Analyse de stabilité d'un système de Saint-Venant et étude ...

BABACAR TOUMBOU

ANALYSE DE STABILITÉ D'UN SYSTÈME DE SAINT-VENANT ET ÉTUDE D'UN MODÈLE DE

SÉDIMENTATION

Thèse présentée à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval

dans le cadre du programme de doctorat en mathématiques pour l'obtention du grade de Docteur és sciences (Ph.D)

FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

2009

@babacar toumbou, 2009

11

Résumé Nous faisons dans la première partie de ce document l 'analyse de dispersion d un modèle

linéaire de shallow-water. Notre étude est basée sur l analyse de Fourier. Le schéma tem

porel utilisé est celui d ' Adams-Bashforth à trois pas. La discrétisation en espace est faite

avec les paires d 'éléments finis P1NC - P 1 et RTo . La relat ion de dispersion obtenue

avec chacune de ces deux paires d éléments finis permet de représenter graphiquemen

le module des racines et de faire une étude de stabilité.

Nous présentons dans la deuxième part ie un t héorème d 'existence de solution d un

modèle 2-D de sédimentation couplant un système de Saint -Venant avec une équation de t ransport de sédiments. Cette partie est composée de deux chapitres. Dans le premier

chapitre on établit le modèle couplé. On intègre les équations tridimensionnelles de

Navier-Stokes sur la hauteur de la colonne d'~au tenant compte d 'une bathymétrie

variable en espace et en temps. Ceci nous permet d 'obtenir la partie Saint-Venant du

modèle. Une équation de transport de sédiments relative à la bathymétrie sera couplée au système de Saint-Venant obtenu. Dans le chapitre 4 nous démontrons un t héorème

d 'existence de solution du modèle couplé. La résolution théorique du modèle couplé se

fait en posant le problème dans des espaces de dimension finie. Puis nous résolvons le

problème de dimension finie associé en utilisant un théorème de point fixe de Brouwer.

Enfin, nous montrons que les limites des suites de solutions du problème de dimension

finie satisfont les équations du modèle couplé initial.

Une étude numérique d 'un modèle couplé plus général que celui présenté théorique

ment dans les chapitres 3 et 4 est faite au chapitre 5. les schémas discrets en temps

d'Euler implicite et de Crank Nicholson sont utilisés et trois triplets d 'éléments finis

sont explorés dans cette partie numérique. Il s'agit des triplets suivants: Pl - Pl - Pl '

P2 - Pl - Pl et MINI - Pl·

Abstract

We perform the dispersion analysis of a linear shallow water model in t he first part

of the document . Our study is based on Fourier analysis. We used t he Adams-Bashforth

scheme with three steps as time discretisation scheme. The spacial discret isation is done

with the finite element pairs P[Vc - P1 and RTo . The dispersion relation obtained

with each of these two finite element pairs allows to plot the modulus of each of their

resulting roots. Finally, we compair these two finite element pairs in terms of stability

and spurious modes.

We present in the second part an existence theorem of a 2-D sedimentation model

which couples a Saint-Venant system with a sediment transport equation. This part

contains two chapters. In the first one we establish the coupled model. In fact , we

integrate the 3-D Navier-Stokes equations over the height of the water column taking

into account the bed evolution in space and in time. This allows us to obtain the Saint

Venant part of the model. A sediment transport equation related to the bathymetry

will be coupled with the obtained Saint-Venant system.

In the second chapter we prove an existence theorem of the cou pIed model. To solve

the theoretical model we set the problem in finite dimension al spaces. We use a Brouwer

fix point theorem to obtain a solution of the finite dimension al problem. Consequently,

we show that the limits of the sequences solution of the finite dimensional problem

satisfy the model equations.

A numerical study of a more general coupled model is do ne in chapter 5. An implicite

Euler and a Crank Nicholson temporal discretisatjon schemes are used and three finite

element combinations "are explored. They are Pl - Pl - Pl ' P2 - Pl - Pl and MINI - Pl·

Avant-propos

J 'exprime ma reconnaissance et mes vifs remerciements à mes encadreurs les pro

fesseurs Daniel Le Roux de l 'université Laval du Québec et Abdou Sène de l université

Gaston Berger de Saint-Louis, pour leur disponibilité et leur appui académique constant

à mon endroit durant ma thèse. Je salue leurs conseils et suggestions qu ils m 'ont donnés

pendant ces années. Je remercie mon directeur de thèse le professeur Daniel Le Roux

pour son soutien financier ainsi que l'Agence Universitaire de la Francophonie (AUF)

qui m'a accordé une bourse de formation à la recherche de 2004 à 2007.

Je tiens également à remercier le directeur du département de mathématiques et de

statistique de l'université Laval le professeur Roger Pierre, le directeur du Laboratoire

d 'Analyse Numérique et Informatique (LANI) le Professeur Mary Teuw Niane qui est

aussi le Recteur de l 'université Gaston Berger de Saint-Louis et le directeur du Groupe

Interdisciplinaire de Recherche en Éléments Finis (G IREF) le professeur André Fortin,

pour m'avoir accepté au sein de leur laboratoire ~

Je réserve un remerciement particulier à ma femme Fatou Fall et à mon ami Zanin

Kavazovic qui n'ont cessé de m'encourager, de m'assister dans les moments les plus

difficiles. Je leur marque mon estime et mon profond respect.

Je confonds dans ces mêmes remerciements les membres du LANI, du GIREF, tous

mes amis, mes promotionnaires, mes parents, mes frères et soeurs.

Je remercie mes parents qui ont beaucoup fait pour moi et qui continuent de me

·soutenir dans tous les domaines. Ces remerciements sont formulés à l 'endroit de ma

belle famille pour la confiance et le respect qu 'elle voue à ma modeste personne. Je leur

exprime toute ma satisfaction.

Dédicaces

À mes parents

À ma femme

À ma f amille

À mes amis

Table des matières

Résumé ii

Abstract iii

Avant-Propos iv

Liste des tableaux viii

Table des figures ix

1 Introduction 1

1 ANALYSE DE STABILITÉ 6

2 Stability analysis of AB3 scheme for P-fc - Pl and RTo - Po in SW 7 2.1 Introduction. .................... 7

2.2 The continuous model and its exact free solutions. 9

2.3 The discrete model. . . . . . . 10 2.3.1 Time discretization ... . ......... .

2.3.2 Spatial discretization ............ .

2.4 Computation of the discrete dispersion relations ..

2.4.1 The P-fc - Pl pair. .... .

2.4.2 The RTo - Po pair. .... .

2.5 Analysis of the dispersion relations.

2.5.1 The P-fC - Pl case.

2.5.2 The RTo - Po case. "2.6 Conclusion. ........ .

II ÉTUDE THÉORIQUE

3 Établissement du modèle couplé

3.1 Passage de Navier-St okes à Saint-Venant

10

Il

16

17

22

25

26

28

28

31

32

33

vii

3.1.1 Intégration de l'équation de continuité .. '. . . . . . . . . . .. 33

3.1.2 Intégration de l'équation de conservation de la quantité de mou-

vement ...... .

3.2 Estimations préliminaires

4 Résultats théoriques d'existence du modèle couplé 4.1 Théorème d 'existence ................ .

4.1 .1 Estimations...................

,4.1.2 Passage à la limite dans les équations de conservation

4.1.3 Résolution du problème de dimension finie

4.1.4 Positivité de hn et de Hn . . . . . . . . .

4.1.5 Démonstration du théorème d existence. 4. 2 Conclusion.....................

III ÉTUDE NUMÉRIQUE

5 Étude numérique du modèle couplé 5 .1 Introduction..........

5.2 Formulation faible du modèle .. .

5.3 Tests Numériques ......... .

5.4 Modèle numérique avec Euler Implicite

5.4.1 Cas du P2 - Pl - Pl

5.4.2 Cas du MINI - Pl ...... .

5.4.3 Cas du Pl - Pl - Pl . . . . . . 5.5 Modèle numérique avec Crank Nicholson

5.5.1 Cas du P2 - Pl - Pl

5.5.2 Cas MINI-Pl

5.5.3 Cas du Pl - Pl - Pl 5.6 Comparaison entre Euler Implicite et Crank Nicholson

5.7 Conclusion .

6 Conclusion

Bibliographie

34

37

44 44

46

53

64

68 69

70

71

72 72

74 77

79

79

83 85

86 87

88 89 90 93

95

98

Liste des tableaux

5.1 Erreur pour n = 1 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl· 82

5.2 Erreur pour n = 2 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl· 82

5.3 Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl. 82

5.4 Erreur pour n = 1 avec Euler implicite pour MINI - Pl .. 84

. 5.5 Erreur pour il = 2 avec Euler implicite pour MINI - Pl .. 85

5.6 Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour MINI - Pl .. 85

5.7 Erreur pour n = 1 avec Euler implicite 'pour Pl - Pl - Pl. 86

5.8 Erreur pour n = 2 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl· 86

5.9 Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl. 86

5.10 Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl· 87



5.13 Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl .. 88



5.16 Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl· 89



Table des figures

2.1 Compact support of t he p{"e basis function at node 3. . . . . . . . . . 13

2.2 Compact support of t he RTo basis function at node 3. . . . . . . . . .. 14

2.3 Compact support of t he discrete surface-elevation basis functions ?/Je and velo city basis functions 'P3 'P 4 ' and 'P6 for t he PINe - Pl pair. 1 7

2.4 Compact support of the discrete surface-elevat ion basis functions Çl and

Ç2 ' and velocity basis functions cp 4' CP5 and cPg. . . . . . . . . . . . . .. 22 2.5 The continuous solutions EtN == ei ôtwfN, j == 1, 2, 3, for the p{"e - Pl

pair with ~t == ~tliml == 6.643 s, and the RTo - Po pair with ~t == ~tlim2 == 6.029 s. ............................. . 26

2.6 The discrete solutions IEjl , j == 1, 2, 3, ... , 21 , for the p{"e - Pl pair , with

~tliml == 6.643 sand c == 2 X 10- 2 ~tliml' . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

2.7 The discrete solutions IEjl , j == 1, 2, 3, ... , 15, for the RTo - Po pair , with

~tliml == 6.029 sand c == 2 X 10-2 ~tlim2' . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Schéma montrant la hauteur d 'eau sur une bathymétrie variable. 33

5.1 Conditions au bord pour la vitesse u == (u , v). . . . . . . . . . . 77

5.2 Composante X de la Vitesse Exacte. ................ 79

5.3 À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et à

droite le support des fonctions de base des éléments finis P2 et Pl ' res

pectivement . Les supports sont de 6 triangles pour un sommet intérieur

S pour chacun des deux éléments finis et de 2 triangles pour un noeud

milieu d 'arête A pour P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80

5.4 À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et

à droite le support des fonctions de base de l 'élément fini Pl bull e. Les

supports sont de 6 triangles pour un sommet S et de 1 triangle pour un

noeud barycentre B. 84

Chapitre 1

Introduction

Le modèle linéaire de Saint-Venant (SV) est obtenu par intégration vert icale des

équations tridimentionnelles de Navier-Stokes sous les conditions de Boussinesq et

de pression hydrostatique. Ces équations de SV peuvent représenter plusieurs classes

d 'ondes: les ondes inertie-gravité, les ondes de Kelvin et les ondes planétaires (Rossby)

[9 , 29]. Elles ont été employées pour tester des schémas numériques pour des problèmes

relatifs à l 'environnement parmi lesquels l 'océanographie et l 'atmosphère. Plusieurs ré

sultats théoriques et numériques ont été obtenus dans ce domaine dans les dernières

décennies. En outre, les équations de SV souffrent de modes parasites induits par le

couplage entre les équations de conservation de la quantité de mouvement et celle de

conservation de la masse. Ces modes parasites sont souvent des modes pression, vitesse,

et / ou Coriolis et sont "rencontrés dans la plupart des schémas de différences finies et

dans les formulations de Galerkin. Ils sont principalement induits par un placement

inapproprié des variables sur le maillage · et/ou par un mauvais choix des espaces des

fonctions d'approximations [1, 2, 3, 18, 19, 30, 33, 34, 40, 41 , 42, 44]. Pour pallier à ce

problème, une analyse de dispersion est introduite pour détecter ces modes et en déter

miner la forme. Une telle analyse a été élaborée, principalement en éléments finis, tant

sur les maillages uniformes [18 , 19,41] que sur les maillages non structurés [4 , Il , 33].

Cette analyse de dispersiqn est faite , dans toutes les références citées ci-dessus, en sup

posant que le temps est continu. Dans la première partie du document , une expansion

en modes de Fourier plus générale est appliquée sur les variables d 'espace et de temps

dans le cas des ondes de type inertie-gravité. Ce travail peut être considéré comme

une extension de [12] où un modèle 1-D de SV est analysé en utilisant des éléments

finis linéaires en espa,ce et les schémas en temps de Leap fiog et d 'Adams-Bashforth à

deux pas. Ici , les propriétés de stabilité des équations 2-D de SV linéair.es utilisant un

schéma temporel d 'Adams-Bashforth à trois pas et les paires d'éléments finis pre - Pl

et RTo - Po sont analysées. À cette fin nous avons résolu des polynômes de degré 21

Chapitre 1. Introduction 2

et 15, respectivement, dont les coefficients sont des expressions très complexes incluant

des centaines de milliers de termes, et plusieurs paramètres.

Le but de ce travail est de s'assurer que les discrétisations en espace et en temps

employées sont stables. La simulation de la plupart des problèmes physiques en environ

nement nécessite généralement des temps de simulation très longs. On souhaiterait donc

pouvoir utiliser un modèle explicite en temps qui permette de calculer les solutions du

modèle de SV sans résoudre de système linéaire. De plus on veut un schéma de discréti

sation en temps qui soit stable pour l équation d advection. C 'est pour ces raisons qu 'on

étudie ici le schéma explicite d 'Adams-Bashforth à trois pas. Pour obtenir un schéma

explicite en · espace il suffit d 'utiliser la technique de condensation de masse pour la

matrice masse pression de P-fc ~ Pl et la matrice masse vitesse de RTa - Pa puisque la matrice masse vitesse prc et la matrice masse pression de RTo - Po sont naturellement

diagonales. De plus il a été montré dans [17] que les ondes de gravité et de Rossby sont

peu affectées par la procédure de condensation de masse. Dans la troisième partie de

cette thèse, la partie numérique, le couplage d'un système non linéaire de SV avec une

équation de transport de sédiments n 'est discrétisé qu 'avec des schémas temporels à

un pas : les schémas temporels d'Euler Implicite et de Crank Nicholson. Cependant ,

nous prévoyons d'étendre ce travail en utilisant le schéma explicite d'Adams-Bashforth

à trois pas dans un avenir proche, en se basant sur l'étude de stabilité menée ici.

Après l 'étude analytique effectuée dans la première partie de cette thèse on s 'intéresse

à des aspects plus théoriques en analysant l'existence d'un modèle couplant un système

de SV avec une équation de transport de sédiments. Le système non linéaire de SV est

obtenu p'ar intégration la verticale des équations tridimentionnelles de Navier-Stokes.

Plusieurs résultats théoriques d'existence ont été montrés pour le système de SV. Dans

[28] un théorème d'existence pour un modèle de SV incluant un terme de rotationel est

obtenu. Dans [5], l'existence de solutions faibles globales d 'un problème visqueux de SV

avec un terme de friction est démontrée. L'état de l'art des modèles de sédimentation

dans les rivières est passé en revue dans [43]. Quelques informations sur les problèmes

de sédimentation en ingénierie dans les estuaires et les mers, incluant des modèles de

laboratoire et des modèles numériques sont données dans [32].

Dans [15] , la partie transport de sédiments de notre présent travail est explorée

numériquement. Une équation générale y est établie mais les auteurs ont traité un

cas part'iculier en faisant un choix simplifié des paramètres physiques. Ils ont ainsi

développé une méthode de Galerkin discontinue pour la résolution numérique. D'autres

méthod~s numériques pour des modèles couplés de sédimentation sont développées dans

[25, 27]. Dans [25] une méthode de volumes finis employant un maillage non structuré de

triangles est adoptée alors que dans [27] la discrétisation en espace est faite en ut ilisant


une méthode spectrale basée sur les polynômes de Chebyshev et un schéma implicite

en te.mps est considéré.

En utilisant une approche consistant à considérer un mélange fluide-solide Bürger

[7] a adopté un modèle bidimensionnel de sédimentation. Il a obtenu des résultats t héo

riques pour le modèle 1-D. Dans [7] les équations de conservation de la masse et de

conservation de la quantité de mouvement sont données pour la partie fluide et pour la

partie solide du modèle. Une variable cP représentant la fraction de volume de la partie

solide est introduite et le couplage est obtenu en prenant comme fraction de volume du

fluide 1 - cP.

Cependant , le couplage entre un système de SV et une équation de transport de sédiments est un domaine de la recherche où des résultats théoriques d existence de solution

sont presque inexistants. Dans cette étude, nous èouplons un système de SV avec une

équation de transport de sédiments. La partie SV de notre modèle est obtenu en in

tégrant les équations tridimentionnelles de Navier-Stokes sur la hauteur de la colonne

d 'eau en tenant compte de la variation du fond (le fond est représenté par une fonction

scalaire qui dépend du temps et de l'espace).

Nous travaillons dans la suite avec la forme non conservative décrite ci-dessous

à(T}à~ ç-) + V . (hu) = 0, (1.1)

au Cl 1 -a + u· \lu + -ez x u == -g\l'T] + -h (Ts - Tf) + v\l . (\lu). (1.2) t P P

Ce choix repose sur le fait que nous àurons à utiliser la méthode des éléments finis pour

la résolution numérique de notre système couplé.

Nous allons réécrire autrement la forme non conservative (1.1) - (1.2). En effet , grâce

à la relation h == Hl + 'T] - ç où Hl est une constante réelle indépendante de x et de

t, nous avons ('T] - ç)t == ht == ~~. On suppose que Tf et Ts sont négligeables devant

les autres termes de l'équation de conservation de la quantité de mouvement (1.2). On

ajoute une source notée f dans le second membre de (1.2).


La partie SV est décrite ci-après

ht + \7 . (hu) == 0 dans Q == Ox ]0, T[ , (1.3)

C glui Ut + (u· \7)u + g\7(h - H) - v~u + ~k!\ u + c2 ~h u + c3u == f (1.4)

P c

u == 0 sur aox ]0, T[ , (1.5)

h(O) == ho dans 0 , u(O) == Uo dans 0 (1.6)

où h(x t) est la hauteur de la colonne d eau, H(x t) décrit l évolution du fond , comme

le montre la figure 3.1. La vitesse de l 'écoulement est u == (u v) f est la résultante des

force extérieures, v est le coefficient de viscosité, g est l'accélération de la gravitat ion

et T est un nombre réel strictement positif. Les constantes Cl ' C, C2 et c3 représentent

respectivement la force de Coriolis, le coefficient de Chézy et les coefficients de frict ion

non linéaire et linéaire. D'autre part, pour l'équation de transport de' sédiments, nous

partons du modèle général suivant décrit dans [15]

çt + \7 . (Aluln-Iu) == 0 dans Q. (1. 7)

Dans l'équation (1.7) , nous commençons par prendre n == 1 et A == h(x , t). Notons que

dans [15], le modèle (1.7) est résolu numériquement avec n == 1 et A constante. En

plus, les' auteurs n'ont pas développé de résultat théorique dans [15]. Nous comptons

appliquer le modèle numérique, couplage entre le système de SV et une équation de

transport de sédiments, dans des lacs (comme le lac de Guiers au Sénégal) et dans des

océans. De ce fait, nous supposons que TJ « H et I\7TJI « 1\7 HI. Rappelons que ces

hypothèses sont valables dans des modèles de lac et d 'océan. Ave~ ces hypothèses, nous

sommes en mesure de prendre A == H(x, t). Ce qui revient à remplacer A par H(x , t) dans (1.7). Par ailleurs, nous avons que .la somme H (x, t) + ç (x, t) est une constante

qui ne dépend ni de l'espace, ni du temps. De ce fait, çt == - Ht . Au regard de toutes

ces considérations, l'équation (1.7) devient

Ht - \7 . (Hu) == 0 dans Q,

avec H(O) == Ho dans O.

(1.8)

(1.9)

Le système (1.8) - (1.9) est ainsi notre partie transport de sédiments que nous couplons

avec celui de SV (1.3) - (1.6) pour obtenir le modèle couplé (1.3) - (1.6) et (1.8) - (1.9)

que nous étudions dans cette présente thèse.

Une étude numérique d'un modèle plus général que celui .considéré dans la partie théorique est faite dans la dernière partie du document. A cet effet , une discrétisation en


espace et en temps s 'impose. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour la dis

crétisation en espace. L'idée d 'utiliser la méthode des éléments finis se justifie par le

fait que cette méthode est devenue très populaire depuis les dernières décennies et se

voit plus adaptée que celle des différences finies surtout pour des modèles non linéaires.

Notons cependant que d 'autres méthodes de discrétisation en espace telles que les vo

lumes finies et Galerkin discontinues peuvent être litilisées. Étant donné que le système

de SV que nous utilisons est non conservatif, la méthode des volumes finies qui 'est une

méthode conservative, n'est pas àdaptée à notre modèle car elle ne s applique que sur

des systèmes conservatifs. Précisons q~e les méthodes de volumes finis et de Galerkin

discontinue intègrent le calcul des flux sur les faces des éléments en utilisant le saut

des inconnues sur chaque face. Notre étude étant effectuée sur les triplets d éléments

finis Pl - Pl - Pl ' P2 - Pl - Pl et MINI - Pl dont chacun est composé d 'espaces d 'éléments finis continus, il n 'est donc pas nécessaire d adopter une méthode

discontinue étant donné que les flux sur les inter-éléments sont nuls. Par conséquent

nous utilisons la méthode des éléments finis continus pour la discrétisation en espace.

