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Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors and subscriptioninformation:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20

Anneau de fonctions polynömes d′un anneaucommutatif unitaireGeneviève Jacob aa 121, avenue du Maine, Paris, 75014Published online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Geneviève Jacob (1980) Anneau de fonctions polynömes d′un anneau commutatif unitaire,Communications in Algebra, 8:9, 793-811, DOI: 10.1080/00927878008822491

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 8(9), 793-811 (1980)

G e n e v i e v e J a c o b

1 2 1 , a v e n u e d u M a i n e 7 5 0 1 4 F A R I S

3 a n s c e t r a v a i l , A d e s i g n e r a t o u j o u r s u n a n n e a u c o r n r n u t a ~ i f u n i t a i r e ; n o u s v o u l c ~ s

B t u c i e r l ' a q n e a u d e s f o r c t i o n s p o l y n d m e s s u r A. En " u n e v a r i a b l e " , il s e p r e s e n t e c o m e

l e q u o t i e n t d e l ' s n n e a u d e s ? c l y n 8 m e s ACX] p a r l ' i d e a l P [ A l d e s p o l y r d r n e s d e ACXl q u i

s ' s n n u l e r t s u r ;.

O a n s l a s u i t e , nou; f l x o n s u n i d Q a l & d e A, e t , a f i n d ' 6 t u d i s r l ' a n n e a u d e s f o n c -

t i o r s p o l y n B n e s s u r A/U, d h s i g n o n s p a r Pa[Al l ' i J Q a l d e s p o l y n d m e s 5 e ACX? q u i p r e n n e n t

s d r A c e s v a l e w r s d a n s C Q [ r e s p . . p o u r t o u t e n t i e r m p o s i t i f , p a r F ' ~ ) ( A I l ' i d e a l d e s

p o l y n b m s ?e A I X 1 , . . . , X 1 q u i p r i n n e n t s d r qm d e s v a l e u r s d a n s & I .

N o t r e Q t u d e , is i , s ' o r i e n t e d e d e u x m a n i Q r e s . Aux I I , 11, 111. n o u s d o n n o n s u n c a l -

c w l L e c h n i q u e d ' u n s y s t Q m e g Q n B r a t e u r , e n t a n t q u e A m o d u l e , d e l ' i i e a l Fa(Al ( r e s p .

P:)(A!I, d a n s d e s c a s p a r t i s u l i e r s , r e c o u v r a n t u n e t r Q s l a r g e c l a s s e d ' a n n e a u x . Au I I V .

nous d o n n o n s d e s r Q s u l t 3 t s g B n 6 r a u x s u r P o [ A l , v a l a b l e s p o u r t o u t ' a n n s a u A.

L e t h e o r P m e l e p l u s i m p o r t a n t d e l a p r e m i e r e p a r t i e e s t l e t h e o r e r n e 5 ( d 1 I I l . Q L e s t

u n e i n t e r s e c t i o n q u e l c o n q u e d e p u i s s a n c e s e . d ' i d k a u x p r e m i e r s p. d ' u n a n n e a u q u e l c c n q u e

A [ a v o c d e s c o n d i t i o n s a s s e z f a i b l e s s u r l e g r a d u e d e A my, , r e a l i s e e s s i c e d e r n i e r

e s t i n t s g r e l . Ce r e s u l t a t e s t v a l a b l e d a n s d e nornbreux c a s , e n p a r t i c u l i e r p o u r t o u s l e s

i d i i a u x a d ' u n a n n e a u d e D e d e k i n d . D a n s l e t e x t e , Pd[Al e s t o b t e n u p a r i n t e r s e c t i o n d s s

P [ A ] , u n e d e s c r i p t i o n e x p l i c i t e d e P [Al p o u v a n t Q t r e c a l c u l e e 3 l ' a i d e d u lemme c h i - p ;i a

n o i s . En e f f e t , l e t h e o r e m e 5 d Q c o u l e i r n r n e d i a t e r n e n t d u t h Q o r 2 m e 4 ( 1 1 1 1 , q u i d o n n e u n

c a l c u l e x p l i c i t e d ' u n s y s t b r n e g O n Q r a t e u r d e % [ A ] ' [ r e s p . d e P;(A)I l o r s q u e a e s t u n e

p u i s s a n c e q u e l c o n q u e e d ' u n i d e a l p r e m i e r k / d ' u n a n n e a u A [ a v e c ' u n e c o n d i t i o n s u r l e

g r a d u B d e A e n p , r e a l i s h e s i c e d e r n i e r e s t i n t e g r e , e t t o u j o u r s r g a l i s e e s i e = 1 o u 2 ,

p a r e x e m p l e l . D a n s c e c a s , l e c a l c u l n e c e s s i t e l a c o n s t r u c t i o n d ' u n e s u i t e d ' Q l Q r n e n t s d e

A, d o n t l e ni*e t e r r n e e s t c a l c u l g g r a c e 2 u n e e c r i t u r e d e l ' e n t i e r n s o u s f o r m e d ' u n

d g v e l o p p e r n e n t g h n g r a l i s a n t l e d e v e l o p p e r n e n t p - a d i q u e . D a n s c e c a s . n o u s d o n n o n s d ' a i l l e u r s

d e u x e x p r e s s i o n s d e P e [ A l l ' u n e t o u j o u r s v a l a b l e , l ' a u t r e Q l u s s i m p l e 1 v a l a b l e s e u l e r n e n t P

p o u r d e s v a l e u r s f a i b l e s d e e .

Copyright O 1980 by Marcel Dckker, Inc

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ANNEAU DE FONCTIONS POLYNOMES 795

P o u r s i m p l i f i e r , s u r l e s r e s u l t a t s c o n c e r n a n t l e s polyndrnes 2 un nornbre f i n i rn d e

v a r i a b l e s , non seu le rnen t nous ne c i t e r o n s q u e l e s p l u s i m p o r t a n t s [ l a " t r a n s c r i p t i o n "

d ' u n e v a r i a b l e a un nornbre f i n i d e v a r i a b l e s e s t d ' a i l l e u r s a i s g e l . rnais e n c o r e n o u s n e

d o n n e r o n s a u c u n e p r e u v e d a n s c e c a s [ i l s u f f i t d ' a i l l e u r s & c h a q u e f o i s d l " i s o l e r une

v a r i a b l e " e t d e p r o c 6 d e r p a r r g c u r r e n c e s u r rnl.

E n f i n , s i g n a l o n s que l a p l u p a r t d e c e s r e s u l t a t s o n t B t 6 a n n o n c e s d a n s 151 .

1 . 1 - PRELIVINAIRES.

S o i t A un anneau i n t s g r e , d e c o r p s d e f r a c t i o n s K , U = ( a 1 un i d e a l p r i n c i p a l d e A,

AIXISUb l ' a n n e a u d e s p o l y n h e s P[XI d e KCXI t e l s q u e P[A) c A C c f . ( 2 1 1 .

