acoust-10

V. Chollet - Acoustique_1-11 - 12/12/2011 - Page 1 sur 60

COURSMECANIQUE VIBRATOIRE

ONDESACOUSTIQUE


Chapitre 1SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE :

OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME NON AMORTISYSTEME MASSE RESSORT SANS FROTTEMENT

I - SYSTEME CONSIDERE

II - ETUDE A LEQUILIBRE

A lquilibre, la somme des forces sexerant sur un systme est nulle.

La force F de rappel dun ressort est proportionnelle lallongement du ressort.

En projection sur laxe Oy orient positivement vers le bas on obtient :

mg k y0 = 0 k = mg / y0

Remarque 1 : On peut dterminer la raideur k du ressort partir de la mesure de lallongement y0 cren statique par laction dune masse m.

Remarque 2 : k sexprime bien en N m-1

III - ETUDE EN DYNAMIQUE

La masse est carte de sa position dquilibre par une intervention extrieure.On note y lallongement par rapport la position dquilibre.Lallongement total est donc y0 + y.

y0

y0 + ymg

F

mg

Fy

Le systme :

Ressort indformable, parfaitementlastique, sans masse et sans hystrsis, deraideur k (N m-1)

Masse m (kg)

Pas de frottement

mg + F = 0


Daprs le principe fondamental de la dynamique, nous avons :

En projection sur laxe Oy :

mg k (y + y0 ) = m d2 (y + y0 ) / dt

2

mg k y0 k y = m d2y/dt2 + m d2y0/dt

2

= 0 = 0 car y0 cst

Do lquation diffrentielle :

Le fonctionnement du systme est une quation diffrentielle du 2nd ordre linaire coefficients constants. Elle est identique celle dun circuit LC.

IV - SOLUTION DE LEQUATION DIFFERENTIELLE

1/ SOLUTION

On sait que pour un systme sans frottement, le ressort cart de sa position dquilibreva osciller indfiniment de faon sinusodale.

La solution de lquation diffrentielle du second ordre sans frottement est sinusodale :

2/ PULSATION PROPRE

La pulsation propre (en rad.s-1 ) est la pulsation des oscillations libres (naturelles) dusystme non amorti.

La frquence propre (en Hz) est : f0 = 0 /(2pi)La priode propre (en s) est : T0 = 1/f0

F = m a

mg + F = m a

d2y/dt2 + (k/m) y = 0

y(t) = A sin (0 t + )

0 = (k/m)A et sont des constantes dtermines par les conditions initiales.


3/ REMARQUES

0 = (k/m) montre que :- si k augmente alors 0 augmente- si m augmente alors 0 diminue => normal puisque davantage dinertie mcanique

On a vu au I 2/ que :

mg = ky0 k/m = g/y0 donc 0 = (k/m) = ( g/y0 )Si on ne connat pas la masse suspendue et la raideur du ressort, on peut dterminer lapulsation propre partir de la mesure de lallongement en statique.



OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME AMORTISYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS


II - ETUDE A LEQUILIBRE

A lquilibre, la vitesse tant nulle, le frottement fluide nintroduit pas de force.

On a donc toujours :

En projection sur laxe Oy orient positivement vers le bas on obtient :

mg k y0 = 0 k = mg / y0

III - ETUDE EN DYNAMIQUE

La masse est carte de sa position dquilibre par une intervention extrieure.On note y lallongement par rapport la position dquilibre.Lallongement total est donc y0 + y.

Le frottement fluide introduit une force de frottement note Ff dont lintensit estproportionnelle la vitesse : Ff = f v

Le systme :

Ressort indformable, parfaitementlastique, sans masse et sans hystrsis, deraideur k (N m-1)

Frottement fluide (visqueux). Le coefficientde frottement est not f (N s m-1)

Masse m (kg)

mg + F = 0

0

y0

y0 + ymg

F

Fy

Ff


Daprs le principe fondamental de la dynamique, nous avons :

En projection sur laxe Oy :

mg k (y + y0 ) f d(y + y0 )/dt = m d2 (y + y0 ) / dt

2

mg k y0 k y - f dy/dt f dy0/dt = m d2y/dt2 + m d2y0/dt

2

= 0 Cf I = 0 car y0 cst = 0 car y0 cst


Le fonctionnement du systme est une quation diffrentielle du 2nd ordre linaire coefficients constants. Elle est identique celle dun circuit RLC.

IV - SOLUTION DE LEQUATION DIFFERENTIELLE

1/ FORME NORMALISEE DE LEQUATION DIFFERENTIELLE

Sous forme normalise, lquation scrit :

On a :

2/ SOLUTION

Les rsultats sont les mmes quen lectricit pour le circuit RLC.

Lquation caractristique tire de lquation diffrentielle est :

r2 + 2z0 r + 02 = 0 son discriminent est : = 02 (z2 1)

d2y/dt2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = 0

F = m a

mg + F + Ff = m a

d2y/dt2 + 2 z 0 dy/dt + 02 y = 0

Pulsation propre 0 = (k/m)Coefficient damortissement : z = f / ( 2 (km) )


Les diffrents cas possibles sont :

z < 1 => < 0 2 racines r1 et r2 complexes conjugues sol eq diff type A er1 t + B er2 t

Les parties imaginaires des exp complexes donnent une sinusode(Cf formules dEuler)

Les parties relles des exp donnent une enveloppedamortissement

La solution est oscillatoire amortie : rgime pseudopriodique.

z > 1 => > 0 2 racines r1 et r2 relles ngatives sol eq diff type A er1 t + B er2 t

Les exp tendent vers 0. La solution apriodique.

z = 1 => = 0 1 racine relle double Cas limite entre les deux rgimes : rgime critique.

Les constantes sont dtermines par les conditions initiales.

y(t) = C e z 0 t cos (ps t + )

ps pseudopulsation : pulsation des oscillations amorties

ps = 0 ( 1 z2 )

y(t) = e z 0 t [ A exp [ 0( z2 1) ] + B exp [ 0( z2 1) ] ]

y(t) = (A t + B ) e z 0 t


3/ REMARQUES

ps = 0 ( 1 z2 ) montre que :

- ps < 0- ps tend vers 0 quand lamortissement diminue - ps diminue quand lamortissement augmente

4/ DECROISSANCE DES PSEUDO-OSCILLATIONS

En reprenant lexpression de y(t) dans le cas oscillatoire amorti, on exprime le rapportdes amplitudes de 2 oscillations conscutives. Le sin est alors a sa valeur minimale (soit1). On obtient :

D1 / D2 = C exp (- z 0 t ) / [ C exp [- z 0 ( t + Tps ) ] ]

Ceci donne aprs calculs lexpression du dcrment logarithmique :

= ln (D1 / D2 ) = z 0 Tps

y(t)

t

D1

D2

Tps

z > 1

z < 1



OSCILLATIONS FORCEESSYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS


II EQUATION DIFFERENTIELLE DU MOUVEMENT

La force de rappel du ressort est F = k ( y + y0 ye )

Le principe fondamental de la dynamique donne :

mg k (y + y0 ye ) f d(y + y0 )/dt = m d2 (y + y0 ) / dt

2

mg k y0 k y kye - f dy/dt f dy0/dt = m d2y/dt2 + m d2y0/dt

2

= 0 Cf I = 0 car y0 cst = 0 car y0 cst


Sous forme normalise :

0

y0

y0 + ymg

F

mg

Fy

Ff

On fait vibrer cette extrmit laide dun systme extrieur(vibreur, moteur + bielle )

ye (t) = Yemax cos tye(t)

F = m a

mg + F + Ff = m a

d2y/dt2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) ye

d2y/dt2 + ( 2 z 0 ) dy/dt + 02 y = 0

2 ye


III REPONSE TEMPORELLE

d2y/dt2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) Yemax cos t

La solution de cette quation diffrentielle est :

y(t) = SGESSM + SPEC

IV REPONSE HARMONIQUE

1/ METHODE UTILISEE

La rponse harmonique (en rgime sinusodal forc permanent) est, comme enlectricit, aborde laide de la reprsentation complexe des grandeurs sinusodales.

