Action de la houle sur un obstacle

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Projet de Find’Étude

Action de la houle sur unobstacle en profondeur finie

Jean-Baptiste de Vaulx

10 mars 2013

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d’Étude-Jean-Baptiste

deVaulx

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FluidEngineering

Table des matières

I Étude théorique 7

1 Nature du problème à résoudre 9Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Propriétés du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Référentiel d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Condition de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Condition de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Conditions supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Hydrodynamique du submersible 13Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1 Équations du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Décomposition en systèmes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Distributions de singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Calcul pratique des densités de singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Forces hydrodynamiques exercées sur l’obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Étude de la houle 29Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Bilans - équations mises en jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Linéarisation - théorie d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Houle en bassin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Hydrodynamique du corps à demi-émergé 39Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1 Potentiel de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Condition de rayonnement à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Méthode des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Formulation intégrale du problème de diffraction-rayonnement . . . . . . . . . . . 42

II Expérimentation 45

5 Réalisation d’un canal à houle 47Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1 Mécanisme du batteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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TABLE DES MATIÈRES

5.2 Électronique de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Mécanisme de mise en contrainte du capteur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 Traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Résultats de l’expérience 57Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1 Problèmes rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Évaluation générale des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3 Étude spectrale du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Bibliographie 67

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Introduction

L’étude qui vous est présentée ici est le fruit de l’intérêt tout particulier que je porte aux sciencesmaritimes. Sans doute est-ce parce que, dans le considérable enjeu des ressources énergétiques, lamer semble apporter petit à petit des solutions jusque là insoupçonnées. On fait effectivement au-jourd’hui grand cas des éoliennes offshores, des hydroliennes, on revient aux usines marémotrices,etc...

Mais ce qui est peut-être encore plus captivant reste sans doute l’indomptabilité de cette en-tité. Perpétuellement en mouvement, parfois calme, parfois déchaîné, façonnant les côtes et biensouvent les gens qui y vivent, l’océan, s’il apporte des solutions, continue à poser beaucoup dequestions.

La conception d’un ouvrage côtier ou navigant repose encore sur de l’empirisme. Et à l’heurede l’efficacité, de la productivité, et de la maîtrise des risques, des ingénieurs et des chercheurssont bien souvent sollicités pour faire grandir les connaissances encore faibles que l’on a dans cedomaine.

C’est bien là le propos de cette étude, proposer une initiation à l’effet de l’océan sur les obstacles.On commencera dans un premier temps par une approche théorique de la question. On l’aborderapar la traditionnelle méthode des singularités. Puis, grâce à l’élaboration d’un canal à houle, ontâchera de matérialiser les effets de la houle sur un obstacles.

Avant de commencer cette étude je voudrai remercier M. Souhar, tuteur de ce PFE, pourm’avoir permis de réaliser un projet dont l’intitulé part d’une initiative totalement personnelle. Jeremercie aussi le technicien de l’ENSEM, É. Blaise, pour avoir réalisé le montage de l’expérienceprésenté dans ce projet.

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Partie IÉtude théorique

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1Nature du problème à résoudre

IntroductionCe chapitre a pour objectif d’introduire le formalisme général du problème d’interaction entre unobstacle et un fluide pesant en mouvement. Il n’est pas question ici de présenter une quelconquerésolution mais plutôt d’illustrer la nature des équations mises en jeu, ainsi que la significationdes conditions aux limites.

1.1 Propriétés du systèmeLe système étudié dans ce projet est restreint au cas d’un objet plongé dans un fluide de do-maine illimité. Ce problème est donc dit extérieur par opposition au cas d’un fluide contenu àl’intérieur d’une enceinte solide. L’étude d’un domaine fluide infini est impossible et pour desraisons évidentes nous le fermerons par une frontière aribtrairement choisie et notée Γ∞ . Lafigure 1.1.1 rappelle les notations utilisées.

Les caractéristiques du problème sont les suivantes :

1. Fluide parfait : µ = 0

2. Fluide incompressible : div V = 0

3. Écoulement irrotationnel : rot V = 0

4. Obstacle solide et indéformable.

1.2 Référentiel d’étudeLa notion de référentiel est centrale en hydrodynamique navale car l’étude porte sur deux sys-tèmes possèdant chacun leur référentiel propre : le fluide, et l’obstacle. Cherchant à étudier l’effetdu fluide sur le navire sur lequel ils se trouvaient, il parait donc logique que les hydrodynamiciens

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Chap. 1. Nature du problème à résoudre

ΩF

ΓSF

n

M

PΓ∞

O ΩS

R

n

P

Figure 1.1.1 – Configuration d’un problème extérieur

aient choisi le référentiel lié à l’obstacle comme référentiel d’étude. La figure 1.2.1 représente lesnotations employées.

Figure 1.2.1 – Position du problème

Nous noterons donc R le référentiel d’étude et R∗ le référentiel lié à l’obstacle. Dans ces condi-tions, le torseur de distribution des vitesses lié à l’obstacle s’écrit :

TR

=

[ω

V

]A

(1.1)

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1.3. Équation de Laplace

Où V représente la vitesse du point A et ω le vecteur vitesse de rotation autour de A. Et puisquele solide est considéré indéformable, la vitesse d’un point P du solide s’écrit :

V (P ) = ω ∧AP + V

1.3 Équation de LaplaceNous étudierons seulement le cas d’un problème dit extérieur, c’est-à-dire le cas d’un écoulementextérieur à l’obstacle, contrairement au cas d’un réservoir par exemple. On se place ici dansl’étude d’un obstacle immergé dans un fluide incompressible dont l’écoulement est potentiel.Ceci conduit tout d’abord à l’équation de conservation de la masse suivante :

∂ρ

∂t+ div (ρU ) = 0

⇒ div (U ) = 0 dans Ωf

Ainsi, puisque l’écoulement est irrotationnel, ∃Φ / U = ∇Φ, d’où l’on tire l’équation de La-place :

∆Φ = 0 dans Ωf

Il s’agit donc là de l’équation fondamentale du problème, et qui est à l’origine de l’appellation“théorie potentielle” donnée à l’étude présente.

1.4 Condition de glissementL’hypothèse de fluide parfait impose la condition de Neumann suivante, dite condition de glis-sement 1 :

∂Φ

∂n(P, t) = (ω ∧AP + V ) · n ∀P ∈ ΓSF

où n représente la normale extérieure à ΓSF en P .

Remarquons aussi que l’antisymétrie du produit mixte permet d’écrire :

(ω ∧AP + V ) · n = ω · (AP ∧ n ) + V · n

Ce qui donne au bout du compte la condition suivante :

∂Φ

∂n(P, t) = ω · (AP ∧ n ) + V · n ∀P ∈ ΓSF

1. Il est à noter que dans le cas où l’objet est fixe (ie : TR = 0) on retrouve la condition de glissement habituelle∂Φ∂n

= 0

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Chap. 1. Nature du problème à résoudre

1.5 Condition de radiationLe fluide étant initialement au repos, nous avons la nullité de Φ à l’infini. La condition de nullitéde Φ à l’infini est en réalité insuffisante car il y a indétermination sur le sens de propagationde la perturbation engendrée par Φ. La condition ad equat est une condition de radiation, plusconnue sous le nom de condition de radiation de Sommerfeld :

limr→∞

√r

[∂Φ

∂r− i|k|Φ

]= 0

Où r est la distance au centre d’une base cylindrique d’axe ez et k représente un vecteur d’onde.Cette condition est étayée et démontrée à la section 4.2.

1.6 Conditions supplémentairesLes conditions de radiations et de glissement suffisent à fermer un problème simple d’un obstacletotalement immergé dans un domaine fluide illimité. Il est cependant à prévoir des conditionssupplémentaires dans des cas plus réalistes. On peut d’ores et déjà nommer celles qui serontprésentées et étayée par la suite :

1. Condition de surface libre

2. Fond marin, paroi fixe

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2Hydrodynamique du submersible

IntroductionLe but de cette section est d’étudier l’écoulement d’un fluide autour d’un obstacle. Il ne sera pasici question de problème de frontières telles que des surfaces libres, l’obstacle sera totalement im-mergé. En hydrodynamique cela correspondrait au problème du submersible, à quelques dizainesde mètres sous la surface (ceci est suffisant pour négliger l’effet de houle, cf 3).

C’est un préalable nécessaire au problème complet (l’obstacle flottant) puisque, nous le verronspar la suite, l’étude linéaire permet un découplage entre le problème à surface libre et le problèmede l’obstacle immergé.

Ce préliminaire peut donc se rapprocher de l’étude menée en aérodynamisme. Néanmoins, il està prévoir certains ajustements. En effet, par trois points l’hydrodynamique diffère de l’aérody-namisme :

1. la viscosité n’influant que très peu sur les répartitions de pressions moyennes s’appliquantà la carène, l’approximation des fluides parfaits devient très intéressante et sera donc ap-pliquée.

2. étant donnée la densité du fluide extérieur par rapport à celle de l’obstacle, les effetsd’inertie du fluide entraîné par ce dernier ne sont plus négligeables. Des termes de masseajoutée sont donc à prévoir dans la mise en équation du problème

3. l’écoulement sera supposé intégralement irrotationnel. Cette hypothèse est relativementbien vérifiée par l’expérience dans les cas d’études les plus courants. Ceci exclut néanmoinsla présence de nappes tourbillonnaires pourtant présentes dans la réalité.

L’étude proposée ici sera conduite par la méthode des singularités qui est aussi largement utiliséeen aérodynamisme, en témoigne l’ouvrage de (J. Bousquet, 1990).

Je ne peux commencer ce chapitre sans faire remarquer que l’étude proposée ici est très largementinspirée de (A. Bovis, 2009). Il s’agit en réalité ici d’une relecture des chapitres 3, 4, et 5 de cetouvrage.

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Chap. 2. Hydrodynamique du submersible

2.1 Équations du problème.Le problème est donc régit par :

• ∆Φ = 0 à l’extérieur de l’obstacle Ω

• ∂Φ

∂n(P, t) = ω · (AP ∧ n ) + V · n sur ΓSF

• limr→∞

√r

[∂Φ

∂r− i|k|Φ

]= 0 à l’infini

(2.1)

Ces équations restent inchangées par le changement de référentiel R/R∗ car il s’agit d’une trans-formation isométrique, et Φ sera donc évalué dans le repère lié à R∗ :

Φ = f(x, y, z, t)

2.2 Décomposition en systèmes élémentairesCompte tenu de la linéarité de l’équation de Laplace, la condition sur ΓSF nous permet depressentir que les mouvements de l’obstacle (3 rotations et 3 translations), n’induiront pas lesmêmes contributions au potentiel de vitesse solution du problème.

Ainsi, nous décomposerons l’équation 2.1 en 6 problèmes élémentaires. Pour simplifier les écri-tures, nous introduirons des notations génériques :

V =

f1

f2

f3

ω =

f4

f5

f6

et

n =

η1

η2

η3

AP ∧ n =

η4

η5

η6

(2.2)

D’où alors :

∂Φ

∂n(P, t) =

6∑k=1

fk(t)ηk(P ) ∀P ∈ ΓSF

Dans ces conditions, on remarque que η définit une base de décomposition en problèmes élémen-taires, et si l’on considère les 6 problèmes élémentaires suivants :

∆Φk = 0 à l’extérieur de l’obstacle Ω

∂Φk

∂n(P ) = ηk(P ) sur ΓSF

Φk nul et régulier à l’infini

, k ∈ 1, ..., 6 (2.3)

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2.3. Distributions de singularités

où les Φk sont tels que :

Φ =

6∑k=1

fkΦk

Alors ces potentiels élémentaires sont les solutions indépendantes aux 3 problèmes de translationuniforme unitaire (fi = δik , k = 1, 2, 3) et aux 3 problèmes de rotation uniforme unitaire(fi = δik , k = 4, 5, 6). Pour résoudre ces systèmes aurons recours à la méthode des singularités.

