Terminale S AE 13_Application des lois de Newton

M.Meyniel 1/6

APPLICATION DES LOIS DE NEWTON

Objectifs : - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement.

- Modéliser/retrouver l’équation horaire paramétrique et l’équation de la trajectoire du mouvement d’un solide lancé avec une vitesse initiale.

Document 1 : Enoncé des lois de Newton (1 666)

1ère loi : le principe d’inertie

Dans un référentiel galiléen, si le vecteur-vitesse du centre d’inertie G d’un système est un vecteur

constant « 𝑣𝐺 = 𝑐𝑠𝑡 », alors les forces qui s’exercent sur le système s’annulent et réciproquement :

𝜟𝒗𝑮 = �� <=> ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 = ��

2ème loi : Principe fondamental de la dynamique PFD

Dans un référentiel galiléen, la variation du vecteur-quantité de mouvement d’un système par rapport au temps est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système :

∑𝑭𝒆𝒙𝒕 =

𝒅��

𝒅𝒕

On peut également l’écrire :

∑𝑭𝒆𝒙𝒕 =

𝒅��

𝒅𝒕=

𝒅(𝒎.�� )

𝒅𝒕= 𝒎.

𝒅��

𝒅𝒕= 𝒎.𝒂𝑮 avec la masse m du système constante.

3ème loi : principe d’action/réaction

Lorsque deux corps A et B sont en interaction, A exerce sur B la force 𝑭𝑨/𝑩 et B exerce sur A la force

𝑭𝑩/𝑨 telles que :

𝑭𝑨/𝑩 = − 𝑭𝑩/𝑨

Document 2 : Champ de pesanteur Terrestre ��

En première approximation, on peut définir le poids �� comme l’action gravitationnelle de la Terre

sur un objet M de masse m, soit pour une altitude z et une latitude : �� ≈ 𝐅 𝐓/𝐌 = −𝐆.𝐦.𝐌𝐓

(𝐑𝐓+𝐳)𝟐. �� 𝛌

Le champ de pesanteur local �� est alors tel que : �� = m. ��

Avec RT : rayon de la Terre : 6378 km à l’équateur

z : altitude de l’objet M de masse m

: latitude de l’objet M de masse m.

MT : la masse de la Terre: 5,97.1024 kg.

G : constante universelle de gravitation:6,67.10-11 kg-1.m3.s-2

�� 𝛌: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒

Document 3 : Matériel à disposition

- Logiciel et notice d’utilisation LatisPro®

;

- Video « TP1Schuteparabolique.avi » disponible dans les fichiers LatisPro®.

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Travail à faire :

1. Questions préliminaires :

A l’aide des données du document 2 :

a) Donner l’expression vectorielle du champ de pesanteur �� 𝟎 au niveau du sol. Préciser ses

caractéristiques : direction, sens et intensité. Ce champ est aussi appelé « accélération de pesanteur ».

b) En-dessous de quelle altitude ce champ de gravitation peut-il être considéré comme

uniforme ?

Information : On considèrera le critère suivant : le champ est considéré

comme uniforme si sa norme ne varie pas de plus de 1 %.

2)

a) Proposer un protocole expérimental utilisant les logiciels mis à disposition pour obtenir les

équations horaires numériques des coordonnées : - (x

y) du vecteur-position OG ;

- (vxvy

) du vecteur-vitesse v ;

- (axay

) du vecteur-accélération a .

Faire vérifier votre protocole par le professeur.

b) Réaliser ce protocole sur la vidéo citée dans le document 3, en utilisant le logiciel LatisPro®

ainsi que la notice d’utilisation associée.

Sur votre feuille, représenter l’allure des graphiques obtenus ainsi que les expressions des

fonctions modélisées.

Faire vérifier vos résultats par le professeur.

c) A l’aide l’ensemble de vos résultats, déterminer :

- les coordonnées du vecteur-vitesse initial 𝒗𝟎 de la balle ainsi que sa norme ;

- l’angle α formé par le vecteur-vitesse initial et l'horizontale ;

- la valeur moyenne du champ de pesanteur terrestre �� .

Faire vérifier vos résultats par le professeur.

d) A partir d’un bilan des forces et de la deuxième loi de Newton appliquée sur le système balle,

vérifier les relations modélisées.

