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Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique de la houle réelle

Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 06 - 1 / 22

6. Analyse statistique de la houle réelle

6.1. Introduction Le comportement des ondes à la surface de la mer et des océans relève, de toute évidence, bien moins de l'analyse déterministe, que de l'analyse stochastique qui est l'étude du calcul des probabilités appliqué au traitement des statistiques. Il est donc raisonnable d'étudier les aspects stochastiques des états de mer, ainsi que ceux des réponses des ouvrages, structures, navires et engins marins qui y sont soumis. Une telle approche est nécessairement soumise à des hypothèses simplificatrices qui permettent, sous réserve qu'elles soient vérifiées, la mise en œuvre de l'outil mathématique. Ces hypothèses de base concernent, bien sûr, la modélisation des états de mer, mais aussi celle de la réponse des ouvrages, structures, navires et engins marins. Dans ce qui suit, les processus aléatoires seront supposés être stables (ou stationnaires), ergodiques et linéaires. Ils ne font intervenir que des variables gaussiennes indépendantes.

6.2. Décomposition d'une houle irrégulière en houles simples L'ensemble de la théorie stochastique de la houle réelle repose sur l'hypothèse fondamentale que la dénivelée η(M;t) de la surface libre d'une houle irrégulière peut être considérée comme étant la somme d'une infinité d'ondes sinusoïdales simples, chacune se propageant avec sa célérité propre qui n'est fonction que de sa période et de la profondeur d'eau. En supposant que l'axe des abscisses x coïncide avec la direction de propagation, la dénivelée de la surface libre peut donc se mettre sous la forme générale :

(6.1) η πλ

ψ( ; )M tH x t

Ti

i ii

i

= − +�

��

�

��

=

∞

� 22

1

sin

Ainsi, en un point M fixé, la dénivelée de la surface libre est supposée pouvoir s'écrire comme la somme d'un très grand nombre N de fonctions aléatoires indépendantes variant sinusoïdalement avec le temps dont les phases ϕi sont des grandeurs aléatoires uniformément réparties dans l'intervalle [0,2π]:

(6.2) ( )η ω ϕ( )t a ti i ii

N

= +=� sin

1



Cette formulation suppose implicitement que le processus aléatoires est linéaire. C'est à dire que les interactions entre les différentes houles simples qui composent la houle irrégulière sont négligeables, ce qui est pratiquement toujours vérifié pour des profondeurs pas trop petites avec des hauteurs de houle pas trop grandes. Par ailleurs, il est à noter qu'en eau peu profonde, des groupements de vagues sont souvent observables, ce qui est en contradiction avec la répartition des phases supposée aléatoire et uniforme dans l'intervalle [0,2π]. En supposant le processus ergodique, il est possible d'identifier la moyenne temporelle de la fonction aléatoire η(M;t) avec sa moyenne statistique ou spatiale. En notant respectivement d'un point et de deux points les dérivées temporelles première et seconde de la dénivelée il en résulte que les espérances mathématiques ou moyennes temporelles des trois fonctions sont nulles : (6.3) η( )t = 0 � ( )η t = 0 ��( )η t = 0 Ce qui ne prend en compte ni la limitation de hauteur par le déferlement, ni les dissymétries du profil de la houle dues à sa cambrure. Par ailleurs, les moyennes quadratiques des trois fonctions s'expriment à partir des différents moments d'ordres pairs du processus :

η2 20

1

12

( )t a mii

N

= ==� η η( ) � ( )t t = 0

(6.4) � ( )η ω2 2 22

1

12

t a mi ii

N

= ==� η η ω( )��( )t t a mi i

i

N

= ==�

12

2 2

12

�� ( )η ω2 4 24

1

12

t a mi ii

N

= ==� � ( )��( )η ηt t = 0

Le théorème de Lyapounov stipule que lorsque leur nombre N tend vers l'infini, la distribution d'une somme de fonctions aléatoires indépendantes tend vers une loi normale de variance m0. Ainsi, pourvu que N soit assez grand, η(t) et ses dérivées temporelles première et seconde suivent des lois normales centrées de variances respectivement égales à m0, m2 et m4. La densité de probabilité qui est la probabilité que la dénivelée soit comprise entre deux valeurs z et z+dz, s'écrit donc : (6.5)

Prob[ ( ) ] lim ( ) expz t z dzT T

dt P z dzm

zm

dzN N

nn

N

≤ < + =→∞

= = −�

��

�

��

=�η

π1 1

2 21 0

2

0



Les différents termes qui interviennent dans cette expression sont matérialisés sur la figure 6.1.