2nd membre non nulTerme dexcitation force :

imposes par le dispositif extrieur

1er membreLe mme que pour lesoscillations libres.

Imposer des oscillationsforces la pulsation par un dispositif extrieur

Oscillations de la masse la pulsation de

lexcitation

Cest la solution de lquationdiffrentielle sans second membre,cest la rponse tudie en rgimelibre !

La solution en rgime permanent(solution particulire) dune quationdiffrentielle est de mme nature que lesecond membre.

z < 1pseudopriodique

ps = 0 (1 z2 )

z > 1apriodique

Cette pulsation nestpas celle impose parlexcitation ! ! !

Le rgime transitoire disparatau bout dun certain temps


Ainsi :

ye (t) = Yemax cos t engendre y(t) = Ymax cos ( t + )

Y e = [ Yemax ; 0 ] Y = [ Ymax ; ]

2/ FONCTION DE TRANSFERT

d2y/dt2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) ye

(j)2 Y + 2z0 j Y + 02 Y = 0

2 Ye

Y [ (j)2 + 2z0 j + 02 ] = 0

2 Ye

Y / Ye = 02 / [ (j)2 + 2z0 j + 0

2 ]

On retrouve la fonction de transfert dun filtre passe-bas du second ordre, identique celle dun circuit RLC en rgime sinusodal.

3/ REPONSE EN FREQUENCE

Y / Ye = 1 / [ 1 + 2jz /0 - 2 /0

2 ]

1

| Y / Ye |

Z < 1/2

Z = 1/2

Z > 1/2

r = 0 (1 2 z2 )

0

1/ [ 2z (1 z2 ) ]


On voit apparatre un phnomne de rsonance :

Lorsque le systme est excit la pulsation r par le vibreur, lamplitude des oscillations de lamasse devient maximale.

Cette pulsation de rsonance est toujours infrieure la pulsation propre : r < 0

Plus lamortissement est faible plus r se rapproche de 0

On montre que la bande passante est approximativement donne par :

si z faible : 0 / 1 / 2 z = Q

Plus lamortissement est faible :

- plus la bande passante est troite.- Plus lamplitude des oscillations devient importante.

4/ DEPHASAGE

Plus lamortissement est faible, plus s/e varie rapidement autour de 0

Excitation BF : ye et y vibrent en phaseExcitation HF : ye et y vibrent en opposition de phase

Excitation la pulsation propre : ye et y vibrent en quadrature.

s/elog

- 90

- 180

0


Chapitre 4GENERALITES SUR LES ONDES

I DEFINITION DUNE ONDE

1/ DEFINITION

Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variationrversible des proprits physiques locales.Elle transporte de l'nergie sans transporter de matire.

2/ EXEMPLE

Jeter un caillou dans une tendue deau provoque une modificationlocale du niveau deau et engendre une perturbation qui se propage.

Un objet qui flotte reste toujours la mme position lors du passagede la perturbation, il monte et il descend, mais ne se dplace pashorizontalement.Ainsi cette perturbation nentrane pas de courant deau mais undplacement dnergie capable de mettre lobjet en mouvement.

II - DIFFERENTES SORTES DONDES

1/ AVEC OU SANS SUPPORT MATERIEL

Les phnomnes ondulatoires recouvrent une grande varit de situations physiques trsdiffrentes.

Ainsi, certaines ondes (dites matrielles) ont besoin dun support matriel pour sepropager. Cest le cas dans lexemple prcdent. De mme loscillation de lextrmitdune corde se propagera le long de la corde. Les signaux sonores se propagent dans lairet non dans le vide. Ce sont des ondes mcaniques : la perturbation met en jeux unegrandeur mcanique.

Dautres ondes nont pas besoin de support matriel, comme les ondeslectromagntiques qui se propagent dans lair comme dans le vide. La perturbation meten jeux le champ lectromagntique.


2/ ONDES LONGITUDINALES OU TRANSVERSALES

Soient u vecteur unitaire dans la direction du dplacement de l'nergie et v la vitesse del'onde :

u // v : l'onde est longitudinale.

Exemple : Ressort boudin.

Si on comprime deux spires, on voit se former aprs les avoir libres, une onde decompression des spires qui se propage suivant la droite que constitue l'axe de symtriedu ressort. Londe et lnergie se propagent dans la mme direction, londe estlongitudinale une dimension.

u v : l'onde est transversale.

Exemple : Corde

Si on agite lextrmit dune corde trs longue, le mouvement de la corde se faitverticalement alors que londe se propage horizontalement. Londe est transversale.

u v et la direction de u nest pas constante : Onde de cisaillement.

Exemple : torsion dans une barre

3/ DIMENSIONS DES ONDES

Pour les ondes tridimensionnelles, lensemble des points dgale dformation constituentla surface donde. Cest la surface dune sphre pour les ondes sphriques.

A grande distance de la source, le rayon de courbure de la sphre R est tel que : R >> .La sphre est assimilable un plan. On parle alors donde plane. La surface dondedevient un plan donde.

2 dimensions :ondes desurface

3 dimensions :Ondes Sphrique

1 dimension :Ex : corde / ressort

Si R >> Surface donde plan donde.

=> Onde plane

R


III AFFAIBLISSEMENT

1/ DISSIPATION

Si la propagation de londe saccompagne de pertes causes par des frottementsmcaniques ou des pertes par effet joules (cbles lectriques), il y a dissipation dnergiese traduisant par une diminution de lamplitude de la perturbation.

2/ ONDES SPHERIQUES SANS DISSIPATION

Lnergie mise par la source dans un milieu de propagation isotrope se rpartie dans un

angle solide de 4pi stradians.Lnergie mise par unit de surface est E/(4piR2)Un capteur de surface s plac la distance R recueille donc une nergie Ec = Es/(4piR2).

Lnergie recueillie est inversement proportionnelle au carr de la distance.Quand la distance double, lnergie est divise par 4.

