able - IPHYS | EPFL · PDF filedu Spin 1 2. 101 7.3 Les Matrices de P ... mécanique...

Physique Quantique I et IINotes de ours

Prof. Frédéri MilaE ole Polyte hnique Fédérale de Lausanne

Février 2006

Table des matières1 La Théorie des Quanta 11.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La Théorie de Bohr de l'Atome d'Hydrogène . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Les Règles de Bohr-Sommerfeld (1915) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 La Quanti� ation Canonique 52.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 L'Os illateur Harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Les Opérateurs q et p : la Théorie des Matri es . . . . . . . . . . . . 112.4 La Quanti� ation Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Les Relations d'In ertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 143 La Mé anique Ondulatoire 173.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 L'Equation de S hrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 L'Os illateur Harmonique :Equation de S hrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Lien ave la Quanti� ation Canonique : . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Interprétation de la Fon tion d'Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Éléments de Théorie de la Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Formulation Générale de la Mé anique Quantique 314.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Les Postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Valeur Moyenne et Relation d'In ertitude . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Evolution temporelle : S hrödinger, Heisenberg et Ehrenfest . . . . . 374.5 La Représentation {|p〉} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1 47iii

5.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 La Parti ule Libre : Paquet d'Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Potentiel Constant par Mor eau et Conditions aux Limites . . . . . . 545.4 Le Puits de Potentiel Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5 La Mar he de Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6 Barrière de Potentiel. E�et Tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 Mouvement dans un Potentiel Central 716.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 L'Opérateur Moment Cinétiqueet l'Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 Le Spe tre de ~L2 : Considérations Algébriques . . . . . . . . . . . . . 766.4 Moment Cinétique Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.5 Les Harmoniques Sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.6 Le Mouvement dans un Potentiel Coulombien . . . . . . . . . . . . . 866.7 Moment Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947 Spin 997.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Le Formalisme du Spin 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3 Les Matri es de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4 Matri es de Pauli et Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.5 L'éle tron non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5.1 Moment inétique orbital et spin . . . . . . . . . . . . . . . . 110A Espa e de Hilbert 113A.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2 Espa es de Hilbert de dimension in�nie : . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.3 Proje teurs et Représentation Spe trale I :Dimension Finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121A.4 Changements de Base et Opérateurs Unitaires . . . . . . . . . . . . . 124A.5 Proje teurs et Représentation Spe trale II :Dimension In�nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127B Intégrales Gaussiennes 133B.1 Intégrale Gaussienne Réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133B.2 Intégrale Gaussienne Réelle ave un "Terme de Sour e" . . . . . . . . 134B.3 Intégrale Gaussienne Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

vB.4 Intégrale Gaussienne Complexe ave un "Terme de Sour e" . . . . . . 136B.5 Quelques Cas Parti uliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.6 Intégrales ontenant une Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C Règle de Cramer 141

viOuvrages Re ommandésIl existe de très nombreux ouvrages en français et en anglais traitant de la mé a-nique quantique.En français :1. La référen e historique : Messiah. Ex ellent livre, toujours la référen e dansde nombreux domaines.2. La référen e moderne : Cohen-Tanoudji, Diu, Laloë. Livre très lair ave des al uls ex eptionnellement bien expliqués et détaillés. Il est don re ommandépour "démysti�er" le �té al ulatoire de la mé anique quantique. Il reste ependant di� ile à onsulter omme référen e ar il est très volumineux.3. Deux ouvrages plus ré ents :- Le Bella . Original dans ses hoix, parle de problèmes d'a tualité. Expli a-tions mathématiques pré ises mais on ises.- Basdevant & Dalibard. Intéressant grâ e à son CD ROM de démonstrations.4. La référen e russe : Landau & Lifshitz. Ex eptionnel dans la on ision etl'étendue des sujets abordés. Ouvrage auquel on revient souvent omme her- heur, il reste relativement di� ile pour une première appro he. Problèmemajeur : il n'utilise pas les notations modernes universellement employées denos jours.En anglais :1. Les référen es un peu vieillies :- S hi�- Merzba her2. Un livre on is et astu ieux : Sakurai3. Une ex ellente ompilation de notes de ours : BaymAvant-ProposLa mé anique quantique est sans doute la plus grande révolution intelle tuelle del'histoire de la physique. Elle est remarquable à plus d'un titre :- Elle est fondamentale dans pratiquement tous les domaines de la physique (phy-sique atomique, physique molé ulaire, physique des solides, optique, physiquedes parti ules, thermodynamique et physique statistique) dès qu'on s'intéresseà de petites dimensions (de l'ordre du diamètre d'un atome : 1 [Angström℄≡ 10−10[m]).

vii- Elle a permis de omprendre de très nombreux phénomènes qui étaient sansexpli ations depuis de nombreuses années, omme par exemple les raies d'ex i-tation de l'atome d'hydrogène, par à opposition à la relativité, qui a été avanttout prédi tive.- Elle n'a à e jour pas été mise en défaut. Ses prédi tions, aussi pré ises soient-elles, ont toujours été véri�ées.- Elle repose sur des bases mathématiques et on eptuelles très fragiles. Dansbeau oup de ontextes, il apparaît par exemple des divergen es qu'on est obligéd'ignorer. Par ailleurs la formulation des développements les plus ré ents enphysique des hautes énergies repose sur un objet mathématiquement mal dé�ni,l'intégrale de hemin. En�n, la dé�nition pré ise des postulats repose sur lanotion de mesure, qui fait en ore l'objet de débats houleux.Il y a don de nombreuses façons d'enseigner la mé anique quantique, qu'ils'agisse du hoix des problèmes mis en avant pour expliquer la né essité d'une nou-velle théorie, ou qu'il s'agisse de la façon de présenter la théorie elle-même. Les hoix faits dans e ours ont été guidés d'une part par sa position dans le ursus desétudiants et d'autre part par mes goûts et orientations personnels. Comme e oursintervient avant l'éle trodynamique et la physique statistique, je me baserai sur lesdi� ultés de la mé anique lassique à expliquer la stru ture de l'atome pour motiverle développement de la théorie. Par ailleurs, je rois qu'on s'habitue à la mé aniquequantique d'abord et avant tout en l'utilisant sur des problèmes on rets, et je met-trai l'a ent sur l'extraordinaire puissan e de la mé anique quantique à expliquerdes phénomènes, en renvoyant à des ours plus spé ialisés pour les développementsmathématiques plus rigoureux sur tel ou tel aspe t du formalisme.

Chapitre 1La Théorie des Quanta1.1 Introdu tionL'idée que l'énergie d'un système ne pouvait prendre que ertaines valeurs dis- rètes et non pas l'ensemble ontinu des valeurs prédites par la théorie lassiquedu phénomène a été émise pour la première fois par Plan k en 1900, qui, pour ex-pliquer ertaines parti ularités du rayonnement thermique, a supposé que l'énergied'un hamp éle tromagnétique de fréquen e ν ne pouvait prendre que des valeursdis rètes de la forme

En = nhν (1.1)où n est un entier et h une onstante appelée onstante de Plan k (h = 6.6261 ·10−34 [Js]).1En 1905, Einstein a suggéré que ette idée, onsidérée par Plan k omme uneastu e pour orriger la formule du rayonnement du orps noir, avait une ertaineréalité. En e�et, il avait été remarqué qu'il était possible d'extraire des éle trons d'unsolide en envoyant des ondes éle tromagnétiques (e�et photoéle trique), mais que ela n'était pas toujours possible. Pour que l'e�et se produise, il faut que la fréquen eν du rayonnement soit supérieure à une fréquen e ν0, et e indépendamment del'intensité du rayonnement. Einstein a suggéré l'interprétation suivante : pour éje terun éle tron d'un solide, il faut lui fournir une énergie E0 (appelée travail de sortie).Supposons qu'une onde éle tromagnétique de fréquen e ν se omporte omme une olle tion de parti ules d'énergie hν appelées photons. Lors de l'intera tion ave une telle onde éle tromagnétique2, un éle tron ne peut alors a quérir qu'une énergieégale à hν. Il ne pourra don être éje té que si la fréquen e ν est supérieure à ν0donnée par

hν0 = E0 (1.2)1Voir ours de physique statistique pour la des ription de e phénomène.2Si l'on fait l'approximation très raisonnable pour une sour e standard qu'un éle tron ne peutinteragir qu'ave un seul photon à la fois.

2 La Théorie des QuantaC'est pour e travail qu'Einstein a eu le prix Nobel.Mais le premier exemple expérimental de quanti� ation de l'énergie est antérieur.Il remonte à l'observation en 1885 par Balmer que les raies observées lors de lalumines en e d'atomes d'hydrogène qui se désex itent orrespondent à des longueursd'onde de la forme1

λ=

(1

n2− 1

p2

)1

λ0,

1

λ0= 109677cm−1 (1.3)La formule de Balmer orrespond à n = 2 et p ≥ 3 (longueur d'onde dans le visible),le as n = 1 (série de Lyman) orrespond à des ondes UV. Les séries n = 3, 4, 5, . . .ont toutes été observées.Finalement, Ritz a suggéré que la transition 1λ

=(

1n2 − 1

p2

)1λ0

orrespondait àune di�éren e entre deux termes spe traux :1

λn= Tn − Tp (1.4)et que l'atome d'hydrogène était ara térisé par un terme spe tral

Tn =1

n2

1

λ0

(1.5)1.2 La Théorie de Bohr de l'Atome d'HydrogèneLa théorie de Bohr est basée sur la formulation hamiltonienne du mouvement d'unéle tron autour d'un noyau. Le mouvement de Kepler, 'est-à-dire le mouvementdans un potentiel entral de la forme −k/r, est séparable, et les orbites périodiquespeuvent se dé rire à l'aide des variables a tion-angle (Ir, ωr), (Iθ, ωθ) et (Iϕ, ωϕ) tellesque Ir, Iθ, Iϕ soient des onstantes et ωr, ωθ et ωϕ des fon tions linéaires du temps.Un al ul standard onduit à l'expression du nouvel hamiltonien sous la forme :K (Ir, Iθ, Iϕ) = − mk2

2 (Ir + Iθ + Iϕ)2 (1.6)Une transformation anonique à l'aide de la fon tion F2 (ωr, ωθ, ωϕ; I1, I2, I3) =

(ωϕ − ωθ) I1+(ωθ − ωr) I2+ωrI3 onduit à de nouvelles variables a tion-angle (I1, ω1),(I2, ω2) , (I3, ω3) telles que :

I1 = Iϕ

I2 = Iθ + Iϕ

I3 = Ir + Iθ + Iϕ

(1.7)En remplaçant k par e2

4πǫ0, on trouve �nalement :

K = − me4

32π2ǫ20

1

I23

(1.8)

1.3 Les Règles de Bohr-Sommerfeld (1915) 3Bohr remarqua que ette expression permet d'établir un lien ave les termes spe -traux introduits par Ritz. En e�et, si on fait l'hypothèse que I3 peut prendre lesvaleursI3 = n~ , ~ =

h

2π

⇒ K (I3 = n~) = − me4

32π2ǫ20~2

1

n2

⇒ En = − 1

n2Ry , 1Ry = 13.6 eV

(1.9)Cette expression de l'énergie est l'opposé de elle naturellement asso iée au termespe tral Tn. En e�et, à une longueur d'onde λ est asso iée une fréquen e ν parν = c/λ, où c est la vitesse de la lumière, et à une fréquen e ν est asso iée uneénergie E par E = hν, d'où E = hc/λ. Or, les expressions de En et de Tn onduisentà En = −hcTn.La théorie de Bohr onsiste don à supposer que l'éle tron ne peut o uper quedes orbites périodiques telles que l'a tion soit un multiple entier de ~, et que l'énergiequ'il peut émettre lorsqu'un atome se désex ite ne peut être égale qu'à la di�éren eentre les énergies de deux telles orbites.1.3 Les Règles de Bohr-Sommerfeld (1915)La "théorie des quanta" (ou "vieille mé anique quantique") est don basée sur lesrègles de Bohr-Sommerfeld qui stipulent que le mouvement n'est possible que surdes orbites périodiques pour lesquels les variables a tions de fréquen e non nulles( omme I3 dans l'exemple pré édent) sont des multiples entiers de ~.Cette théorie a eu un su ès onsidérable. Bohr la onsidérait omme "la voieroyale vers la quanti� ation", et à partir de 1915, on a essayé de l'appliquer à di�é-rents problèmes. Elle sou�re néanmoins de sérieux désavantages :1. D'un point de vue pratique, elle se base sur les variables a tion-angle. Elle sup-pose don qu'on peut résoudre l'équation de Hamilton-Ja obi. Mais 'est engénéral impossible. Du oup, il a fallu développer des stratégies d'approxima-tion pour les problèmes non-séparables, qui sont en général plus ompliquéesque le formalisme moderne.2. Cette théorie est limitée aux orbites périodiques et ne fait au une prédi tionsur la di�usion des éle trons, qui pourtant, omme nous le verrons, révèle dese�ets quantiques tout aussi importants.3. Mais le problème le plus fondamental est que ette théorie ne donne qu'unere ette sans remettre en ause la formulation de la mé anique ou de l'éle tro-

4 La Théorie des Quantadynamique lassique. Une parti ule hargée émet, en éle trodynamique las-sique, des ondes éle tromagnétiques3. Elle doit don perdre de l'énergie, etl'éle tron devrait �nalement s'e�ondrer sur le noyau. Si ela ne se produit pas,il doit y avoir une raison plus profonde sur laquelle la théorie des quanta nenous dit rien.4. Finalement, si elle onduit au résultat rigoureusement exa t pour le potentiel oulombien, on sait désormais qu'elle n'est pas exa te en général. Elle estvalable dans la limite ~ → 0 (elle donne le résultat dominant pour ~ petit)modulo une modi� ation des règles en :Ii = ~ (ni + γi) (1.10)où γi est un nombre de l'ordre de l'unité appelé indi e de Maslov qui dépenddu type de degré de liberté et des onditions aux limites.Exemple : Pour l'os illateur harmonique dé�ni par l'hamiltonien

H =p2

2m+

1

2mω2x2 (1.11)on a :

K = ωI

⇒ En = ~ωn(1.12)d'après la théorie des quanta. Le résultat exa t est

En = ~ω

(

n+1

2

) (1.13)(voir hapitre suivant).

3Voir ours d'éle trodynamique.

Chapitre 2La Quanti� ation Canonique2.1 Introdu tionPour aller au-delà de l'hypothèse ad-ho de la théorie des quanta, il faut que laquanti� ation des énergies possibles soit une onséquen e logique de la théorie. Ilfaut don modi�er les hypothèses de départ.Une possibilité qui pourrait sembler naturelle serait de modi�er l'hamiltonien d'unsystème omme l'atome d'hydrogène pour que seules ertaines traje toires soientpossibles, mais une telle appro he reviendrait à remettre en ause la forme des loisde la physique des phénomènes à l'é helle ma ros opique, e qui n'est pas du toutsatisfaisant.En 1925, un jeune physi ien, Werner Heisenberg (alors âgé de 24 ans), proposeque e n'est pas la forme de l'hamiltonien qu'il faut modi�er, mais que 'est plut�tla notion même de traje toire qu'il faut abandonner. Après tout, personnen'a pu observer le mouvement d'un éle tron autour d'un noyau. Tout e qu'on a puobserver, e sont les niveaux d'énergie possibles de l'éle tron autour du noyau.Mais si l'hamiltonien s'exprime sous la forme lassique, 'est-à-dire par exemple omme

H =p2

2m+

1

2mω2x2 (2.1)pour un os illateur harmonique, quelles hypothèses faut-il faire sur q, p et H pourque les valeurs observables de H soient dis rètes ? La réponse de Heisenberg est que 'est possible si q, p et H sont des opérateurs linéaires, et que les valeurs observablessont les valeurs propres de es opérateurs1. Plus pré isément, Heisenberg a démontréque si q et p sont des opérateurs qui satisfont

[q, p] = i~1l = i~ (2.2)1Il est onseillé de lire le début de l'annexe A avant d'aller plus loin. Il ontient toutes les notionsmathématiques né essaires.

6 La Quanti� ation Canonique(où 1l est l'opérateur identité2), les valeurs propres de H sont de la forme~ω

(

n +1

2

)

, n ∈ N. (2.3)Le heminement intelle tuel qui a amené Heisenberg à ette hypothèse est assez ompliqué, mais on peut arriver à ette relation par des arguments heuristiquessimples.Tout d'abord, pour que les valeurs propres de q, p et H soient réelles, le plussimple est de supposer que e sont des opérateurs hermitiques.Par ailleurs, si l'on veut onserver l'hypothèse que l'éle tron peut être n'importeoù, et qu'il peut avoir n'importe quelle impulsion, il est logique de supposer que lesvaleurs propres possibles de q et p sont l'ensemble des réels.Mais si q et p ommutaient, on pourrait les diagonaliser dans une base ommune3,et sauf restri tion supplémentaire, on pourrait don trouver des états |ϕq,p〉 tels queq|ϕq,p〉 = q|ϕq,p〉p|ϕq,p〉 = p|ϕq,p〉

(2.4)Ces états seraient don également ve teurs propres de H, de valeurs propresH|ϕq,p〉 =

(p2

2m+

1

2mω2q2

)

|ϕq,p〉. (2.5)Autrement dit, si q et p ommutaient, le spe tre de H serait l'ensemble des éner-gies possibles lassiquement.On est don onduit naturellement à supposer que q et p ne ommutent pas.L'hypothèse "minimale" est de supposer que le ommutateur est proportionnel àl'identité (on n'a introduit au un autre opérateur à e stade).[q, p] = a1l (2.6)Mais

[q, p]† = (qp)† − (pq)† = p†q† − q†p† = pq − qp = − [q, p]

⇒ a∗ = −a ⇒ a = iα , α ∈ R(2.7)En�n, il faut introduire ~ dans la théorie si on veut retrouver l'hypothèse de lathéorie des quanta

[q, p] = i~ (2.8)2Pour éviter d'être redondant, on omettra parfois de l'é rire.3Voir l'annexe A.

2.2 L'Os illateur Harmonique 72.2 L'Os illateur HarmoniqueDans ette se tion, nous allons démontrer que l'hypothèse [q, p] = i~ onduite�e tivement au spe tre ~ω(n+ 1

2

) pour H . Dans e ontexte, on utilise plut�t x àla pla e de q :H =

p2

2m+

1

2mω2x2

[x, p] = i~(2.9)Il est ommode d'introduire les ombinaisons linéaires suivantes des opérateurs xet p :

a ≡√mω

2~x+ i

1√2mω~

p

a† ≡√mω

2~x− i

1√2mω~

p = onjugué hermitique de a (2.10)Ces relations s'inversent en :x =

√

~

2mω

(a† + a

)

p = i

√

mω~

2

(a† − a

)(2.11)Cal ulons le ommutateur de [a, a†]. D'après leurs expressions, il vient :

[a, a†

]= −i 1

2~[x, p] + i

1

2~[p, x]

⇒[a, a†

]= 1

(2.12)Par ailleurs, l'hamiltonien s'é rit :H = −mω~

2

(a† − a

)2 1

2m+

1

2mω2 ~

2mω

(a† + a

)2

=~ω

4

[

−(a† − a

)2+(a† + a

)2]

=~ω

4

[

−(

a†2+ a2 − a†a− aa†

)

+(

a†2+ a2 + a†a+ aa†

)]

=~ω

2

(a†a + aa†

)

=~ω

2

(a†a + a†a + 1

)

⇒ H = ~ω

(

a†a+1

2

)

(2.13)

8 La Quanti� ation CanoniqueÉtudions désormais le spe tre de l'opérateur a†a.1. Les valeurs propres de a†a sont positives ou nulles.Supposons en e�et que a†a|ϕ〉 = λ|ϕ〉, ave 〈ϕ|ϕ〉 = 1. On a :λ = 〈ϕ|a†a|ϕ〉 = ‖a|ϕ〉‖2 ≥ 0 (2.14)2. Si |ϕλ〉 est ve teur propre de a†a de valeur propre λ, alors a|ϕλ〉 est ve teurpropre de a†a de valeur propre λ− 1.Démonstration :a†a|ϕλ〉 = λ|ϕλ〉 par hypothèse.

(a†a)a|ϕλ〉 =(aa† − 1

)a|ϕλ〉

= aa†a|ϕλ〉 − a|ϕλ〉= aλ|ϕλ〉 − a|ϕλ〉= (λ− 1) a|ϕλ〉.

(2.15)Conséquen es : Partant d'un ve teur propre |ϕλ〉 de a†a de valeur propre λ > 0, onengendre des ve teurs propres de valeurs propres λ − 1, λ− 2, . . . par appli ationssu essives de a. Deux as de �gure sont à distinguer.λ /∈ N Pour ν su�samment grand, λ − ν < 0. On engendre un ve teur proprede valeur propre négative par appli ation de aν . Mais on a démontré que les valeurspropres de N sont positives. Cette possibilité doit être é artée.λ ∈ N Considérons un ve teur propre |ϕn〉 de valeur propre n ∈ N. L'appli ationsu essive de a engendre des ve teurs de valeurs propres n − 1, n − 2, . . . jusqu'àl'opérateur an pour lequel

N (an|ϕn〉) = (n− n) |ϕn〉 = 0Mais 〈ϕ|N |ϕ〉 = 0 ⇒ ‖a|ϕ〉‖2 = 0

⇒ an+1|ϕn〉 = 0 ⇒ ap|ϕn〉 = 0 si p ≥ n + 1

(2.16)On n'engendre pas de ve teur propre de valeur propre négative si n est entier.Con lusion : Les valeurs propres possibles de N sont les entiers positifs et don les valeurs propres possibles de H sont ~ω(n + 1

2

). L'opérateur a†a est appelé l'opé-rateur nombre, et il est souvent noté N .Essayons de onstruire expli itement les ve teurs propres, et étudions si e spe treest dégénéré.Partant d'un état |ϕn〉 de valeur propre n, on arrive à un ve teur propre an|ϕn〉satisfaisant a (an|ϕn〉) = 0. Sans hypothèse supplémentaire sur x et p, il est impos-sible de dé ider s'il y a un seul état satisfaisant a|ϕ〉 = 0. Nous verrons que dans

2.3 Les Opérateurs q et p : la Théorie des Matri es 11Les ve teurs propres sont reliés entre eux par :a†|ϕn〉 =

√n+ 1|ϕn+1〉 et a|ϕn〉 =

√n|ϕn−1〉 (2.26)Remarque : C'est la solution omplète du problème4. La valeur moyenne de n'im-porte quelle observable dans n'importe quel état s'obtient en exprimant l'observableà l'aide des a, a† et en utilisant la règle de ommutation [a, a†] = 1.Exemple : Essayons de al uler la valeur moyenne de x2 dans le fondamental (〈ϕ0|x2|ϕ0〉) :

x2 =~

2mω

(a† + a

)2

(a† + a

)2=(a†)2

+ a2 + a†a + aa† =(a†)2

+ a2 + 2a†a+ 1

〈ϕ0|(a†)2 |ϕ0〉 = 〈ϕ0|a†|ϕ1〉 =

√2〈ϕ0|ϕ2〉 = 0

〈ϕ0|a2|ϕ0〉 = 〈ϕ0|a†a|ϕ0〉 = 0

⇒ 〈ϕ0|(a† + a

)2 |ϕ0〉 = 〈ϕ0|ϕ0〉 = 1

⇒ < x2 >=~

2mω

(2.27)On voit don que < x2 >6= 0 dans l'état de plus basse énergie. Ce résultatest en ontradi tion manifeste ave le as lassique, où x = 0 (et don x2 = 0) dansle fondamental. Dans l'état de plus basse énergie, on dit qu'il y a des �u tuationsquantiques appelées dans e as �u tuations de point zéro.2.3 Les Opérateurs q et p : la Théorie des Matri esLa question qui se pose naturellement à e stade est de savoir omment trouverdes opérateurs q et p qui satisfont la règle de ommutation

[q, p] = i~1l (2.28)En parti ulier, omme les matri es onstituent un exemple simple d'opérateur dansun espa e de Hilbert, il est naturel de se demander si on peut les représenter par desmatri es (N ×N). La solution du problème de l'os illateur harmonique suggère que 'est impossible si N est �ni vu qu'on a trouvé un ensemble in�ni dénombrable defon tions propres orthogonales {|ϕn〉}. Mais ela était prévisible a priori. En e�et,en dimension �nie, la tra e de deux opérateurs satisfaitTr (AB) = Tr (BA) (2.29)4A part la non-dégénéres en e des états propres

12 La Quanti� ation CanoniqueDu oup, pour des matri es de dimension �nieN , Tr ([A,B]) = 0, alors que Tr ([x, p]) =Tr (i~1l) = i~N .Il faut don onsidérer des opérateurs agissant dans un espa e de dimension in�nie.Le hoix fait par Bohr, Heisenberg et Jordan onsiste à représenter x et p par desmatri es de dimension in�nie dans la base des états propres de a†a. Dans ette base,les opérateurs a et a† sont représentés par :a =

0√

1 0 0 0 · · ·0 0

√2 0 0 · · ·

0 0 0√

3 0 · · ·... ... ... 0√

4. . .... ... ... ... . . . . . .

a† =

0 0 0 0 · · ·√1 0 0 0 · · ·

0√

2 0 0 · · ·0 0

√3 0 · · ·... ... 0

√4

. . .... ... ... ... . . .

(2.30)ave

|ϕ0〉 =

100... , |ϕ1〉 =

010... , · · · (2.31)

D'après l'expression de x et p en fon tion de a et a†, on en déduit :x =

√

~

2mω

0√

1 0 0 · · ·√1 0

√2 0 · · ·

0√

2 0√

3. . .

0 0√

3 0. . .... ... . . . . . . . . .

p = i

√

mω~

2

0 −√

1 0 0 · · ·√1 0 −

√2 0 · · ·

0√

2 0 −√

3. . .

0 0√

3 0. . .... ... . . . . . . . . .

(2.32)

2.4 La Quanti� ation Canonique 13ainsi quexp =

i~

2

1 0 −√

1 × 2 0 0 · · ·0 1 0 −

√2 × 3 0 · · ·

√1 × 2 0 1 0 −

√3 × 4

. . .0

√2 × 3 0 1 0

. . .... . . . . . . . . . . . . . . .

et

px =i~

2

−1 0 −√

1 × 2 0 0 · · ·0 −1 0 −

√2 × 3 0 · · ·

√1 × 2 0 −1 0 −

√3 × 4

. . .0

√2 × 3 0 −1 0

. . .... . . . . . . . . . . . . . . .

⇒ xp− px = i~

1 0 · · ·0 1

. . .... . . . . . .(2.33)

Cette théorie, qui est la première théorie "exa te", 'est-à-dire la première formede la théorie moderne de la mé anique quantique (par opposition à la théorie desquanta) est appelée théorie des matri es. Nous verrons dans le hapitre suivant qu'ily a une autre façon physiquement équivalente mais beau oup plus intuitive de lesreprésenter.2.4 La Quanti� ation CanoniqueCette appro he a donné naissan e à une formulation très générale de la quanti�- ation des systèmes lassiques. L'idée onsiste à étendre la relation[q, p] = i~1l (2.34)à toutes paires de variables anoniquement onjuguées. Cette pro édure s'appellele prin ipe de orrespondan e : on détermine la (ou les) paire(s) de variables ano-niquement onjuguées (qi, ∂L∂qi ≡ pi

) dans la formulation lagrangienne du problème,et on leur asso ie des paires d'opérateurs dont le ommutateur est égal à i~. Cetteappro he est par exemple la base de la quanti� ation du hamp éle tromagnétique.Pour que ette appro he onstitue une théorie omplète, il faut également se doterd'une loi d'évolution temporelle. Ce problème sera abordé ultérieurement dans le ours, mais on peut d'ores et déjà donner le prin ipe de base.

