Des exemples de modlisation au lyce

Au cours de cet atelier, deux membres du groupe culture scientifique de l'IREMd'Orlans ont prsent une activit conue pour des lves de TerminaleScientifique.Au dpart, il s'agit d'un travail de recueil de donnes exprimentales qui trouvehabituellement sa place dans le cadre du cours de physique. La partie thoriquecomporte des questions mathmatiques assez classiques portant sur la rsolutiond'quations diffrentielles.Mais il est moins frquent de runir dans une mme activit toutes les tapes de ladmarche:

recueil de donnes exprimentalesobservation de ces donnes et formulation d'hypothsestude de plusieurs modles et confrontation de ces modles aux donnes

exprimentales

I- Recueil de donnes exprimentales

L'exprience est la chute dans l'air de ballons. Cette exprience filme est visionnesur l'cran de l'ordinateur. Le logiciel AVIMECA permet de suivre au cours de lachute un point li aux ballons et de reprer les coordonnes qu'a ce point toutes les0,04 secondes.Ces donnes peuvent ensuite tre transfres dans EXCEL.

AVIMECA ainsi que diffrents clips vido de chute de solides sont disponibles surle CD ROM d'accompagnement des nouveaux programmes de physique. Nousavons choisi chutair 22g , qui montre la chute dans l'air de ballons ayant pourmasse 22 g et pour volume 5,4 l.La saisie des donnes est une manipulation tout fait inhabituelle pour desenseignants de mathmatiques et qui exige un peu de dextrit. Une fois les donnestransfres dans EXCEL, le travail est plus classique:

On construit un tableau associant, chaque instant t, d'une part la hauteur y(t) laquelle se situe le point et d'autre part la vitesse instantane du point, calculeselon la formule des physiciens:

v t = y t0 . 04 y t0 .04 0 . 08

Le graphique obtenu partir des colonnes t et v(t) est du type suivant :

Graphique 1

II- Observation de ces donnes et formulation d'hypothsesOn observe que la vitesse tend se stabiliser autour d'une valeur limite vlim.

Un texte de Huygens (extrait du Discours de la cause de la pesanteur, 1690),disponible galement sur le CD ROM cit ci-dessus, affirme l'existence de cettevitesse limite et attribue ce phnomne la rsistance de l'air, c'est--dire ce quenous appelons la force de frottement. Il envisage deux hypothses concernant larelation entre force de frottement f et vitesse v :

(H1) f proportionnelle v(H2) f proportionnelle v2

III- tude de plusieurs modles et confrontation de ces modles aux donnes exprimentales

L'application de la deuxime loi de Newton, tenant compte du poids, de la poussed'Archimde et de la force de frottement conduit, avec chacune des deux hypothsesprcdentes, une quation diffrentielle dont la fonction inconnue est v.

1) Hypothse (H1) f = k v

L'quation diffrentielle est du type y ' = a y + b, quation au programme de TS.Les constantes sont dtermines grce aux donnes exprimentales v(0) et vlim.La reprsentation graphique de la fonction solution peut tre compare la courbeexprimentale :

Graphique 2

2) Hypothse (H2) f = k' v2L'quation diffrentielle obtenue, v(t) = 6,945 - C v , n'est pas d'un type classiquepour un lve de TS.

Elle peut tre rsolue dans un premier temps de faon approche par la mthoded'Euler, aprs avoir dtermin la constante C grce la donne exprimentale vlim(6,945 - C vlim2=0).

Puis, dans un deuxime temps, il est possible de la rsoudre de faon exacte, enlcrivant v(t) = 6,945(1 av(t))

et en faisant le changement de fonction inconnue : t =ln1av t 1av t

.

Comme avec la premire hypothse, les constantes sont dtermines en utilisant v(0) et vlim.

On obtient deux courbes trs voisines, qui peuvent tre compares d'une part lacourbe exprimentale, d'autre part la courbe obtenue avec l'hypothse (H1).La deuxime hypothse semble meilleure que la premire, mais il est possibled'envisager d'autres hypothses et on n'a pas de mal imaginer qu'une autrehypothse, plus complexe, pourrait donner une courbe thorique encore plusproche de la courbe exprimentale.

Graphique 3

Cette activit, qui gagnerait tre conduite conjointement par le professeur dephysique et celui de mathmatiques, met en vidence la richesse de la liaison entreces deux disciplines.

La partie purement mathmatique est dtaille, sous forme d'un texte de problme,sur le site acadmique de l'acadmie d'Orlans-Tours. (http://www.ac-orleans-tours.fr Chemin suivre : Lyces-Ressources pdagogiques-Progressions-Exemplesde progressions-Classe de Terminale S-Problme 5 Chute dun solide danslair ).