Antenne Imprimee

7/31/2019 Antenne Imprimee

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VAUDON Patrick Master Recherche Tlcommunications Hautes Frquences et Optiques

IRCOM Universit de Limoges

1

XII - Les antennes imprimes

*******************

Le concept dantennes imprimes est apparu dans les annes 1950, mais il faudra

attendre les annes 1970 pour voir apparatre les premires ralisations qui serontessentiellement rserves des applications militaires, et les annes 1990 pour un vritable

passage au stade industriel.

Deux atouts majeurs vont entraner un dveloppement trs important de ce type

dantenne : leur faible cot de ralisation, et leur capacit dintgration. Elles sont aujourdhui

implantes dans de nombreux dispositifs lectroniques et constituent le type dantenne

privilgi aux frquences microondes dans les systmes de communication intgrs modernes.

I) Structure dune antenne imprime

La structure de base est rappele sur la figure XII-1 :

Patch conducteur

Plan de masse conducteur

Substrat dilectrique

Figure XII-1 : Structure de base dune antenne imprime

La forme du patch conducteur peut tre varie, mais elle influe sur les modes qui sont

susceptibles de sexciter dans lantenne, et donc sur la nature du rayonnement. En pratique, on

trouve essentiellement des rectangles, des disques, et plus rarement des anneaux ou des

triangles.

Lalimentation de lantenne dpend de la manire dont lantenne est intgre dans le

dispositif. Les trois principaux types sont :

- alimentation par ligne : une ligne microstrip est relie au patch et lui amnelnergie. Elle a linconvnient de gnrer un rayonnement parasite.

- alimentation par connecteur : un connecteur standard (SMA) est soud auplan de masse qui est perfor pour permettre lme central dtre relie au

patch en traversant le dilectrique. Lnergie est amene par guide coaxial.

- alimentation par fente : un ligne est dispose au dos du plan de masse, quiest entaill dune fente sous le patch afin que lnergie amene par la ligne

soit communique lantenne.


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2

Limpdance dentre de lantenne que lon souhaite la plus proche possible de 50 enpartie relle, et nulle en partie imaginaire, dpend du type dalimentation.

On sait que pour une alimentation par connecteur, limpdance varie avec la position

du contact de la sonde avec le patch. Pour une alimentation par fente, cest la largeur et la

position de la fente qui vont permettre de sapprocher de ladaptation idale.

Dune manire gnrale, il sagit dun problme complexe qui doit tre trait au cas parcas par des simulations numriques, et dont la solution est souvent guide par lexprience.

Son tude ne sera pas dveloppe dans ce cours lmentaire sur les antennes imprimes.

On retiendra simplement que cette antenne fonctionne sur un mode rsonnant, et que

donc son impdance varie rapidement autour de la frquence de rsonance. Il sensuit une

faible bande passante en adaptation, de lordre de 2% 5%, qui constitue parfois un handicap

pour lutilisation de ces antennes, mme si des techniques dlargissement de bande peuvent

tre mises en uvre. On obtient typiquement les courbes de S11 et dimpdance reprsentes

figure XII-2 et XII-3.

Module de S11

-20

-15

-10

-5

0

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Frquence en GHz

dB

Figure XII-2 :Module du coefficient de rflexion en fonction de la frquence pour une antenne

imprime

Impdance d'entre Ze

-50

0

50

100

150

200

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Frquence en GHz

Ohm

Figure XII-3 : Impdance dentre en fonction de la frquence pour une antenneimprime : _____ Partie relle, Partie imaginaire


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3

II) Le modle de la cavit

Il existe une analogie de fonctionnement entre les antennes imprimes et les antennes

filaires : les distributions de courants qui gnrent le champ rayonn sont imposes par des

modes rsonnants. Dans le cas des antennes filaires, il sagit de modes stationnaires une

dimension, dans le cas des antennes imprimes, il sagit de modes stationnaires troisdimensions.

Dans le modle de la cavit, on identifie lantenne imprime une cavit rsonnante

dans laquelle on est capable de mettre en vidence les modes qui peuvent sinstaller. Chaque

mode conduit une distribution de courant sur le patch, et le diagramme de rayonnement peut

tre calcul en faisant rayonner ces courants.

