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ATS asservissement

Lyce P. Mends France Epinal

Cours asservissement 1/35

ASSERVISSEMENT

I - SYSTEMES ASSERVIS NOTIONS

A. Structure d'un systme asservi

Nous allons dans un premier temps lister les lments ncessaires pour raliser un systme asservi.

1. Prsentation

Un des objectifs dun systme asservi est de remplacer l'homme dans une tche de rgulation dune grandeur, le rgulateur ajuste alors automatiquement la commande afin de maintenir la grandeur de sortie la valeur dsire. Nous allons, pour tablir la structure d'un systme automatis commencer par tudier le fonctionnement d'un systme dans lequel l'homme est la partie commande .

a) Exemple : "rgulation" de la vitesse du chariot de golf

Le golfeur dcide de la vitesse avec laquelle il veut que le chariot avance en agissant sur un potentiomtre, qui va rgler la tension moteur.

Dans la version industrielle, si le golfeur arrive dans une monte, le chariot va ralentir. L'utilisateur va alors constater cette diminution de vitesse, puis pour maintenir son allure, il va agir sur le potentiomtre afin de demander plus de puissance au moteur et ainsi redonner de la vitesse au chariot.

L'utilisateur devrait faire l'action inverse dans une descente.

b) Schma de structure

On peut donc dfinir la structure de la "rgulation" par le schma suivant

Ici, les actions 'mesurer', 'comparer' et 'rguler' sont assures par l'utilisateur. Un asservissement consiste excuter la mme chose mais de manire automatique avec des composants lectronique (le plus souvent). On retrouve alors la mme structure dans un systme asservi. Cette structure fait intervenir deux chanes, une chane d'action et une chane d'information. Ce type de systme est appel aussi systme boucl.

Chane d'action

Chane d'information

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2. Constituants

(a) Partie commande ou rgulateur:

Le rgulateur se compose d'un comparateur qui dtermine l'cart entre la consigne et la mesure et d'un correcteur qui labore partir du signal d'erreur l'ordre de commande.

Dans exemple ci-dessus, quivalent 'humain' : . . . . . . . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . .

(b) Actionneur:

C'est l'organe d'action qui apporte l'nergie au systme pour produire l'effet souhait. Il est en gnral associ un pr-actionneur qui permet d'adapter l'ordre (basse puissance) et l'nergie.

(ex: . . . . . . . . . . . . .)

(c) Capteur:

Le capteur prlve sur le systme la grandeur rgle ( information physique ) et la transforme en un signal comprhensible par le rgulateur. La prcision et la rapidit sont deux caractristiques importantes du capteur. (quivalent humain : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

3. Informations

(a) Entre Consigne

La consigne, est la valeur que l'on dsire atteindre, cest la grandeur rglante du systme :

.. . . . . . . . . . . . .

(b) Sortie rgule

La sortie rgule reprsente le phnomne physique que doit rgler le systme, cest la raison dtre du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) Perturbation

On appelle perturbation tout phnomne physique intervenant sur le systme qui modifie ltat de la sortie. Un systme asservi doit pouvoir maintenir la sortie son niveau indpendamment des perturbations. ex : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) Ecart, Erreur

On appelle cart ou erreur, la diffrence entre la consigne et la sortie. Cette mesure ne peut tre ralise que sur des grandeurs comparables, on la ralisera donc en gnral en la consigne et la mesure de la sortie.

B. Rgulation et asservissement

1. Rgulation:

On appelle rgulation un systme asservi qui doit maintenir constante la sortie conformment la consigne (constante) indpendamment des perturbations. Ex: Rgulation de temprature

2. Asservissement

On appelle asservissement un systme asservi dont la sortie doit suivre le plus fidlement possible la consigne (consigne variable). Ex: suivi de trajectoire par un missile

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C. Concepts importants

1. Prcision

La prcision est caractrise par lcart entre la consigne et la sortie.

Prcision statique

on appelle prcision statique, lcart entre la sortie et lentre lorsque le systme est stabilis (t+ ). Erreur indicielle: Dans le cas o consigne est constante (chelon) on dfinira lerreur indicielle comme la diffrence entre la sortie demande et la sortie obtenue en rgime permanent. Lerreur peut tre constante, nulle ou tendre vers linfini.

Erreur de tranage Si la consigne est une rampe e(t)=a.t, erreur de tranage lcart entre la droite de consigne et la sortie, cette erreur peut tre nulle, constante ou tendre vers linfini. Prcision dynamique : lcart entre la sortie et lentre pendant lvolution du signal.

2. Stabilit

On dit qu'un systme est stable si pour une entre constante, la sortie reste constante quelles que soient les perturbations. Les courbes de 2 10 sont caractristiques de la rponse dun systme stable, pour une entre constante, la sortie volue vers une sortie constante. La courbe 1 est caractristique dun systme instable, la sortie diverge. On saperoit en comparant les rponses 2 10 que le critre strict de stabilit nest pas un critre judicieux de rglage dun systme asservi. En effet, est-il envisageable quun systme atteigne sa position dfinitive aprs un grand nombre doscillations ?

consigne

rponse

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Dpassement Un critre efficient de la stabilit est le dpassement. Ce critre permet de dfinir la notion de stabilit relative. Le dpassement est mesur par le taux de dpassement. On dfinit le premier dpassement par :

avec S , la valeur finale de la sortie et S (t1) la valeur de la sortie linstant du premier dpassement.

