Application des normes Solvency II en assurance-vie · insurers’ solvency. Solvency rules for...

M é m o i r e d e S t a g e - année universitaire 2006/2007 -

Olga Gornouchkina

Application des normes Solvency II en assurance-vie

�� ETABLISSEMENT D ’ACCUEIL

La Mondiale Europartner Département Technique et Produit

Luxembourg 23 Z.A. Bourmicht L-8070 Bertrange

�� MAITRE DE STAGE

Philippe Schmitt (Actuaire, Directeur technique et produit) [email protected]

�� PERIODE DE STAGE

Du 02 avril au 31 août 2007

D I P L Ô M E U N I V E R S I T A I R E d’Actuaire de Strasbourg « DUAS »

Pôle européen de gestion

et d’économie (PEGE)

61 avenue de la Forêt Noire

F-67085 Strasbourg Cedex

http://actuariat.u-strasbg.fr

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Je tiens à remercier mon maître de stage M. Philippe Schmitt de m’avoir accueillie au sein de son service et de m’avoir guidée dans ce projet. Je remercie toute l’équipe du Service Technique et Produit de LMEP pour leur aide et soutien au cours de mon stage. Je remercie également l’équipe de la Direction de Gestion des Risques du groupe La Mondiale pour leur aide précieuse qui a contribué à l’avancement de mon projet.

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I. GÉNÉRALITÉS............................................................................................................... 7

A. SOLVABILITE D’UNE COMPAGNIE D’ASSURANCE ............................................................. 7 B. REGLEMENTATION EN MATIERE DE SOLVABILITE ............................................................ 8 1. Historique................................................................................................................... 9

1) Les premières règles de solvabilité de l’UE........................................................... 9 2) Solvabilité I – le régime de solvabilité en vigueur dans l’UE................................ 9 3) Calcul de la solvabilité sous les normes de Solvabilité I ..................................... 10 4) Atouts et faiblesses de Solvabilité I ..................................................................... 10

2. La nouvelle réglementation Solvency II ................................................................... 11 1) Les organismes participant au projet.................................................................... 12 2) Structure par piliers .............................................................................................. 12 3) Les études d’impact quantitatives (les QIS)......................................................... 14 4) Les conséquences du nouveau régime.................................................................. 16

II. LES PARTICULARITES DE L’ASSURANCE VIE ............................................. 20

A. QUELQUES NOTIONS CLES ............................................................................................. 20 B. OPTIONS ET GARANTIES IMPLICITES .............................................................................. 21

1) Le lien entre les garanties et les options............................................................... 22 2) Evaluation des provisions..................................................................................... 23

C. LA PARTICIPATION AUX BENEFICES ............................................................................... 25

III. CALCUL DU CAPITAL DE SOLVABILITE (SCR) ............................................ 26

A. L’ACTIF ......................................................................................................................... 26 B. LE PASSIF ...................................................................................................................... 27 1. Modélisation stochastique du rendement de l’actif.................................................. 27

1) Modèle de taux d’intérêt ...................................................................................... 28 2) Obligations ........................................................................................................... 41 3) Actions ................................................................................................................. 41 4) Immobilier ............................................................................................................ 43 5) Loi de la PB distribuée ......................................................................................... 46

2. Calcul des provisions ............................................................................................... 49 1) Evaluation « best estimate »................................................................................. 49 2) Marge de risque.................................................................................................... 50

3. Calcul du capital requis (SCR) : la formule standard ............................................. 54 1) SCR risque opérationnel....................................................................................... 56 2) Calcul du SCR de base (BSCR) ........................................................................... 57

4. MCR ......................................................................................................................... 73

IV. DISCUSSION DES RESULTATS............................................................................ 75

A. PRINCIPAUX COMMENTAIRES METHODOLOGIQUES ........................................................ 75 1. Modalités d’évaluation du risque du marché........................................................... 75 2. La prise en compte ou non des reversements dans le calcul des provisions............ 76 3. Le traitement de l’impôt ........................................................................................... 76 4. Facteur de réduction du SCR lié à la PB future « KC » .......................................... 77 5. Méthode « Cost of capital » .................................................................................... 78

B. PRINCIPAUX COMMENTAIRES DE CALIBRATION ............................................................. 78 1. Le risque de rachat au sein du risque catastrophe .................................................. 78 2. Matrice de corrélation au sein du risque de souscription ....................................... 78

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C. AUTRES COMMENTAIRES QUALITATIFS ......................................................................... 79 1. Les principales difficultés rencontrées..................................................................... 79 2. Moyens ..................................................................................................................... 79 3. Fiabilité et précision des résultats ........................................................................... 79

V. ANNEXES....................................................................................................................... 80

A. ANNEXE 1 .................................................................................................................. 80 B. ANNEXE 2 .................................................................................................................. 82 C. ANNEXE 3 .................................................................................................................. 83 D. ANNEXE 4 .................................................................................................................. 84

VI. LISTE DES ABBREVIATIONS............................................................................... 86

VII. BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................... 87

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RESUME La notion de solvabilité est essentielle dans l’exercice de l’activité d’assurance. Pour protéger les intérêts des assurés, les autorités de contrôle exercent une surveillance régulière de la solvabilité des assureurs. Les normes en matière de solvabilité pour les compagnies d’assurance vont subir un changement significatif avec l’introduction du dispositif Solvabilité II (« Solvency II ») dans l’Union Européenne. Jusque-là, l’approche en vigueur était relativement simple à appliquer, mais complètement inadaptée à la situation réelle d’une compagnie d’assurance vis-à-vis des différents risques. L’évaluation des provisions mathématiques à leur valeur de marché sera une des avancées importantes par rapport à la réglementation en vigueur. Le projet Solvabilité II introduira un nouveau régime caractérisé par une prise en compte de tous les risques encourus par les assureurs. Des garanties pour ces risques devront être détenues sous forme de capital de solvabilité. Au plan théorique, il s’agit du capital nécessaire pour s’assurer qu’à l’horizon d’un an, l’actif en valeur de marché est supérieur au passif en valeur de marché, dans 99,5% des cas. La version définitive du projet Solvabilité II n’existe pas encore. Les hypothèses et les techniques de calcul sont encore en train d’être testés, notamment par les compagnies d’assurances dans le cadre des études d’impact quantitatives. Le groupe la Mondiale, dont La Mondiale Europartner fait partie, a participé cette année à l’étude d’impact N°3 (QIS3). Dans ce mémoire nous présentons les théories et hypothèses sous-jacentes aux règles de Solvabilité II dans le cadre de l’assurance vie. Les techniques de calcul développées par l’équipe de gestion des risques sont présentées et expliquées. Le calcul du SCR selon la formule standard est présenté en détail. Les principes méthodologiques appliqués par La Mondiale ont été issus:

- des spécifications techniques élaborées par le CEIOPS pour l’étude d’impact N°3 et des questions / réponses qui ont été diffusés ;

- des échanges techniques qui ont eu lieu avec les associations d’assureurs européens (CEA et AISAM) ;

- des échanges techniques qui ont eu lieu avec les membres de la Fédération Française des Sociétés d’Assurance (FFSA) ;

Compte tenu de l’imprécision et du caractère relativement incomplet des spécifications techniques fournis dans le cadre de la QIS3, on a du procéder à un certain nombre d’interprétations.

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ABSTRACT The notion of solvency is a crucial one when it comes to insurance business. In order to protect the policyholders’ interests and rights, the authorities pay a particular attention to the insurers’ solvency. Solvency rules for insurance companies in the European Union will undergo a significant change with the introduction of the new Solvency II system. Up till now, the assessment of the required capital was quite simple, but it did not allow for the true reflection of risks incurred by the company. One of the important improvements would be the assessment of technical provisions at their market value. The Solvency II project will introduce a new approach, which would take into account most of the risks inherent to the insurance business. The guarantee for these risks would be held in the form of solvency capital, calibrated so that in one year’s time the market value of company’s assets is greater than the market value of its liabilities with a probability of 99,5%. The final version of the Solvency II project isn’t ready yet. The assumptions and valuation techniques are still being tested. The insurance companies take part in this process by participating in the Quantitative Impact Studies. The insurance groupe La Mondiale, of which La Mondiale Europartner is part, participated in the third quantitative impact study (QIS3). In this paper we present the theories and assumptions underlying the Solvency II rules at their today’s stage of advancement. The valuation techniques developed by La Mondiale department of risk management are presented and explained, as well as the details of the solvency capital requirement standard formula. The principles applied by La Mondiale are based on:

- Technical specifications provided by CEIOPS for the QIS3 and as well as question & answers published for this purpose;

- Technical exchanges with some of the European insurers’ associations (CEA and AISAM);

- Technical exchanges with the members of the FFSA. The QIS3 technical specifications being not very precise and incomplete, some interpretations had to be made.

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II.. GGÉÉNNÉÉRRAALLIITTÉÉSS

A. SOLVABILITE D’UNE COMPAGNIE D’ASSURANCE La notion de solvabilité est essentielle dans l’exercice de l’activité d’assurance. Pour protéger

les intérêts des assurés, les autorités de contrôle exercent une surveillance régulière de la

solvabilité des assureurs.

Par solvabilité, nous entendons la capacité d’une compagnie d’assurance à respecter à tout

instant ses engagements envers les membres participants et les autres créanciers. Elle est

mesurée par la différence entre les actifs et les engagements pris par l’assureur. Le montant du

capital disponible en plus des engagements réglementés, est appelé la « marge de

solvabilité », dont le but est d’amortir les impacts d’éventuelles variations économiques

défavorables (i.e. grâce à la marge de solvabilité, l’assureur est capable de supporter une perte

plus importante).

En cas d’absence de marge de solvabilité, la probabilité de pertes est égale à la probabilité de

ruine (la ruine étant caractérisée par l’inaptitude de l’assureur de faire face à ses

engagements). Faute de pouvoir augmenter suffisamment son tarif ou d’élargir la mutualité,

l’assureur devra accepter une perte probable, que la marge dont il dispose permettra

d’absorber.

La marge de solvabilité est composée par l’ensemble des ressources constituées notamment

par des fonds propres supplémentaires que les compagnies d’assurance sont tenues de détenir

pour pouvoir faire face aux événements imprévus tels qu’un niveau de sinistres plus élevé ou

des mauvais résultats de leurs placements.

Ces garanties financières complémentaires aux provisions techniques se décomposent en trois

parties :

- la marge de solvabilité (MS) – c’est la marge effective dont la compagnie dispose ;

- la marge de solvabilité réglementaire (le montant en dessous duquel ne doit pas

descendre la « marge de solvabilité ») ;

- le fonds de garantie, égal au tiers de la marge réglementaire.

La MS disponible est constituée par le patrimoine libre de tout engagement prévisible,

déduction faite des éléments incorporels.

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Le patrimoine libre comprend des éléments comptables ainsi que des éléments extra-

comptables :

Les composantes de la marge de solvabilité Vie Non

vie

� le capital social ou le fonds d’établissement constitué

� les réserves réglementaires ou libres (y compris la réserve de

capitalisation)

� le report du bénéfice ou de la perte, net des dividendes à verser

� les emprunts pour le fonds de développement (uniquement pour les

mutuelles)

� les emprunts pour le fonds social complémentaire

� les fonds encaissés provenant de l’émission de titres ou emprunts

subordonnés (sous conditions)

� les réserves constituées à l’adhésion au fonds de garantie

Sur demande et justification :

� 50% du capital non versé

� les rappels de cotisations (si prévu dans les statuts)

� les plus-values pouvant résulter de la sous-estimation d’éléments

d’actifs (non exceptionnelles)

� les plus-values pouvant résulter de la surestimation d’éléments de passif

(non exceptionnelles)

� 50% des excédents futurs de la mutuelle ou l’union (jusqu’en 2009)

� les plus-/moins-values sur instruments financiers à terme

� des pertes

� la part des frais d’acquisition restant à amortir (commissions

escomptées)

� les autres actifs incorporels (frais d’établissement ou de développement)

� les actions propres détenues directement

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Par agrégation des différents éléments, nous pouvons résumer la marge de solvabilité par

l’expression :

MS = Situation Nette Comptable + Plus values latentes

B. REGLEMENTATION EN MATIERE DE SOLVABILITE La connaissance des risques et leur gestion sont essentielles à la stabilité économique dans tous les pays. Par ailleurs, la transparence et les informations exactes sont tout aussi prisées aujourd’hui, car les souscripteurs, les investisseurs et les autres acteurs du marché ont besoin d’informations sur les assureurs.

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Actuellement les organismes d’assurance doivent justifier d’un capital minimum appelé marge de solvabilité, destiné à faire face aux aléas inhérents à l’activité d’assurance. Le système de solvabilité en vigueur aujourd’hui a été mis en place dans les années 1970 et révisé en 2002 ( directive Solvabilité I ou, en anglais, Solvency I). Le passage de Solvabilité I, basé sur des formules, vers Solvabilité II, plus réaliste et basé sur l’estimation des risques, représente un grand changement de paradigme du monde des assurances européennes. Solvabilité II fait partie d’un processus de convergence qui englobe toutes les institutions de services financiers et dont un des éléments de référence serait l’accord de Bâle II pour les banques. Cela va impliquer de profonds changements non seulement dans la réglementation, mais également dans le fonctionnement des compagnies d’assurance et de l’organisation du marché des assurances en général. Par ailleurs, ce nouveau régime, basé sur l’estimation, aussi proche de la réalité que possible, des différents risques, impose des techniques de calcul bien plus complexes que celles du régime actuel. Ces techniques font pour l’instant l’objet de nombreuses discussions. La Commission Européenne, l’organisme en charge du projet, a lancé trois appels de conseils (« calls for advice ») sur les principes et la structure du futur système Solvabilité II. Certaines idées clés ont ainsi pu être identifiées : l’approche basée sur la valeur du marché et calcul du besoin en capital avec un niveau de confiance de 99,5% sur la période de 1 an. Pour comprendre les conséquences d’un tel régime pour les assureurs, des études quantitatives d’impact (les QIS) ont été menées.

11.. HHIISSTTOORRIIQQUUEE

1) LES PREMIERES REGLES DE SOLVABILITE DE L’UE En Europe, la réglementation sur la solvabilité a été énoncée dans deux directives, en 1973 et 1979. Elle imposait aux assureurs de constituer un « matelas » de fonds propres pour faire face aux aléas de leur activité. L’objectif du contrôle de la solvabilité est de mieux protéger les preneurs d’assurance en permettant aux autorités de contrôle d’identifier en amont les cas problématiques parmi les assureurs. Conçue comme une norme minimale commune, la réglementation laissait aux Etats membres de l’UE toute liberté pour imposer une réglementation plus stricte.

2) SOLVABILITE I – LE REGIME DE SOLVABILITE EN VIGUEUR

DANS L’UE La réglementation sur la solvabilité n’a subi que peu de modifications depuis l’adoption des directives dites « Solvabilité I » en février 2002. La législation n’a pas modifié le calcul de la solvabilité, se contentant d’ajouter certaines composantes pour mieux refléter la situation réelle. Elle a renforcé les contrôles en imposant le respect permanent des exigences de solvabilité (et pas seulement au moment de l’établissement des états financiers) et elle a conféré des droits d’intervention étendus aux autorités de contrôle du secteur.

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3) CALCUL DE LA SOLVABILITE SOUS LES NORMES DE

SOLVABILITE I Les capitaux propres et réserves au 31/12/N ont pour but de garantir la solvabilité future de l’entreprise même si celle-ci subit une perte en N+1. Actuellement, l’exigence de marge de solvabilité (EMS) des organismes assureurs est mesurée, quoique de manière indirecte, sur la base du volume d’affaires souscrites (pourcentage des provisions techniques, des primes ou des sinistres), sans prendre en compte de manière actuarielle les risques réellement encourus. Les assureurs doivent détenir des fonds propres équivalents à l’exigence de marge de solvabilité ou au fonds minimum de garantie si celui-ci est plus élevé. Pour l’assurance vie, l’exigence de marge de solvabilité est calculée ainsi :

4% 1 x provisions mathématiques (PM) brutes x taux de rétention

2 en matière de provisions

mathématiques + 0,03% x capital sous risque (CSR) x taux de rétention en matière de capital

sous risque

Taux de rétention en matière de PM = provisions nettes3 / provisions brutes (85% minimum)

Taux de rétention en matière de CSR = CSR net / CSR brut (50% minimum)

Ainsi, un même produit d’assurance-vie bénéficiant de taux garantis différents est

soumis à la même EMS, quelle que soit la capacité de l’assureur à servir le taux offert (quel

que soit le rendement du portefeuille d’actifs sous-jacents) ou, en d’autre mots, quel que soit

le risque encouru par la compagnie.

Outre la réglementation sur la solvabilité, l’UE a défini des lignes directrices sur

l’investissement des primes en soumettant à des restrictions les catégories d’actifs dans

lesquels les assureurs peuvent investir. Cette réglementation des investissements tient au fait

que les risques d’actif ne sont pas pris en compte explicitement dans les exigences de fonds

propres de Solvabilité I.

Ainsi, sous les normes en vigueur, la prise en compte des risques s’effectue à travers

les hypothèses contenues dans le calcul des provisions mathématiques (en assurance-vie). Le

paradoxe est qu’un assureur dont le calcul des PM est peu prudent (i.e. la PM est moins élevée

qu’elle ne devrait être) se trouve dans une situation plus favorable, puisque son EMS sera

moins élevée. Au contraire, un assureur prudent se trouve pénalisé, car il est obligé de détenir

plus de fonds propres (et donc « immobiliser » plus de capital, ce qui nuit à la rentabilité de la

compagnie du point de vue des actionnaires).

4) ATOUTS ET FAIBLESSES DE SOLVABILITE I Les atouts du dispositif Solvabilité I sont sa simplicité et sa robustesse. De plus, il est possible de comparer les résultats obtenus pour différentes entreprises. Cela étant, ces avantages masquent de nombreuses faiblesses :

1 Pour les affaires en unités de compte, ce taux est de 1%. 2 I.e. le rapport entre le volume les affaires non réassurés et la totalité des affaires (réassurés + non réassurés). 3 I.e. nettes de réassurance.

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� Les exigences de solvabilité dépendent de paramètres qui sont des substituts

inappropriés au risque de souscription sous-jacent – les primes ou les sinistres dans l’assurance non-vie et les provisions mathématiques et le capital sous risque dans l’assurance vie. Il n’y a donc pas de distinction entre les risques, quelle que soit leur volatilité à l’intérieur d’une même branche (seul le montant des souscriptions impacte le calcul).

� Hormis le risque de souscription, les risques ne sont pas pris en compte ou seulement de façon partielle. Comme on l’a dit plus haut, le risque de placement n’est pas inclus dans l’exigence de marge de solvabilité, mais traité par le biais de textes réglementaires sur le placement des provisions techniques.

� L’évaluation des actifs et des passifs (provisions techniques incluses) ne repose pas sur une approche cohérente avec le marché, mais sur leur valeur comptable.

� Ne pénalise pas les entreprises qui sous-provisionnent ou qui sous-tarifient les risques, mais pénalise les entreprises qui sur-provisionnent.

� La diversification, certaines formes de transfert de risques, ainsi que les corrélations des actifs et des passifs ne sont pas prises en compte.

Par conséquent, le profil de risque propre à l’entreprise n’est pas pris en compte. Solvabilité I est donc considéré comme une solution provisoire en attendant l’adoption d’une réglementation reflétant mieux le risque auquel un assureur est effectivement confronté. Le projet Solvabilité II vise à l’améliorer en tenant compte des nombreuses évolutions en matière de techniques financières et de gestion des risques, dans le but d’assurer une meilleure adéquation entre l’exigence réglementaire de capital et les risques auxquels sont effectivement confrontés les organismes d’assurance.

22.. LLAA NNOOUUVVEELLLLEE RREEGGLLEEMMEENNTTAATTIIOONN SSOOLLVVEENNCCYY IIII Le projet Solvabilité II (« Solvency II ») introduira un nouveau régime caractérisé par une prise en compte de tous les risques encourus par les assureurs. Des garanties pour ces risques devront être détenues sous forme de capital de solvabilité. Les travaux sur la conception du futur régime de surveillance ont été finalisés début 2003. La proposition de projet de Directive Solvabilité II devrait être adoptée par la Commission Européenne courant 2007. La mise en œuvre de Solvabilité II devrait intervenir en 2010. Le concept proposé prévoit un changement de paradigme pour le calcul de la solvabilité au sein de l’UE : l’approche de la solvabilité axée sur le risque de souscription doit être remplacée par une approche intégrée de l’ensemble des risques. Solvabilité II va poser un problème particulier aux assureurs qui ont, par le passé, pris en compte de manière insuffisante ou inappropriée les caractéristiques sous-jacentes de leurs risques. Tel peut être le cas, notamment, dans l’assurance vie où, bien souvent, les pratiques actuarielles traditionnelles n’ont pas été étendues à l’évaluation et à l’appréciation des garanties et des options dont sont assortis certains produits. A l’issue d’une première phase d’études et de concertation, la Commission Européenne a retenu en avril 2003 une architecture à trois piliers comparable à celle définie pour le secteur bancaire par le Comité de Bâle (Bâle II) : exigences quantitatives, activités de surveillance,

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information et publicité. S’y ajoutent des questions transversales, concernant en particulier le régime à appliquer aux groupes de sociétés.

