Analysedesignauxmulticomposantes ...oberlin.perso.enseeiht.fr/files/pres_theseTO.pdfT. Oberlin (LJK)...

Analyse de signaux multicomposantesContributions à la Décomposition Modale Empirique,

aux représentations temps-fréquence et au Synchrosqueezing

Thomas Oberlin

Directrice de thèse : Valérie PerrierCo-directeur : Sylvain Meignen

Thèse de DoctoratUniversité de Grenoble – Laboratoire Jean Kuntzmann

4 Novembre 2013

T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 1 / 50

Introduction

Modes AM–FM : ondes modulées en amplitude et en fréquence

AM

FM

x

y

Signaux multicomposantes : superpositions de modes AM–FM

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−3

−2

−1

0

1

2

Année

Écartàla

moyenne(˚C)


Cadre mathématique

Un mode AM–FM est une fonction

h(t) = A(t) cos(2πφ(t)),

A et φ′ étant des fonctions à variations lentes devant φ′. Pour de tels signaux, A et φ′sont appelées amplitude et fréquence instantanées.

Un signal multicomposantes est une superposition de modes :

s(t) =K∑

k=1

sk (t) =K∑

k=1

Ak (t) cos(2πφ(t))

Deux problèmes distincts pour ces types de signauxLa séparation des modes : reconstruire les sk à partir de sLa démodulation : retrouver Ak et φ′k à partir de sk

Problèmes mal posés dans le cas général.


Plan

1 Introduction

2 Décomposition Modale Empirique

3 Ridges temps-fréquence et temps-échelle

4 Synchrosqueezing et réallocation

5 Synchrosqueezing monogène

6 Conclusion


Plan

1 Introduction

2 Décomposition Modale EmpiriqueMotivation, définitionsProblèmes théoriques et pratiquesContributions




6 Conclusion


Décomposition Modale Empirique (EMD)

Contexte : une méthode de séparation des modesI Formalisation de la méthode : [Huang et al., 1998], [Flandrin et Rilling]I Basée sur la notion de symétrie des enveloppesI EMD + analyse des fréquences instantanées : “Hilbert-Huang transform” (HHT)

PrincipeI s = h1 + m1, avec h1 : mode AM–FM contenant la partie haute-fréquence, et m1 :

variations lentes.I Décomposition récursive de m1 s =

∑i hi + r , où hi : de moins en moins oscillants, et

r : résidu monotone.

Définition (Moyenne locale)

La moyenne locale M[s] d’un signal s est la demi-somme de ses enveloppes inférieures etsupérieures, obtenues par interpolation spline cubique des maxima et minima locaux.

Définition (Sifting Process / Tamisage)

Le Sifting Process consiste à retrancher la moyenne locale itérativement jusqu’à obtenir une IMF,fonction oscillante de moyenne locale (quasi) nulle : SP = (I −M)N .


Définition – Illustration


Améliorations de l’EMD

Principales faiblessesAspects pratiques

I Résolution fréquentielleI Mélange de modeI Sensibilité aux conditions initiales

Aspects théoriquesI Pas de convergence du Sifting ProcessI Pas de convergence de la décomposition en un nombre fini de modes

Nos contributionsUne nouvelle initialisation pour le SP : EMD-NI

I permet une convergence plus rapide du SPI améliore la séparation fréquentielleI limite le mélange de modes

EMDOS : remplacer le SP par une étape d’optimisation sous contraintesI La fonctionnelle quadratique impose une moyenne locale la plus régulière possibleI Les contraintes linéaires imposent des conditions de symétrie approchée des enveloppes


EMD-NI [Oberlin et al., 2012a] : une meilleure initialisation du SP

Une meilleure estimation x̂i des extremadu mode haute-fréquence

I utilisant les dérivées paires du signal(passe-haut)

I procédure automatique pourdéterminer l’ordre de dérivation

I approche inspirée par[Rilling and Flandrin, 2008]

a

f

10−2

10−1 1 10

110

2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

af=1

af3=1

af4=1

s

s

s(2)

s(4)