3.Rapidit

La rapidit caractrise le temps mis par le systme pour que la sortie atteigne sa nouvelle valeur. On dfinit, pour caractriser la rapidit, le temps de rponse 5% (t5%), cest le temps que met le systme pour rester la bande des 5% de sa valeur finale. La dtermination du temps de rponse 5% sur les courbes de rponses ci-contre montre que la sortie 2 a le temps de rponse le plus faible, la courbe 1 est la plus lente. Exemple : On donne la rponse ci-dessous.

Calculer le temps de rponse 5%, le dpassement et l'erreur indicielle.

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x

y

Entre x

Sortie y

x

y

Entre x

Sortie y

II - SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS

Cette anne, ltude dasservissement de systmes se fera uniquement dans le cadre de systmes

linaires continus et invariants (ce qui exclue les systmes numriques). Dans ce chapitre, nous allons

dfinir ce que cela signifie.

A. Prsentation

1. Notions de systmes dynamiques et perturbations.

On appelle systme dynamique un systme dont l'tude ne peut tre ralise quen prenant en compte les valeurs passes du phnomne. Les grandeurs de sortie dpendent des valeurs prsentes et passes des grandeurs d'entres. Les phnomnes d'inertie (inertie mcanique, inertie thermique...) influent sur le comportement du systme.

Nous limiterons notre tude aux seuls systmes linaires continus et invariants.

2. Systmes linaires continus et invariants.

a) Systmes linaires

(1) Dfinition

Un systme linaire est un systme pour lequel les relations entre les grandeurs d'entre et de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'quations diffrentielles coefficients constants. Les systmes linaires se caractrisent principalement par deux proprits, la proportionnalit et ladditivit.

(2) Principe de proportionnalit

Leffet est proportionnel la cause :

Si y est la rponse l'entre x, alors y est la rponse .x.

Remarque: L'effet de proportionnalit n'est effectif que lorsque le systme a atteint sa position d'quilibre ou que le rgime permanent s'est tabli.

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(3) Principe d'additivit ou de superposition:

Si y1 est la rponse x1, si y2 est la rponse x2, alors la rponse x1+x2 est

y=y1+y2.

Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant la rponse d'un systme des sollicitations simples de dterminer par additivit et proportionnalit la rponse des sollicitations plus complexes.

(4) Principales non - linarits

La caractristique Entre/Sortie d'un systme linaire

est une droite dont la pente

est appele gain du

systme.

La rponse, en rgime dfinitif, dun systme linaire une entre donne est un signal de mme nature que

l'entre

Seuil Un systme prsente un seuil lorsque la sortie nvolue que lorsque lentre dpasse un seuil mini. Un grand nombre de systme prsente un seuil de fonctionnement. Ex, en mca, ces seuils ont souvent pour origine des frottements secs.

y

Saturation Un systme prsente une saturation lorsque la sortie nvolue plus au-del dune valeur limite. Ces saturations sont dues soit aux limites mcaniques du systme (butes) soit des limites des interfaces de puissance (saturation des ampli-Op).

y

x x

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b) Systmes continus

Un systme est dit continu lorsque les variations des grandeurs physiques le caractrisant sont des fonctions continus du type f(t) avec t une variable continue (en gnral le temps).On oppose les systmes continus aux systmes discrets, par exemple les systmes informatiques.

c) Systme invariant

On dit qu'un systme est invariant lorsque ses caractristiques ne se modifient pas dans le temps.

B. Reprsentation des systmes linaires

Pour raliser une commande automatique, il est ncessaire d'tablir les relations existant entre les entres (variables de commande) et les sorties (variables d'observation). L'ensemble de ces relations s'appelle "modle mathmatiques" du systme

1. Schma physique

Une des reprsentations qui va nous permettre danalyser un systme est bien sur son schma physique (schma lectrique, mcanique, lectronique,...)

Ce type de schma utilise la normalisation de chaque technologie

Schma lectrique - MCC Schma mcanique - Masse Ressort amortisseur

Courbure

La quasi-totalit des systmes prsente des courbures

plus ou moins prononc. Dans la plupart des cas, le systme est approch par une droite passant par lorigine, mais il est aussi possible de linariser autour dun point de fonctionnement.

x

y

Hystrsis Un systme prsente une rponse en hystrsis

lorsque le comportement en monte est diffrent

de celui en descente . par exemple: cycle de magntisation.

Ex :

Le moteur courant continu du chariot peut

tre schmatis d'un point de vue lectrique par

une fm. en srie avec une inductance L et une

rsistance de bobinage R.

La tension aux bornes de l'induit du moteur est

la tension aux bornes de l'ensemble.

On obtient alors le schma suivant :

Le systme se compose d'un ressort, d'une masse M et d'un

amortisseur en srie. Le ressort de raideur k a un fonctionnement symtrique (mme comportement la traction et la compression), FR=-k(l-li) effort dvelopp par le ressort avec longueur initiale.

L'amortisseur a pour coefficient d'amortissement f; effort dvelopp s'opposant au dplacement avec v vitesse de

dplacement de la tige de l'amortisseur par rapport au corps.

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2. Reprsentation par les quations diffrentielles.

Un systme dynamique linaire peut tre reprsent par une quation diffrentielle coefficients constants liant les grandeurs dentre et de sortie.