1) LES ORGANISMES PARTICIPANT AU PROJET L’organisme en charge du projet est la Commission Européenne. Le CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors4) assiste la Commission en fournissant des recommandations et des conseils, basés sur une analyse des résultats des études d’impact quantitatives (les QIS) et des « calls for advice ». L’industrie d’assurance et réassurance européenne participe aussi dans la création des nouvelles normes, notamment les organismes suivants sont des acteurs importants du projet Solvabilité II :

- Comité Européen des Assurances (CEA) - Association Internationale des Sociétés d’Assurance Mutuelle (AISAM) - Groupe Consultatif Actuariel Européen

etc.

2) STRUCTURE PAR PILIERS

• Pilier I : les règles prudentielles Le pilier I vise à définir les règles quantitatives dans trois domaines :

- les provisions techniques avec un objectif d’harmonisation de leur valorisation ; - l’exigence de capital où deux niveaux de capital seront déterminés : le minimum de

capital requis ou MCR (en anglais, minimum capital requirement) et le capital requis ou SCR (capital de solvabilité requis, en anglais, solvency capital requirement) ;

- la définition et les règles d’éligibilité des éléments de capital.

Approche à deux niveaux des exigences de fonds propres :

1. Exigence de capital de solvabilité – le niveau de fonds propres requis pour remplir toutes les obligations à un horizon temporel donné et en fonction d’un niveau de confiance défini. Tous les risques importants quantifiables (risque de souscription, d’investissement, de crédit, opérationnel et de liquidité) doivent être pris en compte.

2. Exigence minimale de fonds propres absolue, plus faible et plus facile à

calculer et au-dessous duquel une mesure prudentielle sera déclenchée. Son calcul devra également être robuste du point de vue juridique.

4 Comité Européen des Contrôleurs d’Assurance et de Pensions Professionnelles (CECAPP).

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• Pilier II : le processus de contrôle prudentiel

L’objectif poursuivi, dans le cadre du Pilier II est de définir et d’harmoniser les activités de

surveillance aussi bien au niveau des organismes d’assurance eux-mêmes qu’à l’échelon des

superviseurs. Au sein des organismes d’assurance, ce sont les mécanismes d’organisation et

de contrôle interne qui sont visés ainsi que les principes applicables en matière de gestion des

risques. Dans ce cadre, les questions liées à la gouvernance d’entreprise font l’objet d’une

attention particulière : honorabilité des dirigeants, compétence des instances de gouvernance,

des dirigeants et des intervenants extérieurs.

Concernant le contrôle interne, l’accent est mis sur le contrôle et la gestion des procédures

internes : existence des procédures écrites et fiabilité du système d’audit interne. Sur la

gestion des risques, il sera vérifié que l’organisme décide valablement de sa politique de

risques, les mesure correctement et réagit s’ils ne sont pas conformes à la politique définie.

Pour les superviseurs, l’harmonisation concerne tous les outils de supervision, aussi bien les

processus de contrôle des entités contrôlées que les pouvoirs et moyens d’actions dévolus au

superviseur. Quelques règles ont déjà été énoncées : fixation d’un minimum dans les objectifs

et pouvoirs accordés aux superviseurs, définition d’un processus de contrôle complet sur

pièces et sur place, organisation de simulations de situations de crise et mise en place d’outils

de pré-alerte.

• Pilier III : information et discipline de marché

Le pilier III étudie les éléments d’information qui doivent être publiés par les entreprises

d’assurance :

- information publique dans le cadre de la discipline de marché ;

- information à l’usage des superviseurs (dossier annuel) ;

- règles d’information des assurés.

Si la construction du pilier III est subordonnée à l’avancement des deux premiers piliers, deux

grands principes en ont, déjà, été posés par le CEIOPS :

- un principe de cohérence maximum avec les exigences comptables de publication

d’information ;

- un principe d’harmonisation des états réglementaires d’information des superviseurs,

avec comme objectif un dossier annuel.

Le système sera mis en place en 2010, c’est pourquoi les compagnies d’assurance ont déjà

commencé à s’y préparer.

Dans certains pays de l’Europe, notamment la Suisse et le Royaume Uni, des systèmes de

solvabilité plus avancés ont été développés. Le Royaume Uni a mis en place le régime des

ICAS (Individual Capital Adequacy Standards), tandis qu’en Suisse un système semblable au

futur Solvency II est en train d’être élaboré – le Swiss Solvency Test .

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3) LES ETUDES D’IMPACT QUANTITATIVES (LES QIS) Le but des QIS est de faire aux compagnies d’assurance de l’Union Européenne tester les techniques de calcul proposées dans le cadre du projet Solvabilité II au fur de son avancement. L’objet principal est d’identifier les incohérences méthodologiques, de mesurer la difficulté d’implémentation de chacune des méthodes proposées. Le calibrage des facteurs et la méthodologie proposés aujourd’hui par le CEIOPS ne sont pas définitifs et la QIS4 est attendue d’ici quelques mois.

• QIS 1

Octobre 2005 – décembre 2005

Cette étude, lancée en automne 2005, poursuivait un double objectif : comparer les niveaux de

prudence des provisions techniques actuelles et recueillir de l’information sur les méthodes

utilisées pour calculer ces provisions. Il s’agissait donc de comparer les provisions existantes

avec des provisions valorisées selon une des méthodes suivantes :

- décomposition des provisions en « best estimate » et une marge pour risque ;

- calibrage pour obtenir un niveau de confiance prédéterminé, selon une approche

« quantile » (60%, 75%, 90%).

-

Malgré les réponses souvent partielles et des résultats essentiellement indicatifs – en raison du

caractère novateur de la démarche et des délais de réponse imposés, nombre de compagnies

n’ont pas pu répondre à l’intégralité du questionnaire. Les objectifs ont néanmoins été

atteints : les provisions techniques ont pu être évaluées sur une nouvelle base, ce qui a permis

de mesurer l’impact d’une harmonisation des provisions au niveau européen.

Par ailleurs, les réponses à cette étude ont donné lieu à des constats généraux. Certains risques

apparaissent difficiles à modéliser avec la méthode des quantiles (catastrophes naturelles,

comportement des assurés, mortalité future etc.). Il existe peu de différence entre les trois

niveaux de confiance testés (60%, 75%, 90%). Seule la méthode quantile à 75% a par la suite

été retenue dans le cadre de QIS2. En assurance vie, hors unités de compte, la prise en compte

des participations aux bénéfices futurs a un impact important sur les provisions. Pour les

contrats avec participations aux bénéfices, la décomposition en best estimate et quantile

semble difficile à effectuer. En outre, les méthodologies utilisées et les résultats obtenus se

sont avérés assez hétérogènes entre les pays mais également au sein de chaque pays.

Cette étude a révélé qu’en général, en non-vie, le provisions « best estimate » étaient du

même montant que les provisions actuelles, malgré quelques exceptions (tant au niveau des

compagnies que des pays).

En assurance vie, les provisions « best estimate » + la marge de risque étaient inférieurs aux

provisions telles qu’elles sont calculées actuellement, pour la plupart des compagnies.

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• QIS 2

Mai 2006 – juillet 2006

Les objectifs généraux de QIS2, lancée début mai 2006, visaient à :

- tester la faisabilité des principes de valorisation ;

- évaluer leurs impacts potentiels sur le bilan, notamment sur le niveau du besoin en

capital;

- recueillir des informations quantitatives et qualitatives sur la pertinence et la

convenance des approches envisagées pour le SCR ;

- recueil d’informations pour les développements futurs et calibrage du SCR et MCR.

L’accent a davantage été mis sur la structure et la faisabilité des approches que sur le

calibrage des méthodes.

Grâce à la mobilisation de la profession et en dépit de délais très courts, les résultats de la

QIS2 ont permis de mettre en évidence des questions de modélisation importantes et d’ouvrir

la discussion sur le paramétrage de la formule standard :

- la plupart des entreprises restent solvables selon les critères QIS2 et couvrent

l’exigence de capital du SCR (le ratio de solvabilité décroît, mais reste supérieur à

100% chez la plupart des assureurs);

- une préférence pour l’approche « coût du capital » s’est dégagée pour le calcul de la

marge de risque dans les provisions ;

- en moyenne, le niveau des provisions diminue, le SCR est supérieur à la marge

actuelle et les éléments éligibles en couverture des exigences de capital augmentent ;

- certains modules d’évaluation des risques sont à ajuster, tant en ce qui concerne leur

structure que leur calibrage.

Pour la QIS2 l’accent était toutefois mis sur les aspects structurels, le calibrage étant destiné à

être testé lors de la QIS3.

• QIS 3

Avril 2007 – juin 2007

Si les QIS 1 et QIS 2 se sont avérées être des exercices de première approche, le premier

consacré au seul calcul des provisions techniques et le second constituant un premier test de la

structure de la future formule standard du SCR, les objectifs de la QIS 3 ont été beaucoup plus

ambitieux :

- fournir de plus amples informations sur la faisabilité des calculs demandés ;

- collecter les informations permettant d’affiner le calibrage de la formule standard ;

- recueillir des informations quantitatives sur l’impact sur les bilans des organismes

d’assurance et sur les exigences en capital ;

- évaluer l’effet de l’application de la spécification de QIS 3 au niveau des groupes

d’assurance.

16

4) LES CONSEQUENCES DU NOUVEAU REGIME

Les calculs liés à la solvabilité vont s’appuyer sur des principes standard, afin que les minima

de sécurité des différents assureurs soient équivalents entre eux. La définition du SCR doit

donc être suffisamment détaillée et préciser les aspects clés, notamment :

- la mesure de risque ;

- le niveau de confiance ;

- l’horizon temporel ;

- la définition de ruine ;

- méthodes d’évaluation de l’actif et du passif.

Une mesure de risque correspond à une fonction qui attribue un capital à une distribution des

bénéfices et des pertes économiques. Les mesures de risque couramment utilisées sont la

valeur en risque ou value at risk (VaR) et la perte maximale attendue ou expected shortfall (ES), également qualifiée de tail value at risk (TailVaR ou TVaR).

Facteur Proposition actuelle

Niveau de confiance Horizon temporel Principaux risques Mesure de risque

99,5% (équivalent à la probabilité d’insolvabilité de 1 sur 200 ans). 1 an (les actifs sur l’horizon de 1 an doivent couvrir le passif au niveau de confiance donné, y compris les provisions pour toutes les pertes futures des affaires souscrites jusqu’à la fin de l’année). Risque de souscription, de marché, de crédit, opérationnel. VaR : mesure le montant du capital pour se prémunir contre l’insolvabilité au niveau de confiance donné, sur une période donnée.

Selon les hypothèses de travail, avec l’adoption du régime Solvabilité II les assureurs devront disposer d’un montant de provisions techniques leur permettant d’honorer leurs engagements de payer les prestations avec une probabilité de 75%. Ils devront de plus disposer d’un niveau de fonds propres leur permettant de ne pas être en ruine, à horizon un an, avec une très forte probabilité (a priori 99,5% avec VaR5 comme mesure de risque).

5 La mesure de risque proposée par le CEIOPS est la TailVaR, qui a des avantages indiscutables par rapport à la VaR, la mesure retenue par la Commission. A savoir :

- TailVaR tient compte non seulement de la probabilité d’insolvabilité, mais également de la perte attendue, ce qui pourrait inciter les assureur et les autorités à tenir compte des conséquence du défaut potentiel ;

- TailVaR tient compte des queues des distributions, i.e. des pertes importantes dont la probabilité de survenance est très petite. Alors que sous VaR, de telles pertes ne seraient pas prises en compte, car au-delà du seuil de la mesure.

- TailVaR possède les 4 propriétés nécessaires pour qu’une mesure de risque soit cohérente, alors que VaR n’est pas sous-additive.

17

Cependant, la conformité de la formule standard avec ces aspects sera plutôt implicite qu’explicite. Par exemple, la mesure de risque retenue sera simulée, et non pas calculée de manière exacte.

• Le niveau des fonds propres

Pour certains assureurs, le nouveau régime de solvabilité pourrait avoir un impact significatif

sur le niveau fonds propres qu’ils doivent détenir. Les assureurs présentant une exposition

importante aux différents risques pourraient être confrontés à des exigences de fonds propres

renforcées, tandis que les assureurs poursuivant une stratégie d’investissement prudente et

dotés d’une structure de produits moins exposée aux risques verront peut-être leurs besoins de

fonds propres diminuer.

• Les tarifs de l’assurance et la conception des produits

Si Solvabilité I ne tient pas compte suffisamment des différents risques de souscription,

Solvabilité II en revanche le fait. Cela permettra de voir clairement les produits ou les

caractéristiques des produits qui sont pertinents ou non pour l’état de la solvabilité d’un

assureur. Les produits d’assurance-vie à long terme et/ou assortis de garanties et d’options

exposées aux changements des risques de souscription, peuvent avoir besoin d’un soutien plus

important des fonds propres.

Rappelons que les risques de l’assurance-vie sont très différents de ceux de l’assurance non-

vie : en assurance-vie, ils se situent essentiellement dans les taux d’intérêt garantis, les

demandes de rachat anticipé, la bonne adéquation entre engagements donnés et rendements

obtenus ; en assurance non-vie, les incertitudes tiennent à l’aléa couvert, à l’évolution des

risques et de leur environnement juridique, à la qualité de la réassurance.

Souvent, les pratiques actuarielles classiques ne se sont pas étendues à l’évaluation et à la

détermination d’une valeur pour de telles caractéristiques de produits. Solvabilité II

nécessitera une évaluation cohérente avec le marché des risques provenant des options et la

constitution explicite de fonds propres.

• La prise en compte du risque d’investissement

Solvabilité I ne traite du risque de placement que sous forme de règles pour la composition

des actifs. Les exigences de fonds propres pour les risques de placement peuvent encourager

les assureurs à réduire la part d’actions et de biens immobiliers dans leur portefeuille et

augmenter la part d’obligations bien notées pour réduire le risque de placement, et donc les

exigences de fonds propres. Cela entraînerait une baisse des résultats d’investissements. Si les

assureurs ne changent pas de stratégie d’investissement, les exigences de fonds propres

supérieures qu’impose Solvabilité II pourraient réduire le bénéfice global. Les risques de

placement sont particulièrement importants dans les branches portant sur des produits à long

18

terme, comme l’assurance vie. Dans la pratique, l’éventuel changement de tarif ou de

conception des produits dépendra de ce que l’assureur a déjà pris en compte en matière de

risques d’investissement.

• Formule standard vs. Modèles internes

Le calcul de l’exigence de capital de solvabilité reposera sur une modélisation des risques et

de leurs corrélations, en fonction de données tirées du bilan qui reflètent la valeur économique

de l’assureur. Sous le nouveau système, il y aura deux alternatives pour calculer l’exigence de

capital de solvabilité: l’approche standard et les modèles internes (validés et approuvés par les

autorités de contrôle).

Avec la méthode standard, le capital sera déterminé à l’aide des mêmes hypothèses et

techniques actuarielles pour toutes les compagnies.

Les modèles internes (c’est à dire, des modèles développés par les compagnies elles-mêmes),

vont permettre aux assureurs de calculer leur capital de solvabilité de façon à refléter leur

profil de risque effectif. D’une manière générale, on prévoit que l’exigence de capital de

solvabilité calculée à l’aide des modèles internes sera inférieure à celle du modèle standard.

• Absorption des risques

Les techniques d’absorption des risques seront reflétées dans le calcul du SCR afin de tenir

compte de leur impact sur le niveau global de risque. Ces techniques comprennent des

instruments de transfert de risque traditionnels et non-traditionnels, tant à l’actif (hedging)

qu’au passif (réassurance).

Le SCR tiendra compte des effets d’absorption des risques au moyen de :

- la réduction du montant requis en proportion au montant du risque transféré ;

- traitement approprié des risques qui correspondent entre eux.

Les systèmes de participation aux bénéfices (PB) en assurance vie peuvent avoir d’importants

effets en matière d’absorption de risques. Les assureurs vie doivent intégrer dans leurs calculs

les coûts des PB.

La formule standard tient compte de l’absorption des risques par la PB future : on calcule le

SCR avec et sans la possibilité de varier le niveau de PB future. Les calculs sont effectués

risque par risque, ce qui reflète le fait que l’effet d’absorption des risques par la PB varie pour

chaque type de risque.

• Nouveau bilan

Solvency II introduit une nouvelle vision du bilan d’une compagnie d’assurance.

Sous le régime Solvency I, on est en évaluation prudente de l’actif et du passif ; le besoin en

marge de solvabilité est calculé avec des formules.

Le passage au Solvency II entraînera des changements fondamentaux:

19

- évaluation réaliste (« market consistent ») de l’actif et du passif, et non plus à leur

valeur comptable. Le montant du capital disponible pour couvrir le MCR sera

forcément différent sous les nouvelles normes ;

- la définition du capital minimum requis sera basée sur l’estimation des risques – i.e. il

s’agira de calculer le niveau du capital qui apporte le niveau de confiance donné que

l’assureur restera solvable.

Ce schéma récapitule la structure du bilan selon les règles Solvabilité II :

Autres actifs

Capital

disponible

Fonds

propres

Exigence de

capital de

solvabilité

(ECS)

Marge de

prudence

Valeur des

actifs admis

en

représentation

Provisions

techniques

"Best

estimate"

des

provisions

techniques

Actifs Provisions

techniques et

fonds propres

Exigence de

solvabilité

20

IIII.. LLEESS PPAARRTTIICCUULLAARRIITTEESS DDEE LL’’AASSSSUURRAANNCCEE VVIIEE

Selon les normes Solvabilité II, l’évaluation de l’actif et du passif de la compagnie devra se

faire à la valeur de marché et tenir compte de tous les risques encourus. Pour la plupart des

actifs et certains composants du passif, la valeur de marché est connue, car il existe des

marchés correspondants ou bien il est possible de créer un portefeuille de réplication.

Cependant, pour quelques types d’actifs et les provisions (surtout en assurance-vie) cette

information n’est pas disponible, car ils ne sont ni échangeables sur des marchés, ni

réplicables (« non-hedgeable »). Leur valeur de marché doit être estimée avec des techniques

d’évaluation plus élaborées.

A. QUELQUES NOTIONS CLES

En assurance-vie, les contrats sont souvent assez complexes, car ils peuvent contenir

(implicitement ou explicitement) des options et des garanties financières.

Dans les contrats traditionnels d’assurance-vie, les primes payées par l’assuré et les paiements

qu’il reçoit de la compagnie, sont fixes, la seule source d’incertitude étant la mortalité

effective. De ce fait, l’investissement des primes par la compagnie (c’est à dire, la

performance financière des actifs de l’assureur) n’est pas la source principale de risques (tant

pour l’assureur que pour l’assuré).

Mais beaucoup de contrats d’assurance-vie, proposés aujourd’hui, sont en fait une

combinaison d’épargne et d’assurance.

Les contrats dits « contrats en unités de compte » transfèrent le risque d’investissement vers

l’assuré : les provisions mathématiques sont adossées à des actifs, c’est à dire que le contrat

est indexé sur la valeur de marché d’un ou plusieurs actif(s). Il peut s’agir de SICAV, de

fonds communs de placement ou de parts de sociétés immobilières. C’est donc la valeur de

ces actifs qui détermine la valeur de l’épargne de l’assuré.

Le taux minimum garanti fait partie des garanties implicites des contrats d’assurance-vie. Les

contrats à taux garanti (appelés également les « contrats en euros ») présentent un risque

financier important pour l’assureur. En effet, ces contrats garantissent des rendements allant

jusqu’à 5%. En cas d’une surperformance des actifs, s’y ajoute la participation aux bénéfices

(PB). Ainsi, les souscripteurs sont totalement protégés: quelle que soit la performance de

l’actif, un rendement minimum leur est garanti, mais si le rendement réel dépasse ce taux

minimum, ils en bénéficient aussi ; par ailleurs, ils ont la possibilité de racheter leur contrat et

de placer l’argent chez un autre assureur, si celui-ci leur propose de meilleures conditions. Il

paraît clair que ces garanties ont un prix, ou plutôt un coût pour l’assureur. Ce prix n’est pas

demandé aux souscripteurs, et il n’est pas inclus dans la provision mathématique, donc pas du

tout reflété dans le bilan. La valeur comptable des provisions mathématiques ne tient tout

simplement pas compte des garanties implicites.