Une moyenne locale intégrale, spline dedegré k interpolant les points (t̄i , s̄i ) :

s̄i =1

x̂i+1 − x̂i

∫ x̂i+1x̂i

s(t) dt

t̄i =

∫ x̂i+1x̂i

t|s(t)− s̄i |2 dt∫ x̂i+1x̂i|s(t)− s̄i |2 dt

.0 2 4 6 8 10

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

Nombre d’itérations de SP

Err

eu

r q

ua

dra

tiq

ue

(lo

g)

EMD

EMD−NI


EMDOS : une alternative au SP par optimisation sous contraintes

Calcul de la moyenne locale mUtilisation l’EMD-NI pour calculerune approximation m̂ dans ΠkτRecherche de m dans C(m̂), unensemble convexe non vide de Πkτ ,en résolvant le problèmequadratique sous contraintes :

1 1.5 2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1

t

h(t

)

h(x1)

h(x2)

λ2

λ3

h(x4)

h(x3)

m =

argminm̃∈C(m̂)∥∥m̃(2)∥∥2

C(m̂) ={m̃ ∈ Πkτ , ∀i ∈ 1 . . . L, |λ̂i (m̃)+(s−m̃)(x̂i )||λ̂i (m̂)−(s−m̂)(x̂i )| ≤ α

}.

(1)

Théorème

Pour α ≥ 0, le problème (1) a une unique solution.


Résultats numériques

0.05 0.1 0.15 0.2−3

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

α

C1(α

)

EMD

OS k=6

OS k=8

OS k=10

Erreur en fonction de α0.05 0.1 0.15 0.2

0

10

20

30

40

50

60

70

α

vr(

α)

EMD

OS k=6

OS k=8

OS k=10

Taux de variation

0 1 2 3 4 5 6 7 8−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Iteration n

C1(n

)

EMD EMD−NI EMD−MP EMDOS

Comparaison quantitative

BilanInfluence de l’initialisation du SPNouvelle méthode sans processus itératifBons résultats numériques : résolution fréquentielle, précision, sensibilitéQuelques limitations : gestion du bruit, nombre de modes


Plan

1 Introduction


3 Ridges temps-fréquence et temps-échelleDéfinitionsÉtat de l’artReconstruction par intégration localePrise en compte de la modulation fréquentielleApplication au débruitage



6 Conclusion


Représentations temps-fréquence et temps-échelle linéaires

Transformée de Fourier de f ∈ L1(R) :

f̂ (ν) =∫Rf (t)e−2iπνt dt. (2)

Définition (TFCT et spectrogramme)

Soit g ∈ L2(R) une fonction fenêtre (réelle et paire). La transformée de Fourier à courtterme (TFCT) de f ∈ L2(R) est

Vf (η, t) = 〈f , gη,t〉 =∫Rf (τ)g(τ − t)e−2iπη(τ−t) dτ. (3)

Définition (TOC et scalogramme)

Soit f ∈ L2(R) et ψ ∈ L2(R) une ondelette réelle admissible(0 < Cψ =

∫∞0 |ψ̂(ξ)|

2 dξξ

Propriétés

La TFCT et la TOC :sont linéaires, inversibles dans L2(R), redondantesanalysent indifféremment un signal réel ou son signal analytique (sous certainesconditions)sont soumises au principe d’incertitude de Heisenberg-Gabor.

Exemple pour la TFCT :

time (s)

frequency (

Hz)

0 0.5 10

200

400

600

800

1000

petite fenêtretime (s)

frequency (

Hz)

0 0.5 10

200

400

600

800

1000

moyenne fenêtretime (s)

frequency (

Hz)

0 0.5 10

200

400

600

800

1000

grande fenêtre


Illustration

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t

Signal

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

6

7

8

ν

Transformée de Fourier

t

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

TFCTt

1/a

(lo

g)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

64

181.019

512

TOC


Approximation au premier ordre

Que devient un mode h(t) = A(t)e2iπφ(t) dans le plan TF ou TE ?Première approximation de h au voisinage du temps t :

h(τ) ≈ h̃t(τ) = A(t)e2iπ[φ(t)+φ′(t)(τ−t)].