14 La Quanti� ation CanoniqueLa relation [q, p] = i~ est formellement identique à la relation des ro hets dePoisson en mé anique lassique au fa teur i~ près :{q, p} = 1 (2.35)Or, l'évolution temporelle d'une fon tion des variables q et p est régie en mé aniquehamiltonienne par :

df

dt= {f,H} +

∂f

∂t(2.36)Le prin ipe de orrespondan e stipule qu'on obtient l'équivalent quantique de fen remplaçant q et p par des opérateurs. On obtient alors un opérateur hermitique

f . En tant que tel, il peut orrespondre à une quantité observable. Par analogie ave l'équation lassique pour f , son évolution temporelle est régie par l'équation :df

dt=

1

i~

[

f , H]

+∂f

∂t(2.37)où on a rempla é {f,H} par 1

i~

[

f , H] par analogie ave {q, p} = 1 ⇔ 1

i~[q, p] = 1l.2.5 Les Relations d'In ertitude de HeisenbergLes onséquen es physiques de e hangement radi al de point de vue sont onsidé-rables. En parti ulier, il va falloir pré iser e qu'on entend par "valeur observable".Ce problème, auquel on se réfère en général en parlant de l'interprétation de lamé anique quantique, a une solution ommunément (mais pas universellement !) a - eptée, basée sur un autre point de vue, elui de la mé anique ondulatoire, qui seradéveloppé dans le hapitre suivant.Le point de vue de Heisenberg a néanmoins une onséquen e dire te très surpre-nante. En e�et, omme x et p ne ommutent pas, il est impossible de les diagonaliserdans une base ommune. Autrement dit, si |ϕ〉 est un état propre de p, il nepeut pas être simultanément état propre de x.Pour "mesurer" à quel point un état est di�érent d'un état propre d'un opérateur,il est ommode de faire la remarque suivante. Supposons que |ϕ〉 soit un état proprenormalisé de x de valeur propre x ∈ R :

x|ϕ〉 = x|ϕ〉 et x2|ϕ〉 = x2|ϕ〉 ⇒ 〈ϕ|x2|ϕ〉 = 〈ϕ|x|ϕ〉2 (2.38)Ainsi, pour un état propre de x, la quantité∆x ≡

√

〈ϕ|x2|ϕ〉 − 〈ϕ|x|ϕ〉2 (2.39)

2.5 Les Relations d'In ertitude de Heisenberg 15est nulle. Par ontre, elle ne l'est pas si |ϕ〉 n'est pas état propre de x. Considéronspar exemple un état|ϕ〉 = α|ϕ1〉 + β|ϕ2〉 tel que

|α|2 + |β|2 = 1 (Normalisation)x|ϕ1〉 = x1|ϕ1〉x|ϕ2〉 = x2|ϕ2〉 et x1 6= x2 (⇒ 〈ϕ1|ϕ2〉 = 0)

〈ϕ|x|ϕ〉 = 〈αϕ1 + βϕ2|αx1ϕ1 + βx2ϕ2〉 = |α|2 x1 + |β|2 x2

〈ϕ|x2|ϕ〉 = 〈αϕ1 + βϕ2|αx21ϕ1 + βx2

2ϕ2〉 = |α|2 x21 + |β|2 x2

2

⇒ 〈ϕ|x2|ϕ〉 − 〈ϕ|x|ϕ〉2 = |α|2 x21 + |β|2 x2

2 − |α|4 x21 − |β|4 x2

2 − 2 |α|2 |β|2 x1x2(2.40)En multipliant |α|2 x21 + |β|2 x2

2 par |α2| + |β2| (= 1), il vient∆x2 = |α|2 |β|2 x2

1 + |α|2 |β|2 x22 − 2 |α|2 |β|2 x1x2

= |α|2 |β|2 (x1 − x2)2

⇒ ∆x = |α| |β| |x1 − x2|(2.41)Théorème : Pour tout élément normalisé |ϕ〉 de l'espa e de Hilbert, on a :

∆x · ∆p ≥ ~

2(2.42)Démonstration : Considérons un état |ϕ〉 et dé�nissons les opérateurs

x0 = x− 〈ϕ|x|ϕ〉1lp0 = p− 〈ϕ|p|ϕ〉1l (2.43)On a bien sûr [x0, p0] = i~1l. De plus, omme x est hermitique, 〈ϕ|x|ϕ〉 ≡ 〈ϕ|xϕ〉 =

〈xϕ|ϕ〉 = 〈ϕ|xϕ〉∗ ≡ 〈x|ϕ|x〉∗ est réel. x0 est don aussi hermitique. Considéronsdésormais l'état :(x0 + iλp0) |ϕ〉 λ ∈ R (2.44)Sa norme au arré doit être positive (par dé�nition de la norme) :

‖(x0 + iλp0) |ϕ〉‖2 ≥ 0

⇒ 〈ϕ| (x0 − iλp0) (x0 + iλp0) |ϕ〉 ≥ 0

⇒ 〈ϕ|x20|ϕ〉 + λ2〈ϕ|p2

0|ϕ〉 − iλ〈ϕ|p0x0|ϕ〉 + iλ〈ϕ|x0p0|ϕ〉 ≥ 0

⇒ 〈ϕ|x20|ϕ〉 + λ2〈ϕ|p2

0|ϕ〉 + iλ〈ϕ| [x0, p0] |ϕ〉 ≥ 0

⇒ λ2〈ϕ|p20|ϕ〉 − λ~ + 〈ϕ|x2

0|ϕ〉 ≥ 0

(2.45)

16 La Quanti� ation CanoniquePour que e polyn�me de degré 2 soit toujours positif, son dis riminant doit êtrenégatif⇒ ~

2 − 4〈ϕ|p20|ϕ〉〈ϕ|x2

0|ϕ〉 ≤ 0 ⇔ 〈ϕ|p20|ϕ〉〈ϕ|x2

0|ϕ〉 ≥~2

4(2.46)Mais 〈ϕ|x2

0|ϕ〉 = 〈ϕ|(x2 − 2〈ϕ|x|ϕ〉x+ 〈ϕ|x|ϕ〉2

)|ϕ〉

= 〈ϕ|x2|ϕ〉 − 2〈ϕ|x|ϕ〉2 + 〈ϕ|x|ϕ〉2= 〈ϕ|x2|ϕ〉 − 〈ϕ|x|ϕ〉2De même, 〈ϕ|p2

0|ϕ〉 = 〈ϕ|p2|ϕ〉 − 〈ϕ|p|ϕ〉2

⇒ ∆x · ∆p ≥ ~

2

(2.47)Cette relation a été démontrée en utilisant simplement le fait que [x, p] = i~ etque x et p sont hermitiques. Elle s'applique don à toute paire d'opérateursdé rivant des variables onjuguées.Ces relations s'appellent les relations d'in ertitude de Heisenberg. Nous revien-drons sur leur interprétation lorsque nous aurons pré isé e qu'on entend par lamesure d'une observable dans un état. Mais on omprend déjà que l'idée fondatri ede Heisenberg d'abandonner la notion de traje toire est ru iale.

Chapitre 3La Mé anique Ondulatoire3.1 Introdu tionL'un des aspe ts remarquables de la mé anique quantique réside dans le fait quedes théories apparemment sans rapport les unes ave les autres, mais en réalitérigoureusement équivalentes, ont été développées omplètement indépendamment.Ainsi, alors que Bohr, Heisenberg, et d'autres ont onstruit une théorie basée surla quanti� ation des niveaux d'énergie, De Broglie, puis surtout S hrödinger ont onstruit une théorie basée sur la dualité onde-parti ule.Le point de départ de Louis De Broglie est l'hypothèse que tous les phénomènesmi ros opiques sont dé rits par des on epts identiques. Or, l'hypothèse de Plan ket l'expli ation par Einstein de l'e�et photoéle trique suggèrent que le hamp éle -tromagnétique, qui est une onde, a aussi un aspe t orpus ulaire, et qu'une onde defréquen e ν se ompose de parti ules d'énergie E = hν = ~ω et d'impulsion ~p = ~~k,ave E = c |~p|. L'existen e d'une impulsion ~p = ~~k est révélée par l'e�et Comptonlors de la di�usion de la lumière par les éle trons.De Broglie émet don l'hypothèse en 1924 que les parti ules omme l'éle tron se omportent aussi omme des ondes. Ainsi, une parti ule dans l'espa e doit pouvoir, àl'é helle mi ros opique, se dé rire par une fon tion d'onde. Par analogie, en l'absen ede toute intera tion ave d'autres parti ules, ette fon tion doit avoir, omme le hamp éle tromagnétique, la forme d'une onde plane :

ψ (~r, t) ∝ ei(~k·~r−ωt) (3.1)Comment relier les paramètres ~k et ω à l'expérien e ma ros opique que nousavons d'une telle parti ule, selon laquelle le mouvement de la parti ule est régi parson énergie E et son impulsion ~p ?Toujours par analogie, De Broglie suppose que E = ~ω et ~p = ~~k. Mais si les"ondes de matière" sont un on ept pertinent pour des parti ules omme les éle -trons, l'une des prédi tions in ontournables de ette appro he est que les éle trons

18 La Mé anique Ondulatoiredoivent être di�ra tés par des objets de petite taille, et qu'on doit observer des inter-féren es. Cette prédi tion n'a été véri�ée qu'en 1927 dans l'expérien e de di�ra tionpar un ristal de Davisson et Germer, après la formalisation des idées de De Brogliepar S hrödinger.3.2 L'Equation de S hrödingerL'analogie E = ~ω, ~p = ~~k et la relation lassique pour une parti ule libre E = p2

2msuggère que la dérivée par rapport au temps de la fon tion ψ (~r, t) ∝ ei(~k·~r−ωt) doitêtre reliée à la dérivée se onde de ette onde par rapport à la variable d'espa e. Cesremarques ont amené S hrödinger à postuler que la fon tion d'onde d'une parti uledans le vide doit satisfaire l'équation

i~∂ψ

∂t(~r, t) = − ~

2

2m∆ψ (~r, t) (3.2)En e�et,

i~∂ψ

∂t= i~ (−iω)ψ = ~ωψet − ~2

2m∆ψ = − ~2

2m~∇ · i~kψ =

~2k2

2mψ

(3.3)En remplaçant ~ω par E et ~~k par ~p, ette équation est bien ompatible ave larelation lassique E = p2

2m.Cette équation di�érentielle n'est pas la seule qui onduise à ette relation, mais 'est la plus simple pour plusieurs raisons :� Elle est linéaire en fon tion du temps, et la donnée de la fon tion d'onde à uninstant donné su�t pour la onnaître à tout instant ultérieur.� Elle est globalement linéaire, e qui permet de dis uter la di�ra tion en termesde superposition d'ondes.Le véritable tour de for e de S hrödinger a été de généraliser ette équation au asd'une parti ule se déplaçant dans un potentiel V (~r). Par des raisonnements que nousreproduirons plus tard lors de l'étude des liens entre la mé anique quantique et lamé anique lassique, il a démontré que la mé anique lassique était à la mé aniquequantique e que l'optique géométrique est à l'optique ondulatoire si la fon tiond'onde satisfaisait l'équation :

i~∂ψ

∂t(~r, t) = − ~2

2m∆ψ (~r, t) + V (~r)ψ (~r, t) (3.4)Cette équation, onnue sous le nom d'équation de S hrödinger dépendante dutemps, est la base de la théorie la plus utilisée pour dé rire le mouvement des par-ti ules matérielles telles que l'éle tron dans un potentiel extérieur.

3.3 L'Os illateur Harmonique :Equation de S hrödinger 19En général, les solutions ne sont pas des ondes planes. Ce n'est le as que lo a-lement dans des portions de l'espa e où le potentiel est onstant. Par ontre, si lepotentiel est indépendant du temps, on peut her her des solutions de la formeψ (~r, t) = Ψ (~r) e−i

E~t (3.5) ar l'équation di�érentielle est à variables séparables1. De telles solutions s'appellentdes solutions stationnaires : la fon tion d'onde ne hange que par un fa teur de phaseau ours du temps. La partie spatiale de la fon tion d'onde satisfait alors l'équation

− ~2

2m∆Ψ + VΨ = EΨ (3.6)C'est l'équation de S hrödinger indépendante du temps.Le premier grand su ès de S hrödinger a été de démontrer que les solutionsstationnaires de l'atome d'hydrogène et de l'os illateur harmonique n'existaientque pour des valeurs quanti�ées de l'énergie et que es valeurs orrespondaientexa tement aux règles de Bohr-Sommerfeld pour l'atome d'hydrogène et au résultatde Heisenberg pour l'os illateur harmonique. C'est un résultat hautement non trivialdans la mesure où, ontrairement à la démar he de Heisenberg, la théorie n'a pasété onstruite expli itement pour obtenir e résultat. Nous allons maintenant ledémontrer pour l'os illateur harmonique.3.3 L'Os illateur Harmonique :Equation de S hrödingerDans e paragraphe, nous nous proposons don de déterminer les solutions sta-tionnaires de l'os illateur harmonique. D'après e qui pré ède, elles sont solutionsde l'équation :

− ~2

2m

d2ψ

dx2+

1

2mω2x2ψ = Eψ (3.7)Il ne s'agit pas d'une équation linéaire standard ar le oe� ient de ψ dépend de x.1En utilisant l'Ansatz ψ (~r, t) = Ψ (~r) ·χ (t), l'équation 3.5 se réé rit i~∂χ

∂t1

χ = − ~2

2m∆Ψ

Ψ+V = Eoù la dernière égalité vient du fait que les deux membres de l'équation dépendent de variablesdistin tes.

20 La Mé anique OndulatoireSolutionPour simpli�er, on introduit la notation q =√

mω~x, et on pose

ϕ (q) = ψ (x)

dψ

dx=dϕ

dq

dq

dx=

√mω

~

dϕ

dq

d2ψ

dx2=mω

~

d2ϕ

dq2

(3.8)L'équation di�érentielle s'é rit− ~2

2m

mω

~

d2ϕ

dq2+

1

2mω2q2 ~

mωϕ (q) = Eϕ (q)

⇒ − ~ω

2

d2ϕ

dq2+

1

2ω~q2ϕ (q) = Eϕ (q)

⇒ − d2ϕ

dq2+ q2ϕ (q) =

2E

~ωϕ (q)soit d2ϕ

dq2+(λ− q2

)ϕ (q) = 0

(3.9)où on a posé λ = 2E

~ω. Lorsque q → ∞, l'équation di�érentielle est approximativementdonnée par

d2ϕ

dq2≃ q2ϕ (q)

ϕ (q) ∝ e±12q2

(3.10)A e stade, S hrödinger émet l'hypothèse que la solution doit être bornée et queseul le omportement asymptotique e− 12q2 est a eptable. Cher hons don la solutionsous la forme

ϕ (q) = H (q) e−12q2

dϕ

dq=dH

dqe−

12q2 +H (q) (−q) e− 1

2q2

d2ϕ

dq2=d2H

dq2e−

12q2 + 2

dH

dq(−q) e− 1

2q2 −H (q) e−

12q2 + q2H (q) e−

12q2

(3.11)L'équation di�érentielle en H s'é rit don :d2H

dq2− 2q

dH

dq+ (λ− 1)H = 0 (3.12)

3.3 L'Os illateur Harmonique :Equation de S hrödinger 21Cher hons la solution sous la forme d'un développement en série :H (q) =

+∞∑

j=0

ajqj (3.13)Il vient :

dH

dq=

+∞∑

j=1

ajjqj−1 =

+∞∑

j=0

aj+1 (j + 1) qj

d2H

dq2=

+∞∑

j=1

aj+1 (j + 1) jqj−1 =

+∞∑

j=0

aj+2 (j + 2) (j + 1) qj

qdH

dq=

+∞∑

j=1

ajjqj =

+∞∑

j=0

ajjqj

⇒+∞∑

j=0

[aj+2 (j + 2) (j + 1) − 2ajj + (λ− 1) aj ] qj = 0

⇒ aj+2 = aj2j + (1 − λ)

(j + 2) (j + 1)

(3.14)Supposons 2j + 1 − λ 6= 0 ∀j, et étudions le omportement asymptotique des solu-tions. Comme V (q) ∝ q2 est pair, on peut her her des solutions paires ou impaires.Solutions paires :

H (q) =∑

j

a2j q2jMais a2j = a2j−2

4j − 3 − λ

2j (2j − 1)∝ a2j

jpour j grand

⇒ a2j ≃1

j!

⇒∑

j

a2j q2j ≃ eq

2

⇒ ϕ (q) ∝ e12q2

(3.15)D'après l'hypothèse selon laquelle les solutions doivent être bornées, ette solutiondoit être rejetée.

22 La Mé anique OndulatoireSolutions impaires :H (q) =

∑

j

a2j+1 q2j+1

a2j+1 = a2(j−1)+14j − 2 + 1 − λ

(2j + 1) (2j)∝ a2j−1

jpour j impair

⇒ a2j+1 ≃1

j!

⇒∑

j

a2j+1 q2j+1 ≃ qeq

2

⇒ ϕ (q) ∝ qe12q2

(3.16)Cette solution doit aussi être rejetée.Con lusion : il doit exister un entier n tel que 2n + 1 − λ = 0, soit

λ = 2n+ 1 (3.17)Dans e as, la relation de ré urren e sur les oe� ients s'é rit :aj+2 = aj

2 (j − n)

(j + 1) (j + 2)(3.18)Solutions paires : n pair, aj = 0 si j impair et an+2 = an+4 = . . . = 0Solutions impaires : n impair, aj = 0 si j pair et an+2 = an+4 = . . . = 0Les solutions H (q) sont don des polyn�mes.Ré apitulationLes énergies propres sont �xées par la ondition λ = 2n + 1, n = 0, 1, . . .

⇒ E =

(

n+1

2

)

~ω (3.19)Les fon tions propres asso iées sont des fon tions du type H (q) e−12q2 ave

Hn (q) =

{

a0 + a2q2 + · · ·+ anq

n si n paira1q + a3q

3 + · · ·+ anqn si n impairave aj+2 = aj

2 (j − n)

(j + 1) (j + 2)

(3.20)

3.4 Lien ave la Quanti� ation Canonique : 23Les polyn�mes Hn (q) sont appelés polyn�mes de Hermite.On retrouve don exa tement les mêmes énergies que elles obtenues par Heisen-berg, y ompris la onstante ~ω2!Le fondamental du problème original a don pour fon tion d'ondeϕ0 (x) ∝ e−

mω2~x2 (3.21)Cette fon tion est non dégénérée, de même que les états ex ités : pour n donné, onpeut onstruire un et un seul polyn�me de Hermite.3.4 Lien ave la Quanti� ation Canonique :NB : Il sera utile de lire d'abord l'appendi e A.2.Commençons par le as de l'équation de S hrödinger à une dimension. Si l'on serestreint aux fon tions d'onde de arré sommable, on peut onsidérer les fon tionsd'onde omme les éléments d'un espa e de Hilbert (voir annexe A). Dans et espa e,dé�nissons les opérateurs :

x : ϕ (x, t) 7−→ xϕ (x, t)

p : ϕ (x, t) 7−→ −i~∂ϕ∂x

(x, t)(3.22)S hrödinger a fait les remarques suivantes :1. [x, p] = i~Démonstration :

[x, p]ϕ = xpϕ− pxϕ

= x (−i~)∂ϕ

∂x− (−i~)

∂

∂x(xϕ)

= −i~x∂ϕ∂x

+ i~

(

x∂ϕ

∂x+ ϕ

)

= i~ϕ

(3.23)2. x est hermitique.Démonstration :〈ϕ|x†|ψ〉 = (〈ψ|x|ϕ〉)∗

=

(∫ +∞

−∞ψ∗ (x) xϕ (x) dx

)∗

=

∫ +∞

−∞ψ (x) xϕ∗ (x) dx

= 〈ϕ|x|ψ〉

(3.24)

24 La Mé anique Ondulatoire3. p est hermitique.Démonstration :〈ϕ|p†|ψ〉 =

(

−i~∫ +∞

−∞ψ∗ (x)

∂ϕ

∂xdx

)∗

= i~

∫ +∞

−∞ψ (x)

∂ϕ∗

∂xdx

= −i~∫ +∞

−∞

∂ψ

∂xϕ∗dx+ i~

[ψ (x)ϕ∗ (x)

]+∞−∞

︸︷︷︸

=0

= 〈ϕ|p|ψ〉

(3.25)en intégrant par parties et en tenant ompte du fait que des fon tions de arrésommable s'annulent à l'in�ni.4. L'équation de S hrödinger indépendante du temps s'é rit :

Hϕ = Eϕave H =p2

2m+ V (x)

(3.26)Démonstration :p2

2mϕ =

1

2m(−i~)2 d

2ϕ

dx2= − ~2

2m

d2ϕ

dx2

V (x)ϕ = V (x)ϕ(3.27)Con lusion : on trouve la même solution par e que l'on résout le même problèmedans un autre langage.La généralisation à trois dimensions se fait en dé�nissant les opérateurs

xi : ϕ (~r, t) 7−→ xiϕ (~r, t)

pi : ϕ (~r, t) 7−→ −i~ ∂ϕ∂xi

(~r, t)ave ~r = (x1, x2, x3)

(3.28)Ils satisfont les règles de ommutation[xi, xj ] = [pi, pj] = 0

[xi, pj] = i~δij1l (3.29)Ave es opérateurs, l'équation de S hrödinger indépendante du temps en troisdimensions s'é rit :(

3∑

i=1

p2i

2m+ V (x1, x2, x3)

)

ϕ (~r) = Eϕ (~r) (3.30)C'est bien la même forme qu'ave les règles de la quanti� ation anonique.

3.4 Lien ave la Quanti� ation Canonique : 25Evolution temporelle :Dans le adre de la quanti� ation anonique, e sont les opérateurs qui évo-luent. Pour un opérateur ne dépendant pas expli itement du temps, l'évolution estrégie pardA

dt=

1

i~[A,H ] (3.31)C'est le point de vue de Heisenberg.Dans le adre de la mé anique ondulatoire, e sont les ve teurs qui évoluent :

i~∂ψ

∂t(~r, t) = Hψ (~r, t) (3.32)C'est le point de vue de S hrödinger.Ces deux points de vue apparemment très di�érents onduisent en fait à la mêmeévolution temporelle pour les valeurs moyennes. Considérons en e�et un systèmedé rit par une fon tion d'onde ψ (~r) à l'instant initial, et déterminons l'évolutiontemporelle de

〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉 (3.33)d'après les deux points de vue.Selon Heisenberg, on a :d〈A〉dt

= 〈ψ|dAdt

|ψ〉

= 〈ψ| 1

i~[A,H ] |ψ〉

= 〈ψ| 1

i~AH|ψ〉 − 〈ψ| 1

i~HA|ψ〉

= 〈ψ|A|Hi~ψ〉 + 〈H

i~ψ|A|ψ〉

(3.34)D'après S hrödinger, on a :

d〈A〉dt

= 〈∂ψ∂t

|A|ψ〉 + 〈ψ|A|∂ψ∂t

〉 = 〈Hi~ψ|A|ψ〉 + 〈ψ|A|H

i~ψ〉 (3.35)Les deux points de vue sont don équivalents si l'on se ontente de onsidérer lesvaleurs moyennes d'opérateurs. Comme nous le verrons par la suite, e sont bienles valeurs moyennes d'observables qui ontiennent l'information physique.Remarque : l'existen e de deux formalismes peut sembler super�ue dans la mesureoù ils sont équivalents. En réalité, les deux appro hes sont souvent omplémentaires.Reprenons l'exemple de l'os illateur harmonique. Dans le adre du formalisme dela quanti� ation anonique, l'existen e d'un fondamental unique est une hypothèse,

26 La Mé anique Ondulatoirealors que dans le adre de l'équation de S hrödinger, 'est un résultat. Mais l'ap-pro he de S hrödinger est omplétée de façon très utile par le formalisme algébrique.Essayons en e�et de onstruire des états propres de norme 1. Pour le fondamental, 'est assez simple. Nous savons en e�et qu'il est de la formeϕ0 (x) ∝ e−

mω2~x2 (3.36)Mais2,

∫ +∞

−∞e−

12Ax2

dx =

√

2π

A(3.37)Ainsi,

∫ +∞

−∞

(

e−mω2~x2)2

=

√

2π~

2mω=

√

π~

mω

⇒ ϕ0 (x) =(mω

π~

) 14e−

mω2~x2

(3.38)Pour les états ex ités, 'est a priori assez ompliqué. Il faut onstruire le polyn�mede Hermite orrespondant, puis al uler le produit s alaire pour déterminer la norme, e qui implique plusieurs intégrales. Le formalisme anonique o�re une appro hebeau oup plus simple. A partir de |ϕ0〉, on obtient un état normalisé en appliquantsimplement (a†)

n

√n!

|ϕ0〉. Or,a† =

√mω

2~x− i

1√2mω~

p =

√mω

2~x+

√

~

2mω

∂

∂x(3.39)L'appli ation su essive de et opérateur onduit dire tement aux états propresnormalisés après division par √n!.3.5 Interprétation de la Fon tion d'OndeC'est l'analyse minutieuse des expérien es de di�ra tion qui a onduit à la formu-lation ouramment a eptée de l'interprétation de la fon tion d'onde et au-delà, dela mé anique quantique.La prédi tion de De Broglie a don été véri�ée : les éle trons sont di�ra tés parun ristal, exa tement omme des ondes éle tromagnétiques (rayons X). Sans ren-trer dans les détails, si on envoie un fais eau d'éle trons sur un ristal, on observe2Voir annexe B sur les intégrales gaussiennes.

3.5 Interprétation de la Fon tion d'Onde 27des intensités di�érentes suivant les dire tions d'observation, exa tement omme enoptique3.La première observation, 'est que la répartition de l'intensité orrespond à eque l'équation de S hrödinger prédit pour |ψ (~r)|2 si l'on résout ette équation enprésen e des potentiels réés par les atomes, et qu'on al ule |ψ (~r)|2 pour les points~r situés sur l'é ran où l'on olle te les éle trons. Ce al ul n'est pas simple et serafait plus tard dans le ours. Pour l'instant, il nous su�t de savoir que l'intensité estproportionnelle à |ψ (~r)|2.On pourrait être tenté d'en déduire qu'un éle tron est don une onde, 'est-à-direqu'il a une extension spatiale, et qu'il est di�ra té par le ristal. Autrement dit, onpourrait penser qu'un seul éle tron su�t à produire une image de di�ra tion.Cette on lusion est ontraire à l'expérien e. Pour autant qu'on puisse le dire,un seul éle tron produit un impa t pon tuel sur l'é ran.Mais alors, d'où vient la �gure d'interféren es ? Elle apparaît lorsqu'on envoie leséle trons les uns après les autres (voir la �gure 3.1) omme une répartition statistiquedes impa ts qui, lorsqu'un grand nombre d'éle trons est passé, produit une �gured'interféren e en a ord ave |ψ (~r)|2. Cette observation est d'autant plus urieuseFig. 3.1 � Exemple de formation d'une �gure d'interféren es par des éle trons.que ela reste vrai même si l'on s'e�or e au maximum de préparer les éle tronsexa tement de la même façon. En mé anique lassique, si l'on onnaît exa tementla position et la vitesse d'une parti ule, on peut prédire ave ertitude où elle vaaller. En mé anique quantique, e n'est pas le as. Si on onnaît la fon tion d'ondeave pré ision, on peut prévoir ave ertitude son évolution, mais ette onnaissan eparfaite de la fon tion d'onde ne permet pas de prévoir où se trouve la parti ule :lorsqu'on la déte te, on peut la trouver à plusieurs endroits.La seule interprétation "simple" de e phénomène onsiste à adopter un pointde vue probabiliste : si une parti ule est dé rite par une fon tion d'onde ψ (~r),3La première expérien e véri�ant la di�ra tion des éle trons est due à Davisson et Germer(1927). Un fais eau d'éle trons est envoyé sur un mono ristal de Ni kel. On observe que les dire -tions privilégiées dans lesquelles on reçoit des éle trons sont elles qui satisfont à la ondition deBragg : nλ = 2d sin θ où λ est la longueur d'onde du rayonnement in ident, d la distan e séparantdeux plans d'atomes de Ni kel et θ l'angle d'in iden e du rayonnement par rapport à es plans.

28 La Mé anique Ondulatoirela probabilité de la trouver au point ~r est égale à |ψ (~r)|2. Plus pré isément, laprobabilité de la trouver dans un élément de volume d~r autour de ~r est |ψ (~r)|2 d~r.Cette interprétation, qui suppose l'abandon d'une ertaine forme de déterminisme,n'a pas été a eptée fa ilement. Des her heurs aussi éminents qu'Einstein n'y ontjamais ru. Mais ses prédi tions n'ont à e jour jamais été mises en défaut.Pour que ette interprétation ait un sens, il faut que |ψ (~r)|2 puisse être onsidérée omme une probabilité, et don qu'elle satisfasse ertaines propriétés :� La probabilité de trouver la parti ule n'importe où dans l'espa e doit être égaleà 1. ∫

R3

|ψ (~r)|2 d~r = 1 (3.40)� Elle doit être onservée au ours du temps, e qui suppose que l'on puisse é rirel'équation de ontinuité∂ |ψ (~r)|2

∂t+ div~j = 0 (3.41)pour un hamp ve toriel ~j à déterminer.La première propriété est une hypothèse qu'il faut rajouter à l'équation de S hrö-dinger. C'est pour la satisfaire qu'on travaille ave des fon tions d'onde de arrésommable lorsqu'on veut dé rire une parti ule. On peut remarquer que 'est ette ondition qui a onduit au spe tre de l'os illateur harmonique. En e�et, les fon tionsqui se omporte omme eαx2

(α > 0) pour x grand ne sont pas de arré sommable.La deuxième propriété est une onséquen e de l'équation de S hrödinger. En e�et,i~∂ψ

∂t= − ~2

2m∆ψ + V ψ

−i~∂ψ∗

∂t= − ~2

2m∆ψ∗ + V ψ∗

(3.42)Multiplions la première équation par ψ∗, la deuxième par ψ, et faisons la di�éren e.Il vienti~

(

ψ∗∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ∗

∂t

)

= − ~2

2mψ∗∆ψ + V |ψ|2 +

~2

2mψ∆ψ∗ − V |ψ|2

⇒ i~∂ |ψ|2∂t

=~

2

2m(ψ∆ψ∗ − ψ∗∆ψ)

⇒ i~∂ |ψ|2∂t

+~2

2m~∇(

ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗)

= 0

⇒ ∂ |ψ|2∂t

+ ~∇ ·~j = 0ave ~j =~

2mi

(

ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗)

(3.43)où ~j est souvent appelé densité de ourant de probabilité4.4On remarque que ~j peut se réé rire ~j = ℜe

(

ψ∗ ~

im~∇ψ). En identi�ant ~

im~∇ = ~p

m , ~j orrespond

3.6 Éléments de Théorie de la Mesure 293.6 Éléments de Théorie de la MesureCette interprétation se base sur la fon tion d'onde. Comment la transposer à laformulation en termes d'espa e de Hilbert et d'opérateurs ?La remarque fondamentale repose sur le résultat suivant. Si l'on appelle |ψ〉 leve teur que représente la fon tion d'onde ψ (x) d'une parti ule se déplaçant à unedimension, et si l'on appelle |x0〉 le ve teur propre de l'opérateur x de valeur proprex0, alors

ψ (x0) = 〈x0|ψ〉 (3.44)Nous donnerons ultérieurement une démonstration rigoureuse de e résultat, ainsique de sa généralisation à 3 dimensions. Pour l'instant, nous nous ontenterons desremarques suivantes.L'opérateur x : ϕ 7−→ xϕ a don des ve teurs propres dé�nis parxϕx0 = x0ϕx0soit xϕx0 = x0ϕx0

⇒ ϕx0 = 0 si x 6= x0

(3.45)Mais une fon tion qui est nulle partout sauf en un point n'est pas satisfaisante :son intégrale ave n'importe quelle fon tion est nulle.Pour remédier à e problème, on peut introduire ϕx0 (x) = lima→0 ϕ(a)x0 (x) ave

ϕ(a)x0

=

{

0 si x /∈ [x0 − a2, x0 + a

2

]

1a

si x ∈[x0 − a

2, x0 + a

2

]

∫ +∞

−∞ϕ(a)x0dx = 1 (∀a) , et lim

a→0ϕ(a)x0

(x) = 0 si x 6= x0.

(3.46)La limite de es fon tions n'est pas elle-même une fon tion. On l'appelle δ (x− x0).Pour les mathémati iens, 'est une distribution. Pour les physi iens, une "fon tionδ de Dira " ar 'est lui qui introduisit pour la première fois de tels objets.En réalité, que e ne soit pas une fon tion n'a pas d'importan e. La seule hosequi ompte, 'est qu'elle permette de dé�nir un produit s alaire, 'est-à-dire uneintégrale. Or, on véri�e simplement que 'est le as :

∫ +∞

−∞δ (x− x0) f (x) dx = f (x0) (3.47)En e�et,

∫ +∞

−∞ϕ(a)x0f (x) dx =

1

a

∫ x0+a2

x0− a2

f (x) dx (3.48)bien au produit de la vitesse par la densité (de probabilité), omme par exemple en éle tromagné-tisme où la densité de ourant éle trique s'é rit ~j = ρ~v ave ρ la densité de harges et ~v la vitessede es harges.

30 La Mé anique OndulatoireFaisons un développement de Taylor de f(x) autour de x0 :f(x) = f(x0) + (x− x0)f

′(x0) + . . .