Lquation gnrale dun systme linaire est de la forme

Rq: dans le cas des systmes rels m n . Nous ne savons rsoudre dans le cas gnral que les quations diffrentielles du premier et du second ordre et dans quelques cas particuliers des quations dordre suprieur. Le problme de lautomatisation est plus complexe que la rsolution puisquil sagit de dterminer la loi dentre x qui permet dobtenir la sortie dsire y. La reprsentation par l'quation diffrentielle ncessite, pour connatre la rponse une entre, de rsoudre l'quation !

3. Reprsentation par la transforme de Laplace

La transformation de Laplace permet de passer du domaine temporelle (variable le temps t) au domaine symbolique (variable : oprateur de Laplace p) est dfinie de la manire suivante :

Les principales proprits de la transformation de Laplace sont rsumes dans les lignes page suivante :

opration Temporelle Laplace

addition f(t)+g(t) F(p)+G(p)

linarit a.f(t) a.F(p)

Drivation

p.F(p)-f(0+)

Si f(0

+) =0 (condition de Heaviside) l'opration de

drivation correspond une multiplication par p :

L(

entre

x

sortie

y

Um

i

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intgration

avec g primitive de f

Si g(0

+)=0, l'intgration (ou primitive) revient diviser

par p :

L(

) =

Thorme de la valeur initiale

Thorme de la valeur finale

L'utilisation de la transforme de Laplace permet de ramener la rsolution d'une quation diffrentielle a une manipulation algbrique. En annexe 1, on donne les transforms de Laplace des fonctions usuelles. Exemple d'application de Laplace : MCC L'quation lectrique du moteur est obtenue partir du schma lectrique vu prcdemment : Um= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Passons dans le domaine symbolique : Um(t)Um(p) , E(t)E(p) , i(t) I(p)

Nous supposons les conditions initiales, nulles (conditions de Heaviside). L'quation temporelle devient : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 2 : Circuit RC

En Laplace, on obtient : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On prend pour lentre Ue(t)=U0, donc dans le domaine symbolique Ue(p)=

.

Us(p) =

Rq : A partir de l'expression de Laplace de Us(p), on peut retrouver l'expression de Us(t) (cf.

annexe 2). On trouve alors : Us(t)=U0(1-

) (solution que l'on aurait retrouve en rsolvant l'quation diffrentielle du 1er ordre)

4. Reprsentation par le schma fonctionnel - Fonction de transfert

Afin de modliser un systme, nous allons utiliser une reprsentation graphique sous forme de blocs.

Chaque bloc du schma caractrise une des fonctions du systme.

Dans chaque bloc, sera inscrite la relation entre entre et sortie du composant : sa fonction de transfert.

quations temporelles :

Ue(t)-Us(t)=R.i(t)

i=C

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a) Fonction de transfert

Un systme linaire continu invariant est dcrit par une quation diffrentielle de la forme :

si on suppose les conditions initiales nulles (conditions de Heaviside), en appliquant la transforme de

Laplace aux deux membres de lgalit, on obtient la relation suivante en Laplace :

Ce rapport entre la sortie et l'entre est appel fonction de transfert ou transmittance.

La fonction de transfert d'un composant ou d'un systme est le rapport : grandeur de sortie sur

grandeur d'entre.

H(p) =

Exemple 1 : Circuit RC. La fonction de transfert du circuit RC est donne par la relation :

HRC(p) =

En utilisant la relation trouve prcdemment, on a : HRC(p) =

Rq : On retrouve la relation obtenue en complexe pour un filtre RC , en remplaant le terme jw par p. Exemple 2 : rducteur engrenages axes // Un rducteur basique constitu dun engrenage Z1 dents (pignon C) et un autre Z2 dents (roue S) permettant de rduire la vitesse angulaire dentre wC du

pignon. La relation entre la vitesse du pignon est de la roue est :

La fonction de transfert du rducteur est donc :

H(p)=

On voit qu'ici, la fonction de transfert est un simple nombre (pas de variable p), un simple gain.

b) Schma fonctionnel (schma bloc)

Un schma bloc peut permettre de reprsenter un systme isol simple.

Ce schma se lit alors : S=H.E

Par exemple, le circuit RC va tre schmatis par le bloc suivant.

L'lment dans le bloc reprsente la fonction de transfert du composant.

On peut galement imbriquer plusieurs blocs afin de reprsenter un systme plus complexe. Chaque

composant du systme est reprsent par un bloc. Les branches entre les blocs portent les variables

intermdiaires globales du systme.

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Exemple : schmatisation du chariot de golf avec rgulation de vitesse est :

Lallure globale du schma renseigne aussi sur sa structure (boucle ouverte, boucle ferme). On

remarque bien qu'ici, on a un systme en boucle ferme, par retour de c sur la consigne par

l'intermdiaire du comparateur.

Lorsque plusieurs blocs sont imbriqus en ligne, on peut les remplacer par un seul bloc. Par exemple, ici,

on a : c= r.m ; m = Hm(p).Um (Hm(p) fonction de transfert du moteur) ; Um =Ubat. et =K.

On en sort : c = r. Hm(p). Ubat.K.

On note Hd la fonction de transfert quivalente aux fonctions des quatre blocs : Hd= r. Hm. Ubat.K

On peut donc remplacer les quatre blocs par un seul, dont la fonction de transfert est le produit des

quatre. On arrive avec le schma page suivante :

A partir d'un tel schma, on introduit la fonction de transfert en boucle ouverte dfinit par la relation :

FTBO =

(produit de toutes les fonctions de transfert)

On dfinit galement la fonction de transfert en boucle ferme, donnant la relation entre sortie et

entre.