Approximation de la TFCT et de la TOC à l’ordre 1

Vh(η, t) ≈ Vh̃t (η, t) = h(t)ĝ(η − φ′(t))

Wh(a, t) ≈Wh̃t (a, t) = h(t)ψ̂(aφ′(t))∗.

t

η

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65150

200

250

300

(t,η)

η−φ’(t)

Reconstruction sur le ridge (RR1)

h(t) ≈ 1ĝ(0)Vh(φ′(t), t)

h(t) ≈ 1ψ̂(1)∗

Wh(1

φ′(t) , t)


Approximation de phase stationnaire [Delprat et al., 1992]

Proposition (TFCT)Soit (η, t) fixé. On suppose qu’il existe ununique point critique τc = τc (η, t) tel queφ′(τc ) = η, et φ′′(τc ) 6= 0. Alors

Vh(η, t) ≈eiπ4 signeφ

′′(τc )e−2iπη(τc−t)√|φ′′(τc )|

g(τc − t)h(τc ).

(5) t

η

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7150

200

250

300

350

(t,η) τc − t

Proposition (TOC)

Soit (a, b) fixé, et ψ = |ψ|e2iπφψ . On suppose qu’il existe un unique point critique τc telque φ′(τc ) = 1aφ

′ψ

(τc−b

a

), et φ′′(τc ) 6= 1a2 φ

′′ψ

(τc−b

a

). Alors,

Wh(a, b) ≈e iπ4 signe

[φ′′(τc )− 1a2 φ

′′ψ

(τc−b

a

)]a√|φ′′(τc )− 1a2 φ

′′ψ

(τc−b

a

)|ψ(τc − b

a

)∗h(τc ). (6)

Reconstruction sur le ridge au deuxième ordre (RR2).


Nouvelle reconstruction par intégration locale

Hypothèses : supp ĝ ⊂ [−∆g ,∆g ] et supp ψ̂ ⊂ [1−∆ψ, 1 + ∆ψ].

Principe [Meignen et al., 2012]Pour des modes AM–FM, utilisation d’une formule de reconstruction tronquée :

sk (t) ≈1

g(0)

∫ φ′k (t)+∆gφ′k (t)−∆g

Vs(η, t) dη sk (t) ≈1C ′ψ

∫ 1+∆ψφ′k (t)

1−∆ψφ′k (t)

Ws(a, t)daa .

Condition de séparation fréquentielleTFCT : pour tout k ∈ {1, · · · ,K − 1} :

φ′k+1 − φ′k > 2∆g .

TOC : pour tout k ∈ {1, · · · ,K − 1} :

φ′k+1 − φ′kφ′k+1 + φ

′k> ∆ψ.


Erreur d’approximation

Théorème (TOC , ordre 1[Daubechies et al., 2011])

Soit un mode h(t) = A(t)e2iπφ(t) vérifiant A ∈ C1(R)⋂

L∞(R), φ ∈ C2(R). On supposequ’il existe ε > 0 tel que pour tout t, A(t) > 0, φ′(t) > 0, |A′(t)| ≤ εφ′(t),|φ′′(t)| ≤ εφ′(t) et |φ′′(t)| ≤ M. Alors en tout point (a, t),

|Wh(a, t)− h(t)ψ̂(aφ′(t))∗| ≤ C ′1(a, t)ε, (7)

C ′1(a, t) = φ′(t)aJ1 + (M + 2πA(t)φ′(t)) a2

2 J2 + πA(t)Ma33 J3 et Jn =

∫R |x |

n|ψ(x)| dx.

Théorème (TFCT, ordre 1)

Soit un mode h(t) = A(t)e2iπφ(t) vérifiant A ∈ C1(R)⋂

L∞(R), φ ∈ C2(R). On supposequ’il existe ε > 0 tel que pour tout t, A(t) > 0, φ′(t) > 0, |A′(t)| ≤ ε, |φ′′(t)| ≤ ε. Alorsen tout point (η, t),

|Vh(η, t)− h(t)ĝ(η − φ′(t))| ≤ εC1(t), (8)

où la constante vaut C1(t) = I1 + πA(t)I2 avec In =∫R |u|

n|g(u)| du.


Qualité de la reconstruction au premier ordre

Corollaire

On se place dans le cadre du Théorème 4.2. On suppose de plus que supp ĝ ⊂ [−∆,∆].Alors pour tout t, ∣∣∣∣∣h(t)− 1g(0)

∫ φ′(t)+∆φ′(t)−∆

Vh(η, t) dη

∣∣∣∣∣ ≤ C2(t)ε, (9)avec C2(t) = 2∆g(0)C1(t).