-- )ION I . - S ' i l e x i s t e d e s polyn6rnes f n I X l d e ALX1 d e d e g r 6 n, e t d e s s o u s I

a l o r s P !A1 = B, a n f n . 00 an e s t

l ' i d 6 a l b y n ] n A. n&

P r e u v e : S o i t E = {P[Xl E KCX] ; Va E A; P ( a 1 E aA). On a : E = Ca a 5'f e t - n a n n

Pa(AI = E n ACXI. Les f O t a n t d e s polyndrnes d e d e g r e t o u s d i f f e r e n t s , on a :

P o s o n s d ' a u t r e p a r t

NOTATIONS 1 : P o u r t o u t rn-uple d ' e n t i e r s p = ( n , ,.... n

A l o r s :

PROPOSITION.1 . b i s - Sous l e s h y p o t h & s e s d e l a p r o p o s i t i o n 1 , a l m s P ~ ( A I = a ca f

0 3 @n = [ a I n n A). naNm C 2 - - !.

1.2 - A FACTORIEL, OU OE DEDEKIND.

S i A e s t f a c t o r i e l ( r e s p . d e D e d e k i n d l , l e s c o n d i t i o n s d e l a p r o p o s i t i o n 1 s o n t

r g a l i s g e s ( c f . [31, 1 4 3 ) .

Dans l e p r e m i e r c a s s e u l a m e n t . an [ a i n s i q u a t o u s l e s d m l a s t monogine. - Dans l e s deux c a s , PoZIA) [ a i n s i q u e P$A)I e s t un A module l i b r e .

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796 JACOB

A NOTATIONS 2 : A (,A= (TI i d i i a l p r e m i e r p r i n c i p a l d ' u n anneau A , oh N = Card - on a s s o c i e l a P s u i t e ( a . 1 . (oG a = 01, t e l l e q u e :

1 . 1 m

- S i N e s t i n f i n i , ( a i l e s t e x t r a i t d ' u n syst6rne d e r e p r h s e n t a n t s d e A/p.

- S i N e s t f i n i , a l o r s ( a i ) e s t un systPrne d e r e p r b s e n t a n t s d e A/p, e t o< i<N-I

p o u r i > N, a . = a l r j s i i = Z i N' e s t l e d6qe loppement N-adique d e i [ 0 < i . ~ N - 1 1 . i

l j j j j 3

P u i s , p o s o n s :

S i A e s t f a c t o r i e l :

V = { v a l u a t i o n s e s s e n t i s l l e s d e A ) .

V V E V : pv = (TV1 l ' i d i i a l p r e m i e r c o r r e s p o n d a n t ; ( a v . I s u i t e d a n s A r e l a t i v e 2 . ,1 i s N

S i A e s t d e Oedekind :

V = { v a l u a t i o n s d e s l o c a l l s i i s p a r r a p p o r t aux i d k a u x maximaux do A) .

V v s V : $5 l V i d i . a l maximal c o r r e s p o n d a n t ; ( a . 1 s u i t e d a n s A r e l a t i v e 2 y A i < N % V K'

E n f i n , posons . d a n s l e s deux c a s :

Rernarquons q u ' i l n ' y a q u ' u n nombre f i n i d e v a l u a t i o n s d a n s Vn, e t que c e s o n t b i e n r n -

t e n d u d e s v a l u a t i o n s 2 c o r p s r Q s i d u e l f i n i . On s a i t a l o r s q u ' o n p e u t t r o u v e r d a n s A d e s

BlBments [ b n , i I d e A t e l s que . p o u r t o u t v d a n s V : v ( b n t i - a v j i I > S N v [ n l . o < i < n - I

On p o s e a l o r s : f n ( X l = n [X - bnPiI p o u r n > 0 e t f [XI = 1 . De p l u s , s u i v a n t o s i s n - I

l e s n o t a t i o n s 1 , p o u r t o u t e n t i e r rn p o s i t i f e t t o u t rn-uple d ' e n t i e r s n = [ n l , . . . . n I rn

on p o s e : f n ( X l , . i . . X m l = l? f n , [ X i l . - 1 - 1 1

ANNEAU F A C T O I

THEOREME 1 - S i A e s t f a c t o r i e l , e t (57 = (a) p r i n c i p a l , P&(AI e s t un A-module l i b r e I

e t a v e c l e s n o t a t i o n s c i - d e s s u s :

De p l u s , p o u r t o u t e n t i e ? m ~ o s i t l f . o n a :

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Preuve : Nous ne l a donnons que pour rn = 1. --

La p r o p o s i t i o n 1 e s t r e a l i s & avec I p r i n c i p a l t e l que :

D'oir, s i a = u .r\ II:'~', 00 u e s t une u n i t 6 de A : vcv

Or, s i a E A, on a :

v(a1-s [ n ) a n r / nv N~ fl c.q . f . d .

v€Vn v&Vn +S ( n l

Donnons i c i une a u t r e express ion de ?&[A). S i l 1 o n pose y = n nV *V , on a : v€Vn

f3 .A = ---%- . A . D 'oD n pgcd(u .yn l

SN [ n ) COROLLAIRE I - sous l e s hypotheses e t n o t a t i o n s du thgorerne I. s i y n = (1 nv v , on a : V€Vn

pour n = ( n l,...,n I I-- Enfin, en des ignant pa r :

n . l e p l u s p e t i t e n t i e r sup&-ieur 2 ni-l t e l que pgcd[a,yn I Z pgcd(cr,yn 1 ( Z < i < r l , i i-1

[ resp. n, l e p l u s p e t i t e n t i e r t e l que pgcd[a,Y 1 # 1,

n l e p i u s ' p e t i t e n t i e r t e l que pgod(a,ynll = l a . oh E A), l a c o r o l l a i r e 1

s ' g c r i t : r

I COROLLAIRE 2 - Sous l e s hypotheses du th6orQme 1 e t l e s n o t a t i o n s pr6c6dentes. t o u t I polyndme P(X) de %(A) s 1 8 c r i t do manigre un ique :

P [ X l = E a f (X I Qi(X), OG Qi(X1 6 ACXI, degr8 Qi < nirl- ni

pgcd[%yn ) ni i

On a donc :

k(A&) = n1 I kl(A/d2J = nr.

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1 . 3 - ANNEAU DE DEOEKINO.

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THEOREME 2 - S i A e s t d e Dedek ind , e t 4 = [(a) p r i n c i p a l , a l o r s Pa[Al e s t un A module

l i b r e , e t a v e c l e s n o t a t i o n s c i - d e s s u s :

-S ( n P&(AI = o u2 f [XI , oir 6tn = ( a I n l n A e s t p r o j e c t i f , e t oG In = II klv Nv

n c l ~ n n v c v

S e p l u s , p o u r t o u t e n t i e r m p o s i t i f , on a :

P r e u v e : I1 s u f f i t e n c o r e d ' a p p l i q u e r l a p r o p o s i t i o n 1 , d o n t l e s h y p o t h e s e s s o n t r 6 a l i s B e s -S ( n l

a v e c In = II yv Nv [ c f . 131) . I n ' e s t p a s p r i n c i p a l m a i s e s t un A module vav

p r o j e c t i f , d e mPme q u e P&[AI : Ce d e r n i e r Q t a n t d e r a n g i n f i n i , c ' e s t meme un A module

l i b r e . d e meme q u e P ~ ( A I p o u r t o u t e n t i e r m p o s i t i f . a 0 . q . f . d .