FTBF =

=

Chane directe

Chane retour

Avec Hd = r. Hm. Ubat.K : fonction de transfert

de la chane directe

Et Hr = 6

2 : fonction de transfert de la chane

de retour

r =0,04 Ubat=12 V R=2 L=200 H J=2,510-3 kg.m k=0,028 V/rad.s-1

Hd

Hr

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Dmonstration: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exemple du chariot :

FTBO = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FTBF = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Etude des systmes dynamiques - Signaux canoniques d'entres.

Afin d'analyse le comportement d'un systme dynamique, on le soumet des entres typiques

permettant l'analyse de la sortie.

a) signal en chelon

La fonction chelon permet de soumettre le systme une entre constante depuis t=0. Ce signal est le principal signal dtude des systmes linaires. La rponse des systmes linaires du premier et du deuxime ordre ce signal est parfaitement connue et caractristique du systme.(Cf. chapitre suivant) e(t)=E0.u(t) avec u(t) chelon de Heaviside (0 pour t

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Rq : Pour ce type de signaux, on tudiera la fonction de transfert en remplaant p par jw (utilisation des

complexes).

d) Impulsion de Dirac

Cette fonction impossible raliser matriellement permet de

simuler l'effet d'une action s'exerant durant un temps trs bref

(choc; impulsion).

La dfinition thorique est : t0 : (t)=0 et

La transforme de Laplace de ce signal est : (p)=1

III - REPONSE TEMPORELLE DES SYSTEMES LINEAIRES

Dans ce chapitre, nous allons tudier la rponse des systmes linaires un chelon.

A. Systme du premier ordre

1. Dfinition

On appelle systme du premier ordre, tout systme rgit par une quation diffrentielle linaire coefficients constant du premier ordre. Un systme du 1er ordre a une fonction de transfert avec un polynme du 1er degr au dnominateur.

H(p) =

=

On peut obtenir l'quation diffrentielle correspondant cette fonction de transfert par le calcul suivant

:

=

S(p).(1+ .p) = K.E(p)

On repasse alors dans le domaine temporel en remplaant la multiplication par p par l'oprateur

drivation, on obtient :

s(t)+ .

= K.e(t)

2. Rponse un chelon

L'entre considr ici est un chelon unit d'expression : e(t)= E0.u(t) (en Laplace :

)

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La rponse un tel signal est : s(t)=K.E0.

Un autre point important de la rponse exponentielle est le point d'abscisse 3. On alors : s(3)=0,95sfinal . Le temps de rponse 5% d'un systme du premier ordre est donc 3 .

3. Identification par essai indiciel

Lorsque l'on veut connaitre le modle d'un systme, on peut utiliser les proprits vues prcdemment pour trouver la fonction de transfert du systme. Il s'agit d'imposer en entre un chelon connu et on relve l'volution de la grandeur de sortie : Exemple : Afin d'laborer le correcteur d'un convoyeur asservi en vitesse, on souhaite connatre la fonction de transfert de l'enrouleuse. On a donc appliqu un chelon de tension de commande de 0,5 V (de 5,6 6,1 V) et on a relev la vitesse en sortie :

K. E0

0,63K. E0

Tangente l'origine :

pente

H(p)=? U

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B. Systme du deuxime ordre

1. Dfinition

On appelle systme du deuxime ordre, tout systme rgit par une quation diffrentielle linaire coefficients constant du deuxime ordre. Un systme du 2me ordre a une fonction de transfert avec un polynme du second degr au dnominateur.

H(p) =

=

On peut avoir l'quation diffrentielle correspondant cette fonction de transfert par le calcul suivant :

=

S(p).( 2

) = K.E(p)

On repasse alors dans le domaine temporelle en remplaant la multiplication par p par l'oprateur

drivation, on obtient : s(t)+ 2

.

+

= K.e(t)

2. Rponse un chelon

On retrouve diffrent type de rponse suivant la valeur de m (coefficient d'amortissement).

a) m > 1

On a alors un rgime amorti, rgime apriodique. Dans ce cas, la fonction de transfert peut tre crite

comme le produit de deux 'premier ordre'.

H(p) =

=

La rponse est alors :

Les courbes de rponse ressemblent un premier ordre. Une des

diffrences vient de la pente l'origine est ici nulle.

Rq : lorsque la diffrence entre les 2 constantes de temps 1 et 2 est

importante, on peut ngliger le terme avec la constante de temps la

plus faible. On ne conserve que le ple dominant.(constante de

temps la plus grande)

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b) m = 1

On est alors en rgime apriodique critique :

La rponse sera galement assimile un premier ordre.

c) m < 1

On est ici en rgime pseudo priodique. La rponse un chelon va

avoir l'allure suivante :

Son expression est :

Avec

pseudo-pulsation

La pseudo-pulsation de la rponse est donne par la relation suivante : wa = w0. = 2

dpassement

Le premier dpassement est obtenu pour tD = 2 =

On a alors : s(TD)=K.E0.(1+

.

Le dpassement est dfini par d=

=

(

)

=

(100 si on veut d en %)

Plus m est faible, plus le dpassement est fort.

Temps de rponse 5% Labaque suivant donne le temps de rponse 5% pour un systme du second ordre. On constate sur cette abaque deux parties : - pour m>0,7, le temps de rponse augmente lorsque m augmente. - pour m

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diminue.

Le temps de rponse est minimal pour m= 0,7.Labaque donne 0.t5% en fonction de m.

Le choix de m=0,7 correspond gnralement un bon compromis entre dpassement et temps de

rponse.

