Analyser et comprendre les difficultés dans la

résolution d’un problèmearithmétique

Agir au niveau de chaque étape…

Site http/reeduc-action.squarespace.com/

Alain MénissierOrthophoniste et Formateur,

DUEFO, Sorbonne-Université (UPMC/La Pitié-Salpêtrière)

Avant tout,

posons-nous la question :

qu’est-ce qu’un problème ?

Peut-on proposer cette définition trouvéedans un livre de mathématiques :

« un problème est une situation de la vieréelle imaginée ou transformée en situation mathématique » ?

Ce problème est-il le reflet d’une situation de la vie réelle ?…

• Le cartable de Sylvain pèse 4 kg 250 g, celui de Florence 4 kg 125 g, celui de Clément 4 kg 750 g, celui de Sandrine 4 kg 510 g.

1. Range les cartables du plus lourd au plus léger.

2. Quelle est la masse des cartables réunis?

Qu’est-ce qu’un problème?

Un énoncé de problème est un texte particulier qui estsouvent assez loin de représenter une situation de la vieréelle. Généralement, dans la vie réelle, on évite de seposer des problèmes : n’a-t-on pas inventé des machinesélectroniques telles que calculatrice, balance, caisseenregistreuse ou ordinateur pour les résoudre à notreplace !…

« Ne vous inquiétiez pas de

vos difficultés en mathématiques, Je peux vous assurer que les miennes sont encore plus grandes ! »

Albert Einstein

Qu’est-ce qu’un problème?

« Un problème est une tâche qui n’a pas

de solution immédiate et qui requiert

des efforts particuliers ».

(Foong Pui Yee, 2009, Méthode de Singapour, p. 78)

« Un problème peut être défini comme une situationconstituée d’informations qui peuvent être fournies sousdes formes diverses (matériel, image, animation surécran, énoncé oral ou écrit) avec un questionnement etdont la résolution nécessite une recherche, uneinvestigation »(R. Charnay, Réussir en math à l’école, c’est possible, 2018, p. 51).

Qu’est-ce qu’un problème?

Un problème peut se définir comme la « représentation

qu’un système cognitif construit à partir d’une tâche,sans disposer immédiatement d’une procédureadmissible pour atteindre un but »

(J.M Hoc, Eloge de la planification, 1987)

Les différentes étapes dans le traitement d’un problème

Avant de résoudre un problème, il faut commencerpar effectuer une lecture de la situation. Cette lecture fournitalors une représentation de cette situation à l’intérieur delaquelle une lecture de la tâche est possible.

Cette seconde lecture définit l’espace cognitif dans lequelcommence le traitement de la tâche. Une fois ce traitementaccompli, l’auto-contrôle permet de déclencher un processusd’intériorisation favorable aux prochaines lectures de problèmesà résoudre…

Les différentes étapes dans le traitement d’un problème (Mayer, 1985; Ménissier, 2011; 2017)

1. La traduction d’un problème

2. L’intégration des données

3. La stratégie de résolution et

la planification des actions

4. L’exécution des calculs

5. L’auto-contrôle des actions exercées

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Les étapes d’un problème arithmétique

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Connaissances

linguistiques

et factuelles

Connaissances

naïves

et familières

Les étapes d’un problème arithmétique

Étape 1 :la traduction des données

Dans un livre scolaire, un exercice propose au

collégien de 6ème de dissocier le langage mathématique

du langage courant :

- Qui a dit quoi ?

- Combien de fois faudra-t-il vous répéter qu’on ne parle pas du milieu d’un cercle mais de son centre ?

- Que tous les élèves de sixième se mettent au milieu de la cour ?

- Mettez-vous en cercle et toi, Fanny, viens au milieu ?

Une consigne en bas de l’exercice précise de même : Attention ! Certains motsont en mathématiques un sens très précis (par exemple le milieu d’un segment)alors que dans le langage courant on peut les utiliser dans des occasions trèsdiverses.