1 . 4 - EXERPLES.

a 1 A e s t un anneau d e v a l u a t i o n d i s c r b t e .

S o i t n u n e u n i f o r m i s a n t e d e A. o ' e s t a d i r e un g B n 6 r a t e u r d e 1 1 i d 6 a l m a x i m a l p d e A.

On s u p p o s e N = c a r d A f i n i , s i n o n P (A1 = 0 . Aveo l e s n d t a t i o n s 1 , p o s o n s : P

n-I i fo[X1 = 1 , f (XI = II [X-ail , S [n l=C ["I e t s o i t e l a v a l u a t i o n d e a , d e

i - 0 N i.NN s o r t e q u e a = uTre, ob u e s t une u n i t 6 d e A. A l o r s

PROPOSITION 2 - S i A e s t d e v a l u a t i o n d i s c r b t e , a v e c l e s n o t a t i o n s p r b c B d e n t e s , P (Tre l [Al e -S ( i l

e s t un A module l i b r e , d e b a s e (V . f f I ob n d e s i g n e l e p l u s p e t i t e n t i e r i' j I s i s n

t e l q u e S [ n I > e . N i- j z n r

I Oe p l u s . t o u t polyndme PlXl d e P i r e l ( A l s 1 6 0 r i t d e m a n i b r e u n i q u e :

ni e s t l e p l u s p e t i t e n t i e r s u p B r i e u r B ni-? t e l q u e S [ n I # SN(n i - l l . c e c i pour N i 3 S i < r [ n l = 1 , e t n e s t l e p l u s p e t i t e n t i e r t e l q u e S [ n I # 1 1 .

2 N 2 On a ~ [ A / V ~ A I = n l , k l [ ~ / i T e ~ l = nr.

On p e u t meme v e r i f i e r q u e n e s t un m u l t i p l e d e N , st que l ' o n a e n f a i t n = N x r.

Oans 1s c a s od N e s t p r e m i e r , S ( n l e s t Bga l B l a p l u s h a u t e p u i s s a n c e d e N q u i d i v i s e N

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C e s r B s u l t a t s r e s t e n t v a l a b l e s s i A e s t un a n n e a u l o c a l i n t b g r e d ' i d e a l maximal

p r i n c i p a l p , t e l q u e n ;hi = 0 [ c a r on p e u t a l o r s d e f i n i r u n e f o n c t i o n v d e A d a n s N, i

t e l l e q u e , p o u r 8 6 A , v ( a 1 d e s i g n s l ' e n t i e r tel q u e a E ~ ~ [ ~ ~ , a 4 k v ( a l + l ) .

b l Anneau Z.

PROPOSITION 3 - S o i t a un e n t i e r d e + ni l e s e n t i e r s s u i v a n t s : Pour 3 5 i 5 r, ni e s t l e p l u s p e t i t e n t i e r s u p &

r i e u r A niW1 t e l q u e pgcd(a ,n f i . I # pgcd[a,ni_l'. I [ a v e c nl = 0, e t n2 e t nr l e s p l u s

p e t i t s e n t i e r s r e s p e c t i f s t e l s q u e pgcd(a,?$l Z 1 , e t p g c d [ a , n T l 2 a ] .

T o u t p o l y n h e PC>] d e P c a Z l [ Z l s ' e c r i t d e m a n i b r e u n i q u e :

a X(X-I I . . [x -n i+? I P(X) = 1 Qi(X)gn (XI oG Qi[XI e X X 1 e t g (XI =

l-iisr i d e g r e Qi(Xl C ni+,,-ni ni pgcdca , ni! I

On a t o u j o u r s k (Z /aZ) = pl t o 3 pl e s t l e d i v i s e u r p r e m i e r l e p l u s p e t i t d e a ] ,

e t kl ( W a Z = nr.

COROLLAIRE 3 - S i a = pe. 0 3 p e s t un nornbre p r e m i e r e t e un e n t i e r p o s i t i f , t o u t

polyndme PIX1 d e P ( a Z l ( Z l s ' 8 c r i t d e m a n i s r e u n i q u e :

e -S [ n I P ( X I = 1 Q ~ ( x I ~ ~ , ( x I O D 0 ~ ~ x 1 e K X I , e t g n , [ X I = p X(X-11-(X-ni+l l

I s i S r I d e g r 6 Q i ( X ) < n i + l - n i

oG S p ( n 1 = 1 [<I , e t O D l e s n . s o n t l e s e n t i e r s s u i v a n t s : P o u r 3 S i S r, ni e s t i 2 o p

l e ~ l u s p e t i t e n t i e r s u p B r i e u r A ni-? t e l q u e S p [ n i l # S ~ [ n ~ - ~ l , e t nl = 0. n e t n 2 r

B t a n t l e s p l u s p e t i t s e n t i e r s r e s p e c t i f s t e l s q u e Sp(n21 # 0 , Sp[n r l 2 e .

On a d e p l u s i c i n = p r .

P r e u v e : On v o i t a i s e r n e n t q u a S p ( n ) sst Bgal A l a p l u s h a u t e p u i s s a n c e d e p q u i d i v i s e 1 n .

Oes r B s u l t a t s a n a l o g u e s o n t Q t B d8rnontrBs d a n s C 7 1.

I c i A d B s i g n e r a t o u j o u r s un anneau c o m m u t a t i f u n i t a i r e , 1 un i d e a l p r e m i e r d ' u n

anneau A, N l a c a r d i n a l d e A@, e un e n t i e r p o s i t i f . 6.

1

On p o s e :

2 I - L ' i d B a l pe e s t &A-primaire. s o i t ; Y ( a , b l E A , a b E pe, a 4 p + b E pe

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S i p e s t n i l p o t e n t , l e s p r o p o s i t i o n s 4 e t 5 d o n n e n t a l m s r e s p e c t i v e r n e n t l e s

e x p r e s s i o n s d o P [A1 d a n s l e c a s 00 N, e s t i n f i n i , p u i s f i n i . E l l e s s e t r a n s c r i v e n t a l o r s 0

a i s e m e n t p o u r l e c a l c u l d e P [A1 ( t h Q o r Q m e s 3 e t 41. E n f i n l a p r o p o s i t i o n 6 donne i n d e - kie pendamrnent une a u t r e expression p l u s s i m p l e d e P .(A], p o u r d e f a i b l e s v a l e u r s d e e . t

1 1 . 1 - SUPPOSONS D'ABORO N1 -.