Rq : On peut utiliser ce critre lors de rglage de correcteur proportionnel. On calcule la fonction de

transfert en boucle ferme. On exprime le facteur d'amortissement en fonction du gain du correcteur,

puis on choisit K de manire avoir m=0,7.

Ex: Dans le cas du chariot de golf, on cherche paramtre le correcteur proportionnel K. Une manire

de dterminer K est de s'assurer un coefficient d'amortissement de 0,7 en FTBF. La FTBF en fonction de

K est donn ci-contre :

. Dterminer K .

On identifie la FTBF avec la forme canonique : . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . Soit . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Identification par essai indiciel

Le principe est le mme que pour un systme du 1er ordre. On impose un chelon d'amplitude E en

entre du systme identifier, on relve la rponse en sortie s(t).

Si la rponse est de forme exponentielle, on assimlera le

systme un 1er ordre. (cf chapitre prcedent)

Si on a une rponse pseudo pridodique, on cherchera

une fonction de transfert sous la forme

en utilisant les formules suivantes :

(pour identifier m, on utilisera plus

souvent des abques plutt la formule)

w0 2

m

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IV -ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES LINEAIRES

A. Rponse frquentielle

Lobjectif de lanalyse frquentielle est dtudier le comportement et la rponse dun systme linaire une sollicitation sinusodale. La sortie du systme linaire sera sinusodale de mme pulsation que le signal dentr mais damplitude diffrente et dphas par rapport au signal dentre.

L'intrt de l'tude frquentielle est de pouvoir ensuite connatre le comportement d'un systme face n'importe quel signal en dcomposer le signal en srie de Fourier.

B. Fonction de transfert complexe

Lorsque le signal d'entre est sinusodal, nous n'allons pas utiliser le formalisme de Laplace, nous utiliserons la fonction de transfert complexe o l'oprateur p est remplac par j.w (w pulsation du signal d'entre)

H(jw) =

C. Outils d'tude

Afin d'tudier un systme partir de sa fonction de transfert complexe, nous disposons de plusieurs outils graphiques. Seul le diagramme de Bode sera rellement tudi en ATS.

1. Diagrammes de BODE

Les diagrammes de BODE se dcomposent en deux

graphiques l'un reprsentant l'amplitude et l'autre la phase de

H(jw).

Dans le premier graphique, on trace la caractristique 20 log

| | en fonction de log w.

La seconde courbe reprsente l'argument de H(jw) en

fonction de log w.

Les diagrammes de BODE conviennent particulirement aux

fonctions de Transfert pouvant tre dcompos en produits de fonctions de transfert.

Soit H(jw)=F(jw).G(jw), alors :

20 log | |=20 log | | + 20 log | | et Arg(H(jw)=Arg(F(jw))+Arg(G(jw))

Il suffit donc d'ajouter les diagrammes des fonctions F(jw) et G(jw) aussi bien sur le diagramme

damplitude que sur le diagramme des phases pour obtenir les diagrammes de H(jw).

Rq : Le trac de ces diagrammes fait l'objet d'un cours parallle afin de pouvoir le consulter plus

facilement lors d'une prochaine sance sur le filtrage.

20 log | |

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Identification frquentiel

La caractrisation d'un systme par son diagramme de Bode peut tre utilise pour trouver un modle

d'un systme partir d'essais frquentiels.

Ex : on veut connaitre la fonction de transfert d'un moteur CC.

La mthode consiste appliquer en entre une grandeur sinusodale connue (frquence et amplitude),

puis relever l'allure de la grandeur de sortie, ceci pour plusieurs frquences d'entre afin de reconstituer

avec plusieurs points le diagramme de bode du moteur. Puis, on identifie le diagramme avec une

fonction de transfert.

Exemple de calcul d'un point du diagramme de bode : on impose en entre une tension de frquence

0,5Hz et d'amplitude 10 V. On obtient les chronogrammes suivants :

On lit : amplitude de : dphasage de :

On peut donc placer sur le diagramme de Bode les points

En gain (0,5 Hz ; . . . . . . . . . . . . . . . . . )

En phase (0,5 Hz ; )

On a procde plusieurs essais similaires en faisant varier la frquence. Ces diffrents essais permettent

alors de reconstituer un diagramme le Bode donn page suivante.

H(p)=? U

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On peut alors en dduire la fonction de transfert du moteur :

2. Courbe de Nyquist

La reprsentation de Nyquist est la reprsentation dans le plan complexe de la fonction H(jw)=Re(H(jw))+Im(H(jw)). Le graphique reprsentant la fonction de transfert doit tre gradu dans le sens des croissants.

3. Courbe de Black

Pour des valeurs de w croissantes, on reprsente ici,

- en abscisse l'argument de H(jw)

- en ordonne 20 log | |

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V - STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS

A. dfinition

Un systme est stable si une entre borne correspond une sortie borne.

B. Condition de stabilit

Considrons un systme quelconque dont on crit la FTBF sous la forme :

)pp()pp()pp(

)p(N

)p(E

)p(S)p(H

n21BF

avec : pi = ples de H(p) rels ou complexes et n= ordre de H(p)

Si on applique lentre une impulsion de Dirac : e(t) = (t) E(p) = 1, la rponse temporelle s(t)

sobtient en dcomposant S(p) en lments simples :

n21BF

pp

N

pp

B

pp

A)p(H)p(S

tnpt2pt1p eNeBeA)t(s

La sortie s(t) est borne si toutes les exponentielles sont dcroissantes :

Si les ples sont tous rels : s(t) ne tend vers 0 que si les ples pi sont tous ngatifs.