Faire vérifier vos résultats par le professeur.

du centre G de

cette balle.

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CORRECTION

1) a) D’après l’énoncé : �� ≈ 𝐅 𝐓/𝐌 = −𝐆.𝐦.𝐌𝐓

(𝐑𝐓+𝐳)𝟐. �� 𝛌

Or : �� = 𝐦. �� 𝐦. �� = −𝐆.𝐦.𝐌𝐓

(𝐑𝐓+𝐳)𝟐. �� 𝛌

=> �� = −𝐆.𝐌𝐓

(𝐑𝐓+𝐳)𝟐. �� 𝛌

En se plaçant au niveau du sol : « z = 0 ». L’expression devient : 𝐠𝟎 = −𝐆.𝐌𝐓

(𝐑𝐓)𝟐. �� 𝛌

Le champ de pesanteur 𝐠𝟎 a donc : - pour direction 𝐮𝛌 soit vertical au sol (d’après le schéma) ;

- un sens opposé à celui de 𝐮𝛌 donc vers le centre de la Terre ;

- une intensité : 𝐠𝟎 = 𝐆.𝐌𝐓

(𝐑𝐓)𝟐= 6,67.1011 ×

5,97.1024

(6378.103)2= 9,79 N.kg

-1

b) Le champ est considéré comme uniforme si son intensité ne varie pas de plus de 1 %.

Il faut donc calculer l’altitude « z » pour laquelle on a : « g(z) = 99

100 × g0 »

g(z) = 99

100 × g0

g(z) = G.MT

(RT+z)2 => 0,99 × g0 = G.

MT

(RT+z)2 => (RT + z)² = G.

MT

0,99 × g0

=> z = √G.MT

0,99 × g0 - RT

=> z = √6,67.10−11.5,97.1024

0,99 ×9,79 - 6 378.10

3 = 32.10

3 m

On peut donc estimer que le champ de pesanteur est uniforme jusqu’à une altitude de 32 km !

2) Protocole expérimental :

Ouvrir la vidéo avec le logiciel LatisPro®.

Après avoir choisi l’origine et étalonner l’image, réaliser le pointage de la balle.

Basculer sur la fenêtre avec les courbes et placer les points obtenus pour « x » et pour

« y » afin de visualiser respectivement les courbes « x = f(t) » et « y = f(t) ».

Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations.

Pour obtenir l’expression des coordonnées « vx » et pour « vy » du vecteur-vitesse :

Cliquer sur Traitements → Calculs spécifiques → Dérivée puis glisser la

fonction à dériver : « x = f(t) » pour obtenir « vx = f(t) » et « y = f(t) » pour obtenir

« vy = f(t) ».

Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations.

Refaire le même travail pour obtenir l’expression des coordonnées « ax » et pour « ay »

du vecteur-accélération :

Cliquer sur Traitements → Calculs spécifiques → Dérivée puis glisser la

fonction à dériver : « x = f(t) » pour obtenir « vx = f(t) » et « y = f(t) » pour obtenir

« vy = f(t) ».

Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations.

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Pointage de la balle sur la vidéo :

b)

* Equation horaire des coordonnées du vecteur-position :

On modélise la courbe « x = f(t) » par une fonction linéaire : x = 1,747 × t

On modélise la courbe « y = f(t) » par une fonction linéaire : y = - 4,921 × t² + 4,434 × t +17,5.10-3

* Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse :

On modélise la courbe « vx = f(t) » par une fonction linéaire : vx = 1,747

On modélise la courbe « vy = f(t) » par une fonction linéaire : vy = - 9,972 × t + 4,526

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* Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse :

On modélise la courbe « ax = f(t) » par une fonction linéaire : ax ≈ 0

On modélise la courbe « ay = f(t) » par une fonction linéaire : ay = - 10,018

c)

* D’après le schéma, on en déduit en utilisant le théorème de Pythagore : V02 = vx0

2 + vy0

2

𝑽𝟎 = √𝒗𝒙𝟎² + 𝒗𝒚𝟎² = √1,747² + 4,526² = 4,851 m.s-1

Rq : Pour les valeurs de « vx0 » et « vy0 », on reprend les équations horaires de « vx » et « vy » en prenant « t = 0 ».