Démonstration.Idée de la preuve :∣∣∣∣∣h(t)− 1g(0)

∫ φ′(t)+∆φ′(t)−∆

Vh(η, t) dη

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣h(t)− h(t)g(0)

∫ ∆−∆

ĝ(η) dη∣∣∣∣ + 1g(0)

∫ φ′(t)+∆φ′(t)−∆

|Vh(η, t)− h(t)ĝ(η − φ′(t))| dη

Même chose pour la TOC.T. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 20 / 50

Problème de la modulation fréquentielle

Illustration dans le cas de la TFCT :

t

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

faible modulationt

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

forte modulation

150 200 250 300 3500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

η

|Vh|

|V

h|

partie intégrée

coupe à t = 0.5

150 200 250 300 3500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

η

|Vh|

|V

h|

partie intégrée

coupe à t = 0.5


Approximation à l’ordre 2

Théorème (TOC, ordre 2)

On se place dans les hypothèses du théorème précédent, sauf que l’hypothèse|φ′′(t)| ≤ εφ′(t), |φ′′(t)| ≤ M est remplacée par |φ′′′(t)| ≤ εφ′(t), |φ′′′(t)| ≤ M. Onsuppose de plus que |ψ| est une fonction paire. Alors pour tout t,

|Wh(a, t)− h(t)ψ̂ca,t(aφ′(t))∗| ≤ K ′1(a, t)ε, (10)

avec K ′1(a, t) = φ′(t)aJ1 +( 16M + πA(t)φ

′(t))a3J3 + 16πA(t)Ma

5J5 etca,t(τ) = e−iπφ

′′(t)a2τ2 .

Théorème (TFCT, ordre 2)

On se place dans les hypothèses du théorème précédent, avec φ ∈ C3(R), et enremplaçant |φ′′(t)| ≤ ε par |φ′′′(t)| ≤ ε. Alors en tout point (η, t),

|Vh(η, t)− h(t)ĝct(η − φ′(t))| ≤ εK1(t), avec ct(τ) = e iπφ′′(t)τ2 , (11)

la constante valant K1(t) = I1 + πA(t)3 I3.


Cas de fonctions analysantes gaussiennes [Oberlin et al., 2013a]

La fenêtre Gaussienne dépendant d’un paramètre σ

g(x) = σ−12 e−π

x2σ2 et ĝ(ν) = σ

12 e−πσ

2ν2 .

Ondelette de Morlet complexe

ψ(x) = σ−12 e−π

x2σ2 e2iπt et ψ̂(ν) = σ

12 e−πσ

2(1−ν)2 .

Proposition (Approximation d’un mode à l’ordre 2)

|Vh(η, t)| ≈ |h(t)|σ12 (1 + σ4φ′′(t)2)−

14 e−

πσ2(η−φ′(t))2

1+σ4φ′′(t)2 (12)

|Wh(a, t)| ≈ |h(t)|σ12 (1 + σ4a2φ′′(t)2)−

14 e−

πσ2(1−aφ′(t))2

1+σ4a2φ′′(t)2 . (13)

Mise en oeuvre de la reconstruction

Fenêtre gaussienne, support non compact :besoin d’un paramètre γ.

0

1

γ

2∆


Comparaison des méthodes

Comparaison générale

Une famille de signaux-tests :

hc (t) = e−10π(t−0.5)2e2iπ(250t+

500π2

c sin(πt))

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

parametre c

SN

R (

dB

)

RR1

IR1

RR2

IR2

Sensibilité à l’estimation du ridgeQualité de la reconstruction du signal test h0.7 en fonction du niveau de bruit :

0 10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

100

SNR d’entrée (dB)

SN

R d

e s

ort

ie (

dB

)

RR2

IR2 γ=0.1

IR2 γ=0.01

IR2 γ=0.001

vrais φ′ et φ′′0 10 20 30 40 50 60 70

20

40

60

80

100

SNR d’entrée (dB)

SN

R d

e s

ort

ie (

dB

)

RR2

IR2 γ=0.1

IR2 γ=0.01

IR2 γ=0.001

φ′ et φ′′ biaisés


Application au débruitage [Oberlin et al., 2013b]