2.3 Distributions de singularités

Introduction

L’utilisation de la méthode des singularités dans la résolution numérique des problèmes hydro-dynamiques (ou aérodynamiques) est classique en raison du formalisme simple des équationsauquel elle aboutit dans de nombreux cas. Ceci est vrai en particulier pour le fluide parfaitincompressible.

La méthode des singularités repose sur le concept de maillage d’une surface par des potentielsélémentaires (sources, puits, etc...) diffusant dans tout le milieu fluide, et reproduisant l’écoule-ment extérieur observé expérimentalement. La surface maillée est ici celle de l’obstacle qui, parson mouvement engendre un potentiel de perturbation dans le fluide.

Cette distribution de potentiels impose une discontinuité du champ de vitesse à sa traversée.Pour rendre compte de la discontinuité il est nécessaire de chercher des solutions dans l’espacedes distributions. Ceci induira une première réécriture du problème.

Mais étudier le potentiel global induit par une distribution de potentiels élémentaires ξ de densitéς répartis sur une surface S revient à résoudre une équation du type :

ϕ(M) =

ˆSς(P )ξ(M,P )ds

qui est une équation intégrale. Nous devrons donc dans un second temps mettre sous formeintégrale notre problème qui est régit par une équation aux dérivées partielles.

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%

Il est à noter que cette formulation propose une solution par la simple considéra-tion d’une surface (ici S). Elle est donc particulièrement bien adaptée à l’étuded’écoulement autour d’un obstacle en milieu infini, c’est-à-dire au problème dit“extérieur”.Lorsqu’il s’agit d’étudier les interactions entre le fluide et l’obstacle, cette formula-tion intégrale du problème fluide doit être couplée à la formulation variationnelledu problème solide (du type éléments finis). Cependant, (B. Peseux, 2010) dansle cas d’un problème “intérieur”, et donc borné, l’étude numérique des interactionsfluide-structure préférera un couplage du type éléments finis - éléments finis.

Remarque 2.3.1 :

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2.3.1 Justification

Chercher une solution dans l’espace des distributions est pleinement justifié, le lecteur intéressépourra par exemple consulter Bousquet (1990) chap. 3.3.3 où l’on montre que la solution auproblème formulé dans l’espace des distributions induit la solution au problème formulé dans lesespaces fonctionnels classiques, la réciproque étant fausse.

En effet, soit le problème definit sur ΩF et régit par :

div(R)− f = 0

Et, sachant que :

div(TR)

= Tdiv (R ) +[R]· n δ∂ΩF

Où TR représente la distribution associée à R et[R]représente le saut de R à l’interface ∂ΩF ,

autrement dit[R]

= R+ −R−

Avec R+ défini sur ΩF , et R− défini sur son complémentaire.

Le problème formulé dans l’espace des distributions s’écrit alors :

div(TR)− Tf = 0

⇔ Tdiv (R ) − Tf +[R]· n δ∂ΩF = 0

⇔ Tdiv (R )−f +[R]· n δ∂ΩF = 0

⇔

Tdiv (R )−f = 0[R]· n δ∂ΩF = 0

⇔

div (R )− f = 0[R]· n = 0

On retombe ainsi sur l’équation différentielle initiale, plus une équation de conservation du fluxde[R]à travers l’interface ∂ΩF qui représente l’équation de saut.

Tout l’intérêt de l’usage des distributions dans le le problème étudié réside donc dans l’introduc-tion de cette équation supplémentaire.

2.3.2 Géométrie du problème

Nous considérerons le cas d’un domaine fluide ΩF fermé, borné d’une frontière ∂ΩF suffisammentrégulière. Sur cet espace les fonctions que nous étudierons appartiendront à l’espace de SobolevH2(ΩF ). C’est-à-dire que les fonctions seront deux fois continuement dérivables sur ΩF et unefois sur la frontière ∂ΩF .

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On s’intéresse aux solutions d’un problème dit extérieur. Dans ce cas la définition de ΩF commeun domaine fluide borné est délicate. En effet l’obstacle est plongé dans un fluide que l’on supposeinfini dans toute les directions, le domaine réel n’est donc pas borné.

S’il est clair que ΓSF ⊂ ∂ΩF , nous devrons de plus supposer l’existence d’une frontière Γ∞, detelle sorte que ∂ΩF = Γ∞ ∪ΓSF ferme le domaine ΩF . On choisira cette frontière arbitrairementsphérique de rayon R et naturellement centrée en un point O de ΩS (domaine solide).

On se ramène donc au problème schématisé par la figure 2.3.1.

Figure 2.3.1 – Fermeture du domaine d’étude pour un problème extérieur

2.3.3 Première formule de Green

Soient donc ϕ et ψ deux fonctions de H2(ΩF ). Cette formule s’établit en appliquant le théorèmedu flux divergence au vecteur ϕ∇ψ :

ˆ∂ΩF

(ϕ∇ψ

)· ds =

ˆΩF

div(ϕ∇ψ

)dv

⇔ˆ∂ΩF

ϕ∂ψ

∂nds =

ˆΩF

ϕdiv(∇ψ

)dv +

ˆΩF

∇ϕ · ∇ψdv

D’où l’on déduit la première formule de Green :

ˆ∂ΩF

ϕ∂ψ

∂nds=

ˆΩF

ϕ∆ψdv +

ˆΩF

∇ϕ · ∇ψ dv (2.4)

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2.3.4 Deuxième formule de Green

Si l’on applique désormais la première formule de Green au couple (ϕ,ψ) puis au couple (ψ,ϕ)et en soustrayant les deux résultats on obtient immédiatement la deuxième formule de Green :

ˆ∂ΩF

(ϕ∂ψ

∂n− ψ ∂ϕ

∂n

)ds =

ˆΩF

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dv (2.5)

On peut remarquer que si l’on a ∆ϕ = ∆ψ = 0, le second terme de l’égalité est nul. Cette formulepose en quelque sorte les fondements de tout ce qui va suivre. En ce sens qu’elle traduit, si ϕ estle potentiel de vitesse et ψ satisfait aussi à l’équation de Laplace, une équation en ϕ ne portantque sur la surface ∂ΩF du fluide. Ceci apporte bien évidemment une simplification considérableà la résolution. Tout le problème réside alors dans la caractérisation de la fonction ψ ad-hoc,c’est le propos des chapitres suivants.

2.3.5 Discontinuités du premier et deuxième ordre à l’interface ∂ΩF

ϕ désigne désormais le potentiel de vitesse de l’écoulement autour de l’obstacle. On souhaiteprolonger ce potentiel sur le domaine ΩS par une fonction identiquement nulle. Cette hypothèseapporte à priori une discontinuité du premier et du deuxième ordre. Les sauts de continuité deϕ et de sa dérivée normale ∂ϕ

∂n à l’interface ∂ΩF sont tels que :

ϕF (P )− ϕS(P ) = lim

M→Pϕ(M)

∂ϕF

∂n(P )− ∂ϕS

∂n(P ) = lim

M→P

∂ϕ

∂n(M)

∀P ∈ ∂ΩF

Étant donné le prolongement de ϕ dans ΩS , et si l’on appelle µ et σ les fonctions saut de continuitérespectivement de ϕ et de sa dérivée normale, les identités ci-dessus s’écrivent :

µ(P ) = ϕF (P ) = lim

M→Pϕ(M)

σ(P ) =∂ϕF

∂n(P ) = lim

M→P

∂ϕ

∂n(M)

∀P ∈ ∂ΩF (2.6)

On note désormais Ω la réunion ΩF ∪ΩS . Considérons alors la distribution régulière Tϕ associéeà ϕ et définie par :

∀ψ ∈ H2 (Ω) , 〈Tϕ|ψ〉 =

ˆΩF∪ΩS

ϕψ dv =

ˆΩF

ϕψ dv

La dérivée de Tϕ au sens des distributions suivant un vecteur de base (par exemple ex ) s’écrit :

∂Tϕ∂x

= T ∂ϕ∂x

+ (n · ex︸︷︷︸nx

)µδ∂ΩF

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On en déduit la dérivée seconde :

∂2Tϕ∂x2

= T ∂2ϕ

∂x2

+ nx∂µ

∂xδ∂ΩF +

∂

∂x[nxµδ∂ΩF ]

Et en sommant sur les trois composantes, il vient :

∆Tϕ = T∆ϕ + n · ∇µδ∂ΩF +∂

∂n[µδ∂ΩF ]

Or, on remarque que ∀ψ ∈ H2 (Ω) , 〈T∆ϕ|ψ〉 =

ˆΩF

∆ϕψ dv = 0 ⇒ T∆ϕ = 0

Et n · ∇µ(P ) =∂ϕ

∂n= σ(P ) . D’où l’on tire finalement, en identifiant ϕ à sa distribution :

∆ϕ = σδ∂ΩF +∂

∂n[µδ∂ΩF ] (2.7)

'

&

$

%

Les fonctions σ et µ désignent pour l’instant l’intensité des sauts du potentiel desvitesses à l’interface ∂ΩF . Nous verrons par la suite que ces fonctions représententen plus une densité de charges réparties sur la frontière ∂ΩF . Finalement, nousles appellerons densités de singularités, puisque les charges qu’elles pondèrentprésentent un point singulier (division par zéro) en leur origine.

Remarque 2.3.2 :

2.3.6 Mise sous forme intégrale de l’équation de Laplace

Le but est ici de transformer l’équation (2.7) ci-dessus, en une relation intégrale de la forme :

ϕ =

ˆχ

La mise sous forme intégrale de l’équation de Laplace est traditionnellement obtenue par l’in-termédiaire des fonctions de Green. En effet, le recours aux fonctions de Green constitue uneméthode assez générale de résolution d’équations différentielles, ou de transformation d’équationsdifférentielles en équations intégrales.

La fonction de Green correspondant à une équation F (ϕ, P ) = 0 représente la réponse G(M,P )en un point P , de cette même équation à une impulsion en un point M de son ensemble dedéfinition. C’est-à-dire :

F (G(M,P ), P ) = δM

Autrement-dit, pour l’équation (2.7), G(M,P ) est solution de l’équation :

∆G(M,P ) = δM ∀(M,P ) ∈ ΩF (2.8)

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La mise sous forme intégrale est obtenue en calculant le laplacien du produit de convolution entreϕ et G(M,P ). Les propriétés du produit de convolution nous donnent :

∆ (G ? ϕ) = G ?∆ϕ = ∆G ? ϕ

Soit encore, d’après (2.7) :

G ?

[σδ∂ΩF +

∂

∂n(µδ∂ΩF )

]= δM ? ϕ

Et par distribution du produit de convolution sur l’addition :

[G ? (σδ∂ΩF )] (M) +

[G ?

∂

∂n(µδ∂ΩF )

](M) = ϕ(M)

De plus, au sens des distributions, la dérivé est définie comme suit :

G′ ? ψ =⟨G′|ψ

⟩= −

⟨G|ψ′

⟩= −G ? ψ′

Ainsi, par définition du produit de convolution :

ϕ(M) =

ˆ∂ΩF

[σG− µ∂G

∂n

]ds

Avec (2.6) :

ϕ(M) =

ˆ∂ΩF

[∂ϕ

∂n(P )G(M,P )− ϕ(P )

∂G

∂n(M,P )

]ds

=

ˆΓSF

[∂ϕ

∂n(P )G(M,P )− ϕ(P )

∂G

∂n(M,P )

]ds +

ˆΓ∞

[∂ϕ

∂n(P )G(M,P )− ϕ(P )

∂G

∂n(M,P )

]ds

La surface Γ∞ ayant été choisie arbitrairement, il parait clair que le potentiel ϕ et l’intégralesur ΓSF doivent être indépendants de cette surface. L’intégrale sur Γ∞ est donc nécessairementconstante.