* D’après le schéma, on en déduit en utilisant la trigonométrie : tan(α) = vy0 / vx0

tan(α) = vy0 / vx0 = 4,526 / 1,747 = 2,591 => α = arctan(2,591) = 68,89 °

Rq : Attention à avoir la calculatrice en « mode degré ».

* Le champ de pesanteur « g » est une accélération. Ici, comme il s’agit d’une chute libre, le champ de

pesanteur est égal à l’accélération (Cf question d.) : a = g

𝒈 = 𝒂 = √𝒂𝒙² + 𝒂𝒚² = √0² + (−10,018)² = 10,018 m.s-2

Rq : Pour les valeurs de « ax » et « ay », on reprend les équations horaires de « ax » et « ay ».

x

y

𝑽𝟎

vx0

vy0

α

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d)

Système : {balle de masse m lancé avec une vitesse initiale 𝐯𝟎 faisant un

angle α avec l’horizontale}

Référentiel : la table, référentiel terrestre supposé galiléen.

Les conditions initiales sont alors : 𝑶𝑮𝟎 {

𝑥0 = 0𝑦0 = 0

et 𝒗𝟎 {𝑣𝑥0 = 𝑣0. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼)𝑣𝑦0 = 𝑣0. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼)

Bilan des forces : - le poids du système : �� = m.��

- on suppose l’action de l’air négligeable : on néglige les forces de frottements et la

poussée d’Archimède.

Rq : Lorsque seul le poids agit, on parle de chute libre.

R.F.D : D’après la 2nde

loi de Newton, on a : ∑𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. 𝒂𝑮

∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑝 = 𝑚. 𝑔 => 𝒂𝑮 = ��

Rq : * Ce P.F.D applicable car référentiel terrestre est galiléen puisque le temps de l’expérience est court.

Projection : 𝑎𝐺 {𝑎𝑥 =

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡= 0

𝑎𝑦 =𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡= −𝑔

Rq : * L’accélération est constante, le mouvement est uniformément accéléré selon z.

Cas de la vitesse : 𝑎𝐺 {𝑎𝑥 =

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡= 0

𝑎𝑦 =𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡= −𝑔

=> par intégration : 𝑣(𝑡) {𝑣𝑥 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐶𝑥

𝑣𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑔. 𝑡 + 𝐶𝑧

Avec les conditions initiales : 𝑣(𝑡=0) = 𝑣0 {𝑣0𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑣0. cos(𝛼) 𝑣0𝑧 = −𝑔 × 0 + 𝐶𝑧 = 𝑣0. sin (𝛼)

D’où les équations horaires du vecteur-vitesse :

Rq : * vx est constante car cette composante de la vitesse est orthogonale à la somme des forces.

Cas de la position : 𝑣𝐺 =𝑑𝑂𝐺

𝑑𝑡 => par intégration : 𝑂𝐺(𝑡)

{𝑥(𝑡) = 𝑣0. cos(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑥

′

𝑦(𝑡) = −𝑔.𝑡²

2+ 𝑣0. sin(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑧

′

Avec les conditions initiales : 𝑂𝐺(𝑡=0) = 𝑂𝐺0

{𝑥0 = 𝐶𝑥

′ = 0

𝑦0 = 𝐶𝑧′ = 0

D’où les équations horaires du mouvement :

Rq : * La position, comme la vitesse et l’accélération sont indépendantes de la masse.

CONCLUSION : On retrouve bien - une accélération nulle selon « x » : ax = 0 ;

- une accélération constante et négative selon « y » : ay = - g ≈ -10 ;

- une vitesse constante selon « x » : vx = V0.cos(𝛼) = 1,747 (m/s) ;

- une vitesse décroissante selon « y » : vy = - g × t + V0.cos(𝛼) = - 9,972 × t + 4,526 ;

- une position selon « x » : x = V0.cos(𝛼) × t = 1,747 × t ;

- une position selon « y » qui suit une parabole (polynôme du second degré).

𝒗(𝒕) {𝒗𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎. 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝒗𝒛(𝒕) = −𝒈. 𝒕 + 𝒗𝟎. 𝐬𝐢𝐧 (𝜶)

𝑶𝑮(𝒕) {

𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎. 𝐜𝐨𝐬(𝜶) . 𝒕

𝒚(𝒕) = −½.𝒈. 𝒕² + 𝒗𝟎. 𝐬𝐢𝐧(𝜶) . 𝒕

y

O x α

v0

g