Application des vibrations bm5100

27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour

Comportement vibratoire de systmes mcaniques

par Ren BOUDETProfesseur luniversit Paul-Sabatier de Toulouse et lcole nationale suprieure des techniques avances de Paris

a prdiction du comportement vibratoire de systmes mcaniques est fon-damentale et pourtant dans la formation des ingnieurs cette aptitude na

pas la place quelle mriterait. En effet, une mauvaise valuation du niveauvibratoire peut se traduire par :

des amplitudes de dplacement, donc de dformations et de contraintesmal estimes ce qui accentue le phnomne de dtrioration des pices par fati-

1. Gnralits................................................................................................. BM 5 100 2

2. Systmes discrets .................................................................................... 22.1 Systmes un degr de libert.................................................................. 2

2.1.1 Vibration libre (systme non excit) ................................................. 22.1.2 Vibration force................................................................................... 32.1.3 Fonction de transfert .......................................................................... 4

2.2 Systmes n degrs de libert .................................................................. 52.2.1 Vibration libre non amortie................................................................ 52.2.2 Vibration force................................................................................... 5

3. Systmes continus (cas des poutres) ................................................. 6

4. Autres tudes vibratoires ...................................................................... 8

Rfrences bibliographiques ......................................................................... 8

LToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique BM 5 100 1

gue puis fissuration ; un inconfort que nous avons tous ressenti dans certains moyens de

transport ; le fait quune pice va entrer en rsonance et quune gne sonore va aussi-

tt apparatre.Bien sr, nombre de nos moteurs ( explosion, turbine gaz...) sont fonction-

nement priodique et constituent une source dexcitation pour les systmes.Le but des diffrents articles qui suivent dans ce volume est de rappeler les l-

ments qui permettent de : prvoir des comportements avec un suivi dans le temps de lvolution des

positions ; lutter efficacement contre les dplacements non souhaits en procdant

une isolation vibratoire.(0)27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour



COMPORTEMENT VIBRATOIRE DE SYSTMES MCANIQUES ____________________________________________________________________________________

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dBM 5 100 2 Techniques de lIngnieur

Tableau des symboles

A Aire de la section

c Caractristique de lamortissement visqueux

[C] Matrice damortissement

E Module dlasticit longitudinal

Ec nergie cintique

{F(t)} Matrice colonne des forces excitatrices

G Module dlasticit transversal

k Raideur dun lment lastique

[K] Matrice de raideur

m Masse

[M] Matrice de masse

[Mg], Matrice de masse dans la base globale, dans la base locale

M[ ]

, Moments de flexion

Moment en G0 des forces extrieures agissant sur llment isol

N Effort normal dans une poutre

[P ] Matrice de passage composante des vecteurs propres dans la base initiale

T2, T3 Efforts tranchants

U Moment de torsion

U1, U2 Dplacements dans les sections 1, 2

x Variable de position

X Dplacement par rapport la configuration dquilibre

{X} Matrice colonne des paramtres de position par rapport la configuration dquilibre

{Y} Matrice colonne des paramtres de position dans la base partielle des vecteurs propres

Tableau des symboles

Mf2 Mf3

MG0Fext

1. Gnralits

On distingue deux classes de systmes :

les systmes conservatifs pour lesquels il y a un change cons-tant entre les deux formes dnergie : cintique et potentielle (cest--dire nergie de dformation des lments de structure) ;

les systmes dissipatifs pour lesquels on aura dcid datt-nuer les effets en utilisant un amortisseur dissipatif dnergie quipeut tre :

fluide : on utilise les pertes de charge dues la viscosit dufluide,

frottement solide,

dissipation structurale.

De mme, les systmes peuvent tre :

discrets : il existe un nombre fini de paramtres de positiondont on cherche lvolution dans le temps ; nous verrons que cestdans cette situation que les investigations sont les plus riches ;

continus : cest le cas des poutres, des arbres..., pour lesquelsles possibilits danalyse restent limites, il faut procder unediscrtisation qui peut se concevoir par lutilisation des mthodesapproches : Rayleigh, Rayleigh-Ritz, lments finis...

Lquation gnrale du mouvement scrit :

avec X variable de position par rapport la configurationdquilibre.

