Algèbre Commutative, Méthodes constructives.

Algbre commutative. Mthodes constructives. 2edition.Henri Lombardi & Claude Quitt

15 fvrier 2018 [23:17] Fichier:CM-Debut-PTF chapitre:0

mathmatiques en devenir

Texte pour la 2e dition franaise du livre

Algbre commutativeMthodes constructives

Modules projectifs de type fini

version actualise le 15 fvrier 2018.

Nous avons corrig des erreurs, ajout des solutions dexercices ainsi quequelques complments, et le nombre de pages a augment dune centaine.

Aucune numrotation na chang, sauf le principe local-global XII-7.13devenu XII-7.14.Toutes prcisions utiles sur le site :http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html

http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html



Mathmatiques en devenir

101. Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction102. Patrice Tauvel. Corps commutatifs et thorie de Galois103. Jean Saint Raymond. Topologie, calcul diffrentiel et variable com-

plexe104. Clment de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques105. Bruno Ingrao. Coniques projectives, affines et mtriques106. Wolfgang Bertram. Calcul diffrentiel topologique lmentaire107. Henri Lombardi & Claude Quitt. Algbre commutative. Mthodes

constructives. Modules projectifs de type fini108. Frdric Testard. Analyse mathmatique. La matrise de limplicite109. Grgory Berhuy. Modules : thorie, pratique. . . et un peu darith-

mtique110. Bernard Candelpergher. Thorie des probabilits. Une introduction

lmentaire111. Philippe Caldero et Jrme Germoni. Histoires hdonistes de groupes

et de gomtries. Deux tomes.112. Gema-Maria Daz-Toca, Henri Lombardi & Claude Quitt. Modules

sur les anneaux commutatifs.



Henri Lombardi & Claude Quitt

Algbre commutativemthodes constructivesModules projectifs de type fini

Cours et exercices

2e dition

Dernire mise jour, 15 fvrier 2018

Calvage & Mounet



Henri Lombardi. Matre de Confrences lUniversit de Franche-Comtet membre de lquipe de Mathmatique de Besanon (UMR 6623). Sesrecherches concernent les mathmatiques constructives, lalgbre relle et lacomplexit algorithmique.Il est lun des initiateurs du groupe international M.A.P. (Mathematics,Algorithms, Proofs), cr en 2003 : voir le sitehttp://map.disi.unige.it/Il a publi les ouvrages suivants.

Modules sur les anneaux commutatifs, Calvage&Mounet, 2014, encollaboration avec Gema Daz-Toca et Claude Quitt.

pistmologie mathmatique, Ellipse, 2011. Mthodes matricielles. Introduction la complexit algbrique,

Springer, 2003, en collaboration avec Jounadi Abdeljaoued. Gomtries lmentaires (tome 1), Presses Universitaires de

Franche-Comt. [email protected] http://hlombardi.free.fr

Claude Quitt. Matre de confrences lUniversit de Poitiers etmembre du Laboratoire de Mathmatiques et Applications de lUniversitde Poitiers (UMR 6086). Ses recherches concernent lalgbre commutativeeffective et le calcul formel. Il a enseign tous les niveaux (en particulierdans la prparation lagrgation), et il est intervenu dans desenseignements combinant mathmatiques et informatique. Il a programmen Magma de trs nombreux algorithmes en relation directe avec le prsentouvrage (cours et/ou exercices).En collaboration avec Patrice Naudin, il a publi louvrage Algorithmiquealgbrique, Masson, 1991.Avec Henri Lombardi, il a particip la rdaction de louvrage collectifMathmatiques L3 Algbre. Pearson Education, 2009.Il a publi Modules sur les anneaux commutatifs, Calvage&Mounet, 2014,en collaboration avec Gema Daz-Toca et Henri Lombardi.

[email protected]

Mathematics Subject Classification (2010) Primary : 13 Commutative Algebra. Secondary :

03F Proof theory and constructive mathematics.06D Distributive lattices.14Q Computational aspects of algebraic geometry.

http://map.disi.unige.it/http://hlombardi.free.fr



James Brewer



Prface de la premiredition

Ce livre est un cours dintroduction lalgbre commutative de base, avec unaccent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituentla version algbrique des fibrs vectoriels en gomtrie diffrentielle.Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les thormesdexistence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsquunthorme affirme lexistence dun objet, solution dun problme, un algo-rithme de construction de lobjet peut toujours tre extrait de la dmons-tration qui est donne.Nous revisitons avec un regard nouveau et souvent simplificateur plusieursthories classiques abstraites. En particulier, nous revenons sur des thoriesqui navaient pas de contenu algorithmique dans leur cadre naturel gnral,comme la thorie de Galois, celle des anneaux de Dedekind, celle des modulesprojectifs de type fini ou celle de la dimension de Krull.Lalgbre constructive est en fait une vieille discipline, dveloppe entreautres par Gauss et Kronecker. Nous nous situons dans la ligne de labible moderne sur le sujet, quest le livre A Course in ConstructiveAlgebra de Ray Mines, Fred Richman et Wim Ruitenburg, paru en 1988.Nous le citerons sous forme abrge [MRR].Louvrage correspond un niveau de Master 2, du moins jusquau cha-pitre XIV, mais ne rclame comme prrequis que les notions de base concer-nant la thorie des groupes, lalgbre linaire sur les corps, les dterminants,les modules sur les anneaux commutatifs, ainsi que la dfinition des an-neaux quotients et localiss. Une familiarit avec les anneaux de polynmes,les proprits arithmtiques de Z et des anneaux euclidiens est galementsouhaitable.Signalons enfin que nous considrons les exercices et problmes (un peuplus de 320 en tout) comme une partie essentielle de louvrage.Nous essaierons de publier le maximum de corrigs manquants, ainsi quedes exercices supplmentaires, sur la page web de lun des auteurs :http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.

vii




viii Prface

Remerciements.Nous remercions tou(te)s les collgues qui nous ont encourags dans notreprojet, nous ont apport quelques srieux coups de main ou fourni deprcieuses informations. Et tout particulirement MariEmi Alonso, ThierryCoquand, Gema Daz-Toca, Lionel Ducos, Mhammed El Kahoui, MarcoFontana, Sarah Glaz, Laureano Gonzlez-Vega, Emmanuel Hallouin, HervPerdry, Jean-Claude Raoult, Fred Richman, Marie-Franoise Roy, PeterSchuster et Ihsen Yengui. Last but not least, une mention toute spcialepour notre expert Latex, Franois Ptiard.Enfin, nous ne saurions oublier le Centre International de Recherches Math-matiques Luminy et le Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach,qui nous ont accueillis pour des sjours de recherche pendant la prparationde ce livre, nous offrant des conditions de travail inapprciables.

Henri Lombardi, Claude QuittAot 2011



Prface de la deuximedition

Dans cette deuxime dition, nous avons corrig les erreurs que nous avonsdbusques ou qui nous ont t signales.Nous avons ajout des solutions dexercices ainsi que quelques complments.La plupart des complments sont des corrections dexercices ou de nouveauxexercices ou problmes.Les ajouts dans le cours sont les suivants. Un paragraphe sur les tenseursnuls ajout la fin de la section IV-4. Le paragraphe sur les quotients demodules plats la fin de la section VIII-1 a t toff. La section XII-8a t rajoute pour discuter un problme intressant de dcryptage desdmonstrations classiques, insensibles la distinction entre anneaux sansdiviseur de zro et anneaux intgres, pertinente du point de vue constructif.Enfin, on a rajout deux sections 8 et 9 dans le chapitre XV consacr auxprincipes local-globals.Notons aussi que nous avons en gnral remplac lexpression relationde dpendance linaire par le terme plus court et plus usuel aujourdhui syzygie .Aucune numrotation na chang, sauf le principe local-global XII-7.13devenu XII-7.14. Le nombre de pages a augment dune centaine.Il y a maintenant 321 exercices et 45 problmes.Ldition anglaise chez Springer en 2015 correspond trs peu prs cetteversion corrige et augmente franaise. Il manque cependant dans lditionanglaise la section XII-8 ainsi que quelques nouveaux exercices.Toutes prcisions utiles sur le site :http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html

Henri Lombardi, Claude Quitt15 fvrier 2018

ix




Table des matires

Avant-propos xiii

I ExemplesIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Fibrs vectoriels sur une varit compacte lisse . . . . . . . . . . . 22 Formes diffrentielles sur une varit affine lisse . . . . . . . . . . 9

II Principe local-global de base et systmes linairesIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 Quelques faits concernant les localisations . . . . . . . . . . . . . . 162 Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Anneaux et modules cohrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Systmes fondamentaux didempotents orthogonaux . . . . . . . . 335 Un peu dalgbre extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Principe local-global de base pour les modules . . . . . . . . . . . 57Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

III La mthode des coefficients indterminsIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1 Anneaux de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902 Lemme de Dedekind-Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953 Un thorme de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974 Lalgbre de dcomposition universelle (1) . . . . . . . . . . . . . 1015 Discriminant, diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 Thorie de Galois de base (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117 Le rsultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228 Thorie algbrique des nombres, premiers pas . . . . . . . . . . . . 1309 Le Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310 La mthode de Newton en algbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

xi



xii Table des matires

IV Modules de prsentation finieIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