Figure 6.1 : Probabilité que la dénivelée soit comprise dans l'intervalle [z,z+dz].

6.3. Analyse vague par vague Les deux fonctions aléatoires η(t) et � ( )η t étant, par construction,

statistiquement indépendantes (η η( ) � ( )t t = 0 ), la densité de probabilité de leur couple (η(t), � ( )η t ) s'obtient par simple produit des deux lois. D'où :

(6.6) P z zm m

m z m zm m

( , �) exp�

= − +�

��

�

��

12 20 2

22

02

0 2π

6.3.1. Passage par un niveau z donné La probabilité que la dénivelée passe par un niveau z donné par valeurs croissantes � [ , [z ∈ ∞0 est égale au produit de l'espérance mathématique de la fréquence de cet événement par le temps dt pendant lequel il se produit, ce qui impose la relation dz zdt= � . Il vient donc :

(6.7) Prob[ ( ) ; � ( )] ( , �) � [ ]z t z dz t P z z dzdz E N dtz≤ < + ≤ = =∞ +�η η0

0

Ainsi, après avoir remplacé dz par son expression en fonction de dt, ce qui rend l'intégration immédiate, il en résulte les égalités suivantes :

(6.8) E N E NE N m

mzmz z

z[ ] = [ ] =[ ]2

=+ - 12 2

2

0

2

0πexp −

�

��

�

��

La période de passage de la dénivelée au niveau z par valeurs croissantes (z up-crossing) s'écrit donc :



(6.9) TE N

mm

zmz

uc +(z) =1

[ ]= 2

20

2

2

0

π exp�

��

�

��

La longueur d'onde associée à cette période s'obtient en remarquant que les moments m’n correspondant à une formulation en nombre d'onde sont donnés en fonction des moments de la formulation en pulsation mn par :

(6.10) ω ωn n

n

n nn

nkg

m mmg

→ =�

��

�

�� ⇔ → ′ =

22

Elle est donc définie par la relation :

(6.11) λ πuc (z) = 22

0

4

2

0

gmm

zm

exp�

��

�

��

6.3.2. Passage par le niveau moyen De même que précédemment, la probabilité que la dénivelée passe par le niveau moyen η(t)=0 par valeurs croissantes � ( ) [ , [η t ∈ ∞0 s'obtient immédiatement :

(6.12) Prob[ ( ) ; � ( )] ( , �) � [ ]0 0 00 0≤ < + ≤ = =∞ +�η ηt dz t P z dzdz E N dt

D'où les égalités suivantes :

(6.13) E N E NE N m

m[ ] = [ ] =

[ ]2

=+ -0 0

0 2

0

12π

La période de passage de la dénivelée au niveau moyen par valeurs croissantes (zero up-crossing) s'écrit donc :

(6.14) TE N

mmuc +=

1[ ]

=0

0

2

2π

La longueur d'onde associée à cette période étant alors définie par :

(6.15) λ πuc = 2 0

4

gmm



6.3.3. Passage par un extremum Un maximum relatif de la dénivelée est défini comme un passage de la dérivée � ( )η t par zéro par valeurs décroissantes ��( ) ] , ]η t ∈ − ∞ 0 . Les deux fonctions aléatoires � ( )η t et ��( )η t étant, par construction, statistiquement indépendantes, il résulte immédiatement de ce qui précède que :

(6.16) E N E NE N m

m[ ] = [ ] =

[ ]2

=+ -max max

max 12

4

2π

d'où la période qui sépare en moyenne le passage entre deux maxima consécutifs :