IV CELERITE

1/ DEFINITION

Exemple : Vitesse des ondes sonores dans lair 15 C et 1 Bar : 340 m s-1

Vitesse des ondes mcaniques longitudinales dans lacier : 3200 m s-1

Vitesse des ondes lectromagntiques dans le vide : 3 . 108 m s-1

Vitesse des ondes lectromagntiques dans un cble coaxial : 2 . 108 m s-1

2/ FACTEURS AFFECTANT LA CELERITE

Pour une onde matrielle, plus le milieu est rigide, plus la clrit est grande.

Plus linertie du milieu est grande, plus la clrit diminue.

Pour une onde lectromagntique, la vitesse de propagation sera gnralement d'autantplus grande que le milieu est dilu. (voir lindice de rfraction n = Cvide/V)

Photo t1

Photo t2d = distanceparcourue

Clrit de londe :

c = d / (t2 t1)


IV ONDE PROGRESSIVE PERIODIQUE

1/ INTRODUCTION

Au lieu de jeter un seul petit caillou dans leau, on recommence intervalle de tempsrgulier appel priode T.Au lieu davoir une perturbation unique (onde circulaire) qui se propage, on obtient desvagues successives. Une photo un instant donn de la surface de leau montre descercles concentriques correspondant chacun au jet dun caillou.

En ralit, on ralise cette exprience avec la cuve onde. Un vibreur vient perturberpriodiquement la surface de leau.

2/ DOUBLE PERIODICITE

On prend une photo du milieu un moment donn :

- La hauteur de leau dans une direction donne varie de faon priodique (icipresque sinusodalement) en fonction de la position.

- On a donc une priodicit spatiale. La distance entre deux maxima (ouminima) est la priode spatiale encore appele longueur donde .

Lintervalle de temps entre deuxexcitations est T. Londe se propage lavitesse cLa distance parcourue par londe pendant

T est appele longueur donde .Elle apparat encore comme la distanceentre deux creux sur la photo.

On a : = c T

x (m)

y (m) (m)


On se place en un point donn :

- La hauteur de leau dcrit une oscillation sinusodale au cours du temps.

- Sa priode correspond la priode T de lexcitation. Cest une priodetemporelle.

Ainsi une onde progressive priodique est caractrise par une double priodicit :

- Priode spatiale en m

- Priode temporelle T en s.

3/ CELERITE DES ONDES PERIODIQUES

On a dj vu que la clrit des ondes dpend des proprits du milieu.

- Pour une onde matrielle, plus le milieu est rigide, plus la clritest grande. Sur une corde, la clrit d'une onde est d'autant plusgrande que la corde est tendue. La clrit du son est plus grandedans un solide que dans l'air.

- Plus l'inertie du milieu est grande, plus la clrit diminue. Surune corde, la clrit est d'autant plus grande que la masselinique (masse par unit de longueur) est faible.

- Pour une onde lectromagntique, la vitesse de propagation seragnralement d'autant plus grande que le milieu est dilu (dans lecas gnral, il convient cependant de considrer les propritslectromagntiques du milieu, qui peuvent compliquer la physiquedu problme). Ainsi, la vitesse de propagation de la lumire estmaximale dans le vide. Dans du verre, elle est environ 1,5 foisplus faible.

t (s)

y (t) T (s)

= c T


De faon gnrale, la clrit dpend aussi de la frquence de l'onde.

De tels milieux sont qualifis de dispersifs.Les milieux pour lesquels la clrit est indpendante de la frquence sont dits non-dispersifs.

L'air est un milieu non dispersif pour les ondes sonores !

Le phnomne de dispersion est l'origine de l'arc-en-ciel : lesdiffrentes couleurs se propagentdiffremment dans l'eau, ce quipermet de dcomposer la lumiredu soleil suivant ses diffrentescomposantes.

Le verre est un milieu dispersif : La diffrence devitesse de propagation des ondeslectromagntiques de diffrentes frquencesconstituant une lumire blanche permet de raliser ladcomposition de cette lumire par un prisme.


Chapitre 5PROPAGATION DES ONDES

I PROPAGATION DUNE DEFORMATION

1/ CAS DE LA CORDE

On considre une corde sans raideur, infiniment longue de masse linique

Un oprateur (metteur) positionn lextrmit gauche de la corde, donc au pointdabscisse x=0, agite la corde selon un mouvement de faible amplitude.

Les photos de la corde deux instants t1 et t2 montre que la perturbation engendre sepropage.

Quel a t le mouvement de lmetteur en x = 0 ?

Attention : Il sagit de donner le chronogramme au point dabscisse x = 0 !

Au vu de la photo de la corde, lmetteur a dabord agit la corde vers le bas puis vers lehaut pour ensuite revenir en position initiale.

De mme le chronogramme dun point dabscisse x1 de la corde donnera :

d = distanceparcourue

Photo t1

Photo t2

x

x

C : Clrit de londe

d = c . (t2 t1)

Dure pour que ladformation apparaisse :

= x1 / c

t

e(t)Evolution temporelle en x

= 0

t

Evolution temporelle en x1

(x1 , t)


Pour dcrire la perturbation, il faut trouver une fonction dfinie en tout point x et chaque instant t. Cest forcment une fonction de deux variable x et t.

On peut crire que (x1 , t ) = e (t - ) = e ( t x1/c )

2/ GENERALISATION ONDE PROGRESSIVE

En tout point x, une onde progressive peut tre dcrite par une fonction (x,t) dfiniepar :

(x,t) = e (t x/c)

3/ PROPAGATION EN SENS INVERSE

Il suffit de remplacer c par c On obtient ainsi pour une propagation dans le sens des x ngatifs :

(x,t) = s (t + x/c)

4/ PROPAGATION DANS LES DEUX SENS

(x,t) = e (t x/c) + s (t + x/c )

II EQUATION DE DALEMBERT

Il sagit de trouver lquation diffrentielle dont est la solution.

/t = e (t x/c) + s (t + x/c)

2/ t2 = e (t x/c) + s (t + x/c)

/x = (-1/c) e (t x/c) + (1/c) s (t + x/c)

2/ x2 = (1/c2 ) e (t x/c) + (1/c2 ) s (t + x/c) = (1/c2 ) [ e (t x/c) + s (t + x/c) ]

2/ x2 = (1/c 2 ) 2/ t 2

2/ t 2 - c 2 2/ x2 = 0 Equation de dAlembertEquation de propagation


Cette quation dcrit le phnomne de propagation dune onde dans une direction xdonne.c est la vitesse de propagation de cette onde, appele vitesse de phase exprime en m s-1 .

La solution gnrale de lquation de dAlembert est la superposition de deux ondesprogressives se propageant en sens opposs la mme vitesse c.

(x,t) = e (t x/c) + s (t + x/c )


(xB , t ) = (xA , t - ) = (xA , t (xB xA)/c )

t

(xA , t) Evolution temporelle en xA

t

Evolution temporelle en xB

(xB , t)

x

(x , t-)

Photo corde t -

x

Photo corde linstant t

xB

(x , t)

xA

xB - xA = c

(xB , t ) = (xA , t - ) = ( xA + c , t)

(x , t2)

x

(x , t1)Photo corde t1

xA

xPhoto corde t2

xA xB

t

t2

t1

t

= t2 t1

(x,t)

Pour reprsenter la fonction de deux variables, on peut utiliser un graphique 3D.

