Antenne de Bretagne - ENS Rennes

ENS Cachan – Antenne de Bretagne Support de cours 2003-2004 Marie Frénéa

1

Antenne de Bretagne

Modulations angulaires

Ce document rassemble des notes de cours destinées aux élèves de préparation à l’Agrégation de Génie Electrique. Toutes les remarques qui pourraient contribuer à son amélioration sont les bienvenues. Certaines informations sont tirées d’ouvrages dont les références sont données en fin de document. Si certaines d’entre elles venaient à manquer, je m’en excuse par avance auprès de leurs auteurs et les invite à m’en faire part. Mon adresse est la suivante : [email protected]


2

MODULATIONS ANGULAIRES I - Définitions On désigne par modulation angulaire tout procédé permettant la modulation du terme de phase instantanée )t(iϕ d’une porteuse d’expression : [ ])t(cosA)t(p i0 ϕ= . On distingue deux types de modulations angulaires, qualifiées de modulation de fréquence et modulation de phase. 11. Expression du signal modulé

• Modulation de fréquence : Ce procédé consiste à faire varier linéairement la fréquence d’une porteuse p(t) en fonction d’un signal modulant m(t). Si la porteuse non modulée a pour expression : )tf2cos(A)t(p 00 π= , la fréquence instantanée du signal modulé suit la relation linéaire:

)t(m.Kff f0i += où fK désigne la sensibilité du modulateur, exprimée en Hz/V. L’amplitude du signal modulé demeure constante, mais sa phase instantanée est décrite par :

∫π+π=ϕ dt)t(mK2tf2)t( f0i

Le signal modulé peut donc s’écrire :

∫π+π= )dt)t(mK2tf2cos(A)t(s f00

• Modulation de phase : En modulation de phase, la phase instantanée du signal modulé varie linéairement en fonction du signal informatif m(t) :

)t(m.Ktf2)t( p0i +π=ϕ

ce qui revient à écrire : dt

)t(dm

2

Kff p0i

π+=

L’expression analytique du signal modulé apparaît donc comme :

))t(mKtf2cos(A)t(s p00 +π=


3

Figure 1 - Modulations MF et Mφ - cas d'un modulant sinusoïdal

Figure 2 - Modulations MF et Mφ - Cas d'un modulant triangulaire


4

Figure 3 - Modulations MF et Mφ - Cas d'un modulant carré

II – Spectre d’une modulation angulaire (consulter [1], [2])

Contrairement aux modulations d’amplitude, les modulations angulaires ne possèdent pas la propriété de linéarité permettant d’appliquer le principe de superposition (la fonction cos étant non-linéaire).

Ainsi, un signal modulé en MF ou en Mφ par la somme de deux signaux m1(t) et m2(t) n’a pas de lien direct avec les signaux s1(t) et s2(t) modulés respectivement par m1(t) et m2(t). Dans le cas d’un signal m(t) périodique, par exemple, on ne peut déduire le spectre du signal modulé à partir de la décomposition de m(t) en somme de fonctions harmoniques.

A priori, l’étude du cas particulier d’un signal m(t) sinusoïdal peut donc sembler sans grand intérêt. Elle présente cependant deux avantages :

- L’expression de la transformée de Fourier d’un signal modulé par m(t) sinusoïdal est connue

- Certains résultats obtenus à partir de ce cas simple peuvent être étendus à tous les signaux.

2.1. Cas d’un modulant sinusoïdal: )tf2cos(A)t(m mm π=

• Modulation de fréquence La fréquence instantanée s’écrit :

)tf2cos(A.Kff mmf0i π+= Elle varie de manière sinusoïdale dans l’intervalle ]ff,ff[ 00 ∆+∆− .


5

La quantité mA.Kff =∆ désigne l’excursion de fréquence. Elle est proportionnelle à l’amplitude maximale du modulant, mais elle est indépendante de sa fréquence. La phase instantanée a pour expression :

tf2sinf

AKtf2)t( m

m

mf0i π+π=ϕ

Le signal modulé en fréquence par une sinusoïde peut donc s’écrire :

)tf2sinf

AKtf2cos(A)t(s m

m

mf00 π+π=

• Modulation de phase

La phase instantanée a pour expression :

tf2cosAKtf2)t( mmp0i π+π=ϕ

Le signal modulé en phase par une sinusoïde peut donc s’écrire :

)tf2cosAKtf2cos(A)t(s mmp00 π+π=

On pose : φ∆=mpAK .

La quantité φ∆ désigne à présent l’excursion de phase, c’est-à-dire la variation maximale de phase instantanée lorsque m(t) varie. Dans les deux cas (MF ou Mφ), le signal modulé peut encore s’écrire sous la forme suivante :

)tf2sintf2cos(A)t(s m00 πβ+π= β désigne ici l’indice de modulation, ayant pour expression :

• mm

mf

f

f

f

AK ∆==β dans le cas d’une modulation de fréquence

• φ∆==β mpAK dans le cas d’une modulation de phase

L’indice de modulation contribue de manière importante à caractériser une modulation

angulaire, notamment en termes de propriétés spectrales et d’immunité aux perturbations. Les modulations de fréquence et de phase auront donc des propriétés différentes en fonction de la fréquence mf du modulant. En effet, l’indice de modulation de fréquence dépend de mf , ce qui n’est pas le cas de l’indice de modulation de phase. Calculons la transformée de Fourier du signal modulé s(t), d’expression :