21

La plupart du temps, les contrats d’assurance-vie présentent d’autres garanties, ou plutôt des

options « cachées » : possibilité de rachat anticipé, garantie-décès6 , arbitrages (i.e. transfert

de fonds à l’intérieur d’un contrat entre les supports en unités de compte et les supports en

euros), etc. Elles présentent des risques, et doivent être prises en compte dans le calcul des

provisions mathématiques prudentes.

Un autre risque important provient des produits à commission escomptée. Cette commission

est versée par l’assureur au courtier ou partenaire et cette prime n’est pas prélevées sur le

contrat, mais sur les fonds propres de la compagnie. Son montant peut atteindre jusqu’à 70%

de la prime initiale. (Rappelons que dans les contrats d’assurance-vie à prime unique, la prime

initiale est bien souvent une somme substantielle !) L’assureur se rembourse en prélevant des

frais de gestion supplémentaires au cours d’un nombre fixes d’années du contrat. Or, ces frais

sont nécessairement un pourcentage de la PM. Par conséquent, tout facteur ramenant à la

baisse la PM (rachat anticipé, baisse de la valeur des actifs auxquels sont adossés les contrats

en unités de compte…) va baisser le montant des frais récupérés par la compagnie, d’où le

risque pour l’assureur de subir une perte sur le contrat.

Un grand nombre de travaux illustre l’insuffisance de la provision mathématique à refléter

l’ensemble des engagements de l’assureur et des risques qui pèsent sur lui. Le plus souvent, la

PM représente le montant de l’épargne accumulée par le contrat, mais ignore les engagements

optionnels.

B. OPTIONS ET GARANTIES IMPLICITES

En assurance vie, les contrats contiennent très souvent des options et des garanties dites

implicites.

Par exemple, pour la catégorie des contrats dits « en euros » ou « taux garanti », l’assureur

garantit le taux minimum auquel évolue la provision chaque année (i.e. à la fin de chaque

période, l’engagement de la compagnie est revalorisé). De plus, souvent les souscripteurs ont

droit aux plus-values financières générées par l’actif de l’assureur, c’est ce qu’on appelle la

participation aux bénéfices (PB). Bien souvent, les assureurs distribuent ces bénéfices en

suivant un schéma de lissage, à savoir une partie du bénéfice est placée dans la réserve pour

être distribuée lors des périodes suivantes.

Par ailleurs, les souscripteurs ont certains droits qui découlent du contrat. Par exemple,

d’effectuer les rachats ou de cesser le paiement des primes. Bien que l’exercice de ces droits

est en général accompagné de paiement de pénalités, qui sont censés couvrir les frais encourus

par la compagnie, le risque que court la compagnie peut être très élevé. Par exemple, il existe

un risque financier inhérent à l’option de rachat anticipé : si à un moment donné, plusieurs

souscripteurs des contrats dont la valeur de rachat est élevée, exercent tous leur option de

rachat et ceci au moment où les taux d’intérêt sur le marché augmentent.

Toutes ces garanties et les droits accordés aux souscripteurs présentent un risque important

pour l’assureur, d’autant plus que souvent leur valeur n’est pas prise en compte dans les

provisions mathématiques du contrat. C’est à dire qu’actuellement, le système de gestion des

6 Il s’agit toujours des contrats d’épargne, et non des contrats d’assurance-décès.

22

risques en assurance vie est loin d’être parfait. L’évaluation du coût des garanties et options

implicites est un processus très complexe, qui nécessite le recours aux techniques de

modélisation stochastique. La modélisation est d’autant plus délicate, qu’au sein du même

contrat les différentes options peuvent interagir. Soulignons encore une fois que le risque

potentiel pour l’assureur est très important.

Jusqu’à maintenant, le problème du coût des « embedded options » a surtout attiré l’attention

des théoriciens, mais dans une moindre mesure celle des assureurs. Fort heureusement, ce

problème est étudié dans le cadre du projet Solvabilité II.

Selon les nouvelles règles Solvabilité II, l’évaluation des engagements de l’assureur devra se

faire au prix du marché et donc refléter tous les coûts potentiels liés au contrats. Il s’agit de

prendre en compte les garanties financières et les différentes options qui permettent aux

souscripteurs de modifier les conditions de leurs contrats.

1) LE LIEN ENTRE LES GARANTIES ET LES OPTIONS

Lorsque l’assureur s’engage à verser une certaine somme, le prix de la prestation peut être

déterminé sans trop d’ambiguïté. Les choses se compliquent si le montant de la prestation

future n’est pas certain.

Par exemple, la garantie pour un contrat d’épargne en unités de compte pourrait se définir

comme le maximum entre la provision mathématique et le cumul des primes versées. Dans ce

cas-là, on ne connaît pas par avance la somme que l’assureur devra verser au bénéficiaire de

la garantie. La tarification doit alors tenir compte de cette incertitude (lequel des deux

montants sera versé). Il est évident que la prise en compte de toutes les éventualités implique

un coût supplémentaire par rapport à une garantie « simple », où on connaît le montant à

verser.

Quand le montant de la prestation est incertain, celle-ci peut se décomposer en deux parties :

le montant pour lequel l’assureur s’engage dans le contrat (appelons-le X) et le résidu formé

par la garantie (l’excédent de Y sur X) :

Y-X

X

Y

X

Grâce à cette décomposition, on peut appliquer des techniques d’évaluation des options à la

garantie et des techniques d’évaluation plus simples au montant principal de la prestation.

23

Les options sont des instruments financiers, dont le détenteur a le droit ( sans obligation)

d’acheter ou de vendre un actif financier sous-jacent dans des conditions prédéfinies

(date/période et le prix d’exercice). L’option d’achat est appelée « call » et l’option de vente

est un « put ». Les options financières et les garanties implicites dans les contrats d’assurance

présentent beaucoup de similitudes.

Dans l’exemple précédent, la quantité Y-X est équivalente au payoff d’une option.

Notamment, si le contrat prévoit le versement de X (un montant incertain) avec un minimum

garanti de Y, ceci est équivalent à un « put » sur le sous-jacent X et avec le prix d’exercice

égal à Y.

Donc, la valeur du contrat est composée de :

Engagement minimum + la garantie

= X + max ( Y-X , 0)

Le prix de la garantie est donc : max ( Y-X , 0).

Exemple :

Soit une option « put » dont le prix d’exercice est de 100, à exercer dans 12 mois. Le gain net

(le « payoff ») de cette option sera égal à l’excédent de 100 par rapport au prix du sous-jacent

au moment d’exercice de l’option.

Ce schéma est similaire dans le cas d’une garantie en assurance vie: l’assureur investit la

prime versée par le souscripteur et s’engage à lui verser 100 dans un an. Si à l’échéance la

valeur des actifs, dans lesquels la prime a été investie, est inférieure à 100 (e.g. 95), alors la

garantie va jouer et l’assureur devra verser la différence entre le montant minimum garanti

(100) et la valeur de l’actif (95). En d’autres mots, le risque pour l’assureur est de devoir

verser la différence lorsque la valeur de l’actif est en dessous du montant garanti. Les flux liés

à la garantie sont les mêmes que ceux d’une option « put », dont le sous-jacent est l’actif de

l’assureur sur le contrat et le prix d’exercice est le montant minimum garanti. Sous

l’hypothèse d’absence d’arbitrage, les actifs dont les flux sont identiques ont le même prix,

donc le prix de la garantie est équivalent au prix d’un « put ». Si au moment de la souscription

du contrat, l’assureur avait pris en compte le risque que présente pour lui la garantie, il aurait

inclut la valeur de la garantie dans la prime et investi cette valeur dans une option « put ».

Alors, quelle que soit la valeur de l’actif à l’échéance, l’assureur aurait eu le montant

nécessaire pour respecter son engagement sans risque et sans coût supplémentaire (puisque le

prix de l’option a été inclus dans la prime).

2) EVALUATION DES PROVISIONS

Il est clair, que si nous voulons calculer le prix « du marché » des provisions, ce prix doit

inclure les valeurs de tous les éléments des contrats, y compris la valeur des garanties

implicites.

Bref, la valeur « market consistent » des provisions en assurance vie est bien différente de

leur valeur comptable.

24

Les coûts des options et garanties doivent être évalués sur une base cohérente avec le marché,

comprenant à la fois la valeur intrinsèque et la valeur temps.

Rappelons, que :

Valeur de l’option = Valeur intrinsèque + Valeur temps

La valeur intrinsèque est la valeur réelle de l’option, c’est à dire c’est le profit qui

serait obtenu immédiatement si l’on exerce l’option et si, bien évidemment, l’option

est « dans la monnaie »7.

La valeur temps est l’anticipation d’une valeur intrinsèque encore plus élevée, car

jusqu’à l’échéance de l’option il existe toujours la probabilité que le cours du sous-

jacent augmente la valeur de l’option. Tant que cette probabilité est positive, le prix de

l’option sera toujours supérieur à sa valeur intrinsèque. Par ailleurs, plus l’échéance est

éloignée, plus la valeur temps sera importante.

Afin de calculer correctement la valeur d’une option ou garantie, on prévoit que les coûts de

toute option et garantie soient évalués de préférence à l’aide de l’une des quatre méthodes

suivantes :

- si l’exposition du passif résultant de l’option ou de la garantie peut être couverte, les

coûts commerciaux du portefeuille de couverture ou de réplication de l’option ou de la

garantie doivent être utilisés.

- Une approche stochastique utilisant par exemple un modèle d’actif cohérent avec le

marché (comprenant à la fois des approches de forme fermée et de simulation

stochastique).

- Une série de projections déterministes avec des probabilités attribuées.

- Une évaluation déterministe basée sur les futurs cash flows dans le cas où l’évaluation

des provisions inclus les options et garanties.

Les modèles d’actifs stochastiques doivent être calibrés pour tenir compte de la nature et de la

durée du passif donnant lieu à des coûts de garantie et d’option significatifs. Les

caractéristiques d’options reproduites doivent généralement concerner des options pour

lesquelles aucun risque de crédit significatif n’est assumé.

Pour l’évaluation des provisions techniques, la volatilité implicite est la mesure de la volatilité

correspondante pour les instruments financiers.

7 Une option d’achat (call) est dans la monnaie (« in the money ») si le cours de l’actif sous-jacent est supérieur

au prix d’exercice, et inversement pour une option de vente (put).

25

C. LA PARTICIPATION AUX BENEFICES

Pour les contrats d’assurance vie qui distribuent la PB, il importe de tenir compte de la

capacité des bénéfices futurs à absorber une partie des pertes, ou en d’autres mots, d’atténuer

les risques encourus par l’assureur.

En QIS2, ce phénomène avait été pris en compte à travers une réduction du SCR de base à

l’aide de l’approche par le « facteur K ». Le « facteur K » pouvait prendre la valeur entre 0 et

1 et reflétait le degré d’absorption des futures pertes (dans des scénarii défavorables) par la

PB future. Les assureurs devaient déterminer eux mêmes les impacts des futures bénéfices sur

la couverture des pertes, c’est à dire fixer le facteur en se servant de leurs propres hypothèses.

Ensuite, le facteur K était multiplié par le montant de la PB future, contenue dans les

provisions et le résultat de cette multiplication (RPS) était déduit du SCR de base. Précisons

que dans les calculs de la charge de capital dans chaque module de risque l’effet de réduction

des pertes n’était pas pris en compte, la réduction se faisant tout à la fin.

Cette approche permettait aux assureurs de faire la distinction entre 1) les bénéfices qui

peuvent servir à couvrir les pertes globales et 2) ceux qui ne peuvent couvrir que certaines

catégories de pertes. Notamment, la proposition de CEIOPS est d’inclure dans les provisions

uniquement la deuxième classe de bénéfices et de placer la première dans le capital

disponible.

L’approche « facteur K » a conduit a plusieurs problèmes lors de son test dans QIS2 :

- Les indications sur la détermination du facteur K n’étaient pas claires ;

- Dans certains cas, l’approche résultait en un SCR négatif ;

- Les charges en capital pour les modules de risques individuels, calculées sans tenir

compte de l’absorption de pertes par la PB, étaient relativement élevées ;

- Cette approche est contraire à la logique du calcul des charges en capital individuelles,

effectué risque par risque.

Proposition faite par FSA :

Prendre en compte l’absorption des pertes par la PB lors des calculs des SCRs individuels.

Ainsi, chaque module de risques aurait deux outputs :

- la charge en capital pour le choc i ;

- KCi : le montant dont la PB a été réduite pour absorber le choc i.

C’est la méthode appliquée dans la QIS3.

26

IIIIII.. CCAALLCCUULL DDUU CCAAPPIITTAALL DDEE SSOOLLVVAABBIILLIITTEE ((SSCCRR))

Les deux calculs clé du projet Solvabilité II sont l’évaluation des PM et détermination du

SCR.

En effet, un des buts du nouveau système est l’harmonisation des approches pour évaluer les

provisions techniques : non seulement la législation en cette matière est différente dans

chaque pays de l’UE, mais en plus les méthodes de calcul et les hypothèses varient d’un

assureur à l’autre.

Le SCR doit fournir le niveau du capital qui permet à l’assureur d’absorber des pertes

imprévues importantes et apporte aux souscripteurs une certitude raisonnable que les

paiements seront effectués en temps du. Le SCR reflète le niveau du capital nécessaire pour

que l’assureur puisse tenir tous ses engagements sur une période de temps et avec le niveau de

confiance prédéfinis. Le but étant que le SCR limite le risque (sur une période donnée) que le

niveau du capital disponible se dégrade jusqu’à un niveau inacceptable. Le SCR doit ainsi

tenir compte de tous les risques significatifs et quantifiables. Et si au cours de la période

prédéfinie le SCR vient à s’user, grâce à l’existence de la marge de risque l’assureur pourra

encore céder son portefeuille à un autre assureur.

Les étapes du calcul selon la version QIS3:

1. Valeur de l’actif.

2. PM « best estimate » (BE)

3. Application des chocs à la PM BE

4. SCR

5. CoC

6. Actif net (NAV)

7. Comparaison entre NAV et SCR.

A. L’ACTIF

Pour vérifier la solvabilité d’un assureur, il s’avère indispensable d’avoir des règles

d’évaluation tant pour le passif que pour l’actif, notamment pour les raisons suivantes :

- le calcul du SCR se base sur la définition de ruine, qui fait référence à la valeur de

l’actif ;

- le calcul de la marge de solvabilité disponible tient compte des déficits dans l’actif ou

des réserves cachées ;

- pour déterminer si les actifs admissibles couvrent les PM et les SCR.

27

Le principe de base est que les actifs doivent être évalués à leur valeur de marché. Le marché

en question doit être très actif et liquide8. Si ce n’est pas le cas, par exemple l’actif n’est pas

très liquide, son prix observable sur le marché ne sera pas fiable. Dans ce cas, l’évaluation du

prix de l’actif se fait à l’aide d’approximations, basées sur des approches cohérentes avec le

marché.

Pour évaluer des actifs non liquides ou non négociables, les hypothèses utilisées doivent rester

prudentes et tenir compte des risques de crédit et de liquidité. En règle générale, la valeur de

ces actifs ne peut dépasser leur coût d’acquisition, déduction faite des marges estimées

facturées par le vendeur et des amortissements. Les actifs incorporels, mobiliers et autres

actifs qui s’amortissent très vite, sont évalués à zéro.

En outre, des avis d’experts indépendants et fiables peuvent servir à évaluer l’actif.

B. LE PASSIF

Selon CEIOPS, pour calculer la valeur des provisions, il faut préalablement les séparer en

risques couvrables et non-couvrables.

Un risque est considéré comme couvrable, s’il peut être couvert par une mesure ou transaction

financière. Le prix d’un tel risque peut être déduit des prix des actifs financiers sur le marché

(le marché doit être actif, liquide et transparent). La valeur des risques couvrables inclut de

manière implicite le « best estimate » ainsi que la marge de risque. Pour les risques non-

couvrables, leur valeur « best estimate » et la marge de risque sont à déterminer séparément.

On a considéré que la totalité des passifs de LMEP sont non-couvrables.

11.. MMOODDEELLIISSAATTIIOONN SSTTOOCCHHAASSTTIIQQUUEE DDUU RREENNDDEEMMEENNTT DDEE LL’’AACCTTIIFF

Afin de pouvoir faire les projections dans le futur des flux du passif, nous avons besoin d’un

modèle d’évolution des facteurs qui ont incidence sur les provisions, à savoir : le rendement

des actifs, le taux de PB, les taux zéro-coupons (ZC) pour actualiser les flux etc.

Une des avancées entre le QIS2 et QIS3 a été le calcul des provisions « best estimate » sur la

base de modèles stochastiques « risque neutre » et non plus sur la base de modèles

déterministes. Ainsi, la valeur temps des principales options et garanties est prise en compte.

Dans une approche stochastique, il ne s’agit plus d’évaluer le meilleur estimé des rendements

moyens attendus pour chaque classe d’actifs, mais de générer des scénarios d’évolution de ces

rendements à l’aide de modèles stochastiques.

8 Dans les spécifications techniques pour la QIS3, le marché actif, liquide et transparent est défini comme un

marché « où les participants peuvent rapidement exécuter des transactions de grand volume avec peu d’impact

sur les cours ».

28

Les modèles stochastiques qui ont été utilisés par La Mondiale sont les suivants :

� Des modèles de taux, qui permettent de générer les scénarios d’évolution des taux

courts.

� Des modèles d’évolution des prix des actions et de l’immobilier du type Black &

Scholes (mouvement brownien géométrique).

L’actif de La Mondiale se compose principalement des obligations, d’actions et de

l’immobilier.

Les grands principes de modélisation de chaque classe d’actif sont présentés ci-dessous :

1) MODELE DE TAUX D’INTERET

Les taux d’intérêts sont un élément fondamental pour l’évaluation de pratiquement tous les

actifs financiers et leur dérivés.

Le taux zéro-coupon (ZC) à n années est le taux d’intérêt obtenu sur un investissement

engendrant un seul flux au terme des n années, sans flux intermédiaires. La plupart des taux

observables sur le marché ne sont pas des taux ZC, car la plupart des actifs verse des flux

intermédiaires (e.g. coupons pour les obligations). Cependant, il est possible de déterminer les

taux ZC à partir des prix des instruments cotés.

Le taux court r, à une date t est le taux qui s’applique à cette date pour une période de

longueur infinitésimale. Il est également appelé le « taux court instantané ». C’est surtout le

processus suivi par r dans l’univers risque-neutre qui importe pour l’évaluation des

obligations ou des options de taux. Nous savons que la valeur en date t d’un actif qui

engendre le payoff fT en date T est

( )T

tTrQ feE ⋅−− )( .

Où

r est la valeur moyenne de r entre les dates t et T, QE désigne l’opérateur d’espérance dans l’univers risque-neutre.

Notons P(t, T) le prix en date t d’un zéro-coupon qui verse 1 en date T. on peut alors écrire :

( ))(),( tTrQ eETtP −−= .

Si R(t, T) désigne le taux d’intérêt composé continu qui prévaut en date t pour une durée T-t,

on peut écrire : )(),(),( tTTtReTtP −⋅−=

ou encore

( )),(ln1

),( TtPtT

TtR ⋅−

−= .

29

En remplaçant P(t, T) on obtient :

( )( ))(ln1

),( tTrQ eEtT

TtR −−⋅−

−= .

Cette dernière équation permet d’obtenir, à toute date t, la structure par termes des taux à

partir de la valeur de r à cette date et du processus stochastique suivi par r. Plus généralement,

cette équation montre que, dès que la dynamique de r est définie, celle de la courbe des taux

ZC l’est aussi.

Le modèle de Hull & White à un facteur a été retenu pour modéliser l’évolution des taux

d’intérêt. Ce choix a été motivé par :

� Sa relative simplicité

� Il s’agit d’un modèle d’arbitrage, couramment utilisé en finance pour évaluer les

instruments dérivés de taux.

� Il est calibré sur l’ensemble de la courbe ZC observée aujourd’hui (ce qui n’est pas le

cas des modèles d’équilibre)

� Le modèle à un facteur (plutôt qu’à 2 facteurs) a été préféré car il suffit à capter le

principal risque de taux, qui est un risque de translation de la courbe des taux d’intérêt

(déformation de 1er

ordre).

Principal inconvénient : comme le taux court suit un loi normale, il peut prendre des valeurs

négatives avec une probabilité non nulle.

• Approche risque-neutre

Selon les règles Solvabilité II dans la version de QIS3, le générateur des scénarii économiques

doit être calibré aux conditions du marché et être risque-neutre.