⇒ 1

a

∫ x0+ a2

x0− a2

f (x) dx = f(x0) +O(a)

⇒ lima→0

∫ +∞

−∞ϕ(a)x0f (x) dx = f(x0)

(3.49)Revenons à l'interprétation de la fon tion d'onde. Traduite en terme d'opérateur,elle signi�e que la probabilité de mesurer la valeur propre x de l'opérateur x estégale à |〈x|ψ〉|2, où |x〉 est le ve teur propre de x asso ié à x. En e�et, on a bien

〈x0|ψ〉 =∫ +∞−∞ δ (x− x0)ψ (x) dx = ψ (x0).Cette propriété a été logiquement étendue à toutes les observables : si l'on mesureune quantité physique orrespondant à une observable A, on ne peut trouver qu'unevaleur propre de A, et la probabilité de trouver ette valeur propre est égale à

|〈ϕa|ψ〉|2, où |ϕa〉 est le ve teur propre asso ié à la valeur propre a.En�n, lorsqu'on a déte té la parti ule en x0, on est sûr qu'elle est en x0, don dé rite par la fon tion d'onde δ (x− x0), ou de manière équivalente par le ve teur|x0〉. Cette propriété a été également étendue aux autres observables : après la mesured'une observable A, si l'on a déte té la valeur propre a, le système est dans l'étatasso ié |ϕa〉.

Chapitre 4Formulation Générale de laMé anique Quantique4.1 Introdu tionL'équivalen e entre la théorie des matri es de Heisenberg et la mé anique on-dulatoire de S hrödinger a onduit Dira à proposer une formulation générale de lamé anique quantique qui ne repose pas expli itement sur telle ou telle représentationde l'espa e de Hilbert et des observables. Cette formulation repose sur un ertainnombre de postulats. Alors que le ontenu des postulats est essentiellement le mêmepour tous les auteurs, le dé oupage varie d'un auteur à l'autre. Dans e qui suit,nous adoptons une formulation basée sur quatre postulats. Ils sont la généralisationnaturelle des notions ren ontrées pré édemment pour le mouvement d'une parti ule,mais ils s'appliquent à tous les autres degrés de liberté, omme le spin. Bien que espostulats soient à peu près universellement a eptés omme point de départ, il fautnéanmoins noter qu'il existe d'autres hypothèses onduisant à la même théorie. Enparti ulier, il existe une autre formulation en termes d'intégrales de hemin due àFeynman (1948) qui est au départ omplètement di�érente. Elle permet néanmoinsde retrouver l'équation de S hrödinger, et si elle est manifestement peu adaptée auxproblèmes d'états liés, elle donne un é lairage très intéressant sur les interféren es etsur la limite lassique de la mé anique quantique. Elle onstitue par ailleurs l'outille plus adapté pour la quanti� ation des hamps relativistes.4.2 Les PostulatsPostulat 1L'état d'un système est dé�ni par un ve teur dans un espa e de Hilbert appeléve teur d'état.

32 Formulation Générale de la Mé anique QuantiqueCommentaire : Ce premier postulat implique en parti ulier que toute ombinaisonlinéaire d'états est un état possible. Cette propriété est parfois appelée "prin ipe desuperposition".Postulat 2Toute grandeur physique est représentée par un opérateur hermitique dans l'es-pa e de Hilbert appelé observable.Commentaire : L'hermiti ité garantit que les valeurs propres sont réelles.Postulat 3a) La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable A ne peutfournir que l'une des valeurs propres de A.b) La probabilité de trouver la valeur propre am asso iée au ve teur propre |ϕm〉de A est donné par|〈ϕm|ψ〉|2 (4.1)où |ψ〉 est le ve teur d'état supposé normalisé du système. ) Si la mesure de l'observable A donne la valeur propre am asso ié au ve teurpropre |ϕm〉, le système est dans l'état |ϕm〉 après la mesure.Commentaires :1. Si la valeur propre am est dégénérée et si l'on note |ϕ(1)

m 〉, . . . , |ϕ(r)m 〉 les ve teurspropres asso iés, la probabilité de trouver am est donnée par

r∑

i=1

∣∣〈ϕ(i)

m |ψ〉∣∣2 (4.2)et juste après la mesure, le système est dans l'état 1

N

∑ri=1〈ϕ

(i)m |ψ〉|ϕ(i)

m 〉 ave N =

(∑r

i=1

∣∣∣〈ϕ(i)

m |ψ〉∣∣∣

2) 1

2 pour que l'état soit normalisé.2. Ce postulat est de loin le plus problématique. En parti ulier, la notion de me-sure suppose impli itement qu'on fait référen e à un objet lassique. Maisla mé anique quantique ontient en prin ipe la mé anique lassique omme as limite quand ~ → 0, et tous les objets sont essentiellement quantiques.L'impossibilité de poser les postulats de la mé anique quantique sans faire ré-féren e à des objets (appelés appareils de mesure) qui ne le sont pas n'est pastout à fait satisfaisante, et de nombreuses tentatives ont été faites pour remé-dier à e problème. La di� ulté essentielle est de rendre ompte de l'évolution

4.2 Les Postulats 33brutale du ve teur d'état (appelée rédu tion du paquet d'onde) sur la base del'évolution unitaire ontenue dans le 4e postulat. L'idée la plus naturelle estde dé rire l'ensemble du système et de l'appareil de mesure omme un objetquantique. Dans e ontexte, la rédu tion du paquet d'onde apparaît ommeune évolution extrêmement rapide due à une perte de ohéren e du système(dé ohéren e) du fait de son intera tion ave l'environnement. Des questionsrestent néanmoins en suspens, et e point de vue ne fait pas l'unanimité.Postulat 4L'évolution dans le temps du ve teur d'état est régie par l'équation de S hrö-dingeri~d

dt|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉 (4.3)où H est l'observable asso iée à l'énergie.Commentaire : C'est le point de vue de S hrödinger. On peut de façon équivalentefaire évoluer les opérateurs. Nous y reviendrons par la suite.Commentaire généralCes postulats s'appliquent à tous les degrés de liberté, même eux qui, omme lespin, n'ont pas d'équivalent lassique (voir Chapitre 7). Pour les mettre en oeuvre,il faut dé�nir l'espa e de Hilbert, l'hamiltonien et les observables. Dans le as dumouvement d'une parti ule à une dimension, ela se fait en introduisant

L(2) (R) =

{

ϕ(x) : R → C tels que ∫ +∞

−∞|ϕ(x)|2 dx < +∞

}

x : ϕ(x) 7−→ xϕ(x)

p : ϕ(x) 7−→ −i~∂ϕ∂x

H = HClassique (x = x, p = p)

(4.4)En�n, pour bien omprendre les di�éren es entre mé anique lassique et mé aniquequantique, il est instru tif de omparer leurs postulats (voir le tableau 4.1).

34 Formulation Générale de la Mé anique QuantiqueComparaison Mé anique Classique/QuantiqueMé anique Classique Mé anique QuantiqueL'état d'un système est dé�ni par deuxfon tions x(t) et p(t). L'état d'un système est dé�ni par unve teur |ϕ(t)〉 d'un espa e de Hilbert.Les variables dynamiques sont des fon -tions de x(t) et p(t) : A (x(t), p(t)). Les quantités physiques sont des opé-rateurs hermitiques A qui ont la mêmeexpression en x et p que dans le as lassique, mais x et p sont eux-mêmesdes opérateurs qui véri�ent [x, p] = i~Si le système est dans l'état dé�ni parx et p, la mesure de la variable dyna-miqueA donne le résultatA (x(t), p(t)),et l'état du système reste in hangé. On ne peut mesurer que les valeurspropres de A. La probabilité de trou-ver a est |〈ϕa|ψ〉|2 si A|ϕa〉 = a|ϕa〉.Le système est dans l'état |ϕa〉 après lamesure.L'évolution est dé rite par les équationsde Hamilton :

x =∂H

∂p

p = −∂H∂x

L'évolution est dé rite par l'équation deS hrödingeri~d

dt|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉où H est l'opérateur asso ié à

H (x(t), p(t)).Tab. 4.1 � Comparaison des postulats de la mé anique quantique ave leurs équi-valents lassiques.

4.3 Valeur Moyenne et Relation d'In ertitude 354.3 Valeur Moyenne et Relation d'In ertitudeNB : Il sera utile de lire d'abord la �n de l'appendi e A.3.Lorsqu'on mesure une observable A dans un état |ψ〉, la probabilité de trouverune valeur propre am asso iée au ve teur propre |ϕm〉 est pm = |〈ϕm|ψ〉|2.Supposons que l'on fasse plusieurs mesures sur un système qu'on a préparé dansle même état |ψ〉. Les mesures su essives dé�nissent une distribution de valeurs ara térisée par les grandeurs habituelles :1. Valeur moyenne : a =∑

i piai2. Varian e : σ2 =∑

i pi (ai − a)23. É art type : σ =√σ2 =

√∑

i pi (ai − a)2Traduisons es ara téristiques de la distribution dans le langage de la mé aniquequantique :1.a =

∑

m

pmam =∑

m

am |〈ϕm|ψ〉|2 =∑

m

am〈ϕm|ψ〉〈ψ|ϕm〉Mais A =∑

m

am|ϕm〉〈ϕm|

⇒ a = 〈ψ|A|ψ〉

(4.5)〈ψ|A|ψ〉 est don la valeur moyenne que l'on trouve lors de la mesure répétéede l'observable A dans l'état |ψ〉.2. La varian e peut se réé rire :

σ2 =∑

i

pi(a2i − 2aia+ a2

)

=∑

i

pia2i − 2a

∑

i

piai + a2∑

i

pi

=∑

i

pia2i − 2a2 + a2

=∑

i

pia2i −

(∑

i

piai

)2

(4.6)Or,∑

m

pma2m =

∑

m

a2m〈ϕm|ψ〉〈ψ|ϕm〉Mais A|ϕm〉 = am|ϕm〉

⇒ A2|ϕm〉 = amA|ϕm〉 = a2m|ϕm〉

(4.7)

36 Formulation Générale de la Mé anique QuantiqueLes valeurs propres de A2 sont les arrés des valeurs propres de A, et lesve teurs propres sont les mêmes. Du oup,A2 =

∑

m

a2m|ϕm〉〈ϕm|et σ2 = 〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2

(4.8)3. On en déduit que l'é art type est donné par : σ =

√

〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2En mé anique quantique, et é art type est noté∆A|ψ〉 =

√

〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2 (4.9)D'après le 3e postulat, si l'on a trouvé am (supposée non dégénérée) lors de lamesure de A, le système est dans l'état |ϕm〉 après la mesure, et une deuxièmemesure donnera am ave une probabilité égale à 1. Cette ertitude se traduit par lefait que∆A|ϕm〉 = 0 (4.10) e que l'on peut aisément véri�er :

〈ϕm|A2|ϕm〉 = a2m〈ϕm|ϕm〉 = a2

m = 〈ϕm|A|ϕm〉2 (4.11)Considérons maintenant deux observables A et B. Si elles ommutent, on peut lesdiagonaliser dans une base ommune. On peut don préparer le système dans unétat propre ommun et trouver ave ertitude une valeur propre de A lors de lamesure de A et une valeur propre de B lors de la mesure de B.Mais si A et B ne ommutent pas, on ne peut pas trouver de base ommune, et ilest en général impossible de préparer le système dans des états ave une pré isionarbitrairement grande sur la prédi tion de A et B. Cette impossibilité se traduit parla relation d'in ertitude généralisée :∆A|ψ〉∆B|ψ〉 ≥

1

2

∣∣∣〈ψ|

[

A, B]

|ψ〉∣∣∣ (4.12)Démonstration : On remarque d'abord que ∀A, B hermitiques 〈ψ|

[

A, B]

|ψ〉 estimaginaire pur. En e�et,[

A, B]†

=(

AB − BA)†

= B†A† − A†B† = BA− AB = −[

A, B]

⇒ 〈ψ|[

A, B]†|ψ〉 = 〈ψ|

[

A, B]

|ψ〉∗ = −〈ψ|[

A, B]

|ψ〉(4.13)

4.4 Evolution temporelle : S hrödinger, Heisenberg et Ehrenfest 37On dé�nit les opérateurs hermitiquesA0 = A− 〈ψ|A|ψ〉1lB0 = B − 〈ψ|B|ψ〉1l (4.14)qui satisfont

〈ψ|A20|ψ〉 = 〈ψ|A2|ψ〉 − 2〈ψ|A|ψ〉〈ψ|A|ψ〉 + 〈ψ|A|ψ〉2 = ∆A2

|ψ〉[

A0, B0

]

=[

A, B]

A†0 = A0

(4.15)et on onsidèref(λ) =

∥∥∥

(

A0 − iλB0

)

|ϕ〉∥∥∥

2

≥ 0 (∀λ)Mais f(λ) = 〈ψ|(

A0 + iλB0

)(

A0 − iλB0

)

|ψ〉soit f(λ) = 〈ψ|A20|ψ〉 + λ2〈ψ|B2

0 |ψ〉 − iλ〈ψ|A0B0|ψ〉 + iλ〈ψ|B0A0|ψ〉= 〈ψ|A2

0|ψ〉 + λ2〈ψ|B20 |ψ〉 + λ

(

−i〈ψ|[

A0, B0

]

|ψ〉)

︸︷︷︸

∈R

(4.16)Pour que e polyn�me du se ond degré soit positif ∀λ, il faut qu'il n'ait pas de ra ineréelle (parabole au-dessus de l'axe λ), don que son dis riminant soit négatif :

∆ =(

−i〈ψ|[

A0, B0

]

|ψ〉)2

− 4〈ψ|A20|ψ〉〈ψ|B2

0|ψ〉 ≤ 0

⇒(

〈ψ|A2|ψ〉 − 〈ψ|A|ψ〉2)(

〈ψ|B2|ψ〉 − 〈ψ|B|ψ〉2)

≥ 1

4

∣∣∣〈ψ|

[

A, B]

|ψ〉∣∣∣

2

⇒ ∆A|ψ〉∆B|ψ〉 ≥1

2

∣∣∣〈ψ|

[

A, B]

|ψ〉∣∣∣

(4.17)Il est don impossible de mesurer simultanément est ave une pré ision arbitrairedeux observables qui ne ommutent pas.4.4 Evolution temporelle : S hrödinger, Heisenberget EhrenfestNB : Il sera utile de lire d'abord l'appendi e A.4.Nous avons déjà vu que l'évolution temporelle d'une valeur moyenne à partir d'uninstant de référen e t = 0 pouvait indi�éremment être dé rite par l'équation deS hrödinger, d'après laquelle les états évoluent selon :i~d

dt|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉 (4.18)

38 Formulation Générale de la Mé anique Quantiqueoù par une équation d'évolution pour les opérateurs analogue à l'évolution temporelledes variables dynamiques en mé anique lassique :dAHdt

=1

i~

[

AH , HH

]

+

(

∂A

∂t

)

H

(4.19)Cette équivalen e s'étend au pro essus de mesure lui-même tel qu'il est dé rit par lepostulat 3. Pour le voir, ommençons par introduire un on ept très utile, l'opérateurd'évolution.L'Opérateur d'EvolutionL'équation de S hrödinger est une équation di�érentielle du premier ordre parrapport au temps. Du oup, si on onnaît l'état du système à un instant donné, parexemple t = t0, on le onnaît à tout instant. Ce i permet d'introduire un opérateurdé rivant l'évolution du système au ours du temps.Dé�nition : L'opérateur d'évolution est dé�ni par|ψ(t)〉 = U(t, t′)|ψ(t′)〉 (4.20)Propriétés :1. Il satisfait l'équation di�érentiellei~∂

∂tU(t, t′) = H(t)U(t, t′) (4.21)Démonstration : D'après l'équation de S hrödinger, on a :

i~d

dt|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉

⇒ i~∂

∂t

(

U(t, t′)|ψ(t′)〉)

= H(t)U(t, t′)|ψ(t′)〉

⇒ i~∂

∂t

(

U(t, t′))

|ψ(t′)〉 = H(t)U(t, t′)|ψ(t′)〉

(4.22)Mais ette équation est vraie quel que soit |ψ(t′)〉. Les deux opérateurs sontdon égaux.2. U(t, t′) est inversible.Démonstration : On a en e�etU(t, t′)U(t′, t)|ψ(t)〉 = U(t, t′)|ψ(t′)〉 = |ψ(t)〉 (4.23)De même, on a :U(t′, t)U(t, t′)|ψ(t′)〉 = U(t′, t)|ψ(t)〉 = |ψ(t′)〉 (4.24)On en déduit que :

U(t′, t) = U(t, t′)−1 (4.25)

4.4 Evolution temporelle : S hrödinger, Heisenberg et Ehrenfest 393. U(t, t′) est unitaire.Démonstration : Considérons le produit U †(t, t′)U(t, t′) :∂

∂t

(

U †(t, t′)U(t, t′))

=∂U †(t, t′)

∂tU(t, t′) + U †(t, t′)

∂U (t, t′)

∂tOr, ∂U(t, t′)

∂t=

1

i~H(t)U(t, t′)

⇒ ∂U †(t, t′)

∂t= − 1

i~U †(t, t′)H(t)

(4.26)Ainsi, on a :i~∂

∂t

(

U †(t, t′)U(t, t′))

= −U †(t, t′)H(t)U(t, t′) + U †(t, t′)H(t)U(t, t′) = 0(4.27)Mais U(t, t) = 1l = U †(t, t) par dé�nition. Ainsi,U †(t, t)U(t, t) = 1l

∂

∂t

(

U †(t, t′)U(t, t′))

= 0

⇒ U †(t, t′)U(t, t′) = 1l ∀t, t′ (4.28)Comme l'opérateur d'évolution est inversible, on en déduit qu'il est unitaire. Il estnéanmoins instru tif de démontrer dire tement que l'on a également

U(t, t′)U †(t, t′) = 1l ∀t, t′ (4.29)Pour ela, revenons à la dé�nition de l'opérateur d'évolution :|ψ(t)〉 = U(t, t′)|ψ(t′)〉 (4.30)et dérivons ette équation par rapport à t′. Il vient :

∂U (t, t′)

∂t′|ψ(t′)〉 + U(t, t′)

d|ψ(t′)〉dt′

= 0

⇒ i~∂U (t, t′)

∂t′|ψ(t′)〉 = −U(t, t′)H(t′)|ψ(t′)〉 (4.31)On en déduit que les dérivées par rapport à t′ de U(t, t′) et U †(t, t′) sont donnéespar :

i~∂U(t, t′)

∂t′= −U (t, t′)H(t′)

i~∂U †(t, t′)

∂t′= H(t′)U †(t, t′) (4.32)Du oup, il vient :

i~∂

∂t′

(

U(t, t′)U †(t, t′))

= −U(t, t′)H(t′)U †(t, t′) + U(t, t′)H(t′)U †(t, t′) = 0 (4.33) e qui implique, puisque U(t, t) = 1l = U †(t, t), que U(t, t′)U †(t, t′) = 1l ∀t, t′.

40 Formulation Générale de la Mé anique QuantiquePoint de vue de HeisenbergOn s'intéresse à l'évolution d'un système à partir d'un instant de référen e t0.En terme d'opérateur d'évolution, le point de vue de Heisenberg est résumé dans laproposition suivante :Proposition : La solution de l'équation di�érentielledAH(t)

dt=

1

i~

[

AH(t), HH(t)]

+

(

∂A

∂t

)

H

(4.34)estAH(t) = U †(t, t0)A(t)U(t, t0) ave HH(t) = U †(t, t0)H(t)U(t, t0) (4.35)Démonstration :dAHdt

=∂U †(t, t0)

∂tA(t)U(t, t0) + U †(t, t0)

∂A

∂tU(t, t0) + U †(t, t0)A(t)

∂U(t, t0)

∂t

= − 1

i~U †(t, t0)H(t)A(t)U(t, t0) + U †(t, t0)A(t)

1

i~H(t)U(t, t0)

+ U †(t, t0)∂A

∂tU(t, t0)

=1

i~

(

−U †(t, t0)H(t)U(t, t0)U†(t, t0)A(t)U(t, t0)

)

+1

i~

(

U †(t, t0)A(t)U(t, t0)U†(t, t0)H(t)U(t, t0)

)

+ U †(t, t0)∂A

∂tU(t, t0)

=1

i~

[

AH(t), HH(t)]

+

(

∂A

∂t

)

H (4.36)où l'on a inje té U(t, t0)U†(t, t0) = 1l entre la 2e et la 3e égalité.Mesure et évolution temporelleConsidérons une observable A ne dépendant pas expli itement du temps, et es-sayons de al uler la probabilité de trouver am au temps t.D'après S hrödinger, ette probabilité est donnée par :

|〈ϕm|ψ(t)〉|2 =∣∣∣〈ϕm|U(t, t0)|ψ(t0)〉

∣∣∣

2 (4.37)D'après Heisenberg, 'est l'observable A qui évolue. Si on fait une mesure au tempst, on ne peut trouver qu'une valeur propre de AH(t). Il y a don une di� ulté : les

4.4 Evolution temporelle : S hrödinger, Heisenberg et Ehrenfest 41valeurs propres de AH(t) sont-elles les mêmes que elles de A ? La réponse est oui,une propriété qui dé oule de l'unitarité de U(t, t0).En e�et, supposons que A|ϕm〉 = am|ϕm〉. Alors,AH(t)

(

U †(t, t0)|ϕm〉)

= U †(t, t0)A U(t, t0)U†(t, t0)

︸︷︷︸1l |ϕm〉

= U †(t, t0)am|ϕm〉= am

(

U †(t, t0)|ϕm〉)

(4.38)Ainsi toute valeur propre de A est aussi valeur propre de AH(t), et le ve teur propreasso ié est U †(t, t0)|ϕm〉.La probabilité de mesurer am au temps t est don donnée, du point de vue deHeisenberg par am(t) =

∣∣∣〈U †(t, t0)ϕm|ψ(t0)〉

∣∣∣

2

=∣∣∣〈ϕm|U(t, t0)|ψ(t0)〉

∣∣∣

2Les points de vue de Heisenberg et de S hrödinger sont don rigoureusementéquivalents vis-à-vis des postulats.Cas Parti ulier : H Indépendant du TempsSi l'hamiltonien ne dépend pas expli itement du temps, les hoses se simpli�ent onsidérablement.Tout d'abord, il est possible de trouver une expression expli ite de U(t, t′). Ene�et, il satisfait l'équation di�érentielle 4.21. Mais quand H est indépendant dutemps la solution est donnée par :U(t, t′) = e−iH(t−t′)/~ (4.39)En e�et,

i~∂

∂tU(t, t′) = i~

(

−−iH~

)

e−iH(t−t′)/~ = He−iH(t−t′)/~ = HU(t, t′) (4.40)De plus, HH(t) = H . En e�et, H ommute ave lui-même, don ave son exponen-tielle. Du oup,HH(t) ≡ U †(t, t′)HU(t, t′) = H U(t, t′)†U(t, t′)

︸︷︷︸1l = H (4.41)Dans e as, l'évolution temporelle d'un opérateur ne dépendant pas expli itement

42 Formulation Générale de la Mé anique Quantiquedu temps s'é rit :dAHdt

=1

i~

[

AH(t), H]

=1

i~

(

U †(t, t0)AU(t, t0)H − HU †(t, t0)AU(t, t0))

=1

i~

(

U †(t, t0)AHU(t, t0) − U †(t, t0)HAU(t, t0))

=1

i~U †(t, t0)

[

A, H]

U(t, t0)

(4.42)Par ailleurs, si H est indépendant du temps, l'évolution s'é rit simplement en fon -tion des états stationnaires. Supposons en e�et

H|ϕn〉 = En|ϕn〉 (4.43)où les {|ϕn〉} sont orthonormés et où l'on a supposé le spe tre dis ret pour simpli�erles notations, et posons|ψ(t)〉 =

∑

n

cn(t)|ϕn〉 (4.44)L'équations de S hrödinger onduit ài~d

dt|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉

⇒ i~∑

n

d

dtcn(t)|ϕn〉 =

∑

n

cn(t)En|ϕn〉

⇒ i~∑

n

d

dtcn(t)〈ϕm|ϕn〉 =

∑

n

cn(t)En〈ϕm|ϕn〉

⇒ i~dcm(t)

dt= cm(t)Em

⇒ cm(t) = cm(t0)e−iEm(t−t0)/~

⇒ |ψ(t)〉 =∑

n

e−iEn(t−t0)/~cn(t0)|ϕn〉

(4.45)L'opérateur d'évolution possède de plus une représentation spe trale très simple. En

4.4 Evolution temporelle : S hrödinger, Heisenberg et Ehrenfest 43e�et,H|ϕn〉 = En|ϕn〉

⇒ U(t, t′)|ϕn〉 = e−iH(t−t′)/~|ϕn〉 = e−iEn(t−t′)/~|ϕn〉⇒ U(t, t′)

∑

n

|ϕn〉〈ϕn|︸︷︷︸1l =

∑

n

e−iEn(t−t′)/~|ϕn〉〈ϕn|

⇒ U(t, t′) =∑

n

e−iEn(t−t′)/~|ϕn〉〈ϕn|

(4.46)NB : Lorsque l'hamiltoniendépend expli itement du temps, l'expression U(t, t′) =

e−iH(t−t′)/~ n'est pas valable. Nous verrons dans le hapitre sur les perturbations dé-pendantes du temps omment pro éder dans e as.Théorème d'EhrenfestSi l'on prend la valeur moyenne dans un état |ψ〉 quel onque de l'équation d'évo-lution de Heisenberg d'une observable qui ne dépend pas expli itement du temps, ilvient :d

dt〈ψ|AH(t)|ψ〉 =

1

i~〈ψ|[

AH(t), HH(t)]

|ψ〉 (4.47)Considérons le as parti ulier d'une parti ule dé rite par l'hamiltonienH =

p2

2m+ V (x)

[

x, H]

=1

2m

[x, p2

]

=1

2m([x, p] p+ p [x, p])

=i~

mp

[

p, H]

= [p, V (x)]Mais [p, V (x)]ϕ(x) = −i~ ∂

∂x(V (x)φ(x)) − V (x)(−i~)

∂ϕ

∂x

= −i~∂V∂x

ϕ(x)

⇒[

p, H]

= −i~V ′(x)

(4.48)

44 Formulation Générale de la Mé anique QuantiqueAinsi,d

dt〈x(t)〉 =

1

m〈p(t)〉

d

dt〈p(t)〉 = 〈F (x)〉

(4.49)Ces équations onstituent le théorème d'Ehrenfest : les valeurs moyennes satisfontdes équations semblables aux équations lassiques de Hamilton (Newton). L'équiva-len e n'est pas totale. En e�et, 〈F (x)〉 6= F (〈x〉) en général. C'est néanmoins le aspour l'os illateur harmonique, omme on le véri�e aisément.4.5 La Représentation {|p〉}NB : Il sera utile de lire d'abord l'appendi e A.5.La représentation de S hrödinger est basée sur la fon tion d'onde ϕ(x) qui, entermes de l'espa e de Hilbert des états, est dé�nie parϕ(x) = 〈x|ϕ〉 (4.50)On peut de façon tout-à-fait équivalente baser l'ensemble de la dis ussion sur lafon tion ϕ(p) dé�nie parϕ(p) = 〈p|ϕ〉 (4.51)C'est e qu'on appelle la représentation {|p〉}1. Cette représentation est intimementliée à la transformée de Fourier ϕ(p). En e�et,

ϕ(p) = 〈p|ϕ〉 =

∫

dx〈p|x〉〈x|ϕ〉 =

∫

dxϕ(x)e−ipx/~√

2π~=

1√~ϕ(p

~

) (4.52)Dans ette représentation, les opérateurs x et p prennent une forme très simple,symétrique de la représentation {|x〉}. En e�et,〈p|p|ϕ〉 = (〈ϕ|p†|p〉)∗ = (〈ϕ|p|p〉)∗ = (p〈ϕ|p〉)∗ = p〈p|ϕ〉 (4.53)

⇒ p : ϕ(p) 7−→ pϕ(p) (4.54)1Ce n'est rien d'autre qu'un hangement de base de l'espa e de Hilbert : au lieu de travaillerave les ve teurs propres {|x〉} de l'opérateur x, on travaille ave les ve teurs propres {|p〉} del'opérateur p.

