95fu4-ECE Fiche Limites Et Equivalents

ECE 2 - MathématiquesQuentin Dunstetter - ENC-Bessières 2012\2013 Limites et équivalents

Fiche méthode : limites et

équivalents

I Equivalents

1 Fonctions équivalentes

Dé�nition 1

Soient f et g deux fonctions dé�nies au voisinage de a.On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de a si :

g = f + oa(f)

Ceci est équivalent à dire :

limx→a

g(x)

f(x)= 1

On note f ∼ag

a) Comment calculer un équivalent ?

On connait quelques équivalents usuels, obtenus grâces aux taux d'accroissement en 0 des fonctions usuelles(⇔ au développement limité d'ordre 1 en 0 de ces fonctions).

Théorème 1 : les équivalents usuels

ex − 1 ∼0x, ln(1 + x) ∼

0x, (1 + x)α − 1 ∼

0αx

.

Attention à bien connaître les règles de calculs sur les équivalents :

Théorème 2

• On peut multiplier et diviser des équivalents : si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 alors f1f2 ∼ g1g2 et f1f2∼ g1

g2.

• On peut faire un changement de variables dans les équivalents : si limx→a

u(x) = b et si f(X) ∼bg(X)

alors f(u(x)) ∼ag(u(x)).

• On peut passer des équivalents à la puissance : si f ∼ g alors fα ∼ gα.

• Si f admet une limite �nie et non nulle l en a, alors f(x) ∼al.

La puissance est la seule fonction que l'on peut appliquer aux équivalents. De manière générale ONNE PEUT PAS COMPOSER un équivalent PAR UNE FONCTION.Aussi, ON NE PEUT PAS SOMMER DES EQUIVALENTS.

Si vous voulez calculer l'équivalent d'une fonction f qui est somme de fonctions, composée de fonctions,il faut :• soit calculer un DEVELOPPEMENT LIMITE de f .En e�et, on sait qu'une fonction est équivalente en a au premier terme non nul de son développementlimité en a.Attention, les développement limités usuels ne sont valables qu'en 0 !• soit factoriser les sommes par le plus grand terme avant d'appliquer les propriétés ci-dessus.

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b) A quoi ça sert ?

Les équivalents servent à étudier le comportement local (au voisinage de a) d'une fonction (ou d'une suite),notamment à• Calculer des limites grâce au théorème fondamental suivant :

Théorème 3

Soient f et g deux fonctions équivalentes en a, si limx→a

g(x) = l alors limx→a

g(x) = l.

Pour calculer une limite, on peut donc trouver un équivalent simple de notre fonction, dont on saitcalculer la limite plus facilement(cf exercice 4).

• Etudier le signe d'une fonction au voisinage d'un point grâce au théorème suivant :

Théorème 4

Soient f et g deux fonctions équivalentes en a, alors elles sont de même signe au voisinage de a.

RemarqueOn a besoin de connaître un signe au voisinage d'un point :

1. Pour connaître la position d'une courbe par rapport à sa tangente au voisinage d'un point.

2. Pour connaître la position d'un courbe par rapport à son asymptote au voisinage de l'in�ni.

2 Suites équivalentes

Dé�nition 2

Dans le cadre des suites, on dit qu'une suite (wn) est négligeable devant une suite (un) si limn→+∞

wnun

= 0.

On note wn = o(un)

On dit que deux suites (un) et (vn) sont équivalentes si :

vn = un + o(un)

ce qui est équivalent à

limn→+∞

vnun

= 1

On note wn ∼ un

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II Méthode de calculs de limites

1. Toujours commencer par véri�er si la forme est indéterminée. sinon, on sait conclure directement.

Rappel : Les formes indéterminées sont +∞ − ∞ pour les sommes, 0 × ∞ pour les produits,00 et ∞∞ pour les quotients.

Comment lever l'indétermination ?

2. Notre forme indéterminée peut être directement une croissance comparée :

Théorème 5 : croissances comparées

On a des croissances comparées entre les fonctions exponentielle, puissance et logarithme ("exponen-tielle l'emporte sur la puissance positive, qui l'emporte sur le logarithme") :Soient n et m des réels strictement positifs.

limx→+∞

xn

emx= 0 lim

x→−∞|x|nemx = 0

limx→+∞

(ln(x))m

xn= 0 lim

x→0+|x|n(ln(x))m = 0

RemarqueIl y a une croissance comparée entre ces fonctions uniquement lorsqu'il y a une forme indéterminée ! !

Ne pas invoquer les croissances comparées à toutes les sauces ! !

Exemple : limx→0

ln(x)x

n'est même pas une forme indéterminée ! ! !

3. On factorise chaque somme par le terme dominant .En e�et, on connait quelques dominations concernant les fonctions puissances, log, exp :

Théorème 6

• Les fonctions puissances : Si 0 ≤ n < m alors xn = o∞(xm) et xm = o0(xn).

• les dominations liées au croissances comparées.

4. Si la limite à calculer est en 0 et qu'on reconnaît une forme usuelle dans la fonction, oncalcule un développement limité de la fonction.

5. Dans le cas des fonctions de la forme√a−√b, on multiplie par la quantité conjuguée.

6. Si aucune des méthodes ci-dessus ne permet d'obtenir le résultat, on calcule un équi-valent de la fonction.En e�et, pour calculer une limite, on peut trouver un équivalent simple de notre fonction, dont onsait calculer la limite plus facilement.

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III Développements limités

• Pour retenir e�cacement les développements limités, il y a un ordre simple permettant de les déduireles uns des autres.