6

)tsintcos(A)t(s m00 ωβ+ω=

s(t) peut encore s’écrire :

[ ] [ ]{ })tsint(jexp)tsint(jexp2

A)t(s m0m0

0 ωβ+ω−+ωβ+ω=

Rappelons l’identité de Bessel :

[ ] ∑∞

−∞=ωβ=ωβ

nmnm )tjnexp()(Jtsin.jexp

On en déduit :

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω+ω−β+ω+ωβ= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞= n0mn

n0mn

0 t)n(jexp)(Jt)n(jexp)(J2

A)t(s

soit finalement :

∑∞

−∞=ω+ωβ=

n0mn0 t)ncos()(JA)t(s

Remarque: On est parfois amené à démontrer ce résultat à partir des expressions suivantes, extraites de l’identité de Bessel en tenant compte de la relation )(J)1()(J n

nn β−=β− :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω−β=ωβ

ωβ+β=ωβ

∑

∑∞

=−

∞

=

1im1i2m

1imi20m

t)1i2sin()(J2)tsinsin(

ti2cos)(J2)(J)tsincos(

Dans ce cas, le point de départ est le suivant :

[ ])tsinsin(tsin)tsincos(tcosA)t(s m0m00 ωβω−ωβω= La transformée de Fourier du signal modulé s(t) a donc pour expression :

[ ]∑∞

−∞=++δ++−δβ=

nm0m0n

0 )nfff())nff(f()(J2

A)f(S

On obtient un spectre de raies espacées de mf , symétrique par rapport à 0f ( nn JJ −= ).


7

Remarque : Les raies correspondant aux fréquences m0 nff + et m0 nff − ont même amplitude

mais sont en opposition de phase pour n impair car )(J)1()(J nn

n β−=β− .

Figure 4 - Spectre d'une onde modulée en fréquence (représentation monolatérale)

Tableau 1 - Coefficients de Bessel en fonction de l’indice de modulation (mf désigne β)

f0-7fm f0+7fm f0

J-7 J6 J-6 J7

J-5 J5

J4 J-4

J0 J3

J-1 J1

J2 J-2

J-3

Amplitude des raies (/A0)

β=4

f


8

Figure 5 - Fonctions de Bessel (m désigne β)

A partir des courbes de la Figure 5, on remarque que l’on peut avoir :

• 0)(J0 =β ; La porteuse n’existe plus. Les zéros de 0J sont obtenus pour 79.11;65.8;52.5;4.2=β

• )(J)(J 1nn β<β + . L’amplitude des raies ne décroît pas obligatoirement avec l’ordre. Cependant, lorsque β>n , )(J)(J 1nn β>β + . On utilise cette propriété pour borner le spectre.

Modulation faible indice ( 1<<β ) : On parle alors de modulation à bande étroite (NBFM : Narrow Band Frequency Modulation)

On a dans ce cas : 1)(J0 ≈β ; 2

)(J1β

≈β ; 0)(Jn ≈β pour n>1.

Ce qui conduit à :

[ ]t)ff(2cos2

A]t)ff(2cos[

2

Atf2cosA)t(s m0

0m0

000 −π

β−+π

β+π=

Le spectre du signal MF est alors constitué d’une raie à la fréquence porteuse 0f et de deux raies latérales aux fréquences m0 ff + et m0 ff − . Il s’apparente donc au spectre d’un signal MA-DBAP, à une différence près cependant : les raies latérales sont en opposition de phase dans le cas du signal MF.


9

Une autre façon d’arriver à ce résultat consiste à écrire : 1)tsincos( m ≈ωβ et tsin)tsinsin( mm ωβ≈ωβ

D’où :

[ ]

))]tωωcos(t)ωω(cos(2βtω[cosA

)tωsinβsin(tωsin)tωsinβcos(tωcosA)t(s

m0m000

m0m00

+−−−=

−=

Puissance du signal modulé :

Les fonctions de Bessel vérifient l’égalité : 1)(Jn

2n =β∑

∞

−∞=

On a : ∑∞

−∞==β>==<

n

202

n

202

2

A)(J

2

AsP

La puissance émise est donc constante et indépendante de la valeur de l’indice de modulation. Par suite, le rendement de l’émetteur pourra être optimisé et restera constant quelle que soit l’amplitude du signal modulant. C’est un avantage important des modulations angulaires par rapport à la modulation d’amplitude.