Notre triplet d'inconnues est dans cet ordre la vitesse de l 'écoulement , la hauteur de la

colonne d'eau et l'épaisseur de la couche de sédiments noté par (u, h, H). Les schémas

temporels utilisés sont ceux d'Euler implicite et de Crank Nicholson. Ces deux schémas

en temps sont ch~isis pour leur caractère implicite permettant d'utiliser un plus grand

pas de temps que les schémas explicites, mais il a fallu résoudre un système linéaire

coûteux en temps de calcul.

Dans cette partie du document nous faisons un test numerlque utilisant un pas de

temps fixe. Pour certains tests de validation on peut adopter un pas de temps variable

pour réduire le temps de calcul. Dans ce cas, le pas de temps est allongé dans des zones

où la solution ne varie presque pas (zones planes par exemple). Dans d'autres cas, le pas

de temps variable est utilisé pour des modèles localement instables. Le pas de temps

est donc diminué à une échelle qui permettra d' 0 btenir une meilleure précision dans ces

zones instables.

Notre test consiste à fournir une solution exacte du modèle couplé. On calcule donc

les seconds membres de chaque équation du système avec Maple en utilisant cette solu

tion exacte. Ensuite, on 'développe un code à l'aide de MEF++ (Méthode des Eléments

Finis en C++) puis on se sert du logiciel Vu pour la visualisation des composantes de la

solution. Enfin, une analyse d'erreur est faite pour comparer Euler implicite et Crank

Nicholson.

Première partie

ANALYSE DE STABILITÉ

6 ·

--~~~----------------------

Chapitre 2

Stability analysis of AB3 scheme for prc - Pl and RTo - Po in SW

2.1 Introduction.

The shallow-water (SW) model is derived from the Navier-Stokes equations by verti

~al integration under Boussinesq and hydrostatic pressure assumptions. This simplified

set of equations retains much of the dynamical complexity of three-dimensional flows on

the rotating Earth and it can represent several classes of wave motions: inertia-gravity,

Kelvin and planetary (Rossby) waves [9 , 29]. The SW model has thus been employed

to test numerical schemes (as a prototype of the primitive equations) for a variety of

problems of coastal and environmental engineering, including oceanic, atmospheric and

groundwater flows. A number of theoretical and numerical results have been obtained

in thisarea in the past few decades.

As fot the primitive system, the SW model suffers from spurious solutions than

usually arise due to the coupling between the momentum and continuity equations.

The spurious modes usually take the form of surface-elevation, velocity, and/or Coriolis

modes. They are small-scale artifacts introduced by thè spatial discretization scheme

which do not propagate but are trapped within the model grid, leading to noisy solu

tions. Their appearance is encountered in most of finite-difference (FD) and Galerkin

formulations and is mainly due to an inappropriate placement of variables on the grid

·and/or a bad choice of approximation function spaces [1 , 2, 3, 18, 19, 30, 33, 34, 40, 41,

42, 44].

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for p{'c - Pl and RTo - Po in SW 8

In the past few years, the Galerkin type methods have appeared to be promising

alternatives to classical FD schemes for river, costal and ocean modelling. lndeed trian

gular elements offer the enhanced flexibility of using grids of variable sizes shapes and

orientation for representing the boundaries of complex domains and a natural treatment

of boundary conditions. In or der to select appropriate spatial discret~zation schemes

dispersion analysis have been performed to ascertain the presence and determine the

form of spurious modes as weIl as the dispersive nature of the Galerkin mixed formula

tion of the 2-D linearized SW equations.

Such analysis have been conducted on both uniform. [18, 19, 41] and unstructured

meshes [4 , Il , 33] and mainly for finite element (FE) discretization schemes. They illus

trate how phase and group velocity can help in the selection of a spatial discretization

scheme. In particular, the p{'c - Pl and RTo - Po pairs have been identified as a pro

mising compromise for the discretization of the inviscid linear SW equations, provided

the grid resolution is high relative to the Rossby radius of deformation for the RTo - Po scheme [19].

In [17] it is found that the p{'c - Pl and RTo - Po FE schemes are mostly unaffected

by mass lumping as far as the propagation of gravit y waves is concerned. Only the

modes with a wavelength sm aller than 4h are slowed down by the numerical schemes

while the others remain mostly unaffected. For the propagation of Rossby waves, the

dispersion errors due to mass lumping remain small for these pairs, with the exception

of the smallest wavelength, on both regular and unstructured meshes. The RTo - Po

and p{'c - Pl pairs can thus be advantageously lumped in SW simulations without

sacrificing the model 's accuracy and dispersion properties, for sufficiently fine resolution.

Because the p{'c basis functions are orthogonal, and the surface elevation is constant

for the RTo - Po pair, the lumping only needs to be performed for the continuity and

momentum equations for the p{'c - Pl and RTo - Po pairs, respectively. The resulting

model would then combine the advantages of both fast and simple FD schemes, and

unstructured and flexible FE ones.

The above analysis have been performed by assuming time is continuous. In the

present study, a Fourier expansion is conducted more generally for the space and time

variables in the case of the inertia-gravity waves. This work can also be considered as an

extension of [12] where the 1-D SW model is analysed using linear finite elements and

the Leap frog and second order Adams-Bashforth time discretization schemes. Here, the

stability properties of the 2-D linear SW discretized equations employing the explicit

third or der Adams-Bashforth time stepping scheme and the p{'c - Pl and RTo - Po FE

pairs are analysed. The third order explicit Adams-Bashforth scheme allows to compute

the solution of the SW model without solving a linear system; and it is employed here

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for Pt'c - Pl and RTo - Po in SW 9

in the purpose of using the mass lumping procedure described above. However, the

lumping is not performed in the present analytical study to keep it more general.

The paper is organized as follows. The linear SW equations and the exact free

solutions are presented in Section 2.2. The discrete model , including the time and

space discretizations procedures are obtained in Section 2.3. The computation of the

discrete dispersion relations is performed in Section 2.4 and the results are analysed in

Section 2.5. Some concluding remarks complete the study.

2.2 The continuous model and its exact free solu

tions.

Let 0 be the model domain 'Yith boundary r === an and T a positive real number.

The inviscid linear SW equations are expressed in Cartesian coordinates [16] as

Ut + fk 1\ U + TU + 9 "V 'r}

'r}t + H"V . U

0,

0 ,

(2.1)

(2.2)

where U === (u , v) is the velocity field and 'r} is the surface elevation with respect to the

reference level z === o. The Coriolis parameter f, the bottom friction coefficient T , the

gravitational acceleration 9 and the mean depth H are assumed constant. Note that 'r}

would be the pressure in the Navier- Stokes system. The term k 1\ U === (-v, u) is the

cross product between k, the unit vector in the vertical direction, and u. In this study,

periodic or no normal fiow (u . n === 0) boundary conditions are assumed.

The free modes of (2.1)- (2.2) are examined by perturbing about the basic state

u === v === 'r} === O. Because the governing equations are linear, with constant coefficients,

the solution may be examined by considering the behavior of one Fourier mode. The

velocity field u and the surface elevation 'r} are written as

u === û ei(wt+k x+l y) , 'r} === fj ei(w t+k x+l y) , (2.3)

where û and fj are the amplitudes, w is the angular frequency, and k and l are the wave

numbers in the x- and y-directions, respectively.

Substitution of (2.3) into (2.1) and (2.2) leads to the following system for the am-

- --- ------------,

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for prc - Pl and RTo - Po in SW 10

plitudes iw +7 -1 ig-k û

1 iw +7 igl V == o. (2.4)

iHk iHI 'lW f}

For a nontrivial solution to exist the determinant of the matrix in the left hand si de

(LHS) of (2.4) must vanish. This leads to the so-called dispersion relation

Solving (2.5) leads to three solutions for the frequency. The first one is the geostro

phic mode, and it would correspond to the slow Rossby mode on a jJ-plane while the other two solutions correspond to the free-surface gravitational modes with rotational

correction. These three solut ions are denoted by wtN, j == 1 2, 3.

2.3 The discrete model.

The discretization of (2.1) and (2.2) is now performed in t ime and space in sec

tions 2.3.1 and 2.3.2, respectively. The third or der Adams-Bashforth time stepping

scheme is used in section 2.3.1 and the FE method is employed in section 2.3.2 with

the prc - Pl and RTo - Po pairs.

2.3.1 Time discretization.

Equations (2.1) and (2.2) are rewritten on t he form

~(t) == F(t , Y) , (2 .6)

where

with F2 (t, Y) == H\7· u .

For a given t ime step ~t == tn+ l - tn , the discretization of (2.6) using the third order

Adams-Bashforth scheme is of the form

(2.7)

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pte - Pl and RTo - Po in SW Il

where yn and Fn are approximations of Y(tn) and F(tn, Y(tn)) respectively. Equa

tion (2.7) leads to

u n+l = un + ~t (_ 23 F n + 16 F n- l - 5 F n- 2) 12 III (2.8)

'lln+l = 'lln + ~t ( _ 23 p,n + 16 p,n-l _ 5 p,n-2) . " "12 2 2 2 (2.9)

Because (2.8) and (2.9) are linear equations with constant coefficients, we seek periodic solutions of the form

'Tl n = 'Tl ( x) e iwtn

) n = 1, 2, 3 , ... , (2.10)

where u( x) and 'r}( x) are the amplitudes of the velocity field and surface elevation

respectively, with x = (x,y), and tn = nb.t. By inserting the Fourier expansions (2.10)

into (2.8) and (2.9) , we obtain

where

~t ~t a u - f- a k 1\ u -: 9 - ri \7'11 = 0

3 12 2 12 2', ,

~t al 'Tl - H - a2 \7 . u = 0,

12

We now perform the spatial discretization using the Galerkin FE method.

2.3.2 Spatial discretization.

(2.11 )

(2.12)

We first introduce the weak formulation, then describe the two FE pairs that are employed in this study, i.e. the pfc - Pl and RTo - Po pairs, and finally present the

Galerkin FE discretization using these pairs.

The weak formulation.

Two weak formulations are proposed in the sequel to correspond with the two FE pairs employed here and described in section 2.3.2.

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pte - Pl and RTo - Po in SW 12

Formulation 1. Let 'TJ be in a subspace C of HI(n) and let each component of t he

velocity field belong to a subspace V of L 2 (n). We multiply (2.11) and (2.12) by test

functions cp( x) and 1jJ ( x) belonging to V 2 and C, respectively, and we integrate over

the domain n to obtain

a3 ru. cpdx - fÉlt a2 r (k /\ u)· cpdx - 9 Élt a2 r \7T)' cpdx = 0 ln 12 ln 12 ln

al r T) 'lj; dx- H Élt a2 r \7. u 'lj; dx = o. ln 12 ln

The second term in the LHS of (2.15) is integrated by parts. It yields to

1 !1t 1 · !1t lr al 'TJ 1jJ dx + H - a2 u . \l1jJ dx - H - a2 u . n 1jJ dO" == O. n 12 n 12 r

(2.14)

(2.15)

(2.16)

By applying the boundary conditions used in this paper, the boundary term cancels

in (2.16) and we obtain

al r T) 'lj; dx + H Élt a2 ru. \7'lj; dx = o. ln 12 ln (2.17)

Formulation 2. Let u belongs to W , a subspace of H(div , 0) , and 'TJ belongs to Q, a subspace of L2(n). The functional space H(div , n) is the space of functions belonging

to (L2(n))2 whose divergence belongs to L2(n). The weak formulation is obta~ned by

multiplying (2.11) and (2.12) by test functions ljJ(x) and ç(x) belonging to W and Q, respectively, and by integrating over the domain

a3 ru. 4>dx - fÉlt a2 r (k /\ u) . 4>dx - 9 Élt a2 r \7T)' 4>dx = 0, (2.18) ln 12 ln 12 ln

al r T) ç dx - H Élt a2 r \7. u ç dx = O. (2.19) ln 12 ln

Here, the third term in the LHS of (2.18) is integrated by parts and the boundary

integral vanishes due to the boundary condition assumption. This leads to

1 !1t 1 !1t 1 . a3 u . ljJ dx - f - a2 (k 1\ u) . ljJ dx + 9 - a2 'TJ \l . ljJ dx == o. (2.20) n 12 n 12 n

The finit~-element pairs.

We now describe the two FE pairs which are employed in this study, namely the

pte - Pl and RTo - Po pairs. Conventional FE terminology is adopted and the nomen

clature Pm - Pn means that velocity components and surface elevation are, respectively

represented as piecewise-defined polynomials of degree m and n.

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl and RTo - Po in SW 13

The pre - Pl pair. The pre FE [8 , 14, 37] has velocity nodes at triangle midedge

points, and those are represented by the symbol • in Figure 2.1. Linear basis functions

are used to approximate the two velo city components on the element s two-triangle

support. For example, the compact support of the pre linear basis function at node 3

in Figure 2.1 , is made up of triangles KI == (A D , C) and K 2 == (A C, B). The basis

function is zero outside the support triangles ADC and ACB and discontinuous along

si des AB, BC AD, and DC. It takes the values 1 at node 3 and along the tFiangle side

AC, 0 at velocity rlodes 1, 2, 4 5, and -1 at surface-elevation nodes Band D. Since

this particular representatioÏl of velocity is only continuous across triangle boundaries

at midedge points, and discontinuous everywhere else around a triangle boundary, this

element is termed nonconforming (N C) in the FE literature. Standard piecewise linear continuous basis functions (Pl) are used to approximate the surface elevation at triangle

vertices (represented by the symbol 0 in Fig~re 2.1).

A 5 B

2 4

D c

FIG. 2.1 - Compact support of the pre basis function at node 3.

The x- or y-component of the pre basis function <p( x) are denoted cp( x) , while

1jJ (x) refers to the linear continuous Pl basis function. Over a given triangle K we have

the following relation between cp (x) and 1jJ (x)

CPp == 1 - 21jJs'

if p is the midedge velocity node of K facing the surface elevation vertex s of K. For

example, in Figure 2.1 we have CP3 == 1 - 21jJD on KI an~ CP3 == 1 - 21jJB on K 2 ·

An useful property of the pre element is that the velocity mass matrix is diagonal,

due ta the orthogonality property of the pre basis functions. This leads to

1 Aq CPpCPq dO == -8pq ,

n 3 (2.21 )

where Aq is the area of the support ofcpq and 6pq is the Kro~ecker delta. For example,

on KI we have

L, <Pi 2 dx = ~1 , for i = 1, 2, 3, and JK

I

<P3 <Pi dx = 0, for i = 1 2.

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for prc - Pl and RTo - Po in SW 14

The velocity and Coriolis mass matrices are t hus diagonal, a desirable and unusual

property of t he FE method t hat greatly enhances comput at ional efficiency. Finally

anot her property of t he prc basis functions

(2.22)

simplifes t he calculation of the integrals in t he sequel.

The RTo - Po pair. This lowest-order Raviart-Thomas element [31] is based on flux

conservation on element edges and has normal velocity components at t riangle midedge

points . The velocity RTo basis functions are piecewise linear and t hey are defined wit h respect t o t he orientation of t he chosen normal vector n t o t he faces .

n A B

5 K 2 0

n n n 2 3 4

0

D KI n C

FIG. 2.2 - Compact support of the RTo basis function at node 3.

For instance, in Figure 2.2 , the expression of the velocity basis funct ion 4J3 is

X-XD if x E KI ' 2meas(KI) ,

4J3(X) = X -xB if x E K2 ' (2.23)

2meas(K2) ,

0 ot herwise,

where XD and X B are the coordinates of the points D and B , respectively. Finally, the

RTo - Po pair has a piecewise-constant representat ion of surface elevation.

Galerkin finite-element discretizations.

The Galerkin method approximates the solut ion of (2.14) (2.17) and (2.19)-(2.20) respectively, in finite dimensional sûbspaces. Consider a FE t riangulation ~, of t he

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for plNe - Pl and RTo - Po in SW 15

polygonal domain 0 , where h is a representative meshlength parameter that measures

resolution. For the' purposes of the following analysis , it suffices that we consider a

uniform mesh made up of biased right triangles as in Figures 2.1 and 2.2 and h is thus

taken as a constant in the x- and y-directions.

For the pte - Pl pair we denote by Vh and Ch the finite-dimensional -subspaces

of V and C, respectively. The discrete solution u h belongs to the finite-dimensional

subspace Vh x Vh defined to be the set of functions u h whose restriction on a triangle K of ~ belongs to Pl (K) X Pl (K), with u h being continuous only at the midpoint of each face of ~ and Pl (K) denotes the set of polynomials of degree one defined on triangle

K. The discrete solution rJh belongs to the finite-dimensional subspace Ch defined to

be the set of functions 'rJh whose restriction on a triangle K of ~ belongs. to Pl (K).

We then expand the velocity field u h = (uh , vh ) and the surface elevation rJh over a

triangle K with respect to the linear basis functions CPi and 'lfJj belonging to Vh and Ch

respectively,

U h = L UiCPi, .

iEIK

rJh = L rJj'lfJj , jEJK

(2.24 )

where 1 K and J K denote the sets of midside nodes and vertices of K, respectively. We

replace 'lfJ EC and <.p E V x V by the corresponding FE test functions 'lfJh E Ch and

<.ph E Vh X Vh in (2.14) and (2.17), respectively, and we obtain

(2.25)

(2.26)

where Uh and rJh are defined in (2.24).

For RTo - Po pair, let Wh and Qh be the finite-dimensional subspaces of W and Q, respectively. The discrete solution uh belongs to the finite-dimensional subspace Wh

defined to be the set of functions Uh whose restriction on a triangle K of ~ belongs to

the Ravi art-Thomas vector FE space of lowest order

where Po(K) denotes the set of piecewise constant polynomials on triangle K. The

nodal values of the RTo velocity field are located at the midpoint of each face. For a

--- -- ------------- --

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for PINC - Pl and RTo - Po in SW 16

midpoint node i located at face ei , this nodal value named Ji ' is defined as

(2.27)

and Ji is weIl defined since U h . n is continuous at the face ei.

The discrete solution TJh belongs to the finite-dimensional subspace Q h defined to

be the set of functions TJh whose restriction on a triangle K of ~ belong to Po (K) and

its nodal values are located at th~ barycenter of each triangle K of ~. The discrete

velocity field and surface elevation are expanded over each triangle K of ~ with respect

to the basis functions CPi and çj belonging to Wh and Q h respectively

U h == L JiCPi (2.28) i EIK

where 1 K and BK denote the set of midside nodes and barycenters of K , respectively. By replacing ç E Q and cp E W by the corresponding FE test functions Çh E Qh and CPh E Wh in (2.19) and (2.20), respectively, we obtain the discrete formulation

(2.29)

(2.30)

where U h and TJh are defined in (2.28).

We now compute the discrete dispersion relations.

2.4 Computation of the discrete dispersion relations.

The discrete dispersion relations are obtained for the p['c - Pl and RTo - Po in sections 2.4.1 and 2.4.2, respectively, and the dispersion analysis is performed in

section 2.5.

As previously mentioned, the following analysis will co:qsider a uniform mesh made

up of biased right triangles, and h is thus taken as a constant in the x- and y-directions.

Because nodal unknowns may be located on different types of nodes i.e. vertices faces

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for PINC - Pl and RTo - Po in SW 17

and barycenters, selected discrete equations for each type of node have to be retained.

The p['c - Pl and RTo - Po pairs lead to considering three discrete momentum equations

at the three possible types of faces, Le. , horizontal, vertical , and diagonal (written as

H , V , and D , respectively, in the following). Only one discrete continuity equation

is considered for the p['c - Pl pair at a typical vertex node (written as S in the

following) , while two discrete equations are needed for the RTo - Po pair to take into

account the two possible types of barycenters (corresponding to lower left and upper

right triangles). For the two pairs the typical nodes belonging to the same set (vertices

faces , and barycenters) are hence distributed on a regular grid of size h.

2.4.1 The pre - Pl pair.

In this section we employ (2.25) and (2.26) to compute the discrete dispersion rela

tion. The velocity and surface-elevation node locations are shown in Figure 2.3.

G 12 F

A B

FIG. 2.3 - Compact support of the discrete surface-elevation basis functions rzPc, and

velocity basis functions 'P3' 'P 4' and 'P6 for the p['c - Pl pair.

At the surface-elevation node C , for rzPh == rzPc, (2.25) becomes

(2.31 )

Since the compact support of the basis function rzPc is made up of the six surrounding

triangles containing the vertexC, equation (2.31) becomes

(2.32)

where triangles Kj ' j == 1, ... ; 6 are shown in Figure 2.3.

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl an-d RTo - Po in SW 18

We first evaluate t he t erm r 'TJh ?/Je dx. by expanding 'TJh over KI as JK I

and using (2.33) we obt ain

r TJh ?/Je dx ~ TJA r ?/J A ?/Je dx + TJD r ?/JD ?/Je dx + TJe r ~ dx . JKI JK I JKI

JKI

To evaluate each integral in (2.34), we employ the following formula

r m eas(K) ( ) JK p(x)dx = 3 p(Sd + P(S13) + P(S23 )

(2.33)

(2.34)

(2.35)

where K being a given triangle and 512 , 513 , 523 are the midpoint nodes at t he three faces of K. P2 (K) denotes the space of polynomials of degree less t han 2 or equal to

2 defined over K. The formula (2.35) is exact for polynomials belonging to P2 (K ) and defined over K , and since ?/Jj ' j ~ A , B , C, ... , belongs to Pl (K) , using (2.35) we obtain

J, m eas(K1) ( ) -TJh ?/Je dx ~ TJA + TJD + 2 TJe .

