ARITHMETIQUE

I DIVISEURS ET MULTIPLES

1° Division euclidienne

a) Effectuer la division euclidienne de 263 par 15

263 15

8

113 71

263 = 15 × 17 + 8

Dividende

Reste Quotient

Diviseur

Dividende Diviseur Quotient Reste= × +

b) Effectuer la division euclidienne de 1288 par 23

1288 23

138 65

0

1288 = 23 × 56

Le reste est nul

On dit alors que :

♦ 23 est un diviseur de 1288

♦ 1288 est un multiple de 23

2°Définition

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠0On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier n tel que a = n × b

Exemple

♦ 60 = 5 × 12 Donc 12 est diviseur de 60

Les diviseurs de 60 sont :

1 302 43 65 602010 1512

♦ 65 = 7 × 9 + 2 Donc 7 n’est pas un diviseur de 65

Donc 9 n’est pas un diviseur de 65Le reste n’est pas nul

Nombre premier

Un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs 1 et lui-même est un nombre premier

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 sont des nombres premiers

Exemples

II Plus Grand Commun Diviseur

1° Activité.

Ecrire la liste des diviseurs de 42:

1 2 3 6 7 14 21 42 Ecrire la liste des diviseurs de 30

1 2 3 5 6 10 15 30

Les diviseurs communs à 42 et 30 sont :

le Plus Grand Commun Diviseur à 42 et 30 est 6

On note PGCD( 42 ; 30) = 6

1 2 3 6

2°Définition.

a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.Le plus grand commun diviseur aux nombres a et b s’appelle le PGCD et se note PGCD( a ; b )

Remarques :

PGCD ( a ; a ) = a

PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a )

Si b est un diviseur de a alors PGCD ( a ; b ) = b

3° Détermination du PGCD avec la liste des diviseurs

Déterminer le PGCD de 42 et 70

1 42

2 21

3 14

6 7

1 70

2 35

5 14

7 10

PGCD(70 ; 42 ) = 14

Diviseurs de 42 Diviseurs de 70

Diviseurs communs a 70 et 42 : 1 2 7 14

4° Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions successives

a) Les diviseurs communs a 70 et 42 sont : 1 2 7 14

b) Cherchons les diviseurs communs a 42 et 70 – 42

Diviseurs de 42 : 1 2 3 6 7 14 21 42

Diviseurs de 28 :

Diviseurs communs : 1 2 7 14 Ce sont les mêmes

Donc PGCD (70 ; 42) = PGCD( 42 ; 70 – 42 )

c) Nous admettrons Quelques soient les nombres entiers a et b avec a > b PGCD( a ; b) = PGCD( b ; a - b)

1 2 4 7 14 28

d) Application

Déterminer le PGCD des nombres 255 et 102

PGCD ( 255 ; 102 ) = PGCD ( 102 ; 255- 102 )

= PGCD ( 102 ; 153 )

= PGCD ( 153 ; 102 )

= PGCD ( 102 ; 153 -102 )

= PGCD ( 102 ; 51 )

= PGCD ( 51 ; 102-51)

= PGCD ( 51 ; 51)

= 51

PGCD ( 255 ; 102 ) = 51

5° Calcul du PGCD par l’algorithme d’EUCLIDE

a) Nous admettons:

Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs avec a > b.Soit r le reste de la division euclidienne de a par b

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

b) Application :

Déterminer le PGCD des nombres 770 et 198

770 1983176198

1

176

2222

80

176

Le reste est nul.

D’où PGCD ( 770 ; 198 ) = 22

PGCD ( 770 ; 198 ) = PGCD ( 198 ; 176 )

PGCD ( 198 ; 176 ) = PGCD ( 176; 22)

Donc 22 est un diviseur de 176Donc PGCD ( 176 , 22 )= 22

6° Définition.

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD = 1

Si le dénominateur et le numérateur sont premiers entre eux alors cette fraction est IRREDUCTIBLE

7° Rendre une fraction irréductible

a) Définition

b) Réduire la fraction 221323

♦ On calcule le PGCD des nombres 323 et 221

323 221

1102

221 102

217

102 17

60

PGCD ( 323 ; 221 ) = 17

221323

= 17 x 1317 x 19

1319

= D’où

Fraction irréductible