Si il y a des ples complexes p1,2 = j )tcos(eCeBeA)t(stt)j(t)j(

conjugus deux deux : s(t) ne tend vers 0 que si < 0.

Conclusion : Un systme est stable si, et seulement si, la fonction de transfert en boucle ferme na pas de ple partie relle positive ou nulle.(ple = racine du polynme au dnominateur) La position des ples de la fonction de transfert en boucle ferme nous renseigne donc sur la stabilit de la fonction de transfert.

H(p) E(p) S(p)

Rponse dun systme stable Rponse dun systme instable

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C. Etude de stabilit partir de la FTBO

On a montr quune condition ncessaire et suffisante de stabilit est que la FTBF ait des ples partie relle ngative. Ceci suppose de connatre lexpression du dnominateur de la FTBF et de savoir en calculer les racines. Or, si lexpression de la FTBF nest pas toujours connue, on connat gnralement la FTBO par sa rponse harmonique (identification). On a donc dvelopp des critres graphiques permettant dtudier la stabilit de la FTBF partir des lieux de transfert de la FTBO.

1. Notion de point critique

On pourrait montrer qu'un systme est stable si, la

pulsation critique c pour laquelle | | = 1

(donc 20.log | | = 0 ), le dphasage est

suprieur -180.

On peut traduire ce critre graphiquement en utilisant les diagrammes de BODE. Les courbes suivantes

montrent les digrammes correspondant chaque cas de stabilit.

Rq : D'aprs ce critre, les systmes du 1er ordre ou 2me ordre sont toujours stables (au sens strict).

2. Marges de stabilit

Les critres ci-dessus sont des critres de stabilit absolu, ces critres ne permettent pas en gnral de

rgler un systme, il faut pour cela dfinir des marges de stabilit, cest dire une distance respecter

entre le point critique (-1) et le lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte. On dfinit la marge de

Gain et la marge de Phase.

On peut calculer les marges de phase et de gain partir des diagrammes de Bode.

S(p) E(p) + -

K(p)

H(p)

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Marge de Phase (MP)

Pour la pulsation critique wc , pulsation pour laquelle | | , (intersection de la courbe REELLE

de gain avec les abscisses) , on mesure la distance entre la courbe REELLE de phase et -180.

Marge de Gain (MG)

On dtermine la pulsation pour laquelle le dphasage est de -180 : 180. La marge de gain est la

distance (en dB) entre la courbe et laxe des abscisses.

Les valeurs usuelles de marges de gain et de marge de phase permettant le rglage sont :

Marge de Gain : 10dB Marge de Phase :45

Exemple: partir du diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte du chariot de

golf, donner la marge de phase du systme sans correcteur (K=1).

MP= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarques :

La prsence dun intgrateur dans une chane daction apporte un dphasage de 90, ce qui

rapproche le FTBO du point critique, et donc tend dstabiliser le systme.

Tout retard est facteur dinstabilit. En effet, un retard T dans une volution temporelle se traduit par

une multiplication de la FTBO par un terme du type eT.p. Ce terme a un dphasage = T. dcroissant

linairement avec la pulsation . Son amplitude est constante et gale 1 (0 dB).

Lincidence dun traitement numrique sur la stabilit peut tre prise en compte en ajoutant un

retard pur T gal la moiti de la priode dchantillonnage Te la FTBO.

VI - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS

A. Dfinitions

On considre le systme asservi dcrit par le schma bloc suivant. Son rle est de faire suivre la

sortie s(t) une loi dtermine en gnral par la consigne e(t). Afin dvaluer la prcision du systme, on

dfinit lerreur (t) un instant donn comme la diffrence entre la consigne e(t) et la mesure Sm(t). La

prcision sera dautant meilleure que (t) tendra vers 0.

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Son tude se fait en utilisant les transformes de LAPLACE. Lerreur (p) rsulte de la somme de :

E(p) : erreur due la consigne E(p) seule problme de poursuite (asservissement)

P(p) : erreur due la perturbation P(p) seule problme de rgulation.

On dtermine lexpression de (p) en appliquant le thorme de superposition : (p) = E(p) + P(p) .

B. Systme non perturb

On considrera ici dans un premier temps que la perturbation est nulle P(p)=0.

Dans ce cas, on peut exprimer l'erreur en fonction de la consigne :

(p) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si l'on crit la fonction de transfert en boucle ouverte sous la forme :

H1(p).H2(p).K(p)=

avec N(0)=1 et D(0)=1, K : gain statique et : classe du systme

On obtient l'expression suivante :

1. Erreur statique

L'erreur statique ( ) s'obtient grce au thorme de la valeur finale :

Nous allons voir quel est l'erreur statique lors de diffrents signaux d'entre.

2. Erreur indicielle

L'entre considre ici est un chelon : E(p) =

. L'erreur statique est donc :

=

On constate donc que :

- Pour = 0 , l'erreur vaut :

Donc, plus le gain statique est important, plus l'erreur sera faible.

- pour 1, l'erreur indicielle est nulle. La prsence d'un intgrateur dans la fonction de transfert

entrane une erreur indicielle nulle.

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Exemple : Calcul de l'erreur indicielle pour le

chariot de golf (sans correcteur), lorsque

l'entre est un chelon d'amplitude 860.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. erreur de tranage

L'entre considre ici est une rampe : E(p) =

. L'erreur statique est donc :

=

- Pour = 0 , la limite tend vers l'infini. La sortie n'arrive pas suivre la consigne.

