2.3.3 Comportement mécanique des systèmes

Résistance des matériauxTC2.3.3 \Synthèse Résistance des matériaux – Part2.docx

Ter

Enseignement

Technologique

Transversal

4. Dimensionnement d’une pièce :

La question qui se pose est de savoir si nous pouvons appliquer ces caractéristiques à toutes les pièces, si nous pouvons prévoir le comportement de toutes les pièces.

La réponse est que si la pièce ressemble à ……………………………. (on dira que c’est une poutre), on pourra facilement prévoir son comportement.

4.1 Notion du modèle poutre   :

Modèle géométrique   :

On appelle Poutre, un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ..................................... .

Les caractéristiques de la poutre sont: 

- La ligne moyenne est droite ou a un ..................... rayon de courbure.

 

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Rail de chemin de fer

G2

G3

G1

S1

- La section droite (S) est constante ou varie progressivement.

 

- Le plan (S) reste perpendiculaire à (C). 

- La longueur est grande devant les dimensions transversales ( L ...... D ).

- Il existe un plan de symétrie.

 Modèle de la matière   :

Le matériau est homogène et isotrope.

- Un matériau est homogène quand toutes ses portions sont ……………. entre elles.- Un matériau est isotrope quand il se comporte de façon identiques dans toutes les ……………….

4.2 Hypothèses de la RdM   :

 Hypothèse de Bernouilli   :

   Hypothèse de Navier et Bernouilli   :

Hypothèse de Barré de Saint Venant   :

Cours de Résistance des matériaux – Partie 2 Page 2

Au cours de la déformation, les sections droites restent

………………………………… à la ligne moyenne.

Les sections droites restent …………………. au cours de la déformation (il n’y a donc pas de gauchissement).

Les résultats de la résistance des matériaux ne sont valables que sur les régions ……………….. des points d’application des efforts extérieurs.

4.3. Critères de dimensionnement   :

Lorsqu’on dimensionne, on se fixe un de ces trois critères :

La pièce ne doit pas ………………… .

La pièce ne doit pas …………………. ……………….

………

La pièce ne doit pas …………………. .……………….………

4.4. Contrainte admissible   :

Mais nos calculs sont -ils infaillibles ? Quels sont les risques d’erreurs ?

La pièce est-elle vraiment une poutre ?

Connaissons nous parfaitement les actions mécaniques ?

La pièce sera-t-elle utilisée comme prévu ?

Le matériau ne comporte-t-il pas de défauts ?

Etc…

Cours de Résistance des matériaux – Partie 2 Page 3

?

?

?

Définir un critère de résistance revient à admettre une valeur de ………………………

que le matériaux ne devra pas franchir et que l’on appelle la contrainte admissible.

σ adm = σ définie par le critère de résistances

Afin de limiter les risques, on se fixe toujours une marge de sécurité notée s.La contrainte admissible dans la pièce sera donc donnée par :

Exemple :

Si la pièce ne doit pas se déformer définitivement,

σadm = …………………

Quelques valeurs :

Coefficient de sécurité

Conditions générales de calculs

1,5 à 2 Cas exceptionnel de grande légèreté. Hypothèses de charges surévaluées.

2 à 3 Construction où l’on recherche la légèreté (aviation). Hypothèses de calcul la plus défavorable (charpente avec vent ou neige, engrenages avec une seule dent en prise ...)

3 à 4 Bonne construction, calculs soignés, haubans fixes.

4 à 5 Construction courante (légers efforts dynamiques non pris en compte. Treuils)

5 à 8 Calculs sommaires, efforts difficiles à évaluer (cas de chocs, mouvements alternatifs, appareils de levage, manutention).

8 à 10 Matériaux non homogènes. Chocs, élingues de levage.