Le principaldu collège

Le « prof » de mathsL’animateur de colo

Étape 1 : la traduction des données

A l’écrit, deux codes en interaction :

La langue naturelle du français et le langage mathématique qui emprunte de nombreux mots à la langue auxquels il donne une signification propre.

En mathématiques, chaque mot a unevaleur bien spécifique qui n’admet aucuneambiguïté : lorsque l’enfant aura pour consignede « réduire au même dénominateur entierpositif les quotients », sa démarche sera biendifférente de celle d’une cuisinière même sidans les deux cas, il y a bien

réduction des éléments

premiers !

Étape 1 : la traduction des données

A l’écrit, deux codes en interaction :

la langue naturelle du français et le langage mathématique qui emprunte

de nombreux mots à la langue auxquels il donne une signification

propre.

Étape 1 : la traduction des donnéesA l’écrit, deux codes en interaction :

la langue naturelle du français et le langage mathématique qui emprunte de nombreux mots à la langue auxquels il donne une signification propre.

Combien le triangle a t-il de sommets ?

Triangle rectangle,cercle inscrit,cercle circonscrit,médiane,médiatrice…

Étape 1 : la traduction des problèmes

Travail sur le vocabulaire spécifique :

« Il faut enseigner la sémantique aux élèves dans les leçons développant tout à la fois le langage maternel et le langage logico-mathématique ».

(Ehrlich S, sémantique et mathématique :

apprendre, enseigner l’arithmétique simple,

Nathan, Paris, 1990)

→Activité d’écriture de problèmes

Les premiers mots du vocabulaire mathématique:quelques résultats (400 enfants du CE 1 au CM 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

combien égalité même autant

CE 1

CE 2

CM 1

CM 2

→Activité d’écriture de problèmes

Étape 1 : la traduction des données

La formulation du problème:

« La formulation est une partie aussi essentielle duproblème que les relations qui sont exprimées, dans lamesure où elle a un rôle déterminant dans laconstruction de la représentation du problème »

(J.F Richard; 1984)

Il y a bien une phase préalable de compréhension del’énoncé pendant laquelle vont interagir des processusde perception mais aussi des processus de recherche etde sélection des connaissances pertinentes.

Étape 1 : la traduction des donnéesLes mots dans les énoncés de problème

Mais si les mots de l’énoncé peuvent tromper l’enfantdans l’intégration du problème, ils peuvent aussi lui rendrel’interprétation plus aisée. Dans l’énoncé Jacques a 15 petitesvoitures et 8 petits camions. Combien a-t-il de véhicules ?l’opérateur sémantique n’est pas explicité. Le seulchangement de la question en Combien a-t-il de véhicules entout ? marque l’inconnue à trouver et indique le type deproblème (combinaison où deux mesures se composent pourdonner une mesure).

Étape 1 : la traduction des problèmes

Différents moyens lexicaux et syntaxiques peuvent être utilisés :1. Les états (ou les relations ou les transformations) doivent se

différencier par l’emploi des flexions verbales (imparfait, passé composé, présent ou présent vs futur).

2. Présence d’opérateurs linguistiques comme les locutions adverbiales, les prépositions et conjonctions qui indiquent les relations (temporelles, de comparaison, de quantification) : avant, après, maintenant, au début, à la fin, plus que, moins que, en tout … (Ménissier, 2002)

« Alice a 11 bonbons. Elle en donne 5 à Marie. Combien a-t-elle de bonbons maintenant? »

→ Au début, Alice avait 11 bonbons.

Alice a donné 5 bonbons à Marie.

Maintenant, combien Alice a-t-elle de bonbons ?

Individualiser les énoncés de la situation-problèmepour mieux travailler dessus…

D’abord EnsuiteAction

La compréhension de récit est une bonne façon de travailler cette étape.

Il n’y a plus d’inconnue et l’enfant devra sérier les différentes énoncés de la situation-problème

D’abord EnsuiteAction

Étape 1: la traduction des données

Comprendre les mots du problème:

« Hin hotomobilist kit Nanth pours Pari à katorzeure. Ladystansse ai de troa sans quilomaitre. Ile harive à dice-setteure. Kaile étè sa vitaisse moi hyène?»