- Pour = 1,

l'erreur est donc constante et vaut

.

- Pour 2,

, l'erreur est alors nulle.

C. Effet de la perturbation

On reprend le diagramme de dpart, et cette fois, nous allons tudier l'erreur provoque par la

perturbation. Afin de n'tudier que l'effet de la perturbation, on considrera dans nos calculs E(p)=0.

L'erreur due la perturbation est calcule par la formule :

(p) = Sm(p) = K(p).H2(p).[ -P(p)+H1(p). (p) ]

(p).[ 1+ K(p).H2(p).H1(p) ] = K(p).H2(p).P(p)

H1

H2

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On va alors dcomposer H1 et H2 de la faon suivante :

et 2

On a alors :

a) Erreur indicielle

Lorsque la perturbation est un chelon P(p) =

, l'erreur due celle-ci est donc :

On constate que quelque soit le nombre d'intgrations dans H2, H2 ne permettra pas d'annuler l'erreur.

- Par contre, si 1, La prsence d'une intgration avant la perturbation permet d'annuler

l'erreur indicielle.

- Si 2 1 ,

-

Si 2 ,

Exemple du chariot de golf :

En fait, en tenant compte du couple de charge, la modlisation du chariot de golf est :

Dans ce cas l'erreur due la perturbation est donne par la relation suivante :

AN:

6

L'erreur indicielle due la perturbation (couple rsistant constant de 3 N.m) est donc :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

b) Erreur de trainage

L'tude se fait de la mme manire que pour l'erreur due la consigne. On montrerait ainsi que l'erreur

est nulle pour 2.

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Le calcul de la limite suivante

permet de calculer les

valeurs de l'erreur pour les autres cas.

D. Conclusion

Dans tous les cas de figure, on voit quil faut des intgrateurs dans la boucle pour annuler lerreur (t). Si le systme commander nen possde pas (ou pas assez), on a dit quil fallait les apporter avec un correcteur. Cela semble donc facile dobtenir un systme boucl prcis.

Cependant, il ne faut pas perdre de vue quil faut aussi et surtout que le systme boucl soit stable. Or

leffet dun intgrateur sur la phase de la FTBO sera dapporter 90 quelle que soit la valeur de . On

peut se douter que perdre 90 aura forcment un effet ngatif sur la marge de phase M (qui pourra mme devenir ngative) et donc sur la stabilit.

L'autre moyen d'amliorer la prcision est d'augmenter le gain de la boucle ouverte. Le dilemme est alors le mme, une augmentation de K diminuant galement la marge de stabilit

Il faudra donc faire un compromis entre la stabilit (ou plutt les marges de stabilit) et la

prcision.

VII - NOTION DE CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS

A. Prsentation

Nous avons vu dans les chapitres prcdents que les systmes asservis pouvaient prsenter des dfauts, une prcision insuffisante, une stabilit trop relative (voire une instabilit), un temps de raction trop lent, un dpassement trop important, au regard dun cahier des charges. Il est donc souvent ncessaire dintgrer dans le systme asservis un rseau correcteur dont lobjectif est damliorer un ou plusieurs de ces diffrents paramtres sans, dans l'idal, le faire au dtriment des autres. Si lon souhaite amliorer les caractristiques de prcision, stabilit, rapidit du systme il est ncessaire dintroduire dans la boucle de commande un correcteur.

Les correcteurs doivent permettre de raliser le meilleur compromis entre prcision, stabilit et rapidit du systme tudi.

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B. Principaux correcteurs

1. Correcteur Proportionnel, P

a) Principe

Ce correcteur lmentaire est le correcteur de base, il agit principalement sur le gain du systme asservi, il permet donc amliorer notablement la prcision.

Dans le cas dun correcteur proportionnel, la loi de commande corrige u(t) est proportionnelle lcart (t): u(t)=K.(t)

La fonction de transfert du correcteur est donc : C(p) =

= K

Pour les parties commande lectroniques, la ralisation de ce type de correcteur base damplificateurs oprationnels est simple (attention la saturation des amplis).

b) Effet

Nous avons vus que leffet dune augmentation du gain entrane une diminution de lerreur statique, rend le systme plus rapide mais augmente linstabilit du systme.

c) Rglage

Une premire mthode est de faire, dans un premier temps, une tude thorique afin d'obtenir un ordre de grandeur puis ajuster avec des essais pratiques. Rq: les valeurs calcules en thorie ne sont pas exactement les meilleures valeurs implanter dans le systme rel. En effet, le calcul ne prend en compte les diffrentes imperfections du systme (saturation, non linarit)

L'autre solution est d'utiliser des mthodes empiriques partir de diffrents essais.(aborde dans un chapitre ultrieur)

- Pour un systme du second ordre, on peut rgler K de manire avoir en boucle ferme un coefficient d'amortissement m=0,7 (on privilgie ainsi la rapidit du systme). On calcule donc la FTBF sous forme canonique en fonction de K, on identifie les coefficients afin d'exprimer m en fonction de K. Puis, on en dduit K pour avoir m=0,7. (cf page 14) - Pour un systme d'ordre quelconque, on peut rgler K de manire avoir une marge de phase de 45 (contrle de la marge de stabilit). Ce paramtrage se fait par utilisation des diagrammes de Bode de la FTBO.

Ex : Donner la valeur de K afin que le chariot de golf ait une m arge de stabilit de 45.