1) L'exponentielleLe développement limité de l'exponentielle est assez facile à retenir avec la connaissance de la série expo-nentielle :

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn)

2) Les conséquences de la série géométriqueOn doit connaître (assez facile également) le DL de 1

1−x , qui est la somme de la série géométrique :

1

1− x= 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + o(xn)

On en déduit 11+x avec x′ = −x, puis les DL de ln(1 + x) et ln(1− x) par intégration :

ln(1− x) = −x− x2

2− x3

3+ · · · − xn

n+ o(xn)

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ . . . (−1)n−1x

n

n+ o(xn)

3) Le petit dernierIl reste, à part, le DL de (1 + x)α, qui est assez spécial et en général se retient bien (attention tout demême à la factorielle qui est souvent oubliée) :

(1 + x)α = 1 + αx+ α(α− 1)x2

2!+ · · ·+ α(α− 1) . . . (α− n+ 1)

xn

n!+ o(xn)

• Les développements limités usuels sont donnés en 0. Pour obtenir des développements en d'autres pointsou dans le cas de compositions, on doit savoir se ramener par la bonne méthode ou le bon changement devariable aux développements usuels.

4) Changements de variablesPour obtenir un DL en un point autre que 0 on e�ectue un changement de variable adéquat :En x0 ∈ R on pose X = x− x0, qui sera au voisinage de 0 quand x est au voisinage de x0.En ±∞, le changement de variable le plus courant est X = 1

x ; mais d'autres changements plus en rapportavec la fonction considérée sont envisageables : X = 1

xα , X = e−x, etc...

5) Les développements du type 1+x : ln(1 + x), (1 + x)α.Pour ramener une somme sous cette forme, la méthode très classique de la factorisation par le termeprépondérant s'appliquera : on écrit par exemple a + b + c = a

(1 + b

a + ca

)avec X = b

a + ca → 0 si on a

bien identi�é le terme prépondérant.Les propriétés des fonctions ln et puissances vont alors permettre de simpli�er :ln[a(1 + b

a + ca

)]= ln a+ ln

(1 + b

a + ca

)= ln a+ ln(1 +X).[

a(1 + b

a + ca

)]α= aα

(1 + b

a + ca

)α= aα(1 +X)α.

6) Les développements du type x : ex.Ici une somme doit être transformée sous la forme a + b avec a → 0 (pour pouvoir faire un DL) et bcontenant tous les termes qui ne tendent pas vers 0.Les propriétés des fonctions permettent alors de simpli�er :ea+b = eaeb et on fait le DL de ea.

• Un certain nombre de calculs doivent être maîtrisés, qui demandent à chaque fois une bonne maîtrisedes o( ) : sommes, produits, composition.

7) SommeUne somme ou di�érence de DL donne un DL au plus petit des deux ordres.Quelques exemples :o(x2)+ o(x4) = o(x2), o(x3)− o(x3) = o(x3), x2−x3 +x4 + o(x4)− [x− 2x2 + o(x3)] = −x+(x2 +2x2)−x3 + x4 + o(x3) = −x+ 3x2 − x3 + o(x3).Dans la pratique on détermine l'ordre puis on enlève tous les termes d'ordre supérieurs, car ils sont aussi

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négligeables devant l'ordre du DL ; on dit parfois qu'ils "rentrent dans le o( )".

8) ProduitUn produit de DL consiste à développer sans problème particulier, en connaissant les règles :f × o(g) = o(fg) ; o(f)× o(g) = o(fg).On détermine d'abord l'ordre du DL du produit, puis lors du développement on peut supprimer les termesd'ordre supérieurs a�n d'alléger les écritures.

9) CompositionLa règle importante à retenir est de chercher les DL de l'intérieur vers l'extérieur.On appliquera ici les règles des développements asymptotiques, celles du produit et de la somme.Une bonne connaissance des développements de carrés, cubes, etc.. permettra de ne pas avoir à calculerles termes d'ordre supérieurs à celui du DL :(a+ b+ c+ d)2 se compose de tous les carrés (4) et de tous les doubles-produits (6) possibles.(a+ b+ c+ d)3 se compose de tous les cubes (4) et de tous les triple produit de p2q ( 9) possibles.etc....

• Utilisation des développements limités1) DL et équivalentsLe premier terme d'un développement limité donne un équivalent de la fonction ou de la suite au pointconsidéré. On peut donc ainsi obtenir les équivalents qui ne se trouvent pas avec les méthodes de base(produits, quotients, factorisation d'une somme par le terme prépondérant).

L'utilisation des équivalents, sur des suites ou des fonctions, est fondamentale pour l'étude des sérieset des intégrales généralisées.

2) DL et limitesIl ne faut jamais chercher une limite par un DL complet (notamment les DL de quotients) :on fait un DL de chaque facteur du numérateur et de chaque facteur du dénominateur puison factorise par le premier terme de chacun et on simpli�e ; on pourra alors obtenir la limitepar des calculs très simples sur les limites.

3) DL et étude de fonctionLe développement limité donne des approximations de plus en plus �nes de la fonction :A l'ordre 0 on a la limite de la fonction.A l'ordre 1 on a la tangente au point considéré.Au premier ordre non nul supérieur à 1 on a la position de la courbe par rapport à sa tangente (auvoisinage du point uniquement !).

Il permet aussi d'obtenir des branches in�nies (DL en +∞, avec la variable X = 1x :

A l'ordre 0 on a la limite si elle est �nie.Dans le cas d'une limite in�nie, un DL de f(x)

x donne la direction asymptotique, puis l'asymptote, puis laposition par rapport à l'asymptote (au voisinage de ±∞ uniquement !).

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