(Dehaene S., Apprendre, les talents du cerveau,

le défi des machines, 2018, p. 295)

Si la lecture est difficile, et non automatisée,

« elle absorbe les précieuses ressources de l’attention

exécutive et empêche l’enfant de se concentrer sur

autre chose. Consolider un apprentissage, c’est rendre

les ressources du cerveau disponibles pour

d’autres objectifs » (Id. p. 295)

Étape 1: la traduction des problèmesL’enfant doit disposer au préalable de deux sortes de

connaissances :

1. des connaissances linguistiques:→ afin de permettre l’application de composantscognitifs tels que le décodage, l’accès lexical, l’analysesyntaxique et l’analyse sémantique des éléments dutexte.

2. des connaissances factuelles comme de savoir parexemple qu’un sapin est un arbre ou qu’une tonne estégale à 1000 kg.une bonne traduction dépend avant tout de ce que l’onconnaît au préalable.

étape 1: la traduction des donnéesLes mots dans les énoncés de problème

Exercice 14 - Céline (en CM 2) pense que cela coûte 4 € :« Ben, 2 € pis 2 €, ça fait 4 € … Y a deux pièces ! »

Extrait de la pièce Marius de Marcel Pagnol (acte II)César (à Marius) – Eh bien, pour la deuxième fois, je vais t’expliquer,le Picon-citron-curaçao. Approche-toi ! Tu mets d’abord un tiers decuraçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon maintenant, un tiersde citron. Un peu plus gros… Bon ensuite, un BON tiers de Picon.Regarde la couleur. Regarde comme c’est joli. Et à la fin, un GRANDtiers d’eau. Voilà.

Marius – Et ça fait quatre tiers.

César – Exactement. J’espère que cette fois,

tu as compris.

Marius – Dans un verre, il n’y a que trois tiers.

César – Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers.

Marius – Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on nepeut mettre que trois tiers.

César (triomphal) – Alors, explique-moi comment j’en ai mis quatredans ce verre !

Les connaissances naïveset la rupture de développement

« Apprendre, c’est la capacité pour le sujet de changer de représentation»

(Michel Develay, de l’apprentissage à l’enseignement, ESF, 1992)

l’action est l’instrument de l’accommodation

La science progresse en remettant en cause ses connaissancesantérieures, en reconnaissant ses erreurs.

→ Il y a des moments de discontinuité, de RUPTURE(épistémologique) : « En fait, on connaît contre uneconnaissance antérieure, en détruisant des connaissances malfaites, en surmontant ce qui, dans l’esprit même, fait obstacle àla spiritualisation… » (Bachelard, 1938)

→ L’enfant apprend aussi par cette notion de RUPTURE dedéveloppement.

Les connaissances naïveset la rupture de développement

« Il y a 24 élèves dans une classe. Il y a deux fois plus de filles que de garçons. Combien y a-t-il de garçons dans la classe? »

En utilisant la fraction-rapport, nous pouvons direque le nombre de garçons représente

1

2du nombre de

filles. Mais en même temps, le nombre de garçonsreprésente le

1

3de la classe (24).

→ Or l’enfant conçoit en premier la fraction comme unerelation partie-tout. Il lui faudra donc effectuer une rupturede développement pour penser la fraction en tant querapport (

1

2), [et non en fraction partie-tout (

1

3)].

Nous-mêmes adultes devons parfois effectuer cette rupture de développement

Pan sur le bec !

Le Canard (28/06/2017) s’est emmêlé les palmes à propos duporte-avions « Charles-de-Gaulle », en pointant « cinq ans enmer en quinze ans de service, soit trois fois plus de cale sècheque d’embruns ». Hélas ! Cela fait « deux fois » plus en cale sèchequ’en mer… Le coupable devra payer double tournée. Et pasavec de la flotte !

On voit bien ici la distinction entre la fraction

en tant que relation partie-tout (1

3)

et la fraction en tant que rapport (1

2).