KI 12

Because aIl the triangles K of ~ are identical we denote by m eas(K) triangle area, and hence (2.36) reads

L, 7]h 'l/Jc dx = ~: (7]A + 7]D + 2 7]c ),

then by summing the integrals over the compact support of ?/Je we obtain

We now compute the term ln Uh • \l'I/Jc dx written as

r r 8?/Je r 8?/Je Jo u h . \l?/Jc dx ~ Jo uh 8x dx + Jo vh 8y dx.

In order to evaluate the first term in the right hand side (RHS) of (2.39)

r 8?/Je ~ r 8?/Je Jf U h -8 dx == ~ Jf U h T dx , o x j=l Kj X

(2.36)

h2 /2 t he

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

we expand U h over each triangle Kj ' j == 1, ... , 6. For instance over KI we have

(2.41 )


Since 'l/Jc belongs to Pl (K) , the derivatives atxc and atyC are constant over a given

triangle K , and for example, over KI we have

o 7j;c 1 YD ~ YA

ax KI = 2 m eas(KI) (2.42)

a'l/Jc x D - xA

oY IKI = ~ 2 m eas(KI) . (2.43)

By using (2.35) and (2.42) , we obtain

r a'l/Jc h Jn u h ax dx = "6 (u2 + u 3 + ug + u8 + 2 u6 - u4 - u 5 - u IO - U II - 2 u7 ) · (2.44)

In a similar manner , we use (2.35) and (2.43) and get

1 a'l/Jc h . Vh -a dx= -(V6 +V2 +V4 +VI +2V3-V7-VII-V9-VI2-2 vIO)'

n y 6 (2.45)

By adding (2.44) and (2.45) , equation (2.39) is rewritten as

ln Uh·\l7j;C dx = ~(U2+U3+U9+U8+2U6~U4~U5~UlO~Ull ~2u7 +v6 + v2 + v4 + VI + 2 v3 - v7 - VII - vg - V12 - 2 vIO )·

Thus , equation (2.31) finally leads to

al (flA + flD + flB + flE + flF + flG + 6 flc )

~t . + H a2 6h (u 2 + u3 + ug + u8 + 2 u6 - u4 - u5 - u10 - U II - 2 u7 )

, ~t +H a2 6h (v6 + v2 + v4 + VI + 2v3 - v7 - VII - vg - Vl2 - 2v10 ) = O. (2.46)

In order to compute the discrete momentum equations at nodes 3, 4 and 6, lying on

. vertical, diagonal and horizontal faces , respectively, equation (2.26) is rewritten in the

x- (with 'Ph = ('Ph' 0)) and y (with 'Ph = (O,'Ph)) directions as

L (a3 r Uh (f!h dx + fllt a2 r vhl.fJh dx ~ g llt a2 r °a'rJh 'Ph dX) = 0,(2.47) JK 12 JK 12 JK x KETh

L (a31 Vhl.fJh dx ~ fllt a21 Uhl.fJhdx ~ g llt a2 J, ~flhl.fJhdX) = 0.(2.48) KET

h K 12 K 12 K Y

Equations (2.47) and (2.48) are then evaluated at velocity nodes 3, 4 and 6 by replacing

the pfc test function 'Ph by 'Pi' i = 3, 4, 6, and expanding u h and 'rJh over each triangle

of the compact support of 'Pi' i = 3 4 6. We then obtain the six following discrete

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pfe - Pl and RTo - Po in SW 20

momentum equations at nodes 3, 4 and 6

L (a3 r Uhi{J3 dx + j b.t a2 r Vh i{J3 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lxh <P3 dX) ' = 0 (2.49) i=12 JK i 12 JKi 12 JKi

L (a3 r v h i{J3 dx ~ jb.t a 2 r Uhi{J3 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lh <p3 dX) = 0 (2.50) i=12 JK i 12 JK i . 12 JK i y

L (a3 r Uhi{J4 dx + jb.t a 2 r Vh i{J4 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lXh <p4 dX) = 0 (2.51 ) i=2,3 JKi 12 JK i 12 JK i

L (a3 r Vh i{J4 dx ~ jb.t a 2 r Uhi{J4 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lh <p4 dX) = 0 (2.52)

i=2,3 JKi 12 JKi 12 JKi y

L (a3 r u hi{J6 dx + jb.t a 2 r v h i{J6 dx ~ 9 fit a 2 r 8aT)h <P6 dX) = 0 (2.53) i= l ,6 lKi 12 lKi 12 lKi x

L (a3 r Vh i{J6 dx ~ j b., t a 2 r u hi{J6 dx ~ 9 b.t a2 r 8a"lh <P6 dX) = O. (2.54) i=1 ,6 JK i 12 JK i 12 JK i y

We first compute each term in (2.49). The discrete velo city and surface elevat ion are

expanded over KI and K2 ' (see Figure 2.3) as

U~ = U2<P2 + U3<P3 + U6<P6 , "lh = "lA'l/J A + "le 'l/Je + "lD 'l/JD;

U~ = U l <Pl + U3<P3 + U4<P4 , "l~ 7= "lA 'l/J A + "lB 'l/JB + "le 'l/Je ,

(2.55)

(2.56)

where u~ and "l~ refer to the discrete velocity and surface-elevation expansions over K i

i = 1, 2, respectively. We then obtain

(2.57)

The evaluation of the third term in the LHS of (2.49) leads to

(2.58)

(2.59)

Moreover,

(2.60)

Again, employing (2.35) and (2.42) 'leads to

(aTJh h ) lK

2

8x i{J3 dx = 6(1]B ~ 1]A . (2 .61 )


Hence, we have

By combining (2.57) and (2.62) equation (2.49) reads

f ~t 9 ~t a3 u 3 + 12 a2 v3 - 24h a2 (rJB - TJA + rJe - rJD) == O.

The same 'procedure allows us to evaluate (2.50)-(2.54) and this leads to

f ~t 9 ~t a3 V 3 - 12 a2 U 3 - 24h a2 (2 TJe - 2 rJA) == 0

f ~t 9 ~t a3 u4 + 12 a2 v4 - 24h a2 (rJB - rJA + rJE - rJe) == 0,

f ~t 9 ~t a3 v4 - 12 a2 u4 - 24h a2(rJe - rJA + rJE - rJB) == 0

f ~t 9 ~t, a3 u6 + -- a2 v6 - -h a2(2 rJe - 2 rJD) == 0,

12 24 f ~t 9 ~t

a3 v6 - 12 a2 u6 - 24h a2(rJe - rJA + TJG - rJD) == O.

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

As for the continuous case, the discrete velocity and surface-elevation nodal values

are searched by considering the behaviour of one Fourier mode. The discrete solutions

corresponding to (u j ' vj , rJj) == (il, V, ij) ei(kxj+ZYj) are sought at node j, where (u j ' vj , rJj)

are the nodal u~knowns that appear in the selected discrete equations and (il , v, ij) are

amplitudes. The (xj ' Yj) coordinates are expressed in terms of a distance to a reference

node.

Note that, as previously mentioned, we need to consider three possible types of

faces, i.e., horizontal, vertical, and diagonal (written as H, V, and D, respectively) and

only typical vertex node (written as S). This leads to distinguish three amplitudes for

the velocity field denoted by u D , Uv and u H and only one amplitude named rJs for the

surface-elevation. We set u F == (u D , uv, u H ).

Substitution of the Fourier mode into (2.46), the discrete continuity equation and (2.63) - (2.68), the six discrete momentum equations, leads to the following 7 x 7 square matrix

system for the Fourier amplitudes


il == ( ;t . f~~ a 2 ) , O2 == ( 00 00 ) , . -1 12 a2 a3

- t and B* == B t he conjugate transpose of B , a4 == 3 + cos kh + cos lh + cos(k - l )h, and

. kh lh b == sin - cos -

l 2 2 ' lh kh

b == sin - cos -2 2 2 '

kh (k - l )h b == sin - cos ---

3 2 2

lh b4 == sin 2 '

kh b5 == sin-

2

. lh (k - l) h b6 == SIn ----: cos .

2 2

For a nont rivial solut ion t o exist the determinant of t he 7 x 7 mat rix system (2.69)

must vanish. The computation of t his determinant leads t o a polynomial in E == ei w ôt

of degree twenty one and hence twenty one solut ions are 0 bt ained for t he frequency. The behavior of t hese solut ions is analysed in section 2.5.1.

2.4.2 The RTo - Po pair.

In this section (2.29) and (2.30) are employed to compute the discrete dispersion

relation. The velocity and surface-elevation node locations are shown in Figure 2.4 wit h

the chosen normal directions gi ven in Figure 2.2.

l 15 H 16 G

K8 K6 14 10

D F

7

A K3

E B 2

FIG. 2.4 - Compact support of the discrete surface-elevation basis functions Çl and Ç2'

and velocity basis functions c/J 4' c/J5 and c/Jg.

Equation (2.29) is first discretized at the two typical surface-elevation nodes cor

responding to lower left and upper right triangles and identified with triangles KI and K2 ' respectively, in Figure 2.4. Note that the piecewise-constant basis function çj (j == 1, 2, 3, ... ) is associated with node Kj and takes the value one on Kj and zero el

sewhere. Further, we also identify 7Jh over triangle K j with the piecewise-constant nodal

val ue TJ j ' j == 1 2, 3 ...


At the surface elevation node KI ' for Çh == Çl ' (2.29) becomes

al r 'rJl dx - H D.t a 2 r V· U h dx = O. JK1 12 JK1

By expanding u h over triangle KI as

where meas(Kl ) has been replaced by its value h2/2.

At the surface elevation node Ç2 ' for Çh == Ç2 ' (2.29) becomes

al r 'rJ2 dx - H D.t a2 r V· U h dx = o. J~ 12 J~ .

Again, u h is expanded over K 2

and (2.73) is rewritten as

#

(2.70)

(2.71 )

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.75)

By using (2.23) we obtain \7 . CPj == ±2/ h2 over the triangle containing the nodal index

j, and the sign depends on the direction of the chosen normal. For example, we have

, 2 \7 . CPl == \7 . CP7 == - \7 . CP6 == - h2 over KI'

2 \7 . CP5 == \7 . CP8 == - \7 . CP6 == h2 over K 2 ·

Inserting (2.76) and (2.77) into (2.72) and (2.75) leads to

HD..t 01 'TIl + 6h2 a2 (Jl - J6 + J7 ) == 0,

H D..t · al 'TI2 + 6h2 a2 ( -J5 + J6 - J8 ) == O.

(2.76)

(2.77)

(2.78)

(2.79) .

We now discretize equation (2.30) at the three typical velocity nodes corresponding

to the three possible types of faces i.e. horizontal vertical and diagonal. Here the discretization is performed at no1es 4, 5 and 9, and hence the compact support of

Chapitre 2. Stabi1ity analysis of AB3 schem e for pro - Pl and RTo - Po in SW 24

t he velocity basis functions at t hese nodes involves t riangles K 2', K 3' K4' and K5 ' T he

discrete velocity u h is first expanded over t riangles K 2' K3' K4' and K5 as

u~ == J5CP5 + J6CP6 + J8CP8;

u~ == J2CP2 + J4CP4 + J5CP5'

u~ == J3CP3 + J4CP4 + JgCPg,

u~ == JgcPg + J11 CP11 + J12 CP 12

(2.80)

(2.81 )

(2.82)

(2. 83)

where u{, j == 2 3 4, 5, refers t o t he discrete velocity field uh over t riangle Kj' In the

sequel we also denote by TJ~ t he piecewise-constant value of TJh over K j ' j == 1 2 3 ...

We replace CPh by cp 4 CP5 and CPg respectively, in (2.30), and t he t hree corresponding equations are 0 btained

a3 L J, uh · CP4 dx - ftlt a2 L J, (k 1\ uh) . CP4 dx i=3,4 K i 12 i=3,4 K i

fj.t "r . +g 12 a2 L if TJ~ \7 . CP4 dx == 0,

i= 3,4 K i

U 3 i~5 Li uh . cPg dx - f~; a2 i~5 Li (k 1\ uU . cPg dx

fj.t "J, . +g - a2 L TJ~ \7 . CPg dx == O. 12 i= 4,5 K i

By using (2.80)-(2.83) we have

r u~. CP5 dx == r (J5CP5 + J6CP6 + J8CP8) . CP5 dx , iK2 iK2 •

and applying (2.23) leads t o

(2 .84)

(2.85)

(2.86)

(2.87)

(2.88)

The above procedure permits to compute the integrals in (2.84)-(2.86) and we finally

obtain t he following discrete momentum equations at nodes 4, 5 and 9, respectively,

0,(2.89)

0, (2.90)

0. (2.91)

Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for ptC - Pl and RTo - Po in SW 25

Again, the discrete velocity and surface-elevation nodal values are searched by conside-

. ring the behaviour of one Fourier mode. Note that , as previously mentioned, we need

to consider three possible types of faces , i.e. , horizontal , vertical , and diagonal (written

as H , V , and D , respectively) and two typical barycenters corresponding to lower left

and upper right triangles (written as BI and B2 ' respectively). This leads to distin

guish three amplitudes for the normal velocity, denoted by J D ' Jv and J H ' and two

amplitudes named TlBI and TlB2

for the surface-elevation. We set J F == (J,D ' Jv J H) and

rJ B == (Tl BI ' Tl B2 )·

Substitution of the Fourier mode into (2.78) and (2.79) , the two discrete continuity

equations and (2.89) - (2.91), the three discrete momentum equations leads to the

following 5 x 5 square matrix system for the Fourier amplitudes

(2.92)

where

a3 f bot - 12 a2 a5

f bot 12 a2 a6

C==~ 3

f bot 12 a2 a5 2a3 -(a3 - f ~i a2 ) a7

f bot - 12 a2 a6 -(a3 + f ~i a2 ) a7 2a3

D == bot ( d~ -d3 -dl ), 12 == ( ~ ~ ) , 12 -d2 d3 dl

with kh

a5 == cos 2' lh

a6 == cos 2' _ (k-l)h

a7 - cos 2 '

d - i(k-2l)!! 1 - e 6, d

2 == ei(k+l) ~ , d

3 == e i (2k-l) ~ .

Again, for a nontrivial solution to exist, the determinant of the 5 x 5 matrix system (2.92) must vanish. The computation of this determinant leads to a polynomial in E == ei

w bot of

degree fifteen, and hence _fifteen solutions are obtained for the frequency. The behavior

of these solutions is analysed in the next section.

2.5 Analysis of the dispersion r·elations.

The discrete dispersion relations for the P[Vc - Pl and RTo - Po pairs are polynomials of degree twenty one and fifteen , respectively, and it is not possible to obtain the root s

-~-~-~------------------------,


Ej ' j == l , 2, 3, ... , analytically. However , by using Maple it was possible to compute

t hem numerically and to study t he stability of the two proposed schemes.

We set (H, h) == (10 m,500 m) or (H, h) == (4 km, 10 km) , since these values cor

respond to typical parameters used in estuary modelling and for oceanic flows , respec

t ively. In bot h cases, by assuming 9 == 10 m S-2 , t he Courant number is c == '1: ~t == 2 x 10- 2 ~t . The Coriolis parameter is held constant and evaluated close to 45°N with

f == 10- 4 S-l , and t he bottom friction coefficient T is set t o 10-6 S-l. As shown in the

sequel, t he influence of t he above numerical values has a small impact on t he stability

of t he two schemes. As in [21], t he values of kh and lh vary over t he domain [0 7r].

1.00

0.99

Ù 0.98 ~ ~ ~ 0.97

1.00 ~O

0.99 1

hO 0.98

~ 0.97

0.99

0.98

0.97

1.00

0.99

0.98

0.97

1t

1t

' !lt AN FIG. 2.5 - The continuous solutions .EtN == e't W j , j ==. 1, 2, 3, for t he pre - Pl pair

wit h ~t == ~tliml == 6.643 s, and the RTo - Po pairwith ~t == Atl im2 == 6.029 s. .

2.5.1 The pfe - Pl case.

For t his scheme, among t he 21 roots of the dispersion relat ion, only t he root named

E3 is conditionally stable, while the others remain stable, i.e. they have a modulus

smaller or equal to one, whatever t he choièe of the parameters. The chosen t ime step ,

named here ~tliml ' corresponds to the maximum value of ~t for which IE31 ~ 1. Wit h

t he previously chosen parameters we obtain ~tliml == 6.643 s.

In order to compare t he numerical solut ions Ej ' j == l , 2 3, ... , 21 wit h t he solutions


. ~t AN EtN == et Wj j == 1 2, 3 of the continuous dispersion relation (2.5) the root s Et N

j == 1, 2 3, are evaluated at ~t == ~tliml == 6.643 s, and shown in Figure 2.5.

0.99

0.98

0.97

0.96

1.00

0.99

0.98

0.97 1t

1t

0 .99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94

0.7

0.4

0.0

FIG. 2.6 - The discrete solutions IEjl, j == 1, 2,3, ... , 21 , for the p{'c - Pl pair, with

~tliml == 6.643 sand c == 2 X 10-2 ~tliml'

The three first roots , Ej ' j == 1,2, 3, with IEll == IE21, correspond to the analytic ones. We see in Figure 2.6 that only IE31 is close to the analytical solution, however this

root is conditionally stable for ~t :S 6.643 s. The conjugate roots Ej' j == 4,5 , 6, ... , Il remain stable whatever the choice of the chosen parameters. The ten remaining roots

have a constant absolute value, independent of kh and lh, since 1 E12 1 == 1 E131 == 1 and

the four conjugate pairs Ej' are such that IEj 1 == 0.0201 for j == 14, 15, 16, ... , 21.

The choice of other values for c, with c == 2 X 10-1 ~t (e.g. H == 10 m and h == 50 m

in estuary modelling) and c == 2 X 10-3 ~t (e.g. H == 4 km and h == 100 km for oceanic

flows) yields essentially the same results than those shown in Figure 2.6. lndeed, the

relative errors on ~tliml and on the maximum value of IE31 are less than 10- 6 in bot h


cases. Finally, other values of the Coriolis parameter f and bottom friction coefficient T

have also be employed, with f and T ranging from 10-4 S-l to 0 S-l , and from 10-6 S- l

to 10-4 S-l , respectively. Again, the relative errors on D..tliml and on the maximum value

of 1 E31 are very small and less than 10-4.

2.5.2 Th~ RTo - Po case.

For this scheme, among the 15 roots of the dispersion relation, only the conju

gate roots named E lo and Ell are conditionally stable, while the others remain stable

whatever the choice of the parameters. The chosen time step, named here D..tZim2 ' corres

ponds to the maximum value of D..t for which IElol == IElll ::; 1. With the parameters

previously chosen, i.e. c == 2 X 10-2 D.t , f == 10-4 S-l , and T == 10-6 S- l we obtain

D..tZim2 "== 6.029 s.

The numerical solutions Ej ' j == 1,2,3, ... , 15 are shown in Figure 2.7 and they are

compared with the solutions of (2.5) displayed in Figure 2.5 for D..t == D..tZim2 == 6.029 s.

Again, the three first roots, Ej ' j == 1,2,3, with IEll == IE21 , correspond to the

analytic ones. In Figure 2.7, only IE31 is close to the analytical solution, although it is

slightly damped. Contrary to the pre - Pl case previously examined, all the roots now

depend on kh and lh.

The choice of other values, for c, with c == 2 X 10-1 D..t and c == 2 X 10-3 D..t , yields , as

for the pre - Pl case, essentially the same results than those shown in Figure 2.7. In

both cases, the relative errors on D..tZim2 and on the maXimUlTI value of 1 ElOi are again less than 10-6 . Finally, when f and T vary, as in section 2.5.1, from 10-4 S-l to 0 S-l ,

and from 10-6 S-l to 10-4 S-l, respectively, the relative errors are again less than 10-4 .

2.6 Conclusion.

This study examines the dispersion relation and spurious mode behavior for FE

solutions of the 2-D linearized SW equations based on the examination of the pre - Pl and Rro - Po FE pairs. The third order Adams-Bashforth scheme is -implemented

as the time stepping technic. For each pair, the frequency wavenumber or dispersion

relation is obtained numerically and analysed, and the stability properties are compared


IEII == IE2 1 IE31 IE41 == IE51

0.99 1.00 0.5

0.98 0.97 0.97 0.3

0.95 0.96

1t 0.93 1t 0.1 0.95

kh Ih

IE61 == IE71 IE 81 == IEgl IEIOI == IEIII

o. 1.0 1.0

O.

0 0.5 0.5

0.0 1t

0.0 O.

Ih Ih

IE12 1 == IEl31 IEl4 1 == IE151

0.35 0.97

0.33 0.92

0.31 0.87

FIG. 2.7 - The discrete solutions .IEjl , j ~tliml == 6.029 sand c == 2 X 10-2 ~tlim2'

1, 2, 3, ... , 15, for the RTo - Po pair , with

graphically with the continuous case to illustrate the main points of interest. It is shown

that for each pair, only one root of the dispersion relation is conditionally stable, while

the other roots remain stable whatever the choice of the parameters. For both pairs, a

maximum bound for the time step is computed in order to keep the conditionally stable

roots bounded. For the p{'c - Pl and RTo - Po pairs, this maximum bound for the

time step is 6.643 sand 6.029 s, respectively, and it has been found quite insensible to

the variation of the physical parameters employed in this study.

The preceding analysis illustrates how dispersion analysis can help in the selection

of spatial and time discretization schemes. It was reported in [1 7] that the ptC - Pl and

RTo - Po pairs can be advantageously lumped in SW simulations without sacrificing

the model 's accuracy and dispersion properties, for sufficiently fine resolution. Because

the p{'c basis functions are orthogonal, and the surface elevation is constant for the

RTo - Po pair, the lumping only needs to be performed for the continuity and momentum

equations for the p{'c - Pl and RTo - Po pairs, respectively. The resulting models would


then combine the advantages of both fast and simple FD schemes and unstructured

and flexible FE ones, and this will be investigated in a further study. Finally because . of its restrictive nature, due to the use of constant vàlues for h and H , such an analysis

should be only one step of the analysis process.