La nature des modes dpend de la forme du patch. Nous allons dvelopper un modle

pour un patch rectangulaire, mais ltude analytique peut tre mene pour des patchs ayant la

forme dun disque ou dun anneau, voire des formes plus exotiques

Un patch rectangulaire sera assimil une cavit ayant deux murs lectrique parfaits

(qui correspondent aux surfaces parfaitement conductrices), et quatre murs magntiquesparfaits (Figure XII-4) :

Quatre murs magntiques Deux murs lectriques

Figure XII-4 :Reprsentation des murs lectriques et magntiques dans le modle de la cavit

Afin de permettre une mise en quation des modes stationnaires, la cavit est place

dans un repre (O,x,y,z) et prsente les dimensions suivantes : a suivant laxe des x, b suivant

laxe des y, h suivant laxe des z (Figure XII-5).

Les hypothses qui vont tre utilises pour dterminer les modes qui sinstallent dans

cette cavit sont les suivantes :

- Les murs lectriques dans les plans z = 0 et z = h sont idaux- Les murs magntiques dans les plans y = 0, y = b, x = 0, x = a sont idaux- La hauteur h du patch au-dessus du plan de masse est trs infrieure la

longueur donde correspondant la frquence de fonctionnement delantenne ( frquence du mode excit)

Cette dernire hypothse a des consquences importantes : puisque le champ lectrique

tangentiel est nul en z = 0 et z = h, on en dduit que les lignes de champ qui atteignent lesconducteurs dans ces deux plans sont orthogonales ces plans.


4/24



4

Z Y

b

h

O X

aFigure XII-5 :Reprsentation de la cavit dans un repre (O,x,y,z)

De plus, la condition h


5/24



5

0EkE 22 =+&&&

(XII-5)

se simplifie car il nexiste quune composante de champ suivant Oz et cette

composante na pas de dpendance en z :

0)y,x(Eky

)y,x(E

x

)y,x(Ez

2

2Z

2

2z

2

=+

+

(XII-6)

La recherche dune solution variables spares conduit poser :

Ez(x,y) = f(x) . g(y) (XII-7)

k = kx + ky (XII-8)

Lquation (XII-6) se ramne la rsolution de deux quations indpendantes :

0)x(fkx

)x(f 2x2

2

=+

(XII-9)

0)y(gky

)y(g 2y2

2

=+

(XII-10)

dont les solutions videntes sont :

f(x) = A.cos(kx.x) + B.sin(kx.x) (XII-11)

g(y) = C.cos(ky.y) + D.sin(ky.y) (XII-12)

o A, B, C, D, sont 4 constantes qui dpendent des conditions aux limites.

Le champ lectrique Ez se prsente donc sous la forme :

Ez(x,y) = [A.cos(kx.x) + B.sin(kx.x)] . [C.cos(ky.y) + D.sin(ky.y)] (XII-13)

Les conditions aux limites sur les surfaces parfaitement conductrices ont dj t

utilises pour prciser la direction du champ lectrique dans la cavit.

Les conditions aux limites sur les murs magntiques parfaits imposent un champmagntique tangentiel nul sur ces parois, soit :

Bx = 0 en y = 0 et y = b (XII-14)

By = 0 en x = 0 et x = a (XII-15)

De (XII-4) et (XII-14), on dduit :

Bx = 0 0y

)y,x(Ez =

(XII-16)

- C.ky.sin(ky.y) + D.ky.cos(ky.y) = 0 en y = 0 et y = b (XII-17)


6/24



6

En y = 0 D = 0 (XII-18)

En y = b ky.b = n. ky = n./b (XII-19)

n tant un entier priori quelconque.

De (XII-4) et (XII-15), on dduit :

By = 0 0x

)y,x(Ez =

(XII-20)

- A.kx.sin(kx.x) + B.kx.cos(kx.x) = 0 en x = 0 et x = b (XII-21)

En x = 0 B = 0 (XII-22)

En x = b kx.a = m. kx = m./a (XII-23)

m tant un entier priori quelconque.