Soit finalement :

ϕ(M) =

ˆΓSF

[∂ϕ

∂n(P )G(M,P )− ϕ(P )

∂G

∂n(M,P )

]ds +K (2.9)

2.3.7 Comportement de ϕ à l’infini

La mise sous forme intégrale est obtenue par l’introduction des fonctions de Green qui, dans lecas de l’équation élémentaire2.8, sont connues et possèdent des propriété bien particulières. Ondémontre en effet que :

G(M,P ) = − 1

4πr+O

(1

r2

)(2.10)

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Où r =∣∣MP

∣∣ , et :∇G(M,P ) = − er

4πr2+O

(1

r3

)

⇒ ∂G

∂n(M,P ) = −MP · n

4πr3+O

(1

r3

)(2.11)

Ainsi, de part la décroissance des fonctions de Green, et puisque le potentiel ϕ induit par lemouvement de l’obstacle dans le fluide est supposé nul à l’infini, nous avons :

limr→∞

ϕ(M) = 0 ⇒ K = 0

Nous avons finalement la forme intégrale du potentiel :

ϕ(M) ≈ − 1

4π

ˆΓSF

[σ(P )∣∣MP

∣∣ − µ(P )MP · n∣∣MP

∣∣3]

ds (2.12)

Il ne nous reste plus qu’à calculer les densité de singularité µ et σ pour connaître complètementϕ.

'

&

$

%

Comme nous l’avions mentionné à la remarque (2.3.2), on voit désormais queles fonctions σ et µ représentent des densités de charge. Les charges étant doncrespectivement représentées par la fonction de Green 2.10 et sa dérivée normale(2.11).On note de plus que le point P = M , c’est à dire le point origine de ces deuxcharges est un point singulier de la fonction. C’est pourquoi nous appelleronsdésormais σ et µ des densités de singularité.On distinguera finalement :− σ : la densité de source (ou “puits” s’il est négatif)− µ : la densité de doublet

Remarque 2.3.3 :

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2.4 Calcul pratique des densités de singularités

2.4.1 Limite du potentiel à l’interface ΓSF

Les résultats suivants sont donnés sans démonstration. Celle-ci est d’ailleurs assez fastidieuse.Néanmoins, sans ce qui va suivre nous ne pourrions calculer la valeur des potentiels élémentaires.

On considérera ainsi les potentiels ϕ1 et ϕ2 définis respectivement par :

ϕ1(M) = − 1

4π

ˆΓSF

σ(P )∣∣MP∣∣ds

ϕ2(M) =1

4π

ˆΓSF

µ(P )MP · n∣∣MP

∣∣3 ds

On montre alors que l’intégraleˆ

ΓSF

σ(P )∣∣M0P∣∣ds , M0 ∈ ΓSF

est absolument convergente, et que l’on a :

limM→M0

ϕ1(M) = − 1

4π

ˆΓSF

σ(P )∣∣M0P∣∣ds

De même on montre l’absolu convergence de l’intégraleˆ

ΓSF

µ(P )M0P · n∣∣M0P

∣∣3 ds , M0 ∈ ΓSF

et l’on a cette fois :

limMM0

ϕ2(M) =1

4π

ˆΓSF

µ(P )∂

∂n

[M0P · n∣∣M0P

∣∣3]

ds +µ(M0)

2

Le symbole traduit ici la convergence par l’extérieur, car notre problème estun problème extérieur. Dans le cas d’un problème dit intérieur (un réservoir parexemple) la convergence est en −µ

2 .

Remarque 2.4.4 :

Le potentiel ϕ défini par (2.12) admet donc un limite finie à l’interface solide-liquide ce qui donneun sens à la recherche des densités σ et µ.

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2.4. Calcul pratique des densités de singularités

2.4.2 Écriture analytique des densités de singularités σ et µ

Cas de σ :

La recherche de la densité de source σ est vite écourtée par la condition de glissement à la paroiΓSF . En effet, rappelons nous que, pour le keme problème élémentaire, l’équation (2.3) nousdonnait :

σk(M0) =∂Φk

∂n(M0) = ηk(M0)

On ré-omettra désormais l’indice k. C’est-à-dire que σ, µ et n seront des grandeurs relatives àun keme problème quelconque. Soit alors :

σ(M0) = η(M0) ∀M0 ∈ ΓSF (2.13)

Cas de µ :

Faisons maintenant tendre le potentiel global ϕ vers un pointM0 ∈ ΓSF , nous avons par définitionde la densité de doublet µ :

limMM0

ϕ(M) = µ(M0) = − 1

4π

ˆΓSF

[σ(P )∣∣M0P

∣∣ − µ(P )M0P · n∣∣M0P

∣∣3]

ds +µ(M0)

2

Soit finalement :

µ(M0) = − 1

2π

ˆΓSF

[σ(P )∣∣M0P

∣∣ − µ(P )M0P · n∣∣M0P

∣∣3]

ds ∀M0 ∈ ΓSF (2.14)

Cette équation est du type intégrale de Fredholm de deuxième espèce. On sait que l’intégraleconverge absolument et que la solution est unique. Ceci nous donne alors immédiatement lavaleur du potentiel sur l’obstacle grâce à l’équation de saut (2.6) :

ϕ(P ) = µ(P ) ∀P ∈ ΓSF

La théorie des singularités nous a permis de trouver une solution Φk à chaque kemeproblème élémentaire (2.3), et par superposition, une solution Φ globale.On remarque grâce aux définitions des densités de sources (2.13) et de doublets (2.14)que le potentiel global de l’écoulement est obtenu par l’unique connaissance de lagéométrie de la structure. La densité de doublets peut se calculer numériquement,avec la méthode des trapèzes par exemple. Quant à la densité de sources σ, elles’obtient avec la méthode de Smith. Nous allons expliciter ces méthodes ci-après.

Conclusion :

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2.4.3 Calcul des densité de sources - Méthode de Smith

Préliminaire : Vitesse induite par un segment de sources

Figure 2.4.1 – Segment de source de densité σ

Soit un segment de sources [z1, z2] de densité σ orienté par les complexes unitaires t et sa normalen tels que :

t =z1 − z2

|z1 − z2|et n = it

On montre (cf. Bousquet (1990)) que la vitesse induite en point du plan complexe par un telobjet s’écrit :

V (z) = − σt2π

ln

(∣∣∣∣z − z2

z − z1

∣∣∣∣)+(σ

2sgn(z)

)n (2.15)

Où la fonction sgn et définie par :

sgn(z) =

+1, si z se trouve du côté de n−1, si z se trouve du côté de − n

Méthode de SmithLa méthode de Smith propose un algorithme de construction de la distribution de source σd’une géométrie quelconque, basé sur le concept de maillage par des segments de sources. Onse placera dans le cas d’un problème plan et les vitesses seront écrites dans le plan complexe.Cette méthode utilisant la notation complexe n’est valide que pour un écoulement 2D. Pour seramener au problème 3D on peut par exemple utiliser la méthode des tranches, telle qu’utiliséepar Bougis and Clement (1979).

Le but est ici de reproduire l’écoulement autour de l’obstacle par le biais de ces N segments desources. Les valeurs de chaque σi sont donc indépendantes et fournissent N degrés de liberté auproblème qu’il convient d’ajuster.

Pour déterminer ces degrés de liberté ont dispose de N contraintes données par la condition deglissement en tout points de ΓSF :

V · n∣∣ΓSF

= ηq

Où ηq est le qeme vecteur de base de la décomposition en problèmes élémentaires défini en (2.2).

Ceci soulève toutefois deux problèmes :

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2.4. Calcul pratique des densités de singularités

Figure 2.4.2 – Maillage de la géométrie par N segments de potentiels sources d’intensité σi

1. Sur la figure 2.4.2 on peut noter que le contour ΓSF est approché par N points ρi définispar :

ρi =1

2(zi + zi+1)

et qui représentent donc les centres des segments [zi, zi+1]. Or ces points n’appartiennentpas à ΓSF , frontière sur laquelle est définie la condition de glissement. En particulier, iln’est pas évident que nk = n ΓSF

.

2. La condition de glissement doit être vérifiée sur tous les points de la surface ΓSF , or onne dispose dans ce cas que de N degrés de liberté. Le problème n’est donc pas absolumentfermé.

Smith propose donc l’approximation suivante :

Si N est grand, et si les segments sont convenablement disposés, alors les points ρk sont prochesde la frontière Γ, et les nk sont proches de n ΓSF

.

D’après l’écriture de la vitesse induite par un segment de source (2.15), on peut exprimer lavitesse complexe Vk au point ρk :

Vk = V0 +σk2nk +

N∑j=1j 6=k

−σjtj2π

ln

[ρk − zj+1

ρk − zj

]

Où l’on rappelle que tj =zj+1−zj|zj+1−zj | et nj = i · tj .

En remarquant que V · n = Re conj(V )× n, la condition de glissement sur les N points ρks’écrit alors :

Vk · nk = Re conj(V0)nk+σk2

+N∑j=1j 6=k

− σj2π

Re

conj(tj)nk ln

(∣∣∣∣ρk − zj+1

ρk − zj

∣∣∣∣) = ηq

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Ce qui peut s’écrire sous la forme d’un système linéaire :

N∑j=1

akjσj = bk

Où : akj = − 1

2πRe

conj(tj)nk ln

(∣∣∣ρk−zj+1

ρk−zj

∣∣∣)akk = 1

2

bk = ηq −Re conj(V0)nk

Et qui se résout facilement numériquement. On remarque en particulier que les coefficients akjet bk ne dépendent que des points zj et de V0. Si l’on considère de plus le cas d’un obstaclesans avance, le second terme (bk)k=1..N est égal au vecteur de base du qeme problème élémentaireauquel cette résolution fait référence.

2.4.4 Calcul des densité de doublets

On rappelle l’équation (2.14) définissant la densité de doublets :

µ(M0) = − 1

2π

ˆΓSF

[σ(P )∣∣M0P

∣∣ − µ(P )M0P · n∣∣M0P

∣∣3]

ds ∀M0 ∈ ΓSF

On se propose là encore de découper la surface de l’objet par N segments élémentaires (ou desfacette polygonales planes en 3D) sur lesquels on supposera σ et µ constants. Par linéarité del’intégrale on peut donc réécrire (2.14) de la manière suivante :

µ(Mi) = − 1

2π

N∑j=1

σ(Mj)

[ˆΓj

ds∣∣MiP∣∣]

+1

2π

N∑j=1

µ(Mj)

[ˆΓj

MiP · n∣∣MiP∣∣3 ds

]

Si l’on nomme alors :Hij =

1

2π

ˆΓj

ds∣∣MiP∣∣

Kij =1

2π

ˆΓj

MiP · n∣∣MiP∣∣3 ds

L’expression précédente devient :

µi =

N∑j=1

µjKij −N∑j=1

σjHij

Il s’agit là encore d’un système linéaire. Le second terme de droite est pleinement défini si tant estque σ ait été calculé préalablement. Le premier terme de droite va induire une inversion de matricequi peut être opérée par une factorisation LU par exemple. Cette inversion de matrice peutposer problème si H est mal conditionnée, un classement judicieux des facettes peut améliorerce conditionnement.