2. Systmes discrets

2.1 Systmes un degr de libert

Ce sont les systmes pour lesquels ltude est la plus riche.

2.1.1 Vibration libre (systme non excit)

mX cX kX+ + F X( )=exploitation du droit de copie est strictement interdite., trait Gnie mcanique

Systme conservatif (figure 1)Lquation qui rgit le mouvement dun tel systme est :

do : X = A0cos(t + )

avec A0 constante,

pulsation.

Figure 1 Systme conservatif un degr de libert

mX kX+ 0=

km-----

=

m

Position d'quilibre

X (t)


___________________________________________________________________________________ COMPORTEMENT VIBRATOIRE DE SYSTMES MCANIQUES

Systmes dissipatifs (figure 2) frottement visqueux

do : X = B ert

avec B constante,

r racines de lquation mr 2 + cr + k = 0.

Si c2 4 km < 0, loscillation est amortie.

Si c2 4 km > 0, il y a absence doscillation.

2.1.2 Vibration force

Le signal excitateur est une force priodique ou un dplacementimpos.

Dplacement impos d (t) (figure 4)Lquation du mouvement scrit :

soit

avec longueur libre du ressort.

Force priodique F (t)Le comportement du systme tant linaire, on dcompose F(t)

en srie de Fourier :

avec A0 ,

Ai ,

Bi .

Lquation du mouvement scrit :

Figure 2 Systmes dissipatifs un degr de libert

Figure 3 Courbe force - dplacement de matriaux dots dhystrsis

m

mfrottement solideb

frottement visqueuxa

Force F

Dplacement x

mX cX kX+ + 0=

Figure 4 Vibration force dplacement impos

x (t )

d (t )m

mx k x d t( ) 0[ ]+ 0=

mx k x 0( )+ kd t( )=0

F t( )A0

2------- Ai i

2tT

--------- cos Bi i 2tT--------- sin+ i 1=

n

+=

Fi i 2tT

--------- i+ cos2

T--- F t( ) dt

0

T=2

T--- F t( ) i 2

T------- t dtcos

0

T=2

T--- F t( ) i 2

T------- t dtsin

0

T=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique BM 5 100 3

frottement solide

avec F0 force due au frottement de solide.

Si kXmax > F0, on a attnuation de lamplitude de loscillation sui-vant une progression arithmtique.

Si , le mouvement sarrte. frottement structural

On est confront des matriaux ayant des relations contraintes-dformations prsentant une boucle dhystrsis et qui ont lafacult de dissiper de lnergie (figure 3).

Lquation (en vibration libre) du mouvement en variable com-plexe z se met sous la forme :

avec z = x + jy (x dplacement rel),

coefficient damortissement structural, j est comparable jc ; le produit k(1 + j) est appelraideur complexe.

avec x variable de position,

i pulsations.

soit, en notation complexe :

avec z = x + jy (seul x nous intresse ici).

La recherche dune solution particulire, en notation complexe,est vidente :

On en dduit les valeurs de xmax i = |zi|, amplitude de zi, et cellesde i, argument de zi.

mX kX+X

X------- F0=

kXmax F0

mz k 1 j+( )z+ 0=

mx cx kx+ + Fi it i+( )cos=

i 2

T-------=

mz cz kz+ + Fiej it i+( )=

z xmax iej it i+( ) xmax ie

jiejit= =

zi

z ziejit z jizie

jit= = z i2zie

jit i

2 z= =

k mi2

jci+( )zi Fi ziFi k mi

2 jci( )

k mi2

( )2 c2i2+-------------------------------------------------= =27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





Phnomne de rsonance

Le phnomne de rsonance peut affecter diffrentes grandeurs :

le dplacement, dont lamplitude volue en fonction de la pul-sation excitatrice i et passe par un maximum pour une valeur de idite pulsation de rsonance ;

lacclration, dont lamplitude passe par un maximum pourune autre valeur de i ; ceci est prendre en compte lors du trans-port de passagers, les variations de lacclration pouvant tre lorigine de malaises.

Prenons le cas dune excitation harmonique :

F (t) = F0cos(it + )

Sur la figure 5, on peut voir lallure des courbes et en

fonction de pour diffrentes valeurs du coefficient damor-

tissement rduit .