4.5 La Représentation {|p〉} 45De même,〈p|x|ϕ〉 =

∫

dxx〈p|x〉〈x|ϕ〉

=

∫

dxxe−ipx/~√

2π~〈x|ϕ〉

=

∫

dxi~∂

∂p

(e−ipx/~√

2π~

)

〈x|ϕ〉

=

∫

dxi~∂

∂p〈p|x〉〈x|ϕ〉

= i~∂

∂p〈p|ϕ〉

⇒ x : ϕ(p) 7−→ i~∂

∂pϕ(p)

(4.55)où, à nouveau, on a utilisé ∫ dx|x〉〈x| = 1l. Par analogie ave le al ul fait pour le ommutateur de x et p en représentation {|x〉}, on a :

[p, x] = −i~ ⇒ [x, p] = i~ (4.56)

46 Formulation Générale de la Mé anique Quantique

Chapitre 5Quelques Problèmes Simples enDimension 15.1 Introdu tionAlors que la méthode algébrique issue de la quanti� ation anonique est beau oupplus simple pour l'os illateur harmonique, omme nous l'avons vu, ou pour d'autresproblèmes omme le potentiel entral (nous le verrons dans le hapitre 6), le su èsde l'équation de S hrödinger tient en grande partie à e qu'elle permet de résoudretrès simplement des problèmes où le potentiel ompliqué du système réel est rem-pla é par un potentiel e�e tif simpli�é qui retient les ara téristiques essentiellesdu problème en autorisant néanmoins une solution analytique. Des modèles sim-pli�és de e type sont d'utilisation ourante en physique du solide : le mouvementdes éle trons dans des puits, des �ls ou des boîtes quantiques est remarquablementbien dé rit en première approximation par des potentiels onstants par mor eau. Lasolution de es problèmes repose sur la résolution de l'équation de S hrödinger dansune région où le potentiel est onstant, et sur le ra ordement des fon tions d'onde.Ce ra ordement se fait en respe tant des règles qui dé oulent des singularités dupotentiel : dis ontinuité, potentiel in�ni, "fon tion" δ(x− x0).Le point de départ est don le mouvement de la parti ule libre.5.2 La Parti ule Libre : Paquet d'OndesLe problème de la parti ule libre est à la fois trivial et subtil. Il est trivial par eque les fon tions propres de l'hamiltonien sont déjà onnues : e sont des ondesplanes. En e�et,

H = p2

2m

p|p〉 = p|p〉

}

H|p〉 =p2

2m|p〉 (5.1)

48 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1ou en ore, dans le language de S hrödinger,Hϕp(x) = − ~2

2m

∂2

∂x2

(1√2π~

eipx/~)

= − ~2

2m

1√2π~

(ip

~

)2

eipx/~

=p2

2mϕp(x)

(5.2)Mais il est subtil ar les ondes planes ne sont pas de arré sommable. Elles ne peuventdon pas dé rire une parti ule. En d'autres termes, il est impossible de trouver desétats stationnaires physiquement a eptables pour une parti ule libre !La solution du problème de la parti ule libre impose don de revenir à l'équationde S hrödinger dépendante du temps, et de her her des solutions non séparables.Cela peut se faire de deux façons équivalentes mais toutes deux instru tives.(1) Le Paquet d'Ondes :Puisque les ondes planes sont solutions de l'équation de S hrödinger stationnaire,elles onduisent à des solutions de l'équation de S hrödinger dépendante du temps

i~∂

∂tϕp(x, t) = Hϕp(x, t) (5.3)données par

ϕp(x, t) =eipx/~√

2π~e−ip

2t/2m~ (5.4)Comme l'équation de S hrödinger dépendante du temps est linéaire, toute ombi-naison linéaire des ϕp(x, t) est aussi solution. Pour trouver une solution a eptable,il su�t don de onstruire e qu'on appelle un paquet d'onde, 'est-à-dire une om-binaison linéaire d'ondes planes de arré sommable :ϕ(x, t) =

∫

dp f(p)ϕp(x, t) (5.5)

5.2 La Parti ule Libre : Paquet d'Ondes 49Comme l'évolution est régie par un opérateur unitaire, il su�t de véri�er que ettefon tion est de norme 1 à t = 0. Maisϕ(x, t = 0) =

∫

dp f(p)eipx/~√

2π~

⇒ 〈ϕ|ϕ〉 =

∫

dx |ϕ(x)|2

=

∫

dx

∫

dp f(p)eipx/~√

2π~

∫

dp′ f ∗(p′)e−ip

′x/~

√2π~

=

∫

dp f(p)

∫

dp′ f ∗(p′)δ(p− p′)

=

∫

dp |f(p)|2

(5.6)On arrive au même résultat en remarquant que

|ϕ(t = 0)〉 =

∫

dp f(p)|p〉

⇒ f(p) = 〈p|ϕ(t = 0)〉

⇒ 〈ϕ(t = 0)|ϕ(t = 0)〉 =

∫

dp 〈ϕ(t = 0)|p〉〈p|ϕ(t = 0)〉 =

∫

dp |f(p)|2(5.7)Pour obtenir une solution a eptable de l'équation de S hrödinger, il su�t don de onstruire un paquet d'onde à l'aide de la fon tion f(p) de norme au arré égale à

1. L'évolution temporelle est ontenue dans la dé�nition de ϕ(x, t) :ϕ(x, t) =

∫

dp f(p)eipx/~√

2π~e−ip

2t/2m~ (5.8)On peut obtenir une expression plus suggestive de la façon suivante. On remarquetout d'abord quef(p) = 〈p|ϕ(t = 0)〉 =

∫

dx 〈p|x〉〈x|ϕ(t = 0)〉 =

∫

dx ϕ(x, t = 0)e−ipx/~√

2π~

⇒ ϕ(x, t) =

∫

dp

∫

dx′ ϕ(x′, t = 0)e−ipx

′/~

√2π~

eipx/~√2π~

e−ip2t/2m~

=

∫

dx′ϕ(x′, t = 0)

2π~

∫

dp e−itp2

2m~− i(x′−x)p

~

(5.9)L'intégrale gaussienne sur p orrespond à la dernière formule de l'annexe B ave

50 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1A = −t

m~, B = x′−x

~et don elle vaut√

2πm~

te−iπ/4e

−i(x′−x)2m~

2~2(−t)

⇒ ϕ(x, t) =

∫

dx′√

m

2π~te−iπ/4e

i(x′−x)2m

2~t ϕ(x′, t = 0)

(5.10)Con lusion : Si l'on se donne une fon tion quel onque de module au arré égale à1, on obtient une solution de l'équation de S hrödinger à t > 0 sous la forme duproduit de onvolution de ette fon tion ave un ertain noyau. Ce noyau a uneinterprétation très simple. Pour s'en rendre ompte, essayons de al uler l'évolutionde ϕ(x′, t = 0) dire tement.(2) Opérateur d'EvolutionLa méthode systématique pour résoudre e problème onsiste à al uler l'opérateurd'évolution. Or, dans le as présent, l'hamiltonien est indépendant du temps. D'après e que nous avons vu dans le hapitre pré édent, on a don :U(t, 0) = e−iHt/~ (5.11)Du oup,

ϕ(x, t) = 〈x|ϕ(t)〉 = 〈x|U(t, 0)|ϕ(t = 0)〉 =

∫

dx′ 〈x|U(t, 0)|x′〉〈x′|ϕ(t = 0)〉︸︷︷︸

ϕ(x′,t=0)Mais 〈x|U(t, 0)|x′〉 =

∫

dp 〈x|U(t, 0)|p〉〈p|x′〉 =

∫

dp e−ip2t2m~

eipx/~√2π~

e−ipx′/~

√2π~

⇒ 〈x|U(t, 0)|x′〉 =

√m

2π~te−iπ/4e

i(x−x′)2m

2~t (5.12)On retrouve bien la même expression que par le al ul pré édent.Remarques :1) La quantité 〈x|U(t, 0)|x′〉 s'appelle le propagateur.2) La notion de paquet d'onde est parti ulièrement simple en représentation {|p〉}.En e�et,f(p) = ϕ(p, t = 0)Et ϕ(p, t) = f(p)e−

ip2t2m~

(5.13)Par ontre, l'expression en représentation {|x〉} peut être très ompliquée.

5.2 La Parti ule Libre : Paquet d'Ondes 51Paquet d'Ondes GaussienL'impossibilité de trouver des solutions stationnaires de arré sommable pour uneparti ule libre se traduit par le fait que si l'on prépare une parti ule dans une fon tiond'onde d'extension spatiale donnée, l'extension spatiale va varier au ours du temps.L'exemple le plus simple pour illustrer e point est elui du paquet d'onde gaussien1 ar il permet de al uler expli itement l'évolution de la fon tion d'onde.Considérons don la fon tion d'ondeψ(x) =

1√σ

1

(2π)1/4eip0x/~e−x

2/4σ2 (5.14)C'est une fon tion d'onde qui dé rit une parti ule de vitesse v0 = p0m, et qui est entrée au point x = 0. Elle possède les propriétés suivantes :1. ∫ dx |ψ(x)|2 = 1Démonstration :

∫

dx |ψ(x)|2 =1√2πσ

∫ +∞

−∞dx e−x

2/4σ2

=1√2πσ

√2πσ2 = 1 (5.15)2. 〈x〉 = 0 et ∆x|ψ〉 = σDémonstration :

〈ψ|x|ψ〉 =1√2πσ

∫ +∞

−∞dx xe−x

2/4σ2

= 0

〈ψ|x2|ψ〉 =1√2πσ

∫ +∞

−∞dx x2e−x

2/4σ2

=1√2πσ

√2π

(1

σ2

)3/2

= σ2

⇒ ∆x|ψ〉 =√

〈ψ|x2|ψ〉 − 〈ψ|x|ψ〉2 = σ (5.16)où l'on a utilisé le fait que xe−Ax2 est une fon tion impaire.3. ψ(p) =

√σ

~

(2

π

)1/4

e−σ2

~2 (p0−p)2 ≡ f(p)Démonstration :ψ(p) =

1√σ

1

(2π)1/4

1√2π~

∫ +∞

−∞dx e−ipx/~eip0x/~e−x

2/4σ2

︸︷︷︸

=

√π

αeB

2/4α2

(5.17)1Les formules on ernant la résolution d'intégrales gaussiennes se trouvent dans l'annexe B.

52 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1ave α2 = 14σ2 et B = i(p0−p)

~

⇒ ψ(p) =1√σ

1

(2π)1/4

1√2π~

√π2σe−

σ2

~2 (p0−p)2 (5.18)4. 〈p〉 = p0Démonstration : Le plus simple est de se pla er en représentation {|p〉} :〈p〉 =

∫ +∞

−∞dp ψ(p)∗pψ(p)

= p0

∫ +∞

−∞dp∣∣ψ(p)

∣∣2

︸︷︷︸

=1

+

∫ +∞

−∞dp∣∣ψ(p)

∣∣2(p− p0)

︸︷︷︸

=0

= p0

(5.19)où la deuxième intégrale est nulle ar l'intégrant est une fon tion impaire dep.Cette fon tion d'onde orrespond don à une gaussienne entrée en p0 en repré-sentation {|p〉}, d'où le nom de paquet d'onde gaussien. Comme la transformée deFourier d'une gaussienne est une gaussienne, elle a aussi la forme d'une gaussienne(multipliée par une exponentielle si p0 6= 0) en représentation {|x〉}.Evolution au ours du temps : On pourrait utiliser l'opérateur d'évolution, mais ilest légèrement plus simple d'évaluer dire tementψ(x, t) =

∫ +∞

−∞dp ψ(p)

eipx/~√2π~

e−ip2t2m~

=√σ

(2

π

)1/41

~

1√2π

∫ +∞

−∞dp e−

σ2

~2 (p0−p)2+i px~−i p2t

2m~

=√σ

(2

π

)1/41

~

1√2πeip0x/~

∫ +∞

−∞dp e−

σ2

~2 (p−p0)2+i(p−p0)x

~−i p2t

2m~

︸︷︷︸

I

(5.20)Il faut al uler l'intégrale I qui est une gaussienne. On fait le hangement de variablep→ p+ p0 d'où

I =

∫ +∞

−∞dp e−

σ2

~2 p2+i px

~−i (p+p0)2t

2m~ (5.21)

5.2 La Parti ule Libre : Paquet d'Ondes 53L'exposant vaut : p2(

−σ2

~2 − it2m~

)

+ p(ix~− ip0t

m~

)− ip20t

2m~, et ainsi

I = e−ip2

0t

2m~

√π

αe

B2

4α2ave {

α2 = σ2

~2 + it2m~

B = ix~− ip0t

m~soit α2 =

√

σ4

~4+

t2

4m2~2exp

[

i arctan

(t~

2mσ2

)]

⇒ α =4

√

σ4

~4+

t2

4m2~2exp

[i

2arctan

(t~

2mσ2

)]et B2

4α2= −

(x

~− p0t

m~

)21

4σ2

~2 + 2itm~

= −(x− p0t

m

)2

4σ2 + 2i~tm

(5.22)Soit, en regroupant tous les fa teurs :

ψ(x, t) =

(σ2

2π

)1/4e

»

− i2

arctan( t~

2mσ2 )−ip2

0t

2m~

–

4

√σ4

~4 + t2

4m2~2

× eip0x/~ × e−(x−

p0tm )

2

4σ2+2i~tm (5.23)Cette fon tion d'onde dé rit une parti ule de vitesse p0

m entrée en p0

mt. En e�et,

〈ψ(x, t)|x|ψ(x, t)〉 =

(σ2

2π

)1/21

√σ4

~4 + t2

4m2~2

∫ +∞

−∞dx x

∣∣∣∣∣exp

[

−(x− p0t

m

)2

4σ2 + 2i~tm

]∣∣∣∣∣

2

︸︷︷︸

J

J =

∫ +∞

−∞dx

(

x− p0t

m

)∣∣∣∣∣exp

[

−(x− p0t

m

)2

4σ2 + 2i~tm

]∣∣∣∣∣

2

︸︷︷︸

=0

+p0t

m

∫ +∞

−∞dx

∣∣∣∣∣exp

[

−(x− p0t

m

)2

4σ2 + 2i~tm

]∣∣∣∣∣

2

︸︷︷︸

=1 (5.24)où à nouveau la première intégrale est nulle ar l'intégrant est impair tandis quela se onde vaut 1 en se rappelant que ψ(x) est normalisée (5.15) et que l'évolutiontemporelle est engendrée par un opérateur unitaire qui onserve la norme. Cal ulons∆x|ψ(x,t)〉 =

√

〈ψ| (x− 〈x〉)2 |ψ〉 :〈ψ|(

x− p0t

m

)2

|ψ〉 =

(σ2

2π

)1/21

√σ4

~4 + t2

4m2~2

∫ +∞

−∞dx x2

∣∣∣∣∣exp

[

− x2

4σ2 + 2i~tm

]∣∣∣∣∣

2(5.25)

54 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1où l'on a fait le hangement de variables x− p0tm

→ x. Le terme de l'exponentiel estde la formee−

αa+ib e−

αa−ib = e

− 2aα

a2+b2 (5.26)d'où〈(

x− p0t

m

)

〉 =

(σ2

2π

)1/21

√σ4

~4 + t2

4m2~2

∫ +∞

−∞dx x2 exp

[

− 8σ2x2

16σ4 + 4~2t2

m2

]

=

(σ2

2π

)1/21

√σ4

~4 + t2

4m2~2

√2πA−3/2 ave A =

σ2

σ4 + ~2t2

4m2

=

(σ2

2π

)1/2 √2πσ−3

(σ4

~4+

t2

4m2~2

)

= σ2

(

1 +~2t2

4σ4m2

)

⇒ ∆x|ψ(x,t)〉 = σ

√

1 +~2t2

4σ4m2

(5.27)On onstate don que le paquet d'onde s'élargit au ours du temps. Ce phéno-mène s'appelle l'étalement du paquet d'onde.5.3 Potentiel Constant par Mor eau et Conditionsaux LimitesConsidérons l'équation de S hrödinger à une dimension :

− ~2

2mψ′′(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (5.28)Si V est indépendant de x, on peut la réé rire :

− ~2

2mψ′′(x) = (E − V )ψ(x) (5.29)Il faut distinguer trois as :1. E > V

ψ(x) = Aeipx/~ +Be−ipx/~ (5.30)ave p2

2m= E − V , soit p =

√

2m(E − V )

5.3 Potentiel Constant par Mor eau et Conditions aux Limites 552. E < V

ψ(x) = Aex/l +Be−x/l (5.31)ave − ~2

2ml2= E − V , soit l =

~√

2m(V − E)3. E = V

ψ(x) = Ax+B (5.32)Entre deux régions où le potentiel est onstant, il doit y avoir une dis ontinuité.Deux as de �gure sont utiles :1.V (x) =

{

V1 si x < x0

V2 si x > x0

(5.33)

0

V (x)

x

V1

V2

x0Fig. 5.1 � Saut de potentiel en x = x0.Dans e as, la dérivée se onde de ψ doit avoir un saut, e qui implique que ψet ψ′ sont ontinues. En e�et, une dis ontinuité de ψ produirait une singularitéde ψ′′ en δ′(x), et une dis ontinuité de ψ′ produirait une singularité en δ(x).Or es singularités ne peuvent pas être ompensées par V (x).Con lusion : Si V (x) présente un saut en x0, il faut ra order la fon tiond'onde et sa dérivée en x0.2.V (x) = V0δ(x− x0) + Vrég(x) (5.34)

56 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1Dans e as2, la dérivée se onde doit ontenir une fon tion δ(x − x0), e quiimplique que la dérivée première doit avoir un saut. En e�et,∫ x0+ǫ

x0−ǫdx ψ′′(x) =

2m

~2

∫ x0+ǫ

x0−ǫdx (V (x) −E)ψ(x)

⇒ ψ′(x0 + ǫ) − ψ′(x0 − ǫ) =2m

~2V0ψ(x0) +

2m

~2

∫ x0+ǫ

x0−ǫdx (Vrég(x) − E)ψ(x)

︸︷︷︸

→0 quand ǫ→0

⇒ limǫ→0+

[ψ′(x0 + ǫ) − ψ′(x0 − ǫ)] =2m

~2V0ψ(x0) (5.35)Con lusion : Si V (x) présente une singularité de type V0δ(x− x0), la fon tiond'onde est ontinue, mais la dérivée présente un saut : ψ′(x+

0 ) − ψ′(x−0 ) =2m~2 V0ψ(x0).En�n, il est souvent utile de onsidérer la limite où V → +∞ dans un domaine.Dans e as, la fon tion d'onde doit être nulle dans tout le domaine, et l'étude de lalimite V → +∞ montre qu'il su�t d'imposer ψ(x0) = 0 si V = +∞ pour x > x0.Con lusion : Si V = +∞ pour x > x0 (ou x < x0), la fon tion d'onde doit être ontinue en x = x0, et elle vaut ψ(x0) = 0.5.4 Le Puits de Potentiel CarréOn onsidère un potentiel dé�ni par

V (x) =

{

V1 si x1 < x < x2

V2 si x < x1 ou x > x2

(5.36)ave V2 > V1, et on se propose de trouver les niveaux d'énergie E omprise entre V1et V2.V2 = +∞Dans e as, on doit her her la solution sous la forme

ψ(x) = Aeipx/~ +Be−ipx/~ pour x1 < x < x2 (5.37)ave p =√

2m(E − V1), et on doit imposer les onditions{

Aeipx1/~ + Be−ipx1/~ = 0

Aeipx2/~ + Be−ipx2/~ = 0(5.38)2Vrég étant la partie "régulière" du potentiel.

5.4 Le Puits de Potentiel Carré 57

0

V (x)

x

V1

V2

x1 x2Fig. 5.2 � Puits de potentiel arré.Ce système a une solution non nulle si est seulement si son déterminant est nul, 'est-à-dire siei

p(x1−x2)~ − e−i

p(x1−x2)~ = 0

⇒ sin

(p(x2 − x1)

~

)

= 0

⇒√

2m(E − V1)(x2 − x1)

~= nπ

⇒ 2m(E − V1) =

(nπ~

(x2 − x1)

)2

⇒ E = V1 +~2π2

2m(x2 − x1)2n2

(5.39)Les oe� ients A et B sont reliés par

B = −Ae2ipx1

~ (5.40)et la fon tion d'onde est donnée parψ(x) = A

(

eipx/~ − e−ipx/~e2ipx1

~

)

= Aeipx1/~(eip(x−x1)/~ − e−ip(x−x1)/~

)

= 2iAeipx1/~ sin

(p(x− x1)

~

)(5.41)Mais p = nπ~

x2−x1

⇒ ψ(x) = 2iAeipx1/~ sin

(

nπx− x1

x2 − x1

) (5.42)

58 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1A est �xé par la ondition :

∫ x2

x1

dx |ψ(x)|2 = 1

⇒ 4A2x2 − x1

2= 1

⇒ A =1

√

2(x2 − x1)

(5.43)Par ailleurs, on peut laisser tomber le fa teur de phase ieipx1/~. Finalement, on peuté rire la solution :

E = V1 +~2π2

2m(x2 − x1)2n2

ψn(x) =

√2

x2 − x1

sin

(

nπx− x1

x2 − x1

)(5.44)Remarque : n = 0 n'est pas possible ar ψ(x) serait identiquement nulle.

V2 < +∞Dans e as, on doit her her la solution sous la forme :ψ(x) =

Aex/l si x < x1

Beipx/~ + Ce−ipx/~ si x1 < x < x2

De−x/l si x > x2

(5.45)ave l = ~√2m(V2−E)

et p =√

2m(E − V1), et où on a hoisi la solution ex/l pourx < x1 et e−x/l pour x > x2 a�n d'obtenir une solution de arré sommable.Comme il s'agit de simples dis ontinuités, on doit ra order la fon tion et sadérivée en x1 et x2, d'où les équations :

x1 :

{

ψ : Aex1/l = Beipx1/~ + Ce−ipx1/~

ψ′ : Alex1/l = ip

~

(Beipx1/~ − Ce−ipx1/~

)

x2 :

{

ψ : De−x2/l = Beipx2/~ + Ce−ipx2/~

ψ′ : −Dlex2/l = ip

~

(Beipx2/~ − Ce−ipx2/~

)

(5.46)Ces équations onstituent un système linéaire homogène de quatre équations àquatre in onnues. Il n'y a de solution non nulle que si son déterminant est nul, e

5.4 Le Puits de Potentiel Carré 59

-1

-0.5

0

0.5

1

2 2.5 3 3.5 4

ψ (

x)

x

n = 1n = 2n = 3Fig. 5.3 � ψ1(x), ψ2(x) et ψ3(x) pour x1 = 2 et x2 = 4.qui onduit à une équation pour l'énergie :

∣∣∣∣∣∣∣∣

ex1/l −eipx1/~ −e−ipx1/~ 01lex1/l − ip

~eipx1/~ ip

~e−ipx1/~ 0

0 −eipx2/~ −e−ipx2/~ e−x2/l

0 −eipx2/~ e−ipx2/~ −1lex2/l

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 (5.47)Posons a = ip

~et b = eip(x2−x1)/~. On sait qu'on ne hange pas la valeur d'un déter-minant en multipliant une ligne ou une olonne par une onstante. On peut don multiplier haque olonne de (5.47) par une exponentielle bien hoisie et on obtient :

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 01l

a −a 00 b 1

b1

0 ab −ab

−1l

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 (5.48)

60 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1En développant par rapport à la première olonne, il vient :∣∣∣∣∣∣

a −a 0b 1

b1

ab −ab

−1l

∣∣∣∣∣∣

− 1

l

∣∣∣∣∣∣

1 1 0b 1

b1

ab −ab

−1l

∣∣∣∣∣∣

= 0

⇒ a

(

− 1

bl+a

b

)

+ a

(

−bl− ab

)

− 1

l

(

− 1

bl+a

b

)

+1

l

(

−bl− ab

)

= 0

⇒ −(

a+1

l

)(b

l+ ab

)

+

(

a− 1

l

)(a

b− 1

bl

)

= 0

⇒ b2 =

(a− 1

l

a+ 1l

)2soit (ip~− 1

lip~

+ 1l

)2

= ei2p(x2−x1)/~

⇒ip~− 1

lip~

+ 1l

= ±eip(x2−x1)/~

(5.49)On doit don distinguer deux as :1. ip

~− 1

lip~

+ 1l

= +eip(x2−x1)/~

ip

~

(1 − eip(x2−x1)/~

)=

1

l

(1 + eip(x2−x1)/~

)

⇒ ~

ipl=

1 − eip(x2−x1)/~

1 + eip(x2−x1)/~

⇒ ~

ipl=eip(x2−x1)/2~

(e−ip(x2−x1)/2~ − eip(x2−x1)/2~

)

eip(x2−x1)/2~ (e−ip(x2−x1)/2~ + eip(x2−x1)/2~)

⇒ ~

pl= tan

(p(x2 − x1)

2~

)

⇒ 1 + tan2

(p(x2 − x1)

2~

)

= 1 +~2

p2l2=

1

p2

(

p2 +~2

l2

)

(5.50)Mais p2 + ~2

l2= 2m(E − V1) + 2m(V2 − E) = 2m(V2 − V1). Posons p2

0 =2m(V2 − V1), on a don

1 + tan2

(p(x2 − x1)

2~

)

=p2

0

p2

⇒ 1

cos2(p(x2−x1)

2~

) =p2

0

p2

⇒∣∣∣∣cos

(p(x2 − x1)

2~

)∣∣∣∣=

p

p0

(5.51)

5.4 Le Puits de Potentiel Carré 61Cette ondition doit être omplétée par la ondition perdue lorsqu'on a prit le arré à la dernière ligne de (5.50)3 :tan

(p(x2 − x1)

2~

)

> 0 (5.52)2. ip~− 1

lip~

+ 1l

= −eip(x2−x1)/~Le raisonnement est le même qu'avant et on trouve :~

ipl=

i

tan(p(x2−x1)

2~

)

⇒ ~

pl= − cot

(p(x2 − x1)

2~

)

⇒ 1 + cot2

(p(x2 − x1)

2~

)

=1

sin2(p(x2−x1)

2~

) =p2

0

p2

⇒

∣∣∣∣sin

(p(x2 − x1)

2~

)∣∣∣∣

=p

p0

cot

(p(x2 − x1)

2~

)

< 0

(5.53)On peut résoudre graphiquement les équations des deux as (voir �gure 5.4).Limite V2 → ∞ : Dans ette limite, p0 → ∞, la pente tend vers 0, et les valeurspossibles de p sont4 : nπ~

x2−x1. Les valeurs possibles de l'énergie sont don

E = V1 +p2

2m= V1 +

π2~

2

2m (x2 − x1)2n

2 (5.54)On retrouve bien les valeurs obtenues pré édemment.Remarques :1. Il y a toujours au moins une solution.2. La n-ième solution a n− 1 noeuds ( e i peut se voir dire tement sur la �gure5.3).3. Il existe aussi des états d'énergie E > V2. Dans e as, toutes les énergies sontpossibles. Le problème est très semblable à elui que nous allons traiter dansles deux se tions suivantes.3En e�et, on a par dé�nition : p, l, ~ > 0.4Elles orrespondent aux zéros du sinus et du osinus.

62 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

pFig. 5.4 � Résolution graphique des niveaux d'énergie du puits arré pour V2 <∞.Les interse tions entre la droite d'équation f(p) = pp0

et les sinus ( ourbes ontinues)et les osinus ( ourbes à tirets) donnent les énergies possibles.5.5 La Mar he de PotentielConsidérons désormais le problème d'une mar he de potentiel dé�nie par

V (x) =

{

V1 si x < 0

V2 > V1 si x > 0(5.55)

et her hons les états stationnaires.

5.5 La Mar he de Potentiel 63

0

V (x)

x

V1

V2

Fig. 5.5 � Mar he de potentiel à l'origine.V1 < E < V2Dans e as, la solution est de la forme

ψ(x) =

{

Aeipx/~ +Be−ipx/~ si x < 0

Ce−x/l si x > 0(5.56)ave l = ~√

2m(V2−E)et p =

√

2m(E − V1).Cette fois, il n'y a que 2 onditions aux limites : ψ et sa dérivée doivent être ontinues en 0. Cela onduit aux relations{

ψ : A+B = C

ψ′ : ip~(A− B) = −C

l

(5.57)Comme il y a 2 équations et 3 in onnues, il y a toujours une solution. L'énergie n'estpas quanti�ée.En éliminant C, on trouve une relation entre A et B :A +B =

ipl

~(A−B)

⇒ A

(

1 +ipl

~

)

= B

(

−1 +ipl

~

)

⇒ B = A1 + ipl

~

−1 + ipl~

= −A1 + ipl~

1 − ipl~

(5.58)Mais 1 + ipl

~=√

1 + p2l2

~2 eiϕ ave tanϕ = pl

~, et 1 − ipl

~=√

1 + p2l2

~2 e−iϕ, d'où

B = −Ae2iϕ (5.59)

64 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1Ainsi, |B|2 = |A|2. L'onde se déplaçant vers la gau he a la même intensité que ellese déplaçant vers la droite.L'interprétation de es états stationnaires pose le même problème que elle desondes planes. En e�et, es fon tions d'onde ne sont pas de arré sommable. Pourtrouver une solution satisfaisante, il faut retourner à l'équation de S hrödinger dé-pendante du temps et onstruire des paquets d'ondes. Cela se fait très fa ilementnumériquement5, par ontre il n'y a pas d'exemple de paquet d'ondes donnant lieu àdes al uls analytiques simples, et il faut se ontenter d'une des ription qualitativedes résultats.Si on onstruit un paquet d'ondes entré autour de p > 0, il se dépla e à peuprès librement à la vitesse v = pm

jusqu'au moment où il ren ontre la mar he. A e moment-là, des interféren es se produisent, et un peu de "poids" pénètre sous lamar he. En�n, un paquet d'ondes repart à la vitesse − pm, et le poids sous la mar hedisparaît.Tous es e�ets sont en fait des onséquen es de la forme des solutions stationnaires.La présen e d'interféren es vient du fait que A et B di�èrent par une phase tandisque la disparition omplète de la partie de l'onde passant sous la mar he vient dufait que la fon tion d'onde est une exponentielle réelle, don évanes ente. En�n, lefait qu'une onde de même intensité repart en sens inverse est asso iée à l'équivalen ede l'amplitude des oe� ients A et B.Ces remarques sont à la base de la théorie quantique de ollisions élastiques (oudi�usion élastique par un potentiel indépendant du temps) : on her he les solutionsstationnaires ave des onditions aux limites données, et on interprète es solutionsstationnaires en traduisant leurs propriétés en terme de paquets d'ondes.Pour pré iser ette idée, onsidérons maintenant le as où l'onde peut se propagermême pour x > 0 :

E > V2Dans e as, la fon tion d'onde est de la forme :ψ(x) =

{

Aeip1x/~ +Be−ip1x/~ si x < 0

Ceip2x/~ +De−ip2x/~ si x > 0(5.60)Elle dépend de 4 amplitudes reliées par deux onditions de ra ordement :

{

ψ : A+B = C +D

ψ′ : p1(A−B) = p2(C −D)(5.61)L'espa e des solutions est désormais de dimension 2. Il y a don un ertain arbi-traire dans le hoix des solutions, mais au vu de la dis ussion pré édente, le hoix5Voir, entre autres, le CD ROM de démonstration de Basdevant-Dalibar ou sur le webhttp ://www.quantum-physi s.polyte hnique.fr/.

5.5 La Mar he de Potentiel 65qui s'impose naturellement est de hoisir des solutions qui "dé rivent" la di�usiond'un paquet d'ondes venant de la gau he ou venant de la droite.Pour un paquet d'ondes venant de la gau he, on hoisira D = 0 : il y a une ondein idente (eip1x/~), une onde ré�é hie (e−ip1x/~) et une onde transmise (eip2x/~)6.Pour un paquet d'ondes venant de la droite, on hoisira de même A = 0. Les pro-priétés es états stationnaires dé riront très bien les propriétés de paquets d'ondes.Comme les deux as sont similaires, onsidérons elui d'un paquet d'ondes venantde la gau he. Puisque D = 0, on peut al uler les amplitudes B et C en fon tion deA à l'aide des équations de ra ordement :

{

ψ : A +B = C

ψ′ : p1(A− B) = p2C

⇒ p1(A−B) = p2(A+B)

⇒ A(p1 − p2) = B(p1 + p2)

⇒ B = Ap1 − p2

p1 + p2et C = A+B = A

(

1 +p1 − p2

p1 + p2

)

= A2p1

p1 + p2

(5.62)Comme l'onde e−ip1x/~ orrespond à une onde ré�é hie et eip2x/~ à une onde trans-mise, il est habituel de dé�nir des oe� ients de ré�exion et de transmission parCoe� ient de ré�exion : R ≡ B

ACoe� ient de transmission : T ≡ C

AD'après e qui pré ède, on a don :R =

p1 − p2

p1 + p2, T =

2p1

p1 + p2(5.63)On s'attend à e que es deux oe� ients satisfassent une relation de onserva-tion du genre R2 + T 2 = 1. Mais ette relation n'est pas véri�ée, et la relatione�e tivement véri�ée est plus subtile. Pour la déterminer il faut identi�er quelle estla quantité onservée. Pour un état stationnaire, 'est la probabilité de présen e

ρ = |ψ(x)|2 qui l'est. D'après l'équation de ontinuité, on en déduit quediv~j = −∂ρ∂t

= 0 (5.64)6En e�et, la partie temporelle de la fon tion d'onde s'é rit e−iωt ave ω = p2

2m~. Si on pose

k = p~, la fon tion d'onde devient eikx−ωt ≃ cos(kx − ωt). En t = 0, une rête de l'onde se trouveen x = 0 et en t+ dt ette même rête se sera dépla ée dans le sens des x positifs. Don , d'après lesigne de la partie temporelle, une fon tion d'onde ave une partie spatiale eipx/~ se dépla e dansle sens des x positifs alors qu'une fon tion d'onde ave une partie spatiale e−ipx/~ se dépla e dansle sens négatif.