TFCT

t

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

0 100 200 300 400 500 6000

0.02

0.04

0.06

0.08

η

|Vh|

|V

h|

intervalle d’intégration

niveau moyen de bruit

TOC

t

1/a

0 0.2 0.4 0.6 0.81

4.75683

22.6274

107.635

512

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 00

0.5

1

1.5

log(a)

|Wh|

|V

h|

intervalle d’intégration

niveau moyen de bruit


Résultats sur deux signaux synthétiques

Deux signaux synthétiques(sans bruit)

Résultats de débruitage exprimés enSNR (bruit blanc gaussien)

t

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

−5 0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60

SNR d’entree (dB)

SN

R d

e s

ort

ie (

dB

)

TFCT1

TFCT2

BT

t

1/a

(lo

g)

0 0.2 0.4 0.6 0.81

8

64

512

−5 0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60

SNR d’entree (dB)

SN

R d

e s

ort

ie (

dB

)

TOC1

TOC2

BT


Plan

1 Introduction



4 Synchrosqueezing et réallocationRéallocation et SynchrosqueezingRésultat d’approximationSynchrosqueezing du second ordreRésultats numériques


6 Conclusion


Représentations TF idéales et réallocation

Signal multicomposantes :

s(t) =K∑

k=1

sk (t) =∑

k

Ak (t)e2iπφk (t)

Représentation TF idéale :

TIs (η, t) =K∑

k=1

Ak (t)2δ(η − φ′k (t)),

Représentation TF idéale inversible :

TIRs (η, t) =K∑

k=1

sk (t)δ(η − φ′k (t)),

t

η

spectrogramme

t

η

champ de réallocation

t

η

spectrogramme réalloué


Réallocation vs Synchrosqueezing

Opérateurs de réallocation :

Fréquence instantanée locale : ω̂s(η, t) = 12π∂t argVs(η, t) = η −Re{

12iπ

V g′

s (η,t)V gs (η,t)

}Retard de groupe local : τ̂s(η, t) = t − 12π∂η argVs(η, t) = t +Re

{V xgs (η,t)V gs (η,t)

}Définition (Réallocation [Kodera et al., 1976, Auger and Flandrin, 1995])La réallocation est obtenue par la transformation (η, t) 7→ (ω̂s(η, t), τ̂s(η, t)) :

Ss(ω, τ) =∫R2|Vs(η, t)|2δ(ω − ω̂s(η, t))δ(τ − τ̂s(η, t)) dηdt. (14)

Définition (Synchrosqueezing [Daubechies and Maes, 1996])Le synchrosqueezing (SST) est obtenu par (η, t) 7→ (ω̂(η, t), t) :

Ts(ω, t) =1

g(0)

∫RVs(η, t)δ (ω − ω̂s(η, t)) dη. (15)


Illustration

t

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

t

1/a

(lo

g)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

22.3837

106.475

506.485

spectrogramme/scalogramme SST Réallocation


Un résultat d’approximationCas de la TFCT

Définition (Définition rigoureuse du SST)Soit ρ ∈ D(R) telle que

∫ρ = 1, γ, δ > 0 et s un signal multicomposantes

Tδ,γs (ω, t) =1

g(0)

∫|Vs (η,t)|>γ

Vs (η, t)1δρ

(ω − ω̂s (η, t)

δ

)dη.

ThéorèmeSoit s ∈ B∆,ε, et ν ∈ (0, 12 ). Soit une fenêtre g ∈ S(R) telle que supp ĝ ∈ [−∆,∆], etune fonction ρ ∈ D(R) telle que

∫ρ = 1. Alors, si ε est suffisamment petit,

|Vs(η, t)| > εν ⇒ ∃k ∈ {1 · · · ,K} t.q. (η, t) ∈ Zk := {(η, t) / |η − φ′k (t)| < ∆}.Pour tout k ∈ {1 · · · ,K} et toute paire (η, t) ∈ Zk telle que |Vs(η, t)| > εν , on a

|ω̂s(η, t)− φ′k (t)| ≤ εν .