L’évaluation risque-neutre est appelée ainsi parce qu’il s’agit de trouver l’espérance des cash

flows futurs dans un monde où les investisseurs seraient neutres vis-à-vis des risques, i.e. il

n’y a pas besoin de prime supplémentaire pour les inciter à prendre des risques. Dans ces

conditions, le taux de rendement de tous les actifs est le taux sans risque. Cette approche

n’implique pas que le marché réel est supposé être, lui aussi, risque neutre. Le fait de recourir

aux probabilités risque-neutres et d’actualiser les flux au taux sans risque est simplement une

manière (parmi d’autres9) de calibrer le modèle aux prix du marché. Cela évite de nombreuses

complications, notamment l’estimation des fonctions d’utilité des agents etc.

9 L’approche alternative serait d’utiliser les déflateurs. A la base, il s’agit d’actualiser les flux (générés par le

modèle) avec des taux d’intérêt stochastiques, qui tiennent compte de la probabilité réelle et de la prime de

risque. Pour chaque scénario généré, la série de déflateurs à appliquer est différente. En outre, pour toute

période, la moyenne des déflateurs de tous les scénarii est égale au taux sans risque.

Les deux approches (probabilité risque-neutre + actualisation au taux sans risque et probabilité réelle +

déflateurs) fournissent exactement les mêmes résultats.

30

Notation :

S : prix de l’actif financier ;

t : temps ;

r : taux sans risque (instantané) ;

Z : mouvement Brownien qui représente l’incertitude sur l’actif financier ;

Le risque d’un investissement réside dans l’incertitude associée à sa valeur future. Souvent on

modélise cette incertitude avec le mouvement Brownien, famille de variables aléatoires Z(t)

dont les caractéristiques sont les suivantes :

1. Valeur initiale Z(0) = 0.

2. Pour tous t1 < t2 < …< tn, les accroissements Z(t2)-Z(t1), Z(t3) – Z(t2), ..., Z(tn) – Z(tn-1),

sont des variables normales indépendantes.

3. E(Z(t)) = 0 .

4. Var (Z(t2) – Z(t1)) = t2 – t1.

Prime du risque:

µ : rendement espéré instantané ; 2σ : variance du rendement instantané de l’actif financier ;

Nous faisons l’hypothèse que tout actif financier de l’économie est affecté par un seul facteur

de risque, représenté par le mouvement Brownien Z :

dZdtS

dS+⋅= µ

Nous définissons la prime de risque comme le rapport entre l’excédent de rendement (par

rapport au taux sans risque) et la volatilité :

σµ

λr−

=

Une propriété importante de la prime de risque est la suivante : deux actifs financiers, dont la

valeur dépend du même facteur de risque Z, ont la même prime de risque, i.e.

2

2

1

1

22

2

2

11

1

1

σµ

σµ

σµ

σµ

rr

dZdtS

dS

dZdtS

dS

−=

−

⋅+⋅=

⋅+⋅=

31

Changement de mesure

Ici nous présentons la technique qui permet d’éliminer la prime de risque.

Il s’agit de remplacer la variable aléatoire Z(t) par une nouvelle variable aléatoire Z1(t). Par

définition de la prime de risque du marché, nous avons :

r+⋅= σλµ

Nous pouvons écrire :

⋅+⋅+⋅= ∫

t

dttZddtrS

dS

0

)( λσ

Soit la variable aléatoire Z1(t) définie par :

dttZtZ

t

⋅+= ∫0

1 )()( λ

On peut alors écrire :

1dZdtrS

dS⋅+⋅= σ

Le drift de ce processus est égal au taux sans risque, la prime de risque est donc nulle :

0=−

=σ

λrr

Cependant, Z1 n’est pas mouvement Brownien, car 0)( 1 ≠= λdZE .

Ce problème peut être résolu par un changement de mesure probabilité.

Soit

⋅⋅−⋅−= ∫ ∫

t t

duuudZutW0 0

2)(2

1)()(exp)( λλ .

Utilisons W(t) comme dérivée de Radon-Nikodym pour définir une nouvelle mesure de

probabilité :

∫ ⋅=A

dPtWAP ,)()(1 )(tFA∈∀

[ ] [ ],)(1 YtWEYE ⋅= Y∀

où F(t) est la filtration naturelle du mouvement Brownien Z(t).

Alors, selon le théorème de Girsanov, sous la mesure de probabilité P1, le processus Z1 est un

mouvement Brownien.

32

Ce changement de mesure de probabilité est souvent interprété comme changement d’univers.

Ainsi, comme avec la nouvelle mesure de probabilité la prime de risque 0=λ , on est dans

l’univers risque-neutre.

Le prix de marché du risque est donc le même pour tous les actifs dont la source d’incertitude

provient du même facteur de risque. En changeant de mesure de probabilité, nous changeons

le prix du risque. En particulier, sous la mesure risque-neutre, le prix de risque est égal à zéro.

• Les modèles de taux d’intérêt à un facteur

Les modèles d’équilibre se basent sur la description de l’économie sous-jacente. Il s’agit de

construire des hypothèses sur l’évolution aléatoire des variables d’état et sur les préférences

de l’investisseur représentatif. Les conditions d’équilibre permettent d’établir le taux d’intérêt

et les prix des actifs. L’inconvénient de ce type de modèle est que pour qu’il soit conforme à

la structure par terme du marché, il faut le calibrer après avoir construit le modèle, ce qui ne

donne pas des résultats exacts.

Une approche complètement différente est basée sur le principe d’absence d’arbitrage. Des

hypothèses sont faites sur l’évolution des taux d’intérêt et les prix des actifs sont déduits en

imposant la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage dans l’économie. Ce type de

modèle est construit de façon cohérente avec le marché, la structure par termes des taux courts

sert d’input pour la construction du modèle.

Le drift du taux court est alors une fonction du temps, puisque c’est le drift qui détermine la

trajectoire moyenne future du taux court (la trajectoire étant fonction de la structure par

termes initiale).

Les modèles à un facteur ont la forme générale suivante :

dZcdtbdr ⋅+⋅= (1)

où ),( rtbb = , ),( rtcc = sont des fonctions du temps t, du taux d’intérêt r etc.

Voici quelques exemples des modèles à un facteur :

Modèle Equation de l’évolution

Black-Karasinski ( ) dZdtratrd ⋅+⋅−= σθ )ln()()ln(

CIR ( ) dZrdtrtadr ⋅⋅+⋅−= σθ )(

Variance cubique ( ) dZrdtrtadr ⋅⋅+⋅−= 2

3

)( σθ

Ho-Lee dZdttdr ⋅+⋅= σθ )(

Hull-White ( ) dZdtratdr ⋅+⋅−= σθ )(

33

La principale différence entre ces modèles provient des hypothèses sur la volatilité du taux

d’intérêt. Dans les modèles de Ho-Lee et Hull-White, la volatilité est supposée indépendante

du taux r (modèles « normaux »). Dans le modèle CIR, la volatilité est proportionnelle à

r (modèle « racine carrée »). Dans le modèle BK, elle est proportionnelle à r (modèle

« lognormal »). C’est dans ce modèle que la volatilité est le plus sensible au niveau du taux r,

alors que dans les modèles Ho-Lee et Hull-White elle l’est le moins.

Comparaison des modèles à un facteur :

Modèle Taux

positifs ?

Pas de

restrictions sur

paramètres ?

Solution

analytique

(obligations) ?

Retour à la

moyenne ?

BK + + - +

Variance cubique + + - +

CIR + - parfois +

Ho-Lee - + + -

HW - + + +

Equation des prix des dérivés

A partir du processus du taux d’intérêt, nous pouvons déduire l’équation pour les dérivés du

taux.

Soit f = f(r,t) le prix du produit dérivé du taux d’intérêt.

D’après le lemme d’Itô, nous savons que si le processus ζ admet la différentielle stochastique

dζ(t) = a(t)dt + b(t)dW(t),

et si f est une fonction de deux variables, continue, ainsi que ses dérivées 2

2

,x

fett

f

x

f

∂

∂∂∂

∂∂

alors

le processus f (t, ζ(t)) admet la différentielle stochastique

( ) )()()(2

1)()(, 2

2

2

tdWtbx

fdttb

x

fta

x

f

t

fttdf

∂∂

+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

=ξ .

Appliquons le lemme d’Itô au processus du taux (1), ce qui nous donne le processus suivi par

f :

dZdtf

dfff ⋅+⋅= σµ (2)

34

où :

cr

f

f

c

r

f

t

fb

r

f

f

f

f

⋅∂

∂⋅=

⋅

∂

∂+

∂

∂+⋅

∂

∂⋅=

1

2

1 2

2

2

σ

µ (3)

Selon la définition de la prime de risque du marché, f

f r

σ

µλ

−= . (4)

Par (2) et (3), nous obtenons :

( ) 02

2

2

2

=⋅−⋅∂

∂+

∂∂

+⋅−⋅∂∂

frc

r

f

t

fcb

r

fλ (5)

Prix des zéro-coupons :

Le prix du zéro-coupon se présente comme un dérivé du processus du taux :

),(),( trfTtP =

A la maturité, le payoff est égal à 1, i.e. :

1),( =TTP (6) En partant de la condition de borne (6), nous pouvons calculer le prix du zéro-coupon en

résolvant (5).

• Modèle de Hull & White

Dans l’univers risque-neutre, l’équation d’évolution de ce modèle est donnée par :

( ) dZdtratdr ⋅+⋅⋅−= σθ )(

où :

dr : une variation infinitésimale du taux court r ;

r : le taux court ;

a (constante) : le taux de retour à la moyenne du taux r;

θ(t) : la moyenne à long terme, c’est-à-dire la direction générale dans laquelle évolue le taux

r ; elle est choisie de manière à être conforme avec la courbe des zéro-coupons observée

sur le marché;

σ : la volatilité annuelle de r (constante).

35

En entrée pour ce modèle, nous devons spécifier a, σ et la courbe des taux initiale ; θ(t) est

déduit de l’input. Le taux d’intérêt instantané suit une loi normale et par conséquent peut

prendre des valeurs négatives. Ce modèle a la simplicité du modèle Ho & Lee, ainsi il a une

solution analytique pour les prix des zéro-coupons (ZC). L’avantage du modèle Hull & White

est qu’il incorpore le retour à la moyenne, ce qui traduit les observations empiriques : à long

terme les taux sont moins volatiles qu’à court terme.

Description du modèle

Dans ce modèle, le taux court vérifie l’équation d’évolution suivante :

)²1(²2

²)(),0()(

0

)( at

t

sta ea

sdZetftr −−− −+−= ∫σ

σ

où a et σ sont deux paramètres du modèle, calibrés sur la courbe ZC à la date de projection.

)(sZ est un mouvement brownien standard.

),0( tf est le taux forward instantané déterminé à t = 0 et commençant à t. Il se déduit de la

courbe ZC observée aujourd’hui par la formule :

t

tRttR

t

ttR

t

tPtf

∂

∂×+=

∂

×∂=

∂

∂−=

),0(),0(

)),0((),0(ln),0(

avec ),0( tP le prix à t=0 d’une obligation ZC de maturité t.

Pour un pas de temps ∆ suffisamment petit, cette formule peut être approchée par :

∆

∆−+∆×∆+∆=∆

),0())1(,0(),0(),0(

nRnRnnRnf

Calibrage du modèle

Le calibrage d’un modèle veut dire l’estimation de ses paramètres. Pour le modèle Hull &

White, les paramètres à estimer sont a et σ. Il y a plusieurs manières dont on peut calibrer un

modèle des taux d’intérêt, le choix de cette manière va influer sur les prix calculés à l’aide du

modèle.

• Approche par la volatilité historique :

les paramètres de volatilité sont déduits des données historiques.

• Approche par la volatilité implicite : les paramètres de volatilité sont déduits des prix

du marché courants des certaines options. Dans cette approche, en plus de la courbe

initiale des zéro-coupons, on a également besoin des prix des options comme input du

modèle.

36

Des études ont démontré que la première approche ne convient pas pour déterminer les prix

des options. Mis à part le problème de collecte des données historiques, la volatilité

historique sous-estime la volatilité des options. En outre, les volatilités implicites des options

sont plus élevées que les volatilités historiques.

Par ailleurs, l’approche par volatilité implicite est « market consistent » et est préconisée dans

les instructions de QIS3.

Dans cette approche, on est confronté à quelques questions, notamment :

- Quelles options choisir pour calibrer le modèle ?

- Quels paramètres doivent être constants et quels paramètres doivent être variables en

fonction du temps ?

En ce qui concerne la première question, les deux critères suivants font consensus :

- les options « benchmark » doivent être similaires au produit dont le prix on veux

estimer à l’aide du modèle ;

- les options doivent être liquides.

Ainsi, les « benchmarks » utilisés couramment sont des options sur obligations d’état,

swaptions ou les caps.

Concernant la deuxième question, les avis sont partagés. Une approche serait d’avoir les

paramètres de volatilité qui varient en fonction du temps et de les utiliser pour calibrer la

structure des volatilités initiale. Dans le modèle de Hull & White un seul paramètre – la

moyenne – dépend du temps et sert à calibrer la structure par termes initiale. Cependant, il

s’agit de choisir les paramètres de volatilité de telle manière que le modèle soit calibré sur les

prix des options de différentes maturités. En d’autres mots, si marché

P1 , marché

P2 , …, marché

nP

sont les prix des options (de maturités 1,…, n) observés sur le marché et èle

Pmod

1 , èle

Pmod

1 , …, èle

Pmod

1 sont les prix des actifs correspondants obtenus avec le modèle, alors les paramètres du

modèle doivent être choisis tels queèle

Pmod

1 , èle

Pmod

1 , …, èle

Pmod

1 sont aussi proches que

possible demarché

P1 , marché

P2 , …, marché

nP .

Par exemple, il peut s’agir de minimiser l’erreur quadratique relative moyenne :

2

1

mod

11∑=

−

n

imarché

i

èle

i

P

P

n.

Ainsi, si l’erreur est petite, on peut avoir une certaine confiance dans le modèle, i.e. que le

modèle est capable de pricer correctement les options similaires aux options « benchmark ».

Le problème de minimisation peut alors être résolu à l’aide d’outils informatiques.

Le calibrage du modèle de Hull et White consiste à choisir les paramètres a et σ de façon à

retrouver, à une marge d’erreur près, la valeur de marché réellement observée d’instruments

financiers reflétant bien le risque de taux de la Mondiale (swaptions sur swap de taux 10 ans).

37

Pour le calibrage, nous avons utilisé un outil de calibrage sous Excel/VBA fourni par Mazars.

Cet outil s’appuie sur des macros téléchargeables depuis le site de J.Hull, qui permettent de

calculer le prix de swaptions sur la base du modèle de taux d’intérêt Hull & White.

Simulation des taux courts

L’équation d’évolution des taux courts permet d’écrire la relation suivante10

, reliant les taux

courts à deux instants T et t quelconques :

Sans aucune condition sur le pas de temps ∆ , on peut donc écrire la relation de récurrence

exacte suivante entre ))1(( +∆ nr et )( nr ∆ :

[ ] )1,0(2

)1(1

²2

²),0())1(,0(

2)12(2

)1( Na

eeee

anfenfrer

ananaaa

n

a

n ×−

++−−+∆−+∆+=∆

+∆−∆−∆−∆−∆

∆−+∆ σ

σ

Cette équation de récurrence permet de calculer de proche en proche les valeurs du taux court

à chaque pas de temps. Elle fait intervenir :

� les paramètres a et σ déterminés à l’étape de calibrage du modèle ;

� les taux forward instantanés ),0( nf ∆ calculés à partir de la courbe ZC initiale à

l’aide de la formule ;

� les différentes réalisations de la loi normale standard N(0,1).

Gestion des taux d’intérêt négatifs

Dans le modèle de Hull & White à un facteur, le taux court suit une loi Normale. Ceci

implique qu’il peut prendre des valeurs négatives avec une probabilité non nulle, ce qui n’est

pas réaliste. Les acteurs financiers qui utilisent ce modèle pour évaluer des produits de taux

ont pour habitude de caper les taux courts générés à zéro, en considérant que cela aura un

impact négligeable sur le résultat final étant donné le faible nombre de scénarios concernés.

Nous adoptons donc la même approche, en validant au préalable que le nombre de scénarios

négatifs peut bien être négligé.

Soit P(t,T) le prix en t d’un zéro-coupon de maturité T-t. On peut décomposer P(t,T) en deux

dérivés, Ppo et Pne. :

10

Cf. annexe 1.

[ ] )1,0(2

)1(1

²2

²),0(),0(

)(2)(2)()()( N

a

eeee

atfeTfrer

TtatTaTatTatTa

t

tTa

T ×−

++−−+−+=−

+−−−−−−−− σσ

38

),(),(),( TtPTtPTtP nepo +=

où :

),( TtPne est le prix en t du dérivé qui verse 1 en T si et seulement si le taux d’intérêt devient

négatif à un moment entre t et T.

),( TtPpo est le prix en t du dérivé qui verse 1 en T si et seulement si le taux d’intérêt reste

positif jusqu’en T.

Ainsi, la contribution des taux négatifs peut être quantifiée à travers le rapport

),(),( TtPTtPne .

En générant N scénarii selon le modèle H&W, par la méthode Monte-Carlo, le prix du zéro-

coupon est donné par :

∑ ∫=

⋅−≈

N

i

T

t

dssrN

TtP1

)(exp1

),(

),( TtPne est la partie de la somme ci-dessus, i.e. la somme des trajectoires où le taux r prend

des valeurs négatives :

∑ ∫<

⋅−=

scertainspoursr

T

t

ne dssrN

TtP0)(

)(exp1

),( ,

et ),( TtPpo est la partie de la somme qui comprend toutes les trajectoires où r reste non-

négatif :

∑ ∫≥

⋅−=

stoutpoursr

T

t

ne dssrN

TtP0)(

)(exp1

),( .

La probabilité que r prenne une valeur négative est égale à N

N ne , avec neN le nombre de

trajectoires où r prenne un valeur négative, à n’importe quel point du trajectoire.

En pratique sur 1000 scénarii avec un horizon de projection de 30 ans, la proportion de

scénarii négatifs observés est d’environ 3.1%. Cela reste une proportion faible de scénarii et

l’on peut estimer que l’impact sur le résultat final sera négligeable.

39

Nous avons réalisé 1000 simulations de taux courts rt, pour chaque instant t=0 ... 30 ans, avec

un pas de temps ∆ = 1 an. Les taux courts générés sont ensuite utilisés pour :

� déterminer les coefficients d’actualisation des flux

� déterminer les taux OAT 10 ans : taux de réinvestissement des obligations

� simuler les rendements des actions suivant la formule de B&S, en posant le taux sans

risque égal au taux court du modèle H&W

• Taux OAT 10 ans Le taux OAT 10 ans représente le taux long sur le marché financier. Nous en avons besoin

pour traduire l’évolution du portefeuille des obligations de la compagnie : nous parton de

l’hypothèse de réinvestissement obligataire, à savoir 15% par an, réinvestis au taux OAT 10

ans + spread. Le taux OAT 10 ans est celui qui découle du modèle d’évolution stochastique

des taux courts, calculé aux différentes dates t = 1…30, pour chaque scénario. Pour calculer

ces taux, nous exprimons d’abord les taux OAT 10 ans comme une fonction de prix des ZC,

puis nous utilisons la formule des prix ZC dans le modèle de Hull & White.

La formule suivante permet d’exprimer le taux OAT 10 ans en fonction des prix des ZC de

maturités comprises entre 1 et 10 ans :

∑=

+

+−=+

10

1

),(

)10,(1)10,(

i

ittP

ttPttOAT

Dans le modèle de Hull & White, le prix à t d’une obligation ZC d’échéance t + T est donné

par la formule :

( )

−−−−×

−−

+=+

−−−

3

22

4

)²1()1(²),0()(

1exp

),0(

),0(),(

λσ

λ

λλλ TtT eetftr

e

tP

TtPTttP

Ces deux relations permettent de calculer les taux OAT 10 ans aux dates t= 1 … 30.

• Tests de validation

- Réconciliation entre la moyenne des taux d’actualisation sur les 1000 simulations et

la courbe des taux ZC initiale :

Par définition, le prix à t = 0 d’une obligation ZC de maturité T s’écrit :

−= ∫

T

sdsrETP0

exp),0(

40

Dans le modèle de H&W à un facteur, les taux courts sont calibrés de façon à caler à la

courbe des taux zéro-coupons observée à t = 0. Un test utile consiste à vérifier que la

moyenne des facteurs d’actualisation issus des 1000 scénarios H&W permet bien de retrouver

la courbe des taux ZC initiale.

Le graphique ci-dessous compare la courbe des taux ZC moyens (obtenus à partir de la

moyenne sur 1000 simulations des facteurs d’actualisation), et la courbe ZC initiale qui a

servi à calibrer le modèle de Hull & White :

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

4.0%

1 11 21 31 41 51

moyenne des ZC H&W

ZC initiale

Le test de validation est satisfaisant.