En utilisant les expressions de kx et ky obtenus ci-dessus, et en tenant compte de la

nullit des constantes B et D, le champ lectrique (XII-13) scrit sous la forme suivante, une

constante multiplicative prs qui est pose arbitrairement gale A :

ybncosx

amcosA)y,x(Ez

= (XII-24)

Les composantes de champ magntiques sobtiennent partir de la relation (XII-4) :

ybnsinx

amcos

bjnA)y,x(Bx

= (XII-25)

ybncosx

amsin

ajmA)y,x(By

= (XII-26)

Les entiers m et n indiquent lordre des modes qui sexcitent suivant les directions x et

y. Le mode suivant la direction z a t identifi comme correspondant un entier p = 0, car

tous les champs sont constants suivant cette direction pour des raisons voques supra.

La relation (XII-8) permet de calculer la frquence de rsonance de chacun de ces

modes. Rcrite avec les expressions de kx et ky donnes en (XII-19) et (XII-23), elle permet

de prvoir la frquence de fonctionnement de lantenne :

( ) ( )222bn

amk += (XII-27)

k = .. = 4..f.. (XII-28)

Do on dduit :


7/24



7

( ) ( )22bn

am

2

1f +

= (XII-29)

En pratique, le mode le plus utilis est le mode (m, n, p) = (1, 0, 0) ou (m, n, p) = (0, 1,

0). On notera que lentier p qui est associ la direction Oz est toujours pris gal 0 carsuivant cette dimension, les composantes de champ lectromagntique sont constantes

lintrieur de la cavit.

Quel que soit le mode utilis, il est utile de reprsenter lallure des champs lectriques

et magntiques, ainsi que lallure du courant sur le patch. Nous proposons de donner une

reprsentation de ces lments dans le cas du mode fondamental (1, 0, 0). En remplaant les

valeurs de m = 1 et n = 0 dans lexpression des champs XII-24, XII-25, XII-26, et en

choisissant arbitrairement la constante A = 1, on obtient :

x

a

cos)y,x(Ez= (XII-30)

0)y,x(Bx = (XII-31)

xa

sina

j)y,x(By

= (XII-32)

Sur ce mode, les champs ne dpendent pas de y et sont donc constants suivant cette

direction.

La quadrature temporelle (j )entre les champs lectriques et magntiques traduit les

changes dnergie sous les formes lectriques et magntiques dans la cavit : en une abscisse

x donne, lorsque le module du champ lectrique est maximum, le champ magntique est nul,et rciproquement.

Les figures suivantes donnent une reprsentation des champs et courants sur le mode

fondamental.

Z Y

b

h

O X

a/2 aFigure XII-6 :Reprsentation du champ lectrique dans la cavit sur le modeTM1,0,0.


8/24



8

Z Y

b

h

O X

a/2 aFigure XII-7 :Reprsentation du champ magntique dans la cavit sur le modeTM1,0,0.

Cette figure doit tre interprte en rappelant que la longueur de la flche reprsentelamplitude du champ magntique, et que ce champ na pas de variation en z, ni de variation

en y : en dautres termes, pour une abscisse x donne, il est identique pour chaque cote y

lorsque lon se dplace suivant un axe parallle Oy lintrieur de la cavit.

Les courants la surface du patch sont donns par la relation :

== BUHnJ z

&

&&

&

&

(XII-33)

soit donc :

xUxa

sina

j)y,x(J&&

= (XII-34)

On peut leur associer la reprsentation de la figure XII-8.

Z Y

b

h

O X

a/2 aFigure XII-8 :Reprsentation des courants sur le patch sur le modeTM1,0,0.


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9

Lorientation de ces courants qui sont tous parallles est une caractristique importante,

car elle permet de dfinir deux plans de coupe dans lesquels la polarisation de londe rayonne

est parfaitement dtermine : le plan (E) qui contient le vecteur champ lectrique et qui

correspond au plan y = 0 ; et le plan (H) qui contient le champ magntique et qui correspond

au plan x = 0.

III) Le champ rayonn

De la connaissance du mode qui est install dans la cavit, on dduit la rpartition des

courants sur la patch. Cette rpartition nest pas rigoureusement celle qui peut tre mesure

dans la ralit, ou value par des mthodes numriques formulations rigoureuses, car il y a

des perturbations des champs qui apparaissent au niveau de lalimentation du patch, que ce soit

par coaxial, par ligne , ou par fente. Mais le caractre rsonnant est suffisamment fort pour que

la forme des courants imposs par le mode constitue une bonne approximation de la ralit, et

donne une allure correcte du champ rayonn.