Pour tout k ∈ {1 · · · ,K} il existe une constante C telle que pour tout t ∈ R,∣∣∣∣∣ limδ→0(∫|ω−φ′k (t)|

Synchrosqueezing et modulation fréquentielle

Réallocation vs Synchrosqueezing :

Réallocation SynchrosqueezingGestion des fortes modulations (≈ e iαx

2) X

Reconstruction possible X

Objectif : construire un SST au second ordreI adapté aux chirps linéairesI permettant la reconstruction des modes

État de l’art :I [Gardner and Magnasco, 2006] : réallocation et reconstruction, mais la formule de

reconstruction est peu préciseI [Li and Liang, 2012, Wang et al., 2013] : contournent le problème (démodulent

chaque mode après une estimation grossière des ridges)


Un prérequis : estimer localement la modulation

Définition

Soit s ∈ L2(R). Son opérateur de modulation est défini en tout point (η, t) où Vs est nonnulle et où ∂t τ̂s(η, t) 6= 0 par :

q̂s(η, t) =∂t ω̂s(η, t)∂t τ̂s(η, t)

. (16)

Proposition

Si h(t) = Ae2iπφ(t) où φ une fonction polynomiale de degré 2, avec φ′′(t) = φ′′ 6= 0, on aen tout point (η, t) où Vh est non nulle et où ∂t τ̂h(η, t) 6= 0,

q̂h(η, t) = φ′′. (17)

De plus, on peut calculer q̂h(η, t) en ces points grâce à la formule suivante :

q̂h = Re

{12iπ

V g′′

h Vgh − (V

g′h )

2

V xgh Vg′h − V

xg′h V

gh

}, (18)

où V g′′

h et Vxg′h désignent la TFCT de h utilisant respectivement les fenêtres g

′′(x) etx 7→ xg ′(x).


Synchrosqueezing oblique

Principe :utilisation les opérateurs deréallocation standardadaptation de la formule dereconstruction en intégrant surIτ , ensemble de coefficientsdéplacés

t

η

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8100

150

200

250

300

350

400 ridge

I’τ

Iτ

(η+φ’’(τ−t),t)

(η,t)

(ω,τ)

Définition

Soit s ∈ L2(R), son synchrosqueezing oblique de Fourier (OSST) est la transformée

T δ,ρs (ω, τ) =1

g(0)

∫∫R2

Vs(η, t)e iπ(2ω̂s (η,t)−q̂s (η,t)(τ̂s (η,t)−t))(τ̂s (η,t)−t)

1δ2ρ

(ω − ω̂s(η, t)

δ

)ρ

(τ − τ̂s(η, t)

δ

)dηdt.

(19)

Difficulté : régularisation pour gérer les perturbations


Synchrosqueezing vertical d’ordre 2 [Auger et al., 2013]

Définition (Fréquence instantanée d’ordre 2)

Soit un signal s ∈ L2(R), on définit sa fréquence instantanée locale d’ordre 2 par

ω̃s(η, t) = ω̂s(η, t)− q̂s(η, t)(τ̂s(η, t)− t)

DéfinitionSST vertical d’ordre 2 Le SST vertical d’ordre 2 est le SST obtenu en remplaçant ω̂ parω̃.

Difficultés pour établir un résultat d’approximation équivalent :l’opérateur q̂ approche φ′′ pour une perturbation de chirp linéaireadapter la condition de séparation fréquentielle


Résultats numériques

t

η

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

TFCT SST

OSST VSSTT. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 36 / 50

Parcimonie des transformées

t

η

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nombre de coefficients / N

am

plit

ude n

orm

alis

ée

spectrogramme

réallocation

SST

SST oblique

SST vertical

t

η

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

nombre de coefficients / N

am

plit

ude n

orm

alis

ée

spectrogramme

réallocation

SST

SST oblique

SST vertical


Reconstruction des modes

reconstruction sur le ridge

sk (t) ≈ Ts(φ′k (t), t).

Résultats de la reconstruction directe (SNR en dB) :

SST OSST VSSTchirps polynomiaux 8 30 27chirps sinusoidaux 4 11 10

reconstruction régularisée (théorème), utilisant un paramètre d :

sk (t) ≈∫ φ′k (t)+dφ′k (t)−d

Ts(ω, t) dω.

