

échappement

( )ϕαω

ϕσωϕωˆ)(

ˆˆˆˆ 322

t

qH

RFp

ppe

h

hh

+

⋅−+⋅=

Manipulation-1 shot readout

Ib(t)

Φdc

Φ

Ic

Φ (t)V (t)

out

|0> |1> |2>

working point measuring

point

Ib

t

...

Initial state

final state

Readout via escape

Multi-level spectroscopy

Ip =4.9 µAφDC/φ0=0.095

measurement

RF1f=f01

RF2f=variable

Vm

RF2

0⟩

1⟩

2⟩

excitation 1⟩ - 2⟩

RF1

Vm=835mV

Vm=1.09V

Resonant transition 1⟩ - 2⟩

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

9,6 9,8 10 10,2 10,4 10,6

Pec

h

fRF

(GHz)

RF2Vm = 1.09 V

RF1 + RF2V

m= 835 mV

RF2, Vm

= 835 mV

f12f01

f12 appears only when f01 is applied

Oscillations cohérentes

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 5 10 15 20 25 30 35

Pec

h

ARF

= 0.126 U.A.

TR= 9.5 ns

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30 35

Pec

h

TRF

(ns)

ARF

= 0.501 U.A.

TR= 3.2 ns• fort contraste: 80% !!

• Attenuation time = 13 ns

• fRF matches f01• ARF fixed• TRF variable, from 1 to 35 ns

Tmes

TRF

RF

Mesure(Claudon et al PRL 2004)

manipulation cohérente d’un qubit: le quantronium

D. Vion et al. (2003)( ) ϕθ cos

2cos2

Jc EqqEH −−=

( )Ce

22 2

eUCg

2

[ ] iq =,ϕdegree of freedom

qwrite knob:

read knob: θ

0=∂∂

=∂∂

ϕH

qH

Minimal sensitivityto fluctuation

q

Circuit implementation

EG2

sin2

cos ααψ +=

τα 2RFU∝

Oscillations de RabiManipulation par hyper-fréquenceχχ S

r

th

∆=ϕ

αImage de spin, sphère de Bloch

Décoherence: point d’opération !

At degeneracy: nsT 500=ϕ

2% off: sec30nT =ϕ

0=∂∂

qH Insensible au bruit de charge (q)

50.0=q

52.0=q

( )50.0=q

Opérations à deux qubits

- opération sur 2 qubits: C-not

0 0

iχ iχ

1 1

001

1

Implémentation: deux qubits de charge couplé électrostatiquement(Cm) (Nakamura NEC)

C-box #1C-box #2

Point d’opération et manipulation

Lecture par JQPCouplage capacitif

Stockage dans un champ électromagnétique

( )

( )aagH

aaH

EEH

coup

relec

zJxelboxC

+−

−

+−=

=

+−=

σσ

ω

σσ

*

*21

h

h

Boîte couplée a un mode du resonateur

Jain-Cummings

Σ

=CC

eVg grmsh

Box splitting

22Jel EE +=∆

Limite couplage fort rg ωδ h−∆=>>

'

2*

'

2

21

zzreffgaagH σδ

σδ

ω

+∆+

+=

hh

Lamb shiftac-stark shift

trans

mis

sion

δω

2gr −

0

1

2 δω

2gr −

0

1

∆

↓

↑

0

1

2

0

1

rωh=∆

↓ ↑

g2

g22

Etats qubit-habillés

•qubit: préparation, manipulation, opérations a 2 qubits

•décoherence: fluctuations de charge et électromagnetiques

• intégration: projet euroSQIP: mini-(10 qubit) ordinateur quantique.

Perspectives

• mono-électronique: applications métrologiques: I, T, C• nanoelectronique: MOSFETS : limite balistique dans les canauxcours et effets de charge. Modelisation physique des dispositifs

• conductance des molécules organiques et nanotubes:difficultés: contacts, process, integration, scalability....