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2.5. Forces hydrodynamiques exercées sur l’obstacle

2.5 Forces hydrodynamiques exercées sur l’obstacle

Champs de pression : Connaissant désormais le potentiel global induit par le déplacementde l’obstacle dans le fluide, l’équation de Bernoulli nous permet de définir le champs de pressionassocié, et donc la résultante des efforts appliquée à l’objet :(

∂Φ

∂t

)R

+1

2

(−→∇Φ

)2+p

ρ+ gz = C(t) (2.16)

Un ré-démonstration de ce résultat classique est proposée à la section 3.1.1. On remarque ici quela dérivation temporelle s’effectue dans le référentiel R lié au fluide. Comme il est d’usage enhydrodynamique navale (et en aérodynamique) d’étudier l’écoulement autour d’un obstacle dansson référentiel propre R∗, nous exprimerons la relation de changement de référentiel :(

∂Φ

∂t

)R

(M, t) =

(∂Φ

∂t

)R∗

(M, t)−(V + ω ∧AM

)· ∇Φ

Où A et[V ω

]désignent respectivement un point fixe de l’objet, et les éléments de réduction

du torseur des vitesses en A.

On peut désormais exprimer la pression dans R∗ :

p = ρ(V + ω ∧AM

)· ∇Φ− ρ

(∂Φ

∂t

)R∗− ρgz − ρ

2

(−→∇Φ

)2+ ρC(t) (2.17)

Force et moment résultants : Par intégration de la pression sur la surface ΓSF , on obtientles éléments de réduction du torseur en A des efforts extérieurs appliqués à l’obstacle :

F = −ˆ

ΓSF

p n ds

MA = −ˆ

ΓSF

pAM ∧ n ds

En remplaçant p par son expression 2.17, nous pouvons remarquer tout d’abord que l’intégrationde la constante C(t) sur un contour fermé est nulle. Il vient finalement :

F = ρ

ˆΓSF

[(∂Φ

∂t

)R∗−(V + ω ∧AM

)· ∇Φ +

1

2

(−→∇Φ

)2]n ds + Fa (2.18)

MA = ρ

ˆΓSF

[(∂Φ

∂t

)R∗−(V + ω ∧AM

)· ∇Φ +

1

2

(−→∇Φ

)2]AM ∧ n ds +Ma A

(2.19)

Où Fa etMa A représente les éléments de réduction du torseur des efforts hydrostatiques, commela poussée d’Archimède. Ces termes ont été explicités plus précisément dans le chapitre relatifà l’étude hydrostatique.

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Nous sommes ici en présence d’une équation reliant directement le torseur des efforts avec lepotentiel de l’écoulement. Ainsi, connaissant Φ à chaque instant, on peut calculer F et MA àchaque instant.

Ces expressions sont à priori suffisantes pour calculer les efforts exercés sur un corps immergé,en cela que les efforts visqueux sont - dans ce cas précis - bien découplés des efforts dynamiqueset s’additionnent ainsi à ce torseur.

En revanche, la présence d’une surface libre sur l’obstacle va induire une interdépendance entreles effets visqueux (dépendant de la surface mouillée) et les termes hydrodynamiques (défor-mant la surface libre et modifiant alors la surface mouillée). C’est pourquoi l’hypothèse de W.Froude consistant à séparer l’étude des efforts dus aux vagues de l’étude des effets visqueuxpeut paraître trop simpliste. Toutefois, étant donné la complexité extrême de ce problème, leshydrodynamiciens ont très largement traité ce propos en faisant cette hypothèse qui, en premièreapproximation, est relativement bien vérifiée par l’expérience.

Les relations 2.18 et 2.19 sont définies à l’aide d’un potentiel de vitesse. Conscient qu’une houlesur la surface libre induit une modification du potentiel, il nous faut connaître ce potentiel dehoule afin de calculer le torseur des efforts hydrodynamiques. C’est là le propos du chapitre 2.

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3Étude de la houle

IntroductionUne des problématiques les plus intimement liées à l’hydrodynamique navale est la présence desurface libre. En effet, contrairement à l’aérodynamique, les fluides mis en jeu dans cette disciplinesont des fluides pesants. Et bien que l’étude d’un submersible peut souvent s’en affranchir, toutcorps flottant est soumis au comportement de cette interface.

Afin de pourvoir relier le comportement de la houle aux effets qu’il produit sur un corps flottant,il est indispensable d’évaluer le potentiel induit dans l’écoulement et d’en déduire ainsi la forceexercée sur l’obstacle.

Nous nous contenterons ici de modéliser la surface libre comme la superposition de déformationssinusoïdales progressives, de longueurs, de directions, de fréquences et d’amplitudes indépen-dantes. C’est ce que l’on appelle la théorie linaire de la houle. Notons cependant qu’il existebien d’autres modélisation toute plus fine que la houle linéaire faisant généralement intervenirles termes non linéaires par développement asymptotique.

H amplitude

L longueur d’onde

T période temporelle

d profondeur

ω = 2πT pulsation

k = 2πL nombre d’onde

η(x, t) surface libre

Figure 3.0.1 – Définition des paramètres de l’écoulement

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Chap. 3. Étude de la houle

La méthode décrite pour la mise en équation et la résolution est inspirée de (R. Bonnefille, 1992)et de la relecture de (H. Roux, 2001).

3.1 Bilans - équations mises en jeuLe cas traité ici est celui d’un mouvement plan 2D. L’onde, plane, se déplace dans une seuledirection (onde progressive). Le fluide est considéré comme incompressible et est en mouvement

avec une vitesse−→V =

u

0

w

.

3.1.1 Principes de conservation

– La conservation de la masse nous permet alors d’écrire :

div(−→V ) = 0 =

∂u

∂x+∂w

∂z(3.1)

L’écoulement est de plus supposé irrotationnel ⇒ ∃Φ /−→V =

−→∇Φ dans tout le fluide.

Avec 3.1, nous obtenons l’équation de continuité suivante :

∆Φ = 0 (3.2)

– La conservation de la quantité de mouvement (−→F = m−→a ) nous donne :

ρDV

Dt= ρ

∂V

∂t+ ρ

1

2∇(V 2)

+ ρ(rot V

)︸︷︷︸=0

∧V = −ρg −∇ p

Ce qui nous permet d’aboutir alors à :

−→∇(∂Φ

∂t+

1

2

(−→∇Φ

)2+p

ρ+ gz

)= 0

C’est à dire l’équation de Bernoulli en régime instationnaire :

∂Φ

∂t+

1

2

(−→∇Φ

)2+p

ρ+ gz = C(t)

La fonction Φ est choisie à une constante dépendant du temps près, on choisi celle-ci de sorteque l’on ai :

p = patm − ρgz − ρ

(∂Φ

∂t+

1

2

[(∂Φ

∂x

)2

+

(∂Φ

∂z

)2])

(3.3)

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3.1. Bilans - équations mises en jeu

3.1.2 Condition d’interface matérielle

– La condition de surface matérielle nous donne, en z = η :

Dη

Dt=∂η

∂t+−→V ·−→∇η =

∂η

∂t+∂Φ

∂x︸︷︷︸u

∂η

∂x∼=∂Φ

∂z︸︷︷︸w

C’est-à-dire :

(∂η

∂t+∂Φ

∂x

∂η

∂x− ∂Φ

∂z

)z=η

= 0 (3.4)

– La surface étant à la pression patm l’équation de Bernoulli nous donne la condition limitedynamique suivante :

gη +

(∂Φ

∂t+

1

2

[(∂Φ

∂x

)2

+

(∂Φ

∂z

)2])

z=η

= 0

En dérivant 3.5 par rapport au temps et en l’injectant dans 3.4, on obtient une relation entreΦ et η :

(∂2Φ

∂t2+ g

∂Φ

∂z

)z=η

=

(−1

2

∂

∂t

[(∂Φ

∂x

)2

+

(∂Φ

∂z

)2]

+ g∂Φ

∂x

∂η

∂x

)z=η

(3.5)

On remarque ici que η n’apparaît que dans un terme d’ordre 2, on pressent que la linéarisationnous donnera une relation de surface libre ne portant que sur le potentiel. Ce qui est fortementavantageux pour la résolution.

3.1.3 Condition limite cinématique sur le fond

– La condition de glissement au fond nous donne :

V · n = 0

Soit donc une condition sur le potentiel :

(∂Φ

∂z

)z=0

= 0

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3.2 Linéarisation - théorie d’AiryNous supposerons désormais que les ondes de surface suivent le modèle d’une houle d’Airy,c’est-à-dire de faible amplitude :

H L

H d

On supposera alors qu’à la surface, les termes de vitesse d’ordre deux deviennent négligeablesdevant les termes d’ordre 1. À savoir :[(

∂Φ

∂x

)2

+

(∂Φ

∂z

)2]∼z=η

0 et∂Φ

∂x

∂η

∂x∼z=η

0

Ce qui nous permet de linéariser la condition3.5 en z = η.

Nous restons tout de même gêné par l’intervalle de définition du potentiel de vitesse DΦ =[−∞,∞]× [−d, η] car η reste pour l’instant inconnu. Nous le négligerons devant la profondeur det le prendrons comme nul, pour l’intervalle de définition seulement. Voici le tableau récapitulatifdes équations a résoudre :

- Équation de continuité : ∆Φ = 0 (3.6)

- Condition de glissement au fond :(∂Φ

∂z

)z=−d

= 0 (3.7)

- Condition dynamique en z=0 :(gη +

∂Φ

∂t

)z=0

= 0 (3.8)

- Relation de Poisson :(∂2Φ

∂t2+ g

∂Φ

∂z

)z=0

= 0 (3.9)

3.3 Résolution

3.3.1 Séparation des variables

La solution est obtenue grâce à la méthode de séparation des variables. Plus précisément, étantdonnées les oscillations attendues en x et t, la solution est supposée être de la forme :

Φ(x, z, t) = φ(z) cos(kx− ωt)

Pour des raisons de commodité de calcul, Φ est recherchée sous forme complexe, seule la partieréelle étant considérée par la suite. Soit :

Φ(x, z, t) = φ(z)ekxe−ωt

En ne considérant que les équations en Φ seule, le tableau ci-dessus devient alors :

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3.3. Résolution

Équation de continuité −k2φ+ φ = 0

Condition de glissement au fond φ(z = −d) = 0

Relation découplée ω2φ(z = 0) = gφ(z = 0)

D’où une solution sous la forme :

φ(z) = A cosh(kz) +B sinh(kz)

3.3.2 Conditions aux limites - Relation de dispersion

Les conditions aux limites nous donnent alors le système suivant :

−kAsh(kd) + kBch(kd) = 0

−Aω2 + gkB = 0

Pour que ce système admette une solution il faut que son déterminant soit nul :

−AB

∣∣∣∣∣ ksh(kd) kch(kd)

ω2 gk

∣∣∣∣∣ = 0

⇒ ω2 = gk · th(kd) (3.10)

c’est ce que l’on appel la relation de dispersion.

Ce qui nous donne finalement le potentiel de vitesse suivant :

Φ(x, z, t) = Ach(k(z + d))

ch(kd)cos(kx− ωt)

La condition dynamique en z = 0 impose de plus la forme de η :

η =1

g

(∂Φ

∂t

)z=0

= −Agω sin(kx− ωt)

L’amplitude de η est donnée par la valeur des creux : Aωg = H2

d’où au final :

Φ(x, z, t) =gH

2ω

ch(k(z + d))

ch(kd)cos(kx− ωt)

η = −H2

sin(kx− ωt)

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Figure 3.3.1 – Vitesse de phase

3.3.3 Vitesse de propagation de l’onde

La célérité de l’onde (ou vitesse de phase) se calcule en considérant le déplacement d’une crête(ou d’un creux) :– En un temps dt, la crête se déplace de dx,– Mais la valeur de reste la même (maximale puisque l’on considère une crête).En réalité on peut faire le calcul en considérant n’importe quel point :

Ce qui fait que nous avons la relation suivante :

kx− ωt = k(x+ dx)− ω(t+ dt)

⇒ dx

dt= c =

ω

k

Avec la relation de dispersion, nous obtenons en faible profondeur :

c = ωL ' L√g

L

d

L= d

√g

L(3.11)

3.4 Houle en bassinL’étude de l’effet de la houle sur un corps est généralement expérimentée en bassin d’essai. Laprincipale raison est que l’étude porte généralement sur l’effet d’une houle donnée et qu’il estdonc nécessaire de la maîtriser. La complexité des interactions entre un corps et une surface libreest telle qu’il est aujourd’hui encore nécessaire de faire des essais sur modèles réduits.