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Connaissances

linguistiques

et factuelles

Connaissances

naïves

et familières

Les étapes d’un problème arithmétique

Des connaissances naïves et familières…

→Les stratégies peuvent rentrer en compétition à toutmoment. C’est ce que l’on appelle un « conflit cognitif ».

Selon Daniel Kahneman (2012), il existerait des heuristiquestrès rapides et intuitives (ou biais cognitifs), ce qu’il appelle lesystème 1 (système heuristique) et des règles logiques

(J. Piaget) ou algorithmes dits « exacts » (système 2).

A cela s’ajoute un système inhibiteur

qui permet d’arbitrer entres les unes

et les autres (O. Houdé, 2019).

Des connaissances naïves au logico-mathématique

Les trois systèmes cognitifs

1

+ 3

2

Système heuristiquePensée « automatique »

et intuitive

Système algorithmiquePensée réfléchie

« logico-mathématique »

Système d’inhibitionInterrompt le système

heuristique pour activer celui des algorithmes

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Analogie

Métacognition

Rupture de développement

Connaissances

linguistiques

et factuelles

Connaissances

contextuelles: modèles

de situation

et schémas de problèmes

Connaissances

naïves

et familières

Les étapes d’un problème arithmétique

Étape 2 : l’intégration des données (avec un problème arithmétique « simple » !)

Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avaitmal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes!

Que s’est-il passé l’après-midi ?

(Evaluation des Mathématiques à l’entrée du collège

Ministère de l’Education Nationale

Direction de l’évaluation et de la prospective – 1994)

8 + 2 = 10

Étape 2 : l’intégration des données(avec un problème arithmétique « simple » !)

Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avaitmal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes!

Que s’est-il passé l’après-midi ?

?- 2+ 8

Étape 2 : l’intégration des données (avec un problème arithmétique « simple » !)

Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avaitmal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes!

Que s’est-il passé l’après-midi ?

→ A peine plus d’un collégien sur cinq a pu répondre

correctement à la question (21,2 % exactement)

→ Et avec des adolescents de 15 ans, le problème

est encore largement échoué !

- 2 + x = + 8

Étape 2 : l’intégration des données

Imaginer une situation-problème

Comprendre un problème, c’est d’abord bien lirel’énoncé, mais c’est surtout pouvoir imaginer dans satête la situation du problème.

« Réécris l’énoncé du problème en inventant deux nombres qui vont bien avecla question posée. Attention, tu ne dois pas donner le nombre de laréponse ! Et avec les nombres que tu as imaginés, saurais-tu maintenantrépondre à la question posée ?».

→Alice avait des bonbons. Alice a donné desbonbons à Marie. Combien Alice a-t-elle maintenantde bonbons ?

Étape n° 2 : l’intégration des problèmes

Travailler sur la compréhension de la situation-problème :→En recherchant une inconnue susceptible d’être

arithmétisée.

types d’exercices: Problèmes sans question• Que peut-on chercher et calculer ? Ecris la question…

1. Un stylo coûte 2 euros. Léo achète 4 stylos.

2. Louise avait une pochette de 12 feutres. Elle a perdu quelques feutres. Maintenant il lui reste 8 feutres.

Étape n° 2 : l’intégration des problèmestypes d’exercices: Problèmes sans question

• Que peut-on chercher et calculer ? Ecris la question…

Étape n° 2 : l’intégration des problèmes

Travailler sur la compréhension de la situation-problème :→En recherchant une incohérence dans les données du

problème.

Quelque chose ne va pas dans l’énoncé!…

• Quelque chose ne va pas dans l’énoncé ! Trouve ce qui ne va pas ; puis corrige pour que l’énoncé soit correct…

1. Il y a 32 garçons dans la classe. Avec les filles, il y a 25 élèves en tout dans la classe.

2. Fanny avait 12 billes au début. Elle a perdu 5 billes à la première partie. Maintenant, elle a 17 billes.

Étape n° 2 : l’intégration des problèmes

Travailler sur la compréhension de la situation-problème :→En recherchant une incohérence dans les données du

problème.