Il conviendrait dtre plus prudent si on sintressait des niveaux de polarisation

croise relativement bas, dans lesquels des perturbations mmes mineures de la rpartition deschamps pourraient jouer un rle significatif.

De cette rpartition de courant, on peut dduire le champ lointain rayonn par

lantenne. Il existe plusieurs manires de faire un calcul analytique du champ rayonn. Nous

allons en prsenter deux, une trs simple, mais valide uniquement lorsque la permittivit

relative du dilectrique est gale 1 ( le dilectrique est assimil lair), une autre un peu plus

complexe, mais applicable avec nimporte quelle permittivit relative.

III-1) Rayonnement des courants lectriques (r = 1).

Le modle de la cavit a permis de dterminer lexpression des courants lectriques quiprennent naissance sur le patch et qui sont rappels pour mmoire :

xUxa

sina

j)y,x(J&&

=(XII-35)

Si ces courants rayonnent dans lespace libre, on peut obtenir le champ rayonn par

application de lintgrale de rayonnement. Le plan de masse sera pris en compte en appliquant

le thorme des images.

Dans un premier temps, nous calculons le champ lointain rayonn en espace libre aupoint P repr par ses coordonnes polaire (r, , ) (Figure XII-9)

( ){ } ds.e.UU)y,x(J)R(.4

jk)P(E

S

OM.kj =&

&&&&

(XII-36)

o - S reprsente la surface du patch sur laquelle on trouve les courants.

- )(1200

0 == est limpdance donde du vide

- k = 00= / c


10/24



10

- (R) = e-jkR / R

- U&

est un vecteur unitaire dans la direction de propagation.

- Ukk

&&

= est le vecteur donde.

P (R,,)

Z Y

R

M(x,y,z)

MJ&

b

h

U&

O X

aFigure XII-9 :Reprsentation du rfrentiel et des coordonnes pour le calcul du

champ lointain rayonn par les courants.

En substituant les courants (XII-35) dans lintgrale (XII-36), et en regroupant lestermes constants sous une constante C, on obtient :

( ) UUU.ds.e.xa

sinC)P(E xS

OM.kj&&&&

&

= (XII-37)

Le vecteur de polarisation de londe rayonne est donn par le double produit

vectoriel :

( ) =

= sincoscos

0

001

001

sincoscoscossin

UUUx

&&&

(XII-38)

M est un point courant de la surface, de coordonnes (x,y,h), o est situ le courant. Le

produit scalaire de (XII-37) svalue de la manire suivante :

( )++=

= coshsinsinycossinxkhyx

.cosk

sinsinkcossink

OM.k&

(XII-39)

En utilisant ces deux derniers rsultats, lintgrale (XII-37) scrit :


11/24



11

) ( ) += UsinUcoscosdxexasindyeCe)P(Eb

0

a

0

cossinjkxsinsinjkycosjkh&&&

(XII-40)

Afin dallger lcriture, on peut poser :

V = k sin sin (XII-41)

W = k sin cos (XII-42)

Les intgrales prsentes dans (XII-40) deviennent alors:

===

=

b

0

jVbby

0y

jVyjVy

jV1e

jVedye pour V diffrent de 0 (XII-43)

=b

0

jVy bdye pour V = 0 (XII-44)

( )( )

( ) +

=

a

0

jWa

22

jWx 1e

Wa

adxxa

sine (XII-45)

pour W diffrent de k = / a.

) =a

0

jWx

2ajdxx

asine pour W = k = / a. (XII-46)

Do lcriture globale du champ rayonn en espace libre par les courants prsents sur

le patch :

( )

( )( ) +

+= UsinUcoscos

Wa

1ea

jV1eCe)P(E

22

jWajVb

cosjkh&&&

(XII-47)

Cette criture peut encore se simplifier, en rappelant que k = 2 / , et que sur le modefondamental, et pour un dilectrique tel que = 1, la dimension de lantenne a est gale /2.

On en dduit que dans ce cas particulier, k = / a.