REMARQUES SUR LA FONCTION


IV PROPAGATION DUNE DEFORMATION PERIODIQUE

Lextrmit gauche de la corde est agite la priode T.

On reprsente la corde diffrents instants :

Si lexcitation est priodique, alors la perturbation le long de la corde est priodique.

La priode spatiale est la longueur donde, relie la priode temporelle de lexcitation

par : = cT.

t

Evolution temporelle en x

=

( , t)

x

Photo corde linstant T(x , t)

x

(x , 2T)

Photo corde 2T

= c T

x

(x , 3T)Photo corde 3T

t

e(t)

Evolution temporelle en x = 0

T


V ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE

1/ EXEMPLE DE DISPOSITIF

Lextrmit dune corde infiniment longue est relie un vibreur qui engendre une ondeprogressive sinusodale se propageant le long de la corde.

La corde tant infiniment longue, il ny a pas de rflexion son extrmit.

Ces deux graphiques montrent de nouveau la double priodicit spatiale et temporelle.

2/ EXPRESSION INSTANTANEE DE LONDE

La perturbation cre la source est sinusodale.

Elle scrit donc : e(t) = A cos t .

Soit un point M de la corde situ labscisse x

M reproduit le mme mouvement que lorigine de la corde avec un retard = x/c.

Ainsi : (x,t) = A cos [ (t-) ] = A cos [ (t x/c) ]

Posons k = /c = 2pi /( T c ) = 2 pi /

On remarque que k joue le mme rle pour la priode spatiale que la pulsation pour lapriode temporelle. k est appel nombre dondes.

On a alors :

Evolution temporelle en x = 0

x

y(x)

x

Photo t0M

e(t)

tT

(x,t) = A cos [ t k x ] = 2pi/T et k = 2pi/

(x,t) = A exp [ j(t kx) ]


Chapitre 6REFLEXION DES ONDES ONDES STATIONNAIRES

I REFLEXION DUNE DEFORMATION

On considre une onde progressive se propageant de gauche droite le long dunecorde.

Lextrmit droite de la corde est attache un obstacle. Le point b est donc immobile.

Extrmit attache Extrmit libre

En arrivant cette extrmit, limpulsionexerce une force verticale sur le pointdancrage. Celui-ci exerce, par raction, uneforce oppose sur la corde.Cette force renverse londe rflchie parrapport londe incidente.

Onde rflchie oppose londeincidente

Cette extrmit monte pousse vers le hautpar lnergie de londe. Cette nergie ntantpas nulle quand lextrmit libre atteint lahauteur de la dformation, la cordecontinue de se dplacer. Lextrmit libreexerce alors une force sur la corde etproduit londe rflchie de mme formeque londe incidente.Le dplacement vertical maximum est ledouble de la hauteur de crte incidente.

Londe rflchie reste dans le mmesens.

Londe rflchie se propage la mmevitesse que londe incidente.

Londe rflchie se propage la mmevitesse que londe incidente.

Pour une onde priodique sinusodaleChangement de phase de 180

Pour une onde priodique sinusodalePas de changement de phase


Extrmit attache Extrmit libre


Cas de la reflexion partielle : lorsque londe rencontre une secdtion de corde plus lourde,une partie de londe incidente est transmise alors que lautre partie est rflchie avecinversion du signe de la perturbation. Si la deuxime portion est moins lourde, londerflchie ne subit pas ce changement de signe.

II INTERFERENCE ENTRE DEUX ONDES EN SENS INVERSE

On considre deux ondes progressives se propageant en sens inverses le long dunecorde. Les perturbations considres sont de faible amplitude.

1/ ONDES OPPOSEES

c

c

Point toujours au repos :Interfrence destructrice en ce point.

c


2/ ONDES IDENTIQUES

III ONDES STATIONNAIRES

1/DEFORMATIONS PERIODIQUES OPPOSEES PROGRESSANT EN SENS INVERSE

On considre deux ondes priodiques progressant en sens inverse, de mme amplitudeet de mme longueur donde.

On se retrouve dans le cas II 1/

Il existe des points o les ondes interfrent de faon destructrice. Ces points sonttoujours au repos et appels nuds de vibration.

c

Point damplitude de dplacementmaximum :Interfrence constructive en ce point.


2/ CAS SINUSODAL

Soit 1(x,t) la dformation se propageant de gauche droite ( x croissant)1(x,t) = A cos (t kx)

Soit 2(x,t) la dformation se propageant de droite gauche ( x dcroissant)2(x,t) = - A cos (t +kx)

La dformation rsultante en un point x le long de la corde sera :

(x,t) = 1(x,t) + 2 (x,t) = A [ cos (t kx) cos (t + kx) ] = - 2 A sin (kx) sin (t)

Distance entre deux nuds :

Si kx = n pi

sin (kx) = 0

est nulle chaqueinstant

nud de vibration

2pi x / = npi x = n /2 Les nuds sont

distants de /2

Position des ventres :

Si kx = pi/2 + npi sin (kx) = + - 1

amplitude de maximale

ventre de vibration

2pi x/ = pi/2 + npi x = /4 + n /2 Les ventres sont

distants de /2


3/ ONDES STATIONNAIRES

La corde de longueur L est maintenant fixe ses deux extrmits.Un vibreur agite transversalement lextrmit gauche de la corde.

Le point dattache engendre la rflexion de londe.La superposition de londe incidente et de londe rflchie de mme frquence et demme amplitude, peut engendrer dans certain cas lapparition de nuds et ventres devibration.Londe apparat alors immobile, on parle dondes stationnaires.

Les extrmits attaches imposent les conditions aux limites : (0,t) = 0 et (L,t) = 0

( L,t) = 0 = 2 A sin (kL) = 0 k L = n pi

2pi L/ = npi

or = c/f donc :

Pointdattache

Vibreur

m

Rglage de la tension.Tension augmente => c augmente

= 2 L / n

f = n c / 2L

Cette relation montre que :

Les ondes stationnairesnapparaissent que :

- pour les longueurs dondesdivisant 2L.

- pour les frquences multiples dec/2L

Pour une tension de cordedonne, la variation de f feraapparatre successivement lesdiffrents modes.

Pour une frquence donne, lavariation de la tension de lacorde fera apparatre lesdiffrents modes.

Modes de vibration dune corde tendue

= 2L

= 2L/2 = L

= 2 L/3

= 2L/4 = L/2

= 2L/5

Tension cstec cste

f augmente

f csteT augmente c augmente


4/ ONDES STATIONNAIRES ET RESONANCE

En ralit, compte tenu des rflexions multiples, lamplitude de vibration des ventres estsuprieure 2A.

Lors de lapparition du phnomne dondes stationnaires, il apparat un mouvement degrande amplitude correspondant un phnomne de rsonance :

Les diffrentes frquences propres de la corde font penser la srie de Fourier, pourcette raison, le premier mode de vibration en onde stationnaire f1 = c/2L constitue lefondamental. Les frquences propres multiples sont les harmoniques propres de lacorde.