Quelque chose ne va pas dans l’énoncé!…

• Quelque chose ne va pas dans l’énoncé ! Trouve ce qui ne va pas ; puis corrige pour que l’énoncé soit correct…

5. Il y a 38 élèves dans la classe. A midi, 25 élèves ne mangent pas à la cantine et 13 élèves mangent chez eux.

6. Pour envoyer son courrier, le directeur de l’école achète 7 carnets de 10 timbres. Il a donc acheté 17 timbres.

Étape n° 2 : l’intégration des problèmes

Travailler sur la compréhension de la situation-problème :

→En recherchant une incohérence dans les données du problème.

L’énoncé est-il correct ou quelque chose ne va pas dans l’énoncé ?…

Il y a des problèmes qui sont bien posés. Mais pour d’autres, quelque chose ne va pas dans l’énoncé ! Trouve si ça va ou si ça ne va pas ; puis corrige quand l’énoncé n’est pas correct…

3. Thomas avait le choix. Il a préféré acheter 5 paquets de 6soldats. Il n’a pas choisi d’acheter 4 paquets de 8soldats car en tout, il y en avait moins.

4. Avant-hier, Dimitri avait 15 images de footballeurs. Il a achetéun paquet de 12 images et, à présent, Dimitri possède 27images de footballeurs.

Notre choix méthodologique

• La difficulté d’un problème n’est pas liée à l’opérationarithmétique requise pour sa résolution.

• Travailler sur la résolution de problèmes, c’est maîtriser lesopérations sémantiques sous-jacentes.

• Le praticien doit donc connaître le type de problème choisi (àl’intérieur d’une typologie précise).

• Le praticien maîtrise et connaît l’opérateur de l’inconnue àrechercher.

«Le simple – c’est-à-dire l’évidence immédiate globale – estl’émergence d’une fabuleuse complexité. » Edgar Morin

Nécessité de construire une base de données

(logiciels « Point d’interrogation ») à partir des principaux critères intervenant dans la

réussite d’un problème :

• La structure sémantique desproblèmes(→ typologie des pb)

• La pertinence des informations à traiter.• L’ordre d’introduction des données.• La maîtrise de l’inconnue recherchée.• L’emplacement de la question.• L’emploi de termes linguistiques spécifiques.• Le non emploi des pronoms.• Le temps des verbes utilisés.

C’est « cool » Orthoédition!

Ce sont des gens qui

m’éditent…

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Analogie

Métacognition

Rupture de développement

Connaissances

linguistiques

et factuelles

Connaissances

contextuelles: modèles

de situation

et schémas de problèmes

Connaissances

naïves

et familières

Anticipation

moyens d’action

vicariance

Mémoire

opérationnelle

Mémoire de travail

Les étapes d’un problème arithmétique

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Analogie

Métacognition

Rupture de développement

Connaissances

linguistiques

et factuelles

Connaissances

contextuelles: modèles

de situation

Schémas de problèmes

Connaissances

naïves

et familières

Anticipation

moyens d’action

vicariance

Mémoire

Opérationnelle

Mémoire de Travail

Espace d

e t

ravail

neuro

nal glo

bal

La notion de vicariance (de variabilité cognitive)→ multiplier les voies d’accès

Valider chaque acquisition en « multipliant les trajets signifiants » pour y parvenir.

(C. Meljac, 1998).

→Proposer à l’enfant (et/ou à l’ado) des cheminements différents dans la résolution de situations-problèmes

(par exemple, quelle procédure pour soustraire 12 – 3 ?

Mais pour 12 – 9 est-ce la même procédure? )

La notion de vicariance (de variabilité cognitive)

→ C’est l’école de Psychologie Différentielle, dans les années1970, menée par Maurice Reuchlin ou encore par JacquesLautrey, qui a introduit la notion de vicariance pour aborder lesdifférentes stratégies perceptives et cognitives pouvant êtremises en jeu par un sujet pour résoudre un même problème.