Deuxième partie

ÉTUDE THÉORIQUE

31

Chapitre 3

~

Etablissement du modèle couplé

Nous partons des équations tridimensionnelles de Navier-Stokes suivantes

8w -+V·u=O 8z '

8u 8u Cl 1 - + (u· V)u + w- + - ez x u = --Vp at 8z p p a au

+V . (vVu) + -(v-) , az 8z

8p 8z = -pg ,

(3.1 )

(3.2)

(3.3) .

où p est la pression, u représente les deux premières composantes de la vitesse, west sa

troisième composante verticale, Cl la force de Coriolis , ez est le vecteur unitaire pointant

vers le haut de l'axe Oz, p est la masse volumique, V = (%x' ty ) est le vecteur gradient,

v est le coefficient de viscosité, 9 désigne l 'accélération de la pesa.nteur.

Les équations (3.1) et (3.2) désignent respectivement celles de cont'inuité et de conserva

tion de la quantité de mouvement. L'équation (3.3) vient de l'approximation hydrosta

tique de la pression qui remplace ici la troisième équation de conservation de la quant ité

de mouvement. Elle est obtenue en négligeant l 'accélération verticale.

La partie Saint-Venant ,de notre modèle couplé est obtenue en intégrant ces équations

de Navier-Stokes (3.1)-(3.3) sur la hauteur de la colonne d 'eau. La section 3.1 décrit le

passage de Navier-Stokes 3D à Saint-Venant 2D.

Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 33

3.1 Passage de Navier-Stokes à Saint-Venant

Dans cette section, nous intégrons terme par terme les équations (3.1)-(3.3) afin

d 'obtenir la première partie du modèle qui est le système de Saint-Venant 2D.

En intégrant l'équation (3.3) entre z et T) == T)(x t) il vient

p(T)) - p(z ) == -pg(T) .- z).

Ce qui implique que

p(z ) == p(T)) + pg(T) - z).

p( T)) désigne la pression atmosphérique et sera notée dans la suite par Patm '

Intégration des équations de Navier-Stokes sur la verticale

On pose

u == ~ jTJ U dz. h -H

(3.4)

La hauteur de la colonne d 'eau est notée h == H +T); T) est l'élevation au niveau de z == 0

h H Hl .

FIG. 3.1 - Schéma montrant la hauteur d'eau sur une bathymétrie variable.

ç == Hl - H est l'épaisseur de la couche de sédiments, Hl est la constante mesurant la

distance entre le fond et le niveau z == o.

3.1.1 Intégration de l'équation de continuité

jTJ 8w jTJ

(-8 +\7.u)dZ ==[W]~H+ \7·udz. -H z -H

(3.5)

Chapitre 3. Établissem ent du modèle couplé 34

Rappelons d 'abord la formule de Leibnit z pour l 'opérateur vectoriel \7.

Formule de Leibnitz pour l'opérateur \7

\l·i: udz = i: \l·udz +u("7) ·\l("7)-u(-H) ·\l(-H). (3 .6)

En utilisant la formule de Leibnitz (3.6) on obt ient

i: \l . u dz = \l . (hu) - u ("7) . \l ("7 ) - u( - H) . \l(H).

Par ailleurs, on sait que la vitesse scalaire est la dérivée totale de la posit ion. Comme west la vitesse vert icale, donc sur l 'axe (Oz), on obt ient

Ce qui conduit à

et

dz w(t , x , y, z) == dt'

w(t , x, y , TJ) dTJ dt aTJ at + U ( TJ ) . \7 TJ

dH w(t ,x, y, -H)==- dt

. aH == - at - u(-H)· \7H.

(3.7)

(3.8)

En injectant ces deux équations dans l 'intégrale de l'équation de cont inuité (3.5) , on a

8("78~ ~) + \l . (hu) = O.

3.1.2 Intégration de l'équation de conservation de la quantité

de mouvement

On intègre terme par t erme l'équation de conservation de la quantité de mouvement

(3.2). Intégrons le terme s' ez x u. Rappelons que VI x V 2 désigne le produit vectoriel ent re

p

les deux vecteurs VI et V 2 de ']R3. Précisons d 'abord la validité de l 'expression ez x u qui calcule le produit vectoriel du vecteur ez == t(O, 0, 1) qui est un vecteur de li{3 avec


le vecteur u qui est pourtant un vecteur de 1R 2 . Le vecteur u de 1R 2 est complété par

zéro à la troisième composante, ce qui en fait un vecteur de 1R3 et c'est après cela que

le calcul du produit vectoriel va se faire. L intégration de s'ez x u donne p

~ez x u dz = ~ez x (hu). fT] C C

- H p P

1 On intègre le terme -- \Jp en remplaçant p par son expression dans (3.4) pour obtenir

p

fT] 1 fT] 1

--\Jpdz = --(\JPatm + pg\J(7] - z )) dz . - H P -H P

Comme la pression atmosphérique (Patm) est supposée .constante, il vient

fT] 1

-- \Jp dz = -gh \J7]. -H P

Intégrons le terme ! (v ~; ) .

jT] a au au T] ~ (v-;:;-) dz = [v-;:;- ]-H

-H uZ uZ uZ

au au = v oz (7]) - v oz (-H).

On pose

Ce qui fait que

fT] a au 1

-(v-) dz = -(Ts - Tf). -H oZ oz p

au au Intégrons enfin le terme 8t .+ (u . \J)u + w oz . Ecrivons d'abord la relation suivante

\J. (u 0 u) = (u· \J)u + u \J . u.

Ce qui implique que (u . \J)u = \J . (u 0 u) - u \J . u.

u 0 v désigne le produit tensoriel entre les vecteurs u et v et est défini par

avec 2

U = I: U i e i

i=l

2

V = I: V i e i ·

i=l

Chapitre 3. Établissement 0 du modèle couplé

Par ailleurs a(wu) au ' aw

az == w az + u az .

Nous obtenons donc au a(wu) aw

w az == oz - u oz .

Il s 'ensuit que

au au au at +(u.\7)u+w

az ==8t+\7.(U 0 u)

+ à(wu) -u(V.u+ àw). oz az

Notons que d 'après l'équation (3.1) on a V . u + ~: = o. Par conséquent

jry au au jry au

-H ( 8t + (u . \7)u + w az ) dz == -H 8t

jry a(wu)

+ _H(\7·(u 0 u )+ oz )dz .

En appliquant la formule de Leibnitz (3.6) , on aboutit à la relation suivante

0jry ou 0 au o(hu) OTJ (- + (u· \7)u + w-) dz == -- - u(TJ)--H at az at at

aH - u( -H)- - u(TJ) 0 u(TJ) . \7TJ - u( -H) 0 u( -H) . \7 H

at

+ V . i: u @ u dz + w(1])u(1]) - w( -H)u( -H).

En utilisant les équations (3.7) et (3.8) on obtient

jry au ou o(hu) jry

(-a +(u.\7)u+w-o

)dz ==-a-+\7· u 0 udz. -H t z t - H

Comme

j ry U 0 udz==hu 0 U+jry (u-u) 0 (u-u)dz , - H -H

on a

jry au au o(hu)

(-a +(u.\7)u+w-o

)dz==-a-+\7·(hu 0 u ) - H t z t 0

+ V . i: (u - u) @ (u - u) dz .

D'où

a(hu) c -a - + \7 . (hu 0 u) + ~ez x (hu) == -gh\7TJ

t P h 1

- -\7Patm + -(Ts - Tf) + du, p p

36

(3.9)


avec du = -\7 . L:(u - u) Q9 (u - u) dz + L: \7 . (v\7u) dz .

On approxime du par vh\l . (\lu). On obtient le système de Saint-Venant suivant

8('Y)8~ ç) + \7 . (hu) = 0,

a(hu) C -a - + \l. (hiL ® u) + ~ez x (hu) =

t P 1

- gh\l7] + -(Ts - Tf) + vh\l . (\lu). p

Pour simplifier les notations on utilisera dans toute la suite u au lieu de u.

La forme conservative de ce système s'écrit

a( 7] - ç) + \l . (hu) = 0 at '

a(hu) C -a - + \l. (hu ® u) + ~ez x (hu) =

t P · 1 '

- gh\l7] + -(Ts - Tf) + vh\l . (\lu). p

Et la forme non conservative de ce système est

(3.10)

(3.11 )

(3.12)

(3.13)

8('Y)8~ Ç) + \7. (hu) = 0, (3.14)

au Cl 1 -a + u· \lu + -ez x u = -g\l7] + -h (Ts - Tf) + v\l . (\lu). (3.15) t p . P

Nous passons maintenant aux estimations à priori dans la section 3.2.

3.2 Estimations préliminaires

Soit 0 un ouvert borné de JR 2 de frontière ao. Notons par n la normale extérieure

à ao. On pose V = (HJ(O))2 et on définit Il.11 comme étant la norme de L2(O) ou

de (L2(O))2. Soit {VI, ... , V n , ... } une base hilbertienne de V, V n E (HP(O))2 , P 2 3 et

Vn = V ect{ VI, ... , vn } le sous-espace vectoriel de V engendré par les n premières com

posantes de la base. Pour un(t) E Vn, nous avons un(t) = Li=l , ... ,n ai(t)vi' Considérons


le problème de dimension finie suivant

hn,t + \7 . (hnun) === 0 dans Q, (3.16)

(3.18)

Un === 0 sur BOx]O T[ , hn(t === 0) === hn,o ~ 0 (3.19)

(3.20)

La méthode que nous proposons ici repose sur les estimations a priori. En utilisant la

formulation variationnelle (3.17) , nous déduisons que le terme général de la suite (un) est borné dans LOO(O, T; (L2(0))2) n L2(0, T; V). De plus nous établirons que (hn , Hn) est borné dans (LOO(O, T; LI(0)))2. Nous aurons aussi à estimer le terme hnloghn et nous

montrerons qu'il est borné dans LOO(O, T; LI(O)). Cette dernière estimation, combinée

aux estimations précédentes, nous permettra d'appliquer des résultats de compacité

qui nous seront utiles pour obtenir des convergences plus fortes. Le théorème de com

pacité deLions-Aubin sera utilisé pour montrer que le terme non linéaire (un· \7)Un qui présentait plus de difficultés à être estimé converge faiblement vers (u . \7)u dans

L~ (0, T; (L~ (0) )2).

Nous partons de la forme variationnelle suivante

k Un,t' V + k(Un ' V)un , V + kgV(hn - Hn)' v - v k 6un · v (3.21)

Cl 1 1 glunl 1 1 + - k 1\ Un . V + C2 ~h Un· V + C3 Un . V === f . v, po oC n 0 0

V V E vn .

En remplaçant V par un(t) dans (3.21), on obtient

r Unt.un + {(Un "\7)Un oUn + r g\7(hn -Hn) "Un - r vt6.un "un (3.22) Jo' Jo Jo Jo

Cl 1- 1 glunl 1 1 + - k 1\ Un " Un + C2 ~h Un" Un + C3 Un " Un === f " Un· po 0 C nO 0

Nous évaluerons dans ce qui suit chaque terme de l'équation (3.22) afin d'en tirer des

estimations.

Chapitre 3. Établissement du modèle couplé

Commençons par évaluer le terme ln Un t . Un dx. Nous avons

Evaluons le terme ln gVhn . Un dx.

ln Vhn . Un dx = ln ;n Vhn . (hnun)

= l0 V(logh~ ) . (hnun)

= -ln loghn V . (hnun)

39

(3.23)

après intégration par parties. En utilisant l'équation (3.16) et ce qui précède nous

obtenons

Calculons maintenant l'expression :t ln (hnloghn - hn).

Comme V (ln (hnloghn - hn) dx) = 0, on a

da ' dt ln (hnloghn - hn) dx = 8t ln (hnloghn - hn) dx.

On utilise à nouveau la formule de Leibnitz (3.6) et on obtient

Nous avons

(3.25)

Chapitre 3. Établissement du modèle couplé

L'évaluation du terme -g k V Hn . Un se fait de manière similaire. Nous avons

-k V Hn . Un = - k ~n V Hn . Hnun

= - k V(logHn) . Hnun

= ln logHn V . (Hnun).

L'équation (3.18) implique que

En utilisant le même raisonnement que précédemment il vient que

Evaluons le terme -v ln L'o.un . Un·

40

(3.26)

où A : B désigne le produit doublement contracté entre une matrice A == (Aij)l~ i,j ~p

et une matrice B == (Bi j )l~i ,j~P et est défini comme suit

Ce qui implique que

Comme k 1\ Un . Un == 0 on a

p p

A : B == L L A i j B ij .

i=l j=l

Cl i - k 1\ Un . Un == O. P n

Evaluons le terme ln f . Un· L'inégalité de Cauchy-Schwatz montre que

Rappelons l'inégalité suivante due à Young: soit a E IR et b E IR, nous avons

(3.27)

(3.28)

(3.29)


En appliquant l'inégalité (3.29) avec a == Il unllv et b == Ilfll(H-l(0))2, nous obtenons

Ilfll (H- l(o))21I u nllv :::;: ~ Ilun II~ + 2~ 11f11(H-l(o))2, 'lÀ > O.

Il en résulte que

(3 .30)

Evaluons enfin le terme k (un' 'V)Un . Un· En écrivant Un = (Un, vn) et x = (x y) nous avons

En posant Un == (u~ , v~), on obtient

Or Un E V donc

Ce qui implique que

D'où

De plus,

r Un' n da == O. . Jao

. (3.32)

(3.33)

Rappelons l 'inégalité de Gagliardo-Nirenberg'suivante : soit w E HJ(O) , alors il existe

une constante réelle K > 0 telle que

(3.34)

En remplaçant successivement w par Un et Vn dans l'inégalité de Gagliardo - Niren

berg (3.34) , il existe des constantes réelles Cl et C2 telles que

Il Un 1114 (0) ::; C 111 Un Il HJ (0) Il Un Il , IIvn Il14(0) ::; C2 I1 vn IlHJ (0)lI vn ll ·

(3.35)

(3.36)

Chapitre 3. Établissement du modèle couplé .42

En additionnant (3.32) et (3.33) ut ilisant (3.35) et (3.36), l 'équation (3.31) implique

que

où C == Cl + C2 .

En intégrant (3.16) et (3.18) sur D, on obtient

ln hn,t dx = - ln \7 . (hnun) dx

== - r hnu n · nda. Jan

Sachant que U n E (HJ(rl))2 , donc

De plus,

r hn t dx == dd r hn dx. Jn ' t Jn

Ce qui implique que

Par conséquent, en intégrant l 'équation (3;39) sur (0, t) , t E]O, T[ , nous obtenons

ln hn(x , t) dx = ln hn,o(x) dx.

De même, nous avons

et

ln Hn(x , t) dx = ln Hn,o(x) dx.

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41 )

(3.42)

(3.43)

Nous venons ainsi d 'évaluer tous les termes de l 'équation (3.22). Il suffit d 'utiliser les

estimations ci-dessus à savoir (3.23) , (3.25) , (3.26) , (3.27) , (3.28) , (3.30) et (3.37) pour

obtenir l 'estimation préliminaire suivante

· !


On pose Bn(t) = 2v - À - Gllun(t)1I et on intègre (3.44) sur ]0, t[. Nous obtenons l'estimation suivante

!llun (t)11 2 + 9 r hn(t)loghn(t) dx + 9 r Hn(t)logHn(t) dx + (3.45) 2 Jo. Jo. .

c2 l ln g~~;~3 + C3lllunl12 + ~ l Bn(s)lIun(s)ll~ds ::; ~llun, oI12 +

2\ lllf(s)II~H- l (!1))2dS + 9 ln hn,ologhnodx + 9 ln Hn,ologHn,odx.

Chapitre 4

Résultats théoriques d'existence du modèle couplé

Dans ce chapitre nous démontrons un théorème d'existence de solution du modèle

couplé. Nous faisons les estimations a priori puis nous utilisons des résultats de compa

cité tels que ceux d 'Aubin et de Dunford-Pettis.

4.1 Théorème d'existence

Nous présentons dans ce qui suit le théorème d'existence dont la preuve nécessite

l 'utilisation de quelques lemmes. Nous démontrons d'abord les lemmes 4.1.1 , 4.1.2 et

4.1.3 dans la section 4.1.1 dans lesquels nous donnons des résultats d 'estimations des

termes apparaissant dans les équations du problème de dimension finie. Dans la sec

tion 4.1.2 nous prouvons les lemmes 4.1.4 et 4.1.5 qui permettent de passer à la limite

dans les équations de continuité (3.16) et (3.18) et de conservation de la quantité de ,

mouvement (3.17), respectivement. Dans la section 4.1.3 nous montrons, à travers le

lemme 4.1.6 , que le problème de dimension finie (3.16) - (3.20) possède une solution. En

plus, nous donnons quelques résultats de régularité du vecteur solution de ce problème

de dimension finie dans la section 4.1.4 puis nous démontrons la positivité de hn et Hn.

Nous terminons avec la preuve du théorème d 'existence dans la section 4.1.5.

Nous énonçons à présent le théorème d 'existence du modèle couplé (1.3) - (1.6) et (1.8) -

(1.9) .

Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 45

Théorème 4.1.1. Si les données Uo E V , (ho , Ho) E (L2(O)) 2, ho ~ 0, Ho ~ 0, et f vérifient

1 2 2 r ~llfIIL2(o ,T ;H- l (n)2) + lIuoli + 2g ln hologho dx (4. 1 )

r 4g (D - À)2 +2g ln HologHo dx + -;-meas (O) < C , avec D == 2v - À,

pour un certain T > 0 assez petit alors le problème (1. 3) - (1.6) et (1.8) - (1.9) admet

une solution (u , h, H) satisfa isant les régularités suivantes

u E L2(0 , T , V) n LOO (0 T ; (L2(O))2) ,

(h , H) E LOO (O , T ; Ll(O)) X LOO (O , T ; Ll(O)).

(4.2)

(4 .3)

La preuve de ce théorème 4.1.1 requiert plusieurs étapes. A cet effet , nous démon

trons six lemmes. Dans la section 4.1.1 nous démontrons d 'abord les lemmes 4.1.1 4.1.2

et 4.1.3 qui donnent des résultats d 'estimations des suites de solutions du problème de

dimension finie (3.16) - (3.20). Dans la section 4.1.2 nous montrons comment passer à la

limite dans les équations de continuité (3.16) et (3.18) et de conservation de la quantité

de mouvement (3.17) à travers les lemmes 4.1.4 et 4.1.5 , respectivement . En ut ilisant

ces précédents lemmes, nous montrons dans la section 4.1.3 grâce au lemme 4.1.6 , que le

problème de dimension finie (3.16) - (3.20) possède une solution. En plus , nous donnons quelques résultats de régularité du vecteur solution de ce problème de dimension finie

dans la section 4.1.4 puis nous démontrons la positivité de hn et Hn. Nous terminons

avec la preuve du théorème d 'existence dans la section 4.1.5.

En utilisant la relation (4.1) nous allons montrer que inftE]o,T[ Bn (t) ~ À pour À assez petit. En effet , si les données du problème (3.16) - (3.20) vérifient l 'inégalit é (4.1) alors

nous en déduisons que Ilun,oll < De)..' Par ailleurs , nous montrerons dans la section 4.1.4 que la composante Un de la solution du problème de dimension finie (3.16) - (3.20) est

continue sur [0, T]. En utilisant la continuité de Un et le fait que lIun ,oll < De).. nous en

déduisons qu 'il existe t l > 0 telle que

(4. 4)

On pose T == t l . Comme Bn(t) == D - Cllun(t)lI , en utilisant l'inégalité (4.4) on obtient

Bn(t) ~ À pour tout tE]O , T[ et pour tout n E N. (4.5)

En passant à l 'inf sur t E]O, T[ dans le premier membre de l'inégalité (4.5) on montre

que

inf Bn(t) ~ À > 0 pour t out n E N. tE] O,T[

(4.6)


On pose

B n = inf Bn(t) et B = inf B n. tE]O,T[ nEIN

(4.7)

En combinant les relations (4.6) et (4.7) on ' montre que

B 2: À > O.

Sur ce, nous sommes maintenant en mesure de présenter des résultats d 'estimation du

problème de dimension finie (3.16) - (3.20). Ces résultats d 'estimation sont donnés dans

la Section 4.1.1.

4.1.1 Estimations

Nous donnons ici des estimations des termes apparaissant dans les équations (3.16)

- (3.20). En utilisant ce qui précède nous obtenons l'estimation d 'énergie suivante

Ilun (t)112 + 2g ln hn(t)loghn(t) dx + 2g ln Hn(t)logHn(t) dx+ (4.8)

2c2 rt r gl~:13 + 2c3 r IIun l1 2 + B r Ilun(s)llirds :s; Ilun ,oI12+ Jo Jn C n Jo Jo

~ IlfII12(o ,T;(H- l(fl))2)ds + 2g ln hn,ologhn,o dx + 2g ln Hn,ologHn,o dx.

Comme les constantes réelles C2 et c3 sont positives ainsi que hn l 'inégalité (4.8) implique

que

Cette estimation d'énergie (4.9) nous permet d'énoncer les . lemmes suivants.

Lemme 4.1.1. Soit n un ouvert borné de :IR?, hn 2: 0 et M > 0 tels que

(4.10)

Alors

Chapitre 4. R ésultats théoriques d 'existence du modèle couplé 47

Preuve Fixons t E]O, T[ et posons

nt = {x En: hn ( x, t ) 2: 1} , n; = {x En: 0 :::; hn ( x , t ) < 1}.

Auparavant , mont rons que xlogx 2: - ~ , Vx 2: O . .