PROPOSITION 4 - S o i t A un anneau p o s s e d a n t un i d e a l p r e m i e r n i l p o t e n t & q u o t i e n t

i n f i n i , t e l que l e s e l e m e n t s d e A-jAne s o i e n t p a s d i v x s e u r s d e z e r o d a n s A. A l o r s r I A e s t 5 . t . p . I

P r e u v e : S o i t e l e p l u s p e t i t e n t i e r t e l q u e pe - 0 ; s o i t & u n e p a r t i e d ' u n systSrne d e

r e p r e s e n t a n t s d e A modulo a y a n t k + 1 QlBrnents , e t s o i t ?(XI E ACXI, d e d e g r e k, t e l

q u e P ( a 1 - 0 p o u r t o u t a E A ; s o i t a E & , a l o r s P [ X ) = ( x - a , ] Q [ X ) , 00 Q[X) E ACXI 1

e t s ' a n n u l e s u r & - { a 1 . On rnontre a l o r s p a r r e c u r r e n c e s u r k q u e P[Xl = 0. 1

On e n d Q d u i t a i se rnen t l e th6orBme s u i v a n t :

THEOREME 3 - S o i t kJ un i d e a l p r e m i e r d ' u n a n n e a u A 2 q u o t i e n t i n f i n i . Supposons [C I

s a t i s f a i t . A l o r s : P .[A1 = peCxI. P, P

Rernarquons q u e (C p , e l e s t au to rna t iquement s a t i s f a i t s i jA e s t un i d e a l maximal d e A,

oornrne nous l e v e r r o n s d a n s l a p r o p o s i t i o n 7 .

1 1 . 2 - SUPPOSONS MAINTENANT N, x. a 1 S o i t A un anneau p o s s k d a n t un i d e a l p r e m i e r n i l p o t e n t , 3 q u o t i e n t A f i n i . On

s u p p o s e q u e e e s t l e p l u s p e t i t e n t i e r t e l q u e pe = 0 . P o s o n s : P

V o s k i e - I : N k + l

= c a r d ( c a r d i n a l f i n i ou n n n l . k k + l

W o 5 k < e - I , V o < i 5 Nk+,-I : [ a . I s y s t h e d e r e p r e s e n t a n t s d e s c l a s s e s 1, k

d e dhk modulo k l k f l , On s u p p o s e d e p l u s a o , k = 0 p o u r t o u t k.

Snit K le plus petit entier tel que S (KBl 2 e. P V 0 S n S Kg , n ~'Bcrit de maniare unique : iO+flNl+..+i (N ..N l+..+ie(N1..

j l j Ne o h o S ij < Nj,l, pour o 5 j 5 e. On pose alors :

.. . fn(Xl= YI (Xsail pour n 2 1 ,.f0(X1 - 1.

i-0

Alors :

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ANNEAU DE FONCTIONS POLYNOMES 801

PROPOSITION 5 - S o i t A un anneau possbdant un i d e a l premier J.4 n i l p o t e n t . q u o t i e n t

f i n i , s o i t e l e p lu s p e t i t e n t i e r t e l que Te - 0. Supposons 0 s a t i s f a i t . Alors , y ' e

en t a n t que A module. avec l e s n o t a t i o n s p rec6den te s :

1 On a a l o r s : k[A) = N l , kl(A) = Ke

Preuve : Suppcsons dans un premier temps l e s ca rd inaux Ni t ous f i n i s : l e s cardinaux Ni

s on t t ous supe r i eu r s a 1 [ S i pour ko 5 e. N - 1 , a l o r s to-' = rkO = . . = = 0, c d ko

q u i ne s e p e u t ) . La s u l t e des en t ix - s N1. N 1 N 2 , . . , N 1 . . N i , . . N , . . N e s t donc s t r i c t e m e n t

c r o i s s a n t e . e t l ' o n peut donc e c r i r e l ' e n t i e r n de maniere unique s u r c e t t e "base de

num6ration". de l a manisre indiquee .

Quelques remarques s u r l a s u i t e des e lements ( a 1 avant de con t inue r . E l l e e s t cons-

t r u i t e de t e l l s faqon que l e s N premiers termes s o n t systame de r e p r e s e n t a n t s de A 1

module ( r e s p . V 1 i i i 8, l e s N 1 . . . N premiers termes un s y s t h e de r e p r e s e n t a n t s de i

A modulo $'I, c e c i s e r ep rodu i san t de N, en N1 ( r e s p . V 1 s i i e , de [N1..NI) en

(N1..Ni)). Pour t o u t 1 5 i < e , l e s t e r m e s a N1. . N I S %zN?. .Ni,

e t c . . . son t d e s e lements d e

Ceci peut Otre r ep re sen t6 pa r l e schema s u i v a n t , oh l ' o n a e c r i t B l a s u i t e l e s 816-

ments (a,) IsnsK1

Oans l e c a s oh A = Z, e t y - [ p ) , il s ' a g i t t ou t , s imp lemen t , p a r exemple. de l a

s u i t e de s e n t i e r s 0 ,1 ,~ , . . . . Sy[nl

D 'aut re p a r t , l a d e f i n i t i o n de S (n ) v i e n t du f a i t que f n ( A l c P , c o m e on 61 peut l e v o i r d ' a p r s s l a s u i t e . Nous O tab l i rons l a preuve a l ' a i d e d e s t r o i s l e m e s

s u i v a n t s :

I J i

Preuve : En e f f e t , f i ( a i + j ) - il [ai+J - a 1. Pour t o u t e n t i e r q t e l que o S q 5 e k-I

k

ai+J e s t congru 3 au moins CAI 6?6ments parmi l e s i 416ments ( a k ) N 1 . . . N modulo

Q I S 6 1 pq, d'oh l e r e s u l t a t .

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LEMNE 2 - V o s i < K1, on a f . ( a 1 i + l l E k d S r [ i l - p S r ( i l + l

i Preuve : E n e f f e t . f i [ a i c j ) - JI ( a i r l - a k ) . Pour t o u t e n t i e r q t e l que o 5 q < e

I k-1

a i + l e s t congru a exac tement C--L N 1 , , , N I BlQments parmi l e s i 618rnents ( a I 9 15k5i

modulo p q , d ' o b 1 e r e s u l t a t .

Ces p r 6 l i m i n a i r e s b t a b l l s , rnontrons l e r e s u l t a t oherchb . Les polynBmes f n ( X l s o n t

u n i t a i r e s d e d e g r 6 n ; i l s forrnent une base du A module l i b r e ACXI e t t o u t polyndrne

P(X1 E ACXI s ' Q c r i t d e rnanihre un inue :

P(X) = Z bn f n ( X l , od b E A . n5o

Le l e m e s u i v a n t 6 t a b l i t l e r e s u l t a t .

LEMNE 3 - Avec c e s n o t a t i o n s , on a : I- e-Sy[n) P(A1 - 0 e=> V o 5 n s K e ,

bn 'Y

Preuve : Pour n 0, on a b i e n bo = P(a.,l ' 0. Supposons que, pour n < i < e on a i t

bn E k(e-Sb'[nl ; A l o r s , p u i s q u e f n ( a i i l ) = 0 pour i < n < K1, on a :

Or ~ ( a ~ + ~ l = 0. st pour m < i, bn E pe-Sp(n) f ( a , i + l l ~p d 1 a p r 8 s l e l e m e 3

prbc6dent . donc b f ( a i c l ) = 0. Donc b i f i ( a i + l l = 0. Or d ' a p r h s l e lemrne 2 p r e c g d e n t , n n

Sp'il Sb( i lc ' , oa S ( i l 5 e . D S a p r 6 s l e s hypotheses v e r i f i b e s p a r p , on

a donc bi E p P . L ' i r n p l i c a t i o n r b c i p r o q u e e s t imrngdiate.