→ Jean Piaget a introduit lui aussi le concept de vicariancepour désigner l’ensemble des opérations logiques

intervenant dans le changement possible de critèresau sein d’un groupement de classification (G.S.L.E., p. 288, 1959).Il parle aussi des « limites vicariantes de la formalisation »

à propos des structures logiques (Le structuralisme, p. 29, PUF, 1968).

La notion de vicariance→multiplier les voies d’accès

→Maurice Reuchlin (1978) a proposé un modèlerésumé par le schéma ci-dessous :

A r (réussite)

S B R

C e (échec)

La notion de vicariance→ multiplier les voies d’accès

→ On parle donc de processus vicariant s’il y a unepossibilité de substitution. Ainsi, pour un sujet donné, laréalisation de certaines procédures de réalisation resteplus probable que certaines autres.→ On peut parler d’une certaine « façon de voir », ou

encore une certaine « tournure d’esprit » (Berthoz,2013).

La vicariance aurait un coût cognitif déterminé par laprobabilité de réussite du processus, le temps de mise enplace et d’utilisation du processus et son degréd’automatisation.

La notion de vicariance

Enoncé : « « 4 livres coûtent 12 €. Combien coûtent 10 livres ? »

grandeur valeur livres euros

base 4 12

multipliée 10 ?

La fonction qui permet de passer d’un domaine de grandeurà l’autre domaine de grandeur est y = f(x) = 3 x.

x f(x)

x’ f(x’)

La notion de vicariance

- Trois propriétés de linéarité en découlent :

→Si un élément de la 1ère série peut s’obtenir par addition (ousoustraction) de deux éléments de cette série, alors l’élémentcorrespondant dans la seconde série est égal à la somme (ou à ladifférence) des images de ces deux éléments :

√ x et y, f(x) + f(y) = f(x+ y).

Série A : 1 4 + 8 10 12f(x) = x 3

Série B 3 12 + 24 30 36

La notion de vicariance

- Trois propriétés de linéarité en découlent :

→Si un élément de la 1ère série peut s’obtenir en multipliant un élément x de cette série par un nombre k, l’élément correspondant de la deuxième série est égal au produit de k par l’image de x :

√ x, f(kx) = kf(x)x 2 (k)

Série A : 1 4 8 10f(x) = x 3

Série B : 3 12 24 30

x 2

La notion de vicariance

- Trois propriétés de linéarité en découlent :→Si deux séries sont proportionnelles, deux couples quelconques permettent d’effectuer un produit en croix tel que :

x1 x2x1 x y2 = x2 x y1

y1 y2

Série A : 1 4 8 10f(x) = x 3

Série B : 3 12 24 30

La notion de vicariance

« 4 livres coûtent 12 €. Combien coûtent 10 livres ? »

▪ Lorsque Quentin résout le problème en proposant comme procédure de résolution : « j’ajoute 12 puis 12 puis 6… ça fait 30 € », il utilise en fait la première propriété :

f(x + x + x’)= f(4 + 4 +2) = f(4) + f(4) + f(2) = 12 + 12 + 6 = 30.

• Lorsque Chloé recherche l’opérateur scalaire (x 2,5), elle utilise la deuxième propriété f(gx) = gf(x) où g = 2,5 (10 livres, c’est deux fois et demi plus que 4 livres). Elle applique alors l’opérateur par isomorphisme et exécute le calcul :

12 x 2,5 = 30.

La notion de vicariance

« 4 livres coûtent 12 €. Combien coûtent 10 livres ? »

• Lorsque Guillaume calcule (2 x 12) + (1/2 x 12) = 24 + 6 = 30, (« j’ai fait 24 plus 6… ») il combine les deux premières propriétés telles que :

f[(2 x 4) + (1/2 x 4)] = 2f(4) + 1/2 f(4).