Sur la figure 5 a apparat clairement le phnomne de rsonancede dplacement pour .

La figure 6 montre le phnomne de rsonance du dplacement,de la vitesse et de lacclration.

2.1.3 Fonction de transfert

La fonction de transfert est le rapport dans le domaine frquentiel

Figure 5 Courbes de rsonance et de dphasage pour diffrentes valeurs du coefficient damortissement rduit

xmax module du dplacement x = xmax cos (t + )

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

xmaxF0 /k

ik /m

c

2 km =

= 0

= 0,1

= 0,2

= 0,3

= 0,5 = 1

0 1 2 3 4

0

/2

ik /m

c

2 km =

= 1 = 0,3 = 0,5 = 0,2

= 0,1 = 0

(rad)

Facteur d'amplification de phasage : il reprsente l'amplitude maximale du dplacement en dynamique divise par l'amplitude du dplacement en statique F0/k.

Dphasage : il est gal au retard du dplacement par rapport la force qui en est la cause. On remarque que le passage de la pulsation propre s'accompagne d'un saut de phase.

dphasage b

xmaxF0 /k

facteur d'amplificationa

Figure 6 Courbes de rsonance du dplacement, de la vitesse et de lacclration

xmax

xmax

vmax vmaxmax

max

F0k

F0m

xmax amplitude de la dformationvmax amplitude de la vitessemax amplitude de l'acclration

Rsonance

xmaxF0 k-------------

i

k m----------------

c

2 km-----------------=

i k m=exploitation du droit de copie est strictement interdite., trait Gnie mcanique

entre une excitation et une rponse (tableau 1).

(0)

Tableau 1 Fonctions de transfert

Rponse

Excitation F u

F Transmis-sibilit

T

SouplesseFlexibilit

ComplianceG

MobilitAdmittance

jG

Accl-rance 2G

u RigiditRaideur

K

Transmis-sibilit

T

jT j2T

ImpdanceK/j

T/j Transmis-sibilit

T

jT

Masse apparente

M = K/( 2)

T/( 2) T/j Transmis-sibilit

T

u u

u

u



2.2 Systmes n degrs de libert

Les quations de Lagrange (qui ici sont trs commodes) permet-tent dobtenir le systme dquations :

avec

Comme prcdemment ( 2.1), nous allons tudier les diffrentscas possibles.

2.2.1 Vibration libre non amortie

On a alors : [C ] = [0] et {F(t)} = {0}.


do :

On recherche des mouvements propres cest--dire des configura-tions dans lesquelles les diffrents points du systme vibrent enphase.

On a ainsi des solutions de la forme :

avec forme propre.

2.2.2 Vibration force

Systme non amorti


On peut :

Soit faire un suivi numrique en discrtisant le temps en particu-lier en employant les mthodes de Runge-Kutta.

Soit se ramener ltude de n mouvements un degr delibert : crivons lquation prcdente sous la forme :

On diagonalise [M] 1[K], puis on se place dans la base devecteurs propres. Dans cette base :

{X} = [P]{Y}

[P] est la matrice de passage :

{Y} reprsente les nouveaux paramtres de position du systmedans la base des donnes propres :

Ltude de ce systme est donc bien celui de n systmes undegr de libert.

Dans le cadre de lanalyse modale on peut limiter le nombre demodes propres pris en compte.

M[ ] X{ } C[ ] X{ } K[ ] X{ }+ + F t( ){ }= X{ }x1

xn

=

M[ ] X{ } K[ ] X{ }+ 0{ }=

X{ } M[ ] 1 K[ ] X{ }+ 0{ }=

X{ }

A1A2

An

t( )cos=

Mouvement propreA1A2

An

M[ ] X{ } K[ ] X{ }+ F t( ){ }=

X{ } M[ ] 1 K[ ] X{ }+ M[ ] 1 F t( ){ }=

P[ ]A11 ... A1n

An1 ... Ann

=

Y{ }1

2

n2

Y{ }+ P 1[ ] M 1[ ] F t( ){ }=

x1 A11 ... A1ry1 Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique BM 5 100 5

La matrice [M] 1[K] est diagonalisable.

Les valeurs propres de la matrice diagonalise sont les carrs despulsations propres, les vecteurs propres sont les formes propres.