L’essai en bassin soulève cependant un problème majeur. La houle générée par un batteur observeun régime parasite appelé “clapotis” qui traduit une résonance en modes propres des ondes desurface dans la cavité formée par les parois du bassin. Ce clapotis est une onde stationnaire, orbien souvent on cherche à évaluer les effets d’une houle progressive, comme c’est le cas des vaguesen mer. On se rend bien compte alors que la déformation souhaitée de la surface libre va êtreconsidérablement affectée dès lors que le clapotis devient du même ordre que la houle générée.

On cherche donc dans cette section à mettre en évidence ce problème afin de pouvoir estimer lesmodes propres que l’on risque d’observer expérimentalement dans le canal à houle de l’ENSEM.

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3.4. Houle en bassin

Géométrie du bassin :L’essai que nous mettrons en œuvre correspond à l’action d’une onde plane progressive, onsupposera donc que les seuls modes propres stimulés seront de même nature. Nous estimeronsainsi le problème plan (xOz ). Le bassin sera de section rectangulaire.

Figure 3.4.1 – Dimensions et forme du bassin

Équations du problème :Les équations sont très semblables aux équations 3.6 à 3.9 établies dans le cas du domaine illimité.La simple condition de glissement est étendue aux parois verticales :

- Équation de continuité : ∆Φ = 0

- Condition de glissement aux parois :(∂Φ

∂z

)z=−d

=

(∂Φ

∂x

)x=0

=

(∂Φ

∂x

)x=L

= 0 (3.12)

- Condition dynamique en z=0 :(gη +

∂Φ

∂t

)z=0

= 0

- Relation de Poisson :(∂2Φ

∂t2+ g

∂Φ

∂z

)z=0

= 0

Séparation des variables :Le potentiel de l’écoulement doit cette fois vérifier deux conditions en espace supplémentaire enx = 0 et x = L. Ceci s’oppose à l’idée de chercher la solution sous la forme d’une onde progressivedans la direction Ox , le domaine étant borné dans cette direction. On cherche de nouveau Φpar séparation des variables, mais cette fois sous la forme Φ(x, z, t) = Re

χ(t)f(x)φ(z)

où

χ(t) = eiωt est le terme pulsant. Dans ces conditions, l’équation 3.6 donne :

f

f= − φ

φ= −λ

Soit deux équations découplées :f + λf = 0

φ− λφ = 0

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Modes propres du bassin :Si λ < 0, le discriminant de l’équation en f est négatif et la solutions est de la forme :

f(x) = A1ex√−λ +B1e

−x√−λ

f(x) =√−λ(A1e

x√−λ +B1e

−x√−λ)

La condition aux limites 3.12 donne :

A1 = B1 et sinh(L√−λ) = 0

La bijectivité de sinh imposerait alors λ = 0, ce qui n’est pas forcément le cas. Si λ = 0 unesolution triviale existe cependant :

f(x) = 0

qui correspond à l’état de surface libre au repos.

Prenons alors λ = k2 > 0, dans ces conditions la solution à l’équation en f est donnée par :f(x) = A1 cos(kx) +B1 sin(kx)

f(x) = k (B1 cos(kx)−A1 sin(kx))

La condition aux limites 3.12 donne cette fois :

A1 = 0 et sin(kL) = 0

Ce qui s’écrit encore :

kn =nπ

Let : f(x) = B1 sin

(nπLx)

= fn

La cavité que forme le bassin impose donc une répartition discrète de modes propres vibratoirespar rapport à x.

Les mêmes calculs sur l’équation en φ aboutissent à :

φ = A2 cosh[nπL

(z + d)]

= φn

Le potentiel doit aussi vérifier l’équation de Poisson 3.9 en z = 0 :

∂2Φ

∂t2+ g

∂Φ

∂z= 0

⇔ φ∂2χ

∂t2+ gχ

∂φ

∂z= 0

⇔ −ω2φ+ g∂φ

∂z= 0

⇒ −ω2 cosh

(nπd

L

)+gnπ

Lsinh

(nπd

L

)= 0

D’où l’on tire les pulsations propres du bassin :

ω2n =

nπg

Ltanh

(nπd

L

)et : χ(t) = eiωnt = χ

n(t)

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3.4. Houle en bassin

Expression du potentiel et forme de l’interface :Ceci nous permet d’aboutir à l’expression globale du potentiel Φ :

Φ(x, z, t) =

∞∑n=0

An cosh [kn(z + d)] cos(ωnt) sin(knx)

La condition dynamique 3.8 donne alors la forme de la surface libre :(gη +

∂Φ

∂t= 0

)z=0

⇒ η = −∞∑n=0

ωnAng

cosh(knd) sin(ωnt) sin(knx)

Si on reprend la notation H pour la valeur des creux de vagues, on aboutit à :

η = −∞∑n=0

H

2sin(ωnt) sin(knx)

Où : An =gH

2ωn cosh(knd)

On remarque alors que certaines valeurs de x annulent un mode ηn donné quelque soit t, ce sontdes nœuds. Si un mode est fortement représenté, c’est-à-dire que son amplitude est comparableà celle de l’onde générée par le batteur, on peut prévoir une détérioration notable des résultatsde l’expérimentation.

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4Hydrodynamique du corps à

demi-émergé

IntroductionComme nous pouvons le constater avec les chapitres précédents, l’étude des interactions entre uncorps et une surface libre requiert certains préalables. À savoir, une connaissance de l’effet d’unesurface libre sur le fluide, et une connaissance de l’action du fluide sur ce corps. Ceci étant, onpeut coupler les deux études moyennant quelques adaptations des hypothèses respectives.

Il est important de faire remarquer que dans ce projet, a été omis l’étude statique de l’interactionentre le corps et le fluide. Le but est en effet ici de faire ressortir les effets dynamiques d’unesurface libre. Nous verrons dans la Partie II (Expérimentation) que nous avons d’ailleurs pris unsoin particulier à isoler ces effets.

Cette section a pour unique objectif de traiter de l’interaction entre un corps et une surface libreinstationnaire. Il ne sera donc pas non-plus traité le cas d’un navire en avance sur eaux calmes,dit de résistance de vague, bien que ces problèmes soient assez semblables. L’étude menée ici estd’appellation courante une étude de Tenue à la Mer.

Je ne pourrai là encore m’abstenir de citer l’ouvrage de Bovis (2009) qui à été le principal supportde l’étude présentée dans ce chapitre.

4.1 Potentiel de perturbationOn supposera dans tout le problème que l’obstacle observe une vitesse d’avance nulle mais qu’ilest soumis à une houle incidente plane et monochromatique de faible amplitude. 1Comme nous

1. Le problème complémentaire serait donc le cas d’un navire en avance sur eaux calme, c’est-à-dire l’étude derésistance de vague.

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Chap. 4. Hydrodynamique du corps à demi-émergé

l’avions explicité précédemment le potentiel ϕI relatif à cette houle s’écrit :

ϕI(x, z, t) =gH

2ω

cosh [k(z + d)]

cosh (kd)cos(kx− ωt)

Avec la relation de dispersion : ω2 = gk tanh(kd).

Tout mouvement de l’obstacle induit, on le sent bien, un potentiel de vitesse supplémentaire dansle fluide. Ce potentiel est généralement appelé potentiel de rayonnement, on le notera ϕR.

De même, la réflexion de la houle sur l’obstacle va elle aussi ajouter un potentiel supplémentaire, appelé potentiel de diffraction et noté ϕD. On appelle alors potentiel de perturbation ϕP lasomme de ces deux potentiels :

ϕP = ϕR + ϕD

Le potentiel global de l’écoulement est donc exprimé par la relation :

ϕ = ϕI + ϕP = ϕI + ϕR + ϕR

4.2 Condition de rayonnement à l’infiniDe la même manière qu’une onde acoustique possède un caractère propagatif axisymétrique deson énergie, on peut démontrer que le potentiel de perturbation possède cette même propriétéet qu’il satisfait donc à la condition suivante :

limr→∞

√r

∣∣∣∣∂ϕP∂r − i|k|ϕP∣∣∣∣ = 0 (4.1)

Cette condition est communément appelée condition de Sommerfeld, et est directement héritéedes fonctions de Hankel. En effet, l’expérience montre que si l’on agite verticalement un flotteurà la surface de l’eau, il se développe un train d’onde cylindrique progressives.

Figure 4.2.1 – Ondes cylindriques à la surface de l’eau

Cette expérience nous pousse alors à chercher un potentiel ϕP sous la forme d’une solutionaxisymétrique par rapport à Oz :

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4.2. Condition de rayonnement à l’infini

ϕP (r, z, t) = Re

gH

2ω

cosh [k(z + d)]

cosh(kd)f(kr)︸︷︷︸

=ψ(r,z)

e−iωt

Où r =

√x2 + y2. L’équation de Laplace en coordonnées cylindriques nous permet d’aboutir

à :

∆ψ = 0 ⇒

d2f

dξ2+

1

ξ

df

dξ+ f(ξ) = 0

ξ = kr

Cette équation est une équation de Bessel d’ordre 0 dont la solution est une combinaison linéairedes fonctions de Hankel dont nous parlions précédemment. On sait de plus que cette solutionest équivalente en +∞ à :

f(ξ) ∼∞

√2

π|ξ|eiξ

Ainsi le potentiel de perturbation satisfait en +∞ à :

ϕP (r, z, t) ∼∞

gH

2ω

cosh [k(z + d)]

cosh(kd)

√2

π|kr|cos(kr − ωt)

On voit alors dans ces conditions que ϕP observe une décroissance en r−1/2 et qu’un équivalentdu potentiel de perturbation en +∞ est :

ϕP ∼∞r−1/2eikr︸︷︷︸

=ψ

eiωt

D’où, en calculant ∂ψ∂r =

[r−3/2

2 + ik · r−1/2]eikr, il vient :

∂ψ

∂r− i|k|ψ =

1

2r−3/2eikr

Ce qui permet d’aboutir à la condition de Sommerfeld (4.1) :

limr→∞

√r

∣∣∣∣∂ϕP∂r − i|k|ϕP∣∣∣∣ = 0

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Chap. 4. Hydrodynamique du corps à demi-émergé

4.3 Méthode des imagesLorsqu’un écoulement potentiel de fluide parfait est confronté à une surface, la condition deglissement sur cette surface peut être assimilée à une condition de symétrie. La méthode desimages se base sur ce concept.

Supposons par exemple que dans un problème on cherche le potentiel d’un écoulement induitpar une source situé en z = a, sachant que le problème est borné par une surface z = 0.

Il est alors équivalent d’étudier le problème non borné d’un écoulement induit par une sourcesituée en z = a et par son symétrique par rapport au plan précédent, c’est-à-dire par une sourceplacée en z = −a.Dans notre problème, la surface libre est souvent assimilée à une condition de symétrie (houlelinéaire ⇒ faible déformation de l’interface). L’étude est donc ramenée à celle de la carène et desa symétrie par rapport à l’interface, dans un domaine illimité.