- Validation des taux OAT 10 ans

Nous utilisons la formule en annexe 2 pour valider que la moyenne des taux OAT générés

correspond bien à la moyenne théorique attendue. Graphiquement, cela donne :

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

0 5 10 15 20 25 30 35 40

OAT 10 ans théorique

OAT 10 ans empirique

Le test de validation est satisfaisant.

41

2) OBLIGATIONS

Le taux obligataire est calculé année après année en faisant l’hypothèse d’un réinvestissement

annuel de 15% du stock au taux OAT 10 ans + spread. Le taux de départ est le taux de

rendement réellement observé sur le portefeuille obligataire au 31.12.2005. La stochastisation

des rendements obligataires se fait par le biais des taux de réinvestissement OAT 10 ans, qui

découlent des taux courts simulés par le modèle de taux.

3) ACTIONS

Le taux de rendement des actions est généré par le modèle d’évolution des prix des actions de

type Black & Scholes, avec l’approche risque neutre : le rendement moyen attendu est le taux

sans risque, qui est également le taux court du scénario.

La volatilité des prix est estimée de façon « market consistent », en considérant la volatilité

implicite des options sur indice CAC 40 les plus liquides et à la monnaie11

.

• Modèle utilisé

Pour simuler le prix des actions, nous supposons qu’il suit un mouvement brownien

géométrique (modèle de B&S) :

( )taatt dZdtdSdS ⋅+⋅−×= σµ )( .

avec

aµ : le taux de rendement moyen attendu de l’action,

d : le taux de dividendes attendu

aσ : la volatilité des prix de l’action.

Sous la probabilité risque-neutre, on peut écrire :

( )tattt dZdtdrSdS ⋅+⋅−×= σ)( .

où tr est le taux court à la date t (suivant le processus de diffusion de Hull & White décrit

précédemment).

11

L’information sur la volatilité implicite des actifs financiers est disponible directement sur le marché.

42

Si on considère un pas de temps suffisamment petit ∆ , l’équation précédente peut être

discrétisée de la manière suivante (discrétisation d’Euler):

( ))1,0()()1( NdrSSS annnn ⋅∆+∆⋅−×=− ∆∆∆+∆ σ .

Cette dernière équation permet de générer des trajectoires de prix de l’action au cours du

temps.

• Calibrage

Les paramètres du modèle sont :

� d : le taux de dividendes moyen attendu

� aσ : la volatilité des prix de l’action

Ces paramètres sont calibrés sur les données de marché reflétant le mieux le portefeuille

actions de la compagnie, soit :

� d = taux de dividendes observé sur le portefeuille actions au 31.12.2005

� aσ = volatilité implicite moyenne d’un panel d’options sur indice Eurostoxx 50, les

plus liquides, à la monnaie ; la moyenne est pondérée par la maturité afin de donner

plus de poids aux maturités les plus longues.

• Génération des trajectoires

Nous avons généré les taux de rendement action sur un horizon de 0 à 50 ans, avec un pas de

temps ∆ =1 an. Le graphique ci-dessous représente les rendements moyens obtenus :

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

1 11 21 31 41 51

moyenne rdt action

moyenne taux court

43


Nous avons effectué les validations suivantes :

• test que l’espérance empirique de [ ]taction

t rdr −+ )( est bien nulle : on calcule la

moyenne empirique de cette différence à chaque date, et on vérifie qu’on obtient bien

zéro, à un intervalle de confiance à 95% près.

• test que l’écart-type empirique de [ ]taction

t rdr −+ )( est égal à aσ : test du Khi-deux12

.

Le test est valide pour toutes les dates de projection, à un niveau de confiance 95%.

• test d’absence d’opportunité d’arbitrage : vérification que l’espérance des prix

actualisés des actions est martingale, c’est-à-dire que la moyenne empirique des prix

des actions à la date t, actualisés à t=0, est égale au prix à t=0, à un intervalle de

confiance près.

Le graphique ci-dessous présente les résultats du tests d’AOA sur les prix des actions:

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

1 11 21 31 41 51

moyenne empirique

moyenne théorique

borne sup de l'IC

borne inf de l'IC

4) IMMOBILIER

Les taux de rendement immobilier sont générés par un modèle d’évolution des prix de type

Black & Scholes, avec l’approche risque-neutre : le rendement moyen attendu est le taux sans

risque ( = taux court du scénario).

Pour la volatilité, comme il n’existe pas sur le marché d’instruments dérivés ayant pour sous-

jacent des actifs immobiliers, il n’est pas facile de définir une approche cohérente avec le

12

Cf. annexe 3.

44

marché. C’est pourquoi nous choisissons de retenir la volatilité historique des prix de

l’immobilier, estimée à 10%.

• Modèle utilisé

Pour simuler le prix des titres immobiliers, nous supposons, comme pour les actions, qu’il suit

un mouvement brownien géométrique (modèle de Black & Scholes) :

( )tiitt dWdtlSdS σµ +∗−×= )(

avec

iµ : le taux de rendement moyen attendu de l’immobilier,

l : les loyers moyens attendus (en % du prix de l’actif) et

iσ : la volatilité des prix de l’immobilier.

Sous la probabilité risque-neutre, on peut écrire :

( )tittt dWdtlrSdS σ+−×= )(

où tr est le taux court à la date t.

Si on considère un pas de temps suffisamment petit ∆ , l’équation précédente peut être

discrétisée de la manière suivante :

( ))1,0()()1( NlrSSS innnn ∆+∆−×=− ∆∆∆+∆ σ

Cette dernière équation permet de générer des trajectoires de prix de l’immobilier au cours du

temps.

• Calibrage

Les paramètres du modèle sont :

l : le loyer moyen attendu ;

iσ : la volatilité des prix des actifs immobilier.

Ces paramètres sont calibrés sur les données de marché reflétant le mieux le portefeuille

immobilier de La Mondiale, soit :

l = loyer moyen observé sur le portefeuille immobilier de La Mondiale au 31.12.2005;

iσ = en l’absence de produits dérivés sur les actifs immobilier, on retient la volatilité

historique des prix immobilier, soit environ 10% au 31.12.2005

45

• Génération des trajectoires

Nous avons généré les taux de rendement immobilier sur un horizon de 0 à 30 ans, avec un

pas de temps ∆ =1 an.

Le graphique ci-dessous représente la moyenne des rendements obtenus :

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

1 11 21 31 41 51

moyenne rdt immo

moyenne taux court


Nous avons effectué les validations suivantes :

� test que l’espérance empirique de [ ]timmo

t rlr −+ )( est bien nulle : on calcule la

moyenne empirique de cette différence à chaque date, et on vérifie qu’on obtient bien

zéro, à un intervalle de confiance près.

� test que l’écart-type empirique de [ ]timmo

t rlr −+ )( est égal à iσ : test du Khi-deux (cf

annexe 3). Le test est valide pour toutes les dates de projection, à un niveau de

confiance 95%.

� test d’absence d’opportunité d’arbitrage : vérification que l’espérance des prix

actualisés des actifs immobiliers est martingale, c’est-à-dire que la moyenne empirique

des prix immobiliers à la date t, actualisés à t=0, est égale au prix à t=0, à un intervalle

de confiance près.

46

Le graphique ci-dessous présente les résultats du tests d’AOA sur les prix immobiliers :

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

1 11 21 31 41 51

moyenne empiriquemoyenne théoriqueborne sup ICborne inf IC

5) LOI DE LA PB DISTRIBUEE

Les scénarii d’évolution des actifs générés présentent une variabilité importante des

rendements sur l’horizon des simulations. Face à cette volatilité, pour traduire la réalité de la

mutualisation dans le temps, il apparaît nécessaire de prendre en compte tous les éléments qui

conduisent à limiter cette volatilité dans le taux de rendement servi aux assurés :

• Loi de comportement de l’assureur quant à sa politique de dégagement des plus ou

moins values latentes.

• Application des règles comptables de lissage telles que l’amortissement surcote décote

pour les obligations détenues jusqu’à leur terme, ou la constitution par tiers de la

provision pour risque d’exigibilité

• Loi de comportement de l’assureur quant à sa politique de gestion de la provision pour

participation aux excédents (PPAE) et de la PB distribuée aux assurés sous la

contrainte des taux minimum garantis.

• Provision pour risque d’exigibilité (PRE)

Par définition, la provision pour risque d'exigibilité des engagements techniques correspond à

la différence, calculée pour les placements, entre le montant global de la valeur de marché et

la valeur comptable nette des placements concernés quand cette différence est négative. En

d’autres termes, cette provision est passée lorsque l’ensemble des actifs (hors obligataires) est

en moins-value latente par rapport à leur prix d’acquisition. Elle correspond à « la perte

globale que subirait une entreprise si elle était amenée à liquider immédiatement ses

placements […]. Il s’agit donc d’une provision essentiellement prudentielle .»13

13

Selon le Conseil national de comptabilité.

47

• Provision pour participation aux excédents (PPAE)

Il s’agit du montant de la participation aux bénéfices que les assureurs décident de ne pas

incorporer immédiatement aux provisions mathématiques. Ce « matelas de sécurité » est

alimenté à la discrétion des compagnies, lorsque les clauses contractuelles ainsi que les

résultats de leur gestion financière le permettent ou inversement, diminué par prélèvements

lors des mauvaises années, pour soutenir les rendements des contrats en euros. Cette provision

de lissage de performance est constituée annuellement.

Cela pourrait se traduire par le schéma suivant :

A ce stade et pour les besoins de QIS3, nous avons considéré une seule réserve (plus-values

(PVL) + PPAE), considérant par exemple qu’il était équivalent de réaliser une plus value et de

doter simultanément la PPAE, que de conserver la valeur latente.

• Gestion d’une PRE + PPAE

La règle de reconnaissance par tiers de la provision pour risque d’exigibilité (PRE) permet un

meilleur lissage des moins values sur les actions et l’immobilier. Nous présentons ici la

démarche de modélisation mise en œuvre afin de prendre en compte la reconnaissance d’une

PRE en situation de moins value latente du portefeuille.

Rendement de marché : r(t)

T aux de PB à incorporer aux

PM

S tock de PVL

T aux de rendement comptable

Politique de dégagement des PVL

Loi de rendement comptable « cible » estimée sur un his torique des taux de de rendement comptables. Ex: alpha * Moyenne mobile OAT 10ans + spread

Dégagement de PVL en fonction du rendement comptable « cible »

Gestion d’une PRE pour lis ser les moins values action et immobilier

Gestion de la PB

PPAE

PRE

Rendement de marché : r(t)

T aux de PB à incorporer aux

PM

S tock de PVL

T aux de rendement comptable

Politique de dégagement des PVL

Loi de rendement comptable « cible » estimée sur un his torique des taux de de rendement comptables. Ex: alpha * Moyenne mobile OAT 10ans + spread

Dégagement de PVL en fonction du rendement comptable « cible »

Gestion d’une PRE pour lis ser les moins values action et immobilier

Gestion de la PB

PPAE

PRE

48

Passage du rendement du marché au rendement comptable :

Rdt de marché des actions

Rdt de marché des actifs

immobiliers

% action

% immo

Rdt de marché des actifs (T RA)

Loi de rendement comptable :

Moyenne 7 ans de l’OAT 10 ans + spread

Rdt comptable cible (RCCible)

Rdt de marché des obligations

% oblig

S tock +/- VLN-1

+/- VLDe l’année n

S tock +/- VL n début

+

S ituation de plus value globale ��

pas de PRE

Si >0

Si TRA + stock plus values > RCCible

Réalisation des plus values actions +

immo nécessaires pour atteindre le

RCCible

Réalisation de toutes les plus values

actions + immo. Rdt comptable < RCCibleSi TRA + stock plus

values < RCCible

S tock +/- VL n fin =stock début –

plus values réalisées

S ituation de moins value globale ��

reconnaissance d’une PRE

Si < 0

PPAE n-1 PPAE n

PRE débutDotation à la

PRE

Reprise de PRE s i PRE début >0

(dotation négative)

Si +value

Dotation = 1/3 des moins values (+ contrainte : PRE fin < values totales)

Si moins values

PRE fin

Calcul du T RA avec rdt immo =

rdt action = dotation PRE

Prélèvement sur le fonds de PB pour servir le RCCible

Si TRA < RCCible

49

22.. CCAALLCCUULL DDEESS PPRROOVVIISSIIOONNSS

1) EVALUATION « BEST ESTIMATE »

La valeur des provisions « best estimate » est égale à la valeur actuelle probable des cash

flows futurs (sur toute la période de « run off »14

), en utilisant la courbe des taux sans risque

et, comme données de base, l’information courante fiable et des hypothèses réalistes.

En fait, le « best estimate » n’est rien d’autre que la moyenne de distribution de la valeur

actuelle probable des cash flows futurs, qui correspondent aux engagements présents. Pour

effectuer ces calculs, il est nécessaire de projeter les cash flows.

Le modèle présenté ci-dessus sert à faire les projections pour calculer la valeur « best

estimate » des provisions. Il s’agit de projeter 1000 scénarii stochastiques, chacun sur une

période de 30 ans. Le « best estimate » est ainsi la moyenne des 1000 scénarii.

Bien évidemment, la projection de tous les flux de la compagnie est un processus complexe,

qui a nécessité plusieurs hypothèses et modèles auxiliaires. L’évaluation stochastique des

actifs permet de projeter dans le futur les principaux flux, qui entrent dans le calcul des

provisions. Par exemple, la loi de gestion des plus/moins values et de la provision pour

excédents nous permettent de modéliser le taux de la PB servi pour les 30 ans à venir. Les

autres flux concernent le versement des primes et des prestations, les décès et les rachats ainsi

que les frais réels. Des hypothèses sur les lois gérant ces phénomènes ont également été faites,

mais compte tenu de leur caractère assez simplifié, nous ne nous attarderons pas sur les

détails. Ces paramètres vont sûrement évoluer d’ici l’entrée en vigueur de Solvabilité II.

A titre d’exemple, la loi des rachats anticipés est une fonction du différentiel entre le taux

servi par les contrats et le taux d’intérêt sur le marché (issu du modèle).

Les projections ont été réalisées à l’aide du logiciel de modélisation « Moses ».

Le taux d’actualisation pour les flux projetés se déduit des taux courts générés dans chaque

scénario par la formule :

( ) ∫−=+

=T

sTdsr

TRTionactualisatdFacteur

0

)exp(),0(1

1)('

avec les notations suivantes :

),0( TR : le taux zéro coupon discret démarrant à t = 0 et d’échéance T

sr : le taux court.

14

L’horizon temporel qui permet de prendre en compte tous les flux potentiels associés au portefeuille de

contrats que détient l’assureur au moment de l’évaluation, i.e. la durée de vie de son portefeuille.

50

2) MARGE DE RISQUE

La marge de risque couvre les risques liés au marché et aux futurs flux du passif, sur la totalité

de l’horizon temporel. Elle doit être déterminée de façon à ce que les engagements de

l’assureur puissent être repris par une autre compagnie ou mis en « run off ». Ainsi,

l’incertitude inhérente à la valeur « best estimate » est prise en compte et les droits du

souscripteur ont une protection.

Du point de vue comptable, la marge de risque représente, lors du transfert du portefeuille

vers un autre assureur, une compensation pour le risque contenu dans le passif transféré.

Du point de vue de solvabilité, cette marge fait partie des mesures de prudence pour assurer

un niveau de confiance. Ensemble avec les autres éléments du passif, elle contribue à ce que

le nouveau régime de solvabilité soit suffisamment fiable.

Dans les deux cas, la marge peut être vue comme le reflet de l’incertitude liée à la valeur

« best estimate » des PM.

Le mode de calcul des provisions a fait l’objet d’intenses débats au sein du CEIOPS et avec

les assureurs.

Ainsi, la Commission a commencé par retenir deux méthodes possible pour le calcul de la

marge :

- L’approche par quantile : la marge de risque est la différence entre le quantile 75% de

la distribution sous-jacente des PM et la valeur « best estimate ». Cette méthode a été

un temps défendue par la Commission Européenne et le CEIOPS.

- L’approche « Coût du capital » (Cost of capital, CoC) : la marge de risque est le coût

du capital nécessaire pour supporter le portefeuille sur la période « run off ». Cette

technique a été préconisée par le CEA et mise en oeuvre dans la réglementation suisse

(Swiss Solvency Test) depuis le 01/01/2006.

• Approche par quantile

La méthode de quantile consiste, une fois spécifié un certain pourcentage, ou quantile (par

exemple 75%), à calculer la provision telle que la probabilité que le coût total ne dépasse pas

la provision, soit égale au quantile. Plus le quantile choisi est élevé, plus la provision l’est.

Cette approche est basée directement sur la mesure de probabilité sous-jacente à l’évaluation

du passif. Il s’agit d’estimer le montant des provisions nécessaire pour couvrir tous les

engagements avec une probabilité prédéfinie (75%), sans tenir compte des cas les plus

défavorables (« worst case scenarii »)15

.

Calculée de cette manière, la marge de risque fournirait, par construction, une protection dans

le scénario où l’assureur devait payer tous ses engagements. Cependant, le lien avec une

protection adéquate en cas du transfert du portefeuille n’est pas établi. En effet, aucune

donnée ne montre que le marché impliquerait le recours à une mesure de probabilité de l’ordre

15

Ils seraient pris en compte grâce au capital de solvabilité.

51

de 75% en tant qu’estimation de la valeur du marché des engagements. De plus, cette méthode

demande la connaissance de la distribution entière du passif du portefeuille, ce qui n’est pas

du tout évident à établir. Pour déterminer directement la distribution empirique, il faudra un

grand nombre de données empiriques relatives au portefeuille. Pour approcher la distribution

par une distribution théorique, il faudra toujours des données historiques de bonne qualité

pour estimer les paramètres de la distribution théorique. Dans le cas d’assurance vie, souvent

on ne dispose pas de suffisamment de données pour effectuer des estimations fiables de tous

les paramètres.

• CoC

Cette méthode se base directement sur le concept de « valeur de sortie » des provisions

techniques. Le cadre de l’approche est basé sur le concept suivant : ce qu’un investisseur

rationnel demanderait en plus de la valeur « best estimate » des PM pour reprendre le

portefeuille. Ce concept peut servir tant dans la perspective de « run off » que de transfert du

portefeuille, puisque le mot « investisseur » peut se référer tant aux détenteurs du capital de

l’assureur qu’aux acheteurs potentiels du portefeuille. Donc, par construction, la méthode

CoC remplit les deux conditions imposées par la Commission : couverture de tous les

engagements et possibilité de transfert du portefeuille vers un repreneur potentiel.

En pratique, on suppose que la marge de risque mesure le coût du futur capital de

solvabilité (SCR) nécessaire pour détenir le portefeuille jusqu’au « run off » ou pour le

transférer vers un autre assureur. Calculée ainsi, la marge de risque devrait, par construction,

garantir que le SCR nécessaire sera atteint à tout moment dans le futur et, de par-là, la

couverture des engagements avec un haut niveau de confiance (à savoir, 99,5% sur une

année). Cependant, la robustesse de la méthode dépend de la robustesse du calcul du SCR.

En outre, la méthode CoC présente deux caractéristiques particulières. D’une part, elle est

théoriquement mieux connectée à la valeur de marché que l’approche « quantile », la marge

de risque étant calculée en tenant compte du coût du capital sur le marché (i.e. le rendement

exigé par les personnes prêtant du capital, par exemple les dividendes versés aux

actionnaires). D’autre part, si la réglementation propose des approximations et des

simplifications satisfaisantes, elle pourrait s’avérer plus simple d’utilisation que la méthode

du quantile.

Le raisonnement à la base de cette méthode est le suivant. En situation de « going concern

basis » 16

, l’assureur sera tenu de remplir ses obligation en matière de solvabilité vis-à-vis des

autorités mais également du point de vue commercial, pour attirer des clients. Un certain coût

est associé à ce besoin de maintenir le niveau du capital suffisant pour couvrir le SCR de

l’affaire (sur toute la période « run off » de son portefeuille). Ce coût est égal à la différence

entre le taux de rendement nécessaire et le taux de rendement des actifs en couverture, après

déduction des impôts.

Les travaux du régulateur suisse suggèrent que pour les compagnies avec un rating BBB le

coût observé est approximativement de 6%. (Le rating BBB correspond au niveau de

confiance de 99,5% sur un an, c'est-à-dire le niveau de confiance retenu dans les hypothèses

de calcul du SCR actuellement.)

16

L’hypothèse que la compagnie va continuer à opérer dans un futur prévisible et ne fera pas faillite.

