NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A. LAISANT

ÉTIENNE BEAUJEUXMémoire sur certaines propriétés desrésidus numériquesNouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 9(1870), p. 271-281<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1870_2_9__271_0>

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MÉMOIRE SUR CERTAINES PROPRIÉTÉS DES RÉSIDUSNUMÉRIQUES

(suite, roir 2* série, t. IX, p. aai ) ;

PAR MM. A. LAISANT ET ETIENNE BEAUJEUX.

8. La propriété établie au n° 4 donne lieu à quelquesconséqnences dont voici un exemple. Supposons que lediviseur ait quatre chiffres, et qu'il s'écrive abcd dansle système de numération dont la base est g.

On pourra écrire les nombres suivants :

ay a-{-b, a-\-b-\-cy a -f- b -f- c H- dy b ~h c-+-d, c -h d, d,

sous sept restes consécutifs quelconques rp+7, 7'p+6> />+s,rp+4, rp+g, rp+i, rp+l, écrits dans l'ordre inverse de celuidans lequel ils ont été obtenus. La somme des produitsrespectifs sera encore un multiple du diviseur D. On aen effet (4)

arp+i -(- brp+e -j- crp+ó -f- drp+t = /w.D,

arp+b H- brp^ H- crp+k H- drp+* = rn.D,

arp+b -h brp+t -r- cr^ -f- drp^ z=z m.D,

arp+i -h brp^ -f- crp+2 -4- drn+{ = w.D.

Ajoutantarp+J-h(a -4- ô)rp+« -f- (« -f- b -h c)rp+b

-4- c -+- d) />+3

.j + drp+x=z w.D.

On aurait aussi bien pu écrire les nombres suivants au-dessous de9 restes considérés :

ay — a -h b, a — Z»-f-c, — a + b — c -f- d,

— b -*- c — d, — c -+- d9 — d,

et la propriété aurait toujours subsisté, comme on leverrait sans peine, en changeant de deux en deux lessignes des égalités ci-dessus.

Il serait aisé d'étendre à un nombre quelconque dechiffres cette propriété que nous avons seulement énoncéeici pour un diviseur de quatre chiffres, pour plus de fa-cilité dans la démonstration.

9. Soit encore un diviseur de quatre chiffres abcd.On aura toujours les quatre égalités du numéro précé-dent. En multipliant la première par a, la deuxième par— &, la troisième par c, la quatrième par — d, et ajou-tant, on éliminera les termes en rp+i} /'p+4, *V+6' e t ^viendra

-4- (c2 — 2b X d)rp+z — d}rp+x = m. D.

On étendrait aisément aussi cette propriété à un nombrequelconque de chiffres. Elle se réduit, comme on levoit, à

a2rp+2— b2rp+t = /w.D,

dans le cas où le diviseur n'a que deux chiffres a et b,

10. Soit qu'en divisant les termes de la progression :À, AB, AB*,. . . , où B est la base du système de numé-ration, par un diviseur dep chiffres apap_1....a2a1 = D1,on ait trouvé les restes successifs

#0 étant un reste quelconque, et que les chiffres corres-pondants obtenus au quotient, en faisant la division d'unefaçon continue, comme pour les fractions décimales pé-riodiques, soient

Considérons les nombres

ûo= Dp,

que nous nommerons diviseurs tronqués, et formons letableau suivant :

Diviseurs tronqués D , Dp_{,.. . , D2, D,,

Chiffres du quotient Qp9 Qp_,,. . . , Q2, Q,, Qo,

Restes correspondants. . . . rpt rp_{,. . . , ra, r,, r0,

Chiffres du diviseur ap, ap_n. . . , «2» <*,,

on aura

«/>'> H- <*P-\ rp-\ •+- «i ''t

= = D , X ( r , — D 2 Q 2 - D3Q3 — . . . — DpQp),

o u b i e n

fl— D,Q,— D2Q2— . . — DpQP).

L'identité de ces deux formules est évidente, car

Broz= D,Q,-4- r,;d'où

r^B/v—D.Q,.