66 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1pour une solution stationnaire. Mais à 1 dimension, div~j = ∂j∂x, et div~j = 0 ⇒ j = te. C'est don le ourant ~j qui est onservé. Mais ~j = ~

2mi

(

ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗), soit à1 dimension : j = ~

2mi

(ψ∗ ∂ψ

∂x− ψ ∂ψ∗

∂x

). Cal ulons j(x) pour x < 0 :ψ∗∂ψ

∂x=(A∗e−ip1x/~ +B∗eip1x/~

)×(ip1A

~eip2x/~ − ip1B

~e−ip1x/~

)

=ip1

~

(|A|2 − |B|2 − A∗Be−2ip1x/~ + AB∗e2ip1x/~

)

ψ∂ψ∗

∂x= −ip1

~

(|A|2 − |B|2 −AB∗e2ip1x/~ + A∗Be−2ip1x/~

)

⇒ j =p1

m

(|A|2 − |B|2

)=p1

m|A|2 (1 −R2)

(5.65)et pour x > 0 (en se rappelant qu'on a posé D = 0) :

ψ∗∂ψ

∂x= |C|2 ip2

~

⇒ j =p2

m|C|2 =

p2

m|A|2 T 2

(5.66)On en déduit la relation :p1(1 − R2) = p2T

2 (5.67)que l'on véri�e aisément à l'aide des expressions de R2 et T 2.5.6 Barrière de Potentiel. E�et TunnelConsidérons désormais le as d'une barrière de potentiel dé�nie parV (x) =

V1 si x < x1

V2 > V1 si x1 < x < x2

V1 si x > x2

(5.68)Considérons dans un premier temps le as d'un paquet d'ondes venant de la gau heave une énergie E omprise entre V1 et V2.V1 < E < V2

5.6 Barrière de Potentiel. E�et Tunnel 67

0

V (x)

x

V1

V2

x1 x2Fig. 5.6 � Barrière de potentiel.Dans les di�érents se teurs, la fon tion d'onde doit être de la formeψ(x) =

Aeipx/~ +Be−ipx/~ si x < x1

Ce−x/l +Dex/l si x1 < x < x2

Eeipx/~ si x > x2

(5.69)où l'on n'a gardé que l'onde eipx/~ pour x > x2 puisqu'on s'intéresse à un paquetd'ondes venant de la gau he.Les onditions de ra ordement en x1 et x2 onduisent aux équations suivantes :x1 :

{

ψ : Aeipx1/~ +Beipx1/~ = Ce−x1/l +Dex1/l

ψ′ : ip~

(Aeipx1/~ − Be−ipx1/~

)= 1

l

(−Ce−x1/l +Dex1/l

)

x2 :

{

ψ : Eeipx2/~ = Ce−x2/l +Dex2/l

ψ′ : ip~Eeipx2/~ = 1

l

(−Ce−x2/l +Dex2/l

)

(5.70)On dispose don de 4 équations pour 5 in onnues. On peut exprimer 4 des oe� ientsin onnus en fon tion du 5-ième. Il est don possible de al uler E et B en fon tionde A, et ainsi de déterminer les oe� ients de transmission et de ré�exion.Pour ela, on réé rit le système en faisant passer les termes en A dans le se ondmembre. On se retrouve alors ave un système linéaire non homogène de quatre

68 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1équations du type S~x = ~y :

Be−ipx1/~ − Ce−x1/l −Dex1/l = −Aeipx1/~

− ip~Be−ipx1/~ + C

le−x1/l − D

lex1/l = − ip

~Aeipx1/~

−Ce−x2/l −Dex2/l + Eeipx2/~ = 0Cle−x2/l − D

lex2/l + ip

~Eeipx2/~ = 0

(5.71)I i, on va utiliser la règle de Cramer 7 pour déterminer les in onnues E et B :xi =

det(Sxi)

det(S)(5.72)où det(S) est le déterminant de la matri e représentant le système et det(Sxi

) lemême déterminant dans lequel on a rempla é les oe� ients de la ie olonne par lemembre de droite ~y. On a don det(Sxi

) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e−ipx1/~ −e−x1/l −ex1/l −Aeipx1/~

− ip~e−ipx1/~ 1

le−x1/l −1

lex1/l − ip

~Aeipx1/~

0 −e−x2/l −ex2/l 00 1

le−x2/l −1

lex2/l 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

(5.73)On développe par rapport à la première olonne, d'oùdet(Sxi

) = e−ipx1/~

(

− ip~lAeipx1/~ − ip

~lAeipx1/~

)

+ip

~e−ipx1/~

(

−Aleipx1/~ − A

leipx1/~

)

= −4ip

~lA (5.74)Et le al ul de det(S) donne

det(S) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e−ipx1/~ −e−x1/l −ex1/l 0− ip

~e−ipx1/~ 1

le−x1/l −1

lex1/l 0

0 −e−x2/l −ex2/l eipx2/~

0 1le−x2/l −1

lex2/l ip

~eipx2/~

∣∣∣∣∣∣∣∣

= . . .

= eip∆x/~[

1

l2(e∆x/l − e−∆x/l

)− ip

~l

(e∆x/l + e−∆x/l

)]

+ip

~eip∆x/~

[ip

~

(e∆x/l − e−∆x/l

)− 1

l

(e∆x/l + e−∆x/l

)]

= eip∆x/~[

2 sinh

(∆x

l

)

×(

1

l2− p2

~2

)

+ 2 cosh

(∆x

l

)

×(

−2ip

~l

)]

(5.75)7Voir annexe C.

5.6 Barrière de Potentiel. E�et Tunnel 69où l'on a posé ∆x ≡ x2 − x1. Finalement, on obtientE =

−4ip~le−ip∆x/~A

2 sinh(

∆xl

)×(

1l2− p2

~2

)

+ 2 cosh(

∆xl

)×(−2ip

~l

)

⇒ |T |2 =|E|2

|A|2

=16p2

~2l21

4(

1l2− p2

~2

)2

sinh2(

∆xl

)+ 16p2

~2l2cosh2

(∆xl

)

⇒ |T |2 =4p2

~2l2(

1

l2− p2

~2

)2

sinh2 (x2 − x1)

l+

4p2

~2l2cosh2 (x2 − x1)

l

(5.76)Même si elle a une énergie plus basse que la barrière (E < V2), une parti ule adon une ertaine probabilité de la traverser. C'est e qu'on appelle l'e�et tun-nel. Cette probabilité tend néanmoins vers 0 si la longueur de la barrière |x2 − x1|tend vers +∞, ou si l'énergie tend vers V1, auquel as p→ 0.

E > V2Dans e as, il su�t de rempla er les exponentielles réelles par des exponentielles omplexes ou en ore de rempla er 1lpar ip2

~ave p2 =

√

2m(E − V2). Si on posep1 =

√

2m(E − V1), on trouve �nalement|T |2 =

4p21p

22

(p21 + p2

2)2sin2

(p2(x2 − x1)

~

)

+ 4p21p

22 cos2

(p2(x2 − x1)

~

) (5.77)

70 Quelques Problèmes Simples en Dimension 1

Chapitre 6Mouvement dans un PotentielCentral6.1 Introdu tionOn s'intéresse au problème de la quanti� ation du mouvement d'une parti uledans un potentiel entral, 'est-à-dire dans un potentiel qui ne dépend que de ladistan e à un point donné. L'hamiltonien dé rivant un tel système s'é rit :

H =~p 2

2m+ V (r)où r =

√

x2 + y2 + z2

(6.1)En mé anique lassique, la solution de e problème repose sur le fait que le moment inétique est onservé. En e�et, le moment inétique ~L est dé�ni par~L = ~r ∧ ~p

⇒ d~L

dt=d~r

dt∧ ~p+ ~r ∧ d~p

dt

=~p

m∧ ~p

︸︷︷︸

=0

+~r ∧ ~F

(6.2)Mais ~F (~r) = −~∇V est dirigée suivant ~r lorsque V ne dépend que de r ⇒ d~L

dt= ~0 ⇒

~L = onstante.En mé anique quantique, il en va de même mais le moment inétique est unopérateur. Commençons don par étudier les propriétés de et opérateur.

72 Mouvement dans un Potentiel Central6.2 L'Opérateur Moment Cinétiqueet l'HamiltonienL'opérateur moment inétique ~L =(

Lx, Ly, Lz

) est dé�ni par~L = ~r ∧ ~p =

ypz − zpyzpx − xpzxpy − ypx

(6.3)On véri�e aisément que les opérateurs Lx, Ly, Lz sont hermitiques. Etablissons lesrègles de ommutation entre l'opérateur moment inétique et l'opérateur position :[

Lx, x]

= 0[

Lx, y]

= [ypz − zpy, y] = −z [py, y] = i~z

⇒[

Li, xj

]

= i~ǫijkxk (sommation sur les indi es répétés)ave ǫijk :

ǫ123 = ǫ231 = ǫ312 = 1 (permutations paires de 123)ǫ132 = ǫ321 = ǫ213 = −1 (permutations impaires de 123)ǫijk = 0 dans les autres as (6.4)On trouve de manière similaire elles ave l'opérateur impulsion :

[

Lx, px

]

= 0[

Lx, py

]

= [ypz, py] = i~pz

⇒[

Li, pj

]

= i~ǫijkpk

(6.5)Sur la base de es propriétés, on peut démontrer que ~L ommute ave l'hamilto-nien.

Lz = xpy − ypx[

Lz, V (x, y, z)]

ϕ = x [py, V ]ϕ− y [px, V ]ϕ

= x~

i

∂V

∂yϕ− y

~

i

∂V

∂xϕ

=~

i

(

x∂V

∂y− y

∂V

∂x

)

ϕ

(6.6)

6.2 L'Opérateur Moment Cinétiqueet l'Hamiltonien 73Mais, V (x, y, z) = V (r), r =√

x2 + y2 + z2 d'oùx∂V

∂y− y

∂V

∂x= x

∂V

∂r

y

r− y

∂V

∂r

x

r= 0

⇒ Lz ommute ave V.⇒ Lx, Ly ommutent ave V.⇒ ~L2 = L2

x + L2y + L2

z ommute ave V. (6.7)De plus, on a

[

Lz, px

]

= [x, px] py = i~py ⇒[

Lz, p2x

]

= i~pypx + i~pxpy = 2i~pxpy

[

Lz, py

]

= −i~px ⇒[

Lz, p2y

]

= −2i~pxpy

[

Lz, pz

]

= 0 ⇒[

Lz, p2z

]

= 0

(6.8)⇒

[

Lz, ~p2]

= 0

⇒ Lx, Ly, ~L2, ommutent ave ~p 2

⇒ Lx, Ly, Lz et ~L2 ommutent ave H. (6.9)Par ailleurs, l'hamiltonien s'exprime simplement en fon tion de ~L. En e�et,L2x = (ypz − zpy)

2

= y2p2z + z2p2

y − y pzz︸︷︷︸

zpz−i~

py − z pyy︸︷︷︸

ypy−i~

pz

= y2p2z + z2p2

y + i~ypy + i~zpz − 2ypy zpz

⇒ ~L2 =(x2 + y2

)p2z +

(y2 + z2

)p2x +

(z2 + x2

)p2y + 2i~ (xpx + ypy + zpz)

− 2ypy zpz − 2xpxypy − 2zpzxpx

= ~r 2~p 2 − z2p2z − x2p2

x − y2p2y + 2i~~r · ~p− 2ypyzpz − 2xpxypy

− 2zpzxpx

= ~r 2~p 2 −(

~r · ~p)2

+ i~~r · ~p

⇒ ~p 2 =1

r2~L2 − ~

2 ∂2

∂r2− 2

~2

r

∂

∂r

⇒ H = − ~2

2m

∂2

∂r2− ~2

mr

∂

∂r+

1

2mr2~L2 + V (r)

(6.10)

74 Mouvement dans un Potentiel Centraloù l'on a utilisé les propriétés suivantes : x2p2x = (xpx)

2 = i~xpx et (~r · ~∇)f = r ∂f∂r,qui dé oule de l'expression du gradient en oordonnées sphériques : ~∇f = ∂f

∂r~er +

1r∂f∂θ~eθ + 1

r sin θ∂f∂ϕ~eφ.Comme ~L2 ommute ave H , on peut les diagonaliser dans une base ommune.On a don séparé le problème en 2 parties :� Trouver les valeurs propres et les fon tions propres de ~L2.� Trouver les valeurs propres et les ve teurs propres de l'opérateur H en rempla-çant ~L2 par ses valeurs propres.Remarque : Cette forme de l'Hamiltonien est très pro he de la formulation hamil-tonienne du problème lassique, mais il y a une subtilité. En mé anique lassique,l'Hamiltonien s'é rit :

H =p2r

2m+

~L2

2mr2+ V (r) (6.11)La question qui vient naturellement à l'esprit est de savoir si on peut é rire l'Ha-miltonien quantique sous une forme similaire, et pour quel opérateur pr. Le hoix�naturel� (mais trop naïf, et en fait faux) serait de hoisir l'opérateur −i~ ∂

∂r. Mais et opérateur n'est pas hermitien. En e�et, si on pose A = −i~ ∂

∂r, il vient :

〈ϕ|A†|ψ〉 − 〈ϕ|A|ψ〉= 〈ψ|A|ϕ〉∗ − 〈ϕ|A|ψ〉

= i~

∫

ψ∂

∂rϕ∗d~r + i~

∫

ϕ∗ ∂

∂rψd~r

= i~

∫ π

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dϕ

∫ +∞

0

r2 ∂

∂r(ψϕ∗)dr

︸︷︷︸n'a pas de raison d'être nul (6.12)Par ontre, l'opérateur pr = −i~1r∂∂rr = −i~

(∂∂r

+ 1r

) est hermitien. En e�et,〈ϕ|p†r|ψ〉 − 〈ϕ|pr|ψ〉

= i~

∫ π

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dϕ

∫ +∞

0

r2

[(∂

∂r+

1

r

)

ψϕ∗ +

(∂

∂r+

1

r

)

ϕ∗ψ

]La partie radiale s'é rit alors :∫ +∞

0

r2

[(∂

∂r+

1

r

)

ψϕ∗ +

(∂

∂r+

1

r

)

ϕ∗ψ

]

dr

=

∫ +∞

0

r2

[∂

∂r(ψϕ∗) +

2

rψϕ∗

]

dr

=

∫ +∞

0

∂

∂r(r2ψϕ∗)dr

=[r2ψϕ∗]+∞

0= 0 si rψ → 0 pour r → +∞ et 0. (6.13)

6.2 L'Opérateur Moment Cinétiqueet l'Hamiltonien 75On peut aussi voir les hoses dire tement en termes d'opérateurs. Par dé�nition,A = −i~ ∂

∂r=~r

r.~p =

x

rpx +

y

rpy +

z

rpz

⇒ A+ = pxx

r+ py

y

r+ pz

z

r6= A (6.14)puisque les ommutateurs [x, px], [y, py] et [z, pz] ne sont pas nuls.Par ontre, l'opérateur 1

2[A + A+] est évidemment hermitique, et il est égal à

12

[~rr.~p+ ~p.~r

r

]. Or, pour toute fon tion f(~r), on a :1

2

[~r

r.~p+ ~p.

~r

r

]

f =1

2

~r

r.(−i~)~∇f +

1

2(−i~)~∇.

(~r

rf

) (6.15)Mais~∇.(~r

rf

)

=

(

~∇.~rr

)

f +~r

r.~∇fDe plus,

~∇.(g(r)~er) =1

r2

∂

∂r(r2g(r))d'où

~∇.~rr

=1

r2

∂

∂r(r2) =

2

rAinsi,1

2

[~r

r.~p+ ~p.

~r

r

]

f =

(~r

r.~p+

1

r

)On en déduit que pr est simplement la forme symétrisée de l'opérateur −i~ ∂∂r

:⇒ pr =

1

2

[~r

r.~p+ ~p.

~r

r

]Par ailleurs, omme~p2r = −~

2

(∂

∂r+

1

r

)(∂

∂r+

1

r

)

= −~2

[∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2− 1

r2+

1

r

∂

∂r

]

= −~2

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)

76 Mouvement dans un Potentiel Centrall'identité démontrée plus haut~p 2 =

1

r2~L2 − ~

2 ∂2

∂r2− 2

~2

r

∂

∂r(6.16)implique que

~p 2 = p2r +

~L2

r2(6.17)L'Hamiltonien quantique peut don e�e tivement se mettre sous la forme :

H =p2r

2m+

~L2

2mr2+ V (r) (6.18)6.3 Le Spe tre de ~L2 : Considérations AlgébriquesDes propriétés pré ises et générales du spe tre de ~L2 peuvent se déduire de onsi-dérations algébriques uniquement basées sur les règles de ommutation entre om-posantes de ~L. Or,

[

Lx, Ly

]

= [ypz − zpy, zpx − xpz]

= [ypz, zpx] + [zpy, xpz]

= −i~ypx + i~xpy = i~Lz

⇒[

Li, Lj

]

= i~ǫijkLk ⇔ ~L ∧ ~L = i~~L

[

Lx, ~L2]

=[

Lx, L2y

]

+[

Lx, L2z

]

= Lyi~Lz + i~LzLy − Lzi~Ly − i~LyLz

= 0

⇒ Lx, Ly et Lz ommutent ave ~L2.

(6.19)Comme Lx, Ly et Lz ne ommutent pas entre eux, on ne peut pas les diagonaliser si-multanément. Par ontre, on peut diagonaliser simultanément l'un d'entre eux et ~L2.États propres de Lz et ~L2 :Soit |ψ〉 un état propre de Lz et ~L2 :

Lz|ψ〉 = ~λ|ψ〉, ~L2|ψ〉 = ~2β|ψ〉 (6.20)

6.3 Le Spe tre de ~L2 : Considérations Algébriques 77Introduisons les opérateurs L+ et L− :{

L+ = Lx + iLy

L− = Lx − iLy⇔{

Lx = 12(L+ + L−)

Ly = 12i

(L+ − L−)(6.21)et établissons leurs relations de ommutation :

[

Lz, L+

]

=[

Lz, Lx

]

+ i[

Lz, Ly

]

= i~Ly − i2~Lx = ~L+

[

Lz, L−

]

=[

Lz, Lx

]

− i[

Lz , Ly

]

= i~Ly + i2~Lx = −~L+

[

L+, L−

]

= −i[

Lx, Ly

]

+ i[

Ly, Lx

]

= 2~Lz

(6.22)Par ailleurs, omme e sont des ombinaisons linéaires de Lx et Ly, L+ et L− om-mutent ave ~L2.Considérons le ket L+|ψ〉. Comme [Lz, L+

]

= ~L+, il vient :LzL+|ψ〉 = L+Lz|ψ〉 + ~L+|ψ〉 = ~(λ+ 1)L+|ψ〉 (6.23)Par ailleurs, ~L2L+|ψ〉 = L+

~L2|ψ〉 = ~2βL+|ψ〉. De même,LzL−|ψ〉 = ~(λ− 1)L−|ψ〉 (6.24)Propriétés :1. ~L2 = L2

x + L2y + L2

z ⇒ ~L2 − L2z = L2

x + L2yMais 〈ϕ|L2

x+ L2y|ϕ〉 ≥ 0. En e�et, 〈ϕ|L2

x|ϕ〉 est supérieur à la plus petite valeurpropre de L2x, qui est un arré et est don positive.Du oup, 〈ψ|~L2 − L2

z|ψ〉 = ~2(β − λ2) ≥ 0. Pour β donné, les valeurs proprespossibles de Lz sont bornées :−√

β ≤ L′ ≤ λ ≤ L ≤√

β (6.25)où L(≥ 0) est la plus grande valeur propre positive et L′ la plus petite valeurpropre négative.2. Soit |ψL〉 tel que {

~L2|ψL〉 = ~2β|ψL〉Lz|ψL〉 = ~L|ψL〉

(6.26)Puisque L est la plus grande valeur propre possible de Lz et puisque L+|ψL〉est ve teur propre de Lz de valeur propre ~(L+ 1), on doit avoir :L+|ψL〉 = 0 ⇒

∥∥∥L+|ψL〉

∥∥∥

2

= 0 ⇒ 〈ψL|L−L+|ψL〉 = 0Mais L−L+ = L2x + L2

y + i[

Lx, Ly

]

= ~L2 − L2z − ~Lz

⇒ L−L+|ψL〉 = ~2(β − L2 − L

)= 0

⇒ β = L (L+ 1)

(6.27)

78 Mouvement dans un Potentiel CentralDe même, onsidérons|ψL′〉 :

{

~L2|ψL′〉 = ~2β|ψL′〉Lz|ψL′〉 = ~L′|ψL′〉

(6.28)Puisque L′ est la plus petite valeur propre négative, on doit avoirL−|ψL′〉 = 0 ⇒

∥∥∥L−|ψL′〉

∥∥∥

2

= 0 ⇒ 〈ψ′L|L+L−|ψ′

L〉 = 0Mais L+L− = ~L2 − L2z + ~Lz

⇒ L+L−|ψL′〉 = ~2(β − L′2 + L′) = 0

⇒ β = L′ (L′ − 1)

(6.29)On doit don avoir

L′ (L′ − 1) = L (L+ 1) ⇒{

L′ = −L ouL′ = L+ 1

(6.30)La deuxième solution est à rejeter puisque L′ ≤ L.Ré apitulation provisoire : Les ve teurs propres ommuns à ~L2 et Lz orres-pondant à une valeur propre ~2L(L + 1) de ~L2 ont des valeurs propres de Lzde la forme ~λ ave −L ≤ λ ≤ L.3. Soit

|ψ〉 :

{

~L2|ψ〉 = ~2L(L+ 1)|ψ〉Lz|ψ〉 = ~L|ψ〉

(6.31)et appliquons-lui l'opérateur L− de façon répétée. On engendre des ve teurspropres de ~L2 et Lz de valeurs propres ~2L(L+ 1) pour ~L2 (L− ommute ave ~L2) et ~(L− 1), . . . , ~(L− n) pour Lz.Mais −L est la plus petite valeur propre possible. Pour ne pas engendrer deve teurs propres de valeurs propres inférieures à −L, il faut que ette série ontienne un ve teur propre de valeur propre −L, auquel as l'appli ation dehL− donnera 0.

⇒ ∃n tel que L− n = −L⇒ L =

n

2

⇒ L est entier ou demi-entier. (L = 0,1

2, 1,

3

2, 2, . . .

)(6.32)Con lusion :

6.3 Le Spe tre de ~L2 : Considérations Algébriques 79Les valeurs propres possible de ~L2 sont :~

2L(L+ 1), L = 0,1

2, 1, . . . (6.33)Pour un L donné, les valeurs propres possibles de Lz des ve teurs propres ommunsà ~L2 et Lz sont :

~M, M = −L,−L + 1, . . . , L (6.34)Constru tion de la base :On note |L,M〉 le ve teur propre ommun à ~L2 et Lz de valeurs propres ~2L(L+1)et ~M . Partant de |L,L〉, on a|L,L− n〉 ∝ Ln−|L,L〉 (6.35)Normalisation : Supposons |L,M〉 normalisé.

∥∥∥L−|L,M〉

∥∥∥

2

= 〈L,M |L+L−|L,M〉 = ~2 (L(L+ 1) −M(M − 1)) (6.36)On peut don hoisir

L−|L,M〉 = ~√

L(L+ 1) −M(M − 1)|L,M − 1〉 (6.37)De même,∥∥∥L+|L,M〉

∥∥∥

2

= 〈L,M |L−L+|L,M〉 = ~2 (L(L+ 1) −M(M + 1)) (6.38)et on peut ainsi hoisir

L+|L,M〉 = ~

√

L(L+ 1) −M(M + 1)|L,M + 1〉 (6.39)Remarque : Ces résultats sont valables pour tout opérateur ve toriel satisfaisant lesrègles de ommutation[

Li, Lj

]

= i~ǫijkLk (6.40)Un tel opérateur s'appelle, par extension, un moment inétique ("angular momen-tum" en anglais), et l'opérateur ~L = ~r∧ ~p s'appelle l'opérateur de moment inétiqueorbital. On parle par ailleurs de �moment inétique L� lorsqu'on onsidère un opéra-teur de moment inétique restreint au sous-espa e des états propres de ~L2 de valeurpropre ~2L(L+ 1). L est parfois appelé la �pseudo-norme�.

80 Mouvement dans un Potentiel Central6.4 Moment Cinétique OrbitalPour traiter le as parti ulier du moment inétique orbital, il est ommode depasser en oordonnées sphériques :

x = r sin θ cosϕ

y = r sin θ sinϕ

z = r cos θ

⇔

r2 = x2 + y2 + z2

tan2 θ = x2+y2

z2

tanϕ = yx

(6.41)En utilisant la formule des dérivées omposées :∂f(r, θ, ϕ)

∂xi=∂f

∂r

∂r

∂xi+∂f

∂θ

∂θ

∂xi+∂f

∂ϕ

∂ϕ

∂xi(6.42)On obtient1. ∂r2

∂xi= 2r ∂r

∂xi

2r∂r

∂x= 2x⇔ ∂r

∂x=x

r= sin θ cosϕ

2r∂r

∂y= 2y ⇔ ∂r

∂y=y

r= sin θ sinϕ

2r∂r

∂z= 2z ⇔ ∂r

∂z=z

r= cos θ

(6.43)2. ∂ tan2 θ

∂xi= 2 tan θ 1

cos2 θ∂θ∂xi

2 tan θ1

cos2 θ

∂θ

∂x=

2x

z2⇔ ∂θ

∂x=

cos θ cosϕ

r

2 tan θ1

cos2 θ

∂θ

∂y=

2y

z2⇔ ∂θ

∂y=

cos θ sinϕ

r

2 tan θ1

cos2 θ

∂θ

∂z= −2(x2 + y2)

z2⇔ ∂θ

∂z= −sin θ

r

(6.44)3. ∂ tanϕ

∂xi= 1

cos2 ϕ∂ϕ∂xi

1

cos2 ϕ

∂ϕ

∂x= − y

x2⇔ ∂ϕ

∂x= − sinϕ

r sin θ1

cos2 ϕ

∂ϕ

∂y=

1

x⇔ ∂ϕ

∂y=

cosϕ

r sin θ1

cos2 ϕ

∂ϕ

∂z= 0 ⇔ ∂ϕ

∂z= 0

(6.45)

6.4 Moment Cinétique Orbital 81Ce qui nous permet d'é rire l'opérateur ~p en oordonnées sphériques :px =

~

i

∂

∂x=

~

i

(

sin θ cosϕ∂

∂r+

cos θ cosϕ

r

∂

∂θ− sinϕ

r sin θ

∂

∂ϕ

)

py =~

i

∂

∂y=

~

i

(

sin θ sinϕ∂

∂r+

cos θ sinϕ

r

∂

∂θ+

cosϕ

r sin θ

∂

∂ϕ

)

pz =~

i

∂

∂z=

~

i

(

cos θ∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

)

(6.46)ainsi que l'opérateur ~L :

Lx = ypz − zpy

=~

i

[

(r sin θ sinϕ cos θ − r cos θ sin θ sinϕ)∂

∂r

+

(

−r sin θ sinϕ sin θ

r− r cos θ cos θ sinϕ

r

)∂

∂θ

+(

−r cos θcosϕ

r sin θ

) ∂

∂ϕ

]

⇒ Lx =~

i

[

− sinϕ∂

∂θ− cosϕ

tan θ

∂

∂ϕ

]

(6.47)

Ly = zpx − xpz

=~

i

[

(r cos θ sin θ cosϕ− r sin θ cosϕ cos θ)∂

∂r

+

(r cos θ cos θ cosϕ

r+r sin θ cosϕ sin θ

r

)∂

∂θ

+

(

−r cos θsinϕ

r sin θ

)∂

∂ϕ

]

⇒ Ly =~

i

[

cosϕ∂

∂θ− sinϕ

tan θ

∂

∂ϕ

]

(6.48)

82 Mouvement dans un Potentiel CentralLz = xpy − ypx

=~

i

[

(r sin θ cosϕ sin θ sinϕ− r sin θ sinϕ sin θ cosϕ)∂

∂r

+

(

sin θ cosϕcos θ sinϕ

r− r sin θ sinϕ

cos θ cosϕ

r

)∂

∂θ

+

(

r sin θ cosϕcosϕ

r sin θ+ r sin θ sinϕ

sinϕ

r sin θ

)∂

∂ϕ

]

⇒ Lz =~

i

∂

∂ϕ

(6.49)L+ = Lx + iLy = ~eiϕ

(∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

)

L− = Lx − iLy = ~e−iϕ(

− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

)

~L2 = L−L+ + L2z + ~Lz

L−L+ = ~2e−iϕ

[

− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

]

eiϕ[∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

]

= ~2e−iϕ

[

−eiϕ ∂2

∂θ2− eiϕ

∂

∂θ

(

i cot θ∂

∂ϕ

)

+ i cot θ∂

∂ϕ

(

eiϕ∂

∂θ

)

+ i cot θ∂

∂ϕ

(

eiϕi cot θ∂

∂ϕ

)]

= ~2e−iϕ

[

−eiϕ ∂2

∂θ2− eiϕ

−isin2 θ

∂

∂ϕ− eiϕi cot θ

∂2

∂ϕ∂θ+ i cot θieiϕ

∂

∂θ

+ i cot θeiϕ∂2

∂ϕ∂θ+ i cot θieiϕi cot θ

∂

∂ϕ+ i cot θeiϕi cot θ

∂2

∂ϕ2

]

= ~2

[

− ∂2

∂θ2+ i

1

sin2 θ

∂

∂ϕ− cot θ

∂

∂θ− i cot2 θ

∂

∂ϕ− cot2 θ

∂2

∂ϕ2

]

= ~2

[

− ∂2

∂θ2+ i

∂

∂ϕ− cot θ

∂

∂θ− cot2 θ

∂2

∂ϕ2

]

⇒ ~L2 = ~2

[

− ∂2

∂θ2+ i

∂

∂ϕ− cot θ

∂

∂θ− cot2 θ

∂2

∂ϕ2− ∂2

∂ϕ2− i

∂

∂ϕ

]

⇒ ~L2 = −~2

(

− ∂2

∂θ2+

1

tan θ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

) (6.50)

6.5 Les Harmoniques Sphériques 83Considérons une fon tion propre de Lz :~

i

∂ψ(r, θ, ϕ)

∂ϕ= ~mψ(r, θ, ϕ) ⇒ ψ(r, θ, ϕ) = χ(r, θ)eimϕ (6.51)Mais pour que ψ(r, θ, ϕ) soit une fon tion univoque des oordonnées, il faut que

ψ(r, θ, ϕ+ 2π) = ψ(r, θ, ϕ) ⇒ ei2πm = 1

⇒ m entier (6.52)Le spe tre du moment inétique orbital est �nalement donné par :{Valeurs propres de ~L2 : ~2l(l + 1), l entierValeurs propres de Lz : ~m, m = −l, . . . , l

(6.53)Remarque : Tous es opérateurs ne dépendent que de θ et ϕ. C'était prévisible vuque les omposantes du moment inétique ommutent ave le produit par n'importequelle fon tion de r. Du oup, on peut her her les fon tions propres ommunes à~L2 et Lz omme fon tions de θ et ϕ uniquement. Le produit d'une telle fon tionpropre par n'importe quelle fon tion de r sera en ore fon tion propre de ~L2 et Lz.6.5 Les Harmoniques SphériquesCher hons désormais les fon tions propres ommunes à ~L2 et Lz de valeurs propres~

2l(l + 1) et ~m. D'après e qui pré ède, on peut les her her sous la forme :Y ml (θ, ϕ) = Fm

l (θ)eimϕ (6.54)La fon tion Y ll (θ, ϕ) doit satisfaire :

L+Yll = 0

⇒(∂

∂θ− l cot θ

)

F ll (θ) = 0

(6.55)Mais l'équation di�érentielledf

dθ= l

cos θ

sin θf (6.56)a pour solution f(θ) = (sin θ)l. En e�et,

df

dθ= l cos θ(sin θ)l−1 =

l cos θ

sin θf

⇒ Y ll (θ, ϕ) ∝ (sin θ)leilϕ

(6.57)

84 Mouvement dans un Potentiel CentralNormalisation :Si Y ll (θ, ϕ) = cl(sin θ)

leilϕ, alors|cl|2

∫ π

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dϕ(sin θ)2l = 1soit |cl|2 × 2π × Il = 1 ave Il =

∫ π

0

sin θdθ(sin θ)2l

(6.58)On fait le hangement de variablesu = cos θ, du = − sin θdθ, (sin θ)2 = 1 − u2

⇒ Il =

∫ 1

−1

du(1 − u2)l(6.59)et Il se al ule par ré urren e :

I0 = 2

Il =

∫ 1

−1

du(1 − u2)l−1(1 − u2)

= Il−1 −∫ 1

−1

du u× u(1 − u2)l−1

= Il−1 −[

−[

u(1 − u2)l

2l

]1

−1

−∫ 1

−1

du(1 − u2)l

−2l

]

= Il−1 −1

2lIl

⇒ Il

(

1 +1

2l

)

= Il−1

⇒ Il =2l

2l + 1Il−1 =

(2l)(2l − 2) · · ·2(2l + 1)(2l − 1) · · ·3 × I0soit Il =

[(2l)(2l − 2) · · · 2]2

(2l + 1)!× I0ou en ore Il =

22l+1(l!)2

(2l + 1)!