S i N e s t f i n i e t s ' i l e x i s t e un s n t i e r k i n f Q r i e u r a e t e l que N s u i t i n f i n i 1 k

K C X n 3 n e ~ [ p a r exernpla. A = - , oh K e s t un c o r p s f i n i l , d 6 s i g n o n s p a r ko l e p l u s p e t i t

\xn12

s n t i a r t e l que N s o i t i n f i n i i ra i sonnement e t r b s u l t a t s s e p o u r s u i v e n t d e r n h e , l e s ko

blbrnents u t i l i s b s ne f a i s a n t i n t 6 r v e n i r que d e s e n t i e r s i n f g r i e u r s a ko. A i n s i t o u t e n t i e r

n p o s i t i f s ' g c r i t d e m a n i s r e un ique :

n = io + i l N , + .. + i N1. .N . oh pour t o u t o 5 J 5 ko - 2 , on a : ko-l ko- l

ij < N,+l , st oh i c W . On d g f i n i t a l o r s S ( n l . a f n ( X l , e t re-Sb(i) d e l a mBme & o - ~ n.

rnani8rs. La p r o p o s i t i o n s s t donc dbrnontr6e.

Donnons e n i c i une a u t r e e x p r e s s i o n , e n d b i g n a n t , p o u r chaque e n t i e r i i n f b r i e u r

B Kg. p a r l e p l u s p e t i t e n t i e r a u p b r i s u r ni t e l que Sp(nil l1 Z S ( n I [ a v e c no = 0 1 ,

A l m s : r i

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ANNEAU DE FONCTIONS POLYNOMES 803

COROLLAIRE 4 - Sous l e s hypotheses de l a p ropos i t i on 5 , t o u t polyndme P(X1 de Po[Al

s ' e c r i t de manisre unique :

I , egrb Qi[Xl < ni+l-n . pour o s i s K e . e t ob QK (XI E A C X l 0a Qi[xl E v e - s y [ n i l ~ ~ ~ d e

Remarquons d ' a i l l e u r s que dans l e cas de l a p ropos i t i on 5 e t de ce c o r o l l a i r e , A

e s t un anneau l o c a l e t 1 un i d e a l maximal. Enfin, l e c a s e = 2 e s t s i g n a l e r ; En e f f e t k CAS e = 2 :

O'une p a r t , 0 e s t t ou jou r s v 6 r i f i e pour t o u t i d e a l p r e m i e r p . O ' au t r e p a r t , on b.2

v o i t aisement que, dans ce ca s , S (N1l = 1 , S [ZN l = 2, donc que K = 2N1. D'ob l e : P k 1

COROLLAIRE 5 - S o i t A un anneau possgdant un i d e a l r nax ima ly A corps r e s idue1 f i n i , 2

t e l q u e m = 0 .

I S o i t a un 616ment non nu1 de W,

I Tout polyn6me P[Xl de Po(AJ s ' Q c r i t de maniare unique :

La p ropos i t i on 5 s e t r a n s m i t pour c a l c u l e r P ( A ) , l o r sque A posshde un idBal P

premier p a corps r e s idue1 f i n i . Avec l e s no t a t i ons r e l a t i v e s b c e t t e p ropos i t i on , nous

Bnonqons :

THEOREME 4 - S o i t y un i d e a l premier d 'un anneau A 5 corps r e s i d u e 1 f i n i . Supposons

[D I s a t i s f a i t . Alors , en t a n t que A-module : .!Ase

e -Sp(nl n-1 P etA) = e I f ( X I O Q In - k( Y

st fntX) - TI (x-ail . neN i - 0

La p ropos i t i on 7 i nd ique ra de nombreux c a s oh C a t D son t s a t i s f a i t s . Pa r p , e p , e

exemple, D e s t s a t i s f a i t sip e s t un i d e a l premier de hauteur 1, ou maximal d 'un PI

anneau r e g u l i e r . en p a r t i c u l i e r s i p e s t un i d e a l premier non nu1 d 'un anneau de Dedekind.

P lu s gBn6ralement D e s t s a t i s f a i t pdur t o u t e s i Grad A e s t i n t h g r e . k'se k'

Remarquons q u ' i l s e ron t a i s 6 de t r a n s c r i r e ce s r g s u l t a t s dans l e c a s d ' un nornbre

f i n i de v a r i a b l e s ; pour s i m p l i f i e r , nous n18noncerons l e s r e s u l t a t s qua dans l e cad re

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du p a r a g r a p h e s u i v a n t [oG c e s d e r n i e r s r e c o u v r e n t o ' a i l l e u r s l e s r e s u l t a t s d e c e p a r a -

g r a p h e l .

E n f i n , i l s e r a i t p o s s i b l e d e r econc ju i re c e s r d s u l t a t s d a n s l e c a s oh A e s t non commu- P1 A

t e t i f , , e n c o n s i d d r a n t l e s A modules -i-;? e t - . P P"

11.3 - P o u r l e s p e t i t e s v a l e u r s do e . l a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e i n d e p e n d a n t e d e s p r 6 c 6 -

d e n t e s , donne une e x p r e s s i o n p l u s s i m p l e d e P (A1 en t a n t qu '& d e ACXI. E l l e e s t P e t o u j o u r s v a l a h l e p o u r e = 2 , ou p o u r t o u t e s i N 2 e s t i n f i n i :

PROPOSITION 6 - S o i e n t p u n i d e a l maximal d ' u n anneau A c o r p s r L s i d u e l f i n i , N

( a i ) un s y s t h e d e r e p r e s e n t a n t s d e A / t , e t P[X) = 11 (X-a*) . 1SiSN i - I

) Supposons D s a t i s f a i t e t s u p p o s o n s d e p l u s Ke-? S N [N - 1 ) C c f . n o t a t i o n s 1 2 I s i - d e s s u s , ~a ni(':st l e p l u s p e t i t e n t i e r t e l q u e i ( X I 2 i]. k l i

k" P r e u v e : Notons ( a j , * ) un s y s t h e d e r e p r e s e n t a n t s d e - ( a v e c a = 0 ) . Nous s u p p o s o n s - P 0 , 2

connu l e r e s u l t a t s u i v a n t : [ c f . C61) K el

P o u r t o u t e n t i e r e l , s i A d e s i g n e u n e p a r t i e d e A f o r m e e d e - sys tk rnes d e 1 N.

A I

r e p r e s e n t a n t s d e - , u n e c o n d i t i o n s u f f i s a n t e p o u r q u ' u n polyndme d e ACX] a p p a r t i e n n e - P

a P [A) e s t q u e : V a E A1, P ( a l E

klel

P r o u v o n s c e t t e p r o p o s i t i o n p a r r e c u r r e n c e s u r e . E l l e e s t v r a i e p o u r e - I , suppo-

s o n s donc e > 1, e t s u p p o s o n s l a v r a i e p o u r t o u t e n t i e r i n f 6 r i e u r A e .