4.4 Formulation intégrale du problème dediffraction-rayonnementNous reprenons ici l’étude menée au chapitre (2) et qui nous a permis d’aboutir à la formulationintégrale du problème. Les études faites sur la houle au chapitre (3), et sur le potentiel de per-turbation dans ce même chapitre vont, on s’y attend, modifier le système d’équations établi en(2.3). En particulier, le système à résoudre est désormais :

Équation de Laplace : ∆ϕ = 0 (4.2)

Condition de glissement :(∂ϕ

∂n

)C

=(VG + Ω ∧GP

)·N (4.3)

Condition de Poisson :(−ω2ϕ+ g

∂ϕ

∂z

)z=0

= 0 (4.4)

Condition de rayonnement : limr→∞

√r∣∣∣∂ϕ∂r − ikϕ∣∣∣ = 0 (4.5)

La principale difficulté introduite dans ce système réside dans la condition de Poisson qui vainduire une forme particulière des fonctions de Green.

En effet, comme le potentiel ϕ vérifie l’équation de Laplace (4.2), il satisfait, comme nousl’avion montré au chapitre (2), à la formulation intégrale (2.12) suivante :

ϕ(M) =

ˆΓSF

[σ(P )G(M,P )− µ(P )

∂G

∂n(M,P )

]ds

Où G(M,P ) est solution élémentaire de l’équation ∆G(M,P ) = δM , et doit vérifier de plus lesconditions (4.4) et (4.5)

La condition (4.4) peut se simplifier sous certaines conditions :

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4.4. Formulation intégrale du problème de diffraction-rayonnement

Premier cas : ω2Lg 1

Dans ce cas, la condition (4.4) devient :

∂ϕ

∂z(x, y, 0) = 0

La fonction élémentaire G vérifiant cette condition limite est identique à celle définie en (2.10)et (2.11) :

G(M,P ) = − 1

4π

[1

|MP |+

1

|M ′P |

]Où M ′ est le symétrique de M par rapport au plan z = 0.

Deuxième cas : ω2Lg 1

Dans ce cas la condition (4.4) devient alors :

ϕ(x, y, 0) = 0

Cette fois la fonction de Green s’écrit :

G(M,P ) = − 1

4π

[1

|MP |− 1

|M ′P |

]

Cas général :La solution de Green satisfaisant à la condition (4.4) de manière générale possède une formeplus complexe et l’on peut démontrer que :

G(M,P ) = − 1

4π

[1

|MP |+

1

|M ′P |

]− k

πRe

ˆ π/2

0ekqE1(kq)dθ

+k

2ekξ [H0(k|τ |)− iJ0(k|τ |)]

(4.6)

Où : ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

E1(t) =

ˆ ∞t

e−u

udu

H0(t) =2

π

ˆ π/2

0sin (t cos(θ)) dθ

J0(t) =1

π

ˆ π

0cos (t sin(θ)) dθ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

τ = (xP − xM )2 + (yP − yM )2

ξ = zP + zM

q = ξ + iτ cos(θ)

M ′ représente là encore le symétrique de M par rapport à la surface libre. Il est important denoter que les expressions de G(M,P ) fournies ici vérifient aussi la condition de rayonnement(4.5). Le problèsme à résoudre reste donc sensiblement identique au cas du submersible, mais ilest cependant clair que le second terme des fonctions de Green va induire une grande complexitédans l’implémentation numérique des schéma de résolution.

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Partie IIExpérimentation

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5Réalisation d’un canal à houle

IntroductionLe but de cette partie est de présenter le travail que j’ai réalisé pour matérialiser l’effet de lahoule sur un obstacle. Cette expérience, menée conjointement avec mon tuteur, M. Souhar, etun technicien de l’ENSEM, E. Blaise, a été réalisée sur la base d’un canal initialement destinéà étudier les ondes de chocs par le biais de la similitude Mach-Froude.

Ce canal avait l’intérêt d’être suffisamment large pour se prémunir des effets de bord et garantirainsi la génération d’ondes planes. Toutefois, la faible profondeur atteignable a, à priori, consi-dérablement affecté les résultats. C’est pourquoi toute tentative de mise en relation des résultatsexpérimentaux avec une étude théorique nécessitera une prise en compte de la profondeur.

Figure 5.0.1 – Vue générale du canal à houle

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Chap. 5. Réalisation d’un canal à houle

5.1 Mécanisme du batteur

Principe général :Le batteur à houle est une pièce de grande envergure destinée à générer une onde progressive àla surface de l’eau par un mouvement de va et vient périodique. Dans notre cas il s’agira d’uneplaque occupant la largeur du canal, articulé en sa partie supérieure et mise en mouvement parl’intermédiaire d’un mécanisme de type bielle-manivelle raccordé à un servomoteur.

Figure 5.1.1 – vue de profil du mécanisme

Dimensionnement du servomoteur :Ce servomoteur développe un couple de 150Nm, ce qui est amplement suffisant pour le dépla-cement d’eau souhaité. On peut en effet évaluer un ordre de grandeur du couple nécessaire. Onsupposera par exemple que le servomoteur est en prise directe sur le batteur (ce qui nécessite-rait plus de puissance qu’un mécanisme bielle-manivelle). On schématisera le problème commeillustré figure 5.1.2.

Figure 5.1.2 – Schéma de dimensionnement du servomoteur

On suppose le batteur à la vitesse V0 = 0 en position basse et à la vitesse moyenne Vm = Rm∆θ∆t

en position angulaire maximum, où Rm = R2+R12 . Si l’on applique grossièrement le Principe

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5.2. Électronique de mesure

Fondamental de la Dynamique sur le volume de fluide déplacé on obtient :

mfa = ρfL(R2 −R1)∆θ × Vm − 0

∆t

=ρfL(R2 −R1)

RmV 2m = F

Où L correspond à la largeur du canal. D’où l’on déduit le couple :

C = RmF = ρfL(R2 −R1)V 2m

Si l’on souhaite alors une période de 1s pour un déplacement angulaire de 20°, on obtenue uncouple moyen

C = 18 Nm

En supposant alors la masse du batteur négligeable devant celle du fluide déplacée, on en déduitque le servomoteur doit déployer un couple minimum de 18Nm, ce qui est largement atteint.

Alimentation du servomoteur :Le servomoteur est alimenté par un dispositif intégrant un hacheur de fréquence fixe, produisantun signal carré. La fréquence du signal carré étant fixe, on incorpore un potentiomètre avant leservomoteur qui permet de faire varier la vitesse de rotation du potentiomètre, et par ce biais,de faire varier la pulsation.

5.2 Électronique de mesureLa mesure de force est obtenue par l’intermédiaire d’une chêne d’acquisition dont le premierélément constitue la sonde piezo-résistive. Cette sonde est reliée à une carte d’acquisition quipré-amplifie le signal et effectue un premier filtrage, elle même reliée à une interface USB dutype 2analog-input/2digital-input/2digital-output, échantillonnée à une soixantaine de hertz.

Fonctionnement de la sonde :Afin de mesurer l’effort de la houle générée par le batteur sur un obstacle, l’ENSEM a faitl’acquisition d’un capteur de force FlexiForce de la société Phidgets, travaillant dans unegamme d’effort de 0 à 450g. Il s’agit d’un capteur de type résistif, c’est-à-dire qu’il s’agit d’unmatériaux résistif utilisant l’effet piezo-résistif.

Cet effet piezo-résistif est simplement du à la déformation du matériaux résistif sous l’effet d’unecontrainte. En effet, la résistance du matériaux dépendant de ses caractéristiques géométriquespar la la relation :

R =ρL

S

Or la déformation suivant x s’écrit :

εxx =δL

Lavec : σxx = Eεxx

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Figure 5.2.1 – Matériaux constitutif de la sonde

Où E correspond au module d’Young du matériaux.

Et la déformation suivant y s’écrit :

εxx =δd

davec : εyy = νεxx =

ν

Eσxx

Où ν correspond au coefficient de Poisson du matériaux.

Ainsi, la variation de R donne une évaluation de la déformation du matériaux, que l’on peutrelier à la contrainte σxx, c’est-à-dire la pression suivant x, et donc la force.

La partie de la sonde contenant le matériaux résistif constitue alors la surface sensible du capteur.Sur les sondes FlexiForcer cette zone est une pastille circulaire de 10mm de diamètre et d’1µmd’épaisseur.

Afin d’assurer une mise en pression uniforme de cette surface, il est recommandé d’utiliser un“puk”, sorte de pastille circulaire en plastique souple de diamètre identique à celui de la zonesensible et de 1mm d’épaisseur, de sorte que toute surface de taille supérieure à celle de la sondese voit intégralement adaptée à la zone sensible. La figure 5.2.2 illustre ce montage.

Figure 5.2.2 – Utilisation d’un puk, ou pastille d’adaptation

Carte d’acquisition :La carte d’acquisition reliée au capteur a pour objectif de traduire la force appliquée à la sonde entension. Pour cela il suffit en théorie d’envoyer un courant à travers la sonde, de lire la tension àses borne, et par la loi d’Ohm on obtient la valeur de la résistance, donc de la force. On préféreraun montage amplificateur inverseur qui permettra une comparaison avec une valeur de résistancede référence. Le schéma du circuit est donné figure 5.2.3.

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5.3. Mécanisme de mise en contrainte du capteur :

5VVT=-5V

GNDVOUT

RS

FlexiForce®

RF

GND

GND

Figure 5.2.3 – Montage amplificateur inverseur de la carte d’acquisition. [source : FlexiForcer

User Manual, Tekscan Inc.]

Dans cette configuration de montage, à VT et RF fixés, on obtient la relation :

VOUT = −RFRS

VT

qui varie en 1/RS . On prévoit ici que l’étalonnage brut de la sonde se fera en conductance et nonen résistance, de manière à avoir une relation linéaire.

Interface USB :La tension de sortie VOUT est ensuite digitalisée par le biais d’une interface USB reliée à l’or-dinateur. La fréquence maximum d’échantillonnage est de l’ordre de 100Hz. Il est extrêmementimportant de comprendre que celle-ci n’est pas fixe.

En effet l’interface USB est un dispositif qualitatif par défaut, c’est-à-dire qu’elle est paramétréepar une gâchette de déclenchement qui ne fournira pas de nouvelle valeur au PC tant que lavariation de la tension mesurée ne dépasse pas un nombre défini d’unités 1.

5.3 Mécanisme de mise en contrainte du capteur :

Afin de mesurer l’effort exercé sur l’obstacle par la houle, il a fallut convertir cette force en uneforce normale à la sonde. La solution retenue a été de fixer l’obstacle à un bras rigide articulépar une liaison pivot comme illustré figure 5.3.1.

L’avantage de cette configuration est qu’elle permet, en plus d’intégrer tous les efforts de cavale-ment sur l’obstacle, de multiplier l’effort. Cela s’opère par l’effet de bras de levier. On a en effetl’égalité des couples à la liaison pivot :

D × F = d× F ′ ⇒ F ′ =D

dF > F

On s’assure par ce biais de capter des effets de houle de faible amplitude, en prenant soin dene pas faire saturer la sonde pour les houles de grande amplitude. Une vue en 3 dimensions estprésentée figure 5.3.2.

Enfin le mécanisme à été par la suite amélioré en ajoutant un anneau élastique disposé entre lapartie supérieure du bras de levier et le support du capteur.

Ceci a permis :

1. par défaut 100 sur un maximum de 1000, c’est-à-dire une gâchette de 10%

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F

F'

VD

dobstacle

sonde

Figure 5.3.1 – Mécanisme de mise en contrainte de la sonde

1. de plaquer le bras contre la sonde, et d’éviter ainsi que ce dernier d’en décolle et viennechoquer la sonde

2. d’ajouter une composante continue (force de rappel du brin) qui permet d’évaluer desefforts négatifs.

Il a ensuite été nécessaire de filtrer cette composante continue pour obtenir le signal réel.