1 Dfinition, changement de systme gnrateur . . . . . . . . . . . 1932 Idaux de prsentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973 Catgorie des modules de prsentation finie . . . . . . . . . . . . 2024 Proprits de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045 Problmes de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156 Anneaux quasi intgres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167 Anneaux de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208 Anneaux zro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239 Idaux de Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310 Idal rsultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236


V Modules projectifs de type fini, 11 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2633 Sur les anneaux zro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704 Modules stablement libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2735 Constructions naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2776 Thorme de structure locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787 Modules localement monognes projectifs . . . . . . . . . . . . . . 2808 Dterminant, polynme fondamental et polynme rang . . . . . . 2869 Proprits de caractre fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

VI Algbres strictement finies et algbres galoisiennesIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

1 Algbres tales sur un corps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172 Thorie de Galois de base (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3263 Algbres de prsentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3284 Algbres strictement finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3405 Formes linaires dualisantes, algbres strictement tales . . . . . . 3426 Algbres sparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3507 Algbres galoisiennes, thorie gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . 362Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395



Table des matires xiii

VII La mthode dynamiqueIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

1 Le Nullstellensatz sans clture algbrique . . . . . . . . . . . . . . 4002 La mthode dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4083 Introduction aux algbres de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114 Lalgbre de dcomposition universelle (2) . . . . . . . . . . . . . 4185 Corps de racines dun polynme sur un corps discret . . . . . . . . 4306 Thorie de Galois dun polynme sparable . . . . . . . . . . . . . 433Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

VIII Modules platsIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

1 Premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4582 Modules plats de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4673 Idaux principaux plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4704 Idaux plats de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4725 Algbres plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4766 Algbres fidlement plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

IX Anneaux locaux, ou presque1 Quelques dfinitions constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5002 Quatre lemmes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5063 Localisation en 1 + a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5094 Exemples danneaux locaux en gomtrie algbrique . . . . . . . . 5125 Anneaux dcomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5236 Anneau local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

X Modules projectifs de type fini, 2Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

1 Les modules projectifs de type fini sont localement libres . . . . . 5542 Lanneau des rangs gnraliss H0(A) . . . . . . . . . . . . . . . . 5623 Quelques applications du thorme de structure locale . . . . . . . 5664 Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715 Groupes de Grothendieck et de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . 5866 Identification de points sur la droite affine . . . . . . . . . . . . . 595Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636



xiv Table des matires

XI Treillis distributifs, groupes rticulsIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

1 Treillis distributifs et algbres de Boole . . . . . . . . . . . . . . . 6402 Groupes rticuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6473 Monodes pgcd, anneaux pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6584 Treillis de Zariski dun anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . 6645 Relations implicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

XII Anneaux de Prfer et de DedekindIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

1 Anneaux arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7052 lments entiers et localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7123 Anneaux de Prfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7154 Anneaux de Prfer cohrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7215 Anneaux quasi intgres de dimension 6 1 . . . . . . . . . . . . . . 7276 Anneaux de Prfer cohrents de dimension 6 1 . . . . . . . . . . . 7317 Factorisation didaux de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 7348 Anneau intgre versus anneau sans diviseur de zro . . . . . . . . 740Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

XIII Dimension de KrullIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774

1 Espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7742 Une dfinition constructive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7773 Quelques proprits lmentaires de la dimension de Krull . . . . 7884 Extensions entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7905 Dimension des anneaux gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . 7916 Dimension de Krull des treillis distributifs . . . . . . . . . . . . . . 7947 Dimension des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7978 Dimension valuative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8059 Lying over, Going up et Going down . . . . . . . . . . . . . . . . . 81310 Lying over, Going up et Going down . . . . . . . . . . . . . . . . . 813




Table des matires xv

XIV Nombre de gnrateurs dun moduleIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

1 Le thorme de Kronecker et le stable range de Bass . . . . . . . . 8382 Dimension de Heitmann et thorme de Bass . . . . . . . . . . . . 8423 Splitting-off et Forster-Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8464 Supports et n-stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8565 Manipulations lmentaires de colonnes . . . . . . . . . . . . . . . 863Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

XV Le principe local-globalIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

1 Monodes comaximaux, recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . . 8772 Quelques principes local-globals concrets . . . . . . . . . . . . . . 8803 Quelques principes local-globals abstraits . . . . . . . . . . . . . . 8864 Recollement concret dobjets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8905 La machinerie locale-globale constructive de base . . . . . . . . . . 9006 Quotienter par tous les idaux maximaux . . . . . . . . . . . . . 9057 Localiser en tous les idaux premiers minimaux . . . . . . . . . . 9108 Principes local-globals en profondeur 1 . . . . . . . . . . . . . . . 9119 Principes local-globals en profondeur 2 . . . . . . . . . . . . . . . 913Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

XVI Modules projectifs tendusIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

1 Modules tendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9322 Thorme de Traverso-Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9343 Recollement la Quillen-Vaserstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 9414 Le thorme de Horrocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9465 Solution de la conjecture de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9506 Modules projectifs tendus depuis les anneaux arithmtiques . . . 958Conclusion : quelques conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974

XVII Thorme de stabilit de SuslinIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977

1 Le groupe lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9772 Le symbole de Mennicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813 Vecteurs unimodulaires polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 9834 Principes local-globals de Suslin et Rao . . . . . . . . . . . . . . . 985Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991



xvi Table des matires

Annexe. Logique constructiveIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

1 Objets de base, Ensembles, Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 9942 Affirmer signifie prouver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9993 Connecteurs et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10004 Calculs mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10025 Principes domniscience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10036 Principes problmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007Exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009

Tables des thormes 1011Bibliographie 1021Index des notations 1037Index des termes 1045



Avant-propos

Quant moi, je proposerais de sen tenir aux rgles suivantes :1. Ne jamais envisager que des objets susceptibles dtre dfinis

en un nombre fini de mots ;2. Ne jamais perdre de vue que toute proposition sur linfini doit

tre la traduction, lnonc abrg de propositions sur le fini ;3. viter les classifications et les dfinitions non-prdicatives.

Henri Poincar,dans La logique de linfini (Revue de Mtaphysique et de Morale, 1909).

Rdit dans Dernires penses, Flammarion.

Ce livre est un cours dintroduction lalgbre commutative de base, avec unaccent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituentla version algbrique des fibrs vectoriels en gomtrie diffrentielle.Comme indiqu dans la prface, nous adoptons la mthode constructive,avec laquelle tous les thormes dexistence ont un contenu algorithmiqueexplicite. Les mathmatiques constructives peuvent tre regardes commela partie la plus thorique du calcul formel (computer algebra en anglais),qui soccupe des mathmatiques qui tournent sur ordinateur . Notre coursse distingue cependant des cours de calcul formel usuels sous deux aspectsessentiels.Tout dabord, nos algorithmes sont le plus souvent seulement implicites,sous-jacents la dmonstration, et ne sont en aucune manire optimisspour sexcuter le plus rapidement possible, comme il est naturel lorsquelon vise une implmentation efficace.Ensuite, notre approche thorique est entirement constructive, alors queles cours de calcul formel usuels se proccupent peu de cette question. Laphilosophie nest donc pas ici, comme il est dusage blanc ou noir, le bonchat est celui qui attrape la souris 1 , mais plutt la suivante le moyenfait partie de la recherche de la vrit, aussi bien que le rsultat. Il faut quela recherche de la vrit soit elle-mme vraie ; la recherche vraie, cest lavrit dploye, dont les membres pars se runissent dans le rsultat 2 .

1. Proverbe chinois.2. Karl Marx, Remarques propos de la rcente instruction prussienne sur la censure,

1843 (cit par Georges Perec dans Les Choses).

xvii



xviii Avant-propos

Nous sommes amens parler souvent des deux points de vue, classique etconstructif, sur un mme sujet. En particulier, nous avons mis une toilepour signaler les noncs (thormes, lemmes . . .) qui sont vrais en math-matiques classiques, mais dont nous ne donnons pas de dmonstrationconstructive, et qui souvent ne peuvent pas en avoir. Ces noncs toils ne seront donc probablement jamais implments sur machine, mais ilssont bien souvent utiles comme guides pour lintuition, et au moins pourfaire le lien avec les exposs usuels crits dans le style des mathmatiquesclassiques.Pour ce qui concerne les dfinitions, nous donnons gnralement en premierune variante constructive, la lectrice 3 voudra bien nous le pardonner, quitte montrer en mathmatiques classiques lquivalence avec la dfinitionusuelle. Le lecteur constatera que dans les dmonstrations toiles nousutilisons librement le lemme de Zorn et le principe du tiers exclu, tandis queles autres dmonstrations ont toujours une traduction directe sous formedalgorithme.Lalgbre constructive est en fait une vieille discipline, dveloppe en parti-culier par Gauss et Kronecker. Comme prcis galement dans la prface,nous nous situons dans la ligne de la bible moderne sur le sujet, questle livre A Course in Constructive Algebra de Ray Mines, Fred Richman etWim Ruitenburg, paru en 1988. Nous le citerons sous forme abrge [MRR].Notre ouvrage est cependant autocontenu et nous ne rclamons pas [MRR]comme prrequis. Les livres de Harold M. Edwards de mathmatiques cons-tructives [Edwards89, Edwards05] et celui de Ihsen Yengui [Yengui] sontaussi recommander.