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σ en N / mm2

ε

σe

σR

σadm

Marge d’erreur

10 à 15 Chocs très importants, très mal connus (presses). Ascenseurs

5. Quand la pièce s’éloigne du modèle poutre :Que se passe t-il lorsque la pièce ne ressemble pas à une poutre ? Pouvons nous en prédire le comportement ?

5.1. Changements brusques de section   :

La photoélasticimétrie montre que lorsque la pièce comporte des changements de section, la répartition des contraintes dans la pièce n’est plus du tout uniforme.

Exemple sur une éprouvette avec une entaille en Vé :

Dans ce cas, la force de traction se propage dans la pièce en empruntant le seul chemin possible et crée des ……………………………………… .

La contrainte dans cette zone de la pièce est considérablement augmentée. C’est la zone où la pièce est la plus …………………… .

Alors que lorsque la pièce est de section constante, la force de traction se propage de façon ………………La répartition des contraintes est alors …………………………..

Cours de Résistance des matériaux – Partie 2 Page 5

F F

F F

Voilà pourquoi, en conception, on tentera d’éviter les changements brusques de section pour y préférer les ……………………..………. ou ……………………………….. .

Evaluation de concentrations de contraintes   :

Des abaques produites par des centres de recherche nous permettent d’évaluer la majoration de la contrainte dans quelques cas.

Exemple d’une plaque percée d’un seul trou   :

Dans les conditions où la plaque a les dimensions dessous :

Cours de Résistance des matériaux – Partie 2 Page 6S0

! Calculer la contrainte σ1 dans la section S1 de la poutre.

S1 = ……………………………………………… S1 = ………………………………

σ1 = ……………………………………………. σ1 = ……………………………..

! Calculer la contrainte σ0 dans la section S0 de la poutre.

S0 = ……………………………………………… S0 = ………………………………

σ0 = ……………………………………………. σ0 = ……………………………..

! Relever sur l’abaque le coefficient de concentration de contrainte Kt.

Kt = ………………………

! Calculer la contrainte maximum qui s’appliquera en B.

σmaxi = ……………………………………………. σmaxi = ……………………………..

! Conclure :

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………

5.2. Zones d’application des efforts   :

Toujours avec la photoélasticimétrie ou encore avec des logiciels de calcul, nous pouvons constater

que la contrainte n’est pas non plus uniforme au niveau de l’application des efforts.

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Hypothèse de Barré Saint Venant   :

Aussi, les résultats obtenus par la Résistance des Matériaux ne s’appliquent que sur des régions éloignées des points d’application des efforts extérieurs.

 

6. Calculs par éléments finis :Nous venons de voir que les calculs de

résistance des matériaux trouvent très vite leur limites dès que la pièce ne s’apparente pas à une poutre ; c'est-à-dire dans la …………………………… des cas.

Or l’avènement de l’informatique, a permis de réaliser une quantité de calculs jusqu’alors inenvisageables car titanesques à la main.

6.1. Principe   :

Le principe du calcul par éléments finis est de mailler la pièce ; c'est-à-dire la découper virtuellement en petits tronçons (éléments finis) qui eux, s’apparentent à de petites ……………. et d’y appliquer les lois de la résistance des matériaux.

Ainsi les contraintes et déformations calculées sur le premier tronçon servent de base au calcul des suivants.

Plus le maillage sera fin et plus les calculs seront …………………. mais ………………………. .

On peut visualiser la zone de la pièce où la contrainte est maximale.

6.2. Domaine d’application   :

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Ces calculs par éléments finis nous permettent de prévoir le comportement des pièces plus finement et donc d’en optimiser les formes; une des étapes capitale de l’éco-conception.

6.3 Précautions d’emploi   :

Comme pour tout calcul, il est très important de garder un regard critique sur les résultats obtenus.

En effet, la fiabilité des résultats dépendra complètement de la modélisation du système.Il conviendra donc de définir les actions extérieures, le plus fidèlement possible à la

réalité ; ce qui requiert de l’expérience et de l’humilité.

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