(6.60)

Finalement, on doit avoir|cl|2 =

(2l + 1)!

4π

1

22l(l!)2(6.61)Le hoix onventionnel onsiste à prendre

cl =(−1)l

2ll!

√

(2l + 1)!

4π(6.62)

6.5 Les Harmoniques Sphériques 85Les autres fon tions s'en déduisent par appli ation systématique de L−, sa hant queY m−1l (θ, ϕ) =

1

~√

l(l + 1) −m(m− 1)L−Y

ml (θ, ϕ)ave L− = ~e−iϕ

[

− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

] (6.63)Exemples :1. l = 0

Y 00 (θ, ϕ) =

1√4π

(6.64)2. l = 1

Y 11 (θ, ϕ) = −1

2

√

6

4πsin θeiϕ

⇒ Y 11 (θ, ϕ) = −

√

3

8πsin θeiϕ

Y 01 (θ, ϕ) =

1√2e−iϕ

(

−√

3

8π

)[

− cos θeiϕ + icos θ

sin θsin θieiϕ

]

=1√2

√

3

8π2 cos θ

⇒ Y 01 (θ, ϕ) =

√

3

4πcos θ

⇒ Y −11 (θ, ϕ) =

√

3

8πsin θe−iϕ

(6.65)3. l = 2

Y ±22 (θ, ϕ) =

√

15

32πsin2 θe±2iϕ

Y ±12 (θ, ϕ) = ∓

√

15

8πsin θ cos θe±iϕ

Y 02 (θ, ϕ) =

√

5

16π

(3 cos2 θ − 1

)

(6.66)

86 Mouvement dans un Potentiel CentralRemarques :1. Les harmoniques sphériques sont des fon tions propres d'opérateurs hermi-tiques. Elles sont don orthogonales :∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin θ (Y ml )† Y m′

l′ = δl,l′δm,m′ (6.67)2. La dépendan e en θ des harmoniques sphériques est reliée à des fon tionsparti ulières appelées polyn�mes et fon tions de Legendre.3. On peut établir l'expression générale suivante1 :Y ml (θ, ϕ) =

(−1)l

2ll!

√

2l + 1

4π

(l +m)!

(l −m)!eimϕ(sin θ)−m

dl−m

d(cos θ)l−m(sin θ)2l (6.68)4. On a en parti ulier2 :

Y −ml (θ, ϕ) = (−1)m (Y m

l (θ, ϕ))∗ (6.69)6.6 Le Mouvement dans un Potentiel CoulombienPour une valeur donnée de l, on peut don her her les états stationnaires del'équation de S hrödinger d'une parti ule dans un potentiel entral sous la forme :

ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y ml (θ, ϕ) (6.70)où R(r) est solution de l'équation qui s'obtient en remplaçant ~L2 par ~2l(l+1), soit :

[

− ~2

2m

∂2

∂r2− ~2

mr

∂

∂r+

~2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

]

R(r) = ER(r) (6.71)1Voir par exemple Cohen-Tanoudji, Diu, Laloë pp. 686-688.2Même référen e, p. 690.

6.6 Le Mouvement dans un Potentiel Coulombien 87Il est ommode de hanger de fon tion in onnue et de poserR(r) =

1

ru(r)

dR

dr= − 1

r2u(r) +

1

r

du

drd2R

dr2=

2

r3u(r) − 2

r2

du

dr+

1

r

d2u

dr2

⇒ − ~2

2m

[2

r3u(r) − 2

r2

du

dr+

1

r

d2u

dr2− 2

r3u(r) +

2

r2

du

dr

]

+

[~2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

]u(r)

r= E

u(r)

rsoit [

− ~2

2m

d2

dr2+

~2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

]

u(r) = Eu(r)

(6.72)Dans le as parti ulier du potentiel oulombien d'intera tion entre un noyau de harge +Ze et un éle tron de harge −e, V (r) = −Ze2

r. Posons α = +Ze2 ⇒ V (r) =

−αr. Si l 6= 0, pour r petit, on peut négliger −α

rdevant ~

2l(l+1)2mr2

, d'oùd2

dr2u(r) ≃ l(l + 1)

r2u(r) (6.73)Supposons que u(r) soit de la forme rs :

⇒ s(s− 1)rs−2 = l(l + 1)rs−2

⇒ s(s− 1) = l(l + 1)

⇒ s = l + 1 ou s = −l(6.74)Mais la ondition de normalisation sur R(r) impose que ∫ +∞

0r2R2(r)dr soit onver-gente, 'est-à-dire que ∫ +∞

0u2(r)dr soit onvergente. Il faut don hoisir la solutionpositive s = l + 1.Si l = 0, on obtient près de l'origine (r ≃ 0) :

d2

dr2u(r) ∝ −u(r)

rSi u(r) = a0 + a1r + a2r2 + · · ·

⇒ d2

dr2u(r) = 2a2 + · · · , e qui impose a0 = 0

(6.75)Con lusion : Dans tous les as, on doit avoir pour r petit :u(r) ∝ rl+1 (6.76)

88 Mouvement dans un Potentiel Central

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 5 10 15 20

U(r

)

r

l = 0l = 1

Fig. 6.1 � Graphe de la fon tion U(r) = l(l+1)r2

− 1rpour l = 0 et l = 1.

Par ailleurs, le potentiel "e�e tif" U(r) = ~2l(l+1)2mr2

− αr

a l'allure représentée sur laFigure 6.1. Dans tous les as, on s'attend don à trouver des états liés uniquementpour E < 0. Plaçons-nous dans e as, et faisons le hangement de variablesλ =

√

− E

EI, ρ =

r

a0ave EI =mα2

2~2, a0 =

~2

mα

(6.77)

6.6 Le Mouvement dans un Potentiel Coulombien 89L'équation devient[

− ~2

2m

1

a20

d2

dρ2+

~2l(l + 1)

2ma20ρ

2− α

a0ρ

]

u(ρ) = −EIλ2u(ρ)

⇒[d2

dρ2+

~2l(l + 1)

2ma20ρ

2

−2ma20

~2+

2ma20α

~2a0ρ

]

u(ρ) =2mEIa

20

~2λ2u(ρ)

⇒[d2

dρ2− l(l + 1)

ρ2+

2

ρ

]

u(ρ) =2m2α2

2~4

~4

m2α2λ2u(ρ)soit [

d2

dρ2− l(l + 1)

ρ2+

2

ρ− λ2

]

u(ρ) = 0

(6.78)Quand ρ→ +∞, on a approximativement

d2u

dρ2≃ λ2u⇒ u(ρ) ≃ e±λρ (6.79)La ondition de normalisation impose de rejeter la solution eλρ.Cher hons don la solution sous la forme u(ρ) = e−λρy(ρ).

du

dρ= −λe−λρ + e−λρy′

d2u

dρ2= λ2e−λρy − 2λe−λρy′ + e−λρy′′

⇒[d2

dρ2− 2λ

d

dρ+

2

ρ− l(l + 1)

ρ2

]

y(ρ) = 0

(6.80)Cher hons la solution sous la forme d'un développement :

y(ρ) = ρl+1

+∞∑

q=0

cqρq =

+∞∑

q=0

cqρq+l+1 (6.81)

90 Mouvement dans un Potentiel CentralLe préfa teur vient de la ondition u(r) ∝ rl+1 pour r petit.dy

dρ=

+∞∑

q=0

cq(q + l + 1)ρl+q

d2y

dρ2=

+∞∑

q=0

cq(q + l + 1)(q + l)ρl+q−1

⇒+∞∑

q=0

[cq(q + l + 1)(q + l)ρl+q−1 − 2λcq(q + l + 1)ρl+q + 2cqρ

l+q

−cql(l + 1)ρl+q−1]

= 0

⇒{

c0(l + 1)lρl−1 − c0(l + 1)lρl−1 = 0

cq(q + l + 1)(q + l) − 2λcq−1(q + l) + 2cq−1 − cql(l + 1) = 0soit cq [(q + l + 1)(q + l) − l(l + 1)] = 2cq−1 (λ(q + l) − 1)

(6.82)que l'on peut réé rire

cqq(q + 2l + 1) = 2cq−1(λ(q + l) − 1)

⇒ cq = cq−12 (λ(q + l) − 1)

q(q + 2l + 1)

(6.83)A priori, quand q → +∞,cq ∝ cq−1

2λ

q

⇒ cq ∝1

q!2λ

⇒ y(ρ) ≃ ρl+1e2λρ

⇒ u(ρ) ∝ eλρ

(6.84)qui n'est autre que la solution rejetée pré édemment. Il faut don que le numérateurs'annule, autrement dit qu'il existe un entier k ≥ 1 tel que

λ(k + l) − 1 = 0

⇒ λ =1

k + l

(6.85)Les énergies possibles sont données parEk,l = − EI

(k + l)2k = 1, 2, . . . (6.86)

6.6 Le Mouvement dans un Potentiel Coulombien 91Les solutions yk,l(ρ) s'obtiennent à partir de la relation de ré urren e sur les cq.Exemples :1. k = 1, l = 0

λ = 1, c1 = 0

⇒ u1,0(ρ) = c0ρe−ρ (6.87)2. k = 1, l = 1

λ =1

2, c1 = 0

⇒ u1,1(ρ) = c0ρ2e−

ρ2

(6.88)3. k = 2, l = 0

λ =1

2, c1 = c0

2(

12× 1 − 1

)

1(1 + 1)= −1

2c0

⇒ u2,0(ρ) = c0ρ(

1 − ρ

2

)

e−ρ2

(6.89)Finalement, les fon tions radiales s'obtiennent en remplaçant ρ par ra0, en divisantpar r, et en normalisant le résultat par la ondition

∫ +∞

0

R2r2dr = 1 (6.90)Ré apitulation : Les fon tions radiales sont données parRk,l(r) =

1

re−λ r

a0

(r

a0

)l+1[

c0 + c1

(r

a0

)

+ ...+ ck−1

(r

a0

)k−1] (6.91)ave

cq = cq−12 (λ(q + l) − 1)

q(q + 2l + 1)et λ =

1

k + l(6.92)

c0 est déterminé par la ondition de normalisation :∫ +∞

0

r2(Rk,l(r))2dr = 1 (6.93)

92 Mouvement dans un Potentiel CentralExemples :R1,0(r) = c0e

− ra0

c0 est donné par :∫ +∞

0

c20e− 2r

a0 r2dr = 1Mais ∫ +∞

0

x2e−axdx =d2

da2

[∫ +∞

0

e−axdx

]

=d2

da2

(1

a

)

=2

a3

⇒∫ +∞

0

c20e− 2r

a0 r2dr = 2 ×(a0

3

)3

=a3

0

4

⇒ c0 = 2a− 3

20

⇒ R1,0(r) = 2a− 3

20 e

− ra0

(6.94)On trouve de même, ave ∫ +∞

0rne−ardr = n! a−1−n

R1,1(r) = (2a0)− 3

2r√3a0

e− r

2a0

R2,0(r) = 2(2a0)− 3

2

(

1 − r

2a0

)

e− r

2a0

(6.95)Appli ation : l'Atome d'HydrogèneV (r) = −e

2

r

⇒{

EI = me4

2~2 = 13.6 [eV ]

a0 = ~2

me2= 0.52 [Å]

(6.96)Il est traditionnel de représenter les niveaux d'énergie en fon tion de l omme lemontre la �gure 6.2.L'énergie ne dépend que de k + l. Du oup, vu l'importan e de l'énergie pourles propriétés physiques, il est habituel de rempla er le nombre quantique k parn = k + l, et de repérer les fon tions d'ondes par (n, l,m). n s'appelle le nombrequantique prin ipal.Bien que l'énergie ne dépende que de n, et que la lassi� ation par (n, l,m) soit omplète, il persiste des dégénéres en es. En e�et, une valeur de n peut en généralêtre obtenue pour plusieurs valeurs de l, plus pré isément toutes les valeurs de linférieures ou égales à n− 1. De plus, pour une valeur de l, il y a 2l + 1 valeurs de

6.6 Le Mouvement dans un Potentiel Coulombien 934s 4p 4d 4f

3s 3p 3d

2s 2p

1s

0

−13.616

−13.69

−13.64

−13.6

E [eV℄

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3Fig. 6.2 � Représentation du spe tre de l'atome d'hydrogène.m possibles. Au total, la dégénéres en e vaut :

1 + 3 + . . .+ (2n− 1) = (2 − 1) + (4 − 1) + . . .+ (2n− 1)

= 2(1 + 2 + . . .+ n) − n

= 2n(n+ 1)

2− n = n2

(6.97)La dégénéres en e du niveau n est n2.Remarques :1. La dégénéres en e des niveaux éle troniques de l'atome d'hydrogène est en fait

2n2 du fait du spin (voir plus loin).2. Il y a également des solutions dé rivant la di�usion d'éle trons par les protons.Elles seront étudiées plus tard dans e ours, vraisemblablement en PhysiqueQuantique III.

94 Mouvement dans un Potentiel Central6.7 Moment MagnétiqueComment peut-on observer la dégénéres en e des niveaux n > 1 ? Dans e para-graphe, nous allons voir qu'il su�t de plonger le système dans un hamp magnétique.En éle trodynamique lassique, lorsque des parti ules hargées se dépla ent dansun ir uit fermé, elles réent un moment magnétique~M = I ~S (6.98)où I est l'intensité du ourant et ~S =∮~r ∧ d~r est le ve teur surfa e du ir uit. Cemoment magnétique se ouple à un hamp magnétique extérieur ~B en produisantune ontribution − ~M · ~B à l'énergie. Or, pour un éle tron tournant autour d'unnoyau, l'intensité I = e

T, où T est la période :

~M =e

2T

∮

~r ∧ d~r =e

2Tm

∮

~r ∧md~rdtdt =

e

2Tm

∮

~Ldt (6.99)Mais pour un mouvement à for e entrale, ~L est onstant~M =

e

2m~L

1

T

∮

dt =e

2m~L (6.100)Le moment inétique est don ouplé au hamp magnétique par un terme d'énergie

− e2m~L. ~B.Ce i reste vrai en mé anique quantique. Démontrons-le expli itement. La premièreétape onsiste à déterminer la forme de l'Hamiltonien d'une parti ule hargée enprésen e d'un hamp magnétique.La parti ule hargée dans un hamp magnétique :On s'intéresse au problème d'une parti ule de harge e dans un hamp magnétique

~B. En mé anique lassique, la parti ule est soumise à une for e~F = e~v × ~Bet l'équation du mouvement s'é rit :

md2

dt2~r = e

d~r

dt× ~BPour quanti�er le problème, la première étape est d'établir la formulation hamilto-nienne du problème. Pour ela, établissons d'abord la forme du lagrangien.Proposition :

6.7 Moment Magnétique 95Le langrangienL =

1

2m~r2 +

e

c~r. ~A(~r) onduit à l'équation du mouvement her hée si ~B = ~rot ~ADémonstration :L'équation d'Euler-Lagrange s'é rit :

d

dt

(∂L∂~r

)

− ∂L∂~r

= ~0

∂L∂~r

= m~r +e

c~A(~r)

⇒ d

dt

(∂L∂~r

)

= md2~r

dt2+e

c

(

~r.~∇)

~A

∂L∂~r

=e

c~∇(

~r. ~A(~r))mais

~∇(~a.~b) = ~a× ~rot~b+ (~a.~∇)~b+~b× ~rot~a+ (~b.~∇)~aPar ailleurs, dans la formulation lagrangienne de la mé anique, ~r et ~r sont desvariables indépendantes. Les dérivées de ~r par rapport à ~r sont don nulles.Ainsi,~∇(

~r. ~A(~r))

= ~r × ~rot ~A+(

~r.~∇)

~AL'équation du mouvement s'é rit don :md2~r

dt2+e

c

(

~r.~∇)

~A− e

c~r × ~rot ~A− e

c

(

~r.~∇)

~A = 0

md2~rdt2

= ec~r × ~BPour passer à la formulation hamiltonienne, il faut faire une transformation deLegendre :

~p =∂L∂~r

= m~r +e

c~A(~r)

H(~r, ~p) = ~p.~r − L(~r, ~r)Mais~r =

1

m

(

~p− e

c~A(~r)

)

⇒ H =−1

2m

(

~p− e

c~A(~r)

)2

− e

c

1

m

(

~p− ~A(~r))

. ~A(~r) + ~p.1

m

(

~p− ~A(~r))

96 Mouvement dans un Potentiel Central⇒ H = 1

2m

(

~p− ec~A(~r)

)2La quanti� ation se fait alors simplement en remplaçant ~r et ~p par des opérateurssatisfaisant les règles de ommutation habituelles.Considérons désormais le mouvement d'un éle tron dans un potentiel V en pré-sen e d'un hamp magnétique uniforme ~B. L'hamiltonien s'é rit don :H =

1

2m

(

~p− e

c~A(~r)

)2

+ V (~r) (6.101)On a, omme d'habitude, le hoix entre plusieurs potentiels ve teur. Dans le asprésent, il est ommode de hoisir~A = −1

2~r ∧ ~B (6.102)On a bien ~rot ~A = ~B, et de plus div ~A = 0.Démonstration :1.

~rot(~r ∧ ~B) = ~rdiv ~B − (~r · ~∇) ~B + ( ~B · ~∇)~r − ~Bdiv(~r) (6.103)Les deux premiers termes sont nuls puisque ~B est uniforme.( ~B · ~∇)~r =

(

Bx∂

∂x,By

∂

∂y, Bz

∂

∂z

)

xyz

= ~Bdiv(~r) =∂

∂xx+

∂

∂yy +

∂

∂zz = 3

⇒ ~rot(~r ∧ ~B) = −2 ~B

⇒ ~rot ~A = ~B

(6.104)2. div(~r ∧ ~B) = ~B · ~rot(~r) − ~r · ~rot ~B (6.105)Le deuxième terme est nul ar ~B est uniforme. De plus, ~rot(~r) = ~0 ar n'in-terviennent que des dérivées d'une omposante par rapport aux autres. Ainsi,div ~A = 0.

6.7 Moment Magnétique 97Or, si div ~A = 0, ~p et ~A ommutent. En e�et,[

~p, ~A]

= [px, Ax] + [py, Ay] + [pz, Az]Mais [px, Ax(x, y, z)]ϕ(x, y, z) =~

i

[∂

∂x(Axϕ) − Ax

∂

∂xϕ

]

=~

i

(∂Ax∂x

ϕ+ Ax∂ϕ

∂x−Ax

∂ϕ

∂x

)

=~

i

∂Ax∂x

ϕAinsi, [~p, ~A]ϕ =~

i

(∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

)

ϕ

=~

idiv ~Aϕ

(6.106)On peut don é rire :

H =~p 2

2m− e

mc~A · ~p +

e2

2mc2~A2 + V (~r)soit H =

~p 2

2m+

e

2mc(~r ∧ ~B) · ~p+

e2

8mc2(~r ∧ ~B)2 + V

(~r ∧ ~B) · ~p = −( ~B ∧ ~r) · ~p = − ~B · (~r ∧ ~p) = − ~B · ~L

(6.107)d'où �nalementH =

~p 2

2m− e

2mc~L · ~B +

e2

8mc2(~r ∧ ~B)2 + V (6.108)Il apparaît don un terme linéaire par rapport au hamp magnétique. L'opérateurmoment magnétique orbital est dé�ni par

~M =e

2mc~L (6.109)Comme les valeurs propres possibles de Lz sont des multiples entiers de ~, il estusuel d'introduire la quantité suivante

µB =e~

2mc(6.110)appelée le Magnéton de Bohr. Ce qui entraîne

~M =µB~

~L (6.111)Dans un état s (l = 0), le moment magnétique est toujours nul, dans un état p, lesvaleurs propres possibles de ~Mz sont −µB, 0, µB, et ainsi de suite.

98 Mouvement dans un Potentiel CentralRemarque : Il y a un autre terme qui dépend de ~B dans l'hamiltonien. Il s'é rit(~r ∧ ~B)2 = ~r 2 ~B2 sin2 θ = ~r 2 ~B2 − (~r · ~B)2 = B2(x2 + y2) si B ‖z (6.112)Dans les atomes, 〈x2 + y2〉 ∝ a2

0, et e terme est négligeable dans les hamps ma-gnétiques a essibles sauf si le premier terme est rigoureusement nul, omme pourun état s. Nous y reviendrons plus tard lorsque nous traiterons des propriétés desatomes. Dans les solides, où les fon tions d'onde sont étendues, e terme n'est pasnégligeable.

Chapitre 7Spin7.1 Introdu tionAlors que la stru ture de base du spe tre de l'atome d'hydrogène est en parfaita ord ave la résolution de l'équation de S hrödinger de l'éle tron dans le potentiel oulombien du proton, un ertain nombre de données expérimentales on ernant lastru ture du spe tre en présen e d'un hamp magnétique se sont avérées en désa ordsérieux ave e modèle. Pour faire simple (voir l'arti le de Goudsmit pour la "vraie"genèse), un hamp magnétique extérieur ne devrait pas avoir d'in�uen e sur les étatss de l'éle tron, et il devrait lever la dégénéres en e des autres niveaux via le terme−µB

~

~L · ~B de l'hamiltonien :s

l = 0

~B = 0 ~B 6= 0

l

l = 1

~B = 0

µBB

µBB

~B 6= 0

l

l = 2

~B = 0

µBB

µBB

µBB

µBB

~B 6= 0Fig. 7.1 � Levée de dégénéres en e attendue lorsqu'on applique un hamp magné-tique ~B.Or, les levées de dégénéres en e ne orrespondent pas à e s héma (Figure 7.1).En parti ulier, le niveau 1s de l'atome d'hydrogène se s inde en 2 en présen e d'un

100 Spin hamp magnétique :1s

~B = 0

≃ 2µBB

~B 6= 0Fig. 7.2 � Levée de dégénéres en e observée du niveau 1s de l'atome d'hydrogèneen présen e d'un hamp magnétique ~B.La levée de dégénéres en e des niveaux l 6= 0 donne lieu à des spe tres beau oupplus ompliqués que les prédi tions pré édentes. En 1925, Uhlenbe k et Goudsmitont émis l'hypothèse que l'éle tron possédait un moment magnétique intrinsèquedonné par~µs = gµB

~S

~

(7.1)où g est une onstante à peu près égale à 2, et où ~S est un opérateur de moment inétique ayant un l = 12. La valeur 1/2 a été hoisie pour expliquer la séparationen 2 niveaux (m = −1/2 et m = 1/2), et le fa teur g est là pour expliquer la valeurde l'é art entre les niveaux d'énergie (2µB et non µB si le moment magnétique étaitsimplement donné par ~µ = µB

~S~). Cette hypothèse a été notamment on�rmée parl'expérien e de Stern et Gerla h :

Ag~B = Bz non uniforme⇒ ~F = ~∇( ~M · ~B) ≃Mz

∂B∂zz

2 ta hesAg : [Kr℄ 4d105s1

Fig. 7.3 � S héma simpli�é de l'expérien e de Stern-Gernla hLe terme "spin" vient de l'idée que l'on s'est faite à l'époque de l'origine de e moment magnétique. L'éle tron n'étant pas lo alisé, s'il tourne sur lui-même(tourner = "to spin" en anglais), la densité de harges en mouvement doit réer un

7.2 Le Formalisme du Spin 12

101moment magnétique. En fait, e moment magnétique n'a pas d'analogue lassique.Il s'agit d'un degré de liberté supplémentaire que possèdent un grand nombre departi ules.La théorie relativiste de l'éle tron, qui onsiste à rempla er l'équation de S hrö-dinger par sa généralisation relativiste due à Dira et onnue sous le nom d'équationde Dira , démontre que e degré de liberté interne a une origine naturelle dans le adre de la théorie quantique relativiste, et onduit à la prédi tion g = 2.002319305,véri�ée expérimentalement jusqu'à la huitième dé imale !7.2 Le Formalisme du Spin 12Un moment inétique 1

2est un as parti ulier de moment inétique, et tout e quia été vu à l'o asion du moment inétique orbital reste valable. Les omposantes1satisfont les règles de ommutation[Si, Sj

]= i~ǫijkSk

[

~S2, Si]

= 0 ; i, j, k = x, y, z(7.2)L'espa e de Hilbert asso ié est de dimension 2, et on peut hoisir la base des étatspropres ommuns à Sz et ~S2 :

Sz|m〉 = ~m|m〉

~S2|m〉 = ~21

2

(1

2+ 1

)

|m〉 = ~23

4|m〉

(7.3)où m = 12ou m = −1

22. Suivant le ontexte, di�érentes des riptions de et espa ede Hilbert sont ouramment utilisées :1. Comme l'espa e est de dimension 2, on peut dé rire haque élément par unve teur olonne à oe� ients omplexes :

(αβ

)

= α

(10

)

+ β

(01

)

(10

)

⇔ |12〉(

01

)

⇔ |−1

2〉

(7.4)Cette des ription est très utile ar elle permet d'exprimer les opérateurs Sx, Sy, Sz omme des matri es 2 × 2.1Dans e hapitre, il est entendu que ~S ≡ ~S est un opérateur et on se permet de faire l'é onomiedu symbole � .2Il est traditionnel d'omettre l = 1

2dans la notation |l,m〉.

102 Spin2. Lorsqu'on s'intéresse à un ensemble de spins 12, il est plus ommode de garderla notation "bra" et "ket". Pour 1 spin 1

2, la notation standard est alors

|12〉 → |↑〉 (spin "up")

|−1

2〉 → |↓〉 (spin "down") (7.5)Les �è hes rappellent l'orientation du moment magnétique.3. Il est souvent utile, en parti ulier lorsqu'on dis ute les propriétés de plusieursparti ules identiques, de traiter les degrés de liberté de l'espa e (x, y, z) et despin sur un pied d'égalité. L'espa e de Hilbert du spin est alors dé rit par lesfon tions à valeur omplexe d'une variable σ prenant les valeurs ±1

2:

χ :

{

−1

2,1

2

}

→ C (7.6)Les états de bases orrespondent aux fon tions :|12〉 ↔ χ 1

2: χ 1

2

(1

2

)

= 1 , χ 12(−1

2) = 0

|−1

2〉 ↔ χ− 1

2: χ− 1

2

(1

2

)

= 0 , χ− 12(−1

2) = 1

(7.7)Ces relations se résument sous la formeχσ(σ

′) = δσσ′ (7.8)Nous serons amenés à utiliser es di�érentes des riptions. Commençons par lapremière, qui onduit à des onsidérations très intéressantes sur les rotations.7.3 Les Matri es de PauliCommençons par établir la forme des opérateurs Sz, S+, S−, Sx et Sy dans la basedé�nie par l'équation 7.8.Sz|1

2〉 =

~

2|12〉

Sz|−1

2〉 = −~

2|−1

2〉

⇒ Sz =~

2

(1 00 −1

) (7.9)

7.3 Les Matri es de Pauli 103S+|1

2〉 = 0

S+|−1

2〉 = ~

√

1

2

(1

2+ 1

)

−(

−1

2

)(

−1

2+ 1

)

|12〉 = ~|1

2〉

⇒ S+ = ~

(0 10 0

)

S−|12〉 = ~

√

1

2

(1

2+ 1

)

− 1

2

(1

2+ 1

)

|12〉 = ~|−1

2〉

S−|−1

2〉 = 0

⇒ S− = ~

(0 01 0

)

(7.10)

{

S+ = Sx + iSy

S− = Sx − iSy⇒

{

Sx = 12(S+ + S−)

Sy = 12i

(S+ − S−)

⇒ Sx =~

2

(0 11 0

)

Sy =~

2

(0 −ii 0

)

(7.11)On voit que Sx, Sy et Sz s'expriment simplement à l'aide des matri es de Pauli :

σx =

(0 11 0

)

σy =

(0 −ii 0

)

σz =

(1 00 −1

) (7.12)puisque Si = ~

2σi (i = x, y, z).Propriétés des matri es de Pauli :Désignons par σ0 la matri e identité.1. σ2

i = σ02. Tr(σi) = 03. det(σi) = −14. [σi, σj] = 2iǫijkσk5. σiσj = −σjσi pour i 6= jLes matri es de Pauli anti ommutent.