Variation de l’indice de modulation : mf

f∆=β

• f∆ variable :

2.0=β

1=β

5=β

10=β


10

• f∆ fixe, mf variable :

5=β

10=β

15=β

∞→β

Figure 6 - Source [3]

Largeur de bande pour un signal modulant sinusoïdal :

Le spectre d’un signal MF est constitué en théorie d’une infinité de raies aux fréquences m0 nff ± . En pratique, le spectre est suffisamment concentré pour que l’on puisse négliger la

contribution des raies situées à une certaine distance de la porteuse. On est donc amené à établir des règles permettant de définir la largeur de bande utile pour la transmission des signaux MF. On cherche à limiter l’encombrement spectral, sans pour autant introduire une distorsion trop importante sur le signal démodulé. On montre que les raies correspondant à une puissance non négligeable sont d’ordre

1n +β≤ (règle de Carson). On en déduit la largeur spectrale occupée par un signal modulé avec un indice β par un signal sinusoïdal de fréquence mf :

)ff(2f)1(2B mm +∆≈+β≈ bande de Carson Cette estimation de la largeur de bande de transmission conserve environ 98% de la puissance du signal modulé :

2

A...])(J2)(J2)(J[

2

AP

202

221

20

20 =+β+β+β=

98.0)(J2...)(J2)(J 2N

21

20 >β++β+β pour 1N +β=


11

Note :

Pour une modulation à fort indice, on a : f2B ∆≈ . Par rapport à la modulation d’amplitude, le signal modulé MF occupe une bande plus large. Les modulations angulaires présentent heureusement des avantages en compensation (en particulier : un meilleur comportement vis-à-vis du bruit). Dans le cas d’une modulation à faible indice, mf2B ≈ . 2.2. Cas d’un modulant m(t) quelconque :

L’aspect non linéaire des modulations angulaires nous interdit de procéder par superposition. Il est généralement très compliqué, voire impossible, d’obtenir l’expression analytique du signal modulé afin d’en déduire la transformée de Fourier (on compte parmi les exceptions le cas d’une modulation à faible indice). Pour avoir tout de même un ordre de grandeur de la bande occupée, on définit l’indice de modulation généralisé :

max

maxf

max F

)t(m.K

F

f=

∆=β où maxF désigne la borne supérieure du spectre du signal modulant

m(t) et f∆ l’excursion maximale de la fréquence instantanée. La règle de Carson devient :

)Ff(2B max+∆≈ Exemple : En radiodiffusion FM, f∆ est fixée à 75 kHz et la fréquence maximale du modulant est limitée à kHz15 (mono).

On a donc : 515

75

F

f

max==

∆=β .

La règle de Carson nous donne : kHz180)1575(2)Ff(2B max =+=+∆= . La largeur du canal d’émission est de 200 kHz. C’est pourquoi ces émetteurs sont situés dans des bandes de fréquences élevées (87.5 à 108 MHz)

Cas d’une modulation à faible indice : Pour 1<<β , on sait calculer le spectre du signal MF. Celui-ci peut s’écrire :

))t(tf2cos(A)t(s 00 ϕ+π=

soit encore :

)t(sin).tf2sin(A)t(cos).tf2cos(A)t(s 0000 ϕπ−ϕπ= On peut considérer l’indice de modulation comme la valeur maximale de la variation de phase

:)t(ϕ max)t(ϕ=β .


12

Si l’indice de modulation est faible, on peut alors écrire : 1)t(cos ≈ϕ et )t()t(sin ϕ≈ϕ . L’expression du signal MF devient donc :

tf2sin)t(Atf2cosA)t(s 0000 πϕ−π≈ s(t) apparaît alors comme la somme de la porteuse non modulée et d’une porteuse en quadrature, modulée en amplitude par une primitive de m(t). On peut alors calculer facilement la transformée de Fourier de Fourier de s(t) :

[ ] [ ])ff()ff(j2

A)ff()ff(

2

A)f(S 00

000

0 +φ−−φ−+δ+−δ=

Or on a : ∫π=ϕ dt)t(mK2)t( f D’où finalement:

[ ]⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+−

−

−++δ+−δ=

0

0

0

00f00

0

ff

)ff(M

ff

)ff(M

2

AK)ff()ff(

2

A)f(S

Ce spectre possède deux bandes latérales affectées par l’intégration de la fréquence instantanée inhérente à la MF. En pratique, le message m(t) n’a pas d’énergie autour de la fréquence 0, et la division de M(f) par f ne pose pas de problème.

-Fmax Fmaxf

f

f

-Fmax Fmax

f0-f0 f0+Fmax-f0-Fmax

|M(f)|

)f(φ

|S(f)|

Figure 7 - Modulation de fréquence à faible indice


13

Ce résultat ressemble à celui obtenu dans le cas d’une MA-DBAP. L’encombrement spectral est ]FfFf[ max0max,0 +− . III – MODULATEURS ANGULAIRES (Consulter [1, 2, 4]) 3.1. Méthode directe :V.C.O.

Tout type d’oscillateur, un oscillateur LC à fréquence fixe par exemple, peut être modifié en V.C.O. Il suffit pour cela de remplacer une ou plusieurs capacités fixes intervenant dans l’expression de la fréquence d’oscillation par une ou plusieurs diodes varicaps (diodes à capacité variable). Toute diode polarisée en inverse se comporte comme une capacité dont la valeur diminue quand la tension inverse augmente (la zone de charge d’espace s’élargit et

dSC ε

= ). La relation qui lie la valeur de la capacité à la tension inverse est fortement non

linéaire comme l’indique la figure suivante :

Figure 8 - Capacité d'une diode varicap en fonction de la tension inverse

Cette relation peut être approchée par la formule suivante :

pM

j

r

jov C

VV

1

CC +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

où Vr représente la tension inverse et Cp la capacité parasite de la diode. Le reste des paramètres dépend des caractéristiques physiques de la diode. A titre d’exemple, le tableau suivant regroupe les paramètres décrivant un certain nombre de diodes varicaps du fabricant Alpha Industries :


14

Note : Rs et Ls désignent les résistances et inductances séries parasites.

