Arc-cohérence et recherche tabou pour une résolution approchée du « FAPP »

Michel Vasquez

LGI2P EMA-EERIE

École des Mines d ’Alès site EERIE à Nîmes

vasquez@site-eerie.ema.fr

9-12 mai 2001 LGI2P EMA-EERIE 2

Plan de l’exposé

Le challenge « FAPP »

Approche générale

Quelques caractéristiques de l ’algorithme

tabou

Résultats

Voies d ’amélioration

Conclusions

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Le challenge « FAPP »

Caractéristiques du problème d ’affectation :

– jusqu ’à 3000 variables

– domaines de valeurs D discrets : |D| jusqu ’à 2087947

– jusqu ’à 67898 contraintes binaires et hétérogènes

Contraintes hors contexte :

– évaluation : 1 heure CPU (500mhz avec 128mo)

– unités d ’œuvre pour la réalisation : 1 mois/homme

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Le challenge « FAPP »

Stratégie de résolution :

– priorité à la recherche de la faisabilité pour un

niveau de repli k fixé

Méthode de résolution :

– recherche locale tabou

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Approche générale

Résolution au niveau de repli k :

– problème de décision

– fonction Tabou(k) recherche une affectation complète des fréquences et

des polarités qui vérifie toutes les contraintes CI et CEM

retourne 0 si une telle affectation est trouvée -1 sinon

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Approche générale

Filtrage :

– niveau de cohérence locale : filtrage de type AC3(*)

diminue la complexité du processus de recherche locale

garantit parfois l ’optimum pour k

Consistency in networks of relations (A. Mackworth AI 8,1977).

Arc-consistency and arc-consistency again (Ch. Bessière AI 65,

1994).

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Approche générale

Filtrage :

– fonction AC(k) élimine les valeurs (fréquence,polarité) qui vident le

domaine d ’une variable voisine dans le réseau de

contraintes

retourne 0 si aucun domaine n ’est vide -1 sinon

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Approche générale

Algorithme général :

debut

k 11

tant que AC(k)=0 faire

si Tabou(k)=0 faire

k k - 1

fin

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Gestion active des contraintes

Les contraintes CI et CEM (k) sont respectées :structure l ’espace de recherche S et le voisinage N(s) (*)

Recherche tabou appliquée à la planification de quotidienne de

prises de vues d ’un satellite (Vasquez&Hao : ROADEF, 1/1998).

Résolution en variables 0-1 de problèmes combinatoires de grande

taille par la méthode tabou (Vasquez : Thèse, 12/2000).

A logic-constrained knapsack formulation & a tabu algorithm for

the daily photograph scheduling of an earth observation satellite.

(Vasquez & Hao : à paraître dans JCOA, 11/2001).

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Espace de recherche et voisinage Une configuration s est une affectation

partielle dont les composantes (f,p) vérifient toutes les contraintes CI et CEM au niveau k

Les voisins N(s) de s sont les configurations auxquelles est rajoutée une affectation et supprimée(s) toute(s) affectation(s) en conflit

La recherche se termine quand :– trajets affectés : |s| = trajets de l ’instance– iter maxiter

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Heuristique de mouvement

Mouvement : ajout + réparation

– parmi les trajets non affectés choisir le couple (f,p)

qui supprime le moins de trajets affectés

– évaluation incrémentale (*)

Références précédentes +

Genetic & Hybrid Algorithms for graph coloring (Fleurent &

Ferland : Annals of Operations Research 63, 1996).

Étude des métaheuristiques pour la résolution du problème de

satisfaction de contraintes et de coloration de graphes (Galinier :

Thèse 01/1999).

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Liste tabou

Durée du statut tabou : fréquence du choix (f,p) pour un trajet donné

Ce sont les couples (fj,pj), des trajets voisins de la nouvelle affectation susceptibles d ’entrer en conflit avec sa valeur (f,p), qui sont interdits pendant cette durée

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Diversification

si Tabou(k)=0

faire k k - 1

sinon Diversification(k)

Si s vérifie : s’ N(s) |s’| |s| alors on ajoute une pénalité à tous les couples (f,p), affectés, voisins d ’un trajet non affecté

Cette pénalité intervient dans l ’heuristique de mouvement pendant la phase de diversification

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Recherche tabou

si Glouton(k)=0faire k k - 1 fin

sinon maxiter nombre de trajetsTant que «l’heure n’a pas sonné» faire

si Tabou(k)=0 faire k k - 1 fin

sinon si Diversification(k)=0

faire k k - 1 finmaxiter maxiter + nombre de

trajetsremise à 0 de la liste tabourepartir depuis s*

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Résultats : apport du filtrage

