Atelier Probabilités et statistiques Animation Nouveau programme de Terminale Mai 2012.
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Atelier Probabilités et statistiques
Animation
Nouveau programme de Terminale
Mai 2012
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Quelques problèmes pour se motiver
Comment vérifier qu’une chaîne de production vérifie un cahier des charges ?
Peut-on déterminer la probabilité qu’un enfant porte des vêtements 3 mois dès la naissance ?
Comment retrouver la trace des flux migratoires ?
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Un outil: la loi normale N(0,1)
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée N(0,1) si, pour tous réels a et b tels que a ≤ b, on a :
²
21
( ) où f est définie sur P( a < X < par (b) = )2
b x
a
f x dx f x e
• Densité de la loi normale
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La loi normale N( )
• Densité de la loi normale
Une variable aléatoire X suit une loi N ( , ²) si la variable aléatoire
X- suit la loi normale N (0,1).
, ²
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La loi normale: exemple d’activité
Le périmètre crânien en cm d’un enfant de 3 ans suit une la loi normale d’espérance 49cm et d’écart-type 1,6 cm.
1) Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans soit inférieure à 48 cm ?
2) Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans soit comprise entre 45,8 et 52,2 cm ?
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La loi normale: exemple d’activité
Le périmètre crânien en cm d’un enfant de 3 ans suit une la loi normale d’espérance 49cm et d’écart-type 1,6 cm.
1) Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans soit comprise entre 45,8 et 52,2 cm ?
2) Quelle est la probabilité pour que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans soit inférieure à 48 cm ?
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La loi normale: exemple d’activitéà modifier
X suit une v.a. N(49;1,6²). Avec la calculatrice , on peut évaluer
1.
perimetrecranien.ggb
2.
ou
( 48)P X
(45,8 52,2)P X
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Comment introduire la loi normale en Tale ?
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Pour se rassurer:la planche de Galton
Planche de Galton
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Retour à loi binomiale
p
n tirages avec remise.
X nombre de boules rougesdistributionbinomiale.xls
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La loi binomiale: visualisation
Distribution d’une loi Binomiale
Tableur Géogebra
Planche de Galton
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Distribution de B(38;0,6)
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X suit la loi binomiale de moyenne E(X) = np=m et d’écart type .
On pose alors = .
E(Z) = 0 et σ(Z) = 1 sont indépendants de n et de p.
Z est appelée binomiale centrée réduite.
(1 )n p
pZ
p
X n
(1 )np p
X m
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Avec Z= .
• X prend des valeurs entières k dans [0 ; n ]
• Z prend des valeurs z régulièrement réparties
sur et l’écart entre deux valeurs
consécutives est .
La représentation graphique de Z est donc un diagramme en bâtons qui dépend donc de p et de n
1
;m n m
X m
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Pour comparer deux variables continues, et donc visualiser un histogramme, à chaque valeur de z on fait correspondre un rectangle vertical dont l’aire est égale à P(Z=z).
• La base est un segment de l’axe horizontal de longueur (écart entre deux valeurs consécutives prises par Z).
• La hauteur de ce rectangle est donc .
1
( )P Z z
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Ca marche !Mais pourquoi ?
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La loi normale (Tale)
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Un peu d’histoire…
Bernoulli De Moivre Laplace (1654-1705) (1667-1754) (1749-1827)
Point commun: Volonté de mesurer aussi précisément que possible les fluctuations d’une variable aléatoire binomiale autour de son espérance.
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Ce que fit Bernoulli…
Jacob Bernoulli (1654-1705)
Il est l’un des premiers à aborder l’approche fréquentielle des probabilités.
"Même pour le plus stupide des hommes, l’instinct naturel, et sans aucune instruction, ce qui est remarquable, le conduit à être convaincu que plus on fait d’observations, moins le danger de dévier de son but est grand ».
Il établit la première version de la loi des grands nombres.
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Un peu d’histoire…
Abraham De Moivre (1667-1754)
De Moivre est un protestant qui fut emprisonné suite à la révocation de l’Edit de Nantes. Puis, il émigre en Angleterre où il rencontre James Stirling.
Formule dite de Stirling (à tort ?):
C’est la première rencontre avec la loi normale.
De Moivre, qui fréquenta Leibniz et Newton, utilise les techniques de calcul infinitésimal.
! 2n
nn n
e
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Un peu d’histoire…
Abraham De Moivre (1667-1754)
Il utilise l’aire sous la courbe de
Et obtient que
Si suit alors
« environ 68% des observations sont au plus à un écart-type ».« environ 95% des observations sont au plus à deux écart-types ».Densitenormale.ggb
2 ²x
nx e
1;2
B n nX
1 1lim 0,682688
2 2
1 1lim 0,95428
2
n
n
XP
n n
XP
n n
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Un peu d’histoire…
Abraham De Moivre
Cette démonstration figure dans The doctrine of chances (1718).
Il généralise ses résultats sans
démonstration au cas où .1
2p
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Un peu d’histoire…
Pierre-Simon De Laplace (1749-1827)
Il démontre que la moyenne arithmétique des erreurs d’observations commises lors de n mesures se comporte approximativement comme une "loi normale"; et l’approximation est d’autant plus précise que n est grand. C’est que l’on appelle aujourd’hui le théorème central-limite, dont le théorème de Moivre –Laplace est un cas particulier.
Ce théorème rend la loi normale…centrale !
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La loi normale
• Observation du théorème de Moivre-Laplace
• Distribution Fonction de répartition
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Applications
Prendre une décision à partir d’un échantillon.
Estimer une proportion