La conception d’un oscillateur est une tâche relativement complexe. La prédétermination des éléments peut se faire avec l’hypothèse d’un fonctionnement linéaire (c’est celle que nous ferons par la suite) mais le design d’un oscillateur nécessite le recours à des outils de simulation permettant notamment de prendre en compte les non linéarités des éléments actifs. De plus, étant données les fréquences mises en jeu dans ces circuits, il est souvent nécessaire de modéliser les imperfections des composants et de leurs interconnexions.


15

3.1.1 Exemple de configuration classique :

Figure 9 - VCO à JFET

Hypothèse : la capacité de liaison Cl se comporte comme un court-circuit à la fréquence d’oscillation. Cet oscillateur peut être mis sous la forme de deux quadripôles en parallèle :

v v

i

i i

i

1

1

1

Q1

(Transistor)

Q2

Filtre

' '

2

2

2


16

Quadripôle Q1 :

⎩⎨⎧

+=

+=

2221212

2121111VYVYI

VYVYI

0V

IY

02V1

111 ==

=

0V

IY

01V2

112 ==

=

m02V1

221 g

V

IY −==

=

Sm

01V2

222 R

1g

V

IY +==

=

⇒ [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

Smm

1Q

R

1gg

00

Y

Quadripôle Q2 :

On a : 2

C

2

CC 1d2d

d ==

ω+ω+=

jL

1)CC(jY d111 ω−= 112 jCY ω−= 121 jCY

ω+= )CC(jY 2122 ⇒ [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω+ω−

ω−ω

+ω+=

)CC(jjC

jCjL

1)CC(j

Y

211

1d12Q


17

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++ω+ω−−

ω−ω

+ω+=

Sm211m

1d1

T

R

1g)CC(jjCg

jCjL

1)CC(j

Y

Condition d’oscillation : [ ] 0Ydet T =

• Calcul de la pulsation d’oscillation :

0])YRe(det[ T = : 221

21221d1 C

L

CC)CC)(CC( ω−=

++ω++−

⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

=ω

d21

21 CCC

CCL

1

• Condition de démarrage des oscillations :

0])YIm(det[ T = : ( )ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+ω=ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

L

R

1g

CgCCR

1g s

m

1md1S

m

⇒ sm2

1 R.gC

C=

Il faut donc en théorie S2

1m R.C

Cg > pour avoir des oscillations.

Afin de justifier certains éléments du schéma de l’oscillateur, il est nécessaire d’introduire la notion de bruit de phase d’un oscillateur.


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Bruit de phase d’un oscillateur :

Un VCO idéal attaqué par une tension constante possède pour spectre un Dirac à la fréquence d’oscillation. Or en pratique on constate que le spectre présente un niveau de bruit croissant à mesure que l’on se rapproche de la fréquence d’oscillation comme le montre la figure suivante :

Figure 10 - Bruit de phase d'un oscillateur [5]

Le bruit de phase est caractérisé par l’écart en dB entre le niveau à la fréquence de l’oscillateur (désignée par le terme « porteuse » : carrier) et le niveau du bruit dans une bande de 1 Hz à une distance donnée de la fréquence « porteuse ». La figure ci-dessus montre un exemple de mesure du bruit de phase à x=f-f0 Hz de la porteuse. L’unité du bruit de phase est le dBc/Hz (dBc : dB carrier). Il est généralement donné pour quelques valeurs de x mais on le trouve parfois sous forme de courbe donnant son évolution de façon continue en fonction de la fréquence.

Figure 11. Source [6]


19

Remarques : La puissance du bruit de phase est comptée dans une seule bande latérale. La mesure du bruit de phase s’effectue avec un analyseur de spectre. La largeur du filtre

d’analyse (RBW : Resolution Bandwidth) est généralement différente de 1 Hz, le bruit de phase est alors calculé de la manière suivante :

Bruit de phase @ x (dBc/Hz) = B + 10.log(RBW)

Où B désigne l’atténuation mesurée entre la porteuse et le bruit à une distance x à l’analyseur de spectre. Le bruit de phase trouve son origine dans le bruit électronique des composants (principalement actifs : varicaps et transistor) qui crée une modulation parasite et dans les distorsions apparaissant du fait des non linéarités. Pour exemple, la documentation constructeur suivante donne le bruit de phase d’un oscillateur pour différentes valeurs de x [6]:


20

Retour sur le modulateur de fréquence :

On retrouve dans ce montage l’association « anti-série » couramment utilisée pour les diodes varicaps. Du point de vue du signal modulant (basse fréquence), les diodes varicaps sont en parallèle et alors soumises à la même tension. Du point de vue du signal haute fréquence, les capacités équivalentes de ces deux diodes sont en série. L’intérêt de ce montage est la réduction du bruit de phase du VCO (tension HF aux bornes des varicaps plus faible, pas de redressement du signal HF par mise en conduction des diodes qui engendrerait une distorsion). Pour diminuer encore le bruit de phase, on rencontre également des VCO comportant plusieurs branches « anti-série » en parallèle : cela permet d’utiliser des diodes varicaps de capacités plus faibles qui génèrent un bruit électronique moindre.