Dom.Init. Dom.Filt. Gain ko sec.fapp01_0200 26963 12712 52,85% 2 0fapp02_0250 36618 14759 59,69% 1 2fapp03_0300 53536 28212 47,30% 6 1fapp04_0300 61762 21962 64,44% 0 4fapp05_0350 79311 54177 31,69% 7 2fapp06_0500 108024 53034 50,91% 4 6fapp07_0600 109658 69952 36,21% 8 2fapp08_0700 134020 81933 38,87% 4 5fapp09_0800 121824 52948 56,54% 2 6fapp10_0900 197665 122050 38,25% 5 8fapp11_1000 294634 152727 48,16% 7 15fapp12_1500 436967 164613 62,33% 1 70fapp13_2000 320494 144873 54,80% 2 21fapp14_2500 774322 320458 58,61% 3 92fapp15_3000 515606 306127 40,63% 4 24

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Résultats : apport du filtrage

Dom.Init. Dom.Filt. Gain ko sec.fapp16_0260 47293 46622 1,42% 10 0fapp17_0300 64034 918 98,57% 3 0fapp18_0350 73016 1089 98,51% 7 0fapp19_0350 201074 3414 98,30% 5 6fapp20_0420 87077 1886 97,83% 9 0fapp21_0500 113594 7745 93,18% 3 1fapp22_1750 813037 10656 98,69% 6 25fapp23_1800 455735 3265 99,28% 8 9fapp24_2000 567396 8328 98,53% 6 4fapp25_2230 610084 18867 96,91% 2 6fapp26_2300 635123 14217 97,76% 6 4fapp27_2550 588188 93768 84,06% 4 8fapp28_2800 2087947 63597 96,95% 2 66fapp29_2900 1477634 6435 99,56% 5 23fapp30_3000 1942250 80703 95,84% 6 103

17

Résultats : apport du filtrage

kmin kmax kmin kmaxfapp01_0200 4 4 4 4fapp02_0250 2 2 2 3fapp03_0300 7 7 7 7fapp04_0300 1 1 1 11fapp05_0350 11 11 11 11fapp06_0500 5 5 5 6fapp07_0600 9 10 9 10fapp08_0700 5 6 5 6fapp09_0800 3 4 3 8fapp10_0900 6 7 6 11fapp11_1000 8 9 8 11fapp12_1500 4 7 6 8fapp13_2000 5 6 6 6fapp14_2500 6 6 7 11fapp15_3000 5 6 7 11

RL+AC RL

Meilleur et pire sur 8 relances

18

Résultats : apport du filtrage

kmin kmax kmin kmaxfapp16_0260 11 11 11 11fapp17_0300 4 4 4 4fapp18_0350 8 8 8 8fapp19_0350 6 6 6 9fapp20_0420 10 10 10 10fapp21_0500 4 4 4 5fapp22_1750 7 7 7 11fapp23_1800 9 9 9 11fapp24_2000 7 7 7 11fapp25_2230 3 3 10 11fapp26_2300 7 7 7 10fapp27_2550 5 5 11 11fapp28_2800 3 3 9 11fapp29_2900 6 6 8 12fapp30_3000 7 7 11 11

RL+AC RL

Meilleur et pire sur 8 relances

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Résultats : 1hk opt. vk1 svk2 t1 t2

fapp01_0200 4 0 4 203 2 1839fapp02_0250 2 1 16 173 19 19fapp03_0300 7 1 28 835 30 34fapp04_0300 1 1 97 0 26 2595fapp05_0350 11 0 1 1836 1 3571fapp06_0500 5 1 30 764 232 233fapp07_0600 9 1 85 3039 107 433fapp08_0700 5 1 67 1131 21 35fapp09_0800 3 1 71 707 1789 1796fapp10_0900 6 1 74 1877 174 372fapp11_1000 8 1 105 4278 63 139fapp12_1500 4 0 87 2138 2873 2873fapp13_2000 5 0 126 3469 1020 1020fapp14_2500 6 0 211 6302 1875 2950fapp15_3000 5 1 198 4770 2534 2807

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Résultats : 1hk opt. vk1 svk2 t1 t2

fapp16_0260 11 1 382 3864 0 2976fapp17_0300 4 1 4 36 1 1fapp18_0350 8 1 4 55 1 1fapp19_0350 6 1 3 66 16 16fapp20_0420 10 1 6 133 2 2fapp21_0500 4 1 2 12 2 2fapp22_1750 7 1 22 383 76 76fapp23_1800 9 1 16 189 31 31fapp24_2000 7 1 9 91 17 17fapp25_2230 3 1 7 33 19 19fapp26_2300 7 1 8 75 18 18fapp27_2550 5 1 9 46 21 21fapp28_2800 3 1 38 125 165 203fapp29_2900 6 1 25 280 86 86fapp30_3000 7 1 36 798 268 275