(6.17) TE N

mmmax +=

1[ ]

=max

2 2

4

π

La longueur d'onde associée à cette période étant alors définie par :

(6.18) λ πmax = 2 4

8

gmm

6.3.4. Distribution des extrema Il s'agit désormais de déterminer, en terme de probabilités, les valeurs de la dénivelée lorsqu'elle passe par un maximum relatif. Il faut donc pour cela considérer la probabilité d'un ensemble de trois fonctions gaussiennes (η(t), � ( )η t , ��( )η t ). Or, si les deux couples de fonctions (η(t), � ( )η t ) et ( � ( )η t , ��( )η t ) sont respectivement indépendants, il n'en va

pas de même du couple (η(t), ��( )η t ) puisque η η( )��( )t t m= 2 . Dans ces conditions, la densité de probabilité des trois fonctions aléatoires gaussiennes se présente sous la forme suivante :

(6.19) P z z zm

zm

m z m zz m z( , �,��)

( )exp

� �� = − − + +�

��

�

��

12 2

223

22

2

2

42

2 02

π ∆ ∆

Avec : (6.20) ∆ = −m m m0 4 2

2 La probabilité que la dénivelée η(t) soit maximale, avec donc � ( )η t =0 et ��( )η t <0 dans l'intervalle [z,z+dz] s'écrit ainsi, avec dz zdt� ��= :

(6.21) G z dz P z z dzdzdz( ) ( , ,��) � ��=−∞� 00



Elle est égale au produit de la probabilité qu'un maximum existe E N( )max+

par la probabilité f(z)dz que ce maximum soit compris dans l'intervalle [z,z+dz] :

(6.22) f z dzG z dz

E N dt( )

( )( )max

= +

La densité de probabilité de la cote des maxima s'écrit donc : (6.23)

f zm

zm m

zzm

zm

( ) exp exp .= −�

��

�

�� + − −

�

��

�

�� + −�

��

�

��

�

��

��

��

επ ε

εε

ε2 2

12

0 51

0

2

02

2

0

2

0

2

0

erf

expression dans laquelle ε est un nombre appartenant à l'intervalle [0,1] qui est appelé largeur de bande :

(6.24) ε = − = −�

��

�

��

+

+1 122

0 4

0

2m

m mE N

E N( )

( )max

La fonction de probabilité de répartition des maxima s'obtient alors en intégrant l'expression (6.23) sur l'intervalle [z,∞[ :

(6.25) F z f z dzz

( ) ( )=∞

�

ce qui se calcule analytiquement pour conduire au résultat suivant :

(6.26)

[ ]F zzm

zm

zm

( ) .

exp .

= + − −�

��

�

��

�

��

��

��

+ − −�

��

�

�� + −�

��

�

��

�

��

��

��

ε εε

εε

ε

2 2

0

22

0

2

0

1 05

12

051

erf

erf

expression dans laquelle erf(x) désigne la fonction erreur définie par :

(6.27) erf ( ) expxt

dtx

= −�

��

�

��

12 2

2

0π

Plusieurs cas sont donc à envisager selon la valeur de la largeur de bande : � Si la largeur de bande est nulle, chaque crête est encadrée par deux

passages par le niveau moyen. Toutes les crêtes ont donc une cote positive. Les maxima suivent une loi de Rayleigh. Ce modèle correspond à une houle sinusoïdale modulée en amplitude.



� Si la largeur de bande est égale à l'unité, les crêtes ont des cotes de signe quelconque ce qui traduit une agitation confuse. Le phénomène est gouverné par la loi de Gauss.

� Les cas intermédiaires correspondent soit à des mer complètement formée (0.6 à 0.8) ou à des houles qui se propagent en dehors de leur zone de génération (0.2 à 0.4).