Le bruit de phase est également d’autant plus réduit que le coefficient de qualité du circuit résonnant est élevé. Il faut donc choisir R suffisamment grande pour limiter l’amortissement du circuit résonnant (on remplace même parfois R par une inductance de choc). Cependant, il ne faut pas perdre de vue que cette résistance (ou inductance), associée aux capacités des diodes varicaps, effectue un filtrage passe-bas de la tension de commande du modulant (de constante de temps 4RCd).

Il faut noter également que la relation entre la tension d’entrée du VCO et la fréquence est fortement non linéaire. La figure suivante illustre un exemple de VCO permettant de couvrir la plage 88-108 MHz pour une tension de commande comprise entre 0 et 12V.

Fréquence d'oscillation en fonction de la tension inverse

8,000000E+07

8,500000E+07

9,000000E+07

9,500000E+07

1,000000E+08

1,050000E+08

1,100000E+08

0 1,5 3 4,5 6 7,5 910

,5 12

2 diodes

Figure 12 - Non linéarité du VCO

Dans les émetteurs de haute qualité, on améliore la linéarité de cette caractéristique en

effectuant une pré-distorsion du signal modulant. Cette pré-distorsion est réalisée au moyen d’un conformateur à diodes inséré dans le chemin du modulant qui compense la caractéristique du VCO (approchée par des segments de droite).


21

Stabilisation de la fréquence porteuse :

Afin d’éviter une dérive sur les canaux voisins, un émetteur doit assurer une bonne stabilité de sa fréquence porteuse. Ceci est d’autant plus important que le canal d’émission est étroit. Deux types de solutions sont généralement rencontrées :

- Utilisation d’un VCXO (cf 3.1.2.) : modification de la fréquence d’oscillation d’un oscillateur à quartz par ajout d’une ou plusieurs varicaps (méthode économique => applications grand public).

- Utilisation d’une boucle à verrouillage de phase (plus fiable, car moins de réglages) pour stabiliser un VCO tel que celui de la Figure 9. En effet, la sortie d’un tel oscillateur est sujette à des dérives en fonction de la température, des tensions d’alimentation, du vieillissement, etc. L’introduction d’un diviseur programmable dans la chaîne de retour permet de changer de canal d’émission.

Filtre de boucle ∑

m(t)Comparateurde phase

V.C.Os(t)

/ N

f0

Figure 13 - Stabilisation de fréquence porteuse par PLL

T(p)

m(t)

/ N

KD p0K2π0e =ϕ sϕu

Figure 14 - Analyse du fonctionnement de la boucle

La fonction de transfert liant la phase du signal de sortie au signal modulant est donnée par :

)p(T.K.K.N

2p

K.2

)p(M

)p(

D0

0sπ

+

π=

φ

La fréquence de sortie vaut : fNff 0s δ+= avec :


22

p

)p(T.K.K.

N

21

K

)p(M

)p(f

D0

0π

+

=∆

Pour p1

1)p(T

τ+= , on a :

2D0

0

p.pK.K.N

2)p1.(p.K

)p(M

)p(f

τ++π

τ+=

∆

En l’absence de signal m(t), la fréquence de sortie de la boucle vaut 0f.N lorsque la boucle

est accrochée. La fonction de transfert ci-dessus décrit un comportement de type passe-haut. Si l’on

applique un signal m(t) lentement variable, le module de la fonction de transfert tend vers 0, ce qui traduit le rejet d’une perturbation par la boucle. Dans le cas d’un signal modulant variant suffisamment rapidement, on a )t(m.K)t(f 0=δ . En effet, les performances dynamiques de la boucle ne lui permettent pas de réagir de manière instantanée, ce qui rend possible la modulation de la fréquence de sortie par m(t).

Cette configuration est donc adaptée au cas d’un signal modulant ne comportant pas de fréquences basses. Elle compte parmi les solutions les plus répandues, car elle offre une grande liberté de choix des paramètres (fréquence centrale et excursion), tout en assurant la stabilité de la fréquence centrale. Voir exemple de circuit page suivante [7].


23


24

3.1.2. VCXO : VCO à quartz

Figure 15 - Ocillateur à quartz contrôlé en tension [8]

Pour le calcul de cet oscillateur, se référer au sujet d’électronique de l’agrégation GE externe de 1999. Rôle des principaux éléments : Lc Inductances de choc : bloquent le signal HF C4 Condensateur de découplage : mise à la masse du collecteur en alternatif

(permet d’obtenir un montage collecteur commun) R1 et R2 Polarisation du transistor C1 et C2 Diviseur capacitif permettant la réaction du signal Q Complète le circuit résonnant Dc Varicap : permet de décaler la pulsation de résonance série du quartz R3 et R4 Polarisation de la diode varicap C3 Condensateur de liaison pour le modulant. Permet de superposer le

modulant à la tension de polarisation de la varicap. La fréquence d’oscillation de cet oscillateur est donnée par la relation suivante :

( )( ) 011

01

0 211

21

LCCCCCCCCC

LCf

ddp

dos ππ

≈+++

+=

Avec pour schéma équivalent du quartz :

A titre d’illustration, les valeurs typiques de ces paramètres pour quelques quartz sont :