Nous devons maintenant prendre en compte linfluence du plan de masse en

considrant le rayonnement des courants images qui sont opposs au courants du patch, et

situs la cote h, do leur expression dduite de (XII-47) :

( ) ( ) ++= UsinUcoscosWk

1ek

jV1eCe)P(E

22

jWajVbcosjkh

image

&&&

(XII-48)

En sommant (XII-47) et (XII-48), on obtient le champ total rayonn par lantenne sur

son plan de masse :


12/24



12

( ) ( ) ++= UsinUcoscosWk

1ek

jV1e

j2

)coskhsin(C)P(E

22

jWajVb

TOTAL

&&&

(XII-49)

La reprsentation de ce champ total en un point quelconque de lespace peut se faire en

prenant la norme de (XII-49). Linconvnient dune telle reprsentation est que la polarisationde londe napparat pas clairement dans une direction quelconque.

On reprsente souvent le diagramme de rayonnement dans deux plans principaux pour

lesquels la polarisation de londe est parfaitement dtermine.

a) Diagramme de rayonnement dans le plan EIl sagit du plan = 0. Dans ce plan, la polarisation est porte par le vecteur U

&

: le

vecteur champ lectrique est contenu dans le plan E.

Puisque = 0, on V =0 et W = k sin , do lexpression simplifie du champ rayonn

dans le plan E, dans laquelle la constante C a t modifie pour prendre en compte tous lestermes constants qui sont apparus :

( )( )

( )

+= Ucoscos

1e)coskhsin(C)P(E

2

sinjka

PlanE

&&

(XII-50)

La condition qui exprime le fait que la hauteur du patch est trs infrieure la longueur

donde permet dintroduire une ultime simplification :

h


13/24



13

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

degrs

Figure XII-10 : Reprsentation linaire du diagramme de rayonnement du plan E enchamp

Le diagramme de rayonnement en puissance sexprime gnralement en dcibels en

prenant 10 fois le logarithme dcimal du module du champ au carr :

( )

=

2

dB 2sincosLOG*10)(E (XII-54)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

degrs

dB

Figure XII-11 :Diagramme de rayonnement du plan E en puissance.

On peut noter que, sur le mode fondamental, le diagramme de rayonnement dans le

plan E est indpendant de la dimension a.


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14

b) Diagramme de rayonnement dans le plan HIl sagit du plan = / 2. Dans ce plan, la polarisation est porte par le vecteur U

&

: le

vecteur champ magntique est contenu dans le plan H, tandis que le vecteur champ lectrique

lui est orthogonal.

Puisque = / 2, on V = k sin et W = 0 do lexpression simplifie du champrayonn dans le plan H, dans laquelle la constante C a t modifie une nouvelle fois pour

prendre en compte tous les termes constants qui sont apparus :

( )

= U

sin1e)coskhsin(C)P(E

sinjkb

PlanH

&&

(XII-55)

La condition qui exprime le fait que la hauteur du patch est trs infrieure la longueur

donde (XII-51) permet dintroduire une ultime simplification :

( )

= U

2sinkbsine

sincos'C)P(E 2

sinjkb

PlanH

&&

(XII-56)

On en dduit lexpression du diagramme de rayonnement en champ :

( )= sin

a2bsin

sincos)(E (XII-57)

qui peut se normaliser sous la forme :

( )a

b2

sina

b2

sinsincos)(E

= (XII-57) bis

Do lexpression du diagramme de rayonnement en puissance :

( )2

db

ab

2sin

ab

2sinsin

cosLog*10)(E

= (XII-58)


15/24



15

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

dB

Tta

Figure XII-12 :Diagramme de rayonnement du plan H en puissance : b/a = 1 ;

b/a = 2 ; b/a = 4

Contrairement au plan E, le diagramme de rayonnement dans le plan H sur le mode

fondamental dpend de la dimension b, ou plus prcisment du rapport b/a : plus cette

dimension est grande, plus le diagramme est directif. Au del de b = 2a, il y a apparition de

lobes secondaires.

III-2) Rayonnement par application du thorme dquivalence.