Pour x > 0, on pose f( x ) = x log(x) prolongé par zéro au point x = O. Nous savons

que f est dérivable et "que f' (x) = log (x) + 1 pour t out x > O. Ce qui implique que f

est décroissante sur l 'intervalle ]0, ~ [ et croissante sur 1 intervalle ] ~ +00[. La fonction

f atteint son minimum au point x = 1 qui est égal _ 1 . e e

Comme hn 2: 0 (on le prouvera dans la section 4.1.4) alors hnloghn > implique que

En intégrant la relat ion (4.11) sur nt nous obtenons

k--hn(t)loghn(t) dx :s; ~meas (n). t

donc

Par ailleurs ,

En combinant les relations (4.12) et (4.13) il vient que

·1 2 Ihn(t)loghn(t)1 dx :::; M + ~meas(n) < 00. n e

1 e Ce qui

(4.1 1 )

(4.12)

( 4.13)

(4.14)

En passant au suprémum sur t E]O, T[ à gauche de l'inégalit,é (4.14) nous obtenons

• Notons qu'en suivant la même démarche on mont re que

Il faut préciser que l 'hypot hèse (4.10) du lemme 4.1.1 est sat isfaite si on considère

l 'inégalit é (4.9) et l 'inégalité (4.11).

Les résultats obtenus au lemme 4.1.1 nous permettent d 'énoncer le lemme suivant .


Lemme 4.1.2. On suppose que les données un,o, hn,o, Hn,o et f du problèm e de dimension fin ie (3.16) - (3. 20) satisfont (4.1) et que (hn 0, Hn 0) E (L2(0))2. Alors

Un est borné dans L2(O , T ; V) n LOO(O , T ; (L2(0))2) , (4 .15)

hn est borné dans LOO (O , T; LI(O)) ,

hnloghn est borné dans LOO (O , T ; LI (0)) ,

Hn est borné dans LOO (O , T ; LI(O)) ,

HnlogHn est borné dans LOO (O , T ; LI(O)).

( 4.16)

( 4. 17)

(4.18)

( 4.19)

Preuve: Nous prouvons ici les point s (4.15) et (4.16) sachant que la preuve de

(4.18) se fait de la même manière que celle de (4.16) et que les points (4.17) et (4.19)

ont été prouvés au lemme 4.1.1.

Prouvons d 'abord le point (4.15). En utilisant les inégalités (4.9) et (4.11) nous obtenons

Ilun(t)11 2 + B lIIUn(s)ll~ds ::; ~llfll~2(O ,T ; (H- l(11))2) + Ilun,ol1 2 (4.20)

+2g r hn ologhn ° dx + 2g r Hn ologHn ° dx + 4g m eas(O) , Vt. Jo. ' , Jo. ' , e

En passant au suprémum sur' t E]O, T[ dans le membre de gauche de l 'inégalité (4.20) il

vient que

Comme

et

sup Ilun(t)112 + Bsup rt

Ilun(s)ll~ds ::; ~llfllL2(O ,T ; (H- l(l1))2) + Ilun,ol1 2 t t Jo /\

+2g r hnologhno dx+2g r HnologHnodx+ 4gmeas(O). Jo. ' , Jo. ' , e

s~p Ilun(t) 11 2 = Ilunllloo (o,T;(L2(l1))2)

sup ft Ilun(s)lI~ds == Ilunlli2(OT'V) , t Jo ' ,

il s'ensuit que

Ilunllloo (o,T;(L2(11))2) + Bllunllh(o,T;V) ::; ~11f11~2(O ,T ; (H- l(11))2) + lIun,ol12

+2g r hn ologhn ° dx + 2g r Hn ologHn ° dx + 4g m eas(O). Jo. ' , Jo. ' , e

Ce qui p"rouve le point (4.15).

Prouvons enfin le point (4.16). L'équation (3.41) implique que

10 hn(t , x ) dx = 10 hn o(x ) dx. (4.21 )


En passant au suprémum sur t E]O, T[ dans l'équation (4.21) et tenant compte du fait

que hn 2: 0, nous obtenons

Par suite, nous avons (4.16). • Après avoir donné quelques estimations des suites de solutions u n' hn Hn, hnloghn et

HnlogHn du problème de dimension finie dans le lemme précédent nous présentons des

résultats de convergence des suites de solutions unhn, unHn , hn et Hn dans le lemme

suivant.

u nhJ1 est borné dans [}(O, T; (L I (O))2) ,

unhn ~ al dans LI(O, T; (L I (O))2) faiblement,

unHn est borné dans L2(0 , T; (L I (O))2) ,

unHn ~ (3 dans LI(O, T; (L I (O))2) faiblem ent.

( 4.22)

( 4.23)

(4.24)

( 4.25)

De plus on peut extraire de Hn , hn et Un des suites notées encore Hn , hn et Un telles

que

khnOdxdt-----+ khBdxdt pourtoutOEL1 (O ,T ;LOO (0,)) ,

k HnO dxdt -----+ k HO dxdt pour tout 0 E L 1(0, T; LOO (0,) ).

( 4.26)

( 4.27)

Preuve: Nous prouvons uniquement les points (4.22) , (4.23) et (4.26) vu que les

autres points se démontrent de manière identique que ceux cités ici.

Prouvons d 'abord le point (4.26). On utilise le théorème de Dunford-Pettis (voir [6])

pour montrer que hn est dans un compact faible de LI (Q). Pour cela nous devons

vérifier que

V E > 0:38 > 0 telle que L hn dx dt < E V AcQ et meas(A) < 8.

Pour un nombre réel k > 0, 'nous avons

1 1 1 Iloghnl hn dxdt = hn dx dt + hn dxdt.

A An{lhn(x ,t)l<k} An{ l hn(x,t ) l~k } Iloghnl

D'une part , on obtient

r hn dxdt < k m eas(A). } An{lhn(x t)l<k }

Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé

D'autre part , en prenant (x, t) E {Ihn(x t)1 ~ k} , nous avons

1 1 ---<-Iloghnl - Ilogk l·

Comme hnloghn est borné dans LOO(O , T ; LI(D)) , il existe C > ° telle que

j hnlloghnl dxdt < C. An { lhn (x ,t) l'2k}

Ce qui implique que

j h Iloghnl d d C n X t < --.

An{ lhn (x ,t)l '2k} Iloghnl Ilogkl

Par suite,

L hn dxdt < kmeas(A) + IlO~kl'

50

( 4.28)

Le second membre de l'inégalité (4.28) peut être rendu aussi petit que l'on veut ( par

exemple on prend cS = k\ pour k assez grand) , donc hn est dans un compact faible de

LI (Q). Par conséquent, il existe h et une suite extraite de hn notée encore hn telles que

hn ---t h LI (Q) faiblement.

Maintenant nous prouvons que

Nous utilisons quelques techniques développées dans [28]. Pour B E LI(O, T; LOO(D)) , on

définit TR(B) comme suit

Nous avons TR(B) E LOO(Q). Comme hn converge vers h dans LI(Q) faiblement , nous

obtenons

Notons que

où 1 P est la fonction caractéristique définie sur


Ainsi

J,}B - TR(B))lhn - hl dxdt :::; 10 Ihn - hl dxIIBllu"" (fl )1pdt.

Ce qui implique que

Il en résulte que .

Par ailleurs , (hn - h) est borné dans LOO(O T; L1(D)) , donc il existe C > 0 telle que

Par conséquent ,

( 4.29)

Le membre de droite de l'inégalité (4.29) tend vers zéro quand R tend vers l infini. En

utilisant la relation

r (hn - h)B dxdt == r (hn - h)(B - TR(B)) dx dt + r (hn - h)TR(B) dx dt JQ . JQ JQ

on obtient

Il s'ensuit que

10 hnB dxdt -----> JQ

hO dxdt quand n ----+ 00.

Démonstration de (4.22). Nous allons utiliser les inégalités suivantes

Il existe a positif tel que, pour u E (HJ(D))2 , on ait

où K est un réel strictement positif. ( 4.30)

Cette inégalité est due à Trudinger-Moser, voir [45].

Pour tout a E R~, b E R+ , C E R~, nous avons

. b ab :s; C(a laga + exp(C - 1)). (4.31 )

_____ --- - - - - --- - - -------1


En appliquant (4.31) avec a == hn b == Œlunl2 et C == Ilunllt,r nous obtenons

Ce qui implique que

( r r lunl2 ) Ilunllv Jnhnloghndx+Jnexp(allunll~ -l)dx ::;

IIUnllv( k hnloghndx + KI} OÙ KI = ~K m eas(n).

e

Nous avons

klhnUnl::; IIUnllv(khnlOghndX + KI). En utilisant les relations (4.15) et (4.17) on obtient

k Ihnunl est borné dans L2 (0 , T).

Par suite

ce qui prouve (4.22).

Démonstration (4.23). Nous prouvons d'abord que

y = {Unhn : un E L2(0, T; V), hn ~ 0, (hn, hnloghn) E (LOO(O , T; L I (n)))2} est dans

un compact faible de L 1 (O , T; (L 1 (O))2). La relation (4.22) entraine qu'il existe une

constante C > 0 telle que

Ilhn u n II L2(O ,T ;(Ll(n))2) < C.

Or, en utilisant l'inégalité de Schwartz, on a que

donc Y est borné dans Ll(O, T; (L 1(O))2). Maintenant, on utilise le théorème de Dunford

Pettis. Pour cela, on doit prouver que

VE > O,:::lb > ° tel que L unhn dxdt < E VA c Q et m eas(A) < b.

Pour E > 0, on pose a == hn , b == Iunl et C == Ellunllv dans (4.31) et on obtient


Iunl On pose s = lIunllv'

s Si - :s; as2

, avec a vérifiant (4.30), alors E

s Si - > as2 alors

E

De ce fait

Or a vérifie (4.30) , donc

alunl2

exp( Ilunll~) est borné dans LOO(O, T; L1(n)).

53

De plus, hnloghn est borné dans LOO(O , T; LI(O)) et lIunllv est borné dans L2(0 , T) , ce

qui fait que

Il en résulte que

( 4.32)

Le membre de droite de l 'inégalité (4.32) tend vers zéro quand E tend vers zéro (par 1

exemple prendre V8 == exp(--2) ). Il s'ensuit que Y est dans un compact faible de aE

LI(O, T; (L I(O))2). Par conséquent, il existe al E LI(O, T; (L I(O))2) tel que

unhn -t al dans LI(O, T; (LI (O))2) faiblement.

En faisant le même raisonnement on montre aussi qu'il existe f3 E LI (0 , T; (L l ( 0) ) 2) tel

que

•

4.1.2 Passage à la limite dans les équations de conservation

Dans cette sous-section nous démontrons essentiellement les' lemmes 4.1.4 et 4.1.5. Le lemme 4.1.4 permet le passage à la limite dans le~ équations de continuité c'es

Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du ,modèle couplé 54

. à dire l équation de conservat ion de la masse du fluide et celle de conservation de la

couche de sédiments. Dans le lemme 4.1.5 on fait le passage à la limite dans l 'équation

de conservation de la quantité de mouvement.

Lemme 4.1.4. Soient Un , hn et Hn trois suites vérifiant

Alors

Un E L2(0 , T ; H m (n)2) , m 2: 3,

hn E LOO (O , T ; L1(n)) , hn 2: 0,

hn,t + \7 . (unhn) == 0,

Hn E LOO (O , T ; L1(n)) , Hn 2: 0,

Hn,t - \7 . (unHn) == ° Un ---t u dans L2 (0 , T ; V) fa iblement,

hn ---t h dans L2 (0 , T ; L1 (n) ) fa iblement ,

unhn ---t al dans L2(0 , T; (L1(n))2) faiblement,

Hn ---t H dans L2 (0 , T ; L 1(n)) faiblement,

unHn ---t (3 dans L2(O , T; (L1(n))2) faiblem ent.

uH == (3 .

Preuve Soit cP E D(n) , on pose

prolongé par zéro à l'extérieur de n. Nous avons ·

Ensuite on régularise par convolution de la variable d'espace en posant

où p6 est une suite (appelée suite régularisante) vérifiant

Pour 6 assez grand, n => supp( v~) car v~ est à support compact.

Nous utilisons les convergences suivantes que nous démontrerons plus tard

v~hn ---t vnhn dans L1(0 , T ; (L1([2))2) fort quand 6 ~ 00 ,

v~hn ---t v 6h dans (D'(Q))2 quand n ~ 00.

( 4.33)

( 4.34)

( 4.35)

( 4.36)

( 4.37)

( 4.38)

( 4.39)

( 4.40)

(4.41 )

( 4.42)

( 4.43)

( 4.44)

( 4.45)

( 4.46)


Montrons maintenant que vnhn ~ vh dans (D'(Q))2 lorsque n ----t 00. Pour cp E

(D(Q))2 nous avons

10 (hn V n - hv) . </J = JQ

(hn V n - hn v~) . </J + 10 (hn v~ - hv6). </J (4.47)

+ 10 (hv6 - hv) . </J .

En utilisant (4.45) il vient que

h(hnVn ~ hnv~). </J -t 0 quand J -+ 00 ,

10 (hv6 - hv) . </J -t 0 quand J -+ 00.

Si on considère (4.46) on montre que

h(hnV~ - hv8) . </J -t 0 quand n -+ 00.

En combinant (4.47) - (4.50) nous obtenons

On fait le même raisonnement pour montrer que

Démonstratioh de 4.45. On fixe T > 0 et on pose

Si Iv~ - vnl :::; T , alors

E = {(X , t) E Q : Iv~ - vnl > T} ,

C(E) = {(X , t) E Q : Iv~ - vnl ::; T}.

1 hnlv~ - vnl :S TllhnIILl(OToLl(O)) C(E) , ,

:S CIT

( 4.48)

( 4.49)

( 4.50)

(4.51 )

Si Iv~ - vnl > T, on applique l'inégalité (4.31) avec C == Ellv~ - vnllv. On obtient


Afin d 'appliquer l 'inégalité (4.30) on considère

{ ()

1 v~ - v ni 1 } El = x , tEE: Il V~ - v n Il ~ ta .

Si · (x , t) E El , alors

d 'où

1 <5 1 Il <5 Il ( ( 1 V~ - v n 1

2 )) hn V n - V n ~ E V n - V n v hnloghn + exp Ct Ellv~ _ vnllt- - 1 .

En utilisant l 'inégalité (4.30) on montre qu 'il existe K > 0 telle que

Si

( ) ()

{ ()

1 v~ - v n Il} x , t E C El = x , tEE: Ilv~ _ vnll < ta

alors

hnlv~ -vnl ~ Ellv~ -Vnllv(hnloghn+exP(Ct~2 -1))Il existe KI > 0 et K 2 > 0 telles que

r hnlv~ - vnl ~ KIE + EK2 exp( ~ - 1hjmes(C(Ed). }C(El) aE

56

( 4.52)

On majore maintenant Jmes( C(EI )) en fonction de 6. D'après des résultats classiques

de la convolution <5 1 k IIvn - V n IlL2(Q) ::; bl.lvnIlL2(o,T;V) ::; J

car V n est borné dans L 2 (0, T; V). D'autre part, puisque (x, t) E E

Par suite

vmes(C(EI )) < r5~' On obtient alors la majoration indépendante de n

J <5 - 1 k

hnlvn - vnl ::; KIE + EK2 exp(-2 - 1)~. C(El) aE uT

( 4.53)

Ce qui conduit à

( 4.54)

Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé" 57

Finalement, en additionnant les inégalités (4.51) et (4.54) on obtient

( 4.55)

Le second membre de l'inégalité (4.55) peut être rendu aussi petit que l on veut indé

pendamment de n (prendre <5 = exp(a~2)). Ce qui prouve (4.45). Démonstration de 4.46. Montrons que pour tout cp E D( Q)

On a

( 4.56)

Le second membre de l'égalité (4.56) , où 6. et l désignent le laplacien et l identité a

bien un sens puisque la base est suffisamment régulière et qu 'on peut prendre' m = 5

pour obtenir

D 'autre part,

implique que

Ce qui prouve, d'après l'équation (3.16) , que

h E L2(O T' W- 1,1(O)) n ,t " .

Or (-D, + 1)-2 envoie W-1,1(O) dansW1,1(O) qui s 'injecte continument dans L 2 (O) et

(-D, + 1)-2 envoie L1(O) dans H1(O) donc la suite hn vérifie

(-6. + 1)-2(hn ,t) borné dans L2(O, T; L2(O)),

(-6. + 1)-2(hn ) borné dans L2 (O, T; H1(O)).

D'où en appliquant le théorème de compacité d 'Aubin on obtient

Enfin,

donne


En utilisant le théorème de Rellich-Kondratsev on obtient

Ce qui implique que

D 'où

10 hn v~ rP -----+ JQ

hvo rP pOUf tout rP E D ( Q),

Remarques:

- on choisit de ne faire que les preuves pour hn étant donné que celles pour Hn se font de façon similaire.

- les deux suites v~ et hn ne sont pas définies sur le même ouvert. Pour pallier à

cette contrainte il suffit de prolonger hn par zéro dans IR, 2 pour donner un sens

à v~hn' De plus la suite hn qui en résulte converge aussi dans L2(0 , T ; L1(IR,2)) fai blement.

Après avoir démontré comment passer à la limite dans les équations de conservation de

la masse dans le lemme 4.1.4, nous allons énoncer le lemme suivant qui nous permet de

passer à la limite dans les équations de conservation de la quantité de mouvement.

Lemme 4.1.5. Soit (Uri , hn, Hn) tel que

hn ~ h dans L 2 (0, T; L 1(0)),

hn,o E Cl (0), hn,o -----t ho dans L 1 (0),

~ ln Un,t 'v + ln Un ' V'un ,v + 9 ln V'hn 'v - 9 ln V' Hn' V

1 C1l 1 glunl -v Lun·v+- kl\un .v+C2 --Un'V n p n . n c2 hn

+C3 ln Un ' V = ln f ' v, \:Iv E Vn ,

un(t = 0) = Un ,O E Vn n (Hm (0))2 , m 2: 3,

Un ,o -----t Uo dans V ,

Hn ~ H dans L 2 (0 , T; L 1 (0)) ,

Hn ,o E C1 (Q) , Hn ,o -----t Ho dans L 1(0) ,

et que Un vérifie la majoration

( 4.57)

( 4.58)

( 4.59)

(4.60)

(4.61 )

( 4.62)

( 4.63)

( 4.64)


Alors on peut extraire de Un une sous-suite notée encore Un , telle que

Un ~ U dans L 2 (0 , T; V) ,

Un ---t U dans LOO(O, T; (L 2 (O) )2) faible étoile,

Un t est borné dans L~ (0 , T; (H- 3 (O) )2) ,

(Un . V) Un ~ (U . V) U da ns L ~ (0 T; (L ~ (D) ) 2) ,

U vérifie

59

( 4.65)

( 4.66)

( 4.67)

'( 4.68)

~ f Ut' v + f(u.V)u.v+g f Vh . v - g f VH · v (4.69) 2 ln ln ln ln .-v f Lu.v+ C1 f kAu.v+c

2 f glu1u.v

ln p ln ln c2h

+ C3 ln u·v = ln f· v , \Iv E (H3(n)? n v.

Preuve

Nous prouvons les points (4.67) et ' (4.68).

Démontrons d 'abord (4.67). Pour estimer Un ,t nous devons estimer tous les autres termes

de l'équation de conservation de la quantité de mouvement (3.17). Parmi les termes en

question pour cette équation seuls les termes (un' V)un , Vhn et V Hn restent à être

estimé.

Commençons par estimer le terme (un' V)un . Nous avons vu que Un est borné dans

LOO(O, T; (L2(D))2) n L2(0, T; V), donc VUn est borné dans L2(0 , T; (L2(O))4).

En utilisant l 'inégalité de Gagliardo-Nirenberg

et le fait que Un est borné dans LOO(O, T; (L 2 (D))2), on montre que l'injection de V

dans (L4 (O))2 est continue. Ce qui implique que

Par suite,

Un est borné dans LOO(O, T; (L2(D))2) n L2(0, T; (L4 (D))2).

Montrons que (un' V)un est borné dans L~ (0 , T; (L~ (D) )2).

4 loT 4 Un . V Un 3 4 4 == Un t ·V Un t 3 4 dt.

,,( )" L 3 (O ,T ;(L 3 (n )) 2) 0 Il ( () ) ()" (L 3 (n )) 2


Nous

Ce qui fait que

Il (Un' \7)Un Il ~ 4 4 = fT f Iun(t) . \7un(t) 1 ~ dx dt. L3 (O,T;(L3 (n ))2) Jo Jn

Evaluons d 'abord la quantité ln IUn . \7unl ~ dx.

3 En posant p == 3 et q == - on obtient , grâce à l'inégalité de Rülder , la relation suivante

2

D'une part ,

4

== Ilun ll(L4(n))2'

D'autre part ,

D'où

ln IUn . \7unl~ dx :::; Ilunll~L4(n)J2II\7unll~L2(n))4'

En utilisant l'inégalit'é de Gagliardo-Nirenberg (3.34) , on obtient

Ce qui implique, en considérant l'inégalité (4.70), que

(4.70)


et par suite

k Iun · VUn l ~ dx S C~ llunll !L2 ( !1 ))21IVun ll (L2 (!1))4 . Nous obtenons donc

Par conséquent

Ce qui entraine que

Il s 'ensuit que

Auparavant , on avait montré que

et que V'Un est borné dans L2(0 , T; (L2(0))4).

Ce qui prouve que (un' V')un est borné dans L~ (0, T; (L~ (0) )2).

Estimons les termes V'hn et V' Hn' Comme les deux inconnues hn et Hn vér~fient

les même types d 'équations nous donnons seulement l 'estimation du terme V'hn. Nous avons hn est dans LI (0) pour presque tout t et que l'injection de LI (0) dans le dual de

CO est continue. De plus, en dimension deux l'injection de H 2(0) dans CO est continue,

donc par dualité,. l'injection du dual de CO dans H-2(0) est continue. D'où l'injection

de LI(O) dans H-2(0) est continue. Or

Ce qui implique que

De plus V'hn est borné dans L2(0 , T; (H- 3 (0))2).