S o i t QCXI E P (A] , e t s o i t s l a s u r j e c t i o n c a n o n i q u e : ACXl - - f i e [ ~ l . Les d i v i s e u r s

Pe A r d e 161-0 d e l l a n n e a u l o c a l - s o n t l e s d l h e n t s d e 2 e t l a s u i t e ( s ( a i ) e s t u n e

kPe te' 1 S i s N s u i t e d e l o n g u e u r rnaxirnale t e l l e q u e , p o u r t o u t i i n f 6 r i e u r a j i n f 6 r i e u r a N1.

A A s ( a I - s < a I n e s o i t p a s d i v i s e u r d e z e r o d a n s - ( a u t r e r n e n t d i t m(- 1 - N l , cf 2 I V ) .

i 3 Y e Pe D'oh s ( Q ( X I I e s t d i v i s i b l e p a r s ( P ( X I 1 . On a d o n c :

S o i m t l e s N N 61Bments ( a i + a 1 2

O n a :

... - S o i t a P 11 + a '-a 1 : P o u r k f I. a -a & f, e t a j n 2 y, d o n c l a s o m e

k a 2 k 1 k f i

a a k - ai ( y . il s ' e n s u i t q u e a & p. .

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ANNEAU DE FONCTIONS POLYNOMES 805

D ' a u t r e p a r t , p o u r j # 0, a

Donc. p o u r j Z 0, P ( a i + a j , Z l E jd - p2, donc S ( a i + a . J , 2 1 e pe-:,-;r il s ' a g i t d e

N2-I s y s t Q m e s d e r e p r e s e n t a n t s d o A m c d u l o p . S i l ' o n a : N -1 t -, c e l A e n t r a i n e r a 2 N .

S [ A I c p e - I , s o i t S [ X I e P y e - I [A) - [jAe-l-i P i ~ X l l o 5 ~ s e ~ l d ' a p r k s l " h y -

p o t h k s e d e r e c u r r e n c e . D1oO f i n a l e m e n t P(X1 e (koe-i p i ( x ) )05i5e, c . q . f . d .

Remarquons q u e c e t t e e x p r e s s i o n t r B s s i m p l e d e l ' i d 6 a l P CAI, q u i n e f a i t i n t e r -

v e n i r q u e l a polynlime P(X1 q u i s e d 6 d u i t d ' u n s y s t k m e d e r e p & : e n t a i t s d e A p , e s t

t o u j o u r s v a l a b l e p o u r e - 2 , a u t r e m e n t d i t P 2 (Al = ( j 4 2 , p P(X1. P ~ [ X I I . E l l e e s t a u s s i

t o u j o u r s v a l a b l e p o u r t o u t e , s i N2 = c a r d hP2 e s t i n f i n i . P l u s g 6 n l r a l e r n e n t e l l s e s t

v a l a b l e p o u r t o u s l e s e n t i e r s e t e l s q u e Ke-l 5 N (N -11 , c ' e s t B d i r e t c u s l e s e n t i e r s 1 2

e p o u r l e s q u e l s K = e N1 cod l a d i s t o r s i o n c r 6 B e p a r l a f c n c t i o n S ( n l n ' i n t e r v i e n t p a s l . P

Ce r e s u l t a t e s t v a l a b l e a u s s i p o u r d e s p o l y n h e s 3 un nombre f i n i d e v a r i a b l e s .

Nous donnons i c i l e thBorBme l e p l u s i m p o r t a n t d e c e t r a v a i l , l e th6orBrne 5 . I1

d e c o u l e d i r e c t e m e n t d e s t h e o r Q m e s 3 e t 4, q u i e n s o n t d ' a i l l e u r s d e s c a s p a r t i c u l i e r s .

La p r o p o s i t i o n 7 p r e c i s e l e s c a s l e s p l u s c o u r a n t s d ' u t i l i s a t i o n d e c e th6orQme. l e s

t h e o r h m e s 7 st 8 e n d o n n e n t s a v e r s i o n l o r s q u ' i n t e r v i e n t p l u s i e u r s v a r i a b l e s . E n f i n ,

n o u s donnons une e x p r e s s i o n d i f f g r e n t e e t p l u s s i m p l e d e l ' i d e a l c h e r c h 6 . d a n s un

c a s p a r t i c u l i e r c o u r a m e n t r e n c o n t r 6 .

THEOREME 5 - S o i t a= n j4yi un i d e a l i n t e r s e c t i o n d e p u i s s a n c e s d r i d 6 a u x p r e m i e r s i e I

d ' u n a n n e a u A. S o i t :

1, = i e I ; i f ; 1 = i 1 ; i n ; "yi . Pi E i", - . On s u p p o s e : V i e 11, C e s t s a t i s f a i t , i . e . pi1 e s t p i - p r i m a i r e ;

p i p e i - -

' d i <I2, 0 , e s t s a t i s f a i t , a l o r s P ( 4 1 = [@,,[XI] fl r? \ PA)) o a ? .[A1 e s t Pi* ei ca i a 5 Pii

d o n n e p a r l a th6orBme 4. Pii

P r e u v e : E l l e r e s u l t e du f a i t imrned ia t q u a s i & = n (Pi, 00 l e s % s o n t d e s i d 6 a u x d e A, i e I

a l m s P ( A 1 - n P CAI. i a I a i

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e . pi1 = 8 pii [ c e q u i e s t r e a l i s 6 s i i - I

l e s p;i s o n t g t r o n g r e r s d e u x 2 d e u x l .

A l o r s P (A1 " ll P [A).

'ROPOSITION 7 - Les c o n d i t i o n s C s o n t s a t i s f a i t e s sipi e s t max imal , e t l e s c o n d i - /di.ei

t i o n s C e t 0 s o n t s a t i s f a i t e s s i : pidi.ei p i . e i

1') l e s p i s o n t d e s i d e a u x p r e m i e r s d e h a u t e u r 1 c u maxirnaux,d'Un a n n e a u r g g u l i e r

2') l e s pi s o n t d e s idOaux p r e m i e r s d e h a u t e u r 1 d ' u n anneau d e K r u l l ;

3') p l u s g6nBra le rnen t , l e s pi s o n t d e s i d b a u x p r e m i e r s t e l s q u e Grad A s o i t i n t 8 -

g r e . 4

L e s h y p o t h e s e s du thOorkme 6 s o n t r Q a l i s 6 e s s i :

1 ' ) a e s t un i d e a l q u e l c o n q u e d ' u n anneau d e Oedekind ;

2') M e s t un i d e a l p r i n c i p a l d ' u n anneau f a c t o r i e l .

Le thQorBmc s u i v a n t g b n e r a l i s e l e s t h e o r h m e s 3.4. a t 5 d a n s l e c a s d e p l u s i e u r s

v a r i a b l e s .