Lapplication du thorme dquivalence se fait en respectant les tapes suivantes :

Etape 1 : dfinition de la surface de HUYGENS

Surface de HUYGENS Patch

n&

dilectrique

Plan de masse

La surface de HUYGENS est constitue par un plan thoriquement infini, situ juste

au-dessus du patch et du dilectrique.

Etape 2 : Dfinition des courants quivalents.

EJ&

MJ&

MJ&

EJ&

Les courants lectriques et magntiques quivalents sont dfinis partir des champsprsents sur la surface de HUYGENS par les relations :


16/24



16

HnJE&

&

&

= EnJM&

&

&

= (XII-59)

Sur le patch, le champ lectrique tangentiel tant nul, il nexiste que des courants

lectriques quivalents.

Daprs le thorme dquivalence, le rayonnement de ces courants quivalents conduit

un champ lectromagntique inchang au-dessus de la surface de HUYGENS, et un champ

lectromagntique nul en dessous de cette surface.

Etape 3 : On remplit la rgion ou le champ est nul par un conducteur lectrique parfait

Conducteur Parfait

Puisque le champ lectromagntique est nul dans le demi espace infrieur, on peut,

condition de prendre ne compte les modifications que cela implique, remplir cet espace par un

matriau parfaitement conducteur.

Etape 4 : On applique le thorme des images par rapport la surface de HUYGENS

Chaque courant lectrique tangentiel au-dessus de la surface a une image oppose en

dessous : on en dduit qu la limite, les deux courants sannulent lorsquils sont tous les deuxau niveau de la surface. Par consquent, le rayonnement des courants lectriques est nul.

Chaque courant magntique tangentiel au-dessus de la surface a une image de

mme sens en dessous : on en dduit qu la limite, les deux courants sajoutent lorsquils sont

tous les deux au niveau de la surface. Par consquent, le rayonnement des courants

magntiques est doubl par la prsence du matriau parfaitement conducteur

Etape 5 : Simplification

Les courants magntiques quivalents nont une valeur significative quau voisinage

immdiat du patch : on montre que leur dcroissance est exponentielle au fur et mesure que

lon sloigne du bord. On peut donc considrer avec une bonne approximation que le champ

rayonn par lantenne peut tre dduit des courants magntiques localiss autour du patch :


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17

Moyennant quelques approximations, lvaluation des courants magntiques

quivalents peut se faire de la manire suivante (Figure XII-13) : sur les cts du patch (la

figure reprsente un ct parallle Oy), on dfinit un parcours (C) = MNOP :

Z

M N

h Im

XP O

Figure XII-13 : coupe dans un plan xOz

La relation dAmpre sur un contour ferm (C) = MNOP scrirait en termes de

courants lectriques :

e

MNOP

Ild.H =&&

(XI-60)

Gnralise aux courants magntiques, elle devient :

m

MNOP

Ild.E =&&

(XII-61)

La circulation du vecteur champ lectrique peut se dcomposer :

m

PM

e

Z

OP

e

X

NO

e

Z

MN

i

X

MNOP

IdzEdxEdzEdxEld.E =+++= &&

(XII-62)

(1) (2) (3) (4)

o les indices i et e dsignent respectivement les champs intrieurs et extrieurs lacavit.

Si on suppose le champ lectrique confin dans la cavit, les intgrale (1), (2), (3), sont

nulles, et il reste :

Do lcriture vectorielle de la densit linique de courant magntique qui entoure le

patch, sur la portion AD ou BC :

y

i

zm UEJ&&

= (XII-63)

On peut reprsenter une ligne de densit courant magntique qui entoure le patch(Figure XII-14)


18/24



18

Z

Y

MJ&

D C

b

A B X

a

Figure XII-14 : Courants magntiques quivalents qui entourent le patch rectangulaire

En posant AB = DC = a et AD = BC = b, les courants magntiques MJ&

sont

dduits du champ interne Ez, et sexpriment de la manire suivante, sur le mode fondamental :

- Sur la portion AB : x0M U.axcos.EJ&& = (XII-64)

- Sur la portion BC : y0M U.EJ && = (XII-65)- Sur la portion DC : x0M U.axcos.EJ

&& = (XII-66)

- Sur la portion AD : y0M U.EJ && = (XII-67)Le calcul du champ rayonn va seffectuer laide de lintgrale de rayonnement

gnralise au courant magntique :

{ } { } dle.UJCdle.UJ)r(4

jk)P(E MO.kj

l

MMO.kj

l

M

&&&&

&&&&&

== (XII-68)

Dans la suite du calcul, nous poserons la constante C = jk(r)/4.