Le contenu de louvrageNous commenons par un bref commentaire sur les choix qui ont t faitsconcernant les thmes traits.La thorie des modules projectifs de type fini est un des thmes unificateursde louvrage. Nous voyons cette thorie sous forme abstraite comme unethorie algbrique des fibrs vectoriels, et sous forme concrte comme celledes matrices idempotentes. La comparaison des deux points de vue estesquisse dans le chapitre introductif.La thorie des modules projectifs de type fini proprement dite est traitedans les chapitres V (premires proprits), VI (algbres qui sont des mo-dules projectifs de type fini), X (thorie du rang et exemples), XIV (splittingoff de Serre) et XVI (modules projectifs de type fini tendus).

3. La personne qui lit ce livre subit la rgle inexorable de lalternance des sexes.Esprons que les lecteurs nen seront pas plus affects que les lectrices. En tout cas, celanous conomisera bien des ou et bien des (e) .



Avant-propos xix

Un autre thme unificateur est fourni par les principes local-globals, commedans [Kunz] par exemple. Il sagit dun cadre conceptuel trs efficace, mmesil est un peu vague. Dun point de vue constructif, on remplace la loca-lisation en un idal premier arbitraire par un nombre fini de localisationsen des monodes comaximaux. Les notions qui respectent le principe local-global sont de bonnes notions , en ce sens quelles sont mres pour lepassage des anneaux commutatifs aux schmas de Grothendieck, que nousne pourrons malheureusement pas aborder dans lespace restreint de cetouvrage.Enfin, un dernier thme rcurrent est donn par la mthode, tout faitfamilire en calcul formel, dite de lvaluation paresseuse, ou dans sa formela plus aboutie, la mthode de lvaluation dynamique. Cette mthode estindispensable lorsque lon veut mettre en place un traitement algorith-mique des questions qui requirent a priori la solution dun problme defactorisation. Cette mthode a galement permis la mise au point des ma-chineries constructives locales-globales que lon trouve dans les chapitres IVet XV, ainsi que celle de la thorie constructive de la dimension de Krull(chapitre XIII), avec dimportantes applications dans les derniers chapitres.Nous passons maintenant une description plus dtaille du contenu delouvrage.Dans le chapitre I, nous expliquons les liens troits que lon peut tablirentre les notions de fibrs vectoriels en gomtrie diffrentielle et de moduleprojectif de type fini en algbre commutative. Ceci fait partie du processusgnral dalgbrisation en mathmatiques, processus qui permet souvent desimplifier, dabstraire et de gnraliser de manire surprenante des conceptsprovenant de thories particulires.Le chapitre II est consacr aux systmes linaires sur un anneau commutatif,traits sous forme lmentaire. Il ne requiert presquaucun appareillagethorique, mis part la question de la localisation en un monode, dont nousdonnons un rappel dans la section II-1. Nous entrons ensuite dans notresujet en mettant en place le principe local-global concret pour la rsolutiondes systmes linaires (section II-2), un outil simple et efficace qui serarepris et diversifi sans cesse. Dun point de vue constructif, la rsolution dessystmes linaires fait immdiatement apparatre comme central le conceptdanneau cohrent que nous traitons dans la section II-3. Les anneauxcohrents sont ceux pour lesquels on a une prise minimale sur la solutiondes systmes linaires homognes. De manire trs tonnante, ce conceptnapparat pas dans les traits classiques dalgbre commutative. Cest quengnral celle notion est compltement occulte par celle danneau noethrien.Cette occultation na pas lieu en mathmatiques constructives o la noeth-rianit nimplique pas ncessairement la cohrence. Nous dveloppons dansla section II-4 la question des produits finis danneaux, avec la notion de



xx Avant-propos

systme fondamental didempotents orthogonaux et le thorme des resteschinois. La longue section II-5 est consacre de nombreuses variationssur le thme des dterminants. Enfin, la section II-6 revient sur le principelocal-global de base, dans une version un peu plus gnrale consacre auxsuites exactes de modules.Le chapitre III dveloppe la mthode des coefficients indtermins, dvelop-pe par Gauss. De trs nombreux thormes dexistence en algbre commuta-tive reposent sur des identits algbriques sous conditions et donc sur desappartenances g f1, . . . , fs dans un anneau Z[c1, . . . , cr, X1, . . . , Xn], oles Xi sont les variables et les cj les paramtres du thorme considr. Ence sens, on peut considrer que lalgbre commutative est une vaste thoriedes identits algbriques, qui trouve son cadre naturel dans la mthodedes coefficients indtermins, cest--dire la mthode dans laquelle les para-mtres du problme traiter sont pris comme des indtermines. Forts decette certitude, nous sommes, autant que faire se pouvait, systmatiquementpartis la chasse des identits algbriques , ceci non seulement dans leschapitres II et III purement calculatoires , mais dans tout louvrage. Enbref, plutt que daffirmer en filigrane dun thorme dexistence il existeune identit algbrique qui certifie cette existence , nous avons tch dedonner chaque fois lidentit algbrique elle-mme.Ce chapitre III peut tre considr comme un cours dalgbre de base avecles mthodes du 19e sicle. Les sections III-1, III-2 et III-3 donnent quelquesgnralits sur les polynmes, avec notamment lalgorithme de factorisationpartielle, la thorie des identits algbriques (qui explique la mthodedes coefficients indtermins), les polynmes symtriques lmentaires, lelemme de Dedekind-Mertens et le thorme de Kronecker. Ces deux derniersrsultats sont des outils de base qui donnent des informations prcises surles coefficients du produit de deux polynmes ; ils sont souvent utiliss dansle reste de louvrage. La section III-4 introduit lalgbre de dcompositionuniverselle dun polynme unitaire sur un anneau commutatif arbitraire,qui est un substitut efficace au corps des racines dun polynme sur uncorps. La section III-5 est consacre au discriminant et explique en quel sensprcis une matrice gnrique est diagonalisable. Avec ces outils en mains,on peut traiter la thorie de Galois de base dans la section III-6. La thorielmentaire de llimination via le rsultant est donne dans la section III-7.On peut alors donner les bases de la thorie algbrique des nombres, avecle thorme de dcomposition unique en facteurs premiers pour un idalde type fini dun corps de nombres (section III-8). La section III-9 donnele Nullstellensatz de Hilbert comme application du rsultant. Enfin, lasection III-10 sur la mthode de Newton en algbre termine ce chapitre.Le chapitre IV est consacr ltude des proprits lmentaires des mo-dules de prsentation finie. Ces modules jouent un peu le mme rle pour



Avant-propos xxi

les anneaux que les espaces vectoriels de dimension finie pour les corps :la thorie des modules de prsentation finie est une manire un peu plusabstraite, et souvent profitable, daborder la question des systmes linaires.Les sections IV-1 IV-4 donnent les proprits de stabilit de base ainsi quelexemple important de lidal dun zro pour un systme polynomial (surun anneau commutatif arbitraire). On sintresse ensuite au problme declassification des modules de prsentation finie sur un anneau donn. Sur lechemin des anneaux principaux, pour lesquels le problme de classificationest compltement rsolu (section IV-7), nous rencontrons les anneaux quasiintgres (section IV-6), qui sont les anneaux o lannulateur dun lmentest toujours engendr par un idempotent. Cest loccasion de mettre enplace une machinerie locale-globale lmentaire qui permet de passer dunrsultat tabli constructivement pour les anneaux intgres au mme rsultat,convenablement reformul, pour les anneaux quasi intgres. Cette machineriede transformation de preuves est lmentaire, car fonde sur la dcompo-sition dun anneau en produit fini danneaux. La chose intressante estque cette dcomposition est obtenue par relecture de la dmonstrationconstructive crite dans le cas intgre : on voit ici quen mathmatiquesconstructives la dmonstration est souvent encore plus importante que lersultat. De la mme manire, on a une machinerie locale-globale lmentairequi permet de passer dun rsultat tabli constructivement pour les corpsdiscrets au mme rsultat, convenablement reformul, pour les anneaux zro-dimensionnels rduits (section IV-8). Les anneaux zro-dimensionnels, icidfinis de manire lmentaire, constituent une cl importante de lalgbrecommutative, comme tape intermdiaire pour gnraliser certains rsultatsdes corps discrets aux anneaux commutatifs arbitraires. Dans la littratureclassique, ils apparaissent souvent sous leur forme noethrienne, cest--direcelle des anneaux artiniens. La section IV-9 introduit les invariants trsimportants que sont les idaux de Fitting dun module de prsentationfinie. Enfin, la section IV-10 applique cette notion pour introduire lidalrsultant dun idal de type fini dans un anneau de polynmes quandlidal en question contient un polynme unitaire, et dmontrer un thormedlimination algbrique sur un anneau arbitraire.Le chapitre V est une premire approche de la thorie des modules projectifsde type fini. Les sections V-2 V-5 donnent les proprits de base ainsi quelexemple important des anneaux zro-dimensionnels. La section V-6 donnele thorme de structure locale : un module est projectif de type fini si, etseulement si, il devient libre aprs localisation en des lments comaximauxconvenables. Sa dmonstration constructive est une relecture dun rsultattabli dans le chapitre II pour les systmes linaires bien conditionns (thorme II-5.26). La section V-7 dveloppe lexemple des modules projec-tifs localement monognes. La section V-8 introduit le dterminant dun