Entrée signal à émettre

R5

R1

R2 C1

C2 R

T

Lc

QR3

R4

Dc

LcC3

C4C5

Vcc

signalmodulé

LCo

Cp


25

Quartz à 10 MHz (mode fondamental)

Co=0,02 pF Cp=3,6 pF L=12,665 mH

Quartz à 50 Mhz (mode overtone : harmonique 3)

Co=0,0026 pF Cp=4,212 pF L=3,897 mH

Quartz à 100 Mhz (mode overtone : harmonique 5)

Co=0,0005 pF Cp=2,25 pF L=5,066 mH

Quartz à 155 MHz (mode fondamental)

Co=0,0005 pF Cp=1,5 pF L=2,108 mH

Tableau 2 - Source [9]

Etant donnés les ordres de grandeur des différentes valeurs intervenant dans la formule de

la fréquence d’oscillation, les indices de modulation réalisables sont très faibles. Avec le quartz de 10 MHz ci-dessus et une capacité C1 de 100 pF, la fréquence d’oscillation passe de 10002,94 kHz pour Cd = 45 pF à 10012 kHz pour Cd = 5 pF. Pour obtenir des indices de modulation plus importants, on a recours à la solution suivante :

Figure 16 - [8]

La multiplication de la fréquence augmente l’indice de modulation (cf. modulateur d’Armstrong). 3.2. Méthode indirecte : modulateur d’Armstrong

))t(tf2cos(A)t(s 00 ϕ+π= )t(sin).tf2sin(A)t(cos).tf2cos(A)t(s 0000 ϕπ−ϕπ=

Dans le cas d’une MF à bande étroite : 1)t(cos ≈ϕ et )t()t(sin ϕ≈ϕ .

A partir de l’expression analytique de s(t), la construction du schéma synoptique de la Figure 17 ne pose aucune difficulté. Si le signal modulant passe par un intégrateur, on dispose d’un modulateur de fréquence à faible indice :

∫ωπ−ω≈ dt)t(m.tsin.Ak2tcosA)t(s 00f00

tsin)t(AtcosA)t(s 0000 ωϕ−ω≈


26

+

2

π

∫π dtk2 f

)tcos(A 00 ω

)tsin(A 00 ω−

Signalmodulant m(t)

Intégrateur+

+ Signalmodulé MF s(t)

Modulateur à faible indice

)t(ϕ

Figure 17 – Réalisation d’un modulateur de phase à faible indice

Ce dispositif est limité aux faibles indices de modulation. Pour augmenter l’indice β , on

procède à une multiplication de fréquence dont le principe est donné Figure 18. On applique le signal de fréquence porteuse 1f obtenu en sortie du modulateur à faible indice à l’entrée d’un élément non linéaire. Un filtre passe-bande centré autour de 1f.n nous permet de récupérer un signal de fréquence centrale 1f.n avec cette fois-ci une indice de modulation

12 .n β=β . Illustrons ceci avec le cas simple d’un signal modulant sinusoïdal et d’un élément non linéaire réalisant une multiplication de fréquence par 2 (élévation du signal au carré) : Le signal appliqué en entrée du module quadratique a pour expression :

)tsintcos(A)t(s m1111 ωβ+ω=

En sortie, on a donc : )]tsin2t2cos(1[2

A)t(s m11

21

2 ωβ+ω+=

Par filtrage de la composante continue, on récupère une onde modulée MF dont la porteuse et l’indice de modulation ont été multipliés par 2. Lorsque l’on réalise une multiplication de fréquence par n, on cherche à obtenir 12 .n β=β . Mais cette multiplication fournit une fréquence centrale 1f.n qui n’a généralement pas la valeur désirée : l’indice de modulation et la fréquence centrale sont deux grandeurs indépendantes. Afin d’obtenir la fréquence centrale 0f souhaitée, on réalise une transposition de fréquence à l’aide d’un mélangeur.


27

Signalmodulant m(t)

Signalmodulé MF

Modulateur à faible indice

f1

N.L

f2

Multiplicateur defréquence par n Translation en fréquence

1β

n.f1

12 nβ=β 1nβ=β

s1(t) s2(t) s(t)s3(t) s4(t)

120 nfff ±=

Figure 18 - Modulateur de fréquence réalisé selon la méthode indirecte (modulateur d’Armstrong)

Cette méthode permet d’obtenir à la fois des indices de modulation élevés et une grande

stabilité de la porteuse. La principale difficulté se situe dans la réalisation du multiplicateur de fréquence. Note : la multiplication de fréquence peut également être réalisée au moyen d’une PLL possédant un diviseur dans la boucle de retour. Le signal d’entrée de la PLL est alors le signal NBFM. IV – DEMODULATEURS ANGULAIRES 4.1. Discriminateur à quadrature (ou discriminateur à coïncidence) [8, 10]

Le discriminateur à quadrature constitue la solution la plus répandue en démodulation de fréquence. Un tel dispositif peut être réalisé à moindre coût sous forme intégrée. Il comporte un circuit permettant de déphaser le signal modulé FM d’une quantité proportionnelle à sa fréquence instantanée et utilise un détecteur de phase (multiplicateur) permettant de convertir la variation de phase en une variation d’amplitude et de retrouver ainsi le signal modulant.