En utilisant l'équation de conservation de la quantité de mouvement (3.17) on obtient

Un ,t est borné dans L ~ (0 , T ; (H- 3(0))2)


ce qui prouve (4.67).

On a démontré que (un· V')un est borné dans L~(O , T; (L~(0))2). On peut en extraire

une suite, notée encore (un·V')un, convergeant faiblement vers e dans L~ (0 T· (L ~ (0))2) .

Démontrons (4.68). On utilise le théorème de compacité d Aubin pour montrer que

la limite faible e de (un· V')un est égale à (u . V')u. Nous appliquons à présent le

théorème de compacité d 'Aubin ( voir [22]) en prenant

Nous avons que

4 Po == 2, Pl == 3'

et que l'injection de Bo dans B est compacte. On pose

muni de la norme

Ilvllw == IIvIlLPO(O,T ;Bo) + IIvtIlLPl(O,T ;Bl)·

W muni de la norme Il.lIw est un espace de Banach. De plus W c ijo(O , T ; B) , et

que 1 < Pi < 00 pour i == 0, 1 ; donc en appliquant le théorème de compacité d 'Aubin

on montre que l'injection W C ijo(O , T; B) est compacte. Ce qui entraine que

(4.71 )

On peut maintenant montrer que

4 4 2 dans L3 (0, T; (L3 (0)) ).

JQ((Un.'V)Un - (u.'V)u)· v = h(UnUn,x - UUx)Vl+ ( 4.72)

JQ(VnUn,y - VUy)Vl + h(UnVn,x - UVx)V2 + h(VnVn,y - VVy)V2'

On fait la majoration de chacun des intégrales se trouvant au second membre de (4.72).


ce qui implique que

lIun,x IIL2 (Q) IIVIIILOO (Q) Il Un - UIIL2(Q)

+1 k(un,x - Ux)UV11·

Or Un est borné dans L 2 (0 , T ; V) , donc il existe K > ° indépendant de n tel que

D'où, en utilisant (4.71) , on obtient

Et grâce à la rel,ation

Un --+ U dans L 2 (0 , T; V)faibl em ent ,

on montre que

1 k(un,x - Ux)U~ll---> 0, quand n -> 00.

D'après ce qui précède, nous avons

On utilise le même raisonnement pour montrer que

et que ·

Par suite

4 4 2 dans L3 (0, T; (L3 (0)) ).

La preuve de (4.69) se fait en combinant (4.26) , (4.27) et (4.65)-(4.68). •


4.1.3 Résolution du problème de dimension finie

Dans cette sous-section nous démontrons que le problème de dimension finie (3.16) -

(3.20) possède une solution à travers le lemme 4.1.6.

Lemme 4.1.6. Le problème de dimension finie (3.16) - (3. 20) possède une solution

vérifiant

Un E L2(0 , T ; Vn) n LOO(O , T ; (L2(n))2) ,

( hn, H n) E (Cl ( Q) ) 2 ,

-4g l - e- m eas (r2) :S IlunIIIoo(O,T;(L2 (n) )2) + 2g s~p Jn hn(t)loghn(t) dx

+ 2gsup f Hn(t)logHn(t) dx + Bllunlli2(OT'V) t ln ' ,

1 22 :S ~ IlfIIL2(O,T;(H- l(n))2) + Ilun,oll

+ 2g ln hn,ologhn,o dx + 2g ln hn,ologhn,odx.

(4.73)

( 4.74)

(4.75)

Preuve du Lemme 4.1.6. Nous appliquons le théorème du point fixe de Brouwer

de la manière suivante. On fixe w E L2(0 , T; Vn ) n LOO(O , T; (L2(n))2) , Vn étant muni

de la norme de HP(n)2 avec p 2 3, et on résout le problème

kt ~ \7 . (wk) == ° dans nx]O, TL , k(t == 0) == hn,o in n,

pour avoir k. Ensuite on résout le problème

-lt + \7 . (wl) == 0 in nx ]0, T[ ,

l (t == 0) == H n , ° in [2

et on obtient l. Puis on résout le problème variationnel

( 4.76)

(4.77)

(4.78)

(4.79)

f U n t. v + f (w.\7)un .v+ f g\7(k-l).v-v f DUn'V (4.80) ln ' Jn ln Jn + Cl r k 1\ Un . V + C2 r 9 l:V

k 1 Un . V + C3 r Un' V = r f· V ,

P Jn Jn c Jn ln \:j v E Vn ,

un(t == 0) == un,o, (4.81)

ce qui donne Un. On montre que l'application

Chapitre 4. Résultats théoriques d'existence du modèle couplé 65

possède un point fixe. B' (0, R) est la boule fermée de centre 0 et de rayon R de

L 2 (0, T; Vn ). Pour vérifier les conditions du théorème du point fixe de Brouwer 1r doit

appliquer un convexe compact dans lui même et doit être continue.

On obtient ce résultat en utilisant la topologie faible de L2(0 , T; Vn). Comme L2(0 T' Vn) est un espace de Banach réflexif donc le théorème de Banch-Alaouglu nous dit que la

boule unité fermée de L 2 (0 , T; Vn ) est faiblement compacte. Ce qui se généralise aisé

ment sur tout fermé born~ de L 2 (0 , T; Vn ).

Résolvons d'abord les systèmes (4.76) - (4.77) et (4.78) - (4.79). Nous présentons uni

quement la résolution du système (4.76) - (4.77) car celle pour le système (4.78) - (4.79)

se fait de manière identique. On utilise la méthode de Galerkin pour résoudre (4.76) -(4.77).

Soit w E L2 (O , T; Vn ) et hn ,û E L2 (fJ). Nous allons montrer que (4.76) - (4.77) possède

une solution appartenant à LOO(O, T; L2(n)). On prend une base régulière {Pm}mEN de L 2 (n). Ceci est possible car D(n) qui est l 'ensemble des fonctions Coo à support

compact dans n est dense dans L 2 (n). Soit km apartenant au sous espace de L 2(n) engendré par les m premières fonctions de base de {Pm}mEN noté vect{pbp2 , ... ,Pm}. On considère le problème variationnel suivant

r km t Pi dx + r \7 . (w km) Pi dx == ° V Pi , i == 1, ... , m ; Jn ' Jn km(O) == hOm,

( 4.82)

( 4.83)

où hOm est la projection de hn,o dans vect{pl , P2 , ... , Pm}. Alors km vérifie la majoration

(4.84)

Et on peut extraire de km une sous-suite notée encore km convergeant vers k dans

LOO(O , T; L2(n)) faiblement étoile.

D 'autre part, w E L 2 (0, T; Vn ), donc la suite .

et converge vers wk dans L2 (0, T; (L 2 (n) )2) faiblement. Ce qui prouve que

kt + \7 . (w k) == O.

De plus, kt -\7 . (wk) est dans L2(0,T;H- 1(n)), ce qui implique que

k E W 1,2(0, T; H-1(n)). Comme l'injection de W1,P(0, T) dans CO([O , T]) est compacte

pour 1 < P :::; 00 , donc k est continue de [0, T] à valeurs dans H-1(n) et k(t == 0) a

un sens dans H-1(n). En utilisant (4.83), on obtient k(t == 0) == hn,o. Par le même

raisonnnement on montre que

lt - \7 . (wl) == 0, l(t == 0) == Hn,o.

1 .


Montrons maintenant que l'application 7r vérifie les conditions du théorème de point

fixe de Brouwer. En utilisant les majorations

En remplaçant v par Un dans (4.80) on obtient

On intègre sur ] 0, T [ et il en résulte

+ 2g1 ln V(k - 1) . uni·

On montre qu'il existe une constante réelle strictement positive K telle que

Ainsi , en utilisant les inégalités de Schwartz et de Young sur certains termes de (4.87)

on obtient

2vllun III2(0,T;V) :s: Ilun,01l2 + ~ II! IIIoo (o,T;(H-1 (11))2 + '\'Ilun III2(0,T;V) (4.88)

+ (gTllhnol12 + gT. IIHnoI12) exp(2 fT Il'17. w(s)IILOO(n)ds) a ' E ' Jo

+ 2K loT Ilwllvllllunll~ + (gO! + gE)llunIII2(0,T;V)'

On déduit de (4.88) que

2vllunllh(0,T;V) :S:llun,0112 + ~ Ilfllloo (o,T;(H-l(I1)2 + '\'llunIII2(0,T;V) (4.89)

+ (gT Ilhn 011 2 + gT IIHn 0112) exp(2 fT Il'17 . w( s) Il Loo (l1)ds ) a ' E ' Jo


Il s'ensuit que U n == 1T( w) vérifie

où A == 21/ - À - ga - gE - 2Kllw IILOO(O,T;V) ' À a et E sont des constantes réelles strictement posit ives choisies de telle sort e que A soit positif.

Or w E B'(O, R) donc pour avoir U n E B'(O, R) , car 1T doit appliquer un compact

sur lui même, il s~ffit d 'avoir grâce à (4.90) l'inégalit é suivante

(4.91 )

Rappelons que, pour t fixé dans [0 , T], w(t) appartient à Vn muni de la norme de HP(D)2 avec p ~ 3. Par conséquent , \7 . w(t) est borné dans LOO(D). De plus, T est choisi assez

petit dans le théorème d 'existence (4.1). Il s'ensuit que l 'inégalité (4.91) est satisfaite.

Ce qui montre que l'image de B' (0 , R) par l'aplication 1T est une partie de B' (0, R ). Il reste donc à montrer que l'application 'if est continue. Rappelons qu 'on utilise la t opo

logie faible de L 2 (0 , T ; Vn ). On considère une suite w m de B'(O, R) qui converge vers w

faiblement dans L2 (0 , T; Vn ) et on montre que u~ == 1T( wm) converge faiblement vers

Un == 'if(w) dans L 2 (0 , T; Vn). Notons par km et lm les solutions de (4.76) - (4.77) et (4.78) - (4.79) , respectivement ,

où l'on a remplacé w == wm. Puisque km(t == 0) == hn,o et lm(t == 0) == Hn,o, donc km et lm vérifient les majorations (4.85) et (4.86) , respectivement. Ce qui implique

que km converge vers hn dans LOO(O , T; L2 (D)) faiblement étoile. De plus hn vérifie

hn,t + \7. (whn) == ° et hn (t == 0) == hn,o. lm converge vers Hn dans LOO (0 , T ; L2 (D))

faiblement étoile et Hn vérifie Hn,t - \7 . (wHn) == ° et Hn(t == 0) == Hn,o . . La solution u~ de (4.80) - (4.81) obtenue en remplaçant k == km et l == lm converge

vers Un == 1T(W) dans L2(0 , T ; Vn) faiblement et on a un(t == 0) == u n,o, Ce qui prouve que l'application 1T est continue. Il s'ensuit que 1T possède un point fixe noté

Un E L2 (0 , T; Vn). Ainsi en remplaçant w par le point fixe un dans (4.80) les valeurs

correspondantes de k et de l sont notées hn et Hn , respectivement. Ce qui permet

d 'obtenir la relation (3.17). •


4.1.4 Positivité de hn et de Hn

Nous donnons dans cette sous-section quelques résultats de régularité de la solution

du problème de dimension finie (3.16) - (3.20). En utilisant ces résultats de régularité

on montre que hn et Hn sont positives.

Étant donné que Un est une combinaison linéaire d 'éléments de (Hm (D) ) 2 m 2: 3 alors Un E Wl , ~(O , T; (Hm(D))2) , m 2: 3. D'où

D 'autre part , hn vérifie

Par conséquent,

Un raisonnement similaire montre aussi que

car

Nous démontrons uniquement que hn 2: 0 car la preuve de Hn 2: 0 se fait de manière

identique. On pose

no = { x En: hn,o (x) = 0 }

et

Ce qui fait que

et donc Q == (00 x ]0, T[) U (0+ X ]0, T[).

Soit (x , t) E Q alors (x, t) E Dox]O, T[ ou (x, t) E O+x]O, T[.

Rappelons le résultat important obtenu en exploitant l'équation de conservation de la

masse du fluide (3.16)

Ihn(x , t)1 = hn o(x) exp( rt

-V . un(s)ds). , Jo


Si (x, t) E 0 0 x ]0, T[ alors /hn(x , t) / == O. Ce qui implique que hn(x , t) == O.

Si (x, t) E O+x]O, T[ alors /hn(x , t)1 > O. Comme hn E Cl ([O ,T], CO(O)) et hn i- ° dans 0+ x ]0, T[ , on a hn garde un signe constant sur 0+ x ]0, T[. Or la fonction hn,o est

positive et non nulle, donc il existe X o E 0 tel que hn,o(xo) == hn(xo , O) est strictement

positif. Il s 'ensuit que hn(x , t) est strictement positif pour tout (x , t) E 0 + x ]0, T[.

Il s'ensuit que

hn(x ,t) ~ ° V(x , t) E Ox]O,T[.

De la même manière on montre que

Hn(x , t) ~ 0 V(x , t) E nx]O T[. •

4.1.5 Démonstration ·du théorème d'existence

Nous allons utiliser tous les résultats produits par les différents lemmes prouvés

dans les sections précédentes pour démontrer le théorème d'existence (4.1.1) de la sec

tion 4.1.1. Cette démonstration est donnée dans ce qui suit.

Démonstration du théorème (4.1.1)

L'exploitation de (4.23) et de (4.43) permet de montrer (1.3). On utilise ensuite (4.25)

et (4.44) pour obtenir (1.8). La relation (4.69) implique (1.4). Il reste donc à prouver

que la condition au bord (1.5) et les conditions initiales (1.6) et (1.9) sont vérifiées. En

utilisant (4.40) et (4.42) on a

unhn ----+ uh dans L1(0, T; (L 1(O))2) faiblement,

unHn ----+ uH dans L1(0, T; (L1(0))2) faiblement.

Ce qui implique que

\7 . (uh) E L2 (0, T; W- 1,1(0)), \7. (uH) E L2 (0, T; W- 1,1(0)).

En utilisant les équations de conservation de la masse du fluide (1.3) et de la couche de

sédiments (1.8) , on obtient

On montre que


Par ailleurs, nous utilisons l'injection suivante

W1 ,P(0 , T) c C([O, T]) est compacte si 1 < p :S 00 (voir [6]). ( 4.92)

D 'où h est continue de [0 , T] à valeurs dans W-1,1(O). De ce fait , h(t = 0) a un sens

dans W-1,1(O). En considérant (4.58) on prouve que h(t = 0) ~ ho. Par le même

raisonnement , on montre que H(t = 0) a un sens dans W - 11(O) et grâce à (4.63) on

obtient H(t = 0) = Ho. Pour terminer , il reste à montrer que u(O, x) a un sens dans un

espace à préciser et que u(O, x) égale à uo(x). Nous avons vu précédemment que

et que

u E L2(0 , T; (L2(O))2) C L ~ (0 , T; (H- 3 (O))2).

Ce qui entraine que u E Wl, ~(O , T; (H- 3 (O))2). Et grâce à l'injection (4.92) nous avons

u est continue de [0, T] à valeurs dans (H- 3 (O))2. Ce qui implique que u(O x ) a un

sens dans (H- 3 (O))2. En utilisant (4.61) on obtient u(O, x) = uo(x).

Par suite (u , h, H) est solution de (1.3)-(1.9). •

4.2 Conclusion

Cette étude théorique nous a permis d'obtenir un résultat très important sur le

modèle couplant un système de Saint-Venant avec une équation de transport de sé

diments qui est un domaine jusque-là pas très connu. Ainsi, ce résultat contribuera

nécessairement à une meilleure compréhension de ce domaine.

Troisième partie

ÉTUDE NUMÉRIQUE

71

Chapitre 5

~

Etude numérique du modèle couplé

5.1 . Introduction

L'établissement d 'un code non linéaire pour les modèles couplant un système de

Saint-Venant avec une équation de transport de sédiments nécessite un t ravail fort

complexe sur le plan numérique. Beaucoup d 'auteurs se contentent soit de résoudre

numériquement la partie Saint-Venant , soit de résoudre seulement une équat ion de

transport comme dans [15]. Remarquons que dans [15] une équation de transport linéaire

a été étudiée en utilisant la méthode de Galerkin discontinue.

Dans notre présent travail , nous utilisons la méthode des éléments finis pour la

discrétisation en espace. Comme nous avons à étudier un modèle couplant un système

de Saint-Venant avec une équation de transport de sédiments, nous avons alors trois

inconnues à calculer à savoir la hauteur d 'eau, la vitesse de l'écoulement et l 'épaisseur

de la couche de sédiments. Dès lors , au lieu d 'utiliser des paires d 'éléments finis comme

à l 'accoutumée dans l'étude des systèmes de shallow-water, nous aurons des triplets

d 'éléments finis à considérer. Nous nous intéressons ici à trois triplets d 'éléments finis

Pl - Pl - Pl ' P2 - PI - Pl et MINI - Pl' Notre triplet d 'inconnues est dans cet ordre: la vitesse de l'écoulement , la hauteur de la colonne d 'eau et l 'épaisseur de la

couche de sédiments, et il est noté par (u , h, H).

Force est de préciser que l 'étude du triplet prc - Pl - Pl n 'a pas encore abouti

à des résultats concluants. Il faut noter que son étude est plus complexe que celle des

autres t riplets cités ci-dessus. Le principal problème pour ce triplet réside sur l 'inté

gration . par parties du terme de divergence de l'équation de conservation de la masse

car le champ vitesse appart ient à l 'espace d 'élément s finis p['c . Deux façons de faire

Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 73

cette intégration par parties sont possibles. La première consiste à faire cette opération

à partir de l'équation continue, ce qui laisse apparaître une intégrale sur le bord du

domaine. Cette dernière s 'annule généralement en appliquant les conditions front ières

et la conservation de la masse est ainsi garantie. La seconde façon consiste à écrire

d 'abord l 'intégrale sur le grand domaine comme somme d 'intégrales sur les t riangles

de la partition puis faire l 'intégration par parties à partir des intégrales sur chaque triangle. Cette approche permet d 'obtenir des intégrales sur les faces des triangles d 'un

terme incluant u· n faisant référence au produit scalaire entre le champs vit esse u avec

la normale n. Toute la complexité du problème se trouve dans le choix de l interpo

lation du terme u . n. Nous avons d 'abord exploré la première façon de faire et nous

avons obtenu quelques résultats là dessus mais ces derniers ne sont pas conformes à

notre attente. Une des raisons de cette non conformité aux résultats escomptés serait le fait de ne pas considérer les intégrales sur les faces des triangles ce qui favoriserait

l 'accumulation d 'erreurs. C 'est pour cette raison que nous n'avons pas intégré la partie

concernant le triplet p['c - Pl - Pl dans notre document de thèse. Toutefois, nous

sommes en train d'explorer la deuxième approche et nous espérons obtenir des résultat s

plus convainquants dans un bref délai.

Dans cette étude, nous choisissons comme schémas temporels Euler implicite et Crank

'Nicholson. Les raisons qui motivent ce choix sont déjà expliquées dans l 'introduction

générale du document. La méthode des éléments finis est celle que nous adoptons pour

la discrétisation en espace. Nous utilisons dans ce chapitre les trois triplets d 'éléments

finis cités précédemment comme schémas de discrétisation en espace.

Dans cette présente étude nous résolvons le modèle non linéaire suivant

ht + V· (ahu) == f h dans Q == Ox]O, TL (5.1) Cl glui .

Ut + (u· V)u + gV(h - H) + -k 1\ u + .C2 ~h u + c3u == lu , (5.2) . p c

Ht + V· (c4 Iul n-

I Hu) == fH dans Q. (5.3)

Les conditions au bord pour la vitesse u sont données par

u(x , 0, t) == u(x , S, t) == ° V(x, t) E [0; L] x ]0, TIu[S; P] x ]0, T[, (5.4)

u(O, y, t) == ue(O, y, t), V(y , t) E [0; S] x ]0, T[, (5.5)

où u e est la vitesse entrante. Remarquons qu'il n 'y a pas de condition imposée sur la

vitesse à la sortie.

Des conditions de Dirichlet sont imposées sur la hauteur d'eau h et sur la couche de

Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé

sédiments H. Nous avons

h(x , t) = he(x , t) V(x , t) E anx ]0, T[ ,

H(x , t) = He(x , t) V(x , t) E anx]O, T[ ,

où he et He sont des fonctions connues.

Les conditions initiales sont données par

u(O) = ua dans n, H(O) = Ho et h(O) = ho dans n.

74

(5 .6)

(5.7)

(5 .8)

(5 .9)

Les conditions aux limit es (5.6)-(5.7) étant de Dirichlet on fait un relèvement en posant

h = h - he et H = H - He

dans les systèmes (5.1)-(5.3) et (5.6)-(5.7). En particulier, on obtient

h(x ,t) = 0 V(x ,t) E anx]O,T[ ,

H(x , t) = 0 V(x , t) E anx]O, T[.