Il suffit donc de démontrer Tune d'entre elles.Or

B/v— Q,D,-h r„Br,—Q2D,-+- r2,

Ann. de Mathéniat., 2e série, t. IX. (Juin 1870.) IÖ

De làBror=Q,D,-i-

Q3)D,

B^ro = (Q,B/>-1 -f-. . . -f- Q,)D, -f- rp.

Multipliant la première de ces égalités par a l9 la deuxièmepar a2, et ainsi de suite, puis ajoutant, il vient

Q I ( « I •+• * ,BBr0X D, = D, X

Donc

«,r, 4- . . . -4- a Tp = D,(Br0 — Q,D, — Q2Da— . . . — Q^Dp).

Cette relation donne, comme on le voit, l'expression duquotient de la quantité a^\-\-. . . ~\-aprp par le diviseur,en fonction d'un reste ( r 0 o u r , ) , des chiffres successi-vement obtenus au quotient, et du diviseur lui-même. Cequotient est

Bro—Q.D. —Q2D, — . . . — Q^D/,,

ou/•i — Q2D* — Q3D3 — . . . — QP Dp.

La propriété du n° 4 nous avait fait connaître quece quotient est entier, mais sans fournir son expres-sion.

Il ne sera pas sans intérêt de vérifier ce résultat sur un

exemple numérique. Soit que nous cherchons à

convertir en décimales. On trouve> en particulier, au

quotient les chiffres successifs 5, 6, 4> li 2» Formonsle même tableau que ci-dessus :

Diviseurs tronqués i 12 127 1271

Chiffres du quotient 2 1 4 6 5

Restes correspondants . . . 34$ 289 i56 5i/\ 815

Chiffres du diviseur. . . . . 1 2 7 î

On aura

( i X 348)-+- (2 x 289) -4- (7 X I 5 6 ) - + - ( I x 524)

= i27 ix [8 i5o—(6x1271)—(4x127)—( ix 12)—(2x1)],

= i 2 7 i x [ 5 2 4 —(4 X 127) —(1 X 12) — (2 X 1)].

Dans cet exemple, le nombre entre les crochets est égalà 2. On peut remarquer que, dans tous les cas, ce nombresera plus petit que la somme des chiffres du diviseur. Carles restes 348, 289, ï56, 524 étant tous inférieurs au di-viseur 1271, on a

(1 x 348) -f- (2 x 289) -h (7 X Ï 5 6 ) + ( iX 5*4)

< ( i + 2 + 7 + 1)1271.

11 . Soient /„ + 1 , /'„+2, rn+% trois restes consécutifs quel-conques, obtenus en divisant par un diviseur D Jes termesdelà progression géométrique : A 9 , A ^ 2 , . . . .

On aA ? ' * - ' = m.D -f-/',H-.,

d'où, par multiplication,

( a ) A' qin+i ^ w . D + r ^ X /V+-. ;

d'antre part

élevant au carré

18.

) • •

retranchant a de (3,r '+2 — r'H-' X r«+3 = /W . D .

On verrai l de même que quatre restes consécutifs satisfonttoujours à la relation

rn+i X rn+t — rn + 2 X rn^ = m . D.

En général, deux produits quelconques de restes, homo-gènes par rapport à la lettre r et tels, que les sommesdes indices soient égales de part et d'autre, ne diffèrententre eux que d'un multiple du diviseur.

Car soient

rf X rj*1 X ry*" X .. • et rj? X r£ X r£x...>

et supposons que

m -+- /w' -+- m". . . = n -\- n' -\- n" -h . . . = M

En remplaçant^ par Àqr% /> par A9'',..., et/7par A9'...,on ne pourra altérer l'un ou l'autre produit que d'unmultiple de D. On aura ainsi

knqmi x km'qmfi' X . . . = A"1^'-*—" X qr""'+«'«>'+— = AM q\

et

A.nq"JX ku' qn'i' X - • • ~ A n + I l '+ ' - X

Puisque les deux produits ainsi transformés deviennentidentiques, leur différence ne pouvait donc être primiti-vement qu'un multiple de D.