La matrice dans la nouvelle base scrit donc :

avec [P] matrice de passage vers la nouvelle base,

i pulsations propres.

La solution gnrale scrit :

On passe donc de n paramtres r paramtres.

La relation se transforme en :

On a donc un systme diffrentiel dordre r et non plus dordre n.Les modes retenus doivent tre tels que linformation perdue resteminimale.

Systme avec amortissement visqueux


[M]1[C] et [M]1[K] admettent trs rarement la mme base devecteurs propres. Il est courant dans la base propre de [M]1[K] dene retenir que les termes diagonaux de [P]1[M]1[C][P].

P[ ] 1 M[ ] 1 K[ ] P[ ]1

2

n2

=

X t( ){ }

A11A21

An1

1t 1+( )cos ...

A1nA2n

Ann

nt n+( )cos+ +=

X{ }

xn

An1 ... Anr

yr =

Q[ ] Y{ }

M[ ] X{ } K[ ] X{ }+ F t( ){ }=

Q[ ]T M[ ] Q[ ] Y{ } Q[ ]T K[ ] Q[ ] Y{ }+ Q[ ]T F{ }=

M[ ] X{ } C[ ] X{ } K[ ] X{ }+ + F t( ){ }=27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





3. Systmes continus (cas des poutres)

Lhypothse clef de Bernoulli est trs souvent retenue (figure 7) :les points initialement dans une section droite S se retrouvent aprsdformation dans un plan qui est perpendiculaire la dforme.

Le torseur des efforts intrieurs reprsente au niveau dunesection x1 laction de la rgion x > x1 sur la rgion x < x1 (figure 8) :

Les lois de la dynamique par rapport un repre galilen Rg sontappliques un lment diffrentiel de poutre de largeur dx1 :

avec G0 centre de gravit,

acclration,

vitesse angulaire : ,

m = Adx1 masse de llment de volume ( massevolumique, A aire de la section droite),

oprateur dinertie

; ; sont les composantes, selon les

trois axes, de loprateur dinertie (homogne L4) du modle pou-tre.

Le matriau est suppos comportement lastique. Le mouve-ment du domaine lmentaire se compose dune rotation et dunetranslation :

Rotation :

Translation :

avec

A2 et A3 tant les sections rduites.

Figure 7 Hypothse de Bernoulli

Figure 8 Reprsentation du torseur des efforts intrieurs

x2

x1

x3

S

Section droite

S'

Avant Aprs

x < x1 x > x1

x1

x1 x1 + dx1

Torseur des effortsintrieurs x1

Torseur des effortsintrieurs x1

Oppos du torseurdes efforts intrieurs x1

S

Nx1 T2x2 T3x3+ +

Ux1 Mf2x2 M+ f3x3+

G0

=

m G0( )Rg Fext=IG0

ddt-------- MG0Fext=

d1 dtd2 dtd3 dt

=

Exemple : poutre rectiligne vibrant longitudinalement (figure 9)

IG0 dx

I G0 x1, 0 0

0 I G0 x2, 0

0 0 I G0 x3,

I G0 x1, I G0 x2, I G0 x3,

1x1 2x2 3x3+ +=

u G0( ) u1x1 u2x2 u3x3+ +=

U

Mf2Mf3N

T2T3

GI0

EI G0 x2,

EI G0 x3,EA

GA2GA3

d1dx1----------

d2dx1----------

d3dx1----------

du1dx1----------

du2dx1----------

du3dx1----------

=

m u2 1t2

------------- N x1 dx1+( ) N x1( ) EA u2 1x12

------------- dx1= =

2exploitation du droit de copie est strictement interdite., trait Gnie mcanique

do : (1)

avec u1 dplacement selon laxe x1.Une solution devant satisfaire identiquement cette relation est de la

forme : u1(x, t) = f (x1)g(t).En remplaant u1 par f (x1)g (t) dans la relation (1), celle-ci peut

scrire :

Ce qui donne la solution :

Dans cette mthode, on impose la fonction dplacement. En gn-ral, on retient le dplacement statique.