xxii Avant-propos

endomorphisme dun module projectif de type fini. Ceci donne accs ladcomposition dun tel module en somme directe de ses composants de rangconstant. Enfin, la section V-9, que lon ne savait pas bien o mettre danslouvrage, hberge quelques considrations supplmentaires sur les propri-ts de caractre fini, une notion introduite au chapitre II pour discuterles rapports entre principes local-globals concrets et principes local-globalsabstraits.Le chapitre VI est consacr pour lessentiel aux algbres qui sont des modulesprojectifs de type fini sur leur anneau de base. Nous les appelons des algbresstrictement finies. Elles constituent une gnralisation naturelle pour lesanneaux commutatifs de la notion dalgbre finie sur un corps. Comme casimportant, cerise sur le gteau, les algbres galoisiennes, qui gnralisentles extensions galoisiennes de corps discrets aux anneaux commutatifs.La section VI-1 traite le cas o lanneau de base est un corps discret. Elledonne des versions constructives pour les thormes de structure obtenus enmathmatiques classiques. Le cas des algbres tales (quand le discriminantest inversible) est particulirement clairant. On dcouvre que les thormesclassiques supposent toujours implicitement que lon sache factoriser lespolynmes sparables sur le corps de base. La dmonstration constructivedu thorme de llment primitif VI-1.9 est significative par son cartavec la dmonstration classique. La section VI-2 applique les rsultatsprcdents pour terminer la thorie de Galois de base commence dans lasection III-6 en caractrisant les extensions galoisiennes de corps discretscomme les extensions tales et normales. La section VI-3 est une brveintroduction aux algbres de prsentation finie, en insistant sur le cas desalgbres entires, avec un Nullstellensatz faible et le lemme lying over.La section VI-4 introduit les algbres strictement finies sur un anneauarbitraire. Dans les sections VI-5 et VI-6, sont introduites les notionsvoisines dalgbre strictement tale et dalgbre sparable qui gnralisentla notion dalgbre tale sur un corps discret. Dans la section VI-7, ondonne un expos constructif des bases de la thorie des algbres galoisiennespour les anneaux commutatifs. Il sagit en fait dune thorie dArtin-Galois,puisquelle reprend lapproche quArtin avait dveloppe pour le cas descorps, en partant directement dun groupe fini dautomorphismes dun corps,le corps de base napparaissant que comme un sous-produit des constructionsqui sensuivent.Dans le chapitre VII, la mthode dynamique, une pierre angulaire desmthodes modernes en algbre constructive, est mise en uvre pour traiterdun point de vue constructif le corps des racines dun polynme et lathorie de Galois dans le cas sparable, lorsque la proie schappe pourlaisser place son ombre, cest--dire lorsque lon ne sait pas factoriser lespolynmes sur le corps de base que lon considre. titre dentranement,



Avant-propos xxiii

la section VII-1 commence par tablir des rsultats sous forme constructivepour le Nullstellensatz lorsque lon ne sait pas factoriser les polynmes sur lecorps de base. Des considrations dordre gnral sur la mthode dynamiquesont dveloppes dans la section VII-2. Plus de dtails sur le droulementdes festivits sont donns dans lintroduction du chapitre.Le chapitre VIII est une brve introduction aux modules plats et aux alg-bres plates et fidlement plates. En langage intuitif, une A-algbre B estplate lorsque les systmes linaires sur A sans second membre nont pasplus de solutions dans B que dans A, et elle est fidlement plate si cetteaffirmation est vraie galement des systmes linaires avec second membre.Ces notions cruciales de lalgbre commutative ont t introduites parSerre dans [170, GAGA,1956]. Nous ne donnons que les rsultats vraimentfondamentaux. Cest galement loccasion dintroduire les notions danneaulocalement sans diviseur de zro, de module sans torsion (pour un anneauarbitraire), danneau arithmtique et danneau de Prfer. Nous insistonscomme toujours sur le principe local-global quand il sapplique.Le chapitre IX parle des anneaux locaux et de quelques gnralisations. Lasection IX-1 introduit la terminologie constructive pour quelques notionsclassiques usuelles, dont la notion importante de radical de Jacobson. Unenotion connexe est celle danneau rsiduellement zro-dimensionnel (unanneau A tel que A/Rad A est zro-dimensionnel). Cest une notion robuste,qui nutilise jamais les idaux maximaux, et la plupart des thormes de lalittrature concernant les anneaux semi-locaux (en mathmatiques classi-ques ce sont les anneaux qui nont quun nombre fini didaux maximaux)sappliquent aux anneaux rsiduellement zro-dimensionnels. La section IX-2rpertorie quelques rsultats qui montrent que sur un anneau local on ramnela solution de certains problmes au cas des corps. Les sections IX-3 et IX-4tablissent sur des exemples gomtriques (cest--dire concernant ltudede systmes polynomiaux) un lien entre la notion dtude locale au sensintuitif topologique et ltude de certaines localisations danneaux (dans lecas dun corps discret la base, ces localisations sont des anneaux locaux).On introduit notamment les notions despaces tangent et cotangent en unzro dun systme polynomial. La section IX-5 fait une brve tude desanneaux dcomposables, dont un cas particulier en mathmatiques classi-ques sont les anneaux dcomposs (produits finis danneaux locaux), quijouent un rle important dans la thorie des anneaux locaux hensliens.Enfin la section IX-6 traite la notion danneau local-global, qui gnra-lise la fois celle danneau local et celle danneau zro-dimensionnel. Cesanneaux vrifient des proprits locales-globales trs fortes, par exemple lesmodules projectifs de rang constant sont toujours libres, et ils sont stablespar extensions entires.



xxiv Avant-propos

Le chapitre X poursuit ltude des modules projectifs de type fini commencedans le chapitre V. Dans la section X-1, nous reprenons la question de lacaractrisation des modules projectifs de type fini comme modules loca-lement libres, cest--dire du thorme de structure locale. Nous en donnonsune version matricielle (thorme X-1.7), qui rsume et prcise les diffrentsnoncs du thorme. La section X-2 est consacre lanneau des rangssur A. En mathmatiques classiques, le rang dun module projectif de typefini est dfini comme une fonction localement constante sur le spectre deZariski. Nous donnons ici une thorie lmentaire du rang qui ne fait pasappel aux idaux premiers. Dans la section X-3, nous donnons quelquesapplications simples du thorme de structure locale. La section X-4 est uneintroduction aux grassmanniennes. Dans la section X-5, nous introduisonsle problme gnral de la classification complte des modules projectifsde type fini sur un anneau A fix. Cette classification est un problmefondamental et difficile, qui nadmet pas de solution algorithmique gn-rale. La section X-6 prsente un exemple non trivial pour lesquels cetteclassification peut tre obtenue.Le chapitre XI est consacr aux treillis distributifs et groupes rticuls. Lesdeux premires sections dcrivent ces structures algbriques ainsi que leursproprits de base. Ces structures sont importantes en algbre commutativepour plusieurs raisons.Dune part, la thorie de la divisibilit a comme modle idal la thoriede la divisibilit des entiers naturels. La structure du monode multiplica-tif (N,, 1) en fait la partie positive dun groupe rticul. Ceci se gnraliseen algbre commutative dans deux directions. La premire gnralisationest la thorie des anneaux intgres dont les idaux de type fini forment untreillis distributif, appels des domaines de Prfer, que nous tudierons dansle chapitre XII : leurs idaux de type fini non nuls forment la partie positivedun groupe rticul. La deuxime est la thorie des anneaux pgcd quenous tudions dans la section XI-3. Signalons la premire apparition dela dimension de Krull 6 1 dans le thorme XI-3.12 : un anneau pgcdintgre de dimension 6 1 est un anneau de Bzout.Dautre part, les treillis distributifs interviennent comme la contrepartieconstructive des espaces spectraux divers et varis qui se sont imposscomme des outils puissants de lalgbre abstraite. Les rapports entre treillisdistributifs et espaces spectraux seront abords dans la section XIII-1. Dansla section XI-4, nous mettons en place le treillis de Zariski dun anneaucommutatif A, qui est la contrepartie constructive du fameux spectre deZariski. Notre but ici est dtablir le parallle entre la construction dela clture zro-dimensionnelle rduite dun anneau (note A) et celle delalgbre de Boole engendre par un treillis distributif (qui fait lobjet duthorme XI-4.26). Lobjet A ainsi construit contient essentiellement la