5/ EXCITATION PAR UN SIGNAL PERIODIQUE QUELCONQUE

Le signal dexcitation peut tre dcompos en srie de Fourier.

Si la frquence f du fondamental du signal dexcitation correspond une frquencepropre de la corde, prenons pour simplifier son fondamental : f = c/2L => Ondestationnaire, rsonance sur le premier mode

Mais lharmonique 2 de lexcitation : 2f = 2 c/2L => Apparition du deuxime modeavec une amplitude plus faible du fait de la dcroissance de lamplitude de lexcitation.

Idem pour les harmoniques suivants de lexcitation.

On remarque que si on diminue la longueur dune corde (violon) la frquence augmente=> son plus aigu.

La corde excite une frquence nc/2L entre en rsonance et produit des ondes stationnaires.

fn = n c/2L constituent les frquences propres de la corde.

Les frquences propres de la corde fn ne dpendent que de ses caractristiques : longueur, tension, masselinique.

f 2f 3f

f

Spectre de lexcitationAmplitude Excitation du 1er mode

Excitation du 2nd mode

Excitation du 3me mode

Superposition des 3 modesSuperposition des ondes stationnaires

Onde stationnaire complexe

La corde entreen rsonanceaux frquencesc/2L, c/L, 3c/2L

Timbresonore duninstrumentde musique


Chapitre 7ONDES ACOUSTIQUES, ONDES SONORES

I NATURE PHYSIQUE DES ONDES ACOUSTIQUES ET SONORES

1/ NATURE PHYSIQUE

Une onde acoustique est une onde mcanique engendre par la vibration dun corps.

Il est transmis par les milieux matriels lastiques quil peut dformer pour se propagersans transport de matire. Les milieux de propagation peuvent tre fluides (liquides, gaz)ou solides (mtaux).

Les ondes acoustiques sont classes en :

Infrasons : f < 20 Hz

Ondes sonores : 20 Hz < f < 20 kHz => 17,2 m > > 1,72 cmUltrasons : f > 20 kHzHypersons : f > 1 GHz

Dans les fluides compressibles, londe sonore est une onde lastique longitudinale quimodifie la densit du milieu et donc la pression.

Londe sonore est donc la propagation dune variation de pression.Il ny a pas de dplacement du fluide, londe sonore ne produit pas de courants dair !

2/ PRODUCTION DONDE SONORE

Considrons un piston en mouvement sous leffet doscillations une frquence f.

Lorsque le piston se dplace vers la droite, il augmente la densit du fluide devant lui etmet une onde de compression.

Inversement le piston se dplaant vers la gauche diminue la densit du fluide.

Les molcules ne se dplacent pas sur de grandes distances . Elles oscillent lgrementautour dune position moyenne.


Lvolution temporelle de la pression et de la position sont en quadrature.

3/ PRESSION ACOUSTIQUE

Soit P0 la pression dans le fluide au reposSoit P la pression absolue du fluide.

La pression acoustique est p = P P0

Si p > 0 il y a compression du fluideSi p < 0 il y a dilatation du fluide.


II VITESSE DE PROPAGATION

1/ HYPOTHESES

Une onde sonore est une perturbation mcanique qui modifie les proprits locales :pression, masse volumique, temprature et vitesse du milieu dans lequel elle se propage.

Lhypothse acoustique consiste considrer que les variations de ces grandeurs sont desinfiniment petits du 1er ordre.

Par suite :

Les zones comprimes voient leur temprature augmenter.On peut considrer les transformations adiabatiques si les variations de volume sontsuffisamment rapides par rapport aux temps mis en jeux dans les transferts thermiquesentre particules. Ceci est justifi car les fluides sont peu conducteurs de la chaleur.

Si on considre le fluide comme parfait, on nglige les phnomnes dissipatifs, lestransformations sont alors rversibles.

Lhypothse de transformations adiabatiques et rversibles est une hypothse diso-entropie des transformations. (transformations isentropiques).

2/ EQUATION DE PROPAGATION

On considre une onde acoustique qui se propage la vitesse c selon une direction x.

Lquation de propagation est obtenue partir des deux relations fondamentales delacoustique :

V(x,t) = v(x,t)

t (x,t) = 0 + (x,t)P (x,t) = P0 + p(x,t)

x x + dx

x + (x) x + dx + (x+dx)

(x,t) / x = - s p(x,t)p / x = - 0 2(x,t)/t2

Equation dEuler (principe fond de la dyn)Equation de continuit (conservation de la masse)


Le fluide tant caractris par :

- sa masse volumique 0 (kg.m-3 )- son coefficient de compressibilit isentropique S = - 1/V [V/P]S (Pa-1)

Lquation de propagation scrit : 022

02

2

=

t

px

pS

3/ VITESSE DE PROPAGATION

Pour les gaz parfaits : S = 1/( P) = CP/Cv = 1,401 pour lair

Pour une mole de gaz parfait : PV = RT = M/V

Ce qui donne :

R = 8,314 J mol-1 K-1

T temprature en KM masse molaire en kg mol-1

La vitesse de propagation augmente avec la temprature.La vitesse de propagation diminue quand la masse molaire augmente.

c = 1/ (0 S )

c = ( R T / M)

Entropie Sconstante

Cp : capacit thermique isobareCv : capacit thermique isochore

Pour les gaz :

M augmente

augmente

car le volume molaireest constant


4/ SOLUTION DE LEQUATION

La solution de lquation de dAlembert est la superposition dune onde progressive etdune onde rgressive : p(x,t) = f(t-x/c) + g(t+x/c)

Cas sinusodal : p(x,t) = Pm cos (t kx) + Pm cos (t + kx)

Si londe sonore rsulte du dplacement damplitude A dun piston, lamplitude de lavariation de pression est :

III IMPEDANCE ACOUSTIQUE

1/ DEFINITION

Rappel : En lectricit, en rgime sinusodal, limpdance dun diple est dfinie par :Z = U / I

Analogie :

U p : pression acoustique

I : vitesse de dplacement des particules.

On dfinit limpdance acoustique pour relier en un point x la pression acoustique lavitesse de dplacement des particules :

2/ PRESSION ACOUSTIQUE ET VITESSE

On considre une onde acoustique plane sinusodale qui se propage la vitesse c selonune direction x.

Ainsi p(x,t) = Pm cos (t x/c) = Pm cos (t kx) =>

avec k = /c

Pm = c0A

2A

x x + dx

x + (x) x + dx + (x+dx)

Z(x) = p(x) / (x)

p(x,t) = Pm e j(t kx)


(x,t) / x = - s p(x,t) (Equation dEuler Cf p 36)

(x,t) = - s p(x,t) dx => = - s Pm e j(t kx) dx

= - s Pm e j(t kx)/ (- jk)

or s = 1/(0 c2 ) et k = /c entrane :

Do la vitesse :

Pression acoustique et vitesse sont en phasePression acoustique et dplacement sont en quadrature

3/ EXPRESSION DE LIMPEDANCE ACOUSTIQUE

En un point x : Z(x) = p (x,t) / (x,t) = 0 c = (0/s )Dans le cas dune onde progressive plane, limpdance acoustique est constante et lamme en tout point dans la direction de propagation.