Les conditions aux limites pour x1 = 0 et pour x1 = L permettent dedterminer les valeurs de et on aura une suite de pulsations propres.

u2 1t2

------------- E---

u1x1

2-------------=

g t( )g t( )----------------

E----

f x1( )f x1( )------------------- 2=

u x1 t,( ) E---- x1 + cos A t +( )cos=

f x1( ) g t( )



Quand on envisage des structures de poutres, les tudes localessont assez striles et les mthodes approches prennent lerelais. Elles sont de diffrents types mais procdent toutes de lamme philosophie. On impose des fonctions de dplacement f(x)que satisfont les conditions cinmatiques (de dplacement) auxlimites et on les considre comme les dformes modales. Ce quipermet dassocier au modle continu un modle discret.

Mthode de Rayleigh

Mthode de Rayleigh-Ritz

Mthode des lments finis

Les nuds jouent un rle particulier car leur dplacement estlinconnue du problme. Le dplacement dun point courant seraexprim en fonction des dplacements des nuds en ayant recours des fonctions dinterpolation.

Figure 9 lment de poutre rectiligne vibrant longitudinalement

Figure 10 Modle de la poutre avec une masse en extrmit

Exemple : poutre de masse m en vibration longitudinale avecune masse M en extrmit (figure 10) :

avec u1 dplacement la section x1 de la poutre, U1 dplacement au niveau de la masse.

U1(t) est la fonction inconnue recherche, x1/L la fonction impose.Lnergie cintique totale est gale :

N (x1)

u (x1 , t )

u (x1 + dx1 , t )

N (x1 + dx1)

u1 x1 t,( ) U1 t( ) x1L------

u1t

----------dU1dt

------------- x1L------= =

Ec12---- M

dU1dt

------------- 2 1

2---- A

u1t----------

2 dx

0

L+ 12---- M m3------+ dU1dt------------- 2= =

Drivons la relation (2) par rapport au temps :

do lquation du mouvement :

dont la pulsation .

Reprenons lexemple prcdent (figure 10).La fonction qui joue le rle de la dforme modale est plus

complique :

u1(x,t) = (a11(x) + ... + ann(x))cos(t + )

les 1(), ..., n() satisfaisant les conditions aux limites cinmatiques.On calcule : lnergie cintique : Ec(t) = Ec max i h(t)

la fonction de force : U1(t) = Umax i H(t)

Dans le cas dun systme conservatif, la minimisation du lagrangien

se traduit par : .

Exemple : poutre en traction-compression (figure 11). Dans le systme daxes locaux , lquation scrit :

do :

dEcdt

----------- M m3------+

dU1dt

------------- d2U1dt2

----------------=

M m3------+ U 1 kU1=

k

M m3------+

---------------------=

i Ec max i U max i + ( )

a

i

----------------------------------------------------------

0=

x y,( )

u P t,( ) U1 t( )U2 t( ) U1 t( )

L----------------------------------------- x+=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique BM 5 100 7

(2)

Lquation du mouvement est issue du thorme de lnergie :

avec et puissances des forces extrieures et des efforts int-rieurs.

(drive par rapport au temps de lnergie de dformation)

avec k = EA/L

12---- m

3------

dU1dt

------------- 2

nergie cintiquede la poutre

nergie cintiquede la masse M

dEcdt----------- PFext PFint+=

PFext PFint

PFext 0=

PFint kU1 dU1dt

-------------=

avec U1(t) dplacement dun point de la section 1, U2(t) dplacement dun point de la section 2, u(P, t) dplacement du point P la section dabscisse x.

Lnergie cintique de la poutre est :

Le dplacement dans la base globale (figure 12) scrit :

au nud 1 :

au nud 2 :

dudt-------- P t,( ) U1

U2 U1L

------------------------ x+=

Ec12---- du

dt--------

2 dm

0

L 12---- U1 U2[ ] m 3 m 6m 6 m 3 U1U2 = =M[ ]

u1xg v1yg+

u2xg v2yg+27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





4. Autres tudes vibratoires

Nous ne dtaillons pas cette partie et renvoyons le lecteur auxarticles concerns des Techniques de lIngnieur.

Cas des rotors

Suivant les vitesses de rotation, le rotor pourra tre considrcomme rigide ou souple.

Rigide : les paliers sont reprsents par des raideurs et desamortisseurs : voir article [7].

Souple : se pose alors le problme de :

vibration de flexion, ce qui sera le cas de machines transmet-tant des couples quasi constants [2] ;

vibration de torsion dans le cas de couple priodique [1].