104 SpinDémonstration :(

0 11 0

)(0 −ii 0

)

=

(i 00 −i

)

(0 −ii 0

)(0 11 0

)

=

(−i 00 i

) (7.13)6. (4) et (5) ⇒ σiσj = −σjσj = iǫijkσk pour i 6= j7. Les propriétés (1) et (6) se résument enσiσj = δijσ0 + iǫijkσk (7.14)8. En dé�nissant ~σ ≡ (σx, σy, σz), on en déduit aisément :

(~σ · ~a)(~σ ·~b) = σ0(~a ·~b) + i~σ · (~a ∧~b)⇒

[

~σ · ~a, ~σ ·~b]

= 2i~σ · (~a ∧~b)(7.15)9. {σ0, σx, σy, σz} onstituent une base des matri es 2× 2. C'est lair puisque lesmatri es

(1 00 0

)

=1

2(σ0 + σz)

(0 00 1

)

=1

2(σ0 − σz)

(0 10 0

)

=1

2(σx + iσy)

(0 01 0

)

=1

2(σx − iσy)

(7.16) onstituent elles-mêmes une base évidente.7.4 Matri es de Pauli et RotationsLes matri es de Pauli sont notamment très utiles pour dé rire les rotations. Consi-dérons en e�et le problème suivant : soient n et m deux ve teurs unitaires reliés parune rotation R~α d'angle α = ‖~α‖ autour de la dire tion α = ~α‖~α‖ , 'est-à-dire :

n = R~α(m) (7.17)Comment les états propres |n ↑〉 et |n ↓〉 de ~S · n sont-ils reliés aux états propres|m↑〉 et |m↓〉 de ~S · m ?Proposition :

~S · n = e−i~S·~α/~

(

~S · m)

ei~S·~α/~ (7.18)

7.4 Matri es de Pauli et Rotations 105n

mα

b

αFig. 7.4 � Rotation d'un angle α autour de l'axe ~α (~α pointe hors de la feuille).Démonstration :En onsultant la �gure, on voit aisément que :n = cosα m+ sinα α ∧ m (7.19)Pour dα in�nitésimal, on a don :

n(α + dα) = n(α) + dα α ∧ n(α) +O(dα2)

⇒ ~S · n(α + dα) = ~S · n(α) + dα~S · (α ∧ n(α)) +O(dα2)(7.20)Mais la relation (7.13) implique

[

~S · ~a, ~S ·~b]

= i~~S · (~a ∧~b)

⇒ ~S · n(α + dα) = ~S · n(α) − i

~dα[

~S · α, ~S · n(α)]

+O(dα2)(7.21)Si on onsidère ~S · n omme fon tion de α, on a don :

d

dα

(

~S · n)

= − i

~

[

~S · α, ~S · n]

+O(dα2) (7.22)ave la ondition initiale (~S · n)

(α = 0) = ~S · m.Démontrons que A ≡ e−i~S·~α/~

(

~S · m)

ei~S·~α/~ est solution (en se rappelant de ladé�nition α = ~α

‖~α‖ ↔ ~α = α×‖α‖ ≡ α× α).A(α = 0) = ~S · m trivialdA

dα= −i

~S · α~

A+ Ai~S · α

~= − i

~

[

~S · α, A] CQFD (7.23)

106 SpinRevenons à la question nous nous sommes posée au départ, à savoir le rapportentre les états propres de ~S · n et eux de ~S · m. Considérons l'état e−i~S·~α/~|m↑〉.~S · ne−i~S·~α/~|m↑〉 = e−i

~S·~α/~(

~S · m)

ei~S·~α/~e−i

~S·~α/~|m↑〉

= e−i~S·~α/~~S · m|m↑〉

= e−i~S·~α/~~

2|m↑〉

⇒ |n ↑〉 = e−i~S·~α/~|m↑〉

(7.24)De même, |n↓〉 = e−i

~S·~α/~|m↓〉.Remarque :La démonstration repose sur l'identité :[

~S · ~a, ~S ·~b]

= i~~S · (~a ∧~b) (7.25)Or, ette identité est vraie pour n'importe quel moment inétique. En e�et, à partirdes relations de ommutation[Lx, Ly] = i~Lzon trouve

[Lxax + Lyay + Lzaz, Lxbx + Lyby + Lzbz]

= axby[Lx, Ly] + axbz[Lx, Lz]

+ aybx[Ly, Lx] + aybz[Ly, Lz]

+ azbx[Lz , Lx] + azby[Lz, Ly]

= i~Lz(axby − aybx) + i~Lx(aybz − azby) + i~Ly(azbx − axbz)

= i~~L · (~a ∧~b). (7.26)Ainsi, on a de façon tout à fait générale :~L · n = e−i

~L·~α/~(

~L · m)

ei~L·~α/~ (7.27)et

|nLM〉 = e−i~L·~α/~|mLM〉. (7.28)Dans le as du spin 1

2, et opérateur a une forme très simple. En e�et, on peuté rire

e−i~S·~α/~ = e−i~σ·~α/2 (7.29)

7.4 Matri es de Pauli et Rotations 107où ~σ est le ve teur dé�nit pré édemment dont les omposantes sont les matri es dePauli. Mais,e−i~σ·~α/2 =

+∞∑

n=0

(−i~σ · ~α2

)n1

n!= sum+∞

n=0

(−iα~σ · α2

)n1

n!(7.30)et par (7.13)

(~σ · α)2

= σ0α · α + i~σ · (α ∧ α) = σ0 (7.31)d'oùe−i~σ·~α/2 = σ0

∑

n=0,2,4,...

(−iα2

)n1

n!+ σ · α

∑

n=1,3,5,...

(−iα2

)n1

n!

= cosα

2σ0 − iσ · α sin

α

2

⇒ e−i~σ·~α/2 = cosα

2σ0 − i sin

α

2σ · α

(7.32)Exemple : Considérons une rotation d'angle −π

2autour de x à partir de z. Ave les notations pré édentes, ~S · m = Sz et ~S · n = Sy. Soit (1

0

) l'état propre de Sz devaleur propre ~

2. D'après la formule qui pré ède, il faut appliquer l'opérateur

√2

2σ0 + i

√2

2σx =

√2

2

(1 ii 1

)

⇒ |n↑〉 =︸︷︷︸

(7.22)

√2

2

(1 ii 1

)(10

)

=

√2

2

(1i

) (7.33)Or,σy

(1i

)

=

(0 −ii 0

)(1i

)

=

(1i

)

⇒ Sy

(√2

2

(1i

))

=~

2

(√2

2

(1i

)) ça mar he ! (7.34)Remarques :

108 Spin1. Si on fait une rotation de 2π, l'opérateur asso ié vaut −σ0. Autrement dit, ona transformé un état en son opposé ! Ce i est vrai pour les spins demi-entiers,mais pas pour les spins entiers. Cette propriété a été véri�ée par des expérien esd'interféren e sur des neutrons, qui, omme les éle trons, possèdent un spin 12.Il faut faire une rotation de 4π pour se retrouver dans le même état ave lemême signe (S.A. Werner et al., Physi al Review Letters 35, 1053, (1975)).C'est un exemple d'une propriété générale des rotations : e n'est qu'après unerotation de 4π qu'un objet en relation ave son environnement se retrouve dansson état initial (argument dû à Dira , voir le livre de Jean-Mar Lévy-Leblondet Françoise Balibar : Quantique).2. Si on applique la même rotation à l'état |m ↓〉, on obtient bien sûr |n ↓〉. Ene�et, |m↓〉 = |−m↑〉 → |− n↑〉 = |n↓〉. Si un état est dé rit par le ve teur(a

b

)relatif à la quanti� ation dans la dire tion m, l'opérateur rotation e−i~σ·~α/2 letransforme en l'état (ab

) relatif à la quanti� ation dans la dire tion n.3. Une question voisine mais di�érente est de savoir omment exprimer un ve teur(ab

) relatif à la quanti� ation dans la dire tion m dans la base relative à laquanti� ation dans la dire tion n.L'état (ab

) orrespond à |ψ〉 = a|m ↑〉 + b|m ↓〉. Les oordonnées (a′b′

) duve teur dans la base |nσ〉 s'é rivent :{

a′ = 〈n↑|ψ〉b′ = 〈n↓|ψ〉soit {

a′ = a〈n↑|m↑〉 + b〈n↑|m↓〉b′ = a〈n↓|m↑〉 + b〈n↓|m↓〉Or, |n↑〉 = e−i

~S·~α/~|m↑〉 ⇒ 〈n↑| = 〈m↑|ei~S·~α/~

⇒

a′ = a(

1 0)

ei~σ·~α/2

(

1

0

)

+ b(

1 0)

ei~σ·~α/2

(

0

1

)

b′ = a(

0 1)

ei~σ·~α/2

(

1

0

)

+ b(

0 1)

ei~σ·~α/2

(

0

1

)

⇒(a′

b′

)

= ei~σ·~α/2(ab

)

(7.35)

7.5 L'éle tron non relativiste 1097.5 L'éle tron non relativisteUn éle tron non relativiste peut don être dé rit par 4 degrés de liberté : 3 pourla position dans l'espa e et un, dis ret, pour le spin. Ayant hoisi une dire tion pourquanti�er le spin, on peut don le dé rire par une fon tion d'onde.ψ(x, y, z; σ) ∈ C x, y, z ∈ R σ ∈ {−1

2,1

2} (7.36)La probabilité de trouver l'éle tron au point x, y, z ave la proje tion σ suivant zpour le spin est donnée par |ψ(x, y, z; σ)|2. Celle de trouver l'éle tron au point x, y, zave un spin quel onque est ∑σ |ψ(x, y, z; σ)|2 et elle de le trouver n'importe oùmais ave un spin déterminé vaut ∫ d3~r |ψ(x, y, z; σ)|2.En�n, omme la probabilité de le trouver ave n'importe quel spin n'importe oùvaut 1, on doit imposer la normalisation :

∫

d3~r∑

σ

|ψ(x, y, z; σ)|2 = 1 (7.37)Question : Supposons qu'un éle tron soit dé rit par une fon tion d'onde où lavariable spin est relative à une dire tion m :ψ(x, y, z; mσ) (7.38)Comment s'é rit la fon tion d'onde si l'on hoisit une dire tion n pour quanti�erle spin ?Réponse : la fon tion d' onde ψ(x, y, z; mσ) orrespond au ket

|ψ〉 =∑

σ

∫

d3~r ψ(x, y, z; mσ)|~r〉 ⊗ |mσ〉 (7.39)Par dé�nition, la fon tion d' onde ψ(x, y, z; nσ′) est don :(〈~r| ⊗ 〈nσ′|)|ψ〉 =

∑

σ

ψ(x, y, z; mσ)〈nσ′|mσ〉

= 〈nσ′|(ψ(x, y, z; m ↑)|m ↑〉 + ψ(x, y, z; m ↓)|m ↓〉) (7.40)Or, d'après le al ul sur les rotations, es omposantes sont données par :(ψ(x, y, z; n ↑)ψ(x, y, z; n ↓)

)

= ei~σ·~α/2(ψ(x, y, z; m ↑)ψ(x, y, z; m ↓)

) (7.41)Cette propriété amène à préférer dans ertains as représenter la fon tion d'onded'un éle tron par un ve teur olonne

110 Spin(ψ(x, y, z; ↑)ψ(x, y, z; ↓)

) (7.42)appelé spineur.Appli ation : supposons qu'un éle tron soit dans un état ψ(x, y, z; σ) , où σ estrelatif à la dire tion m . Quelle est la probabilité de le trouver au point x, y, z ave une proje tion ~

2dans la dire tion n ?Réponse : si ~α désigne la rotation pour passer de m à n, elle est donnée par

|ψ(x, y, z; n ↑)|2, qui s'obtient à partir de ψ(x, y, z; σ) à l'aide de l'équation pré é-dente.7.5.1 Moment inétique orbital et spinComme le spin et les oordonnées sont des degrés de liberté, ils orrespondent àdes observables qui ommutent,[~S,~r] = [~S, ~p] = [~S, ~L] = 0 (7.43)Cha un des opérateurs agit sur les degrés de liberté orrespondant. Pour détermi-ner l'e�et d'un opérateur faisant intervenir à la fois le spin et des degrés de libertéspatiaux, il su�t de dé omposer l'état dans l'espa e de Hilbert produit tensoriel etd'appliquer les opérateurs sur les omposantes respe tives :

(Aspin ⊗ Aorb)|ψ〉 =∑

σ

∫

d3~r |ψ(x, y, z)| Aorb|~r〉 ⊗ Aspin|σ〉 (7.44)Par exemple, l'opérateur rotation s'é rite−i

~S·~α/~ ⊗ e−i~L·~α/~ (7.45)que l'on é rit souvent e−i ~J ·~α/~ où ~J = ~S + ~L est le moment inétique total.La théorie relativiste de l'éle tron prédit que les moments inétiques orbital et despin sont ouplés. Dans le as d'un potentiel entral, le ouplage s'é rit :

(1

2m2c21

r

dU

dr) ~S · ~L (7.46)C'est le ouplage spin-orbite. Comment diagonaliser l'opérateur ~L·~S ? C'est l'objetdu hapitre suivant.Remarque : e ouplage vient du fait qu'en relativité, une parti ule se dépla antdans un hamp éle trique ~E à la vitesse ~v sent un hamp magnétique ~v∧ ~E

c. Ce hamp se ouple au spin

7.5 L'éle tron non relativiste 111→ |e|

mcρ~v ∧

~E

c(7.47)Mais e ~E = ~∇V = ~r 1

rdVdr

→ Hs.o =|e|mc

~S ~v ∧ ~r1r

dV

dr

1

ec= (

1

m2c21

r

dU

dr) ~S · ~L (7.48)En fait, il y a une autre ontribution au hamp magnétique égale à −1

2~v∧ ~Ec

du faitd'un autre e�et relativiste.

112 Spin

Annexe AEspa e de HilbertA.1 GénéralitésDé�nition : Un espa e de Hilbert est un espa e ve toriel sur le orps des omplexesmuni d'un produit s alaire dé�ni positif.Dimension : Un espa e de Hilbert est de dimension �nie si on peut trouver unebase ayant un nombre �ni de ve teurs. Sinon, il est de dimension in�nie. Sauf men-tion ontraire, les propriétés i-dessous sont valables pour des espa es de Hilbert dedimension quel onque, �nie ou in�nie.Notations : En mé anique quantique, il est habituel de noter les éléments del'espa e de Hilbert par des symboles |ϕ〉, |ψ〉, |χ〉 · · · Le produit s alaire de |ϕ〉 ave |χ〉 est noté 〈χ|ϕ〉.Exemple : L'exemple de plus naturel d'espa e de Hilbert de dimension N estdonné par des ve teurs olonnes à N omposantes omplexes :

|ϕ〉 =

a1...aN

|χ〉 =

b1...bN

(A.1)Le produit s alaire 〈χ|ϕ〉 est dé�ni par :

〈χ|ϕ〉 = b∗1a1 + b∗2a2 + · · ·+ b∗NaN (A.2)= (b∗1 · · · b∗N)

a1...aN

(A.3)

114 Espa e de HilbertPropriétés du produit s alaire :1. 〈χ|ϕ〉 est linéaire par rapport à |ϕ〉 :〈χ|ϕ1 + λϕ2〉 = 〈χ|ϕ1〉 + λ〈χ|ϕ2〉 (A.4)2. 〈χ|ϕ〉 = 〈ϕ|χ〉∗3. 〈χ|ϕ〉 est antilinéaire par rapport à |χ〉 :〈χ1 + λχ2|ϕ〉 = 〈χ1|ϕ〉 + λ∗〈χ2|ϕ〉 (A.5)Démonstration :〈χ1 + λχ2|ϕ〉 = 〈ϕ|χ1 + λχ2〉∗

= 〈ϕ|χ1〉∗ + λ∗〈ϕ|χ2〉∗= 〈χ1|ϕ〉 + λ∗〈χ2|ϕ〉4. 〈ϕ|ϕ〉 est réel ar 〈ϕ|ϕ〉 = 〈ϕ|ϕ〉∗. On note aussi 〈ϕ|ϕ〉 = ||ϕ||2 (norme au arré).5. Par hypothèse, 〈ϕ|ϕ〉 ≥ 0, et 〈ϕ|ϕ〉 = 0 si et seulement si |ϕ〉 = 0.Exemple : toutes es propriétés sont trivialement véri�ées par le produit s alairedé�ni sur l'espa e des ve teurs olonnes à oe� ients omplexes.Opérateurs linéaires :Un opérateur linéaire est un opérateur asso iant à tout élément de l'espa e deHilbert un autre élément de l'espa e de Hilbert, et satisfaisant la ondition de linéa-rité :

|A(ϕ+ λχ)〉 = |Aϕ〉 + λ|Aχ〉 (A.6)Exemple : les produits par une matri e (N × N) à oe� ients omplexes sontles opérateurs linéaires dans l'espa e des ve teurs olonnes de longueur N .Valeur moyenne :En mé anique quantique, la quantité 〈ϕ|A|ϕ〉 est appelée valeur moyenne de l'opé-rateur A dans l'état |ϕ〉. L'origine de ette terminologie est expli itée au hapitre4.

A.1 Généralités 115Conjugué hermitique d'un opérateur :Le onjugué hermitique d'un opérateur A est noté A†. Il est dé�ni par :〈χ|A†ϕ〉 = 〈Aχ|ϕ〉 (A.7)ou en ore, e qui est équivalent :〈χ|A†ϕ〉 = 〈ϕ|Aχ〉∗ (A.8)Exemple : le onjugué hermitique d'une matri e est la onjuguée de la transposée.Autrement dit,

A =

a11 a12 · · · a1N

a21...aN1 · · · aNN

⇒ A† =

a∗11 a∗21 · · · a∗N1

a∗12...a∗1N · · · a∗NN

(A.9)Propriété : (AB)† = B†A†Démonstration :〈χ|(AB)†ϕ〉 = 〈ABχ|ϕ〉 = 〈Bχ|A†ϕ〉 = 〈χ|B†A†ϕ〉 (A.10)Opérateur hermitique :Un opérateur est hermitique s'il est égal à son onjugué hermitique, 'est-à-dire si

A† = A (A.11)Remarque : il y a des subtilités en dimension in�nie. Nous y reviendrons.Notations : on note indi�éremment A|ϕ〉 = |Aϕ〉 et 〈χ|Aϕ〉 = 〈χ|A|ϕ〉 .Valeurs propres et ve teurs propres :On dit que |ϕ〉 est ve teur propre de A, et que a (∈ C) est la valeur propre asso iéesiA|ϕ〉 = a|ϕ〉 (A.12)Théorème 1 : Les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont réelles.

116 Espa e de HilbertDémonstration : Supposons que A|ϕ〉 = a|ϕ〉 et que A† = A :〈ϕ|A|ϕ〉 = a〈ϕ|ϕ〉 (A.13)Mais

〈ϕ|A|ϕ〉 = 〈ϕ|A†|ϕ〉 = 〈Aϕ|ϕ〉 = 〈aϕ|ϕ〉 = a∗〈ϕ|ϕ〉⇒ a = a∗ ⇒ a réel (A.14)Théorème 2 : Les ve teurs propres d'un opérateur hermitique asso iés à desvaleurs propres di�érentes sont orthogonaux.Démonstration : Supposons que A|ϕ〉 = a|ϕ〉, A|ψ〉 = b|ψ〉, A† = A et a 6= b,

〈ψ|A|ϕ〉 = a〈ψ|ϕ〉 (A.15)Mais〈ψ|A|ϕ〉 = 〈ψ|A†|ϕ〉 = 〈Aψ|ϕ〉 = (〈ϕ|A|ψ〉)∗ = b∗(〈ϕ|ψ〉)∗ = b∗〈ψ|ϕ〉 (A.16)Mais omme A est hermitique, b∗ = b. Ainsi

a〈ψ|ϕ〉 = b〈ψ|ϕ〉⇒ 〈ψ|ϕ〉 = 0 si a 6= b (A.17)Théorème 3 : Tout opérateur hermitique est diagonalisable.Démonstration : voir ours de maths.Théorème 4 : Si deux opérateurs diagonalisables ommutent, on peut les diago-naliser dans une base ommune.Démonstration : supposons don que AB = BALemme : si |ϕ〉 est ve teur propre de A de valeur propre a, B|ϕ〉 est aussi ve teurpropre de A de valeur propre a.Démonstration du Lemme : AB|ϕ〉 = BA|ϕ〉 = Ba|ϕ〉 = aB|ϕ〉Démonstration du théorème :� Premier as : A|ϕ〉 = a|ϕ〉, et a est non-dégénérée, 'est-à-dire qu'il n'existeau un autre ve teur non nul de H (à un oe� ient omplexe près) de mêmevaleur propre. Alors, puisque B|ϕ〉 est aussi ve teur propre de A de valeurpropre a, il est soit proportionnel à |ϕ〉, soit nul, don de la forme B|ϕ〉 = b|ϕ〉,ave b éventuellement égal à 0.

A.1 Généralités 117� Se ond as : Il existe un sous-espa e de H noté Ha tel que |ϕ〉 ∈ Ha ⇒ A|ϕ〉 =a|ϕ〉.Dans e as, pour tout |ϕ〉 ∈ Ha, B|ϕ〉 ∈ Ha. L'opérateur B est don un opérateurde Ha. Puisqu'il est par hypothèse diagonalisable, on peut le diagonaliser dans Ha.Les ve teurs propres orrespondant sont bien sûr également ve teurs propres de Ade valeur propre a.Dé�nition : on appelle ommutateur de deux opérateurs l'opérateur dé�ni par :

[A,B] = AB −BASi deux opérateurs ommutent, leur ommutateur est nul.Algèbre des CommutateursLes ommutateurs satisfont les mêmes règles que les ro hets de Poisson :• [A,B] = − [B,A]• [A +B,C] = [A,C] + [B,C]• [AB,C] = A [B,C] + [A,C]BDémonstration :

[AB,C] = ABC − CAB

A [B,C] + [A,C]B = ABC − ACB + ACB − CAB = ABC − CAB(A.18)

• Identité de Ja obi : [A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]] = 0Démonstration :(ABC − ACB − BCA+ CBA) + (BCA−BAC − CAB + ACB)

+ (CAB − CBA− ABC +BAC) = 0(A.19)Tra e d'un opérateur :En dimension �nie : on dé�nit la tra e d'un opérateur par :TrA =

∑

n

〈n|A|n〉où les états |n〉 forment une base orthonormée de l'espa e de Hilbert.Pour les matri es, on a don : TrA =∑

i

Aii

118 Espa e de HilbertProposition : la tra e d'un produit de matri es est invariante par permutation ir ulaire des matri es.Démonstration : Tr(A(1) · · ·A(n)) =∑

i

(A(1) · · ·A(n))iiMais l'élément de matri e (A(1) · · ·A(n))ij s'é rit :∑

i1,··· ,in−1

A(1)i,i1A

(2)i1,i2

· · ·A(n−1)in−2,in−1

A(n)in−1,j

⇒ Tr(A(1), · · · , A(n)) =∑

i

∑

i1,··· ,in−1

A(1)i,i1A

(2)i1,i2

· · ·A(n−1)in−2,in−1

A(n)in−1,i

=∑

i1,··· ,inA

(1)in,i1

A(2)i1,i2

· · ·A(n−1)in−2,in−1

A(n)in−1,in

=∑

i1,··· ,inA

(n)in−1,in

A(1)in,i1

· · ·A(n−1)in−2,in−1

= Tr(A(n)A(1) · · ·A(n−1)) (A.20)Autres propriétés :• Tr(AB) = Tr(BA)• Tr(A +B) = Tr(A) + Tr(B)• Tr([A,B]) = 0• Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA)

A.2 Espa es de Hilbert de dimension in�nie :Un espa e de Hilbert est dit de dimension in�nie s'il ne possède pas de baseayant un nombre �ni d'éléments. On dit qu'il est séparable s'il possède une basedénombrable.Théorème : Tous les espa es séparables sont isomorphes.Démonstration : Voir ours de math.Trois exemples d'espa es de Hilbert séparables sont ouramment utilisés en mé- anique quantique.

A.2 Espa es de Hilbert de dimension in�nie : 119L'espa e ℓ(2) : Un élément |ϕ〉 ∈ ℓ2 est dé�ni par une suite de nombres omplexesc1, . . . , cn, . . . telle que

‖ϕ‖2 =

+∞∑

n=1

|cn|2 < +∞ (A.21)C'est la représentation utilisée dans la théorie des matri es de Heisenberg.Le produit s alaire de |ϕ〉 = (c1, . . . , cn, . . .) ave |ψ〉 = (d1, . . . , dn, . . .) est dé�nipar :〈ψ|ϕ〉 =

+∞∑

n=1

d∗ncn (A.22)Proposition :‖ϕ‖2 , ‖χ‖2 < +∞ ⇒ |〈ϕ|χ〉| < +∞ (A.23)Démonstration : C'est une onséquen e dire te de l'inégalité de S hwarz :

|〈ϕ|ψ〉|2 ≤ ‖ϕ‖2 · ‖ψ‖2 (A.24)laquelle se démontre omme suit :〈ϕ− λψ|ϕ− λψ〉 = ‖ϕ‖2 − λ∗〈ψ|ϕ〉 − λ〈ϕ|ψ〉 + |λ|2 ‖ψ‖2 ≥ 0 ∀λ ∈ CEn hoisissant λ = ‖ϕ‖2

〈ϕ|ψ〉 ⇒ λ∗ = ‖ϕ‖2

〈ψ|ϕ〉 , on obtient :‖ϕ‖2 − ‖ϕ‖2 − ‖ϕ‖2 +

‖ϕ‖4 ‖ψ‖2

|〈ψ|ϕ〉|2≥ 0

⇒ ‖ϕ‖4 ‖ψ‖2 ≥ ‖ϕ‖2 |〈ψ|ϕ〉|2Si ‖ϕ‖ = 0, l'inégalité est vraie. Si ‖ϕ‖ 6= 0, on divise par ‖ϕ‖2

⇒ |〈ψ|ϕ〉|2 ≤ ‖ϕ‖2 ‖ψ‖2Proposition :|ϕ〉, |χ〉 ∈ ℓ(2) ⇒ |ϕ+ λχ〉 ∈ ℓ(2) (A.25)Démonstration :

〈ϕ+ λψ|ϕ+ λψ〉 = ‖ϕ‖2 +∣∣λ2∣∣ ‖ψ‖2 + λ∗〈ψ|ϕ〉 + λ〈ϕ|ψ〉Mais,

〈ϕ− λψ|ϕ− λψ〉 ≥ 0 ⇒ ‖ϕ‖2 +∣∣λ2∣∣ ‖ψ‖2 ≥ λ∗〈ψ|ϕ〉 + λ〈ϕ|ψ〉et,

‖ϕ+ λψ‖2 ≤ 2(‖ϕ‖2 +

∣∣λ2∣∣ ‖ψ‖2) < +∞

120 Espa e de HilbertL'espa e L(2)([a, b]) :Considérons l'espa e des fon tions omplexes ϕ(x) sur l'intervalle [a, b] telles que :∫ b

a

dx |ϕ(x)|2 < +∞ (A.26)On dit que es fon tions sont de arré sommableProposition :ϕ(x), ψ(x) ∈ L2 ([a, b]) ⇒ ϕ(x) + λψ(x) ∈ L2 ([a, b])) (A.27)Démonstration : Elle dé oule dire tement de l'inégalité

‖ϕ‖2 +∣∣λ2∣∣ ‖ψ‖2 ≥ λ∗〈ψ|ϕ〉 + λ〈ϕ|ψ〉Proposition : Si ϕ(x), χ(x) ∈ L(2)([a, b]), le produit s alaire :

〈ψ|ϕ〉 ≡∫ b

a

dx ψ∗(x)ϕ(x) (A.28)est bien dé�niDémonstration : En e�et, l'inégalité :∫ b

a

(ϕ∗ − λ∗χ∗)(ϕ− λχ) ≥ 0 (∀λ ∈ C) onduit à‖ϕ‖2 + |λ| ‖χ‖2 − λ∗〈χ|λ〉 − λ〈ϕ|χ〉 ≥ 0qui, appliqué à λ = ‖ϕ‖2

〈ϕ|χ〉 , onduit omme pré édemment au résultat re her hé.Proposition : L'espa e L2 ([a, b]) est séparable.Démonstration : C'est une onséquen e d'un théorème standard de l'analysede Fourier, qui stipule que toute fon tion de arré sommable sur un intervalle [a, b]peut se dé omposer selonϕ(x) =

+∞∑

n=−∞cn

1√b− a

e2iπnxb−aave cn =

1√b− a

∫ b

a

dx ϕ(x)e−2iπnxb−a

(A.29)

A.3 Proje teurs et Représentation Spe trale I :Dimension Finie 121Les fon tions ϕn(x) = 1√b−ae

2iπnxb−a onstituent une base orthonormée dénombrable de

L2 ([a, b]). En e�et,‖ϕn(x)‖2 =

1

b− a

∫ b

a

dx e−2iπnxb−a e

2iπnxb−a = 1 (A.30)et

〈ϕn|ϕm〉 =1

b− a

∫ b

a

dx e2iπx(m−n)

b−a

=1

b− a

(b− a)

2iπ(m− n)

[

e2iπb(m−n)

b−a − e2iπa(m−n)

b−a

] (A.31)Maise

2iπb(m−n)b−a − e

2iπa(m−n)b−a = e

2iπa(m−n)b−a

[

e2iπ(b−a)(m−n)

b−a − 1]

= 0 (A.32)L'espa e L2 (R)C'est la généralisation de l'espa e pré édent au as où l'intervalle [a, b] est rempla épar R. Tous les résultats pré édents s'appliquent, et on peut démontrer que etespa e est séparable, 'est-à-dire qu'il existe des bases dénombrables. En parti ulier,les fon tions propres de l'os illateur harmonique onstituent une base dénombrablede et espa e de Hilbert.A.3 Proje teurs et Représentation Spe trale I :Dimension FinieSoit |ϕ〉 un élément d'un espa e de Hilbert de norme 1. Tout élément |ψ〉 peut sedé omposer suivant :|ψ〉 = a|ϕ〉 + |ϕ⊥〉 ave 〈ϕ|ϕ⊥〉 = 0 (A.33)Démonstration : Il su�t de hoisir

{

〈ϕ|ψ〉 = a

|ϕ⊥〉 = |ψ〉 − a|ϕ〉⇒ 〈ϕ|ϕ⊥〉 = 〈ϕ|ψ〉 − a = 0

(A.34)dé�nition : Le proje teur sur l'état |ϕ〉 noté P|ϕ〉 est dé�ni parP|ϕ〉|ψ〉 = a|ϕ〉 = 〈ϕ|ψ〉|ϕ〉 (A.35)

122 Espa e de HilbertEspa e Dual et Notations de Dira Le produit s alaire de |ϕ〉 =

a1

. . .an

et |ψ〉 =

b1. . .bn

est dé�ni par 〈ψ|ϕ〉 =

b∗1a1 + . . .+ b∗nan. Cela suggère d'introduire l'espa e dual des ve teurs lignes : 〈ψ| ≡(b∗1 . . . b∗n

). Comme le produit s alaire est antilinéaire pour la 1revariable, on abien sûr 〈λψ| = λ∗〈ψ|. Se basant sur le terme anglais "bra ket" ( ro het), Dira aintroduit la terminologie :|ϕ〉 = ket 〈ψ| = bra (A.36)Proje teur et notation de Dira :D'après e qui pré ède,P|ϕ〉|ψ〉 = 〈ϕ|ψ〉|ϕ〉 = |ϕ〉〈ϕ|ψ〉

⇒ P|ϕ〉 = |ϕ〉〈ϕ|(A.37)Relation de Fermeture :Soit {|ϕi〉, i = 1, . . . , N} une base orthonormée de l'espa e de Hilbert. La sommedes proje tions de tous les éléments de la base est égale à l'identité.Démonstration : Considérons un ve teur |ψ〉 quel onque de H . On peut é rire :

|ψ〉 =N∑

i=1

ci|ϕi〉 (A.38)Comme la base est orthonormée, 〈ϕi|ϕj〉 = δij . Ainsi,∑Nj 6=i cj|ϕj〉 est orthogonale à

|ϕi〉. D'oùP|ϕi〉|ψ〉 = ci|ϕi〉

⇒N∑

i=1

P|ϕi〉|ψ〉 =

N∑

i=1

ci|ϕi〉 = |ψ〉(A.39)Cette propriété s'é rit, en notation de Dira :1l =

∑

n

|ϕn〉〈ϕn| (A.40)Elle est onnue sous le nom de relation de fermeture.