Avant-propos xxv

mme information que le produit des anneaux Frac(A/p ) pour tous lesidaux premiers p de A( 4). Ce rsultat est en relation troite avec le faitque le treillis de Zariski de A est lalgbre de Boole engendre par le treillisde Zariski de A.Une troisime raison de sintresser aux treillis distributifs est la logiqueconstructive (ou intuitionniste). Dans cette logique, lensemble des valeursde vrit de la logique classique, savoir {Vrai,Faux}, qui est une algbrede Boole deux lments, est remplac par un treillis distributif assezmystrieux. La logique constructive sera aborde de manire informelledans lannexe. Dans la section XI-5, nous mettons en place les outils quiservent de cadre une tude algbrique formelle de la logique constructive :les relations implicatives et les algbres de Heyting. Par ailleurs, relationsimplicatives et algbres de Heyting ont leur utilit propre dans ltude gn-rale des treillis distributifs. Par exemple, le treillis de Zariski dun anneaunoethrien cohrent est une algbre de Heyting (proposition XIII-6.9).Le chapitre XII traite les anneaux arithmtiques, les anneaux de Prfer etles anneaux de Dedekind. Les anneaux arithmtiques sont les anneaux dontle treillis des idaux de type fini est distributif. Un anneau de Prfer est unanneau arithmtique rduit et il est caractris par le fait que tous ses idauxsont plats. Un anneau de Prfer cohrent est la mme chose quun anneauarithmtique quasi intgre. Il est caractris par les fait que ses idaux detype fini sont projectifs. Un anneau de Dedekind est un anneau de Prfercohrent noethrien et fortement discret (en mathmatiques classiques avecle principe du tiers exclu tout anneau est fortement discret et tout anneaunoethrien est cohrent). Ces anneaux sont apparus tout dabord avec lesanneaux dentiers de corps de nombres. Le paradigme dans le cas intgreest la dcomposition unique en facteurs premiers de tout idal de type fininon nul. Les proprits arithmtiques du monode multiplicatif des idauxde type fini sont pour lessentiel vrifies par les anneaux arithmtiques.Pour les proprits les plus subtiles concernant la factorisation des idauxde type fini, et notamment la dcomposition en facteurs premiers, unehypothse noethrienne, ou au moins de dimension 6 1, est indispensable.Dans ce chapitre, nous avons voulu montrer la progression des propritssatisfaites par les anneaux au fur et mesure que lon renforce les hypothses,depuis les anneaux arithmtiques jusquaux anneaux de Dedekind facto-risation totale. Nous insistons sur le caractre algorithmique simple desdfinitions dans le cadre constructif. Certaines proprits ne dpendentque de la dimension 6 1, et nous avons voulu rendre justice aux anneauxquasi intgres de dimension infrieure ou gale 1. Nous avons galementfait une tude du problme de la dcomposition en facteurs premiers plus

4. Ce produit nest pas accessible en mathmatiques constructives, A en est unsubstitut constructif tout fait efficace.



xxvi Avant-propos

progressive et plus fine que dans les exposs qui sautorisent le principe dutiers exclu. Par exemple, les thormes XII-4.10 et XII-7.12 donnent desversions constructives prcises du thorme concernant les extensions finiesnormales danneaux de Dedekind, avec ou sans la proprit de factorisationtotale.Le chapitre commence par quelques remarques dordre pistmologiquesur lintrt intrinsque daborder les problmes de factorisation avec lethorme de factorisation partielle plutt quavec celui de factorisationtotale. Pour avoir une bonne ide du droulement des festivits, il suffit dese reporter la table des matires en tte du chapitre page 703 et la tabledes thormes page 1018.Le chapitre XIII est consacr la dimension de Krull des anneaux com-mutatifs, celle de leurs morphismes, celle des treillis distributifs et ladimension valuative des anneaux commutatifs.Plusieurs notions importantes de dimension en algbre commutative classi-que sont des dimensions despaces spectraux. Ces espaces topologiques trsparticuliers jouissent de la proprit dtre entirement dcrits (au moins enmathmatiques classiques) par leurs ouverts quasi-compacts, qui formentun treillis distributif. Il savre que le treillis distributif correspondant a engnral une interprtation simple, sans recours aucun aux espaces spectraux.En 1974, Joyal a montr comment dfinir constructivement la dimension deKrull dun treillis distributif. Depuis ce jour faste, la thorie de la dimensionqui semblait baigner dans des espaces thrs, invisibles lorsque lon ne faitpas confiance laxiome du choix, est devenue (au moins en principe) unethorie de nature lmentaire, sans plus aucun mystre.La section XIII-1 dcrit lapproche de la dimension de Krull en math-matiques classiques. Elle explique aussi comment on peut interprter ladimension de Krull dun tel espace en terme du treillis distributif de sesouverts quasi-compacts. La section XIII-2 donne la dfinition constructi-ve de la dimension de Krull dun anneau commutatif, note Kdim A, eten tire quelques consquences. La section XIII-3 donne quelques propri-ts plus avances, et notamment le principe local-global et le principe derecouvrement ferm pour la dimension de Krull. La section XIII-4 traitela dimension de Krull des extensions entires et la section XIII-5 celledes anneaux gomtriques (correspondant aux systmes polynomiaux) surles corps discrets. La section XIII-6 donne la dfinition constructive dela dimension de Krull dun treillis distributif et montre que la dimen-sion de Krull dun anneau commutatif et celle de son treillis de Zariskiconcident. La section XIII-7 est consacre la dimension des morphismesentre anneaux commutatifs. La dfinition utilise la clture zro-dimensionnelrduite de lanneau source du morphisme. Pour dmontrer la formule quimajore Kdim B partir de Kdim A et Kdim (lorsque lon a un morphisme



Avant-propos xxvii

: A B), nous devons introduire la clture quasi intgre minimale dunanneau commutatif. Cet objet est une contrepartie constructive du produitde tous les A/p, lorsque p parcourt les idaux premiers minimaux de A. Lasection XIII-8 introduit la dimension valuative dun anneau commutatif etutilise cette notion notamment pour dmontrer le rsultat important suivant :pour un anneau arithmtique non nul A, on a Kdim A[X1, . . . , Xn] = n+Kdim A. La section XIII-10 donne des versions constructives des thormesGoing up et Going down.Dans le chapitre XIV, intitul Nombre de gnrateurs dun module, on tablitla version lmentaire, non noethrienne et constructive de grands tho-rmes dalgbre commutative, dus dans leur version originale Kronecker,Bass, Serre, Forster et Swan. Ces rsultats concernent le nombre de gn-rateurs radicaux dun idal de type fini, le nombre de gnrateurs dunmodule, la possibilit de produire un sous-module libre en facteur directdans un module, et la possibilit de simplifier des isomorphismes, dans lestyle suivant : si M N ' M N alors M ' M . Ils font intervenir ladimension de Krull ou dautres dimensions plus sophistiques, introduitespar R. Heitmann ainsi que par les auteurs de cet ouvrage et T. Coquand.La section XIV-1 est consacre au thorme de Kronecker et ses extensions(la plus aboutie, non noethrienne, est due R. Heitmann [99]). Le thormede Kronecker est usuellement nonc sous la forme suivante : une varitalgbrique dans Cn peut toujours tre dfinie par n+ 1 quations. La formedue Heitmann est que dans un anneau de dimension de Krull infrieureou gale n, pour tout idal de type fini a il existe un idal b engendrpar au plus n+ 1 lments de a tel que

b =a. La dmonstration donne

aussi le thorme de Bass, dit stable range . Ce dernier thorme a tamlior en faisant intervenir des dimensions meilleures que la dimensionde Krull. Ceci fait lobjet de la section XIV-2, o est dfinie la dimensionde Heitmann, dcouverte en lisant avec attention les dmonstrations deHeitmann (Heitmann utilise une autre dimension, a priori un peu moinsbonne, que nous expliquons galement en termes constructifs). Dans lasection XIV-3, nous expliquons quelles sont les proprits matricielles dunanneau qui permettent de faire fonctionner les thormes de Serre (splittingoff), de Forster-Swan (contrle du nombre de gnrateurs dun module detype fini en fonction du nombre de gnrateurs local) et le thorme desimplification de Bass. La section XIV-4 introduit les notions de support(une application dun anneau dans un treillis distributif vrifiant certainsaxiomes) et de n-stabilit. Cette dernire notion a t dfinie par ThierryCoquand, aprs avoir analys une dmonstration de Bass qui tablit que lesmodules projectifs de type fini sur un anneau V[X], o V est un anneaude valuation de dimension de Krull finie, sont libres. Dans la derniresection, on dmontre que la proprit matricielle cruciale introduite dans la



xxviii Avant-propos

section XIV-3 est satisfaite, dune part, par les anneaux n-stables, dautrepart par les anneaux de dimension de Heitmann < n.Le chapitre XV est consacr au principe local-global et ses variantes. Lasection XV-1 introduit la notion de recouvrement dun monode par unefamille finie de monodes, ce qui gnralise la notion de monodes comaxi-maux. Le lemme de recouvrement XV-1.5 sera dcisif dans la section XV-5.La section XV-2 donne des principes local-globals concrets. Il sagit dedire que certains proprits sont vraies globalement ds quelles le sontlocalement. Ici, localement est pris au sens constructif : aprs locali-sation en un nombre fini de monodes comaximaux. La plupart des rsultatsont t tablis dans les chapitres prcdents. Leur regroupement fait voir laporte trs gnrale de ces principes. La section XV-3 reprend certains de cesprincipes sous forme de principes local-globals abstraits. Ici, localement est pris au sens abstrait, cest--dire aprs localisation en nimporte quelidal premier. Cest surtout la comparaison avec les principes local-globalsconcrets correspondants qui nous intresse. La section XV-4 explique laconstruction dobjets globaux partir dobjets de mme nature dfinisuniquement de manire locale, comme il est usuel en gomtrie diffrentielle.Cest limpossibilit de cette construction lorsque lon cherche recollercertains anneaux qui est lorigine des schmas de Grothendieck. En cesens, les sections XV-2 et XV-4 constituent la base partir de laquelleon peut dvelopper la thorie des schmas dans un cadre compltementconstructif.Les sections suivantes sont dune autre nature. Dordre mthodologique,elles sont consacres au dcryptage de diffrentes variantes du principe local-global en mathmatiques classiques. Par exemple, la localisation en tous lesidaux premiers, le passage au quotient par tous les idaux maximaux ou lalocalisation en tous les idaux premiers minimaux, qui sappliquent chacunedans des situations particulires. Un tel dcryptage prsente un caractrecertainement droutant dans la mesure o il prend pour point de dpart unedmonstration classique qui utilise des thormes en bonne et due forme,mais o le dcryptage constructif de cette dmonstration nest pas seulementdonn par lutilisation de thormes constructifs en bonne et due forme. Ilfaut aussi regarder ce que fait la dmonstration classique avec ses objetspurement idaux (des idaux maximaux par exemple) pour comprendrecomment elle nous donne le moyen de construire un nombre fini dlmentsqui vont tre impliqus dans un thorme constructif (un principe local-global concret par exemple) pour aboutir au rsultat souhait. En dcryptantune telle dmonstration, nous utilisons la mthode dynamique gnraleexpose au chapitre VII. Nous dcrivons ainsi desmachineries locales-globalesnettement moins lmentaires que celles du chapitre IV : la machinerielocale-globale constructive de base idaux premiers (section XV-5), la