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2. Correcteur Proportionnel - Intgrateur, P.I.

a) Intgrateur pur

Pour un intgrateur pur la loi de commande u(t) est de la forme : u(t)=

La fonction de transfert dun correcteur pur est C(p)=

=

Ce type de correcteur nest pas ralisable avec un rseau passif (circuit RC) mais une bonne approximation peut tre ralise avec un montage intgrateur base damplificateurs oprationnels.

b) Correcteur PI

Lintrt principal de ce correcteur est dajouter dans la chane de commande une intgration, nous avons vu que la prsence dune intgration dans la FTBO, annuler lerreur statique pour une entre en chelon. Lintrt principal de ce type de correcteur est donc damliorer la prcision, il introduit malheureusement un dphasage de -90 et risque de rendre le systme instable (diminution de la marge de phase).

Le correcteur Intgrateur est en gnral associ au correcteur proportionnel et la loi de commande corrige est de la forme :

u(t)=

La fonction de transfert dun correcteur pur est C(p) =

=

c) Effet du PI

Effet statique (rgime permanent): annule lerreur indicielle (cf. prcision des systmes effet dune intgration)

Effet dynamique (rgime transitoire) : augmente le temps de rponse (systme moins rapide), et peut augmenter linstabilit (introduit un dphasage supplmentaire pouvant aller jusqu' -90).

d) Rglage

Deux paramtres sont rgler dans un correcteur PI : la constante de temps Ti et le gain Kp. On rgle habituellement Ti de manire compenser le ple dominant de la FTBO, c'est--dire que l'on prend Ti gale la constante de temps la plus leve. Kp est ensuite rgl comme pour l'utilisation d'un correcteur proportionnel.

Ex : Pour le chariot de golf, la FTBO, sans correcteur, peut s'crire :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Correcteur proportionnel Intgrateur Drivateur PID

a) Principe

Lintrt du correcteur PID est dintgrer les effets positifs des trois correcteurs prcdents. - amlioration de la stabilit par l'effet drivateur - amlioration de la prcision statique par l'effet intgrateur - amlioration de la dynamique par l'effet proportionnel

La fonction de transfert d'un correcteur PID est de la forme suivante :

La dtermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur PID permet damliorer la fois la prcision (Td et Kp) la stabilit (Td) et la rapidit (Td, Kp).

Le rglage dun PID est en gnral assez complexe, des mthodes pratiques de rglages permettent dobtenir des bons rsultats.

b) Effet

On voit sur les diagrammes de Bode que le correcteur P.I.D se comporte, pour les basses frquences, comme un intgrateur donc le systme sera prcis dun point de vue statique, aux hautes frquences lavance de phase est de +90 donc une amlioration de la stabilit

c) Rglage du correcteur P.I.D

Lobjectif du rglage est de placer le correcteur de telle sorte que, autour de la pulsation critique du systme non corrig, lavance de phase soit positive et suffisante pour ne pas rendre le systme instable.

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Il ny a pas de relle mthode thorique, permettant de calculer les composantes du correcteur, par contre des mthodes pratiques permettent une valuation correcte des coefficients du correcteur.

La mthode la plus rpandue est la mthode de Ziegler Nichols.

La mthode dveloppe par Ziegler et Nichols nest utilisable que si le systme tudi supporte les dpassements.

La mthode consiste augmenter progressivement le gain dun correcteur proportionnel pur jusqu' la juste oscillation. On relve alors le gain limite (Klim) correspondant et la pulsation des oscillations osc.

partir des ces valeurs Ziegler et Nichols propose nt des valeurs permettant le rglage des correcteurs P, P.I et P.I.D

(

)

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Annexe 1

Annexe 2

Transformation de Laplace inverse

La transformation de Laplace inverse consiste rechercher la fonction temporelle qui correspond une fonction F(p) donne. Lorsque la fonction F(p) est sous la forme de fractions rationnelles en p , la mthode utiliser est la dcomposition en lments simples, La fonction temporelle consiste alors en la recherche dans la table prcdente de la transforme inverse de chaque fraction lmentaire. La fonction temporelle correspondante est la somme des fonctions temporelles lmentaires.

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Exemple 2 : Circuit RC (exemple du cours)

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Annexe 3 Diagramme de BODE du chariot de golf :

FTBO :

ce qui donne w0=. . . . . . . . . . . . . . . . . et m =.. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On a donc par identification : 2 . . . . . . . et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les solutions de cette quation sont :

la FTBO peut donc aussi s'crire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les deux pulsations caractristiques sont donc : w1=. . . . . . . . . . . . . .(correspondant la constante de

temps mcanique du moteur) et w2= . . . . . . . . . . . . . . . . . .(constante de temps lectrique)

Trac asymptotique :

Pour w

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Marge de phase :

-On trouve par le graphique la pulsation (que l'on notera w0) pour laquelle s'annule 20 log | |. On

trouve wc =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- On calcule alors la phase exacte pour cette pulsation (le diagramme asymptotique n'est pas assez

prcis). Arg H(jwc)=

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

La marge de phase est donc . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Annexe 4

Critre du revers dans le diagramme de Nyquist : En parcourant dans le sens des croissants le lieu de Nyquist en boucle ouverte F(j) dun systme asservi :

Si on laisse le point A(-1) sa gauche, le systme est stable.

Si on laisse le point A sa droite, le systme est instable.

Si on passe par le point A, le systme est juste oscillant.

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

0 -

-90 -

-180

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