ATELIER : UTILISATION D’UN THEODOLITE

Dans le cadre de la semaine des mathématiques, les élèves de la classe de 1ère Technicien en Etudes du Bâtiment ont participé à cet atelier.

LE TRAVAIL A REALISER

Les élèves ont dû simuler l’implantation du terrassement d’une

piscine polyester du commerce sur le terrain de rugby du lycée.

Pour cela, ils disposaient des dimensions de la piscine et d’un extrait du

plan de masse du terrain .

Position du théodolite

Dans un premier temps, ils ont dû repérer la position du

théodolite sur l’extrait du plan de masse, celui-ci devant être mis en

station sur la borne sud-ouest de la propriété.

Ils ont ensuite déterminé les coordonnées cartésiennes locales

des points 1 à 7 (fond de fouille) et 8 à 16 (entrée de terre) sur le plan

d’implantation du terrassement.

LES CALCULS

Coordonnées cartésiennes

Points x y

1 9,800 4,800

2 9,800 9,200

3 19,300 9,200

4 19,300 8,739

5 20,850 7,000

6 19,300 5,261

7 19,300 4,800

8 8,000 2,867

9 8,000 11,133

10 19,300 10,300

11 20,400 10,300

12 20,400 9,536

13 21,950 7,000

14 20,400 4,464

15 20,400 3,700

16 19,300 3,700

La plupart des coordonnées ont été obtenues par simple lecture

sur le plan. La détermination des coordonnées cartésiennes des points 8 et

9 était plus difficile.

(D)

Exemple : Détermination des coordonnées cartésiennes du point 9

L’équation de la droite (D) est de la forme y = ax + b.

→ Calcul du coefficient directeur a :

A (9,8 ; 11) (D) yB – yA 10,3 – 11

a = ———— = ————— = -0,0737

B (19,3 ; 10,3) (D) xB – xA 19,3 – 9,8

L’équation de la droite (D) est de la forme y = -0,0737x + b.

→ Calcul de b :

A (9,8 ; 11) (D) yA = -0,0737xA + b

11 = -0,0737 x 9,8 + b

b = 11 + 0,7223

b = 11,7223

L’équation de la droite (D) est y = -0,0737x + 11,7223.

• •

A

B

L’abscisse du point 9 se repère

facilement sur le plan.

Pour déterminer l’ordonnée de ce point,

il faut utiliser l’équation de la droite (D) :

y = -0,0737 x 8,000 + 11,7223 ≈ 11,133.

Une fois la détermination des coordonnées cartésiennes réalisée, les

élèves ont dû les transformer en coordonnées polaires.

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :

- La coordonnée radiale exprime la distance D

du point à un point central appelé pôle

(équivalent à l’origine O des coordonnées

cartésiennes).

- La coordonnée angulaire (azimut) exprime la

mesure dans le sens horaire de l’angle α entre

le point et l’axe polaire (équivalent à l’axe des

ordonnées en coordonnées cartésiennes).

x x

tan α = —— donc α = arctan ——

y y

Les coordonnées polaires sont un système de coordonnées à deux

dimensions, dans lequel chaque point est déterminé par une coordonnée radiale et

une coordonnée angulaire.

O

α

D

x

y

x

y

Coordonnées cartésiennes Coordonnées polaires

Points x y D Azimut

1 9,800 4,800 10,912 71,0051

2 9,800 9,200 13,442 52,0097

3 19,300 9,200 21,381 71,6818

4 19,300 8,739 21,186 72,9323

5 20,850 7,000 21,994 79,3794

6 19,300 5,261 20,004 83,0580

7 19,300 4,800 19,888 84,4818

8 8,000 2,867 8,498 78,0929

9 8,000 11,133 13,709 39,6671

10 19,300 10,300 21,876 68,7912

11 20,400 10,300 22,853 70,2341

12 20,400 9,536 22,519 72,1625

13 21,950 7,000 23,039 80,3469

14 20,400 4,464 20,883 86,2854

15 20,400 3,700 20,733 88,5776

16 19,300 3,700 19,651 87,9417

Exemple : Détermination des coordonnées polaires du point 9

→ Calcul de la coordonnée radiale :

→ Calcul de la coordonnée angulaire (azimut) :

x 8,000

α = arctan —— = arctan ———— = 39,6671 gon

y 11,133

LES ELEVES EN PLEIN CALCULS

IMPLANTATION DU TERRASSEMENT

Après avoir déterminé les coordonnées polaires des 16 points du

plan, les élèves se sont rendus sur le terrain pour y effectuer l’implantation.

Un étudiant en 2ème année de BTS Géomètre-Topographe leur a

expliqué l’utilisation d’un théodolite et la méthode à suivre pour

matérialiser les points à l’aide de piquets topographiques.

Dans un premier

temps, le théodolite doit

être « mis en station ».

Pour cela, il faut poser

l’appareil sur un trépied à

la verticale exacte du

« pôle » ; sa base doit être

parfaitement horizontale.

L’axe polaire doit

également être réglé.

Il faut ensuite paramétrer le

théodolite en lui indiquant la valeur

de l’azimut du point que l’on

souhaite matérialiser.

A l’aide du théodolite, un

élève indique à son camarade tenant

une borne la direction dans laquelle

il doit se placer.

Ces opérations ont été

répétées pour les 16 points du plan

qui devaient être matérialisés pour

l’implantation du terrassement de la

piscine.

Enfin, il faut repérer à

l’aide du décamètre la distance du

théodolite au point que l’on souhaite

matérialiser et y planter le piquet

topographique.