Avant-propos xxix

machinerie locale-globale constructive idaux maximaux (section XV-6)et la machinerie locale-globale constructive idaux premiers minimaux(section XV-7). En ralisant le programme de Poincar cit en exergue decet avant-propos, nos machineries locales-globales prennent en compte uneremarque essentielle de Lakatos, savoir que la chose la plus intressanteet robuste dans un thorme, cest toujours sa dmonstration, mme si elleest critiquable certains gards (voir [Lakatos]).Dans les sections XV-8 et XV-9, nous examinons dans quelle mesure certainsprincipes local-globals restent valides lorsque lon remplace dans les noncsles listes dlments comaximaux par des listes de profondeur > 1 ou deprofondeur > 2.Dans le chapitre XVI, nous traitons la question des modules projectifs detype fini sur les anneaux de polynmes. La question dcisive est dtablirpour quelles classes danneaux les modules projectifs de type fini sur unanneau de polynmes proviennent par extension des scalaires dun moduleprojectif de type fini sur lanneau lui-mme (ventuellement en posantcertaines restrictions sur les modules projectifs de type fini considrs ou surle nombre de variables dans lanneau de polynmes). Quelques gnralitssur les modules tendus sont donnes dans la section XVI-1. Le cas des mo-dules projectifs de rang constant 1, compltement clairci par le thorme deTraverso-Swan-Coquand, est trait dans la section XVI-2. La dmonstrationconstructive de Coquand utilise de manire cruciale la machinerie locale-globale constructive idaux premiers minimaux. La section XVI-3 traiteles thormes de recollement de Quillen (Quillen patching) et Vaserstein, quidisent que certains objets sont obtenus par extension des scalaires (depuislanneau de base un anneau de polynmes) si, et seulement si, cette propri-t est vrifie localement. Nous donnons aussi une sorte de rciproque duQuillen patching, due Roitman, sous forme constructive. La section XVI-4est consacre aux thormes de Horrocks. La dmonstration constructivedu thorme de Horrocks global fait subir la dmonstration du thormede Horrocks local la machinerie locale-globale de base et se conclut avecle Quillen patching constructif. La section XVI-5 donne plusieurs preuvesconstructives du thorme de Quillen-Suslin (les modules projectifs de typefini sur un anneau de polynmes sur un corps discret sont libres), fondes surdiffrentes dmonstrations classiques. La section XVI-6 tablit le thormede Lequain-Simis (les modules projectifs de type fini sur un anneau depolynmes sur un anneau arithmtique sont tendus). La dmonstrationutilise la mthode dynamique expose au chapitre VII, cela permet dtablirle thorme dinduction de Yengui, une variante constructive de linductionde Lequain-Simis.Dans le chapitre XVII, nous dmontrons le Suslin Stability Theorem dansle cas particulier des corps discrets. Ici aussi, pour obtenir une dmonstration



xxx Avant-propos

constructive, nous utilisons la machinerie locale-globale de base, expose auchapitre XV.Lannexe dcrit la thorie des ensembles constructive la Bishop. Elle peuttre vue comme une introduction la logique constructive. On y expliquela smantique de Brouwer-Heyting-Kolmogorov pour les connecteurs etquantificateurs. On discute certaines formes faibles du principe du tiersexclu ainsi que plusieurs principes problmatiques en mathmatiques cons-tructives.

Quelques remarques dordre pistmologiqueNous esprons dans cet ouvrage montrer que des livres classiques dalg-bre commutative comme [Atiyah & Macdonald], [Eisenbud], [Gilmer], [Glaz],[Kaplansky], [Knapp, 1], [Knapp, 2], [Kunz], [Lafon & Marot], [Lam06] (dontla lecture est vivement recommande), [Matsumura], [Northcott], ou mme[Bourbaki] et le remarquable ouvrage disponible sur le rseau [Stacks-Project],pourront entirement tre rcrits avec un point de vue constructif, dissipantle voile de mystre qui entoure les thormes dexistence non explicites desmathmatiques classiques. Naturellement, nous esprons que les lectricesprofiteront de notre ouvrage pour jeter un regard nouveau sur les livres de cal-cul formel classiques, comme par exemple [Cox, Little & OShea], [COCOA],[SINGULAR], [Ene & Herzog], [Elkadi & Mourrain], [Mora], [TAPAS] ou[von zur Gathen & Gerhard].Dans la mesure o nous voulons un traitement algorithmique de lalgbrecommutative, nous ne pouvons pas utiliser toutes les facilits que donnentlusage systmatique du lemme de Zorn et du principe du tiers exclu enmathmatiques classiques. Sans doute, le lecteur comprend bien quil estdifficile dimplmenter le lemme de Zorn en calcul formel. Le refus duprincipe du tiers exclu doit par contre lui sembler plus dur avaler. Cenest de notre part quune constatation pratique. Si dans une dmonstrationclassique, vous trouvez un raisonnement qui conduit un calcul du type : si x est inversible, faire ceci, sinon faire cela , il est bien clair que celane se traduit directement sous forme dun algorithme que dans le cas olon dispose dun test dinversibilit dans lanneau en question. Cest pourinsister sur cette difficult, que nous devons contourner en permanence, quenous sommes amens parler souvent des deux points de vue, classique etconstructif, sur un mme sujet.On peut discuter indfiniment pour savoir si les mathmatiques construc-tives sont une partie des mathmatiques classiques, la partie qui soccupeexclusivement des aspects explicites des choses, ou si au contraire ce sont lesmathmatiques classiques qui sont une partie des mathmatiques construc-tives, la partie dont les thormes sont toils , cest--dire qui rajoutentsystmatiquement dans leurs hypothses le principe du tiers exclu et laxiome



Avant-propos xxxi

du choix. Un de nos objectifs est de faire pencher la balance dans la deuximedirection, non par le dbat philosophique, mais par la pratique.Signalons enfin deux traits marquants de cet ouvrage par rapport auxouvrages classiques dalgbre commutative.Le premier est la mise au second plan de la noethrianit. Lexprienceprouve en effet que la noethrianit est bien souvent une hypothse tropforte, qui cache la vraie nature algorithmique des choses. Par exemple, telthorme habituellement nonc pour les anneaux noethriens et les modu-les de type fini, lorsque lon met sa dmonstration plat pour en extraireun algorithme, savre tre un thorme sur les anneaux cohrents et lesmodules de prsentation finie. Le thorme habituel nest quun corollairedu bon thorme, mais avec deux arguments non constructifs qui permettentde dduire en mathmatiques classiques la cohrence et la prsentation finiede la noethrianit et du type fini. Une dmonstration dans le cadre plussatisfaisant de la cohrence et des modules de prsentation finie se trouvebien souvent dj publie dans des articles de recherche, quoique rarementsous forme entirement constructive, mais le bon nonc est en gnralabsent dans les ouvrages de rfrence 5.Le deuxime trait marquant de louvrage est labsence presque totale dela ngation dans les noncs constructifs. Par exemple, au lieu dnoncerque pour un anneau A non trivial, deux modules libres de rang m et navecm > n ne peuvent pas tre isomorphes, nous prfrons dire, sans aucunehypothse sur lanneau, que si ces modules sont isomorphes, alors lanneauest trivial (proposition II-5.2). Cette nuance peut sembler bien mince aupremier abord, mais elle a une importance algorithmique. Elle va permettrede remplacer une dmonstration en mathmatiques classiques utilisant unanneau A = B/a , qui conclurait que 1 a au moyen dun raisonnement parlabsurde, par une dmonstration pleinement algorithmique qui construit 1en tant qulment de lidal a partir dun isomorphisme entre Am et An.Pour une prsentation gnrale des ides qui ont conduit aux nouvellesmthodes utilises en algbre constructive dans cet ouvrage, on pourra lirelarticle de synthse [42, Coquand&Lombardi, 2006].

Henri Lombardi, Claude QuittMai 2014

5. Cette dformation professionnelle noethrienne a produit un travers linguistiquedans la littrature anglaise qui consiste prendre local ring dans le sens de Noetherianlocal ring .



xxxii Avant-propos

2

3 4

5

67 8 9

10 11

1213

1415

1617



Avant-propos xxxiii

Lorganigramme de la page prcdente donne les liens de dpendance entreles diffrents chapitres

2. Principe local-global de base et systmes linairesAnneaux et modules cohrents. Un peu dalgbre extrieure.

3. La mthode des coefficients indterminsLemme de Dedekind-Mertens et thorme de Kronecker. Thorie deGalois de base. Nullstellensatz classique.