A.3 Proje teurs et Représentation Spe trale I :Dimension Finie 123Représentation des Opérateurs :Un opérateur A est dé�ni par la donnée de ses éléments de matri e dans une base :Amn = 〈ϕm|A|ϕn〉.Proposition :

A =∑

m,n

Amn|ϕm〉〈ϕn| (A.41)Démonstration : Les éléments de matri e du membre de droite sont donnés par :〈ϕi|

(∑

m,n

Amn|ϕm〉〈ϕn|)

|ϕj〉 =∑

m,n

Amn 〈ϕi|ϕm〉︸︷︷︸

δim

〈ϕn|ϕj〉︸︷︷︸

δjn

= Aij (A.42)Le membre de droite a les mêmes éléments de matri e que A. Les deux opérateurssont don égaux.Base Propre d'un Opérateur HermitiqueConsidérons un opérateur hermitique A.1. Supposons que ses valeurs soient toutes non dégénérées. Les ve teurs propressont alors orthogonaux deux à deux, et après normalisation, ils onstituent unebase orthonormée. Désignons ette base par {|ϕi〉, i = 1, . . . , N}. Les élémentsde matri e de A dans ette base sont tous diagonaux. En e�et,〈ϕj|A|ϕi〉 = ai〈ϕj|ϕi〉 = aiδji = 0 si j 6= i (A.43)On en déduit que

A =∑

i

ai|ϕi〉〈ϕi| (A.44)2. Supposons que les valeurs propres puissent être dégénérées, et appelons G(i)la dégénéres en e de la valeur propre ai, où i prend moins de N valeurssi l'une au moins des valeurs propres est dégénérée. Désignons de plus parϕ

(r)i , r = 1, . . . , G(i) une base orthonormée du sous-espa e engendré par lesve teurs propres asso iés à la valeur propre ai. On a alors

• 〈ϕ(r)i |A|ϕ(r′)

j 〉 = 0 si i 6= j ar les ve teurs propres asso iés à deux valeurspropres di�érentes sont orthogonaux.

124 Espa e de Hilbert• 〈ϕ(r)

i |A|ϕ(r′)i 〉 = aiδrr′ ar 〈ϕ(r)

i |ϕ(r′)i 〉 = δrr′.On en déduit la représentation spe trale de A :

A =∑

i

G(i)∑

r=1

ai|ϕ(r)i 〉〈ϕ(r)

i | (A.45)De façon ompa te, on notes souvent A =∑

i ai|ϕi〉〈ϕi| ave la onvention que〈ϕi|ϕj〉 = δij même si ai = aj .Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC)Nous avons vu que si deux observables ommutent, on peut les diagonaliser dansune base ommune. Si un opérateur A a des valeurs propres dégénérées, on peututiliser ette propriété pour lever l'indétermination a priori de la base dans le sous-espa e propre d'une valeur propre dégénérée. Considérons en e�et un opérateur B qui ommute ave A, et désignons par {|ϕn〉, n = 1, . . . , N} une base propre ommune :

{

A|ϕn〉 = an|ϕn〉B|ϕn〉 = bn|ϕn〉

(A.46)Si (an, bn) 6= (am, bm) dès que n 6= m, la base est déterminée sans ambiguïté. Si l'am-biguïté n'est pas en ore levée, on peut ontinuer à rajouter des opérateurs jusqu'à e qu'elle le soit.On appelle ECOC (Ensemble Complet d'Observables qui Commutent) tout en-semble d'opérateurs A1, . . . , Ap qui ommutent entre eux et tels que la base deve teurs propres ommuns soit unique. Si on poseAi|ϕn〉 = a(i)

n |ϕn〉 (A.47) ela suppose que (a(1)n , . . . , a

(p)n

)

6=(

a(1)m , . . . , a

(p)m

) dès que m 6= n.A.4 Changements de Base et Opérateurs UnitairesDé�nition : Un opérateur U est dit unitaire s'il véri�eU †U = UU † = 1lou en ore U † = U−1

(A.48)Théorème : Un opérateur inversible est unitaire si et seulement si il onserve lanorme.Démonstration :

A.4 Changements de Base et Opérateurs Unitaires 1251. Si U est unitaire alors 〈Uϕ|Uϕ〉 = 〈ϕ|U †U |ϕ〉 = 〈ϕ|ϕ〉.2. Inversement, supposons que U onserve la norme. Alors, ∀λ ∈ C, on a :〈U(ϕ+ λψ)|U(ϕ+ λψ)〉 = 〈ϕ+ λψ|ϕ+ λψ〉 (A.49)Mais 〈ϕ+ λψ|ϕ+ λψ〉 = 〈ϕ|ϕ〉 + |λ|2 〈ψ|ψ〉 + λ∗〈ψ|ϕ〉 + λ〈ϕ|ψ〉

= 〈ϕ|ϕ〉 + |λ|2 〈ψ|ψ〉 + 2ℜe(λ〈ϕ|ψ〉)et 〈U(ϕ+ λψ)|U(ϕ+ λψ)〉 = 〈Uϕ|Uϕ〉 + |λ|2 〈Uψ|Uψ〉 + 2ℜe(λ〈Uϕ|Uψ〉)(A.50)L'égalité (A.49) impliqueℜe(λ〈ϕ|ψ〉) = ℜe(λ〈Uϕ|Uψ〉)

λ = 1 ⇒ ℜe(〈ϕ|ψ〉) = ℜe(〈Uϕ|Uψ〉)λ = i⇒ ℑm(〈ϕ|ψ〉) = ℑm(〈Uϕ|Uψ〉)

(A.51)Finalement, ∀|ϕ〉, |ψ〉, on a :〈Uϕ|Uψ〉 = 〈ϕ|ψ〉

⇒ 〈ϕ|U †U |ψ〉 = 〈ϕ|ψ〉⇒ U †U = 1l (A.52)Mais pas hypothèse, U est inversible. En multipliant à droite par U−1 et à gau hepar U , on en déduit que U U † = 1l. U est don unitaire.Corrolaire : En dimension �nie, un opérateur inversible est unitaire si et seule-ment si il onserve la norme.Démonstration : En dimension �nie, la propriété U †U = 1l implique que ledéterminant de U est non nul, don que U est inversible.Changement de base orthonormée :Considérons une base orthonormée {|ϕn〉, n = 1, . . . , N} et un opérateur unitaire

U .Proposition : Les ve teurs |ϕ′n〉 = U |ϕn〉 onstituent une base orthonormée.Démonstration :

〈ϕ′m|ϕ′

n〉 = 〈Uϕm|Uϕn〉 = 〈ϕm|U †U |ϕ〉 = 〈ϕm|ϕn〉 = δmn (A.53)

126 Espa e de HilbertInversement, onsidérons deux bases orthonormées {|ϕn〉} et {|ϕ′n〉}, dé�nissonsun opérateur U par U |ϕn〉 = |ϕ′

n〉.Proposition : U est unitaire.Démonstration : Soit |ψ〉 un élément de H . On peut é rire :|ψ〉 =

∑

n

cn|ϕn〉 ⇒ |Uψ〉 =∑

n

cn|ϕ′n〉

⇒ 〈Uψ|Uψ〉 =∑

m,n

c∗mcn 〈ϕ′m|ϕ′

n〉︸︷︷︸

δmn

=∑

n

|cn|2 = 〈ψ|ψ〉(A.54)

U onserve la norme, il est don unitaire.Transformation des CoordonnéesSoient {|ϕn〉} et {|ϕ′n〉} deux bases orthonormées telles que |ϕ′

n〉 = U |ϕn〉, etdésignons par {cn} et {c′n} les oordonnées d'un ve teur |ψ〉 respe tivement dans es deux bases.Proposition :c′n =

∑

m

U †nmcm (A.55)Démonstration :

c′n = 〈ϕ′n|ψ〉 =

∑

m

〈ϕ′n|ϕm〉〈ϕm|ψ〉

=∑

m

〈Uϕn|ϕm〉〈ϕm|ψ〉

=∑

m

〈ϕn|U †|ϕm〉〈ϕm|ψ〉

=∑

m

U †nmcm

(A.56)Diagonalisation et Matri e de PassageLes ve teurs propres d'un opérateur hermitique onstituent, après le hoix (ar-bitraire) de bases orthonormées dans les sous-espa es propres dégénérés, une baseorthonormée de H . D'après e qui pré ède, l'opérateur reliant es ve teurs propresà la base de départ est unitaire.Considérons un opérateur A, et désignons par Aij la matri e le représentant dansla base de départ {|ϕi〉} :

Aij = 〈ϕi|A|ϕj〉 (A.57)

A.5 Proje teurs et Représentation Spe trale II :Dimension In�nie 127Désignons par {|ψi〉} la base de ses ve teurs propres, et par Dij = diδij la matri ediagonale le représentant dans ette base. Soit en�n U l'opérateur unitaire qui faitpasser de {|ϕi〉} à {|ψi〉}, 'est-à-dire tel que |ψi〉 = U |ϕi〉, et désignons par Uij samatri e dans la base {|ϕi〉}.Proposition : Les matri es U et A satisfont(

U †AU)

ij= diδij (A.58)Démonstration :

diδij = 〈ψi|A|ψj〉=∑

m,n

〈ψi|ϕm〉〈ϕm|A|ϕn〉〈ϕn|ψj〉

=∑

m,n

U †imAmnUnj =

(

U †AU)

ij

(A.59)A.5 Proje teurs et Représentation Spe trale II :Dimension In�nieAlors que de nombreuses propriétés sont étendues sans di� ulté majeure en di-mension in�nie, la représentation spe trale des opérateurs hermitiques en dimensionin�nie est un problème subtil.Bien entendu, si l'ensemble des ve teurs d'un opérateur hermitique onstitue unebase dénombrable de l'espa e de Hilbert, les relations se généralisent immédiatement.Supposons en e�et que A|ϕn〉 = an|ϕn〉, |ϕn〉 ∈ H . On a bien,1l =

∑

n

|ϕn〉〈ϕn|

A =∑

n

an|ϕn〉〈ϕn|(A.60)Le problème vient du fait que les opérateurs hermitiques en dimension in�nie n'ontpas toujours une base dénombrable de ve teurs propres. En e�et, bien que l'espa ede Hilbert (supposé séparable) possède une base dénombrable, ertains opérateursn'admettent pas de dé omposition spe trale dans une telle base. Parfois, des opéra-teurs n'ont même pas de ve teurs propres dans l'espa e de Hilbert. Nous l'avons vudéjà vu dans le as de l'opérateur x. Les solutions de l'équation

xϕ(x) = x0ϕ(x) (A.61)ne sont pas des éléments de L2(R).

128 Espa e de HilbertLes développements mathématiques rigoureux qui prennent es problèmes en ompte supposent l'introdu tion de nombreuses notions (opérateurs bornés, opé-rateurs ompa ts, domaine d'un opérateur, di�éren e entre opérateur hermitiqueset opérateur auto-adjoints,...) qui sortent du adre de e ours. Pour un premieravant-goût, on pourra onsulter le hapitre 7 du livre de Le Bella .En pratique, la seule hose qui nous sera vraiment utile dans le adre de e oursest la possibilité de généraliser la relation de fermeture et la représentation spe traleaux opérateurs x et p.Opérateur xNous avons vu que la "fon tion" δ(x− x0) dé�nie parδ(x− x0) = lim

a→0ϕ(a)x0

(x)ave ϕ(a)x0

(x) =

{

0 si x /∈[x0 − a

2, x0 + a

2

]

1 si x ∈[x0 − a

2, x0 + a

2

]

(A.62)(on peut aussi l'obtenir omme limites d'autres fon tions) permettait de dé�nir leskets |x0〉 par〈x0|ϕ〉 =

∫ +∞

−∞dx δ(x− x0)ϕ(x) = ϕ(x0) (A.63)où la fon tion δ(x− x0) peut être prise omme la limite d'autres fon tions que elledé�nie en (A.62). Alors on a le résultat suivant :Proposition :

∫ +∞

−∞dx |x〉〈x| = 1l (A.64)Démonstration :

〈ϕ|∫ +∞

−∞dx |x〉〈x||ψ〉 =

∫ +∞

−∞dx 〈ϕ|x〉︸︷︷︸

ϕ∗(x)

〈x|ψ〉︸︷︷︸

ψ(x)

= 〈ϕ|ψ〉 (A.65)Conséquen e : L'ensemble des états {|x〉, x ∈ R} onstitue une base de l'espa ede Hilbert. En e�et, ette relation de fermeture permet de dé omposer tout ket |ϕ〉suivant :|ϕ〉 =

∫ +∞

−∞dx |x〉〈x|ϕ〉 =

∫ +∞

−∞dx ϕ(x)|x〉 (A.66)Représentation spe trale de x : D'après e qui pré ède, on véri�e aisémentque l'opérateur x possède la représentaion spe trale suivante :

x =

∫ +∞

−∞dx x|x〉〈x| (A.67)

A.5 Proje teurs et Représentation Spe trale II :Dimension In�nie 129Opérateur pL'opérateur p est dé�ni parpϕ(x) = −i~∂ϕ

∂x(A.68)Les fon tion propres de p satisfont

−i~∂ϕ∂x

= pϕ(x)

⇒ ϕ(x) = Ceipx/~(A.69)puisque −i~ ∂

∂x

(eipx/~

)= −i~ ip

~eipx/~ = peipx/~. Ces fon tions ne sont pas dans

L2(R). En e�et,∫ +∞

−∞dx |ϕ(x)|2 = C2

∫ +∞

−∞dx diverge (A.70)Transformée de Fourier :La représentation spe trale est basée sur la notion de transformée de Fourier d'unefon tion. Soit ϕ(x) une fon tion de L2(R). Sa transformée de Fourier est dé�niepar

ϕ(k) =1√2π

∫ +∞

−∞dx e−ikxϕ(x) (A.71)Cette relation s'inverse en

ϕ(x) =1√2π

∫ +∞

−∞dk eikxϕ(k) (A.72)Proposition : Si on normalise les fon tions propres de p par

ϕp(x) =1√2π~

eipx/~ (A.73)la relation de fermeture s'é rit 1l =

∫ +∞

−∞dp |p〉〈p| (A.74)

130 Espa e de HilbertDémonstration :〈x|∫ +∞

−∞dp |p〉〈p||ϕ〉 =

∫ +∞

−∞dp 〈x|p〉〈p|ϕ〉

=

∫ +∞

−∞dp

1√2π~

eipx/~∫ +∞

−∞dx′

1√2π~

e−ipx′/~ϕ(x′)

=1

2π~

∫ +∞

−∞dp

∫ +∞

−∞dx′ eipx/~e−ipx

′/~ϕ(x′)

=1

2π~

∫ +∞

−∞dp eipx/~

∫ +∞

−∞dx′ e−ipx

′/~ϕ(x′)

=1

2π~

∫ +∞

−∞dp eipx/~

√2πϕ

(p

~

)

=1√2π

1

~

∫ +∞

−∞dk ~eikxϕ(k)

= ϕ(x)

(A.75)où on a inje té la relation de fermeture sur les états |x〉 dans le produit s alaire 〈p|ϕ〉pour passer de la première à la deuxième ligne. On a don démontré que ∀|x〉, |ϕ〉

〈x|∫ +∞

−∞dp |p〉〈p||ϕ〉 = 〈x|ϕ〉 (A.76) e qui établit la propriété re her hée.On en déduit entre autre que l'ensemble des états {|p〉, p ∈ R} onstitue une basede l'espa e de Hilbert.Normalisation des États x et pOn a démontré que pour toute fon tion ϕ(x) on a :

∫ +∞

−∞dx′ ϕ(x′)

(1

2π~

∫ +∞

−∞dp eipx/~e−ipx

′/~

)

= ϕ(x) (A.77)D'après la dé�nition de la fon tion δ(x− x′), on en déduit que1

2π~

∫ +∞

−∞dp ei

p(x−x′)~ = δ(x− x′) (A.78)Cal ulons désormais les produits s alaires 〈x|x′〉 et 〈p|p′〉

〈x|x′〉 =

∫ +∞

−∞dp 〈x|p〉〈p|x′〉 =

1

2π~

∫ +∞

−∞dp eipx/~e−ipx

′/~ = δ(x− x′)

⇒ 〈x|x′〉 = δ(x− x′)

(A.79)

A.5 Proje teurs et Représentation Spe trale II :Dimension In�nie 131〈p|p′〉 =

∫ +∞

−∞dx 〈p|x〉〈x|p′〉 =

1

2π~

∫ +∞

−∞dx eip

′x/~e−ipx/~ = δ(p′ − p)

⇒ 〈p|p′〉 = δ(p− p′)

(A.80) ar δ(p′ − p) = δ(p− p′).Représentation Spe traleEn dimension in�nie, les opérateurs ont en général un spe tre dis ret et un spe tre ontinu1. Si on repère les valeurs propres dis rètes par n et les valeurs propres duspe tre ontinu par ν, on a de façon générale :1l =∑

n

|n〉〈n| +∫

dν |ν〉〈ν| (A.81)etA =

∑

n

an|n〉〈n| +∫

dν a(ν)|ν〉〈ν| (A.82)si les ve teurs propres sont "normalisés" par les onditions :〈m|n〉 = δmn Symbole de Krone ker〈ν|ν ′〉 = δ(ν − ν ′) Distribution δ (A.83)

1C'est en partie en e sens que le théorème spe tral pour des opérateurs d'un espa e de Hilberta des on lusions plus �nes que la simple diagonalisation.

132 Espa e de Hilbert

Annexe BIntégrales GaussiennesB.1 Intégrale Gaussienne RéelleProposition B.1

∫ +∞

−∞dx e−

12Ax2

=

√

2π

A(B.1)

Démonstration : Posons z =∫ +∞−∞dx e

− 12Ax2

z2 =

∫ +∞

−∞dx e−

12Ax2

∫ +∞

−∞dy e−

12Ay2

=

∫

R2

dxdy e−12A(x2+y2)

=

∫ +∞

0

dr r

∫ 2π

0

dθ e−12Ar2

= 2π

∫ +∞

0

du e−Au

= 2π

[e−Au

−A

]+∞

0

=2π

A

⇒ z =

√

2π

A

(B.2)

134 Intégrales GaussiennesB.2 Intégrale Gaussienne Réelle ave un "Terme deSour e"Proposition B.2∫ +∞

−∞dx e−

12Ax2+Bx =

√

2π

Ae

B2

2A (B.3)Démonstration :− 1

2Ax2 +Bx = −1

2A

(

x− B

A

)2

+B2

2A

⇒∫ +∞

−∞dx e−

12Ax2+Bx = e

B2

2A

∫ +∞

−∞dx e−

12A(x−B

A)2

= eB2

2A

∫ +∞

−∞du e−

12Au2

︸︷︷︸√2πA

(B.4)B.3 Intégrale Gaussienne ComplexeProposition B.3

∫ +∞

−∞dx e−α

2x2

=

√π

α(B.5)ave x ∈ R et ℜe(α2) ≥ 0 pour que l'intégrale onverge, soit −π

4≤ argα ≤ π

4.Démonstration : Posons α = aeiθ ave −π

4≤ θ ≤ π

4et a > 0.

∫ +∞

−∞dx e−α

2x2

=1

a

∫ +∞

−∞du e−e

2iθu2

=2

a

∫ +∞

0

du e−e2iθu2 (B.6)Nous allons al uler ette intégrale par la méthode des résidus. Considérons à ete�et la fon tion e−z2 ave z ∈ C, et al ulons son intégrale suivant le ontour donnésur la �gure B.1. Comme e−z2 est analytique, on a bien sûr I1 + I2 + I3 = 0 ave

I1 =

∫ R

0

dx e−x2

⇒ limR→+∞

I1 =

∫ +∞

0

dx e−x2

=

√π

2

(B.7)I2 : on pose z = Reiϕ ⇒ dz = iReiϕdϕ, d'où z2 = R2e2iϕ = R2 (cos 2ϕ+ i sin 2ϕ)

⇒ I2 = iR

∫ θ

0

dϕ e(−R2(cos 2ϕ+i sin 2ϕ)+iϕ) (B.8)

B.3 Intégrale Gaussienne Complexe 135

0

ℑm(z)

ℜe(z)I1

I2

I3

θ

RFig. B.1 � Contour pour l'évaluation de e−z2 dans le plan omplexe.I3 : on pose z = reiθ ⇒ dz = eiθdr

⇒ I3 = eiθ∫ 0

R

dr e−e2iθr2

⇒ limR→+∞

I3 = −eiθ∫ +∞

0

dr e−e2iθr2

(B.9)Cal ulons la limite de I2 lorsque R→ +∞ :|I2| ≤ R

∫ θ

0

dϕ e−R2 cos 2ϕ =

R

2

∫ 2θ

0

dϕ e−R2 cosϕ (B.10)où l'on a utilisé l'inégalité ∣∣∣

∣

∫ b

a

dx f(x)

∣∣∣∣<

∫ b

a

dx |f(x)|. Il faut distinguer deux as :1. 2θ < π2. Dans e as, cosϕ ≥ cos 2θ ⇒ e−R

2 cosϕ ≤ e−R2 cos 2θ, et

I2 ≤R

22θe−R

2 cos 2θ −−−−→R→+∞

0 (B.11)2. 2θ = π2. Dans e as, le majorant du premier as ne su�t pas ar cos 2θ = 0.On va séparer l'intégrale en deux parties :

|I2| ≤R

2

∫ ǫ

0

dϕ e−R2 cos ǫ

︸︷︷︸

≥e−R2 cos ϕ

+R

2

∫ π2

ǫ

dϕsinϕ

sin ǫ︸︷︷︸

≥1

e−R2 cosϕ

⇒ |I2| ≤Rǫ

2e−R

2 cos ǫ +R

2

∫ 0

− cos ǫ

dueR

2u

sin ǫ

⇒ |I2| ≤Rǫ

2e−R

2 cos ǫ +R

2 sin ǫ

1 − e−R2 cos ǫ

R2−−−−→R→+∞

0

(B.12)

136 Intégrales Gaussiennesoù l'on a fait le hangement de variable u = − cosϕ à la 2eligne. Ainsi, limR→+∞ I2 =0, et il reste

limR→+∞

I1 = − limR→+∞

I3 = 0

⇒√π

2= eiθ

∫ +∞

0

du e−e2iθu2

⇒∫ +∞

0

du e−e2iθu2

=

√π

2eiθ

(B.13)On en déduit par (B.6),

∫ +∞

−∞dx e−α

2x2

=2

a

√π

2eiθ=

√π

α(B.14)B.4 Intégrale Gaussienne Complexe ave un "Termede Sour e"Lemme B.1 Si ℜe(α2) ≥ 0, alors ∀β ∈ C, l'intégrale ∫ +∞

−∞dx e−α

2(x+β)2 est indé-pendante de β.Démonstration : On peut se restreindre au as où β est purement imaginaire. Ene�et, si β = w+iy a une partie réelle on peut l'in orporer dans x, faire le hangementde variables x′ = x + w et l'intégrale restera in hangée. Considérons la fon tione−α

2z2, et al ulons son intégrale sur le ontour donné sur la �gure B.2.0

ℑm(z)

ℜe(z)

β

I1

I2

I3

I4

R−R

Fig. B.2 � Contour pour l'évaluation de e−α2z2 dans le plan omplexe.

B.5 Quelques Cas Parti uliers 137I1 −−−−→

R→+∞

∫ +∞

−∞dx e−α

2x2

=

√π

α

I2 =

∫ β

0

dy ie−α2(R+iy)2 −−−−→

R→+∞0

⇒ I4 −−−−→R→+∞

0

I3 −−−−→R→+∞

−∫ +∞

−∞dx e−α

2(x+β)2

(B.15)Comme e−α2z2 est analytique, la somme ∑i Ii = 0, d'où le résultat

∫ +∞

−∞dx e−α

2(x+β)2 =

∫ +∞

−∞dx e−α

2x2 (B.16)Proposition B.4 Si ℜe(α2) ≥ 0 alors ∀B, β ∈ C :∫ +∞

−∞dx e−α

2(x+β)2+Bx =

√π

αe

B2

4α2 (B.17)Démonstration :−α2x2 +Bx = −α2

(

x− B

2α2

)2

+B2

4α2(B.18)D'après le lemme, l'intégrale donne √

πα, d'où le résultat.B.5 Quelques Cas Parti uliersProposition B.5

∫ +∞

−∞dx e

i2Ax2

=

√

2π

|A|eisigne(A)π

4 ∀A ∈ R (B.19)Démonstration :α2 = −iA

2⇒ α =

√

|A|2e−i signe(A)π

4 (B.20)Proposition B.6∫ +∞

−∞dx e

i2Ax2−iBx =

√

2π

|A|eisigne(A)π

4 e−iB2

2A ∀A ∈ R (B.21)Démonstration :i

2Ax2 − iBx =

i

2A

(

x− B

A

)2

− iB2

2A(B.22)

138 Intégrales GaussiennesB.6 Intégrales ontenant une GaussienneProposition B.7∫ +∞

−∞dx x2e−

12Ax2

=√

2πA− 32 ∀A ∈ R (B.23)

Démonstration : Posons I(A) =∫ +∞−∞dx e

− 12Ax2. On sait que

I(A) =

√

2π

A⇒ dI

dA= −1

2

√2πA− 3

2 (B.24)Mais d'après son expression sous forme intégrale,dI

dA= −1

2

∫ +∞

−∞dx x2e−

12Ax2

⇒∫ +∞

−∞dx x2e−

12Ax2

=√

2πA− 32

(B.25)On peut fa ilement démontrer une formule plus générale :Proposition B.8 Soit Jn ≡

∫ +∞−∞dx x

ne−12Ax2, alors

Jn =

{

(n− 1)!!√

2πA−n+12 si n est pair

0 si n est impair (B.26)où n!! = 1 · 3 · 5 · . . . · n pour n impair (fa toriel de nombres impairs uniquement).Démonstration : Si n est impair alors l'intégrant est impaire et l'intégrale est nulle.Si n est pair alors on pro ède par ré urren e. On a vu que 'est vrai pour n = 2,

B.6 Intégrales ontenant une Gaussienne 139supposons que 'est vrai pour n et montrons que 'est vrai pour n + 2 :dn

dAn[I(A)] =

(

−1

2

)n

(1 · 3 · . . . · (n− 1))√

2πA−n+12

=

(

−1

2

)n ∫ +∞

−∞dx xne−

12Ax2

⇒ Jn = (n− 1)!!√

2πA−n+12

dn+1

dAn+1[I(A)] =

(

−1

2

)n

(1 · 3 · . . . · (n− 1))√

2π

(

−n + 1

2

)

A−n+12

−1

=

(

−1

2

)n

(1 · 3 · . . . · (n− 1))√

2π(n + 1)

(

−1

2

)

A−n+32

=

(

−1

2

)n+1

(1 · 3 · . . . · (n− 1) · (n+ 1))√

2πA−n+32

=

(

−1

2

)n+1 ∫ +∞

−∞dx xn+2e−

12Ax2

⇒ Jn+2 = (n+ 1)!!√

2πA−n+32

(B.27)

140 Intégrales Gaussiennes

Annexe CRègle de CramerOn onsidère un système linéaire de N équations à N in onnues :a11x1 + · · · + a1Nxn = y1

a21x1 + · · · + a2Nxn = y2... . . . ... ...aN1x1 + · · · + aNNxn = yN

(C.1)On peut représenter e système sous forme matri ielle A~x = ~y où A est la matri eN ×N de oe� ients (aij). Son déterminant s'é rit :

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1N... ... . . . ...aN1 aN2 · · · aNN

∣∣∣∣∣∣∣

(C.2)On va utiliser deux propriétés du déterminant :1. Si on multiplie une olonne (ligne) de A par une onstante c alors la valeur dudéterminant est multipliée par ette onstante.2. On peut ajouter à une olonne (ligne) de A des multiples d'autres olonnes(lignes) de A sans hanger det(A).On peut utiliser la première propriété pour é rire :xr det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · xra1r · · · a1N... ... ... ...aN1 aN2 · · · xraNr · · · a1N

∣∣∣∣∣∣∣

(C.3)où xr est la re in onnue du système. On utilise ensuite la se onde propriété pourajouter x1 fois la 1er olonne, x2 fois la 2e, . . ., xk fois la ke olonne à la olonne r,

142 Règle de Cramerpour k 6= r :xr det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · (a11x1 + · · ·+ a1rxr + · · ·a1NxN) · · · a1N... ... ... ...aN1 aN2 · · · (aN1x1 + · · ·+ aNrxr + · · ·aNNxN )

︸︷︷︸

re olonne · · · aNN

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(C.4)Ainsi, si x1, . . . , xN est une solution du système, on a

xr det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · y1 · · · a1N... ... ... ...aN1 aN2 · · · yN · · · aNN

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= det(Ar) (C.5)où Ar est la matri e obtenue en remplaçant la re olonne de A par le ve teur y1...

yN

.En parti ulier si det(A) 6= 0, on a

xr =det(Ar)

det(A)r = 1, 2, . . . , n (C.6)C'est e que l'on appelle la règle de Cramer. En pratique on l'utilise rarement ar pour des petits systèmes on pro édera plut�t par substitution et résolution "àla main", tandis que pour des grands systèmes la méthode des pivots de Gaussné essite moins d'opérations.

able - IPHYS | EPFL · PDF filedu Spin 1 2. 101 7.3 Les Matrices de P ... mécanique...

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