52

• Stress testing

Une troisième approche (pour l’assurance vie) a également été considérée. Il s’agit d’une série

de stress tests appliqués directement lors de l’évaluation des provisions. Un tel test spécifierait

les scénarii de stress pour tous les facteurs de risque qui seraient pertinents pour le calcul de la

marge de risque. Ensuite, les accroissements des provisions lors de chaque scénario et pour

chaque risque seraient agrégés à l’aide d’une matrice de corrélation, ce qui donnerait la marge

de risque globale.

Cette méthode, testée lors du QIS 2, présente quelques avantages indiscutables :

- elle est plus aisée à mettre en pratique qu’une approche par simulations ;

- si tous les assureurs utilisent les mêmes scénarios prédéfinis, les résultats des

différentes compagnies seront forcément comparables entre eux ;

- les résultats sont plus faciles à interpréter, puisque les sources de risque sont mises en

évidence.

Malgré tout cela, la méthode de stress testing n’a pour l’instant pas été retenue pour plusieurs

raisons:

- il n’est pas évident quels scénarii correspondraient au niveau de confiance voulu ;

- il s’agirait de recourir à des méthodes différentes en assurance vie et non vie ;

- il est possible que certains risques, modélisés dans les scénarii, seraient pris en compte

deux fois, au cas où l’évaluation des provisions en tiendrait déjà compte.

L’approche CoC l’a emporté, et sera applicable par toutes les entreprises d’assurance dès

l’entrée en vigueur des normes Solvency II. Il faut aussi remarquer que le QIS 2 n’a pas

montré de différence importante globale quant au résultat obtenu en calculant la marge de

risque par l’approche quantile à 75% ou par la méthode CoC à 6%, quoique des différences

ponctuelles importantes existent pour quelques assureurs. Cependant, la méthode de quantile

correspond mieux à l’esprit de la réforme, qui vise à protéger les assurés : selon la logique de

cette méthode ils seraient indemnisés à 75%, alors que la méthode CoC se préoccupe plus du

fonctionnement du marché d’assurance (la possibilité de transfert de portefeuilles entre les

assureurs est une des hypothèses sous-jacentes à la méthode CoC).

• L’expérience suisse : le SST

La méthode CoC est déjà appliquée en Suisse, dans le cadre du projet « Swiss Solvency

Test » (SST)17

.

L’approche suisse est basée sur une approche « market consistent », avec des simplifications

suivantes :

- le risque de marché de l’actif est supposé être inchangé entre t = 0 et t = 1, i.e. le

portefeuille d’actifs est supposé être stable durant la première année ;

- on ne prend pas en compte les risques liés aux nouvelles affaires de l’année;

17

C’est également la méthode utilisée par les assureurs européens pour le calcul de l’European Embedded Value

ainsi que pour estimer la valeur de certaines transactions.

53

- le facteur du coût du capital est supposé être de 6% pour tous les assureurs (ce qui

correspond à une estimation du coût de capital pour une compagnie dont le rating est

BBB, i.e. le niveau de confiance est équivalent à VaR 99,6% - 99,8%).

L’approche suisse tient compte de l’impact de l’actif sur l’évaluation des provisions. Cela

signifie que si un assureur subit des problèmes financiers, sa situation peut s’aggraver si son

portefeuille d’actif n’est pas assez liquide. On suppose que ce portefeuille ne pourra pas être

« dé-risqué » (i.e. transformé en un portefeuille de réplication optimal) instantanément. Par

conséquent, on laisse un délai de temps pour effectuer cette transformation, en tenant compte

des caractéristiques de liquidité des actifs concernés.

Strictement parlant, l’inclusion de ce risque de marché dans les projections des SCRs pour

calculer la marge de risque, n’est pas conforme aux principes de l’approche « market

consistent », puisque, intuitivement on s’attend à ce que l’influence du portefeuille d’actifs de

l’assureur sur la valeur de son passif soit limitée du fait que les risques du passif ne sont pas

couvrables (e.g. des risques financiers avec une longue duration). De plus, on pourrait aussi

croire que le manque de liquidité des actifs a déjà été reflété dans leur valeur de marché. De

ce fait, les autorités suisses sont en train de considérer l’éventuelle hypothèse que le

portefeuille de réplication optimal soit atteint en t=1 (c’est à dire que le risque de marché des

actifs ne sera pas projeté au-delà de t =1).

L’expérience suisse dans ce domaine a jusque-là été positive, dans la mesure où la marge de

risque calculée avec la méthode CoC est sensible aux risques sous-jacents au passif de

l’assureur, ce qui mène à croire en sa fiabilité. Notamment, on a pu constater que :

- Pour un portefeuille avec une duration longue et le niveau de risque important, la

marge de risque sera relativement élevée.

- Si la compagnie est principalement exposée au risque de marché (e.g. les contrats

d’épargne) ou que la duration de son portefeuille est courte, la marge de risque sera

relativement basse.

• Calcul de la marge de risque selon CoC :

1) Projeter le SCR dans le futur sur la période « run off » du portefeuille actuel pour

chaque groupe de risques homogènes.

2) Déterminer le coût de détention des futurs SCRs en multipliant les SCRs projetés par

un facteur CoC.

3) Actualiser le coût au taux sans risque.

La principale difficulté pratique est de projeter les SCRs futurs. Deux approches différentes

(par leur degré de complexité) peuvent être envisagées :

- L’approche sophistiquée consiste à projeter les facteurs de risques du passif sur toute

la période de « run off ». Le facteur CoC est ensuite appliqué à la valeur actuelle des

futurs SCR (actualisés avec la courbe ZC de la date 0) et on obtient ainsi la marge de

risque.

54

- L’approche simple : pour les SCR des années futures, on fait l’hypothèse que les

composantes, correspondant à chaque risque, sont proportionnelles aux provisions

« best estimate ».

C’est à dire que les contrats sont repartis entre les catégories de risque, puis les calculs décrits

ci-dessus sont effectués, avec l’approximation suivante :

i

iii

BE

BESCRSCR

1

212 ' ⋅= ,

i

iii

BE

BESCRSCR

1

313 ' ⋅= ,

etc.

Ainsi, pour la catégorie i :

%6)),0(1(

30

1

×+

=∑=j

j

i

ji

jZC

SCRcapitalofCost

Dans QIS 3, le SCR de la 1ère

année tient compte du risque de marché et du risque de crédit,

alors que à partir de la 2ème

année, les SCR ne tiennent compte que des risques de souscription

et opérationnel, ainsi que du risque de crédit des réassureurs. Pour l’instant, la question sur la

durée pour laquelle il faut tenir compte du risque de crédit, reste ouverte.

33.. CCAALLCCUULL DDUU CCAAPPIITTAALL RREEQQUUIISS ((SSCCRR)) :: LLAA FFOORRMMUULLEE SSTTAANNDDAARRDD

Lorsqu’en parle de « risque » en relation avec le régime Solvabilité II, il s’agit d’une variation

de valeur, positive ou négative, i.e. d’une déviation de la valeur attendue.

Depuis QIS2, la formule standard est construite dans la logique « bottom-up » (i.e. « du bas

vers le haut »), à savoir que d’abord on estime la charge de capital pour chaque risque

individuel (par modules), puis on combine les différentes charges pour arriver au SCR global.

Cette approche a été retenue tout d’abord pour des raisons pratiques, car elle permettait de

traiter un par un les différents risques, laissant la possibilité de tester plusieurs modèles pour

chaque risque et de les adapter en fonction de la nature du risque. Ainsi, le CEIOPS a pu

analyser le traitement qui conviendrait le mieux pour chaque type de risque et de trouver le

bon équilibre entre la complexité des calculs et la sensibilité du modèle. De plus, l’approche

par module (plutôt qu’un seul chiffre, i.e. le SCR) offrirait aux superviseurs l’accès aux

informations plus détaillées en matière d’exposition aux risques de chaque assureur et leur

permettrait d’adapter leur action aux circonstances individuelles de chacun. Un autre avantage

pour les assureurs serait la relative facilité de transition vers un modèle interne, partiel ou

complet.

55

Il importe cependant de garder dans l’esprit quelques difficultés qui surgissent:

- Les interdépendances entre les différents risques ne sont pas évidentes à quantifier,

alors que la connaissance des facteurs de corrélation est indispensable pour passer des

charges en capital individuelles vers le SCR global ;

- La gestion des affaires chez un assureur peut être basée sur une structure de risques

complètement différente. Ceci pourrait mener à une omission des sources de risques

importants ou à une augmentation significative du coût de passage vers le nouveau

système.

Les paramètres et les hypothèses utilisées dans le calcul du SCR sont choisis pour refléter la

VaR calibrée au niveau de confiance de 99,5% sur un an.

Pour agréger les modules des risques individuels dans un SCR global, on utilise des

techniques de corrélation linéaire. Les coefficients de corrélation sont déterminés de manière

à refléter les dépendances potentielles dans les queues des distributions ainsi que la stabilité

des hypothèses sur la corrélation dans des conditions de stress. En théorie, ce n’est pas la

méthode la plus correcte, mais elle fournit une bonne approximation et donc a été adoptée

comme pratique.

Le SCR se compose du SCR de base (BSCR) et la charge de capital pour le risque

opérationnel (SCRop) :

SCR = BSCR + SCRop

Le BSCR comprend 5 grandes catégories de risques (marché, non-vie, vie, défaut et santé18

).

Dans chacun de ces modules, les risques sont subdivisés en sous-catégories. Les charges de

capital sont calculées pour chaque sous-module, puis agrégées selon l’approche suivante :

1) Tous les risques appartenant à la même catégorie sont combinés à l’aide de matrices

de corrélation pour aboutir à la charge du risque du marché.

2) Ensuite, les principales catégories de risques sont combinées à l’aide d’une matrice de

corrélation pour arriver au BSCR.

18

Ici nous ne présenterons que les modules qui concerne La Mondiale, à savoir : SCR risque de marché, SCR

risque de défaut et SCR risque souscription vie.

56

La structure de la formule standard en assurance vie :

(En gras italique : les modules avec ajustement pour la PB future ou « KC ».)

1) SCR RISQUE OPERATIONNEL

C’est le risque de subir une perte à cause d’une défaillance du fonctionnement interne, causée

par des personnes, le système ou des événement extérieurs. Ce risque inclut également les

risques légaux, quoique les risques de réputation et les risques liés aux décisions stratégiques

n’entrent pas dans cette catégorie.

Il n’est pas évident d’estimer la charge de capital pour ce risque, principalement faute de

données. Le degré de complexité lié à ces calculs varie d’un assureur à l’autre. Cependant, le

risque opérationnel représente une menace potentielle à la protection des assurés, c’est donc

une classe de risques très importante.

La détermination de charge en capital (ce n’est pas encore la version finale) dans QIS 3 se fait

à l’aide d’une formule simple, où les provisions et les primes versées servent d’input.

La formule globale pour le risque opérationnel en assurance vie est la suivante :

{ }{ }lifelifeloadop TPEarnBSCROpSCR ⋅⋅⋅= 003.0;03.0max;min

où

SCR total

BSCR SCR risque opérationnel

SCR risque de marché SCR risque de défaut SCR risque souscription vie

Risque de taux

Risque actions

Risque immobilier

Risque de spread

Risque de concentration

Risque de devise

Mortalité

Longévité

Invalidité

Rachat

Dépenses

Révision de rentes

Catastrophe

57

SCRop : les charges de capital pour le risque opérationnel ;

Opload : un coefficient prédéfini à 30% ;

Earnlife : total des primes vie gagnées ;

TPlife : Total des provisions techniques de l’assurance vie;

La formule a évolué depuis QIS2 dans la mesure où Opload a été introduit pour limiter le

SCRop à un pourcentage des autres besoins en capital, BSCR. Cependant, CEIOPS considère

que cette formule nécessite davantage de développements, notamment pour les activités en

unités de comptes. En effet, une augmentation de la valeur liquidative, et donc de la PM (au

quel cas la situation devient plus favorable pour le souscripteur, son contrat valant plus) va

augmenter la charge pour le risque opérationnel et donc pénaliser la compagnie. Ces

réflexions font que la formule telle qu’elle est ne peut pas être considérée comme proposition

finale.

2) CALCUL DU SCR DE BASE (BSCR)

Le BSCR est le capital de solvabilité requis avant tout ajustement, en combinant les charges

de capital pour les cinq principales catégories de risque.

Les données suivantes sont nécessaires :

SCRmkt : les charges de capital pour le risque de marché ;

SCRdef : les charges de capital pour le risque de défaut de contrepartie ;

SCRlife : les charges de capital pour le risque de souscription vie19

;

SCRnl : les charges de capital pour le risque de souscription non vie ;

SCRhealth : les charges de capital pour le risque de souscription santé ;

FDB : Montant total des provisions correspondant aux bénéfices discrétionnaires futurs ;

KClife : l’effet d’atténuation du risque des futures participations aux bénéfices pour le

risque de souscription vie ;

KChealth : l’effet d’atténuation du risque des futures participations aux bénéfices pour le risque

de souscription santé ;

KCmkt : l’effet d’atténuation du risque des futures participations aux bénéfices pour le

risque de marché ;

⋅⋅−⋅⋅= ∑∑××

FDBKCKCCorrSCRSCRSCRCorrSCRBSCR cr

cr

cr

cr

crcr ;min ,,

où :

CorrSCRr,c : les cellules correspondantes de la matrice de corrélation CorrSCR ;

SCRr, SCRc : les charges de capital de chaque risque de SCR en fonction des lignes et

des colonnes de la matrice de corrélation CorrSCR ;

KCr, KCc : effet d’atténuation des SCR individuels ;

19

Hors le potentiel effet d’atténuation de risques par la future participation aux bénéfices.

58

CorrSCR est définie comme suit :

CorrSCR = SCRmkt SCRdef SCRlife SCRhealth SCRnl

SCRmkt 1

SCRdef 0.25 1

SCRlife 0.25 0.25 1

SCRhealth 0.25 0.25 0.25 1

SCRnl 0.25 0.5 0 0 1

• Module de risque de marché SCRmkt

Les informations de base suivantes sont nécessaires :

Mktint : les charges de capital pour le risque de taux d’intérêt;

Mkteq : les charges de capital pour le risque d’actions;

Mktprop : les charges de capital pour le risque immobilier ;

Mktsp : les charges de capital pour le risque de spread ;

Mktconc : les charges de capital pour les concentrations de risque ;

Mktfx : les charges de capital pour le risque de devise ;

KCeq : l’effet d’atténuation du risque des futures participations aux bénéfices (PB)

pour le risque action ;

KCprop : l’effet d’atténuation du risque des futures PB pour le risque immobilier ;

KCfx : l’effet d’atténuation du risque des futures PB pour le risque de devise ;

KCint : l’effet d’atténuation du risque des futures PB pour le risque de taux d’intérêt ;

KCsp : l’effet d’atténuation du risque des futures PB pour le risque de spread.

Les charges de capital pour le risque de marché20

, SCRmkt, sont calculées en combinant les

sous-risques de marché à l’aide d’une matrice de corrélation :

∑×

⋅⋅=cr

crcrmkt MktMktCorrMktSCR ,

où :

CorrMktr,c : les cellules de la matrice de corrélation CorrMkt ;

Mktr, Mktc : les charges de capital pour les risques de marché spécifiques en fonction

des lignes et des colonnes de la matrice de corrélation CorrMkt.

20

Hors le potentiel effet d’atténuation des risques par les futures PB.

59

La matrice de corrélation CorrMkt est définie comme :

CorrMkt Mktint Mkteq Mktprop Mktsp Mktconc Mktfx Mktint 1

Mkteq 0 1

Mktprop 0.5 0.75 1

Mktsp 0.25 0.25 0.25 1

Mktconc 0 0 0 0 1

Mktfx 0.25 0.25 0.25 0.25 0 1

Le CEIOPS a déclaré dans Consultation Paper 20 qu’il reconnaît que sur le risque de marché,

l’approche de la QIS2 n’a pas permis la prise en compte adéquate des effets de la

diversification et que certaines hypothèses de corrélation entre le risque de taux d’intérêt, le

risque de fonds propres, le risque immobilier et le risque de devise appliquées dans la QIS2

devraient être révisées à la baisse. Les valeurs indiquées ici reflètent un choix initial. La

détermination finale de la taille des coefficients de corrélation dans le module du risque de

marché exigera un travail technique approfondi.

L’effet d’atténuation du risque KCmkt des futures PB pour le risque de marché est déterminé

comme suit :

∑×

⋅⋅=cr

crcrmkt KCKCCorrMktKC ,

Risque de taux d’intérêt Mktint

Le risque de taux d’intérêt existe pour tous les actifs et passifs dont la valeur est sensible aux

variations de la structure de la courbe de taux d’intérêt ou la volatilité des taux d’intérêt et qui

ne sont pas affectés aux polices dans lesquelles les souscripteurs supportent le risque

d’investissement (par exemple, les contrats en unités de compte). Dans tous les cas, il s’agit

d’investissement à revenu fixe, de passifs d’assurance, d’instruments de financement et

dérivés de taux d’intérêt. La valeur des éléments de passif et d’actifs sensibles aux variations

de taux d’intérêt peut être déterminée à l’aide de la courbe des taux.

Les charges de capital pour le risque de taux d’intérêt sont déterminées comme le résultat

d’un scénario prédéfini :

{ }shockdownwardNAVshockupwardNAVMkt ∆∆= ;;0maxint

60

où

shockupwardNAV∆ et shockupwardNAV∆ sont les variations de la valeur nette

de l’actif et du passif suite à la réévaluation de tous les instruments sensibles aux taux

d’intérêt, lorsque la courbe des taux a été altérée.

( )chocaprèschocavant PassifsActifsPassifsActifsNAV −−−=∆ )(

Les structures par termes choquées sont obtenues en multipliant la courbe des taux en vigueur

par (1 + sup

) et (1 + sdown

).

Risque actions Mkteq

Le risque actions provient du niveau du cours des actions ou de sa volatilité. Ainsi, tous les

actifs et les passifs dont la valeur est sensible aux variations des cours des actions sont

concernés par ce risque.

Ce sous-module vise à mesurer uniquement le risque non diversifiable, alors que le risque

diversifiable est traité dans le sous-module du risque de concentration. On utilise des indices

comme approximations, pour obtenir les informations sur la volatilité et la corrélation. On

suppose que le portefeuille d’actions de la compagnie a la même exposition au risque du

marché (non diversifiable) que l’indice qui sert à approcher le risque. En termes financiers

cela veut dire que le bêta du portefeuille de l’assureur est supposé être égal à 1.

N° Indice

1 Global

2 Other

1ère

étape :

pour chaque indice i, on détermine la charge de capital suite à l’application du choc sur les

cours de l’indice :

{ }0;max, iieq shockequityNAVMkt ∆=

où :

Equity shock i : Chute indiquée de la valeur de l’indice i dépendant du niveau de

confiance et de l’écart-type de l’indice i.

Mkteq,i : la charge de capital pour le risque actions correspondant à l’indice i.


61

Les scénarii des chocs sont les suivants :

Global Other

Equity shock i 32% 45%

La charge de capital Mkteq,i est déterminée comme l’effet immédiat sur la valeur nette des

actifs et des passifs espérés dans le cas d’un scénario de choc sur actions (i.e. Equity shock i ).

2ème

étape :

la charge de capital pour le risque actions Mkteq est calculée en combinant les charge de

capital pour chaque indice à l’aide d’une matrice de corrélation :

∑×

× ⋅⋅=cr

cr

cr

eq MktMktCorrIndexMkt

où :

CorrIndexrxc

: les cellules de la matrice de corrélation CorrIndex ;

Mktr, Mktc : les charge de capital pour le risque action par indice spécifique en

fonction des lignes et des colonnes de la matrice de corrélation

CorrIndex.

La matrice CorrIndex est définie par :

CorrIndex Global Other

Global 1

Other 0.75 1

Le risque immobilier Mktprop

Le risque immobilier provient du niveau des cours de l’immobilier ou de sa volatilité.

La charge de capital pour ce risque est le résultat d’un scénario prédéfini :

shockpropertyNAVMkt prop ∆=

où le choc immobilier (property choc) est l’effet immédiat sur la valeur nette des actifs et des

passifs en cas d’une baisse de 20% des benchmarks immobiliers.


62

L’effet d’absorption du risque KCprop est la différence entre les calculs où le taux de PB future

reste inchangé et les calcul où le taux est influencé par le choc.

La Mondiale a également testé l’approche alternative pour les risques actions et immobilier.

Cette approche permettrait de mieux refléter l’adéquation entre l’actif et le passif, car elle est

basée sur la duration des passifs.

On fait l’hypothèse que la duration du portefeuille des actions est égale à celle du passif.