4. Modules de prsentation finieCatgorie des modules de prsentation finie. Anneaux zro-dimen-sionnels. Machineries locales-globales lmentaires. Idaux de Fitting.

5. Modules projectifs de type fini, 1Thorme de structure locale. Dterminant. Rang.

6. Algbres strictement finies et algbres galoisiennes7. La mthode dynamique

Nullstellensatz gnral (sans clture algbrique). Thorie de Galoisgnrale (sans algorithme de factorisation).

8. Modules platsAlgbres plates et fidlement plates.

9. Anneaux locaux, ou presqueAnneau dcomposable. Anneau local-global.

10. Modules projectifs de type fini, 211. Treillis distributifs, groupes rticuls

Anneaux pgcd. Treillis de Zariski dun anneau commutatif. Rela-tions implicatives.

12. Anneaux de Prfer et de DedekindExtensions entires. Dimension 6 1. Factorisation didaux de typefini.

13. Dimension de KrullDimension de Krull. Dimension des morphismes. Dimension valuative.Dimension des extensions entires et polynomiales.

14. Nombre de gnrateurs dun moduleThormes de Kronecker, Bass et Forster-Swan. Splitting off de Serre.Dimension de Heitmann.

15. Le principe local-global16. Modules projectifs tendus

Thormes de Traverso-Swan-Coquand, Quillen-Suslin, Bass-Lequain-Simis.

17. Thorme de stabilit de Suslin


15 fvrier 2018 [23:17] Fichier:CM-01PTF chapitre:I

Chapitre I

Exemples

SommaireIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Fibrs vectoriels sur une varit compacte lisse . . . . . . . . . 2Quelques localisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Fibrs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Vecteurs tangents et drivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Diffrentielles et fibr cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Cas algbrique lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Drivations dune algbre de prsentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Formes diffrentielles sur une varit affine lisse . . . . . . . . . 9Le cas de la sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Le cas dune varit algbrique lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Cas dune hypersurface lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Cas dune intersection complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IntroductionDans tout louvrage, sauf mention expresse du contraire, les anneaux sontcommutatifs et unitaires, et un homomorphisme danneaux : A B doitvrifier (1A) = 1B.Soit A un anneau. On dit quun A-module M est libre de rang fini lorsquilest isomorphe un module An. On dit quil est projectif de type fini lorsquilexiste un A-module N tel que M N est libre de rang fini. Il revient aumme de dire que M est isomorphe limage dune matrice de projection(une matrice P telle que P 2 = P ). Il sagit de la matrice de la projection

1



2 I. Exemples

sur M paralllement N , dfinie prcisment comme suit :

M N M N, x+ y 7 x pour x M et y N.

Une matrice de projection est encore appele un projecteur.Lorsque lon a un isomorphisme M A` ' Ak, le module projectif de typefini M est dit stablement libre.Alors que sur un corps ou sur un anneau principal les modules projectifs detype fini sont libres (sur un corps ce sont des espaces vectoriels de dimensionfinie), sur un anneau commutatif gnral, la classification des modulesprojectifs de type fini est un problme la fois important et difficile.En thorie des nombres Kronecker et Dedekind ont dmontr quun idalde type fini non nul dans lanneau dentiers dun corps de nombres esttoujours inversible (donc projectif de type fini), mais quil est rarementlibre (cest--dire principal). Il sagit dun phnomne fondamental, qui est lorigine du dveloppement moderne de la thorie des nombres.Dans ce chapitre nous essayons dexpliquer pourquoi la notion de moduleprojectif de type fini est importante, en donnant des exemples significatifsen gomtrie diffrentielle.La donne dun fibr vectoriel sur une varit compacte lisse V est eneffet quivalente la donne dun module projectif de type fini sur lan-neau A = C(V ) des fonctions lisses sur V : un fibr vectoriel, on associele A-module des sections du fibr, ce A-module est toujours projectif detype fini, mais il nest libre que lorsque le fibr est trivial.Le fibr tangent correspond un module que lon construit par un procdpurement formel partir de lanneau A. Dans le cas o la varit V estune sphre, le module des sections du fibr tangent est stablement libre.Un rsultat important concernant la sphre est quil nexiste pas de champde vecteurs lisse partout non nul. Cela quivaut au fait que le module dessections du fibr tangent nest pas libre.

Nous essayons dtre le plus explicite possible, mais dans ce chapitre demotivation, nous utilisons librement les raisonnements de mathmatiquesclassiques sans nous soucier dtre totalement rigoureux dun point de vueconstructif.

1. Fibrs vectoriels sur une varit compactelisse

Ici, on donne quelques motivations pour les modules projectifs de type finiet la localisation en expliquant lexemple des fibrs vectoriels sur une varitlisse compacte. Deux cas particuliers importants sont les fibrs tangents et



1. Fibrs vectoriels sur une varit compacte lisse 3

cotangents correspondants aux champs de vecteurs et aux formes diffren-tielles C.Nous utiliserons le terme lisse comme synonyme de de classe C .Nous allons voir que le fait que la sphre ne peut pas tre peigne admetune interprtation purement algbrique.Dans cette section, on considre une varit diffrentiable relle lisse V etlon note A = C(V ) lalgbre relle des fonctions lisses globales sur lavarit.

Quelques localises de lalgbre des fonctions continuesConsidrons tout dabord un lment f A ainsi que louvert

U = {x V | f(x) 6= 0 }et regardons comment on peut interprter lalgbre A[1/f ] : deux l-ments g/fk et h/fk sont gaux dans A[1/f ] si, et seulement si, pour unexposant ` on a gf ` = hf ` ce qui signifie exactement g|U = h|U .Il sensuit que lon peut interprter A[1/f ] comme une sous-algbre delalgbre des fonctions lisses sur U : cette sous-algbre a pour lments lesfonctions qui peuvent scrire sous la forme (g|U)/(f |U)k (pour un certainexposant k) avec g A, ce qui introduit a priori certaines restrictions surle comportement de la fonction au bord de U .Pour ne pas avoir grer ce problme dlicat, on utilise le lemme suivant.

1.1. Lemme. Soit U un ouvert contenant le support de f . Alors, lappli-cation naturelle (par restriction),

de C(V )[1/f ] = A[1/f ] vers C(U )[1/f |U ],est un isomorphisme.J Rappelons que le support de f est ladhrence de louvert U. On a unhomomorphisme de restriction h 7 h|U de C(V ) vers C(U ) qui induitun homomorphisme : C(V )[1/f ] C(U )[1/f |U ]. Nous voulonsmontrer que est un isomorphisme. Si g C(U ), la fonction gf , qui estnulle sur U \ U , peut se prolonger en une fonction lisse V tout entier, enla prenant nulle en dehors de U . Nous la notons encore gf . Alors, lisomor-phisme rciproque de est donn par g 7 gf/f et g/fm 7 gf/fm+1.

Un germe de fonction lisse en un point p de la varit V est donn parun couple (U, f) o U est un ouvert contenant p et f est une fonctionlisse U R. Deux couples (U1, f1) et (U2, f2) dfinissent le mme germe silexiste un ouvert U U1 U2 contenant p tel que f1|U = f2|U. Les germesde fonctions lisses au point p forment une R-algbre que lon note Ap.On a alors le petit miracle algbrique suivant.

1.2. Lemme. Lalgbre Ap est naturellement isomorphe au localis ASp ,o Sp est la partie multiplicative des fonctions non nulles au point p.



4 I. Exemples

J Tout dabord, on a une application naturelle A Ap qui une fonctiondfinie sur V associe son germe en p. Il est immdiat que limage de Spest contenue dans les inversibles de Ap. Donc, on a une factorisation delapplication naturelle ci-dessus qui fournit un homomorphisme ASp Ap.Ensuite, on dfinit un homomorphisme Ap ASp . Si (U, f) dfinit legerme g considrons une fonction h A qui est gale 1 sur un ouvert U contenant p avec U U et qui est nulle en dehors de U (dans une carte onpourra prendre pour U une boule ouverte de centre p). Alors, chacun destrois couples (U, f), (U , f |U ) et (V, fh) dfinit le mme germe g. Mainte-nant, fh dfinit un lment de ASp . Il reste vrifier que la correspondanceque lon vient dtablir produit bien un homomorphisme de lalgbre Apsur lalgbre ASp : quelle que soit la manire de reprsenter le germe sousla forme (U, f), llment fh/1 de ASp ne dpend que du germe g.Enfin, on vrifie que les deux homomorphismes de R-algbres que lon adfinis sont bien des isomorphismes inverses lun de lautre.

Bref, nous venons dalgbriser la notion de germe de fonction lisse. ceciprs que le monode Sp est dfini partir de la varit V , pas seulement partir de lalgbre A.Mais si V est compacte, les monodes Sp sont exactement les complmen-taires des idaux maximaux de A. En effet, dune part, que V soit ou noncompacte, lensemble des f A nulles en p constitue toujours un idalmaximal mp de corps rsiduel gal R. Dautre part, si m est un idalmaximal de A lintersection des Z(f) = {x V | f(x) = 0 } pour les f mest un compact non vide (notez que Z(f) Z(g) = Z(f2 + g2)). Commelidal est maximal, ce compact est ncessairement rduit un point p etlon obtient ensuite m = mp.