Il est à remarquer qu'on doit faire la somme des in-dices en comptant ceux-ci dans tous les facteurs du pre-mier degré. C'est ainsi que l'indice de

rf=r,XrjX...X ri9

a dû être considéré comme égal à mi.

Cette transformation de rf en Amqmi, à un multipleprès de D, peut conduire encore à d'autre résultats.

Ainsi Am<7""= Am~*X Aqf'm, ce que nous pouvonsremplacer par Am~irmi. Donc rf* ne diffère de A"1""1 rmi qued'un multiple de D.

12. Si dans la progression géométrique : A q, A</%...que nous avons considérée jusqu'ici, nous supposonsA = i, c'est-à-dire s'il s'agit de la division des puissancessuccessives d'un même nombre par un certain diviseur D,on voit qu'on pourra remplacer i\ par ql à un multipleprès de D. Mais /*{ peut être aussi remplacé par q\ Doncr\ et i\ ne diffèrent que d'un multiple de D. Par consé-quent, /", r\n

9 rin et rln ne diffèrent aussi que par des mul-

tiples de D, c'est-à-dire que dans toute relation établis-sant un caractère de divisibilité par D, il sera permis defaire passer un indice quelconque en exposant, ou réci-proquement^ ainsi r18, r ' , r*, r\* ne diffèrent que pardes multiples de D. Par conséquent aussi, dans tout cal-cul de ce genre, on pourra opérer sur les indices commeon opère sur les exposants : par exemple, on remplacera/'a X r\ par r6 X /'2o ou par r26. Cette remarque est capi-tale; elle sera fréquemment employée dans ce qui vasuivre. Elle est d'une application bien facile, et s'étendmême,, dans certains cas, aux fonctions de formes frac-tionnaires qu'on sait devoir être entières, après les opé-rations effectuées. Ainsi, supposons que nous sachions.

que i est un nombre entier, D étant premier. Cetten bD -\-rp

1 r

expression ne pourra avoir qne la forme C,D + rB_p.

En effet, soit ?Pj±i» -^ C.D 4- x. On tire de l à :rH ~ m. D -t- / '7 X x> Or on sait que rn = m. D 4- />Donc r1% xx — rprn_p = m. D, ou rp (x — rn_p) = m . D }

ce qui nous montre, puisque D est premier et que rT n'estpas divisible par D, que jc = w.D-f rfl.r Cette con-clusion subsiste toujours lorsque D est simplement pre-mier avec le nombre q qu'on a élevé aux diverses puis-sances.

Car, dans ce cas encore, rp ne saurait avoir de facteurcommun avec D \ on a, en effet

gPz= w . D -+- rp%

Donc si rp et D avaient un facteur commun a, il appar-tiendrait aussi à qp, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

13. Si Von divise les puissances successives de deuxnombres quelconques q et q' par un diviseur quelconqueD de qq' — \% deux restes correspondants rp et r'p don-neront par leur produit un multiple du diviseur, -+- i.

Car, soit

(le làf fff' Z=Z / t t . D -h I ,

</Pc/'P— / / / . D -I- i ,

etrpr'pz=:tti.D + i.

Ou verrait d'une façon analogue que si D est un diviseurde qq'' -f- i, rp X rp sera un multiple de D, -|- i, si p estpair, et un multiple de D, — i , si p est impair.

Si Ton considère plusieurs progressions : </, q2,...,q\ q'*,...y qf\ q"*,...,..*, et que le diviseur D soit unsous-multiple de q X qfX qf/X . . . , — i ? le produitrpr'pr"p. . . sera un multiple du diviseur, + 1 ; on s'enassurerait de la même manière. Si, en particulier, onsuppose q = qf = q1' = . . ., on retombe sur ce résultat,que rn

p on rnp sera un multiple du diviseur, -f-i, si ce

( 79 )diviseur est sous-multiple de 9*— t. On verrait aussi

sans plus de peine que, D étant pris de la forme >

on aura r p O u r B p = m . D ± i , suivant que p sera pair ouimpair.