Signal modulé s(t)Signal démodulésd(t)

)t(vφRéseau déphaseur( à f0)2π

Figure 19 - Principe de la démodulation par discriminateur FM à quadrature

Le signal modulé en fréquence a pour expression :

)tsintcos(A)t(s m00 ωβ+ω= En sortie du réseau déphaseur, la phase est décalée d’une quantité )f( iϕ :

))f(tsintcos(A)t(v im00 ϕ+ωβ+ω=φ En sortie du mélangeur, on récupère :


28

)]f(cos))f(tsin2t2.[cos(2

A)t(v).t(s iim0

20

ϕ+ϕ+ωβ+ω=φ

On s’arrange pour avoir un réseau déphaseur de caractéristique : )ff(2

)f( 0−α−π

=ϕ

Après filtrage passe-bas, on récupère : )]ff.(sin[2

A)]ff(

2cos[

2

A)t(s 0i

20

0i

20

d −α=−α−π

=

La fréquence instantanée fi est égale à : )t(mkf f0 +

On a donc : [ ])t(mksin2

A)t(s f

20

d α=

Le réseau déphaseur est dimensionné de telle sorte que la variation de phase autour de 2

π soit

faible et on peut alors approcher le sinus à son argument : )t(m.k..2

A)t(s f

20

d α≈

On récupère bien ainsi un signal proportionnel au modulant. Il ne nous reste plus qu’à montrer comment obtenir un déphaseur possédant une

caractéristique )ff(2

)f( 0−α−π

=ϕ .

Le réseau déphaseur est généralement un circuit RLC semblable à celui de la Figure 20.

Figure 20 - Réalisation du discriminateur à quadrature

La fonction de transfert du déphaseur peut s’écrire :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

−ω++

ω=

ω+ω

++ω

ω=

ω

ω

L

1)CC(jR1

jRC

CjjL

1

R

1jC

jC

)(Ve

)(Vs

0

0

0

0


29

avec :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ω+=ω

=

+=ω

)CC(RL

RQ

)CC(L

1

00

00

On a donc :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−

ω

ω+

ω=

ω

ω

0

0

0

.jQ1

jRC

)(Ve

)(Vs

Soit entre Ve et Vs un déphasage : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−

ω

ω−

π=ϕ

0

0.Qarctan

2

ω étant proche de 0ω , on peut écrire :

( )0

0

0

0

0

00

0

20

20

02

)2)(())((

ω

ω−ω=

ωω

ωω−ω≈

ωω

ω+ωω−ω=

ωω

ω−ω=

ω

ω−

ω

ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−ω−

π≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−ω−

π≈ϕ

0

0

0

0 .Q22

.Q2arctan2

avec )t(mk2 f0 π=ω−ω

Il faut dimensionner le coefficient de qualité pour vérifier cette approximation.

Figure 21 - Déphasage en fonction de 0ωω

pour différentes valeurs de Q (1, 2, 5, 10, 20, 40 et 100 )


30

4.2. Démodulateur à PLL

Filtre de boucle

Comparateurde phase

O.C.Tfe fs

Signal démodulé

Figure 22 - Principe du démodulateur à PLL

La fréquence centrale de l’OCT est égale à 0f , fréquence porteuse du signal modulé. Si

l’on applique en entrée de la boucle un signal modulé MF, la fréquence d’oscillation du VCO varie à l’image de la fréquence instantanée du signal reçu, dans la mesure où les performances dynamiques de la boucle le permettent. Lorsque la boucle est verrouillée, on a , fsfe = , c’est-à-dire : d00f0 V.Kf)t(m.Kf +=+

Soit finalement : 0

f

0

fd K

)t(m.K

KV

δ==

Il est à noter que ce raisonnement s’applique à condition d’utiliser un VCO présentant une caractéristique linéaire.

p

2πfδ eϕ +- Kd

p

2π

T(p) K0

Vd

Figure 23 - Schéma bloc de l'asservissement

Dans le cas simple où l’on a pour le filtre de boucle : p1

1)p(T

τ+= , la fonction de transfert

liant la tension d’entrée du VCO et la déviation de fréquence du signal reçu s’exprime par :

K

p

K

p1

1.

K

1

)p(f

)p(Vd20 τ

++

=δ

avec d0 K.K.2K π=


31

Si mf est la fréquence maximale de m(t), on doit vérifier la relation : nmf2 ω<π (bande passante de la boucle).

La plupart des récepteurs de télévision analogique par satellite sont aujourd’hui équipés d’un démodulateur à PLL (succédant dans ce domaine au discriminateur à quadrature). La démodulation s’effectue au voisinage de 480 MHz. 4.3. Discriminateur de fréquence

Le principe de tout démodulateur de fréquence consiste à fournir un signal dont l’amplitude est une fonction linéaire de la fréquence instantanée du signal d’entrée. A partir de ce constat, on peut avoir l’idée de proposer un dispositif présentant une caractéristique de transfert fréquence/tension linéaire. Le signal modulé MF a pour expression :

∫π+ω= )dt)t(mK2tcos(A)t(s f00

En supposant 0A constant : ∫π+ωπ+ω−= )dt)t(mK2tsin())t(mK2(Adt

)t(dsf0f00

On obtient après dérivation un signal qui est encore modulé en fréquence, mais dont l’enveloppe est proportionnelle au modulant. Pour récupérer m(t), il faut extraire l’enveloppe

du signal dt

)t(ds.