Nous posons galement dans un souci de simplification dcriture :

W = k.sin.cos et V = k.sin.sin (XII-69)

Do lexpression dj rencontre de lexponentielle prsente dans (XII-68) :

( )VyWxjMO.kj ee +=&&

(XII-70)

Le calcul du champ total rayonn sobtient en valuant les contributions de chaque

ligne de courant magntique quivalent.

Champ lointain rayonn par les courants magntiques sur la portion AD


19/24



19

( ) ( )dyeUUCE)P(E MO.kjby

0yy0AD

&&&&&

=

== (XII-71)

soit, en tenant compte du fait que x = 0 entre A et D :

( )== = UsincosUcosdyeCE)P(Eby

0y

jVy0AD

&&&

(XII-72)

( ) = UsincosUcosjV1eCE)P(E

jVb

0AD

&&&

(XII-73)

( ) = UsincosUcos2

Vb2

VbsinCebE)P(E 2

jVb

0AD

&&&

(XII-74)

Champ lointain rayonn par les courants magntiques sur la portion BC

Par rapport au cas prcdent, les courants sont de mme sens. Puisque le point

M se dplace sur la droite x = a, on a :

( )VyWajMO.kj ee +=&&

(XII-75)

et donc :

( ) = UsincosUcos2Vb

2Vbsin

eCebE)P(E

2

jVbjWa

0BC

&&&

(XII-76)

Champ lointain rayonn par les portions AD et BC

Il sobtient en sommant les contributions de AD (XII-74) et BC (XII-76) :

( ) ( ) += UsincosUcos2

Vb2

Vbsinee1CbE)P(E 2

jVbjWa

0BC,AD

&&&

(XII-77)

( ) ( )+

= UsincosUcos

2Vb

2Vbsin

2WacosCebE2)P(E 2

)VbWa(j

0BC,AD

&&&

(XII-78)

Champ lointain rayonn par la portion AB

Sur la portion AB, le courant est donn par lexpression (XII-64). Daprs lintgrale

de rayonnement gnralise au courant magntique (XII-68), le champ lointain sobtient en

calculant :


20/24



20

)( ) ( )dxeUUaxcosEC)P(E MO.kj

ax

0xx0AB

&&&&&

=

== (XII-79)

Puisque y = 0 sur cette portion, on obtient aprs dveloppement du produit vectoriel :

) ( )== += UcoscosUsindxeaxcosCE)P(EjWxax

0x0AB

&&&

(XII-80)

( )( ) +

= UcoscosUsin

aW

2Wacos

jWeCE)P(E2

2

2

jWa

0AB

&&&

(XII-81)

Champ lointain rayonn par la portion DC

Il se dduit du champ lointain rayonn par la portion AB, en notant que le sens des

courants est invers, et que lintgrale se calcule sur un portion de droite telle que y = b :

( )( ) +

= UcoscosUsin

aW

2Wacos

jWeeCE)P(E2

2

2

jWajVb

0DC

&&&

(XII-82)

Champ lointain rayonn par les portions AB et DC

Il sobtient en sommant les contributions de AD (XII-81) et BC (XII-82) :

( )( )

( ) += UcoscosUsin

aW

2WacosjWe1eCE)P(E2

2

2jWa

jVb

0DC,AB

&&&

(XII-83)

( )( )

+

+

= UcoscosUsin

aW

2Wacos

We2

VbsinCE2)P(E2

2

2

)VbWa(j

0DC,AB

&&&

(XII-84)

Enfin, le champ total rayonn sobtient en sommant toutes les contributions, soit les

relations (XII-78) et (XII-84). En omettant les termes constants qui sont normaliss dans lediagramme de rayonnement, on obtient :

( )( )

( )( )

( )

+= Usin

aW

2Wacos

2VbsinWcos

2Vb

2Vbsin

2Wacosb)P(E

22

&&

(XII-85)

( )( )

( )( )

( )

++ Ucoscos

a

W

2Wacos

2VbsinWsin

2Vb

2Vbsin

2Wacosb

22

&


21/24



21

On peut alors donner une reprsentation des diagrammes de rayonnement dans les deux

plans principaux.