En fonction de la duration du passif, on applique les choc suivants :

Pour les actions :

Duration du portefeuille Choc à appliquer

0 - 2 ans 36%

2 - 5 ans 33%

5 - 10 ans 23%

> 10 ans 13%

Pour l’immobilier :

Duration du portefeuille Choc à appliquer

0 - 2 ans 18%

2 - 5 ans 17%

5 - 10 ans 12%

> 10 ans 7%

Risque de devise Mktfx

Le risque de devise provient du niveau des taux de change ou de leur volatilité.

La charge en capital est calculée ainsi :

shockfxNAVMkt fx ∆=

où le fx shock est l’effet immédiat sur la valeur nette de l’actif et du passif en cas de variation

de 20% dans la valeur de toutes les autres devises par rapport à l’euro (la devise dans laquelle

la compagnie établit ses comptes réglementaires).


Risque de spread Mktsp

Le risque de spread est la part de risque issue des instruments financiers et qui est expliquée

par la volatilité des spreads de crédit sur la structure de courbe de taux d’intérêt sans risque. Il

63

reflète la variation de valeur due à un mouvement de la courbe de crédit relative à la structure

du taux sans risque21

.

Les chocs appliqués tiennent compte de la durée d’exposition au risque de crédit et de la

notation (rating) de l’exposition au risque de crédit.

La charge de capital pour le risque de spread est déterminée à l’aide de la formule suivante :

{ })()( ii

i

isp ratingFdurmMVMkt ⋅⋅=∑

avec

ratingi : la notation externe de l’exposition au risque de crédit i ;

duri : la durée effective de l’exposition au risque de crédit i ;

MVi : l’exposition au risque de crédit i telle que déterminée en référence aux valeurs

du marché ;

F(ratingi) : une fonction de la classe de notation de l’exposition au risque de crédit, qui

est calibrée pour fournir un choc cohérent avec la VaR à 99,5% ;

ratingi F(ratingi)

AAA 0.25%

AA 0.25%

A 1.03%

BBB 1.25%

BB 3.39%

B 5.60%

CCC 11.20%

NR 2.00%

m(duri) : fonction de la duration de l’exposition au risque de crédit.

=

=

=

=

casautreslespourdur

CCCratingsidur

Bratingsidur

NRouBBratingsidur

durm

i

ii

ii

ii

i)4;min(

)6;min(

)8;min(

)(

Concentrations du risque de marché Mktconc

Les concentrations du risque de marché présentent un risque supplémentaire pour l’assureur à

cause de :

- la volatilité supplémentaire qui existe dans les portefeuilles d’actifs concentrés ;

21

Les emprunts d’Etats sont exemptés de l’application de ce module.

64

- le risque supplémentaire de perte de valeur partielle ou totale définitive en raison de la

défaillance d’un émetteur.

Il s’agit du risque concernant l’accumulation des expositions avec la même contrepartie. Les

emprunts d’Etats ne sont pas concernés par ce module.

Les expositions au risque des actifs doivent être regroupés selon les contreparties, en

fournissant les données suivantes :

Ei : l’exposition nette par défaut à la contrepartie ;

Assetsxl : le montant du total des actifs sauf ceux pour lesquels le risque

d’investissement est supporté par le souscripteur ;

Ratingi : la notation externe de la contrepartie i.

Le calcul est effectué en trois étapes :

1. Exposition excédentaire :

−= CTAssets

EXS

xl

i

i ;0max

où CT est le seuil de concentration, défini en fonction de la notation de la contrepartie :

Notationi CT

AA, AAA 5%

A 5%

BBB 3%

BB et autres 3%

2. Charge de concentration du risque « par nom » :

)( 10 iixli XSggXSAssetsConc ⋅+⋅⋅=

avec les paramètres g0 et g1 donnés en fonction de la notation de crédit de la contrepartie :

Notationi Etape de qualité de crédit g0 g1

AAA

AA 1 0,184 0,0401

A 2 0,2684 -0,0163

BBB 3 0,3862 -0,0416

BB et autres 4 à 6

NR - 0,9227 -0,4314

3. Le besoin total en capital pour les concentrations du risque de marché est déterminé en

supposant l’indépendance entre les besoins de chaque contrepartie i :

65

∑=i

iconc ConcMkt 2

Par ailleurs, rappelons que ce sous-risque n’est pas concerné par l’effet d’absorption des

risques par le future PB.

Absorption des pertes par la PB future

Les calculs des KC ( KCeq ,KCprop , KCfx , KCint , KCsp ) pour chaque sous-risque sont

effectués de la même façon.

Les scénarii pour chaque sous-module du risque de marché doivent être lancés plusieurs fois :

1. Dans la situation où les hypothèses sur les taux de PB future (reflétés dans

l’évaluation des futures bénéfices discrétionnaires dans les provisions) restent

inchangées avant et après les chocs testés.

Les chocs s’appliquent en modifiant les hypothèses correspondantes dans le

modèle des actifs stochastiques présenté avant.

Concrètement, la première série de projections suppose que malgré le

changement des hypothèses économiques du modèle, les flux futurs de la PB

restent exactement les mêmes. La seule incidence du choc sera la modification

de la courbe de ZC, utilisée pour actualiser les flux.

Ainsi on obtient le montant des provisions sans KC.

2. Ensuite, les résultats des scénarii doivent également être déterminés dans la

situation où l’assureur est capable de modifier ses hypothèses sur les taux

de bonus futurs en réponse au choc testé. En d’autres mots, cette fois-ci les

flux projetés, notamment la PB future, se trouvent modifiés suite au choc. On

obtient ainsi le montant du passif qui tient compte de l’effet « KC ».

L’effet d’absorption du risque par la future PB est déterminé comme la différence entre ces

deux calculs, c’est à dire que pour le risque j on a :

jchocaprès

KCavec

jchocaprès

KCsansj PassifsPassifsKC −=

Rappelons que KCj est le montant dont la PB a été réduite pour absorber le choc j.

• Module de risque souscription vie SCRlife

Il s’agit des risques spécifiques résultant de la souscription des contrats d’assurance vie.

Notamment, ces risques proviennent des sinistres couverts, mais aussi des processus inhérents

à l’existence même de tels contrats.

66

Ainsi, ce risque peut être subdivisé en risques biométriques ( mortalité, longévité, invalidité),

le risque de rachat, le risque de dépense et le risque de catastrophe.

Risque Commentaire

Mortalité

Longévité

Morbidité

Risque de rachat

Frais généraux

Catastrophes

Le risque de volatilité (risque des fluctuations aléatoires) et le

risque d’incertitude (risque que le modèle utilisé pour estimer le

taux de mortalité est mal choisi et mal paramétré) sont traités

séparément. Le risque de volatilité est basé sur un accroissement

du taux de mortalité et il est réduit par l’impact d’un portefeuille

plus large.

Le risque d’incertitude provient des changements permanents dans

le risque de mortalité et est indépendant de la taille du portefeuille.

Les risques de longévité et d’invalidité/morbidité sont traités de la

même manière.

Risque que le taux des rachats (totaux et partiels) sera plus haut,

risque des cessations de paiement des primes.

L’approche proposée est basée sur des chocs (niveau plus bas /

plus haut des rachats).

Le risque associé est le risque que les frais subis par l’assureur

pour gérer les contrats / la compagnie sont plus élevés qu’attendu.

L’approche du QIS 3 propose de regarder l’impact des chocs

(niveau de frais plus élevé ; taux d’inflation plus élevé).

Les risques CAT proviennent des événements extrêmes ou

irréguliers, qui ne sont pas pris en compte dans les charges pour le

risque biométrique, risque de rachats et risque de frais généraux. Il

s’agit des chocs uniques défavorables provenant de la queue

extrême de la distribution, qui ne peuvent pas être modélisées par

extrapolation des événements plus communs et pour lesquels il est

difficile d ‘estimer la perte, donc difficile d’estimer le capital qu’il

faut détenir pour se protéger. Par exemple, une maladie

contagieuse ou une pandémie peuvent toucher plusieurs personnes

simultanément, l’hypothèse usuelle sur l’indépendance des

individus ne sera donc plus valable.

Le traitement de ce risque comprend des éléments pour tenir

compte de la mortalité/invalidité et des rachats.

Les charges de capital pour le risque de souscription vie sont calculées en combinant les

charges de capital pour les sous-risques à l’aide d’une matrice de corrélation :

∑×

× ⋅⋅=cr

cr

cr

life LifeLifeCorrLifeSCR

Avec :

SCRlife : les charges de capital pour le risque souscription vie ;

CorrLiferxc

: les cellules de la matrice de corrélation CorrLife :

67

CorrLife Lifemort Lifelong Lifedis Lifelapse Lifeexp Liferev LifeCAT

Lifemort 1

Lifelong 0 1

Lifedis 0.5 0 1

Lifelapse 0 0.25 0 1

Lifeexp 0.25 0.25 0.5 0.5 1

Liferev 0 0.25 0 0 0.25 1

LifeCAT 0 0 0 0 0 0 1

Lifec, Lifer : les charges de capital pour les sous-risques.

Les autres composantes du calcul sont :

Liferev : charges de capital pour le risque de révision ;

Lifemort : charges de capital pour le risque de mortalité

Lifelong : charges de capital pour le risque de longévité ;

Lifedis : charges de capital pour le risque d’invalidité ;

Lifelapse : charges de capital pour le risque de rachat ;

Lifeexp : charges de capital pour le risque de frais de gestion ;

LifeCAT : charges de capital pour le risque de catastrophe ;

KCmort : l’effet d’atténuation du risque par la future PB pour le risque de mortalité ;

KClong : l’effet d’atténuation du risque par la future PB pour le risque de longévité ;

KCdis : l’effet d’atténuation du risque par la future PB pour le risque d’invalidité ;

KC lapse : l’effet d’atténuation du risque par la future PB pour le risque de rachat ;

KCexp : l’effet d’atténuation du risque par la future PB pour le risque de dépenses ;

KCCAT : l’effet d’atténuation du risque par la future PB pour le risque de catastrophe.

L’effet de réduction des pertes par la future PB est donné par :

∑×

× ⋅⋅=cr

cr

cr

life KCKCCorrLifeKC

Risque de mortalité Lifemort

Ce risque est applicable aux contrats pour lesquels il existe un capital sous risque, i.e. la

prestation versée en cas de décès est supérieur à la provisions technique. Il concerne

également les contrats pour lesquels l’augmentation du risque de mortalité engendre une

augmentation de la provision.

Le scénario de choc appliqué est une augmentation permanente de 10% dans les taux de

mortalité pour chaque âge.

68

La charge de capital est donnée par :

( )∑ ∆=i

mort mortshockNAVLife


La somme est faite sur toutes les polices concernées par ce risque.

Risque de longévité Lifelong

Ce risque concerne les contrats pour lesquels une aggravation du risque de longévité engendre

une augmentation des provisions.


( )∑ ∆=i

long hocklongevitysNAVLife


Le choc considéré est une baisse permanente de 25% de mortalité pour chaque âge.

Risque d’invalidité Lifedis

Ce risque s’applique aux contrats d’assurance où les prestations sont payables sur la base

d’une définition de l’invalidité.


( )∑ ∆=i

dis disshockNAVLife

Le choc appliqué est une hausse de 35% du taux d’invalidité pour l’année suivante et une

augmentation permanente pour les années ultérieures pour chaque âge.

69

Risque de rachat Lifelapse Les rachats anticipés représentent un risque sérieux pour les compagnies d’assurance-vie. Ils

font baisser les provisions et de par-là empêchent l’assureur de récupérer l’intégralité de ses

dépenses liées à la gestion du contrat22

. De même, le risque pour l’assureur est évident lorsque

la valeur de rachat pour le contrat excède le montant de la provision constituée pour ce

contrat..


( )∑ ∆=i

lapse lapseshockNAVLife


Pour les contrats dont la valeur de rachat est supérieure à la provision, le choc considéré est

l’élément le plus grand entre :

- une augmentation de 50% dans les taux supposés de rachat chaque année, ou

- une augmentation en termes absolus de 3% par an du taux supposé de rachat chaque

année.

Pour les polices dont la valeur de rachat est inférieure à la provision, le taux supposé de rachat

est réduit de 50%.

Risque de dépenses Lifeexp

Ce risque provient de l’augmentation des frais réels encourus par l’assureur et associés à la

gestion de son portefeuille de contrats.


( )∑ ∆=i

shockNAVLife expexp .


Le choc appliqué est une augmentation des dépenses futures anticipées de 10%, avec en plus,

une hausse du taux d’inflation des dépenses de 1% par an. Pour les contrats dont les charges

payées par le souscripteur peuvent être ajustés au cours des 12 mois qui suivent, on considère

22

Rappelons que les chargements de gestion, prélevés régulièrement par la compagnie pour chaque contrat, sont

exprimés en pourcentage des provisions. Par conséquent, si la provision diminue, les flux rémunérant la

compagnie diminuent, eux aussi. Cela peut surtout poser problème, lorsque à la souscription du contrat la

compagnie a du verser une commission escomptée à son partenaire, en espérant la récupérer dans les années qui

suivent grâce au mécanisme des frais de gestion. Dans ce cas de figures, un rachat peut résulter en une perte

importante pour la compagnie.

70

que seulement 75% des dépenses seront récupérées à partir de la deuxième année, grâce à

l’augmentation des charges dans le contrat.

Risque de révision Liferev Ce risque s’applique aux rentes des contrats non-vie, il ne sera pas traité ici.

Risque de catastrophe LifeCAT

Les risques CAT résultent des événements extrêmes qui ne sont pas suffisamment pris en

compte dans les autres sous-modules du risque de souscription. Il s’agit d’appliquer des chocs

en relation aux risques biométriques et le risque de rachats.

Le capital pour le risque CAT souscription vie est calculée suivant la formule :

2

,

2

, CATlapseCATdismortCAT LifeLifeLife += +

avec

Lifemort+dis,CAT : les résultats pour le risque de catastrophe mortalité et invalidité23

,

définis par :

∑ ⋅=+i

CATdismort riskatCapitalLife __0015.0,

La somme est faite sur le nombre de polices concernées par ces risques, et le capital sous

risque24

est donné par :

( )∑ −⋅+= iii TPfactorAnnuityABSAriskatCapital ___

avec, pour chaque police i :

SAi : bénéfice forfaitaire ;

ABi : bénéfice sous forme de rente (montant annuel) ;

Annuity_factor : facteur de rente moyen ;

TPi : provision mathématique.

La composante du risque CAT rachat est définie par :

linkedstrainSurrenderLife CATlapse __75.0, ⋅=

23

Le risque d’invalidité ne concerne pas LMEP. 24

Le capital sous risque est l’excédent de la prestation versée par rapport à la provision constituée.

71

où Surrender_strain_linked est la somme des différences (lorsqu’elles sont positives) entre :

- le montant actuellement payable au rachat net de chargements et

- les provisions techniques détenues par la compagnie.

Absorption des pertes par la PB future

Le calcul des KC ( KCmort ,KClong , KCdis , KC exp , KClapse , KCCAT) pour chaque sous-risque

est effectué de la même façon que dans le module SCR risque de marché.

• Module risque de défaut de contrepartie SCRdef

c’est le risque de défaut de la contrepartie dans un contrat dont le but est d’absorber une partie

des risques (i.e. contrat de réassurance ou dérivées financières). Le calcul dans QIS3 se base

sur le « replacement cost » (RC) et la probabilité de défaut (PD) de contrepartie.

RC est une estimation conservative du coût de remplacement de l’exposition, étant donné la

probabilité de défaut de la contrepartie. Il est calculé comme la différence entre les PM brutes

et nettes plus l’extra prime (s’il y en a) à payer, moins les recouvrements et autres absorbeurs

de risque.

Une estimation de PD dans QIS 3 est obtenue à partir des ratings, e.g. le réassureur dont le

rating est A est considéré d’avoir 0,05% de probabilité de défaut.

Les principales valeurs utilisées dans les calculs sont :

RCi : une estimation prudente du coût de remplacement d’instruments dérivés de

réassurance ou financiers en cas de défaut de contrepartie i ;

PDi : la probabilité de défaut de la contrepartie i, déduite des notations externes25

:

Notation i Etape de qualité de crédit PDi

AAA 0.002%

AA 1

0.01%

A 2 0.05%

BBB 3 0.24%

BB 4 1.20%

B 5 6.04%

CCC et autres

6 30.41%

25

Les réassureurs non notés, non soumis à Solvabilité II, doivent être considérés comme notés CCC ; les

réassureurs non notés, soumis à Solvabilité II, doivent être considérés comme notés BBB.

72

Les calculs s’effectuent en trois étapes :

1. Calcul de la concentration dans les expositions des instruments dérivés et de

réassurance à l’aide e l’indice Herfindahl :

L’indice de Herfindahl pour la réassurance est calculé comme suit :

2

Re

Re

2

=

∑

∑

∈

∈

i

i

i

i

re

RC

RC

H

où la somme est prise sur toutes les contreparties de réassurance. L’indice de Herfindahl Hfd

pour les expositions des instruments dérivés financiers est calculé de la même façon, mais la

somme est évidemment prise sur toutes les contreparties d’instruments dérivés financiers.

La corrélation implicite du défaut de réassurance est calculée comme :

rere HR ⋅+= 5.05.0

De la même manière, pour les dérivés financiers, on calcule Rfd.

2. Calcul des besoins en capital par contrepartie :

( ) ( ) ( )

⋅

++⋅−⋅= −

995.01

15.0

GR

RPDGRNRCDef iii

où :

N : la fonction de répartition de la loi Normale standard ;

G : l’inverse de la fonction de répartition de la loi Normale standard ;

R : corrélation calculée ci-dessus, i.e. Rre ou Rfd.

Si R = 1, ( )1;100min iii PDRCDef ⋅⋅=

Si R∈(0.5 ; 1), Defi est calculé par interpolation linéaire.

3. La charge totale:

C’est la somme des différents Defi.

73

44.. MMCCRR

Le capital minimum de solvabilité – MCR - définit le niveau du capital en dessous duquel le

superviseur applique la mesure la plus stricte. De plus, les actifs de couverture doivent couvrir

à tout moment les provisions, le MCR et le SCR. C’est donc une sorte de « filet de

protection » qui doit être vérifiable, robuste et simple. Il doit rendre claire la décision quand le

régulateur doit intervenir dans les affaires de la compagnie, pour qu’aucune ambiguïté sur la

définition du MCR ne donne lieu à des recours devant la justice (contestations) de la part des

assureurs.

Le MCR testé dans QIS 3 utilise l’approche par module, semblable à la formule standard

utilisée pour calculer le SCR.

Ainsi, les modules du MCR en assurance vie sont les suivants :

Avec :

MCRmkt : risque de marché

MCRlife : risque de souscription vie

RPS : Réduction pour la PB

AMCR : Minimum du capital requis absolu

On commence par calculer le MCR brut. C’est l’agrégation des résultats du risque du marché

et de souscription. Il n’y a pas de composantes explicites pour les risques de crédit et

opérationnel.

Le MCR de base (BMCR) est égal au MCR brut moins la réduction due à la PB (RPS, i.e.

« reduction for profit sharing »).

RPS reflète le potentiel de réduction de perte des futurs bénéfices non garantis (en assurance

vie).

Finalement, MCR = max (BMCR, AMCR), où AMCR est le minimum du capital requis

absolu.

Dans QIS3, la formule testée présente deux alternatives pour le calcul de la charge du risque

de marché et trois différents seuils qui définissent le niveau plancher du MCR.

RPS MCR AMCR

MCRmkt MCRlife

74

Le calibrage du MCR sera affiné au cours des études qui suivront, en prenant comme

référence les normes actuelles (Solvency I). Il est possible qu’au final le MCR sera un

pourcentage du SCR.

75

IIVV.. DDIISSCCUUSSSSIIOONN DDEESS RREESSUULLTTAATTSS

A. PRINCIPAUX COMMENTAIRES METHODOLOGIQUES

11.. MMOODDAALLIITTEESS DD’’EEVVAALLUUAATTIIOONN DDUU RRIISSQQUUEE DDUU MMAARRCCHHEE

Le QIS 3 prévoit un besoin de marge de solvabilité lié au risque de marché, calculé

simultanément suivant deux alternatives :

- En appliquant une décote de 32% et 45% de la valeur de marché des actions et de

20% des actifs immobiliers

- sur la base du gap de duration entre la totalité des passifs et la duration des seuls

actifs obligataires

Le premier volet de cette approche semble justifiable pour des actifs en représentation de

passifs exigibles dans l’année. Elle l’est moins pour des engagements plus longs, souvent non

rachetables comme une majorité d’engagements de type « retraite ». La détention d’actions

pour couvrir ce type d’engagements est précisément l’un des moyens de diversifier les

risques, « d’allonger » ses actifs sans avoir recours à des obligations de durations très longues,

peu liquides et très sensibles aux variations de taux.