Cette impdance est appele impdance caractristique Zc du fluide.Sexprime en Pa s m-1 ou N s m-3.

Limpdance acoustique augmente quand la densit du milieu augmenteLimpdance acoustique augmente quand la compressibilit diminue

Pour Pm donne, quand Z augmente, lamplitude de la vitesse diminue.Limpdance acoustique caractrise en quelque sorte laptitude du milieu diminuer lavitesse pour une surpression donne.

Ordre de grandeurs :

0 = 1,21 kg m-3 = 1,402T = 20 C = 293,15 KPatm = 10

5 N/m2

M = 0 / VM = 1,21 . 0,0224 = 27,1 g

(x,t) = Pm e j(t kx)/ (j 0 c )

(x,t) = /t = Pm e j(t kx)/ ( 0 c )

Zc = 0 c = (0/s)

c = ( R T / M) = 355 m/sZc = 430 Pa.s/m


IV ENERGIE ACOUSTIQUE

1/ ENERGIE CINETIQUE

Ec = m (/t )2 = 0 V (/t )2

Densit volumique dnergie cintique : Ec = 0 (/t )2

2/ ENERGIE POTENTIELLE

dEp = - F . d = - p S d = - p dV dEp = p s V dp

dV = - s V dp

Ep = s V p dp = s V p2 / 2

Densit volumique dnergie potentielle : Ep s p2 / 2

3/ ENERGIE MECANIQUE TOTALE

Densit volumique dnergie : E = 0 (/t )2 + s p2 / 2

Cas dune onde progressive plane harmonique :

E = 1/(0 c2 ) Pm2 e 2j ( t kx) => E = 1/(0 c2 ) Pm2 cos2 ( t kx)

En moyenne :

Londe sonore propage une nergie capable de mettre en mouvement la membrane dunmicro ou du tympan. Lnergie est lie au carr de lamplitude de la pression acoustique.

x x + dx

x + (x) x + dx + (x+dx)

< E > = Pm2 /( 2 0 c2 )


V INTENSITE ACOUSTIQUE DE LONDE

1/ DEFINITION

Lintensit acoustique est la puissance P qui traverse une surface perpendiculaire ladirection de propagation.

Intensit acoustique en W m 2 :

2/ EXPRESSION EN FONCTION DE LA PRESSION ACOUSTIQUE

P = dE / dt

Energie mise en jeux : dE = E . volume = E S c dt

Do : P = E S c => I = E c

= 1/(0 c ) Pm2 cos2 ( t kx)

En moyenne : I sexprime en W/m2

Remarques : Pour une mme amplitude de pression acoustique, lintensit sonoreaugmente quand limpdance caractristique du milieu diminue (par exemple quand ladensit du milieu diminue.)=> Les matriaux disolation sonore ont une forte densit.=> Les isolants multicouches utiliss dans le btiment sont valables pour lisolationthermique mais pas bons pour lisolation phonique !

3/ EVOLUTION AVEC LA DISTANCE

Pour une source sonore mettant une puissance Pe dans tout lespace et ainsi sourcedondes sphriques, lintensit acoustique la distance d est : I = Pe /4pid2 et dcrotavec le carr de la distance.

Ainsi un capteur de surface s distance r dune sourcereoit une puissance :

< I > = P2m / (2 0 c) = P2eff / (0 c)

< I > = P2m / (2 Zc) = P2eff / Zc

I (d) = Pe /4pid2

P r = Pe s / (4 pi R2 )

I = P / S

c

c dt


Chapitre 8PERCEPTION DES SONS

I CONSTITUTION ET PROPRIETES DE LOREILLE

1/ CONSTITUTION

2/ DESCRITION

A - L'oreille externe : Cest la seule partie visible de loreille humaine. Elle prend la formedun pavillon qui va collecter les sons et canaliser sa transmission par le conduit auditifjusquau tympan. Ce dernier fonctionne comme la partie suprieure dun tambour : il semet vibrer au contact des ondes sonores. Au niveau du CAE (conduit auditif externe)saccumule le crumen, produit par le corps, qui permet de protger le tympan.

B. L'oreille moyenne : Elle est compose dune chane de trois osselets, les plus petits ducorps humain : tout d'abord, le marteau rattach sur lautre face du tympan, puislenclume et enfin, ltrier en relation avec la cochle. Leur rle est de transformer lesondes acoustiques en ondes vibratoires (de la mme manire quun micro) et de lesacheminer vers loreille interne.

C. L'oreille interne : C'est la partie complexe du systme auditif. En effet, les vibrationssonores pntrant dans la cochle (en forme descargot) provoquent la transmissiondune onde dans lorgane auditif rempli de fluide. Ce mouvement met en action lescellules cilies qui mettent alors un signal lectrochimique au nerf auditif. Au bout decette chane, ce signal est renvoy vers le cerveau qui le peroit comme un son.

1 - Partie osseuse2 - Pavillon3 - Conduit auditif4 - Tympan5 - Marteau6 - Enclume7 - Etrier8 - Trompe d'eustache9 - Cochle10 - Nerf auditif


3/ PROPRIETES

Le systme auditif humain est sensible des frquences allant de 20 Hz un maximumd'environ 20 000 Hz. Mais l'tendue des frquences audibles diminue avec l'ge du faitde la presbyacousie. Dans cette gamme de frquences, l'oreille humaine est plus sensibleentre 1 et 5 kHz. Cela est d principalement la rsonance du canal auditif et lafonction de transfert des osselets dans l'oreille moyenne. Loreille est particulirementsensible aux frquences autour de 3 kHz.Plus de sensibilit basse frquence entranerait la perception des bruits internes lis aufonctionnement interne du corps humain.

II HAUTEUR DU SON

La hauteur du son est lie safrquence :

Cependant pour deux sons de mme frquence, le plus intense semblera plus aigu.

III TIMBRE

Loreille permet de faire la distinction entre deux mme notes (mme hauteur, doncmme frquence) de mme intensit sonore joue par deux instruments diffrents.

Chaque instrument a son propre timbre li au spectre des sons quil met.

La dcomposition en srie de Fourierindique :

Un instrument de musique est plus complexe.

y(t) = Y1 cos (t + 1) + Yn cos (nt + n)n=2

+

Fondamental :frquence la plus basse Harmoniques physiques :

frq multiples

Sousharmoniques :modulations,vibratos

Fondamental :hauteur

de la note

Harmoniques :Timbre

Harmoniquesmusicaux :

pas forcmentmultiples.

+

f augmente hauteur du sonaugmente

Exemple : son dune cloche !


IV NIVEAU SONORE OU NIVEAU DINTENSITE SONORE (SL - SPL)

1/ CONSTAT

Loreille humaine permet dentendre les ondes ayant des intensits sonores variant dansdes proportions considrables : 10-12 1 W m-2 .

On constate :

I

2 I

x 2 La sensation sonore nest pas double

I

10 I

x 10 La sensation sonore est double


Ces constatations montrent que loreille est un dtecteur de niveau sonore quifonctionne logarithmiquement. La sensation sonore doit donc tre chiffre par unegrandeur logarithmique.