'HEOREME 7 - S o i t $ u n i d e a l p r e m i e r d ' u n a n n e a u A, e t s o i t N1 = c a r d A/p. A l o r s , p o u r

:ous e n t i e r s m e t e p o s i t i f s , o n a :

- S i N e s t i n f i n i , e t C h a t i s f a i t : 1 P."

- S i N e s t f i n i , e t D s a t i s f a i t : 1 Y e e

s i , V n - l n ,,..., n E !Nmlm' o n p o s e : fn(X, ...., x n 1 - Il [ x - a ) - ,*ism ' l i j 5 n i

s v e c l a s n o t a t i o n s du th6orbrne 4 .

THEOREME 8 - S o u s l e s h y p o t h b s e s du theorbme 5 , o n a . p o u r t o u s e n t i e r s e l e t m p o s i -

t i f s :

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ANNEAU DE FONCTIONS POLYNOPIES 8 0 7

"m Pa(AI = (jZICX1,. . . , X m l n [ n P" [ A l l ,

ic12 r,"l o h Pm (A1 est d o n n e p a r l e t h h o r 5 m e p r h c g d e n t .

P,'

111.2 - La p r o p o s i t i o n s u i v a n t e d o n n e u n e e x p r e s s i o n p l x s i m p l e d e l ' i d e a l F (A1 d a n s PL

l a c a s 3 b l e s p i s o n t p r i n c i p a u x , l e s e . Q g a u x d 1 . e t o h I a I e s t f i n i . S i / d i = [ p i ) , 2

a l o r s r a p p e l o n s q u e G r a d i p i l A e s t i n t P g r e s i p i n ' e s t p a s d l v i s e u r d e z e r o d a n s A.

n PROPOSITION 8 - S o i t q u n i d Q a l e n g e n d r e p a r 1 ' 6 1 0 r n e n t n pi d ' u n a n n e a u A, oO p i e s t

i.1 n o n d i v i s e u r d e z e r o t e l q u e A/p s o i t i n t s g r e f i n i . On p o s e

i n n

i n q = II p j e t P i [ X l - II ( X - a . 1

j - 1 3.1 J

j # i

,G [ a I e s t u n s y s t h e d e r e p r e s e n t e n t s d ~ c o r p s A/p . 1 1 '

n

P r e u v e : R a i s o n r o n s p a r r h c u r r e n c e s u r n . i e s i d h a u x I p . : s a n t rnaximaux ; i l s son: d o n c - 1

Q t r a n g e r s d e u x A d e u x , a i n s i q u e i e s i d e a u x l q i l , p o d r I p o s i t i f . A ; o r t i o r $ , o n 3 :

( s ~ ] ~ ~ ~ ~ ~ = A, e t i i e x i s t e n Q l t r n e n t s ' X : d e A t e l s q u e : 1 = 2 X i q i , s o L t p o u r t o l d t i E,

;olynBrne '(XI d e A 7 x I : P [ X l = 1 X i q i DIX1. En d l v i s a n t PIXI p a r i e s p o i y n b r n e s u n i t s i r e s i = l

r s s p e c t i f s ? . [ X I . o n a :

n o b Q i ( X 1 . R . ( X l , R:XI = Z A . q i Ri(XI s o n t d e s p o i y n d m s s d e ArX1. e t oh l o d e g r P d e

i - 1

RIXI e s t i n f e r i e u r 2 n i = s u ? n . . S i P [ X l E PQ(AI, a l o r s : V a E 4, q i D i ( a l E a d o n c - 0 l s i s n

E ( a 1 €a. e t e s t e n p a r t i c u l l e r m u l t i p l e d e 7 . , d o n - 9 1 x 1 = p i R ' i X l , 02 R ' ( X 1 E X X ' . 0 o

Cornme ?+ n ' e s t ? a s 5 i v i s s e r d e z e r o d a n s A , R ' I X I c P l q i ) [ A ] . F a r h y p o t h P s e d e r 6 c u r r e n z e o

P ( q i ] [ A ) = [ q i P i l X l ) o < i s n . o h q ' . = T I P . . F i n a l e r n e n r : PIX1 E l ~ i P 1 [ X I ; , s i s n . C ' a u t r e = j ; l J

o i # io j # { i , i o }

art, l ' a s s e r t i o n p o u r n = 1 e s t i m m e d i a t e .

R e r n a r q u o n s q u e ? a p r o p o s i t i o n r e s t e v a l a b l e s i I e s t f i n i . w a i s d i f f 6 r e n t d e 12. S o i t

e n e f f e t d = [ T[ P i ) un i d Q a l p r i n c i p a l d ' u n a n n e a u A, oh p . n ' e s t p a s d i v i s e u r d e z e r o i E I

d a n s A, - A i n t 5 g r e e t oh i ' e n s e m b l e f i n i I e s t Q g a l B I u 12, a v e c : 'i

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i = t i E I ; - i n ' i r i } , I2 = {i E I ; f i n i } . Com11e l e s p , ne s o l t p a s d i v i s e u r 3 e - 1 P i

3:

z e r o e t q u a , pour i E I? : DiXl E " [PI =/ p i 1 1 = p; ' ;2iX:, s: L i : i l c "IX1 c n a : (31) -

XI ; P ! A ] ==+ p i x 1 = 3 ; . ; !XI r> 4iXl E T; m i c T - I - Pi I 2 i c i - 2

oh q . = Ti- p . . I J

; Zi

C e t t e p r o p o s i t i o n e s r en p a r t i c u l i e r v a l a b l e pobr un norrbrc i i n i d ' 6 l Q m e n t s i r re-

d u c t i b l s s p . d ' u n anneau f a c t o r i e l A

I c i , A d & s i g r , e un anneau cornmutat if u n i t a i r e ; l e t h e o r h e p r i n c i p a l d e c e p a r a g r a p h s ,

l e t h b o r h o 9. e n c a d r s l e s e n t i e r s k(A1 e t k (A1 p a r d e s e n t i e r s l i Q s 2 l ' a n n e a u A , en- 1

t i e r s d e f i n i s c i - d e s s o u s , e t c a i c u l a S l e s au e n c a d r a b l e s d a n s d c nombreus c a s . On d B s i

g n e r a p a r : U f A ) 1 c s u n i t 5 5 d c A

O I A I l e s c i v i s e u r s d e z Q r o d e A

V t c IN , V [ a i l E A~ : D(ai! - IT [a:a . I , l e d 6 t e r r n i n a n t d e I S i S t 1 5 i g j S t

Vandermcnde fo rm& s u r l e s QlQrnen t s a . d e h .

E n f i n : Spec A , ?lax A, Assf A . Ass A s o n t l e s n o t a t i o n s h a b i t u e l i e n e t d 6 s i g r e n t

r e s p e c t i v e r n e n t l ' e n s e n b l e d e s i d 6 a u x : remiers d e A , d e s i d Q a u x maxirnaux d e P,, d e s

i d Q a u x p r e m i e r s nlinimaux au d e s s u s d e s a n n u l a t a u r s d 'Ql8i ien:s d e A, d e s i d Q a u x p r e m i e r s

a n n u l a t o u r s d ' Q 1 h e n t s d e A . ( z f . [ I ] ) .