Il serait regrettable d’intégrer dans le modèle standard cette double pénalisation des actions,

contradictoire avec les modèles d’allocation optimale d’actifs, et qui pourrait avoir des effets

procycliques sur les marchés actions.

Afin de traduire les fondamentaux de la gestion actif-passif de La Mondiale, à savoir la

couverture d’engagements longs non rachetables, par des actifs de type actions et immobilier,

la méthode alternative proposée, consistant à adapter le facteur de risque lié aux actions

et à l’immobilier en fonction de la duration des engagements, nous semble la plus

adaptée.

Par ailleurs il semble aussi important d’intégrer dans le risque de taux la composante de

sensibilité aux taux des actifs de type actions et immobilier, au delà du risque propre de

volatilité instantanée (pris en compte au travers de coefficients de chargement). En effet, en

application de la formule de Gordon Shapiro26

, les actions peuvent être considérées sur le

long terme comme la valeur actuelle des dividendes perçus. La sensibilité aux variations de

taux des actions et de l’immobilier pourrait être mieux prise en compte :

- Soit à l’aide d’une duration normative

- Soit au travers d’une révision des facteurs de corrélation risque actions/risque taux.

26

Cf. annexe 4.

76

22.. LLAA PPRRIISSEE EENN CCOOMMPPTTEE OOUU NNOONN DDEESS RREEVVEERRSSEEMMEENNTTSS DDAANNSS LLEE CCAALLCCUULL

DDEESS PPRROOVVIISSIIOONNSS

Les paragraphes I.1.36 et I.1.37 des spécifications techniques et la réponse Q&A n° 6 laissent

à penser :

- que si l’assuré a la possibilité de ne pas payer la prime, les reversements futurs ne

doivent pas être pris en compte

- que si l’assuré peut effectuer des reversements dans des conditions qui lui sont

favorables, le coût des options et garanties doit être intégré dans l’évaluation des

provisions techniques.

Ces dispositions apparaissent peu adéquates avec l’économie des contrats de retraite, qui sont

des contrats annuels à tacite reconduction, pour lesquels le taux de reversement historique

actuel est proche des 100%. Ces dispositions sont particulièrement pénalisantes pour des

contrats pour lesquelles les commissions sont versées de manière escomptées : une perte serait

dans ce cas comptabilisée à la souscription puisque le coût serait engagé la première année et

les recettes futures liées aux primes ne seraient pas prise en compte.

A l’inverse, il existe des cas dans lesquels l’assuré peut effectuer des reversements dans des

conditions favorables (garantie de taux sur reversement par exemple), sans que la valeur de

cette option de garantie de taux ne soit supérieure à la valeur des marges futures attendues sur

ces reversements : il serait paradoxal dans ce cas de prendre en compte les reversements alors

qu’on ne les prendrait pas en compte si ces reversements ne sont assortis d’aucune garantie !

Nous recommandons:

- la prise en compte des reversements futurs prévisionnels et par conséquent des

marges sur reversements futurs. Cela permettrait de traduire l’économie du contrat

et de ne pas introduire de distorsion entre un contrat annuel à tacite reconduction et

un contrat pluriannuel rachetable ou pouvant être réduit à tout moment.

- Parallèlement et comme c’est le cas pour les rachats, un risque de souscription lié

aux variations des hypothèses des reversements pourrait être intégré dans le

module « risque de souscription ».

33.. LLEE TTRRAAIITTEEMMEENNTT DDEE LL’’IIMMPPOOTT

Il nous semble nécessaire de préciser le traitement à retenir quant à la problématique fiscale,

tant pour ce qui concerne :

- la situation fiscale différée de la société avant ajustement liée aux réévaluations

d’actif et de passif rendues nécessaires par Solvency II.

- les effets fiscaux des ajustements liés à la mise en valeur de marché des actifs et

de passifs.

- le calcul de besoin de marge à l’horizon d’1 an obtenu par la mesure des effets

d’un choc sur les actifs et passifs.

77

Il est essentiel de prendre en compte de manière appropriée l’effet de réduction du

risque lié à l’impôt. En cas de choc défavorable, la société est susceptible en effet de ne

pas être taxable .

44.. FFAACCTTEEUURR DDEE RREEDDUUCCTTIIOONN DDUU SSCCRR LLIIEE AA LLAA PPBB FFUUTTUURREE «« KKCC »»

L’ensemble des simulations menées montrent la prééminence de ce facteur de réduction dans

l’appréciation de la solvabilité de la compagnie. Il apparaît donc essentiel de porter une

attention particulière à ce facteur et d’en préciser les modalités de calcul.

La méthode de calcul des KC est très compliquée et le passage par l’étape intermédiaire de

calcul d’une valeur de marché des provisions sans prise en compte des « management

actions »27

de l’assureur apparaît peu économique. Elle conduit par ailleurs, au travers

notamment du mécanisme d’agrégation de ces effets de réduction à un effet global peu

justifiable.

Par exemple, le choix du risque « hausse de taux » ou « baisse de taux »28, avant prise en

compte du « KC », peut conduire le cas échéant à retenir le risque qui n’est pas le plus

élevé, notamment à cause du passage par l’étape intermédiaire de calcul d’une provision qui

ne tient pas compte des ajustements de flux futurs liés à la révision des hypothèses de

participation aux bénéfices.

Cette anomalie est particulièrement explicite sur l’exemple de contrats d’épargne à taux

minimum garanti = 0% pour lesquels le taux de PB est proche de 100% des produits

financiers. Ce type de contrat est économiquement plus sensible à une hausse de taux qu’à

une baisse de taux compte-tenu de la possibilité de répercuter celle-ci sur les assurés.

Exemple : Actif de valeur 100 de duration 6

Passif de valeur 100 de duration 12

En cas de choc à la hausse de taux de 1% :

(a) Actif = 94

(b) Passif avant ajustement des flux de PB : 88

(c) Passif après ajustement des flux de PB : 96

(b)-(a) : Basic SCR = -6

(b)-(c): KC= -8

(c)-(a): SCR= 2

En cas de choc à la baisse de taux de 1% :

(a) Actif = 106

(b) Passif avant ajustement des flux de PB : 112

(c) Passif après ajust des flux de PB : 104 (diminution de la PB future

suite à baisse des taux)

(b)-(a) : Basic SCR = + 6

(b)-(c): KC= 8

(c)-(a): SCR= -2

27

I.e. l’ajustement des futurs flux de la PB. 28

Cf. le module SCR risque de marché.

78

La formule actuellement proposée conduit à sélectionner le risqué de baisse des taux, qui

après prise en compte des KC est négatif alors que le risque à la hausse des taux est plus

important.

55.. MMÉÉTTHHOODDEE «« CCOOSSTT OOFF CCAAPPIITTAALL »»

La formule proposée servant à calculer la marge pour risque et incertitude , basée sur la

méthode « cost of capital » est fondée sur la projection du SCR futur (auquel un taux de 6%

est appliqué).

Ce SCR futur correspond à une étape intermédiaire de calcul, ne prenant pas en compte les

effets de réduction du besoin de capital lié à la capacité d’absorption de risque portée par la

PB (KC).

Pour La Mondiale , cette capacité de réduction est importante, compte tenu de la nature des

produits distribués pour lesquelles la PB future constitue une part importante des provisions.

Cela conduit à une surestimation significative de la marge pour risque.

Nous recommandons par conséquent le calcul du « Cost of Capital » sur la besoin d’un besoin

de capital plus économique, c’est à dire net de l’effet de réduction liée à la PB future.

B. PRINCIPAUX COMMENTAIRES DE CALIBRATION

11.. LLEE RRIISSQQUUEE DDEE RRAACCHHAATT AAUU SSEEIINN DDUU RRIISSQQUUEE CCAATTAASSTTRROOPPHHEE

Celui-ci est calibré à 75% de la différence entre la valeur de marché estimée de la

provision et la valeur de rachat du contrat

Ce calibrage conduit à une estimation extrêmement élevée du risque de rachat.

22.. MMAATTRRIICCEE DDEE CCOORRRREELLAATTIIOONN AAUU SSEEIINN DDUU RRIISSQQUUEE DDEE SSOOUUSSCCRRIIPPTTIIOONN

La matrice de corrélation entre risque de longévité et risque de mortalité pour l’évaluation

du risque de souscription retient un coefficient de 0% entre ces deux risques, ce qui

correspond à une indépendance des risques mortalité et longévité.

Si on considère que la survie et le décès sont exclusifs l’un de l’autre, le coefficient de

corrélation serait plus proche de –100%.

Le coefficient de corrélation proposée de 0% encourage donc peu les compagnies à

la diversification de leurs risques entre longévité (rentes) et prévoyance (décès).

79

C. AUTRES COMMENTAIRES QUALITATIFS

11.. LLEESS PPRRIINNCCIIPPAALLEESS DDIIFFFFIICCUULLTTEESS RREENNCCOONNTTRREEEESS

Mise en œuvre complexe du calcul de la réduction du besoin de marge lié aux mécanismes de

participation bénéficiaire « KC ». Tant au niveau de l’actif que du passif, les méthodes à

appliquer pourraient faire l’objet de spécifications précises.

De manière plus générale, les spécifications techniques laissent une part significative à

l’interprétation : c’est le cas notamment de la prise en compte ou non des reversements dans

l’évaluation des provisions.

22.. MMOOYYEENNSS

Estimation des travaux nécessaires pour développer les systèmes, les moyens de contrôle,

développer les modèles de provisions, de calcul de SCR, de calcul de MCR : plusieurs

années/hommes en particulier pour les modèles et le travail sur les données en amont. Ces

travaux sont communs avec les travaux d’embedded value et IFRS Phase II.

33.. FFIIAABBIILLIITTEE EETT PPRREECCIISSIIOONN DDEESS RREESSUULLTTAATTSS

L’ampleur de la sensibilité à quelques paramètres essentiels (KC, part importante de

participation aux bénéfices dans la valeur de marché des provisions, calcul du taux de

rendement des actifs à prendre en compte dans les projections…) montre à quel point les

résultats relatifs aux provisions doivent être utilisés avec prudence.

La fiabilité des résultats est conditionnée à la précision des spécifications techniques qui

laissent une part importante à l’interprétation.

80

VV.. AANNNNEEXXEESS

A. ANNEXE 1

Discrétisation exacte du processus de diffusion des taux courts dans un modèle de Hull &

White à un facteur

Le processus de diffusion du modèle Hull & White à 1 facteur s’écrit :

)²1(²2

²)(),0()(

0

)( at

t

sta esdZetftr −−− −+−= ∫ λσ

σ

Soient T et t deux dates quelconques. En utilisant l’équation de diffusion précédente, on peut

calculer t

tTa

T rer )( −−− . On obtient la formule :

[ ] ∫ −−+−−−−−−−− −+−−+−=−T

t

sTatTaTatTatTa

t

tTa

T sdZeeeea

tfeTfrer )(1²2

²),0(),0( )()(2)()()( σ

σ

Nous allons montrer que le dernier terme peut s’écrire :

ua

esdZe

tTaT

t

sTa ×−

=−

−−∫ 2

)1()(

)(2)( σσ ,

où u suit une loi normale N(0,1).

Remarquons d’abord que dZe

T

t

Tsa∫ − )(σ est une loi normale (somme de lois normales). Il suffit

donc de calculer l’espérance et la variance, et de montrer que sa espérance est nulle et sa

variance égale à a

e tTa

2

)1( )(2 −−σ .

Nous utilisons pour cela le théorème suivant (définition de l’intégrale stochastique) :

Soit (Zt) un mouvement brownien et (Ft) sa filtration naturelle. A tout processus (Xt), on

associe une variable aléatoire de carré intégrable I(Xt), notée ∫= )()( tdZXXI tt telle que

( ) 0)( =tXIE et ( ) ( )∫= dtXEXIE tt

22)( . Le processus I(Xt) est appelé intégrale stochastique

ou intégrale d’Ito.

Posons, pour avoir les mêmes notations que dans le théorème :

81

dWedWXXI

eX

T

t

Tsa

T

t

st

Tsa

s

∫∫ −

−

==

=

)(

)(

)( σ

σ

D’après le théorème,

dsXdsXEXIE

XIE

T

t

s

T

t

st

t

∫∫ ==

=

²)²()²)((

0))((

La dernière égalité est due au fait que la fonction Xt est déterministe

)1(2

²

)22

(²2

²²

²²)²()²)((

)(2

222

2222

)(2)(2)(

Tta

ataTaT

T

t

asaT

T

t

asaT

T

t

Tsa

T

t

Tsa

T

t

Tsa

t

ea

a

e

a

ee

a

eedsee

dsedsedseXI

−

−−−

−−−

−×=

−××=

××=××=

×=×==Ε

∫

∫∫∫

σ

σσσ

σσσ

Enfin,

a

ee

aXI

ea

XIXIXIXIVAR

TtaTta

s

Tta

sttt

2

)1()1(

2

²))((

)1(2

²²0)²)(())²(()²)(())((

)(2)(2

)(2

−−

−

−=−×=⇒

−×=−Ε=Ε−Ε=

σσ

σ

σ

Ce qui correspond à ce que nous cherchions à montrer.

82

B. ANNEXE 2

Calcul de l’espérance théorique de l’OAT 10 ans dans un modèle de Hull & White à un facteur

On a

∑=

+

+−=+

10

1

),(

)10,(1)10,(

i

ittP

ttPttOAT

Donc

]),([

)),(),10,((

]),([

)]10,([1)]10,([

)),(),10,(()]10,([1]),([)]10,([

)]10,([1)),(),10,(cov(]),([)]10,([

)]10,([1)),(),10,(cov(]),([)]10,([

))10,(1(]),()10,([

)10,(1),()10,(

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

∑

∑

∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑

∑

=

=

=

==

==

==

=

=

+

++−

+

+−=+⇒

++−+−=+×+⇒

+−=++++×+⇒

+−=++++×+⇒

+−=++⇒

+−=++

i

i

i

ii

ii

ii

i

i

ittPE

ittPttOATCov

ittPE

ttPEttOATE

ittPttOATCovttPEittPEttOATE

ttPEittPttOATittPEttOATE

ttPEittPttOATittPEttOATE

ttPEittPttOATE

ttPittPttOAT

avec :

)),(()()),(),10,(()),(),10,((10

1

10

1

10

1

∑∑∑===

+××++=++iii

ittPVOATVittPttOATCorrittPttOATCov

83

C. ANNEXE 3

Test d’hypothèse sur la variance d’un échantillon (test du Khi-deux)

On observe la variance empirique 2

0s d’un échantillon de n observations issues d’une loi

normale ),( σµN .

On veut tester :

H0 : 2

0² σσ = , contre H1 : 2

0² σσ ≠ .

Sous H0, on sait que la variable 2

0

²

σnS

Z = suit une loi de ²1−nχ . Si α est le niveau de

confiance choisi pour le test, les bornes c et d de l’intervalle d’acceptation sont définies par :

2)( 2

1

αχ =<− cP n et

21)( 2

1

αχ −=<− dP n .

Si la valeur observée 2

0

2

0

σns

de la variable Z se trouve dans le domaine d’acceptation [ ]dc, ,

l’hypothèse H0 est acceptée.

84

D. ANNEXE 4

Méthode de Gordon Shapiro

(Le modèle d’évaluation par actualisation des dividendes)

Principe:

Dans ce modèle, la valeur d’une action est la valeur actuelle des paiements successifs

qu’espère recevoir son détenteur. En règle générale, cette série d’encaissements est donc

constituée par les dividendes et par la revente du titre. Ainsi, pour un actionnaire, la valeur

d’une action qu’il achèterait aujourd’hui pour la revendre n années plus tard est égale à la

valeur actuelle des n dividendes successifs qu’il compte recevoir dans l’intervalle et du cours

auquel il revendra son titre dans n années :

( )nn

n

ii

i

R

P

R

DP

++

+=∑

= 1)1(1

0

qui peut également s’écrire quand n tend vers l’infini :

( )∑+∞

= +=

1

01i

i

i

R

DP

Avec :

P0 la valorisation actuelle ;

Di le dividende perçu pour i = 1 .. n ;

Pn le prix de revente de l’action à l’année n ;

R le taux d’actualisation.

Toutefois, cette équation reste d’un usage limité car ces paramètres sont très difficiles à

évaluer :

� taux d’actualisation à appliquer

� évaluation des dividendes (fonction des résultats futurs et de la politique de

distribution des dividendes retenue par les dirigeants).

Ce sont ces modèles simplifiés qui sont utilisés par les spécialistes de l’évaluation financière

pour valoriser les sociétés cotées en bourse. Nous présentons ici le modèle de croissance

constante des dividendes, dit de Gordon Shapiro.

Modèle à croissance constante des dividendes :

Une approche simplifiée consiste à formuler une prévision de croissance constante des

dividendes. Ainsi, à partir du prochain dividende D1 à être versé, et qui est donc le plus facile

à estimer, on suppose que :

)1(12 gDD +×=

où g est le taux de croissance constant des dividendes. Il vient alors que pour tout i :

85

( ) 1

1 1−+×= i

i gDD

Le prix de l’action peut donc maintenant s’écrire :

( )( )

( )( )∑ ∑

∞+

=

∞+

=

−−

−=

+

+×=

+

+×=

1 1

1

1

1

1

1

01

1

1

1

i ii

i

i

i

gR

D

R

gD

R

gDP

On obtient alors une équation très simple dite de Gordon-Shapiro, que l’on peut réarranger

en :

0

1

P

DgR +=

et qui s’interprète ainsi : la rentabilité d’une action est égale à son rendement immédiat plus la

croissance nominale future du dividende.

86

VVII.. LLIISSTTEE DDEESS AABBBBRREEVVIIAATTIIOONNSS

AISAM : Association Internationale des Sociétés d'Assurance Mutuelle

AMCR: Absolute Minimum Capital Requirement (capital minimum requis absolut)

AOA : absence d’opportunité d’arbitrage

BE : best estimate (l’hypothèse la plus probable)

BMCR: Basic Minimum Capital Requirement (capital minimum requis de base)

BSCR: Basic Solvency Capital Requirement (capital de solvabilité requis de base)

CEA : Comité Européen des Assurances

CEIOPS : Committee of European Insurance ans Occupational Pensions Supervisors

CoC : cost of capital (Coût du capital)

CP 20: Consultation Paper 20

CSR : capital sous risque

EMS : exigence de marge de solvabilité

FFSA : Fédération Française des Sociétés d’Assurance

MCR : Minimum Capital Requirement (capital minimum requis)

MS : marge de solvabilité

NAV: Net Assets Value (actif net)

OFAP : Office Fédéral des Assurances Privées (en Suisse)

PB: participation aux bénéfices

PM : provision mathématique

PPAE : provision pour participation aux excédents

PRE : provision pour risque d’exigibilité

PVL : plus value

QIS : Quantitative Impact Study (étude d’impact quantitative)

SCR : Solvency Capital Requirement (capital de solvabilité requis)

SICAV: Société d'Investissement à Capital Variable

SST : Swiss Solvency Test

UE : Union Européenne

VaR: Value at risk

ZC : zéro coupon

87

VVIIII.. BBIIBBLLIIOOGGRRAAPPHHIIEE

F.Heinrich, cours donné à L’ULP sur Solvabilité I & II.

Documentation interne du groupe La Mondiale.

CEIOPS, QIS3 Technical Specifications Part I : Instructions, April 2007.

CEIOPS, QIS3 Technical Specifications Part II : Background Information, April 2007.

CEIOPS, Consultation Paper 20, November 2006.

CEIOPS, QIS3 Technical Specifications Annexes, April 2007.

CEA, Solvency II Glossary, mars 2007.

Z.Ge, A Numerical Study of One-factor Interest Rate Models, University of Toronto, 1998.

J.Hull, Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson Education France, 2007.

D. Lamberton, B. Lapeyre, Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la Finance,

Ellipses.

Milliman, Implications for Insurers of Solvency II, spring 2007.

Swiss Re, Solvabilité II: Une approche intégrée des risques pour les assureurs européens,

Sigma N°4, 2006.

CEA, Solvency II Understanding the Process, February 2007.

Publications sur le site http://www.cca.gouv.fr

FSA, Profit sharing under QIS2.

CEA, CEA Guidance on Quantitative Impact Study 3.

M.J.Brennan, E.S. Schwartz, The pricing of equity-linked life insurance policies with an asset

value guarantee, Journal of Financial Economics 3, 1976.

G.Finkelstein et al, Guarantee and embedded options, Ernst & Young, 2003.

N.Gatzert, The Impact of Implicit Options in Life Insurance Contracts: Systematization and

Overview, University of St.Gallen, Paper No. 38, January 2007.

OFAP, Livre blanc sur le test suisse de solvabilité, 2004.

Application des normes Solvency II en assurance-vie · insurers’ solvency. Solvency rules for...

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