• Et lorsque Nina calcule 10 x 3 = 30 (« il faut faire 3 fois 10 »), elle utilise directement la constance multiplicative ou coefficient de proportionnalité en lieu et place de l’opérateur scalaire. On passe de 4 à 12 en multipliant par 3 comme on passe de 10 à 30 par la même multiplication.

La notion de vicariance

« 4 livres coûtent 12 €. Combien coûtent 10 livres ? »

• Alexis propose de trouver le prix d’un livre (et utilise alors la propriété y = f(x)), calcule le prix de 6 livres qu’il ajoute ensuite au prix des 4 livres par application dérivée de la première propriété :

f[x + (x’- x)] = f[4 + (10 – 4] = f(x) + f(x’- x) = (1 x 12) + (1 x 18) = 30

• Philippe (en 3ième) propose quant à lui d’utiliser le produit en croix en écrivant l’équation algébrique : 4x = 10 x 12 avant d’appliquer les algorithmes de résolution appris au collège.

Étape n° 3 : la planification des actions

Travailler sur la temporalité → En terme de simultanéité et de successivité

« L’un après l’autre » ou « en même temps » ?

D’abord Ensuite(en premier)

l’un après l’autre

Avant Après

en même temps

Étape n° 3 : la planification des actions

Travailler sur la temporalité → En terme de transformation :

travailler sur les énoncés de problèmes additifs (de type changement) à partir du logiciel Point d’interrogation n° 1 : proposer les énoncés comme des propositions affirmatives (sans aucune question ni recherche de calcul)

Léna a ouvert un paquet de 20 biscuits.Il reste maintenant 13 biscuits dans le paquet.Léna a mangé 7 biscuits.

Action 1 Action 3Action 2

Intégration

du problème

Traduction

des données

Planification

des actions

Exécution

de la solution

Auto-régulation

Analogie

Métacognition

Rupture de développement

Connaissances

linguistiques

et factuelles

Connaissances

contextuelles: modèles

de situation

Schémas de problèmes

Connaissances

naïves

et familières

Anticipation

moyens d’action

vicariance

Mémoire

Opérationnelle

Mémoire de Travail

Connaissances

déclaratives

Connaissances

procédurales

Espace d

e t

ravail

neuro

nal glo

bal

Étape n° 4 : l’exécution de la solutionLe praticien doit connaître la façon dont l’enfant calcule

Il peut se servir du cadre conceptuel proposé par Siegler et Lemaire (1995):

❑ Le répertoire stratégique : ensemble des stratégies utilisées par l’enfant.

❑ La distribution stratégique : fréquence d’utilisation des stratégies.❑ L’exécution stratégique : degré de rapidité, contrôle

et précision de la stratégie de calcul.❑ La sélection stratégique : choix de la stratégie en fonction

des facteurs intrinsèques (ayant trait aux problèmes) et extrinsèques (caractéristiques de lasituation-problème).

Fayol M., (2012) L’acquisition du nombre, Paris, PUF (Que sais-je?).Ménissier A., (2003), Les variations stratégiques chez l’enfant dans le calcul d’additions et de soustractions élémentaires, Glossa, n° 83, 20-33.

Étape n° 5 : Auto-contrôle des actions exercées« Ecris la phrase réponse… »

Une trace écrite sera demandée systématiquement à l’enfant enfin de résolution :

« l’écrit peut être ou est un contrôle, il est la nécessaireconfrontation de la réflexion solitaire et de son résultat sur lafeuille de papier. Mais jusqu’au moment où les signes parlerontd’eux-mêmes, c’est par la parole que cette languemathématique – dans un français rigoureux – doit s’acquérir ».

Stella Baruk

Si 7 = 0, quelles mathématiques pour l’école, 2004, Paris, Ed. O. Jacob, p.293

Pour conclureSi votre attention a été proportionnelle à la

longueur de mon exposé,

sa compréhension en est la valeur ajoutée,

le tout multiplié par votre motivation

à vous former, et calculé en tenant compte du coefficient de réinvestissement dans votre

pratique professionnelle.Nous ne pouvons donc que vous souhaitez

une bonne mise en pratique…sans trop de… problèmes !

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