Bien sr, lquilibrage des rotors [3] permettra dattnuer certai-nes sources dexcitation.

Isolation vibratoireElle est ncessaire lorsque, la conception, on na pas pu attnuer

suffisamment le phnomne vibratoire. Il faut tre conscient que : si la masse augmente, la pulsation propre dcrot ; si la raideur augmente, la pulsation propre crot ; laugmentation des raideurs de liaison fait crotre les pulsa-

tions propres.

On aura recours des liaisons dissipatives. Les articles de la rf-rence [4] ont la vocation de dvelopper cette tude.

Chocs. Excitations alatoiresUne structure peut tre soumise un choc. On devra distinguer

les situations suivantes : la structure garde son intgrit : on utilise lanalyse modale

pour prdire les comportements, le ping test ou test du coupde marteau est largement rpandu ;

Figure 11 Poutre en traction-compression

La matrice de passage de la base locale la base globale est :

avec = cos et = sin

avec

La structure est dcrite, les matrices de raideur de ltude statiquesont conserves, les matrices de masse sont assembles. On prenden compte les conditions aux limites cinmatiques et on obtient :

On est nouveau confront ltude dun systme discret.

y

1 2

x

U1 (t) U2 (t)

PP

L

X

P[ ]

0 0 0 0

0 0 0 0

=

Ec12---- u1 v1 u2 v2 Mg

u1

v1

u2

v2

=

Mg[ ] P[ ]T M[ ] P[ ]=

Mg[ ]

m3------

2m3------

m6------

2m6------

m3------

m3------

2m6------

m6------

2

m6------

2m6------

m3------

2m3------

m6------

m6------

2m3------

m3------

2

=

M[ ] U{ } K[ ] U{ }+ F t( ){ }=

Figure 12 Base globale

1

2

xyg

xg

Rfrences biblTechniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

[1] LALANNE (M.) et FERRARIS (G.). Dynami-que des rotors en flexion. [B 5 110] (1996).

[2] BLANC (H.). Dynamique des rotors en tor-sion. [BM 5 120] et suiv. (2000).

[3] PUGNET (J.-M.). rigides et flexibles. [B

[4] GARNIER (B.). Isolantichoc. [B 5 140] et [

[5] AUGEIX (D.). Analysnes tournantes. [BM 5exploitation du droit de copie est strictement interdite., trait Gnie mcanique

surveiller le fonctionnement et darrter le programme si desanomalies vibratoires sont dtectes par des acclromtres ;

faire un diagnostic de panne (voir article [5]).

iographiquesquilibrage des rotors

M 5 130] (1997).

ation antivibratoire etB 5 141] (1994).

e vibratoire des machi- 145] (2001).

[6] GIRARD (A). Dynamique des structures.Techniques danalyse et dessai [B 5 150](1997).

[7] GOJON (R.). Critres de choix dun palier.[B 5 300] (1996) et [B 5 310] (1997). la structure perd son intgrit : des logiciels spcialiss basssur les lments finis permettent de faire des simulations des pro-blmes de crash dont on comprend tout lenjeu dans le cas de sys-tmes de transport ;

lexcitation est alatoire si elle est non priodique et sur unintervalle de temps long (larticle [6] pose les bases et prcise lesouvrages spcialiss).

tude vibratoire et diagnosticLanalyse du spectre de vibration permet dans le cas de machines de :

Comportement vibratoire de systmes mcaniques1. Gnralits2. Systmes discrets2.1 Systmes un degr de libert2.1.1 Vibration libre (systme non excit)Systme conservatifSystmes dissipatifs frottement visqueux frottement solide frottement structural

2.1.2 Vibration forceDplacement imposForce priodique

2.1.3 Fonction de transfert

2.2 Systmes 2.2.1 Vibration libre non amortie2.2.2 Vibration forceSystme non amortiSystme avec amortissement visqueux

3. Systmes continus (cas des poutres)Mthode de RayleighMthode de Rayleigh-RitzMthode des lments finis

4. Autres tudes vibratoiresCas des rotorsIsolation vibratoireChocs. Excitations alatoirestude vibratoire et diagnosticRfrences bibliographiquesTechniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

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