5.2 Formulation faible du modèle

(5.10)

(5.11 )

(5.12)

On obtient la formulation variationnelle en multipliant chacune des équations (5.1)

(5.3) par une fonction test <.ph ' 'Pu et <.pH appartenant aux même espaces que la hauteur d 'eau h, la vitesse u et l'épaisseur de la couche de sédiments H, respectivement. On

obtient le système suivant


En considérant les relations (5.11) et (5.12), les termes de bord des équations (5.13) et (5.15) s 'annulent et il s'ensuit que

(5 .16)

(5.17)

(5.18)

Pour résoudre un modèle non linéaire (5.16)-(5.18) numériquement plusieurs approches

sont possibles. On peut faire la semi discrétisation en temps du système puis gérer les différents termes pour obtenir un problème linéaire par rapport aux inconnues au

prochain pas de temps. On illustre cette approche avec l'équation suivante

ht + V . (a hu) = O. (5 .19)

Cette équation (5.19) aurait pu être résolue avec le schéma d 'Euler Implicite présenté

sous l'une des' deux formes suivantes

hn+l _ hn ---- + V . (a hn+lun) = 0

~t ' (5. 20)

(5. 21 )

Le choix de l'une ou de l'autre des deux discrétisations (5.20) et (5.21) peut conduire

à des instabilités selon le modèle physique étudié. Une deuxième approche consiste à écrire la solution cherchée comme somme de la solution actuellement obtenue plus

une correction, qui n 'est rien d 'autre que le processus de linéarisation de Newt on. En

d 'autres termes, on écrit

h = hC + bh, H = HC+bh , u = u C + bu, (5.22)

où hC, H C et u C représentent les dernières valeurs de la hauteur d'eau h , de la couche de

sédiments H et de la vitesse de l'écoulement u obtenues par l'approximation , respec

tivement. Leurs corrections respectives sont bh, bH et bu. Cette approche permet de

faire une linéarisation en enlevant les termes d 'ordre 2 qui s'en découlent. On illustre

cette approche avec les termes u . Vu et V . (a hu). En utilisant (5.22) on a

(5.23)

On enlève le terme bu· Vbu qui est un terme d'ordre 2 dans (5.23). Ainsi; la linéarisation

de (5.23) est donnée par

(5 .24)


On utilise la même démarche que pr~cédemment pour linéariser le terme \7 . (a hu). Après avoir simplifié le terme d 'ordre 2, nous obtenons

(5 .25)

Il est important de souligner que les termes (u· \7)u et \7 . (hu) sont d abord linéarisés

comme indiqué dans (5.24) et (5.25), respectivement avant d 'effectuer les calculs. Par

contre, certains termes non linéaires du système (5.16)-(5.18) ne seront pas linéarisés .

Avec chacun de ces termes on choisit l 'inconnue qu 'il faut t raiter implicitement tandis

que les autres inconnues seront considérées comme explicites. Ainsi , une inconnue est

considérée comme principale si elle est traitée de manière implicite. On note par u P

l 'inconnue principale associée à la vitesse u. Nous résolvons le système suivant après

avoir choisi les inconnues principales

(5.26)

(5.27)

(5.28)

Les termes r hti.ph dx , r Ut . 'Pu , r g\7(h - H) . 'Pu '- r Cl k /\ u . 'Pu , r C3u . 'Pu et ln ln ln ln p ln ln H t'P H dx de (5.26)- (5.28) n 'ont pas été identifiés par la puissance p car ils sont li

néaires et ne présentent aucune ambiguité. Il en est de même pour les termes ln (u . \l)u . <Pu et -ln hu . \l'Ph dx qui sont déjà linéarisés dans (5.24) et (5.25) ,

respectivement. Ainsi, nous présentons brièvement les outils utilisés pour coder le mo

dèle étudié.

Pour coder les intégrales obtenues dans (5.26)-(5.28) nous utilisons un logiciel construit

au GIREF (Groupe Interdisciplinaire de Recherche en Éléments Finis). Le GIREF est

un laboratoire du Département de Mathématiques et de Statistique de l'Université

Laval qui regroupe des étudiants, des enseignants et des chercheurs scientifiques. Un

logiciel nommé MEF ++ (Méthode des Éléments Finis en C++) a été développé dans

ce laboratoire. ComIl).e l 'indique son nom le code de calcul MEF ++ permet de résoudre,

en utilisant la méthode des éléments finis , plusieurs types de problèmes parmi lesquels

on peut citer les problèmes d 'écoulement d'eau, d'élasticité et de viscoélasticité. La

philosophie utilisée avec MEF++ est qu'on calcule toujours par correction. Par

conséquent, les corrections bh, bH et bu deviennent les inconnues de notre problème.

Chaque intégrale apparaissant dans (5.26)-(5.28) est ainsi appelée terme de formulation selon le langage adopté avec MEF++.


Nous avons construit un code en utilisant MEF++ avec chacun des triplets d 'élé

ments finis Pl - Pl - Pl ' P2 - Pl - Pl et MINI - Pl. Des tests numériques sont maintenant presentés.

5.3 Tests N ulllériques

Pour tester le modèle on se donne une solution exacte (uexacte hexacte Hexacte) définie par

U exacte ( X, y , t) . = (y (1 - y) , 0);

Hexacte(X' y , t) = 1000 - t;

hexacte(X' y , t) = Hexacte(X ' y , t) + 50.

(5.29)

(5.30)

(5.31)

La vitesse exacte définit un écoulement de type Poiseuille. Les constantes apparaissant

dans (5.1)- (5.3) sont définies par a = 1, Cl = C2 = C3 = 10-2 , C4 = -1. On résout p

le modèle (5.1)- (5.9) ,.en tenant compte du relèvement (5.10) , avec comme conditions

initiales

U(O) = u exacte(O) dans 0 ,

H(O) = Hexacte(O) = 1000 et h(O) = hexacte(O) = 1050 dans 0

(5.32)

(5.33)

et comme conditions aux bords pour la vitesse celles données par (5.4)-(5.5). On re

marquera que dans le modèle théorique d'existence étudié dans [38] nous avons a = 1,

c4 = -1 et n = 1. Pour les tests numériques, nous considérons les cas n = 1, 2 et 3.

Concernant la friction non linéaire, à la différence de celle considérée dans [38] , nous

ajoutons un facteur l/h avec le coefficient de Chézy c ~ 50. On pose u e = Uexacte,

y ue = y(l-y)

ve=D

u=D

o L

FIG. 5.1 - Conditions au bord pour la vitesse U = (u, v)

he = hexacte et He = Hexacte dans (5.5)-(5.7) , respectivement.


La solution exacte qu 'on veut reproduire est (Uexacte ; h exacte; Hex'acte) définie dans (5.29) -(5.31). Les seconds membres fh,fu et fH sont directement calculés avec le logiciel Maple

utilisant les solutions exactes pour h , H et U données dans (5.29) - (5.31). Ils sont définis

comme suit

fh(x , y , t) == f H(x , y, t) == -1 ; f u(x , y , t) == (fU X (x , y , t) , fUY( x y , t))

JU X(x , y, t) = y(l - y) (C3 + c2 (lO:O _ t) y(l - y)),

fUY(x , y , t) == Cl y(l - y).

Le domaine en ~space défini dans la figure 5.1 est un rectangle de longueur 10 et de

largeur 1. On obtient un maillage uniforme de ce domaine. Ce maillage comporte 5120 éléments et il est constitué de triangles (carrés coupés en deux). Les pas d 'espace en

abscisse et en ordonnée sont notés .6.x et .6. y , respectivement. On obtient .6.x == .6.y == 0.125. Nous adoptons une résolution à pas de temps fixe .6.t == 0.1. Une autre approche

qui consiste à utiliser un pas de temps adaptatif est possible mais nous ne l 'explorons

pas dans ce document. Avec une résolution à pas de temps fixe on ne peut pas à priori

savoir si un schéma temporel d'ordre deux se comporte mieux qu 'un schéma d 'ordre

un. Par contre, si on fait une subdivision successive du pas de temps par 2, 4 , 8

on voit que les erreurs obtenues avec le schéma d'ordre un sont divisées pas 2, 4, 8,

respectivement alors que celles obtenues avec le schéma d 'ordre deux sont divisées par

4, 16, 64, respectivement. Nous avons fait des tests numériques dans ce sens et les

résultats obtenus sont en parfait accord avec la théorie qui stipule que l 'erreur pour un

schéma d 'ordre un ' est ene (h) alors que celle pour un schéma d'ordre deux est en e (h 2 ).

Nous n 'avons pas jugé nécessaire d 'intégrer ces résultats vérificatifs dans ce document.

Dans cette partie nous faisons des simulations sur cinq semaines pour chaque valeur

de n == 1,2, 3 avec les trois triplets utilisant les schémas temporels d'Euler Implicite

et de Crank Nicholson, respectivement. Une analyse d'erreur permettra de comparer le

comportement des schémas d'Euler Implicite et de Crank Nicholson. Comme on veut

reproduire la solution exacte, on prend comme condition de départ , pour la résolution,

une solution très proche de la solution exacte. C'est pourquoi on fait une méthode

de Newton à chaque itération jusqu'à atteindre une précision fixée à E == 10-9. Cette

précision étant obtenue, on récupère la dernière solution obtenue par l'approximation

qu'on appelle solution actuelle notée SC. Elle servira de condition initiale au prochain

pas de temps. En d'autres termes, si on se po~itionne en un temps t n on fait plusieurs

itérations de Newton jusqu'à atteindre la précision E imposée et la solution actuelle SC

correspondante sert de condition initiale au pas de temps t n +l.

Nous faisons seulement la représentation graphique de la composante x , notée UX,

de la vitesse exacte, pour t == 5 semaines étant donné que les valeurs exact es pour


la hauteur d 'eau h , l 'épaisseur de la couche de sédiments H et la composante y de la

vitesse exacte UY, pour t = 5 semaines, sont des constantes dont les valeurs peuvent

directement être déduites de (5.29)-(5.31). Les résultats obtenus pour la simulation du

modèle couplé sont résumés dans des tables donnant la valeur absolue du maximum de

l'erreur commise sur les composantes de la solution numérique pour chacun des triplets

P2 - Pl - Pl' MINI - Pl et Pl - Pl - Pl' utilisant les schémas temporels d'Euler Implicite et de Crank Nicholson, respectivement. Ces tables sont données

pour n = 1, 2 et 3 dans chaque cas. L'erreur à un instant t donné est définie comme

étant le maximum de la différence, en valeur absolue entre la valeur exacte et la valeur

numérique à cet instant t. Nous avons fait des observations de cette erreur sur chacune

des cinq semaines pour les cas cités ci-dessus. Nous faisons ces études avec Euler impli

cite et avec Crank Nicholson dans les sections 5.4 et 5.5 , respectivement. Les résultats obtenus avec chacun des schémas temporels seront comparés dans la section 5.6.

o 0.D5 0.1 0.15 D.2 Oo!

FIG. 5.2 - Composante X de la Vitesse Exacte.

5.4 Modèle nUll1érique avec Euler Ill1plicite

Dans cette partie, nous étudions chacun des triplets d'éléments finis cités ci-dessus

considérant comme schéma temporel celui d'Euler Implicite.

5.4.1

L'espace de Pk' k E {l, 2} est défini comme suit

où Pk(K) est l 'espace des restrictions à K des polynômes de degrè k à deux variables.


Elément fini s

Support des fonctions de base

3 . s

6~ 142

3

s

l 2

FIG. 5.3 - À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et à

droite le support des fonctions de base des éléments finis P2 et Pl' respectivement . Les

supports sont de 6 triangles pour un sommet intérieur S pour chacun des deux éléments

finis et de 2 triangles pour un noeud milieu d'arête A pour P2 .


Les fonctions de base de Pl sont données dans le triangle de référence de la figure

5.3 par

cPl (x , y) == 1 - (x + y) ,

cP2(X , y) = x, cP3(X , y) = y.

(5.34)

(5.35)

(5.36)

Pour P2 les fonctions de base sont données dans le triangle de référence de la figure 5.3

par

cPl (x, fj) = (1 - (x + fj)) ( 1 -2 (x + fj) ),

cP2( X, y) = x(2x - 1) ,

cP3(X , y) == y(2y - 1) ,

cP4(X , fj) = 4x (1 - (x + fj)),

cP5(X, y) = 4xy,

cP6(X , fj) = 4fj (1 - (x + fj)).

(5.37)

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5.41 )

(5.42)

Les· fonctions de base de Pk respectent la propriété de Lagrange et on a Pk C Hl (0) k E {l , 2}.

Les résultats numériques obtenus en étudiant le triplet P2 - Pl - Pl sont représentés sous forme de tables. Chaque table fournit l'erreur sur chacune des composantes de la solution numérique pour n = 1, 2, 3. Les cinq observations sur cette erreur sont faites à

chaque semaine.

On note par Erreur cette erreur. Toutes les tables produisent des résultats pour t =

1 semaine , 2 semaines, ... , 5 semaines. La table 5.1 se lit: erreur sur.1a composante x,

UX, de la vitesse est égale à 3.3131 x 10-10 à t ~ 1 Semaine. On la note Erreur(U X , t =

1) = 3.3131 X 10-10 . De même, on a Erreur(UY, t = 2) = 2.058 X 10-10, Erreur(H, t =

5) == Erreur(h, t = 5) = 0.12423 X 10-7 , etc ... Toutes les autres tables se lisent de la

même manière que la table 5.1.

Commentaires sur P2 - Pl - Pl

Précisons que le calcul de l'erreur sur la hauteur d 'eau h et sur-la couche de sédiments

H donne les mêmes résultats et ceci pour chacun des triplets d'éléments finis. C'est pour

cette raison que nous avons représenté sur une même colonne l'erreur commune pour h

et H. Par conséquent , nous parlerons de l'erreur commise soit sur l'une soit sur l'autre dans la suite.


TAB. 5.1 - Erreur pour n = 1 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl .

Erreur UX/10- 10 UY/10- 10, h&H/10-7

Semaine 1 "3.3131 1.5195 0.024575

Semaine 2 9.9769 2.058 0.049564

Semaine 3 9.6332 2.8243 0.074747

Semaine 4 10.262 1.8757 0.099745

Semaine 5 10.652 1.2915 0.12423

TAB. 5.2 - Erreur pour n = 2 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl.

Erreur UX!lO-IO UY/IO- 1O h&H/IO- 7

Semaine 1 3.3185 1.5126 4.038

Semaine 2 9.9304 2.0876 5.5081

Semaine 3 9.5385 2.8259 5.4206

Semaine 4 10.225 1.9478 6.1468

Semaine 5 Il.056 1.1349 8.1543

L'observation des trois tables 5.1 - 5.3 montre que les erreurs sur les composantes x

et y de la vitesse évaluées à chaque semaine sont presque identiques pour n = 1, 2 et 3.

Les différences se notent plutôt sur la hauteur d'eau. En effet , en comparant la hauteur

d'eau des tables 5.1 - 5.3 on voit que l'erreur commise pour n = 1 est 50 (resp. 30) fois

plus petite que celle commise pour n = 3 au cours des deux premières semaines (resp

trois dernières semaines). De plus, l'erreur sur la hauteur d'eau pour n = 3 est 2 fois

plus petite que celle pour n = 2 et ceci pour chacune des cinq semaines. Il ressort de

ces commentaires que le cas n = 1 approche plus précisément la solution exacte que le

cas n = 3 qui à son tour donne de meilleurs résultats que le cas n = 2 pour le triplet

TAB. 5.3 - Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl.

Erreur UX/10- 10 UY/10- 10 h&H/10-7

Semaine 1 3.3 1.5117 1.9051

Semaine 2 9.9716 2.0581 2.5891

Semaine 3 9.6065 2.8164 2.7418

Semaine 4 10.243 1.8356 3.0536

Semaine 5 10.873 1.1396 3.8036


P2 - Pl - Pl avec Euler implicite.

5.4.2 Cas du MINI - Pl

L'élément MINI correspond à la paire d'éléments finis Pl bulle - Pl: L'espace de

Pl bulle est défini comme suit

rP E Bulle (K) est tel que rP == 0 sur a K et rP == 1 au barycentre de K. On peut' avoir

plusieurs choix de fonctions bulle respectant ces deux contraintes. Dans le triangle de

référence on peut définir une fonction bulle cubique de la façon suivante

(5.43)

Une autre pos~ibilité est de choisir des fonctions bulle linéaires par morceaux. On' dé

compose alors le triangle de référence k en trois sous triangles en son barycentre et on

impose une fonction linéaire sur chacun des trois sous triangles de k.

Les fonctions de base de Pl bulle à bulle cubique sont données dans le triangle de

référence de la figure 5.4 par

rPI (x, y) == 1 - (x + y),

CP2 ( x, y) == x, rP3 ( x, y) == y,

cfJ4(X, f)) = 27 (1 - (x + f))) xf).

(5.44)

(5.45)

(5.46)

(5.47)

Les fonctions de Pl bulle ne respectent pas la propriété de Lagrange, car les fonctions

rPi' i == 1, 2,3 ne valent pas zéro au point barycentre, mais vérifient Pl bulle C Hl (O.). Voici les tables concernant les résultats obtenus avec le triplet MI NI - Pl.


s Support des fonctions de base

3 s

\ '1.

l 2

FIG. 5.4 - À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et à

droite le support des fonctions de base de l 'élément fini Pl bulle. Les supports sont de 6

triangles pour un sommet S et de 1 triangle pour un noeud barycentre B.

TAB. 5.4 - Erreur pour n == 1 avec Euler implicite pour MINI - Pl'

Erreur UXj10-4 UYj10- 5 h& Hj10- 7

Semaine 1 1.9252 2.3163 1.1289

Semaine 2 2.8501 2.9751 0.63009

Semaine 3 4.4148 5.8971 1.0942

Semaine 4 8.1708 10.269 2.2082

Semaine 5 15.624 19.968 4.4884

Commentaires sur MINI - Pl

Pour le triplet MINI - Pl utilisant Euler implicite, on constate que le cas n == 1 donne de meilleurs approximations que le cas n == 3. Ce dernier approche mieux la

solution exacte que le cas n == 2. On note aussi une croissance des erreurs avec n , d 'une

part , et en fonction -du temps pour chaque valeur de n , d'autre part , sauf le cas n == 1

où elle fait défaut avec la hauteur d'eau.


TAB. 5.5 - Erreur pour n == 2 "avec Euler implicite pour MINI - Pl'

Erreur UX/IO- 4 UY/IO- 5 h&H Semaine 1 2.1936 2.3186 0.33622

Semaine 2 3.1018 3.2651 0.48666

Semaine 3 4.9493 6.4723 0.71415

Semaine 4 9.6738 11.845 0.96176

Semaine 5 18.652 24.334 1.6086

TAB. 5.6 - Erreur pour n == 3 avec Euler implicite pour MINI - Pl'

Erreur UX/IO-4 UY/IO- 5 h&H Semaine 1 2.0039 2.2516 0.074953

Semaine 2 2.897 3.0283 0.092821

Semaine 3 4.4931 6.0443 0.13226

Semaine 4 8.473 10.405 0.16375

Semaine 5 16.416 21.173 0.24434

L'élément Pl est déjà défini dans la section 5.4.1. Par conséquent , nous ne faisons pas de commentaire sur ses propriétés et celles de ses fonctions de base. Par contre, la

particularité de ce triplet est qu'il possède des modes parasites de type pression induits par la discrétisation en espace (pour le système de Stokes comme pour le modèle de

SV). Ces modes parasites ne sont probablement pas excités ici du fait de la présence de

la matrice masse vitesse. Mais, il suffit d'une bathymétrie un peu raide pour exciter ces

modes [19]. De plus, si le problème est stationnaire ces modes parasites de type pression

apparaissent. C'est pourquoi la paire Pl - Pl n'est pas souvent utilisée, à moins qu'une

procédure de stabilisation soit employée [10, 24].

Nous donnons dans ce qui suit les résultats obtenus avec le triplet Pl ~ Pl - Pl

utilisant Euler implicite.

Commentaires sur Pl - Pl - Pl

Avec Pl - Pl - Plon a les même conclusions sur le comportement de l'erreur en

fonction de n , mais à des proportions différentes, que dans le cas du P2 - Pl - Pl et

Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé

TAB. 5.7 - Erreur pour n == 1 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl.

Erreur

Semaine 1

Semaine 2

Semaine 3

Semaine 4

Semaine 5

UX/10-4

2.2392

8.6403 23.561

51.697

108.06

UY/10- 5

5.2863

14.168

30.707

48.828

136.35

h& H/10- 7 ---j

2.4682 12.001

28.971

74.675

113.64


Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h&H -----i

Semaine 1 2.4162 5.8864 0.13641

Semaine 2 9.8663 15.802 0.56175

Semaine 3 28.517 33.648 1.4845

Semaine 4 60.474 62.339 3.5139

Semaine 5 133.78 169.89 7.709

86

du MINI - Pl. Nous avons aussi noté une croissance des erreurs pour chaque valeur de n au cours des semaines 1, ... ,5.

5.5 Modèle numérique avec Crank Nicholson

Le schéma temporel de Crank Nicholson est un B-schéma particulier où l'on a pris

() == ~. C'est donc un schéma implicite. Nous avons étudié le modèle avec ce schéma


Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H ----1

Semaine 1 2.2555 5.509 0.033873

Semaine 2 8.9549 14.532 0.13512

Semaine 3 24.711 31.732 0.41677

Semaine 4 52.351 50.781 0.83373

Semaine 5 114.96 141.76 1.3851


t emporel de Crank Nicholson pour chacun des t rois t riplets d 'éléments finis

la sect ion 5.4. Les résult ats sont présentés dans ce qui suit.

étudiés dans

Nous ét udions le t riplet P2 - Pl - Pl avec comme schéma temporelle Cr

son. Les tables suivantes donnent les erreurs sur ce t riplet ut ilisant ce schém

ank Nichol-

a temporel.