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Résultats : 3hk opt. vk1 svk2 t1 t2

fapp01_0200 4 0 4 139 2 10194fapp02_0250 2 1 18 205 12 12fapp03_0300 7 1 28 932 6 7fapp04_0300 1 1 97 0 20 1982fapp05_0350 11 0 1 1683 1 5446fapp06_0500 5 1 37 734 25 30fapp07_0600 9 1 85 3356 109 413fapp08_0700 5 1 67 1131 16 27fapp09_0800 3 1 71 707 1362 1366fapp10_0900 6 1 74 1877 133 282fapp11_1000 8 1 105 4278 96 211fapp12_1500 2 1 57 1263 5384 5388fapp13_2000 3 1 165 2253 7345 7686fapp14_2500 5 0 189 4857 2960 3995fapp15_3000 5 1 187 4774 2060 2455

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Résultats : 3hk opt. vk1 svk2 t1 t2

fapp16_0260 11 1 358 3656 0 8543fapp17_0300 4 1 4 36 1 1fapp18_0350 8 1 4 59 1 1fapp19_0350 6 1 3 66 12 12fapp20_0420 10 1 6 133 1 1fapp21_0500 4 1 2 12 2 2fapp22_1750 7 1 22 383 116 116fapp23_1800 9 1 16 189 25 25fapp24_2000 7 1 9 91 14 14fapp25_2230 3 1 7 33 14 14fapp26_2300 7 1 8 75 14 14fapp27_2550 5 1 9 46 33 33fapp28_2800 3 1 38 125 251 309fapp29_2900 6 1 25 280 66 66fapp30_3000 7 1 36 798 205 209

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Meilleurs résultatsk opt. vk1 svk2 t1 t2

fapp01_0200 4 0 4 139 2 10194fapp02_0250 2 0 9 186 28 606fapp03_0300 7 0 14 715 35 2789fapp04_0300 1 1 97 0 20 1982fapp05_0350 11 0 1 1683 1 5446fapp06_0500 5 0 22 697 2877 3370fapp07_0600 9 0 48 2507 11 2954fapp08_0700 5 0 34 929 68 1285fapp09_0800 3 0 46 652 96 2270fapp10_0900 6 0 34 1545 58 2479fapp11_1000 8 0 25 3334 188 734fapp12_1500 2 1 57 1263 5384 5388fapp13_2000 3 1 165 2253 7345 7686fapp14_2500 5 0 168 4700 10450 10450fapp15_3000 5 1 187 4774 2060 2455

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Meilleurs résultatsk opt. vk1 svk2 t1 t2

fapp16_0260 11 0 5 56 0 1526fapp17_0300 4 0 4 34 1 16fapp18_0350 8 0 4 55 1 1fapp19_0350 6 0 2 51 696 1962fapp20_0420 10 0 6 118 1 20fapp21_0500 4 0 2 10 176 2314fapp22_1750 7 0 15 291 1694 2861fapp23_1800 9 0 16 189 23 454fapp24_2000 7 0 6 71 25 741fapp25_2230 3 1 7 33 14 14fapp26_2300 7 0 8 69 1623 2441fapp27_2550 5 1 9 46 21 21fapp28_2800 3 1 38 125 165 185fapp29_2900 6 1 25 280 66 66fapp30_3000 7 1 36 798 205 209

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Premier bilan

Cette approche hybride :

«recherche tabou / filtrage par cohérence d’arc»

a permis de trouver des affectations optimales vis-à-vis du niveau de repli k pour 27 des 30 instances du challenge

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Améliorations

Efficacité– Perfectionnement de l ’algorithme AC – Gestion dynamique des domaines de fréquences

Qualité– intégration des autres composantes de la fonction

objectif (vk1 et svk2) à l ’heuristique de mouvement

– étude plus poussée du système de contraintes

Corriger les « bugs » de la version actuelle

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Conclusions

Si l ’on conjugue le bon comportement dans le temps et les voies d ’amélioration identifiées :

« algorithme perfectible »

Est-il intéressant d ’hybrider la recherche locale et la programmation par contraintes ???

La méthode tabou est un cadre efficace pour le développement rapide d ’algorithmes de

résolution de problèmes difficiles