Le plan = / 2 qui correspond au plan de masse de lantenne imprime porte unepolarisation uniquement dirige suivant U

&

, polarisation qui vrifie les conditions aux limites

sur un plan parfaitement conducteur.

Le diagramme de rayonnement dans le plan E

Cest le plan qui correspond = 0, soit donc galement V = 0. De (XII-85), on dduitle champ rayonn :

= U2Wacosb)P(E

&&

(XII-86)

Do lexpression particulirement simple du digramme de rayonnement dans ce plan :

( ) ( )2sinkacos

2Wacos)(E == (XII-87)

Puisque nous sommes sur le mode fondamental, on dduit des relations (XI-27..29)

que k dpend de la dimension de lantenne a par la relation :

rak

= (XII-88)

Le diagramme de rayonnement dune antenne imprime excite sur un mode

fondamental dpend donc de la permittivit relative rpar la relation

=

r2

sincos)(E (XII-89)

Exprim en puissance et en dcibels, ce diagramme devient :

=

r

dB2

sincosLog*20)(E (XII-90)

On note en premier lieu que lon retrouve le diagramme de rayonnement obtenu par la

mthode prcdente aux relation (XII-53) et (XII-54), qui ntait valide que pour r = 1 : cersultat montre la cohrence des deux mthodes exposes qui semblent en apparence trs

diffrentes.

La figure (XII-15) montre lvolution des diagrammes de rayonnement lorsque rvarie.


22/24



22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

r = 10

r = 1

r = 2

r = 4

dB

Figure XII-15 :Evolution des diagrammes de rayonnement du plan E sur le mode fondamental

lorsque rvarie

Le phnomne le plus remarquable est la remonte du niveau de rayonnement

lhorizon lorsque la permittivit augmente, jusqu obtenir un diagramme quasi omni

directionnel pour de fortes valeurs de r. Cela tient au fait que plus la permittivit est leve,plus la dimension de lantenne est petite en terme de longueur donde, et plus le diagramme de

rayonnement est large.

Le diagramme de rayonnement dans le plan H

Cest le plan qui correspond = = / 2, soit donc galement W = 0. De (XII-85), ondduit le champ rayonn :

= Ucos

2Vb

2Vbsin

b)P(E&&

(XII-91)

Do lexpression du digramme de rayonnement dans ce plan :

== cos

2sinkb

2sinkbsin

cos

2Vb

2Vbsin

)(E (XII-92)

En utilisant la relation entre k et a sur le mode fondamental :

rak

= (XII-93)

On obtient lexpression gnrale du diagramme de rayonnement dans le plan H, enfonction du rapport des dimensions du patch b / a :


23/24



23

= cos

a

b

2

sin

ab

2

sinsin

)(E

r

r(XII-94)

Ou encore pour un diagramme de rayonnement en puissance et en dB :

= cos

ab

2

sin

ab

2

sinsin

Log*20)(E

r

r

dB (XII-95)

On remarque nouveau que pour r = 1, on retrouve les rsultats obtenus par lamthode prcdente en (XII-57) et (XII-58), ce qui assure la cohrence des analyses

prsentes.

Les Figures (XII-16) et (XII-17) reprsentent lvolution de ces digrammes, paramtre

par le rapport a/b, et par la permittivit relative r.Par comparaison avec la Figure (XII-12) obtenue pourr = 1, on constate que, pour un

rapport b / a donn, langle douverture des diagrammes augmente avec la directivit.

Lexplication a dj t donne au paragraphe prcdent : plus la permittivit relative est

grande, plus lantenne est petite en termes de longueur donde, et plus le diagramme est large.

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

dB

a/b=1

a/b=2

a/b=4

Figure XII-16 :Diagramme de rayonnement plan H pour une permittivit relative r= 2


24/24



24

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

dB

a/b=1

a/b=2

a/b=4

Figure XII-17 :Diagramme de rayonnement plan H pour une permittivit relative r= 4

Antenne Imprimee

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