0 5 10 150

50

100

150

200

paramètre d

SN

R d

e s

ort

ie (

dB

)

SST standard

VSST d’ordre 2

chirps polynomiaux

0 5 10 150

20

40

60

80

100

paramètre d

SN

R d

e s

ort

ie (

dB

)

SST standard

VSST d’ordre 2

chirps sinusoidauxT. Oberlin (LJK) Analyse de signaux multicomposantes 4 Novembre 2013 38 / 50

Plan

1 Introduction




5 Synchrosqueezing monogènePosition du problèmeSignal monogèneSynchrosqueezing monogèneIllustrations

6 Conclusion


Signaux multicomposantes en dimension supérieure

Somme d’ondes modulées en amplitude, fréquence et orientation

F (x) =∑

k

Fk (x) =∑

k

A(x) cos(ϕk (x))

I Hypothèses de faibles variations (cohérence locale)I Amplitudes Ak , fréquences |∇ϕk | et orientations ∇ϕk|∇ϕk | instantanées

Deux problèmes : séparation et démodulation

Synchrosqueezing monogène :I Extension du synchrosqueezing à la dimension 2I Dans le cadre du signal monogène [Felsberg and Sommer, 2001]I Théorème d’approximation analogue à la dimension 1

Applications : fronts d’ondes (interférences en optiques, etc), textures localementparallèles, “images orientées”...


Signal monogène

Définition (Transformée de Riesz)

Soit f une image de ∈ L2(R2). Sa transformée de Riesz est la fonctionRf =

(R1f ,R2f

)T , où chaque composante Rl f , i = 1, 2 est définie parR̂l f (ξ) = −i ξl|ξ| f̂ (ξ).

Définition (Signal monogène)

Le signal monogène associé à f ∈ L2(R2) est défini parMf =(

fRf

).

Les angles d’Euler associés àMf définissent de manière unique amplitude, phase etorientation instantanées.Extension de l’exponentielle complexe : en notantMf = f +R1f i +R2f j,

Mf = A eϕnθ = A (cosϕ+ nθ sinϕ) avec nθ = cos θ i + sin θ j

Exemple : Onde plane f (x) = A0 cos(k · x) avec k = (k1, k2) et k1 > 0.

En notant θ0 = arctan( k2

k1

)et ϕ(x) = k · x , on obtientMf (x) =

( A0 cosϕ(x)A0 sinϕ(x) cos θ0A0 sinϕ(x) sin θ0

).


Illustration

Image f Amplitude

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence instantanée scalaire

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Orientation


Synchrosqueezing monogène

Transformée en ondelettes monogène (TOM) WFI Transformée en ondelettes du signal monogèneI Étudiée dans [Unser et al., 2009, Olhede and Metikas, 2009]I Ondelette isotrope et orientation locale

Extension du Synchrosqueezing dans le cadre monogène (MSST)I Opérateurs de réallocation

Λ1(a, b) = ∂b1WF (a, b)× (WF (a, b))−1 , (20)

Λ2(a, b) = ∂b2WF (a, b)× (WF (a, b))−1 .

I Définition du MSST : réallocation de la TOM

Sδ,νF,ε (b, k, n) =

∫Aε,F (b)

WF (a, b)1δ2ρ

(k1 − Re(n Λ1(a, b))

δ

)ρ

(k2 − Re(n Λ2(a, b))

δ

)daa2

I Extension du théorème d’approximation à des modes monogènes

F (x) =L∑`=1

F`(x) ,

où les F`(x) = A`(x) eϕ`(x)nθ`(x) vérifient des conditions de variations lentes etde séparation fréquentielle.


Un premier exemple

x

y

xy

x

y

x

y

Une image synthétique à 3 composantes

1

2

4

8

16

xy

1/a

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

1/a

y16

8

4

2

1

16

32

64

128

yx

fré

qu

en

ce

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

fré

qu

en

ce

y8

16

32

64

128

Ondelettes SynchrosqueezingReprésentation volumique de l’amplitude et coupe 2D pour x = 0.5.


Sur des images réelles

x

y

x

y

x

y

x

y

0

100

200

300

0

100

200

3001

2

4

8

16

32

64

128

256

xy

Fre

qu

en

cy f

100

200

300

400

500

600

x

y

0

100

200

300

0

100

200

3001

2

4

8

16

32

64

128

256

xy

Fre

qu

en

cy f

100

200

300

400

500

600

700

BilanExtension naturelle du SSTConcentration de la représentation espace-échelleApproches alternatives :

I Analyse de ridges en dimension 2 [Gonnet and Torresani, 1994]I Analyse des “fréquences émergentes” [Bovik et al., 1992]


Conclusion : vers un cadre mathématique plus étayé ?