OEFINITICPIS

Naus a s s o z i o n s 5 A l e s

n(A1 : l a p l u s g r a n d e n t i e r

miA) : l e p l c s g r a n d e n t i e r

n ( A ) : l e ?lus petit e n c i e r

e n t L s r s i f i n i s nu i n f i n i s l :

PREMIERES PEOPPIETZS :

2 ) S i A = 11 Al, oii l e s A , son: 5 2 s znn2aux i o 1 ~ : ' u t a i i i s ~ ~ i i z 8 1 r e s :

i c I

n iA) = i l f n M . 1 ; m[4) = i n f m i 1 i iE 1

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ANNEAU DE FONCTIONS POLYNOMES

41 SL 4 e s t in :&gre m[Al = - 3 r d i

S i A e s t d r c o r p s : nLAl = c a r a 4

THECREPE 9 - Pour t o u t a n n e a u A , o n a lzs i n e e z l i t e s s u i v a n t e s : I

( 3 1 s u p c a r d A S n !A) - 1. p c S p s c A O

P r o u v e : N o n t r o n s c z s i n Q g a l i t Q s l o r s q u e t o u s c e s n o i l b e s s o n t f i n i s [Si l ' u n d ' e n t r e

oux e s t i n f i n i , on ,mont?e a i s 6 n e n t que ? s s s u l v a n t a s o n t i n f i n i s ! .

m [ A l S kLA1 : 6 v l ~ e n t c - r s i [ a , ) e s t t e l q u e D i a . 1 c 4 - O[Al a l o r s - o u t polynBme

i n i a 1 : 5 I = 1 pixi E ? (4; 3 1 3 r s p, . '3K,1;ai l = 0 e n t r a i n e j i t i s s f A

j: A , . <, ,> l -6 .

1 i+ , , ;3 t1 c a u q l , c e q u l es : i , ~ ~ o s s i o l e ? o u r u n e s u i t e a . d e A

<+I r c p r & 5 ~ ; , 3 - : s c r r l s s e ; 2 i t t i r : c c e s 3 3 -, s i s n n p . c 51 e t P czr? fi ;. A ,

3 , I: i ;.>-a - . .->- - - ( I = z r r . i. zt s i ( 3 ; ' e c t L. s,,s:>;,e d z r e i ; r Q s z n z a r ~ t s d e p

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COROLLAIRE 1 - P o u r t o u t a n n e a u A :

A, $ s e t i n f i n i a l o r s A e s t 5 . t . p .

En p a r t i c u l i ~ r , s i A e s t n o e t h e r i e n a l c r s A e s t s . t . p , s i e t s a u l e m e r i t s i , p o u r t o u t A

i d e a l p r e m i e r 14 d e l o e s s a s s i n d e A , l$ q u o t i e n t - c s c i n f i n i . 4 iv

P r e u v s : A e s t 3 . t . p . p a r d 6 f i n i z l o n s i k(A1 e s t i n f i n i , e t s i 4 e s t n o e t h e r i e n , o n a : - A s s f A = A s s A.

COROiLAIRE 2 - ? o u r t o u t a n n e a u A, o n a :

A A e s t q . e . t . 7 . +> V " q e Max A, i n f i n i .

P r e u v o : S i A e s t q . s . t . p . , p o u r t o u t i d d a l i . i j m a x i m a i d e A, l e c o r p s A e s t 5 . t . p . d u n c - */y i n f i n i . H B c i p r o q u e m e n t , t o u t a n n e a u q u o t i e n t a y a n t t o u s s c s i d e a u x m a x i m a u x 2 q u s i i c n t s

i n f i n i s , e s t s . t . p . d ' a p r i s !:I.

E x e m p i e s :

1 ) P o u r A = 2 : n [ A ) = m(A1 = k!Al - n o ( A 1 ~ l = k l ( A ) = p P 2

T e . A=-!- d P o b d = p;' : n [ A l = m!Al = k [ A l = i n ? p . ; l e s c a l c u l s d e no(A! e t

i = q - i

k , [ A l s o n t m o l n s i r n m e d i a t s .

2 1 P o u r A = - @ , o b yi E S p e c 6 : m(Al = m[Al = k [ A l = i n f c a r d &-- . r e .

,( 1 i pi

Oi i- 1

S i Grad B - s t int+~re, l e ca:;>l d e n [,<I e s t p o s s i a l e , m a i s s o n e x p r e s s i o n e s t Pdi

t r i j s t e c h ~ i q i l e d 5 5 q u s : e s B s o n t g r i l i i d s . B a n s c e c a s , l a p l . a p a s i t i o n 5 , e t la t h 6 o r e r n e 5 ,

-- 3ROPOSITICP.I 9 - ---

/ n [ A I i n f i n i , Pour tout o n n e a u A. a n a : n l A 1 l n f i n i %

.4 s . t . p . . %A q . s . t . p . ' "

Oe p l u s :

S i A s s t s e m i l o c a l , o n a : n ! A i i n f i n i C - > P q . s . t . p .

S i P. = U[Al u D!AI o n a : n [ A ) = rc[A!

ij a n n 0 [ 4 3 # D o n s : m(A1 i n f i n i C-i A 5 . t . p .

S i V 4 . 1 5 q u o t i e n t f i n i , a n n by i ' 3 , o n a : A s . t . p . :=> A q . s . t . p .

-

P r e u v s : M o n t r o r s sc l !ernont : Si a n n 3:AI # O a l o r s A s . t . p . =$ n!Al i n f i n i , l e ; a u t r s s -- a s s e r t i n r s 6 t e r t s i q - p i n s . C~:;;pos>r,s m!nI + i n i , e t ~ ~ i t ( 3 . 1 u n e s ~ t i t e d t Q l 6 n i n c s

I : m : > j d e A d.2 l o n c u n ~ r ~ d x i r : a l e z e l l e q u e 7:2 1 4 ? : > I . A l o r s l e c o l y n 5 v e x fi [ X . - 3 . 1 ,

i l l

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ANNEAU DE F O N C T I O N S POLYNOMES

L 2 1 P . J . CAfiEN r t J.L. CHAOERT - 3 1 1 1 . S c . m a t h . 9 5 , Ze r h r i e , 1971. 7 , 295-324

[ 3 ] P . J . CAIIEN - i n b s e d ' E t a t , Z r s a y , : 9 7 5 .

[ S ] G . JACSB - P o i y n 6 m e s r e p r 6 s e n t e n t l a f o n c t i o n n i l l ? e s u ? un a n r ! e i u , :'?AS, 1975,

s Q r i e A, t . 283, p. 421-474.

[ 6 1 G. JAC38 - F a r t i e s d e i i s e s a u s e n s d e Z a r i s h i d ' u n a n n e a u , C z A 5 . 137s. S t r i c ,A,

t. 283.

C71 0 . SI? IGPIASTtR - J o u r r f a l o.^ Nurnaei- i t i e o r j i , 6 , 1 9 7 4 , 9 . 3 4 5 - 3 5 2 .

Received: March 1979

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