2/ DEFINITION : Niveau dintensit ou niveau sonore (SL)

Le niveau dintensit sonore (Sound Level : SL) dune onde est le nombre demultiplications par 10 ncessaires pour obtenir sa valeur partir du seuil daudibilit I0 =10-12 W m-2.

Il sexprime en Bel.

Si I = 10n I0 alors le niveau dintensit sonore est de n Bels.

Ainsi le niveau dintensit sonore se dfinirait par L = log I/I0 et sexprimerait en Bels.

On utilise en ralit le dcibel comme unit.

Do la dfinition :

3/ DEFINITION : Niveau de pression sonore (SPL)

La grandeur mise en jeux nest plus lintensit mais la pression efficace.

Or I = P2 / ( 0 c) do L = 10 log [ P2 / ( 0 c) ] / [ P02 / ( 0 c) ] = 10 log [ P2 / P0

2 ] = 20 log [ P/ P0 ]

Avec P0 = (I0 0 c ) = 20 Pa (efficace)

I1

n I1

x n

I2

n I2

x n

Mme sensation daugmentationdu niveau sonore

L = 10 log I / I0 avec I0 = 10-12 W m-2 (efficace)

Sexprime en dB SL


Le niveau de pression sonore (Sound Pressure Level : SPL) dune onde est dfini par :

4/ REMARQUES

Ne pas confondre avec les dB utiliss en lectronique pour caractriser un quadriple.

V VOLUME SONORE

La sensation auditive de volume sonore est subjective et dpend du spectre de frquenceen jeux, de la dure de lexposition et de lintensit du son.Ces notions seront dveloppes ultrieurement et sont du domaine de la psycho-acoustique.

1/ REPONSE AUDITIVE

L = 20 log P / P0 avec P0 = 2. 10-5 Pa (efficace)

Sexprime en dB SPL

Quadriple(ampli/filtre)E S

G = 20 log Smax / EmaxPas de rfrence

Comparaison de deux tensions.


Une courbe isosonique est une mesure du niveau de pression sonore (en dcibels), enfonction de la frquence, qu'une personne peroit comme un son de mme niveau.L'unit de mesure de niveau de son est le phone.Deux ondes sinusodales d'gal phone correspondent au mme niveau sonore pourl'oreille humaine.

Etablies en 1933 par Fletcher et Munson, revues en 1956 par Robinson et Dadson etbase du standard ISO226, actualises en 2003 pour donner la nouvelle normeISO226:2003

2/ SEUIL DAUDIBILITE

La courbe 2 reprsente le seuil daudibilit : intensit acoustique minimale audible. Ildpend de la frquence. Le niveau sonore correspondant est de 0 phone

3/ SEUIL DE LA DOULEUR

La courbe 1 reprsente le seuil de la douleur : intensit acoustique maximale au-del delaquelle loreille subit des lsons irrversibles. Il dpend de la frquence dans demoindres proportions que le seuil daudibilit. Le niveau sonore correspondant est de120 phones.

4/ CONSEQUENCES

A faible niveau sonore, les graves et les aigus sont trs mal perus. Sur les appareils dereproduction sonore, on utilise un correcteur physiologique loudness pourcompenser ce phnomne. Ce correcteur na dutilit qu faible niveau dcoute.

Les instruments de mesure (sonomtres) possdent des corrections (appelespondrations) permettant de compenser ce phnomne. (Voir module acoustique dusemestre 4).

1000 Hz

Amplitudevibration : 1 m

I = 10 12 W m-2

P0 = 2.10 5 Pa = 2.10-10 Bar

0 dBSPL

1000 Hz

Amplitudevibration : 10 m

I = 1 W m-2

P0 = 20 Pa = 2 .10-4 Bar

120 dBSPL


VI OPERATIONS SUR LES dB

1/ ADDITION DE DEUX SOURCES SONORES

Calcul du niveau sonore rsultant :

2/ SOURCES SONORES IDENTIQUES

Dmonstration : L = 10 log [ (2 IA )/I0 ] = 10 log 2 + 10 log [ IA /I0 ] = 3 + LA

LA = 10 log [ IA /I0 ] => IA = I0 10 LA/10

LB = 10 log [ IB /I0 ] => IB = I0 10 LB/10

L = 10 log [ (IA + IB)/I0 ]

L = 10 log ( 10 LA/10 + 10 LB

/10 )

Sources sonores identiques : IA = IB => L = LA + 3 dB

Source AIALA

Source BIBLB

I = IA + IB

L LA + LB

On additionne les W/m2

On nadditionne pas les dB


Chapitre 9ONDES STATIONNAIRES DANS UN TUBE

I PRINCIPE

Lair comme le fil tendu agit une de ses extrmit peut tre le sige dondesstationnaires. Pour cela il doit tre contenu dans une cavit rsonante de formequelconque.

Les instruments de musique utilisent souvent une cavit rsonante pour amplifier le son.

Diffrentes configurations sont possibles pour un tuyau sonore :

Bois Cuivres OrguesFlutes

Voix

Anchevibrante

Lvres Jet dair Cordesvocales

Excitation :large bande de frquences

Seules subsistent et samplifient les frquences gnrant des ondesstationnaires rsonantes.

Ouvert

Ouvert

Orgue / Flute

P = Pap = 0 P = Pa

p = 0Nuds de pression

Ventres de dplacement


II MODES DE VIBRATION

1/ TUBE OUVERT-OUVERT

Mode Fondamental :

Harmonique 2 :

Ferm

Ouvert

Cuivre / Bois

p = maxi P = Pap = 0

Nud de pressionsVentre de dplacement

Ventre de pressionNoeud de dplacement

Pour la pression acoustique, cecas est identique celui de lacorde attache aux 2 extrmits

/2 = L

= L Nime mode :

n = 2L/n

fn = n c / (2L)

Pression acoustique

dplacement

Pression acoustique


2/ TUBE FERME-OUVERT

Mode Fondamental :

Harmonique 2 :

3/ TUBE FERME-FERME

Mode Fondamental :

Harmonique 2 :

Pression acoustique

/4 = L = 4L

/2 = 2L/3 = 4L/3

Nime mode :

n = 4L/(2n+1)

fn = (2n+1) c / (4L)

Pression acoustique

Pression acoustique

Pression acoustique

/2 = L

Nime mode :

n = 2L/n

fn = n c / (2L) = L


III - REFLEXION TOTALE

1/ RAPPEL DU PHENOMENE

(x,t) = A cos (t kx) + A cos (t + kx + r/i )

Rappel du phnomne tudi dans le cas de la corde vibrante : La superposition de deuxondes de mme amplitude progressant en sens inverse engendre la formation dondesstationnaires.