Fibrs vectoriels et modules projectifs de type finiRappelons maintenant la notion de fibr vectoriel au dessus de V .Un fibr vectoriel est donn par une varit lisse W , une application sur-jective lisse : W V , et une structure despace vectoriel de dimensionfinie sur chaque fibre 1(p). En outre, localement, tout ceci doit trediffomorphe la situation simple suivante, dite triviale :

1 : (U Rm) U, (p, v) 7 p,

avec m qui peut dpendre de U si V nest pas connexe. Cela signifie que lastructure despace vectoriel (de dimension finie) sur la fibre au dessus de pdoit dpendre convenablement de p.Un tel ouvert U , qui trivialise le fibr, est appel un ouvert distingu.Une section du fibr vectoriel : W V est par dfinition une applica-tion : V W telle que = IdV . On notera (W ) lensemble dessections lisses de ce fibr. Il est muni dune structure naturelle de A-module.




Supposons maintenant la varit V compacte. Comme le fibr est localementtrivial il existe un recouvrement fini de V par des ouverts distingus Uiet une partition de lunit (fi)iJ1..sK subordonne ce recouvrement : lesupport de fi est un compact Ki contenu dans Ui.On remarque daprs le lemme 1.1 que les algbres A[1/fi] = C(V )[1/fi]et C(Ui)[1/fi] sont naturellement isomorphes.Si on localise lanneau A et le module M = (W ) en rendant fi inversible,on obtient lanneau Ai = A[1/fi] et le module Mi. Notons Wi = 1(Ui).Alors, Wi Ui est isomorphe Rmi Ui Ui. Il revient donc au mmede se donner une section du fibrWi, ou de se donner lesmi fonctions Ui Rqui fabriquent une section du fibr RmiUi Ui. Autrement dit, le moduledes sections de Wi est libre de rang m.Vu quun module qui devient libre aprs localisation en un nombre fini dl-ments comaximaux est projectif de type fini (principe local-global V-2.4),on obtient alors la partie directe (point 1 ) du thorme suivant.

1.3. Thorme. Soit V une varit compacte lisse, on note A = C(V ).

1. Si W V est un fibr vectoriel sur V , le A-module des sectionslisses de W est projectif de type fini.

2. Rciproquement, tout A-module projectif de type fini est isomorpheau module des sections lisses dun fibr vectoriel sur V .

voquons la partie rciproque du thorme : si lon se donne un A-moduleprojectif de type fini M , on peut construire un fibr vectoriel W au dessusde V dont le module des sections est isomorphe M . On procde commesuit. On considre une matrice de projection F = (fij) Mn(A) telleque ImF 'M et lon pose

W = { (x, h) V Rn |h ImF |x } ,

o F |x dsigne la matrice (fij(x)). La lectrice pourra montrer alors que ImFsidentifie au module des sections (W ) : llment s ImF on faitcorrespondre la section s dfinie par x 7 s(x) = (x, s|x). Par ailleurs, dansle cas o F est la matrice de projection standard

Ik,n =Ik 0

0 0r(k + r = n),

il est clair que W est trivial : il est gal V (Rk {0}r

). Enfin, un

module projectif de type fini devient libre aprs localisation en des lmentscomaximaux convenables (thorme V-6.1, point 3, ou thorme X-1.7,forme matricielle plus prcise). En consquence, le fibr W dfini ci-dessusest localement trivial : cest bien un fibr vectoriel.



6 I. Exemples

Vecteurs tangents et drivationsUn exemple dcisif de fibr vectoriel est le fibr tangent, dont les lmentssont les couples (p, v), o p V et v est un vecteur tangent au point p.Lorsque la varit V est une varit plonge dans un espace Rn, un vecteurtangent v au point p peut tre identifi la drivation au point p dans ladirection de v.Lorsque la varit V nest pas une varit plonge dans un espace Rn,un vecteur tangent v peut tre dfini comme une drivation au point p,cest--dire comme une forme R-linaire v : A R qui vrifie la rgle deLeibniz

v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f). (1)

On vrifie par quelques calculs que les vecteurs tangents V forment bienun fibr vectoriel TV au dessus de V . un fibr vectoriel : W V, est associ le A-module (W ) form parles sections lisses du fibr. Dans le cas du fibr tangent, (TV ) nest riendautre que le A-module des champs de vecteurs (lisses) usuels.De mme quun vecteur tangent au point p est identifi une drivationau point p, qui peut tre dfinie en termes algbriques (quation (1)), demme, un champ (lisse) de vecteurs tangents peut tre identif un lmentdu A-module des drivations de la R-algbre A, dfini comme suit.Une drivation dune R-algbre B dans un B-module M est une appli-cation R-linaire v : BM qui vrifie la rgle de Leibniz

v(fg) = f v(g) + g v(f). (2)

Le B-module des drivations de B dans M est not DerR(B,M).Une drivation dune R-algbre B tout court est une drivation valeursdans B. Lorsque le contexte est clair nous noterons Der(B) comme uneabrviation pour DerR(B,B).Les drivations au point p sont donc les lments de DerR(A,Rp) o Rp = Rmuni de la structure de A-module donne par lhomomorphisme f 7 f(p)de A dans R. Ainsi DerR(A,Rp) est une version algbrique abstraite delespace tangent au point p la varit V .Une varit lisse est dite paralllisable si elle possde un champ (lisse) debases (n sections lisses du fibr tangent qui en tout point donnent une base).Cela revient dire que le fibr tangent est trivial, ou encore que le A-moduledes sections de ce fibr, le module Der(A) des drivations de A, est libre.

Diffrentielles et fibr cotangentLe fibr dual du fibr tangent, appel fibr cotangent, admet pour sectionsles formes diffrentielles sur la varit V .Le A-module correspondant, appel module des diffrentielles, peut tredfini par gnrateurs et relations de la manire suivante.




De manire gnrale, si (fi)iI est une famille dlments qui engendreune R-algbre B, le B-module des diffrentielles (de Khler) de B, no-t B/R, est engendr par les dfi (purement formels) soumis aux rela-tions drives des relations qui lient les fi : si P R[z1, . . . , zn] etsi P (fi1 , . . . , fin) = 0, la relation drive estn

k=1

P

zk(fi1 , . . . , fin)dfik = 0.

On dispose en outre de lapplication canonique d : B B/R, dfiniepar df = la classe de f (si f =

ifi, avec i R, df =

idfi), qui

est une drivation 1.On montre alors que, pour toute R-algbre B, le B-module des drivationsde B est le dual du B-module des diffrentielles de Khler.Dans le cas o le B-module des diffrentielles de B est projectif de typefini (par exemple si B = A), alors il est lui-mme le dual du B-module desdrivations de B.

Cas des varits compactes algbriques lissesDans le cas dune varit algbrique relle compacte lisse V , lalgbre Ades fonctions lisses sur V admet comme sous-algbre celle des fonctionspolynomiales, note R[V ].Les modules des champs de vecteurs et des formes diffrentielles peuventtre dfinis comme ci-dessus au niveau de lalgbre R[V ].Tout module projectif de type fini M sur R[V ] correspond un fibr vec-toriel W V que lon qualifie de fortement algbrique. Les sections lissesde ce fibr vectoriel forment un A-module qui est (isomorphe au) le moduleobtenu partir de M en tendant les scalaires A.Alors, le fait que la varit est paralllisable peut tre test au niveau leplus lmentaire, celui du module M .En effet laffirmation concernant le cas lisse le A-module des sections lissesde W est libre quivaut laffirmation correspondante de mme naturepour le cas algbrique le R[V ]-moduleM est libre . Esquisse dune preuve :le thorme dapproximation de Weierstrass permet dapprocher une sectionlisse par une section polynomiale et un champ de bases lisse (n sectionslisses du fibr qui en tout point donnent une base), par un champ de basespolynomial.

Examinons maintenant le cas des surfaces compactes lisses. Une telle surfaceest paralllisable si, et seulement si, elle est orientable et possde un champde vecteurs partout non nul. De manire image cette deuxime conditionse lit : la surface peut tre peigne. Les courbes intgrales du champ de

1. Pour plus de prcisions sur ce sujet voir les thormes VI-6.6 et VI-6.7.



8 I. Exemples

vecteurs forment alors une belle famille de courbes, cest--dire une famillede courbes localement rectifiable.Donc pour une surface algbrique compacte V lisse orientable les propritssuivantes sont quivalentes.

1. Il existe un champ de vecteurs partout non nul.

2. Il existe une belle famille de courbes.

3. La varit est paralllisable.

4. Le module des diffrentielles de Khler de R[V ] est libre.

Comme expliqu prcdemment, la dernire condition relve de lalgbrepure (voir aussi la section 2).Do la possibilit dune preuve algbrique du fait que la sphre ne peutpas tre peigne.Il semble quune telle preuve ne soit pas encore disponible sur le march.

Module des diffrentielles et module des drivations dune alg-bre de prsentation finieSoit R un anneau commutatif. Pour une R-algbre de prsentation finie

A = R[X1, . . . , Xn]/f1, . . . , fs= R[x1, . . . , xn],

les dfinition

Algèbre Commutative, Méthodes constructives.

Documents

Transcript of Algèbre Commutative, Méthodes constructives.