Figure 5.3.2 – Vue 3D du dispositif

5.4 Traitement des donnéesLa carte d’acquisition USB permet un traitement informatique des données, mais nécessite d’avoirpréalablement installé les librairies permettant la connexion du périphérique USB à l’ordinateur.

Toutes ces librairies sont codées en langage C et l’utilisation des fonctions qu’elles implémententest donc naturellement prévue dans ce même langage. N’étant pas spécialement familier avec

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5.4. Traitement des données

l’écriture du C, et n’ayant pas trouvé d’interfaces homme-machine gratuites pour cette chaîned’acquisition, j’ai opté pour l’implémentation sous Matlab.

Il existe effectivement un code permettant de faire le pont entre les librairies Matlab et leslibrairies Phidgets. Ce code est contenu dans un fichier nommé “phidget21matlab.h” qu’il estnécessaire de placer dans le répertoire de travail de Matlab dès que l’on souhaite faire usage defonctions phidget.

Implémentation pratique sous Matlab :Le but est simplement ici de faire un guide des fonctions de base indispensables à toute personnedésireuse de faire usage de ce capteur.

Comme je l’expliquais, le fichier “phidget21matlab.h” permet de faire le pont entre les librairiesMatlab et les librairies Phidgets. Mais afin que Matlab ait accès à ces librairies, il faut avanttoute opération lui spécifier un chemin d’accès vers celles-ci et les charger dans l’espace de travail.On écrira donc en préambule de la fonction :

addpath ( ’C: \ Program F i l e s \Phidgets ’ ) ;l o a d l i b r a r y phidget21 phidget21Matlab . h ;

Puis, pour invoquer ce pont, il faut utiliser la fonction calllib(’lib’,’function’,’args’) qui va ap-peler la fonction ’function’ présente dans la librairie ’lib’, et lui passer les arguments ’args’. Onretiendra en particulier les fonctions :.

– ’CPhidgetInterfaceKit_create’ : Charge un objet virtuel “interface d’acquisition” dans un poin-teur (ex : de type entier 32bits).

– ’CPhidget_open’ : Ouvre le phidgets connecté au PC avec un SerialNumber donné (-1 signifietous) dans une poignée liée à la valeur de l’InterfaceKit créée précédemment.

– ’CPhidget_waitForAttachment’ : Mise en place de la connexion avec le phidgets ouvert précé-demment, attente d’un temps t défini en ms, si cette fonction retourne la valeur 0⇒ connexionOK.

– ’CPhidgetInterfaceKit_getSensorValue’ : Charge la valeur mesurée par la sonde connectéeau phidgets ouvert précédemment dans un pointeur (ex : de type entier 32bits), la fonctionretourne 0 si l’interface a bien une valeur à fournir 2.

Calibrage :Le capteur FlexiForcer possède une assez bonne linéarité, à l’instar de sa reproductibilité. Aussi,pour s’assurer une comparaison possible entre deux expériences éloignées dans le temps, il estnécessaire d’effectuer régulièrement un calibrage de la sonde. On peut utiliser pour cela une sériede masses dont la plus lourde doit idéalement atteindre 110% de la force maximale qui lui seraappliquée.

2. Il ne faut pas oublier ici la notion de gâchette (trigger en anglais) selon laquelle l’interface ne fournie unenouvelle valeur que si elle diffère d’un nombre d’unités défini par le trigger.

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La société Phidgets en outre informe qu’il est important de mettre le capteur en pré-chargeavec une force de 110% de la force maximale pendant plusieurs seconde avant de procéder àl’étalonnage.

On obtient, à titre d’exemple la droite tracée figure 5.4.1.

Figure 5.4.1 – Courbe d’étalonnage de la sonde FlexiForcer

La linéarité est donc assez bien vérifiée, et par le biais des coefficients de régression on remonteà la relation liant la tension mesurée avec la valeur de la force.

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5.4. Traitement des données

Méthode d’acquisition :Comme nous l’expliquions avec le concept de trigger, l’interface USB ne fournie pas une valeurselon un pas de temps régulier, mais seulement si elle mesure une valeur qui diffère d’un nombred’unités suffisant. Ainsi on peut avoir une distribution de l’écart entre deux enregistrements devaleurs assez disparate, comme en témoigne la figure 5.4.2.

Figure 5.4.2 – Évolution de l’écart entre deux enregistrements consécutifs au cours d’une ac-quisition

Ceci est assez problématique, surtout lorsque l’on souhaite faire une étude spectrale du signal.On remarque cependant que l’amplitude de l’écart reste bornée par une valeur de l’ordre de lacenti-seconde. Il s’agit donc d’un échantillonnage dit pseudo-aléatoire tel que :

δtn = (δt)m + εn

où (δt)m représente l’écart moyen entre chaque mesure sur toute l’acquisition. Sur toute l’étudequi suit je m’était tout d’abord permis d’estimer εn très petit devant (δt)m et j’ai donc procédéà un échantillonnage à pas (δt)m régulier. Il va sans dire que c’est faux et qu’en pratique ce pointpeut avoir une influence non négligeable sur les résultats car cette méthode a pour effet de fairedes distorsions locales du temps.

Afin de remédier à ce problème j’ai procédé à une reconstruction du signal par splines cubiqueset je l’ai ensuite évalué sur un vecteur de temps à pas régulier. Par ce biais je peux finalementré-échantillonner le signal de manière classique.

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(a) Vue générale de l’interpolation

(b) Zoom sur l’interpolation

Figure 5.4.3 – Interpolation du signal de force par splines cubiques (rouge : signal brut - bleu :signal interpolé)

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6Résultats de l’expérience

IntroductionLes résultats présentés ici sont le fruit d’une série de mesures effectuée sur le canal à houle quia été élaboré à l’ENSEM et que nous avons présenté au chapitre précédent.

Je tiens à préciser qu’il ne s’agit là que d’une seule série de mesure. Des problèmes techniques quej’ai mis du temps à repérer ont invalidé à priori les séries précédentes. Il est donc bien évidentque ces résultats sont insuffisants en nombre pour en proposer une interprétation valide.

Je m’attacherai cependant à essayer de formuler les plus grandes tendances qui ressortent de cesrésultats, après avoir explicité les écueils auxquels j’ai du faire face pendant l’expérimentation.

6.1 Problèmes rencontrés

6.1.1 Mise en fonctionnement de la chaîne d’acquisition

Ce qui m’a sans doute coûté le plus de temps dans cette expérience a été l’utilisation brute dela chaîne d’acquisition. La société Phidgets ne propose pas en effet d’interface d’utilisation etlaisse le soin à l’utilisateur d’implémenter la mise en fonctionnement.

J’ai compris par la suite que ce choix de la société Phidgets était extrêmement judicieux. Desdéveloppeurs indépendants ont en effet proposé des interfaces prêtes à l’emploi - l’intégralitéde ces interfaces étant d’ailleurs payantes - mais ont peut déplorer la lourdeur d’utilisation, lesréglages obscures des paramètres d’acquisition, et un export des données difficile à utiliser enpost-traitement.

Comme je l’ai expliqué au chapitre précédent, j’ai donc opté pour une implémentation sousMatlab, nettement plus sûre d’utilisation.

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Chap. 6. Résultats de l’expérience

6.1.2 Échantillonnage irrégulier

La notion de gâchette de déclenchement n’a pas été évidente à appréhender au premier abord.J’ai effectivement mis beaucoup de temps à comprendre pourquoi il était impossible d’avoir uneacquisition des données à pas régulier.

Dans ma première implémentation du capteur, j’estimais que si j’imposais un temps de pause δtdéfini entre chaque enregistrement de donnée j’aurai une valeur à chaque δt et ainsi un vecteurtemps incrémenté en nδt. J’avais donc une distribution totalement fausse du signal.

Pour résoudre ce problème j’ai utilisé les fonctions Matlab tic et toc, basées sur l’horloge del’ordinateur, et qui fournissent le temps écoulé entre l’appel de tic (en post-boucle) et l’appel detoc (dans la boucle, à chaque itération). Par ce biais j’ai été à même de connaître à quel instants’effectuait l’enregistrement, et ainsi d’avoir un signal bien défini dans le temps.

Toute fois, comme je l’expliquais, l’interface USB ne déclenche qu’à la condition qu’elle détecteune nouvelle valeur du capteur supérieur à un nombre d’unités défini par la gâchette. En ce sens,la gâchette constitue une sorte de sensibilité du capteur. Les efforts mesurés étant parfois trèsfaibles, j’aurais aimé pouvoir diminuer ce taux de déclenchement, mais je n’y suis pas arrivé.C’est pourquoi certaines distributions de valeurs mesurées ne prennent qu’un nombre très limitéde valeur, comme en témoigne la figure 6.1.1.

Figure 6.1.1 – Histogramme de la distribution de valeur d’un signal mesuré pour une hauteurd’eau de 3,5cm

6.1.3 Prise en compte de l’effet de la poussée d’Archimède

Durant ce projet j’ai essayé différentes géométries en tant qu’obstacle. J’ai alors pu noter queplus un obstacle possédait un volume de flottaison important, moins il fournissait un signal debonne qualité.

En effet, la présence d’un jeu significatif à la liaison pivot permet à l’obstacle une certaineliberté de déplacement vertical. Et puisque le bras était maintenu en pression sur le capteur, cesmouvement étaient perçus par la sonde.

Pour remédier à cela je n’ai utilisé comme géométrie que des plaques planes et minces.

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6.2. Évaluation générale des paramètres

6.2 Évaluation générale des paramètresN’étant pas réellement en mesure de comparer des résultats pratiques avec des prédictions théo-riques, je me suis attaché à vérifier la bonne cohérence de tous les paramètres expérimentaux.On retiendra en particulier

1. la célérité de l’onde générée (vitesse de phase)

2. la longueur d’onde

Pour mesurer la vitesse de phase j’ai effectué un film du déplacement de l’onde en prenant soinde placer des repères optiques de distance sur le bord du canal, et par le biais d’un logiciel deretouche vidéo j’ai pu mesurer le temps mis par l’onde pour aller d’un repère à l’autre.

Pour ce qui est de la longueur d’onde, j’ai utilisé un principe très similaire, mais il ne m’asuffit cette fois que d’une photographie, comme illustré figure 6.2.1. J’associerai donc à chaqueacquisition ces deux valeurs.

Figure 6.2.1 – Détermination optique de la longueur d’onde (points blancs : repères à 20cm).

6.3 Étude spectrale du signalLes séries de mesures effectuées dans le canal ont rempli le premier objectif, à savoir de matéria-liser et de quantifier l’effet d’une houle progressive sur un obstacle.

L’étude spectrale du signal a apporté une grande efficacité dans la vérification de ce point enpermettant une visualisation directe de la répartition fréquentielle du signal.

Plus précisément, le spectre en puissance que nous avons tracé à chaque mesure traduit l’énergieporté par chaque composantes fréquentielle du signal. Et en permettant ainsi de vérifier que lesignal de force possède bien toujours un pic significatif à la fréquence d’oscillation du batteur, onest assuré de la corrélation entre l’excitation d’une part, et les effets de cette excitation d’autrepart.

Profitant de cette analyse spectrale, j’ai tenté de voir si les fréquences propres du bassin seretrouvait dans le signal d’effort, ceci mettrait ainsi en évidence un problème bien connu desconcepteurs navals lors des essais en bassin de carène.