T A B. 5.10 - Erreur pour n == 1 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl·

E rreur UX/10- 10 UY/10- 10 h & H/10- 11

Semaine 1 3.3386 1.4669 2.8649

Semaine 2 10.324 , 2.1701 5.6048

Semaine 3 12.062 2.9735 8.5834

Semaine 4 15.485 3.459 17.508

Semaine 5 39.696 4.1421 22.521

TAB. 5.11 - Erreur pour n == 2 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl ·

Erreur UX/10- 10 UY/10- 10 h&H/10- 7

Semaine 1 3.6297 1.5509 4.0025

Semaine 2 10.873 3.2459 5.7101

Semaine 3 12.13 3.0293 5.8098

Semaine 4 15.618 3.0444 6.3666

Semaine 5 40.335 4.2575 8.603

Commentaires sur P2 - Pl - Pl

omposantes L'observat ion des trois tables 5.10 - 5.12 montre que les erreurs sur les c

x et y de la vitesse évaluées à chaque semaine sont à peu près identiques p

et 3. Comme dans le cas .du schéma d 'Euler implicite, les différences se n

hauteur d 'eau. En effet , en comparant la hauteur d'eau des tables 5.10 - 5

que l'erreur commise pour il == 1 est au moins 103 fois plus petite que ce

our n == 1, 2

otent sur la

.12 on voit

Ile commise

'pour n == 3 pour chacune des cinq semaines. De plus, l 'erreur sur la hauteur d 'eau pour

1

:


TAB. 5.12 - Erreur pour n == 3 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl.

Erreur UX/10- 10 UY/10- 10 h&H/10-7

Semaine 1 3.6522 1.5416 1.9099

Semaine 2 10.802 3.2076 2.7936

Semaine 3 12.091 2.9595 2.8205

Semaine 4 15.983 3.3861 3.1724

Semaine 5 39.223 4.1741 3.9666

n = 3 est 2 "fois plus petite que pour n = 2 et ceci pour chacune des cinq semaines. On en déduit que le cas n = 1 approche plus exactement la solution exacte que le cas n =

3 pour le triplet P2 - P.I - Pl avec Crank Nicholson. Ce dernier cas est plus précis

que le cas n = 2 pour ce même triplet utilisant ce schéma temporel.

5.5.2 . Cas MINI - Pl

Les résultats obtenus avec le triplet MINI - Pl pour le schéma temporel de Crank

Nicholson sont représentés dans les tables suivantes.

TAB. 5.13 - Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl'

Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h& H/10-7

Semaine 1 0.83214 1.275 0.19398

Semaine 2 2.7588 2.9622 0.38837

Semaine 3 5.1188 5.7778 0.56768

Semaine 4 8.9983 10.934 1.1043

Semaine 5 17.023 23.819 2.0756

Commentaires sur MINI - Pl

Polir le triplet MINI - Pl avec Crank Nicholson, on constate que les résultats

obtenus pour n = 1 sont meilleurs que ceux obtenus pour n = 3. Ce dernier approche

mieux la solution exacte que le cas n = 2. On note aussi une croissance des erreurs avec

n , d'une part, et en fonction du temps pour chaque valeur de n, d'autre part~ De plus,

on observe un très grand écart entre l'erreur sur la hauteur d'eau pour n = 1 et 'celle

pour n = 3. Cette erreur pour n == 1 est au moins 6 x 105 fois plùs petite que pour il = 3. Cette dernière est au moins 6 fois plus petite que celle pour n = 2. On en déduit


TAB. 5.14 - Erreur pour n == 2 avec Crank Nicholson pour MI NI - Pl'

Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h&H

Semaine 1 0.92749 1.3985 0.076167

Semaine 2 3.1097 3.2629 0.31867

Semaine 3 5.8274 6.2534 0.74306

Semaine 4 10.209 13.15 1.3563

Semaine 5 20.014 28.042 2.1468

TAB. 5.15 - Erreur pour n == 3 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl'

Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H

Semaine 1 0.85772 1.3081 0.01255

Semaine 2 2.8522 3.039 0.048274

Semaine 3 5.3103 5.8933 0.10519

Semaine 4 9.1392 Il.539 0.18256

Semaine 5 17.817 25.037 0.28022

que le cas n == 1 est meilleur que le cas n == 3 qui lui aussi est plus précis que le cas n

== 2 pour le triplet MINI ...:..- Pl avec Crank Nicholson.

5.5.3

Les erreurs commises sur chacune des composantes de la solution exacte sont re

présentées dans les tables suivantes pour le . triplet Pl - Pl - Pl avec comme schéma

temporel celui de Crank Nicholson.

TAB. 5.16 - Erreur pour n == 1 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl'

Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h& H!10-7

Semaine 1 2.2271 4.6501 3.42

Semaine 2 8.1372 12.3 9.5912

Semaine 3 21.454 24.477 15.973

Semaine 4 46.567 44.536 28.537

Semaine 5 95.975 139.47 88.651


TAB. 5.17 - Erreur pour n == 2 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl.

Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H Semaine 1 2.3912 5.1664 0.14256

Semaine 2 9.1525 13.677 0.55432

Semaine 3 24.091 27.589 1.3312

Semaine 4 56.877 58.781 3.1136

Semaine 5 107.44 118.33 5.8379

TAB. 5.18 - Erreur pour n == 3 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl'

Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H Semaine 1 2.2718 4.8356 0.032709

Semaine 2 8.4267 12.684 0.14532

Semaine 3 22.205 25.454 0.35409

Semaine 4 91.392 47.342 0.75462

Semaine 5 94.319 129.22 1.6147

Commentaires sur Pl - Pl - Pl

Avec Pl - Pl - Plon a les mêmes conclusions sur le comportement de l 'erreur

en fonction de n que dans les cas du P2 - Pl - Pl et du MINI - Pl ' avec Crank

Nicholson. On note une croissance des erreurs pour chaque valeur de n au cours des

cinq semaines. L'erreur commise sur la hauteur d'eau pour n == 1 est 104 fois plus petite

que celle pour n == 3 pour les semaines 2, ... ,5. Pour la première semaine cette erreur

pour n == 1 est 95 x 103 fois plus petite que celle pour n == 3. Pour chacune des cinq

semaines, l 'erreur sur la hauteur d'eau avec n == 3 est au moins trois fois plus petite

que celle pour n == 2. On conclut que le cas n == 1 est meilleur que celui pour n == 3 qui

lui aussi est plus précis que le cas n == 2 pour Pl - Pl - Pl avec Crank Nicholson.

5.6 Comparaison entre Euler Implicite et Crank Ni

cholson

Dans cette partie nous effectuons une comparaison entre les résultats obtenus avec

Euler Implicite et ceux obtenus avec Crank Nicholson. Cette comparaison se fait avec


chacun des trois triplets étudiés P2 - Pl . - Pl MIN l - Pl et Pl - Pl - Pl pour chaque valeur de n == 1, 2, 3. En d 'autres termes , les observations réalisées avec

le triplet P2 - Pl - Pl dans le cas du schéma temporel d'Euler implicite seront

confrontées à celles réalisées sur -ce même triplet dans le cas de Crank Nicholson. Cette

même approche sera adoptée pour les triplets MINI - Pl et Pl - Pl - Pl·

- Pour P2 - Pl - Pl L'erreur sur la composante x (resp. sur la composante y) de la vitesse pour Euler

implicite est plus petite que celle obtenue pour Crank Nicholson à chacune des cinq

semaines pour le cas n == 1 à l 'exception de la première semaine pour la composante

y de la vitesse où .l 'erreur est plus faible pour Crank Nicholson que pour Euler

implicite. Les tables 5.1 et 5.10 montrent que les erreurs sur les composantes de

la vitesse ne diffèrent pas beaucoup pour les deux schémas temporels au cours des

quatre premières semaines. A la cinquième semaine, les erreurs sur les composantes

de la vitesse pour Euler implicite sont trois fois plus petites que celles pour Crank

Nicholson avec n == 1. Quant à l 'erreur sur la hauteur d'eau, elle est au moins 55 fois plus petite avec Crank Nicholson qu 'avec Euler implicite pour chacune des

cinq semaines.

Pour le cas n == 2, les erreurs sur les composantes de la solution sont plus petites

avec Euler implicite qu 'avec Crank Nicholson pour chacune des cinq semaines

sauf celle commise à la première semaine sur la hauteur d 'eau. En considérant le8

tables 5.2 et 5.11 on voit que l'erreur sur chacune des composantes de la solution

varie très faiblement selon qu'on utilise Euler implicite ou Crank Nicholson.

Pour n == 3 les erreurs sur les composantes de la solution sont plus petites avec

Euler implicite qu'avec Crank Nicholson pour chacune des cinq semaines. Comme

dans le cas n == 2, la variable de l'erreur sur chacune des composantes de la solution

est presque négligeable comme le montre lès tables 5.3 et 5.12.

- Pour MINI - Pl En se reférant aux tables 5.4 et 5.13 on remarque que les erreurs sur les compo

santes x et y de la vitesse pour Euler implicite sont plus faibles que celles pour

Crank Nicholson aux deux premières semaines alors qu'on assiste à l'effet contraire

aux deux dernières semaines pour n == 1. A la semaine 3 on note que l'erreur sur

la composante x (resp. sur la composante y) de la vitesse est plus petite (resp.

plus grande) avec Euler qu'avec Crank Nicholson. Tout de même, la variation de

ces erreurs est assez faible pour ces deux schémas temporels. En ce qui concerne

l'erreur sur la hauteur d'eau, elle est 5.8 fois, 1.6 fois, 1.9 fois, 2 fois et 2.1 fois plus

petite avec Crank Nicholson qu'avec Euler implicite pour les semaines 1, 2, ·" ,'5,

respectivement.

Pour n == 2, la lecture des tables 5.5 et 5.14 permet de dire que les erreurs sur

les composantes de la solution sont plus petites (resp. plus grandes) avec Crank Nicholson qu 'avec Euler implicite à la première semaine (resp. aux deux dernières

Chapitre 5. Étude numérique dL! modèle couplé 92

semaines). Aux semaines 2 et 3, l'erreur sur la composante x (resp. sur la com

posante y) de la vitesse est plus petite (resp. plus grande) avec Euler implicte

qu 'avec Crank Nicholson. L'erreur sur la hauteur d 'eau est plus grande pour Eu

ler implicite que pour Crank Nicholson à la semaine 2 alors qu 'on note l 'inverse à la semaine 3.

En exploitant les résultats fournis dans les tables 5.6 et 5.15 il vient que les

erreurs sur les composantes de la solutions sont plus petites (resp. plus grandes)

avec Crank Nicholson qu 'avec Euler implicite à la première semaine (resp. aux

deux dernières semaines) pour n = 3. A la semaine 2, l 'erreur sur la composante

x (resp. sur la composante y) de la vitesse est plus faible (resp. plus fort e) dans le

cas de Crank Nicholson que dans le cas d 'Euler implicite tandis que le contraire

se produit à la semaine 3. L'erreur sur la hauteur d 'eau obtenue pour Crank

Nicholson est plus petite que celle obtenue pour Euler implicite aux semaines 2

et 3.

- Pour Pl - Pl - Pl Les tables 5.7. et 5.16 montrent que, pour n = 1, les erreurs sur les composantes

de la solution sont plus petites pour le cas de Crank Nicholson que pour celui

d'Euler implicite pour presque chacune des cinq semaines. Les exceptions sont

notées à la semaine 1 sur la hauteur d'eau (resp. semaine 5 sur la composante y

de la vitesse) où on obtient une erreur plus petite avec Euler implicite qu 'avec

Crank Nicholson. Il n'y a pas une grande variation de ces erreurs pour ces deux

schémas temporels.

En considérant les tables 5.8 et 5.17 on remarque que, pour n = 2, les erreurs sur

les composantes de la solution sont plus petites pour le cas de Crank Nicholson

que pour celui d'Euler implicite pour presque toutes les cinq semaines sauf à la semaine 1 où on note une erreur sur la hauteur d 'eau plus petite avec Euler

implicite qu 'avec Crank Nicholson. La variation de ces erreurs pour ces deux

schémas temporels demeure très faible.

Pour le cas n = 3, l'erreur sur la composante x de la vitesse est plus petite (resp.

plus grande) pour Euler implicite que pour Crank Nicholson pour les semaines 1

et 4 (resp. pour les semaines 2, 3 et 5) alors que l'erreur sur la composante y de la

vitesse est plus faible avec Crank Nicholson qu'avec Euler implicite pour toutes

les cinq semaines. L'erreur sur la hauteur d'eau est plus petite (resp. plus grande)

pour Crank Nicholson que pour Euler implicite pour les semaines 1, 3 et 4 (resp.

pour les semaines 2 et 5). Dans ce cas aussi, la variation de l 'erreur est faible.

Chapitre 5. .Étude numérique du modèle couplé 93

5.7 Conclusion

L'étude comparative entre les deux schémas temporels Euler implicite et Crank

Nicholson à pas de temps fixe permet de donner les informations suivantes.

D 'abord, avec P2 - Pl - Pl ' on a vu que les erreurs, pour n = 2 et 3, sur les

composantes x et y de la vitesse et sur la hauteur d 'eau sont plus petites dans le

cas d'Euler implicite que dans celui de Crank Nicholson sur chacune des cinq semaines

excepté la semaine 1 où l'erreur sur la hauteur d 'eau est plus grande pour Euler implicite

que pour Crank Nicholson. Pour le cas n = l , les erreurs sur 'les composantes x et y de

la vitesse sont plus faibles pour Euler implicite que pour Crank Nicholson sur chacune

des quatre dernières semaines. D 'ailleurs , on observe que cette erreur est 3 fois plus

petite pour Euler implicite que pour Crank Nicholson à la semaine 5. Quant à l 'erreur

sur la hauteur d'eau, elle est au moins 55 fois plus petite avec Crank Nicholson qu 'avec

Euler. implicite. De plus, les erreurs sur les composantes x et y de la vitesse ne varient

pas beaucoup selon qu'on utilise Euler implicite ou Crank Nicholson. Par conséquent ,

avec P2 - Pl - Plon peut considérer que le schéma de Crank Nicholson est meilleur

que celui d 'Euler implicite pour le cas n = 1 alors que pour n = ~ , 3 on estime que

le schéma d 'Euler implicite est plus précis que celui Crank Nicholson pour le problème

étudié.

Ensuite, avec MINI - Pl' on constate que pour n = 1 les erreurs sur les composantes

de la vitesse pour Euler implicite sont inférieures (resp. supérieures) à celles pour Crank

. Nicholson pour les semaines i et 2 (resp. semaines 4 et 5). L'erreur sur la hauteur d 'eau

est plus faible pour Crank Nicholson que pour Euler implicite allant de 1.6 à 5.8 fois

plus petite aux semaines 1 et 2, respectivement. Pour n = 2 et 3 on constate que les

erreurs sur les composantes de la solution sont plus petites (resp. plus grandes) avec

Euler implicite qu'avec Crank Nicholson à la semaine 1 (resp. aux semaines 4 et 5).

On en déduit que pour le modèle étudié avec MINI - Pl' Euler implicite semble être

plus précis que Crank Nicholson pour les cas n =2 et 3 alors que le contraire semble se

produire pour le cas n = 1.

Pour le triplet Pl - Pl - Pl' les erreurs sur les composantes de la solution pour n

= 1 sont plus faibles avec Crank Nicholson qu'avec Euler implicite pour presque toutes

les cinq semaines sauf pour la semaine 1 (resp. semaine 5) où on note que l 'erreur sur

la hauteur d'eau (resp. sur la composante y de la vitesse) est plus petite avec Euler

implicite qu'avec Crank Nicholson. Pour le cas n = 2, les erre~rs sur les composantes de

la solution pour Crank Nicholson sont inférieures à celles obtenues avec Euler implicite

excepté l 'erreur obtenue sur la hauteur d'eau à la semaine 1 où Crank Nicholson a la


plus grande erreur. Pour n == 3, l 'erreur sur la composante x de la vitesse est plus petite

(resp. plus grande) avec Euler implicite qu 'avec Crank Nicholson pour les semaines

1 et 4 (resp. semaines 2 3 et 5) alors que l'erreur obtenue sur la composante y de la

vitesse avec Crank Nicholson est plus faible que celle obtenue avec Euler implicite pour

chacune des cinq semaines. Quant à l'erreur sur la hauteur d'eau, elle est inférieure

(resp. supérieure) pour Crank Nicholson que pour Euler implicite aux semaines 1, 3 et

4 (resp. 2 et 5) pour n == 3. Par conséquent, le schéma de Crank Nicholson peut être

considéré comme plus précis que celui d Euler implicite pour les cas n == 1, 2 et 3 pour

le modèle étudié avec le triplet Pl - Pl - Pl'

Enfin remarquons que la durée de cinq semaines de simulation pourrait être aug

mentée dans des tests ultérieures pour être plus réaliste. Néanmoins, la présente étude permet de dégager les caractéristiques principales des schémas employés ici.

Chapitre 6

Conclusion

Ce travail nous a permis de faire une étude sur trois volets différents de l'analyse

numérique que sont l'analyse de stabilité, l'étude théorique d'existence de solution et la simulation numérique.

La première partie, qui traite de l 'analyse de stabilité, nous a permis de mieux com

prendre le comportement des deux paires d 'éléments finis pre - Pl et RTo - Po en

résolvant les équations linéaires de SV et en utilisant un schéma d ' Adams-Bashfort h

à trois pas comme schéma de discrétisation temporelle. Nous avons noté que les deux

paires d 'éléments finis pre - Pl et RTo - Po sont conditionnellement stables. La paire

d 'éléments finis pre - Pl est stable pour un nombre de Courant c < 2 * 10- 2 * 6tl

alors que RTo - Po est stable pour un nombre de Courant c < 2 * 10-2 * 6t2 . Les valeurs

6t l et 6t2 représentent les valeurs du pas de temps pour lesquelles pre - Pl et

RTo - Po atteingnent leur limite de stabilité, respectivement. Ces valeurs sont données

par 6t l == 6.643336 s et 6t2 == 6.029036 s.

Quant à l 'étude théorique, elle a permis de démontrer un résultat d 'existence de so

lution d 'un modèle non linéaire de sédimentation couplant un système de Saint-Venant

avec une équation de transport de sédiments. Nous avons d'abord établi le système

de Saint-Venant en intégrant les équations tridimensionnelles . de Navier-Stokes sur la

hauteur de la colonne d 'eau en tenant compte de la variation en espace et en temps de

la bathymétrie.

L'équation de transport de sédiments que nous considérons est obtenue à partir de

[15]. Une équation générale y est établie. Les paramètres de cette équation dépendent

de la physique du problème étudié.

Chapitre 6. Conclusion 96

Le modèle couplé étant établi, on démontre un théorème d 'existence de solution.

On pose le problème dans des espaces de dimension finie et on utilise la méthode des

estimations a priori pour le résoudre. La démonstration de plusieurs lemmes permet

d'obtenir des estimations. Certaines des difficultés que nous avons rencontrées sont liées

tout d 'abord aux estimations des termes hnloghn et un . "Vun, qu 'on a réussi à obtenir.

La partie la plus difficile était de voir comment combiner certaines estimations afin d 'obtenir le maximum de résultats de compacité. Ainsi , des résultats de compacité tels

que ceux de Lions-Aubin et de Dunford-Pettis ont permis d 'obtenir des convergences

plus fortes. L'utilisation de la méthode de point fixe de Brouwer permet de résoudre le problème de dimension finie.

Ensuite, comme on a la présence d 'un terme loghn dans nos estimations, il fallait aussi montrer que hn est positif. Certains auteurs utilisent la méthode des caractéris

tiques pour prouver cette propriété. C 'est le cas de Pierre Orenga dans [28] avec comme

modèle de travail un système de Saint-Venant. Nous avons préféré utiliser notre propre

démarche pour démontrer la positivité de hn dans la section 4.1.4.

Enfin, pour résoudre le théorème d'existence, les résultats de convergence obtenus

dans les différents lemmes favorisent le passage à la limite dan,s les équations du modèle

couplé. Ce qui termine la partie théorique du document.

En ce qui concerne la partie numérique, un modèle plus général que celui étudié théo

riquement dans la deuxième partie de ce travail a été développé. Les schéma temporels

utilisés sont ceux d 'Euler implicite et de Crank Nicholson. La discrétisation en espace

est faite avec les trois triplets d'éléments finis que sont Pl - Pl - Pl' P2 - Pl - Pl et MINI - Pl' Pour comparer ces différents triplets d'éléments finis nous sommes partis

d 'une solution exacte pour condition initiale. Nous avons constaté que P2 - Pl - Pl

combiné avec le schéma de Crank Nicholson est meilleur que celui combiné avec Euler

implicite pour le cas n == 1 alors que pour n ==' 2, 3 on estime qu'il est meilleur avec le schéma d'Euler implicite qu'avec Crank Nicholson pour le problème étudié. Pour le

triplet MINI - Pl ' nous avons vu que le schéma d'Euler implicite semble être plus

précis que celui de Crank Nicholson pour les cas n ==2 et 3 alors que le contraire semble

se produire pour le cas n == 1. Nous avons également observé que le schéma de Crank Nicholson peut être considéré comme plus précis que celui d'Euler implicite pour les

cas n == 1, 2 et 3 pour le modèle étudié avec le triplet Pl - Pl - Pl'

Enfin, nous comptons poursuivre l'étude numérique en utilisant des schémas en temps

explicites et d'autres triplets d 'éléments finis. Le schéma temporel ciblé est celui d 'Adams

Bashforth. En particulier, nous aimerions confirmer les r~sultats obtenus dans la pre

mière partie de cette thèse, concernant la limite de st.abilité du schéma d 'Adams-

Chapitre 6. Conclusion 97

Bashfort h à trois pas pour les paires PINe - Pl ' et RTo - Po. Cette étude a été faite

dans le cadre d 'un modèle de SV linéaire. Nous aimerions la poursuivre dans le cas

du modèle couplé SV - équation de transport sédimentaire, et nous envisageons donc

d 'écrire aussi un code de calcul pour le triplet RTo - Po - Po. Enfin, il est également cru

cial de poursuivre les simulations numériques au-delà ~es cinq semaines de simulation

considérées ici , afin d 'obtenir des résultats plus réalistes.

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