2/ REMARQUE SUR r/i

Extrmit ouverte : Nud de pression => r/i = pi pour la pression acoustique Ventre de dplacement => r/i = 0 pour le dplacement

Extrmit ferme : Ventre de pression => r/i = 0 pour la pression acoustique Nud de dplacement => r/i = pi pour le dplacement

3/ DEMONSTRATION GRAPHIQUE

Etudions le cas du tube ferm ces deux extrmits et observons la pressionacoustique :

p(x,t) = A cos (t kx) + A cos (t + kx)

Chaque sinusode peut tre reprsente par un vecteur de Fresnell :

I = [A , -kx ] et R = [A , kx ]


R

I

P

Pmax = 2A => Lamplitude estmaxi : Ventre de vibration.

kx = 0 + npi

R

I

Pmax = 0 => Lamplitude estnulle : Noeud de vibration.

kx = pi/2 + npi

-kx

kx

R

I

P

kx = quelconque


4/ CONCLUSION

Tube ferm aux deux extrmits.

Etude de londe stationnaire de pression acoustique :

Position des ventres : kx = npi x = n pi / k x = n /2

Position des noeuds : kx = pi/2 + npi x = pi /2k + npi/k x = /4 + n /2

IV TAUX DONDES STATIONNAIRES

En ralit la rflexion totale nest pas trs raliste. Il y a toujours une partie de londeincidente qui est absorbe voire transmise.

Ainsi lexpression de londe rsultante est :

(x,t) = Ai cos (t kx) + Ar cos (t + kx + r/i )

Le coefficient de rflexion est dfini par :

Si r = 1 => Ai = Ar => Ondes stationnairesSi r = 0 => Ar = 0 : pas de rflexion, onde progressive incidenteSi 0 < r < 1 => Cas intermdiaire : onde progressive et onde stationnaire se superposent.

On dfinit le Taux dOndes Stationnaires :

Le TOS est aussi appel Rapport dOndes Stationnaires (ROS).

Pression acoustique

/4 /2

/2

Rappel :

k = 2pi/

Onde incidente

Onde rflchieOnde transmise

Une partieabsorbe

r = Ar / Ai

TOS = Pmax (ventre) / Pmin (nud) = (1+r)/(1-r)


Chapitre 10QUELQUES PHENOMENES

I PHENOMENE DE BATTEMENT

1/ ADDITION DE DEUX SINUSOIDES DE MEME FREQUENCE

Si = 0 :

Si = pi/2 :

Si = pi :

2/ ADDITION DE DEUX SINUSOIDES DE FREQUENCES VOISINES

a) expression instantane

s(t) = Umax sin 1t + Umax sin 2t or : 2 = 1 +

do : s(t) = Umax sin 1t + Umax sin (1 + )t

+

u1

u2

s u1(t) = Umax sint s = u1 + u2

u2(t) = Umax sin(t + )

U2U1

S u1 et u2 en phases est sinusodalAmplitude 2Umax

u1 et u2 en quadratures est sinusodal

Amplitude Umax 2

U1

U2S

u1 et u2 en opposition de phases est nulU1U2

S

La somme de deux signaux sinusodaux reste une fonction sinusodale.Son amplitude dpend du dphasage entre les deux signaux.

+

u1

u2

su1(t) = Umax sin1t

s = u1 + u2u2(t) = Umax sin2t


s(t) = Umax sin 1t + Umax sin (1 t + t )

Dans la reprsentation de Fresnell du I, le vecteur U2 tourne par rapport U1 la vitesse

angulaire .

Le signal somme voit son amplitude varier dans le temps la pulsation dautant plusfaible que 1 est proche de 2.

b) Chronogrammes

c) Calcul

s(t) = Umax sin 1t + Umax sin 2t = 2Umax cos [(2 -1)t/2] sin[(1 + 2)t/2]

Un cart de frquence (pulsation)correspond un dphasage qui varielinairement dans le temps.

= t

u1(t)

t

t

En phase En oppositionde phase

En phase En oppositionde phase

u2(t)

s(t)

t

Modulation damplitude porteuse supprime.Fp = (f1 + f2)/2Fm = (f2 f1)/2

Amplitude module Porteuse

Rappel :sin p + sin q = 2 cos[(p-q)/2] sin [(p+q)/2]

2Umax


d) Application

Accord dinstrument de musique

II EFFET DOPPLER

1/ SOURCE SAPPROCHE DE LOBSERVATEUR

Lorsque la source sapproche de lobservateur, la longueur donde perue par celui-cidiminue :

On a = CT Vs T = (C-Vs)T => f = C / = C / ( C Vs ) T = f / (1 Vs/C)

C vitesse de propagation de londeVs vitesse de dplacement de la source

Observateur au repos

C

Observateur au reposVs

C

Source avance => diminue => f augmente f = f / (1 Vs/C)

: longueur de londe sonore mise par la source immobilef : frquence de londe sonore mise par la source immobileT : priode de londe sonore mise par la source immobile

: longueur de londe sonore perue par lobservateurf : frquence de londe sonore perue par lobservateur

f

Um

Spectre de s

f1 f2 f

Porteuse

(f1+ f2)/2 f

Modulant

(f1- f2)/2

=x


2/ SOURCE SELOIGNE DE LOBSERVATEUR

Lorsque la source sloigne de lobservateur, la longueur donde perue par celui-ciaugmente :

On a = CT + Vs T = (C+Vs)T => f = C / = C / ( C + Vs ) T = f / (1 + Vs/C)

3/ SOURCE ET OBSERVATEUR EN MOUVEMENT

a) Premier cas

On a toujours = (C Vs) T

La vitesse de propagation de londe par rapport lobservateur est : C + Vo

Ainsi la frquence perue par lobservateur devient :

f = (C + Vo ) / = (C + Vo ) / [ (C Vs) T ]

Observateur au repos

Source sloigne => augmente => f diminue f = f / (1 + Vs/C)

Vs

C

Observateur enmouvement

Vs

C

Vo

f = f (1 + Vo /C ) / (1 Vs /C)


b) Deuxime cas

On a toujours = (C + Vs) T

La vitesse de propagation de londe par rapport lobservateur est : C - Vo

Ainsi la frquence perue par lobservateur devient :

f = (C - Vo ) / = (C - Vo ) / [ (C + Vs) T ]

c) Gnralisation

Il suffit de prendre les valeurs algbriques des vitesses Vo, Vs et c sur un axeorient

4/ DEPLACEMENT DANS DES DIRECTIONS DIFFERENTES

Observateur enmouvement

Vo

Vs

C

f = f (1 - Vo /C ) / (1 + Vs /C)

f = f (1 - Vo /C ) / (1 - Vs /C)

o

s

VoVs

Vo cos o

Vs cos s f = f (1 - Vo cos o /C ) / (1 - Vs cos s /C)


III ONDE DE CHOC

Une source sonore se dplace la vitesse V.

La distance parcourue entre les instants t2 et t1 est S1S2 = V (t2 t1)

Le rayon de londe mise en S1 linstant t1 est linstant t2 : R = C (t2 t1)

Si V < C alors les ondes sont reues successivement et dans le bon ordre :

Si V > C alors les ondes sont reues en mme temps :

S1P = C (t4 t1)

Sin = C/V = 1/n n est le nombre de machS1S4 = V (t4 t1)

t1 t2

S1 S2 V

V

V

Les ondes sont reues en mme temps.

Il y a accumulation dnergie sur le front decette onde appele onde de choc.

S1 S2 S3 S4

P

acoust-10

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