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Essai 1 : 60cm du batteur | profondeur : 4,6cm | fréquence batteur : 0.55Hz

Vitesse de phase 0,23m.s−1

Longueur d’onde 40,2cm

Fréquence 0,56Hz

Figure 6.3.1 – Signal et spectre en puissance

N° du mode : 2 4 9

Fréq. du mode (Hz) 0,6 1,938 2.37

Amplitude relative 62% 78% 87%

On remarque ici un spectre très fourni qui traduit laperturbation de la surface libre par de nombreux modespropres. Il est très difficile de faire la différence entre lahoule générée et ces modes parasites




Fréquence 0,56Hz


N° du mode : 1 4 6

Fréq. du mode (Hz) 0,60 1,18 1,70

Ventre du mode 84% 98% 99%

Là encore le spectre fourmille de pics parasites. Il fautnoter cependant que si le mode relatif à la fréquence dubatteur est sous évalué, c’est sans doute aussi parce qu’ilcoïncide avec celui d’un mode propre du bassin qui estthéoriquement fortement représenté.

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6.3. Étude spectrale du signal

Essai 2bis : 71cm du batteur | profondeur : 3,5cm | fréquence batteur : 0.55Hz



Fréquence 0,55Hz


N° du mode : 1 4 6

Fréq. du mode (Hz) 0,60 1,18 1,70


Mêmes observations qu’à l’essai n°2, mais on re-marque en plus que le signal est encore plus faible.




Fréquence 0,56Hz


N° du mode : 1 4 6

Fréq. du mode (Hz) 0,60 1,18 1,70


Mêmes observations. On peut conclure que lorsque leservomoteur fonctionne à basse vitesse, l’amplitudede l’onde est de l’ordre de celle des modes propres etil devient très délicat de distinguer le pic relatif à lahoule.

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Fréquence 0,9Hz


N° du mode : 3 7 19

Fréq. du mode (Hz) 0,90 1,938 3,81


On remarque cette fois que le spectre est nettementplus propre et l’amplitude des pics est bien supé-rieure, ce qui va bien de paire avec l’amplitude dusignal. L’onde à 0,9Hz semble toute fois encore para-sitée par le 3eme mode du bassin.

Essai 5 : 80cm du batteur | profondeur : 4,6cm | fréquence batteur : 0,9Hz



Fréquence 0,9Hz


N° du mode : 3 7 19

Fréq. du mode (Hz) 0,90 1,938 3,81


Le spectre représente cette fois ce que l’on s’atten-drait à voir en réalité. L’onde générée par le batteurest majoritairement représentée ce qui s’explique sansdoute par le fait qu’à cette position l’harmonique n°3est presque un nœud.

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6.3. Étude spectrale du signal




Fréquence 0,9Hz


N° du mode : 3 7 19

Fréq. du mode (Hz) 0,90 1,938 3,81


Mêmes observations qu’à l’essai n°5.

Essai en régime transitoire :Afin de visualiser l’évolution de l’effet de la houle au cours du temps, on peut aussi tracer lavariation du signal lors de la mise en route du batteur. On obtient alors le tracé de la figure 6.3.8.Ce tracé matérialise très clairement l’effet de la houle sur l’obstacle.

Figure 6.3.8 – Régime transitoire : évolution de la force lors de la mise en route du batteur.

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ConclusionLes mesures présentées ici sont le fruit d’une unique session d’acquisition. Il est donc délicat d’entirer des conclusions précises. On peut toutefois faire ressortir certaines grandes lignes.

Tout d’abord l’effet de la houle sur l’obstacle a été mise en évidence très clairement, à la fois parle tracé en régime transitoire, et par la corrélation entre le spectre et la fréquence batteur.

Nous avons pu faire resurgir aussi le problème de clapotis parasitant la mesure. Ces clapotis sontd’autant plus présents que l’énergie cinétique fournie par le batteur (fonction de sa vitesse derotation) est faible. On comprend bien alors que l’amplitude de la houle devient comparable àcelle des clapotis.

Pour finir, des mesures à d’autre hauteurs d’eau auraient sans doute été intéressantes, même sila marge de variation est relativement faible étant donné la faible profondeur du canal.

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Conclusion

Ce Projet de Fin d’Étude a été pour moi l’occasion de me familiariser avec un domaine qui n’estpas spécialement une spécialité des centres de recherche de Nancy. L’hydrodynamique navalereste cependant un domaine en plein essor et une science jeune. On peut donc trouver pléthored’articles faisant référence à une innovation du domaine.

Aussi m’a-t-il fallut fouiller dans une foule innombrable de publications, qui, en dépit de l’intérêtqu’elle suscitaient en moi, sont souvent restées hors de porté de ma compréhension.

Les bases, les fondements mêmes de cette science ne sont enseignés que dans des centres, épars,et spécialisés essentiellement dans cette discipline. Ce que l’on comprend assez bien au vu dela complexité des problèmes à résoudre. C’est pourquoi les cours ne sont pas légions dans ledomaine, et je remercie encore chaleureusement M. Souhar, mon tuteur et professeur, d’avoirbien voulu se plonger avec moi dans la question.

Tout au long de ce projet, j’ai donc dépensé une énergie particulière à me familiariser avecles concepts essentiels et nécessaires à l’hydrodynamique navale. La production présentée dansles trois premiers chapitres n’est d’ailleurs qu’une synthèse insuffisante de ce qui est réellementnécessaire à l’étude du problème proposé dans ce projet.

Vient ensuite l’étude pratique. Les points positifs de cette étude sont qu’elle m’a permis deme familiariser avec la mise sur pied d’une expérience - j’entends par là les discussions avec letechniciens, la proposition d’un budget, la conception des mécanismes, etc... et que j’ai apprisà me familiariser avec un dispositif de mesure, depuis l’électronique jusqu’à l’implémentationinformatique.

Cependant, comme je l’ai expliqué en introduction du chapitre 5, cette expérience mériteraitd’être exploité beaucoup plus en profondeur car toutes les notions que j’ai essayé de faire resurgirn’ont été abordées que très succinctement. Je déplore ainsi grandement de ne pas avoir eu le tempsnécessaire pour faire plus de mesures.

Enfin, un point intéressant qui aurait aussi mérité d’être développé réside dans la confrontation del’expérience avec les prédictions théoriques. J’ai ainsi passé beaucoup de temps dans ce projet àtenter d’illustrer ce problème par une résolution numérique. Mais les codes de calculs traditionnelsfonctionnent par résolution des équations de Navier-Stokes et il semble donc impossible d’yimplémenter la méthode des singularités. Malgré cela j’ai essayé de la mettre en œuvre sousMatlab et je pense que ce point à lui seul aurait suffit à faire un PFE.

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Bibliographie

B

R. Bonnefille. Cours D’Hydraulique Maritime. Enseignement de la physique. MASSON, 3e éd.rév. et augm. edition, 1992. ISBN 2-225-82762-1.

J. Bougis and A. Clement. Action de la houle sur un flotteur élancé à froude zéro en profondeurfinie. 1979.

J. Bousquet. Méthode des singularités. CEPADUES-EDITIONS, 1990. ISBN 2-8542-820-7.

A. Bovis. Hydrodynamique navale : théorie et modèles. Les presses de l’Ecole Nationale Supérieurede Techniques Avancées (ENSTA), 2009. ISBN 2-7225-092-61.

P

Bernard Peseux. Introduction au couplage fluide - structure. Cours de l’École Centrale de Nantes,Septembre 2010. URL http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00517554.

R

H. Roux. Les différentes théories de la houle, 2001. URL http://hmf.enseeiht.fr/travaux/CD0001/travaux/optsee/hym/7/pa01.htm.

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http://hmf.enseeiht.fr/travaux/CD0001/travaux/optsee/hym/7/pa01.htm

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Listing du code matlab

La fonction analogin permet de faire toutes les analyses effectuées au chapitre 5. Pour plusd’aisance j’avais élaboré une interface GUI permettant d’automatiser les acquisitions mais lecode de cette interface est ici superflu. Celui de la fonction ci-dessous, toutefois, est essentiel àl’étude.

f unc t i on [ t F f Sn facq ]= ana log in ( reg , n_pts )

% Cette f on c t i on prend en ent r é e un nombre ’ n_pts ’ de po in t s% souha i t é s pour l ’ a c qu i s i t i o n , l e s c o e f f i c i e n t s de l a ré−% gr e s s i o n l i n é a i r e ’ reg ’ i s s u e du c a l l i b r a g e de l a sonde .% E l l e donne en s o r t i e un vecteur temps ’ t ’ à pas r é gu l i e r ,% un vecteur f o r c e F i n t e r p o l é par s p l i n e cubique et éva lué% sur ’ t ’ , un vecteur ’ f ’ d é f i n i s s a n t l e domainde de f r équence% du spe c t r e ’Sn ’ , e t une f r équence d ’ a c q u i s i t i o n du s i g n a l .

addpath ( ’C: \ Program F i l e s \Phidgets ’ ) ;l o a d l i b r a r y phidget21 phidget21Matlab . h ;

ptr = l i b p o i n t e r ( ’ in t32Ptr ’ , 0 ) ;

%c r e a t i on de l ’ ob j e t I n t e r f a c eK i t dans un po inteur 32 b i t sc a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidget Inter faceKit_create ’ , ptr ) ;

%Poignee qui e s t e ga l e a ptr par passage par va l eurhandle = get ( ptr , ’ Value ’ ) ;

%Ouvre l e ph idget s connecte au PC pour un SerialNumber donne%dans handle qui e s t l a poignee l i e e a l a va l eur de l ’ I n t e r f a c eK i tc a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidget_open ’ , handle , −1);

u= [ ] ; temps = [ ] ;

%Mise en p lace de l a connect ion , a t t en t e de 2500ms , 0 => connect ion OKi f c a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidget_waitForAttachment ’ , handle , 2500) == 0

%impose de dec lancher l ’ en reg i s t r ement qd l e capteur ( index 0)%change de "1"

c a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidgetInter faceKit_setSensorChangeTrigger ’ , . . .handle , 0 , 1 ) ;

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BIBLIOGRAPHIE

di sp ( ’ I n t e r f a c e ouverte ’ )

% setup a t imer to de lay the reads 0 .01 secondst = timer ( ’ TimerFcn ’ , ’ d i sp ( ’ ’ Gett ing data . . . ’ ’ ) ’ , ’ StartDelay ’ , 0 . 0 1 ) ;i =0;t i cwhi le i<n_pts

s t a r t ( t ) ;wait ( t ) ;dataptr = l i b p o i n t e r ( ’ in t32Ptr ’ , 0 ) ;% try to get some data from senso r 0 :% get the value , make sure i t ’ s v a l i di f c a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidgetInter faceKit_getSensorValue ’ , . . .

handle , 0 , dataptr ) == 0u=[u get ( dataptr , ’ Value ’ ) ] ;temps=[temps toc ] ;

e l s e% re t en t e r a de prendre l e nème pointi=i −1;

endi=i +1;

end% e f f e t du bras de l e v i e ru=double (u ) / 4 . 5 ;% conver s i on tens ion−f o r c e avec l a r é g r e s s i o nu=u ./ reg (1)− reg ( 2 ) ;% f i l t r a g e de l a va l eur moyenneu=u−mean (u ) ;% d é f i n i t i o n d ’ une f r éq enc e d ’ é chan t i l l o nag efacq=(n_pts−1)/ tbrut ( n_pts ) ;% d é f i n i t i o n d ’ un vecteur tempst=1/ facq :1/ facq : n/ facq ;% r é é chan t i l l o nnag e par s p l i n e cubique sur tu=s p l i n e ( temps , u , t ) ;% d é f i n i t i o n du spe c t r e en pu i s sancef=facq /2∗ l i n s p a c e (0 , 1 , n_pts /2+1);Sn=spectrum (F, n_pts , n_pts / 2 ) ;

e l s ed i sp ( ’ Couldnotopen In t e r f a c eK i t ’ )

end

% clean upc a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidget_close ’ , handle ) ;c a l l l i b ( ’ phidget21 ’ , ’ CPhidget_delete ’ , handle ) ;end

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Action de la houle sur un obstacle

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