14. Nous avons jusqu'à présent considéré les restesde A 9, A9%. . . , divisés par un même nombre D, indé-pendamment de toute loi à laquelle ils satisfassent néces-sairement, et nous sommes arrivés néanmoins à établircertaines propriétés. Entrant maintenant dans un nouvelordre d'idées, nous rappellerons que la suite indéfiniedes restes qu'on obtient de la sorte prend un caractèrepériodique, soit dès l'origine des opérations, soit à partird'un certain moment.

Remarquons d'abord qu'on peut supposer A <^ D 5 carsi l'on a A > D et = m.D 4- A', la suite des restes dus àA<7, A<7%... sera la même que celle due à A'q, A'^f2,...,o ù A ' < D .

En second lieu, on peut supposer que A et D sontpremiers entre eux. Soit en effet a leur plus grand commun

A Ddiviseur, et - = A', — = D'. A' et D'soni premiers entreeux. De plus, on a Kqm = ra.D -h rmj A et D étant di-visibles par a, rm le sera aussi, et on aura rm = rma. DoncA ' a f = m . a D ' 4 - a 4 , d'où A!qm = m.D'-h rm. Endivisant les termes de la suite, A'ç, A'^ 2 , . . . parD',on obtiendra donc la suite des restes r't, r'2 , . . . ,qui>étant multipliés par a, donneront les restes cherchésy

ru r2,

15. Considérons maintenant la suite des restes dans lecas le plus général, celui où cette suite est périodiquemixte. Supposons que le nombre des restes non pério-

( 2«O)

diques soit n + i, en y comprenant comme premier rester0 = A, et que le nombre des termes de la période soit p.La suite générale sera

'*o'*l • • • rnrn-k-\ rn+1 • • • rn+prn-*~p+\ • • • •

On aura

en général

pourvu que N 5 n -f- i. Donc

Or D renferme des facteurs premiers appartenant à q etd'autres qui lui sont étrangers. Soit D'l'ensemble despremiers, D" l'ensemble des autres. Il faut, comme on levoit par ce qui précède, puisque À et D d'une part, q** etqv — i de l'autre sont premiers entre eux, que Ton ait<7N=^m.D', etqr — I = JW.D".

La plus petite valeur de N satisfaisant à la premièrede ces deux relations fournit le nombre n + i des chif-fres de la partie non périodique; et la plus petite valeurde p satisfaisant à la seconde donne celui des chiffres dela période.

Si l'on considère un quelconque rn+1+A des restes quiappartiennent à la partie périodique, on a

Aq*+l+k= m . D -h rn^l+kz= w . D ' D " -h rn+{+h

( « ) A 9« + 1 . qk— m. Dr D" -+- r„+l+k.

Puisque qn+i est divisible par C, il en sera de même dern+i+k. Soit Dfrk = rn+i+k. Il viendra, en divisant par D'l'égalité (a),

x x ^ ^ + 'i-Si -^>— ~ // / . IV —f— A', o « voit que la suite des restes

périodiques s'obtiendra en divisant les termes de la suiteA', A'<jr, A'^f2,... par D" et en multipliant par D' tousles résultats ainsi obtenus. Nous ramenons ainsi l'étudedes propriétés au cas où la période est simple. Aussi, dansles numéros suivants, supposerons-nous toujours qu'il enest ainsi.

Il n'est pas inutile de remarquer qu'on retrouve, parles raisonnements ci-dessus, les propriétés servant depoint de départ à la théorie des fractions périodiques, etcela par la seule considération des restes. On voit, parexemple, que la période est simple, lorsque le dénomi-nateur et la base q sont des nombres premiers entre eux ;que, dans le cas contraire, en débarrassant le dénominateurde tous ses facteurs communs avec q, et cherchant la pé-riode due au quotient, elle aura le même nombre determes que celle de la fraction donnée. Enfin, on retombesur les relations qui fournissent le nombre des chiffres dela période et le nombre des chiffres non périodiques.

( La suite prochainement* )