Décomposition modale empiriqueI Méthode difficile à modéliser, à analyser mathématiquementI Des alternatives mieux formulées sont possibles

Bilan : plus de formalisme mathématique, mais pas de garanties sur ladécomposition entière. Compromis entre formalisme mathématique et résultatsnumériques.

Autour du synchrosqueezingI Nouvelles avancées théoriques (reconstruction integrale, SST pour la TFCT, extensions

au second ordre, à la dimension deux)I Comparaisons avec l’état de l’art (liens entre analyse de ridges, synchrosqueezing,

réallocation)I Application (débruitage)

Bilan : mise en perspective du synchrosqueezing, extension des résultats théoriques.


Perspectives

Développements théoriquesI Théorème d’approximation pour le VSST et le OSSTI Meilleure compréhension du synchrosqueezing monogèneI Résultats d’estimation pour le synchrosqueezing, la réallocationI Gérer des ondes non harmoniques

Développements applicatifsI Test des nouvelles méthodes sur des applications réellesI Besoin de détecteurs de ridges efficacesI Nécessité de comparer plus intensivement

Développements logicielsI Monogenic SynchroSqueezing Toolbox : développement et diffusionI Codes efficaces pour l’estimation de ridges


RéférencesAuger, F. and Flandrin, P. (1995).Improving the readability of time-frequency and time-scale representations by the reassignment method.43(5) :1068–1089.

Bovik, A. C., Gopal, N., Emmoth, T., and Restrepo, A. (1992).Localized measurement of emergent image frequencies by gabor wavelets.Information Theory, IEEE Transactions on, 38(2) :691–712.

Daubechies, I., Lu, J., and Wu, H.-T. (2011).Synchrosqueezed wavelet transforms : an empirical mode decomposition-like tool.Applied and computational harmonic analysis, 30(2) :243–261.

Daubechies, I. and Maes, S. (1996).A nonlinear squeezing of the continuous wavelet transform based on auditory nerve models.Wavelets in Medicine and Biology, pages 527–546.

Delprat, N., Escudié, B., Guillemain, P., Kronland-Martinet, R., Tchamitchian, P., and Torrésani, B. (1992).Asymptotic wavelet and Gabor analysis : Extraction of instantaneous frequencies.Information Theory, IEEE Transactions on, 38(2) :644–664.

Felsberg, M. and Sommer, G. (2001).The monogenic signal.49(12) :3136–3144.

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Gonnet, C. and Torresani, B. (1994).Local frequency analysis with two-dimensional wavelet transform.Signal Processing, 37(3) :389–404.

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Kodera, K., De Villedary, C., and Gendrin, R. (1976).A new method for the numerical analysis of non-stationary signals.Physics of the Earth and Planetary Interiors, 12(2) :142–150.

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Wang, S., Chen, X., Cai, G., Chen, B., Li, X., and He, Z. (2013).Matching demodulation transform and synchrosqueezing in time-frequency analysis.


Bibliographie personnelle

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Oberlin, T., Meignen, S., and McLaughlin, S. (2013b).A novel Time-Frequency technique for multicomponent signal denoising.In EUSIPCO’13".

Oberlin, T., Meignen, S., and Perrier, V. (2012a).An alternative formulation for the empirical mode decomposition.IEEE Transactions on Signal Processing, 60(5) :2236–2246.

Oberlin, T., Meignen, S., and Perrier, V. (2012b).On the mode synthesis in the synchrosqueezing method.In EUSIPCO’12.


Merci de votre attention


IntroductionDécomposition Modale EmpiriqueMotivation, définitionsProblèmes théoriques et pratiquesContributions

Ridges temps-fréquence et temps-échelleDéfinitionsÉtat de l'artReconstruction par intégration localePrise en compte de la modulation fréquentielleApplication au débruitage

Synchrosqueezing et réallocationRéallocation et SynchrosqueezingRésultat d'approximationSynchrosqueezing du second ordreRésultats numériques

Synchrosqueezing monogènePosition du problèmeSignal monogèneSynchrosqueezing monogèneIllustrations

Conclusion

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