Un discriminateur comporte donc un filtre remplissant la fonction de dérivation, suivi d’un simple détecteur d’enveloppe à diode. Ce type de démodulateur étant sensible aux variations d’amplitude du signal MF, le recours à un limiteur écrêtant le signal s’impose en amont.

Filtre

f0f

|H(f)|

Détecteur d'enveloppe

signalmodulé MF signal démodulé

s

e

Ecrêteur

Figure 24 - Principe du dicriminateur de fréquence

Pour réaliser le filtre dérivateur, on utilise en pratique la partie linéaire de la fonction de transfert d’un circuit résonant.


32

Figure 25 - Exemple de circuit assurant la fonction "dérivation ", suivi d’un détecteur d’enveloppe

Le circuit de la Figure 25 présente une plage de linéarité restreinte. Celle-ci peut cependant

être améliorée en associant deux circuits résonnants « tête-bêche » comme le représente la Figure 26.

Figure 26 - Exemple de réalisation d'un discriminateur

Le discriminateur de Foster-Seeley simplifie les réglages en ne faisant intervenir qu’un circuit résonnant, soit une seule fréquence d’accord.

Figure 27 - Discriminateur de Foster-Seeley


33

Ce type de circuit a été longtemps utilisé en réception FM, mais tombe aujourd’hui en désuétude (intégration impossible, réglages fastidieux…). V – REMARQUES ET CONCLUSION Robustesse du signal modulé en fréquence vis à vis des non linéarités Une non linéarité est caractérisée par une relation entrée-sortie du type :

...VKVKVKV 3e3

2e2e1s +++=

En se limitant à l’ordre 3, on peut mettre en évidence l’effet d’une non linéarité sur une onde modulée en fréquence.

))t(tcos(AV 00e ϕ+ω= On obtient alors :

))t(3t3cos(4AK

))t(2t2cos(2AK

))t(tcos(4AK

2AK

AK

2AK

V

0

303

0

202

0

303

303

01

202

s

ϕ+ω⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

ϕ+ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ϕ+ω⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+++

=

On remarque que la non linéarité n’introduit pas de distorsion sur la phase. Elle fait

seulement apparaître de nouvelles ondes modulées en fréquence aux fréquences multiples de la fréquence porteuse avec des indices de modulations croissants (c’est d’ailleurs un principe utilisé pour convertir une modulation MF à bande étroite en une MF à bande large). La seule contrainte pour éviter toute distorsion est de garantir que les spectres de ces ondes modulées en fréquence ne se chevauchent pas.

La quasi totalité des démodulateurs qui ont été présentés nécessitent une amplitude constante du signal modulé en fréquence. En effet, si l’enveloppe du signal subit des fluctuations (bruit, obstacles,…) cette variation d’amplitude sera répercutée sur l’amplitude du signal de sortie. C’est la raison pour laquelle ces démodulateurs sont précédés par un limiteur dont le rôle est d’écrêter le signal. Cette opération permet de supprimer les fluctuations d’enveloppe sans dégrader l’information contenue dans la phase. Ce limiteur est généralement réalisé par un amplificateur saturé (ou deux diodes « tête-bêche »).


34

Conclusion

Lors de sa découverte, la modulation de fréquence a fait l’objet de nombreux travaux de recherche (notamment en mathématiques) avant d’arriver à la conclusion que son occupation spectrale pour un même modulant était plus importante qu’en modulation d’amplitude et d’en déduire qu’il fallait la ranger aux oubliettes. Il a fallu attendre les travaux d’Armstrong (1936) pour mettre en évidence les avantages de la modulation de fréquence, notamment en termes de comportement vis à vis des perturbations. Au prix d’une largeur de bande plus importante qu’en modulation d’amplitude, la modulation de fréquence améliore la qualité des transmissions en présence de bruit et rend possible la transmission d’un signal musical de qualité. De plus, en modulation de fréquence, toute l’énergie émise contient de l’information et sa robustesse aux non linéarités rend possible l’utilisation d’amplificateurs en classe C possédant un bon rendement. Ces atouts en font une modulation particulièrement adaptée aux moyens de communication portables. Références bibliographiques : [1] D. Ventre, Communications analogiques, Ellipses. [2] C. More, Transmission de signaux (cours & exercices d'électronique), Lavoisier,

TEC&DOC. [3] "Spectrum Analysis: Amplitude and Frequency Modulation," Test and Measurement,

Application Note 150-1: Hewlett Packard. [4] F. de Dieuleveult, Electronique appliquée aux hautes fréquences, Dunod. [5] M. Curtin and P. O'Brien, "Phased-locked loops for high-frequency receivers and

transmitters - Part 2," Analog Dialogue 33.5: Analog Devices. [6] Oscillator products catalog, Murata (www.murata.com). [7] "Free Radio Berkeley 1 Watt PLL transmitter schematic,"

http://gbppr.dyndns.org/PROJ/. [8] Agrégation externe de Génie Electrique (1999), épreuve d'électronique, Partie B. [9] U. L. Rohde and D. P. Newkirk, RF/Microwave circuit design for wireless

applications, Wiley - Interscience. [10] "SA604A High Performance low power FM IF system," Product specification: Philips

Semiconductors.

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