6.4. Répartition des hauteurs de vagues

6.4.1. Valeurs stochastiques de répartition des maxima La valeur moyenne du nième quantile des plus grandes observations des pics est, dans la pratique, du plus grand intérêt. La probabilité que le nième des pics ζ soit supérieurs à la valeur ζ 1

n, est

donnée par :

(6.28) P Fnn n

[ ] ( )ζ ζ ζ≥ = =1 1

1

Cette expression implicite n'est malheureusement pas susceptible d'être résolue analytiquement, et un calcul numérique s'impose pour déterminer la valeur deζ 1

n.

La moyenne des valeurs supérieures à ζ 1

n s'obtient ensuite en appliquant

la formule de la moyenne :

(6.29) ζ ζ ζ ζ ζ ζζ ζ

11 1

nn n

f d f d( ) ( )∞ ∞

� �=

soit encore après une intégration par partie :

(6.30) ζ ζ ζ ζζ

1 11

n nn

n F d= +∞

� ( )

Là encore, une intégration entièrement analytique est difficilement envisageable, et le recours au calcul numérique est inévitable. Il est cependant intéressant de remarquer que puisqu'il s'agit de la recherche des plus grandes valeurs des pics, les arguments des fonctions erf(x) sont, dès que le signal possède des amplitudes élevées, assez grands pour que celles-ci soient développables en séries asymptotiques. Ceci suppose toutefois que ε ne soit pas égal à l'unité, et n'en soit pas sans doute pas non plus trop proche (ε<0.9). Il vient alors, en ne conservant que le premier terme :



(6.31) 12

122

0

1

− −�

��

�

�� ≈ε

ζexp n

m n

d'où la valeur approchée de ζ 1

n qui en résulte :

(6.32) ( )ζ ε1 2 102

nm n≈ −ln

On retrouve, ici, lorsque la largeur de bande est nulle, l'expression classique obtenue en faisant l'hypothèse d'une distribution de Rayleigh ! Ce qui s'explique en remarquant que si la largeur de bande est strictement inférieure à l'unité, c'est la composante correspondant à la loi de Rayleigh qui gouverne le comportement asymptotique des grandes valeurs. De même, en ne conservant que le premier terme du développement en série asymptotique dans l'expression (6.30), il vient :

(6.33) ζ ζ π εζ

1 1

1

2 1 0502

0n n

nn mm

≈ + − −�

��

�

��

�

��

��

��. erf

soit encore en remplaçant ζ 1

n par son expression tirée de (6.32) :

(6.34) ( ) ( )ζ ε π ε ε1 02 2 22 1 2 1 05 2 1

nm n n n≈ − + − − −�

��

��

�

��

�

��

�

��ln . lnerf

En ne conservant que les deux premiers termes de la série alternée du développement asymptotique de la fonction erreur, et en ne prenant que la moitié du second (accélération de convergence), il en résulte une bonne approximation, légèrement par excès, de la valeur cherchée :

(6.35) ( ) ( ) ( )ζ εε ε

1 02

2 22 1

1

2 11

1

4 1n

m nn n

≈ − +−

−−

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

lnln ln

6.4.2. Hauteurs particulières La hauteur crête à creux H d'une vague est définie comme la différence des cotes extrêmes atteintes de part et d'autre d'un passage par le niveau moyen. Il s'agira de la hauteur "zero up-crossing" si ce passage se fait par valeurs croissantes, et de la hauteur "zero down-crossing" dans le cas contraire.



Figure 6.2 : Répartition statistique des hauteurs de vagues au large

Certaines hauteurs particulières sont utilisées pour caractériser un état de mer. Il est à noter que le passage des niveaux des pics aux hauteurs fait apparaître un coefficient deux entre les deux grandeurs H=2ζ. L'expérience montre que la répartition statistique des hauteurs de houle suit assez fidèlement une loi de Rayleigh comme le montre la figure 6.2. Cela signifie que les pics des hauteurs crête à creux des vagues sont contenus dans une gamme de fréquence de faible largeur de bande (ε<<1), et que, dans le cas général, leur étude doit être menée à partir de la loi de Rayleigh. Dans ces conditions, la fonction densité de probabilité des hauteurs crête à creux qui représente la probabilité pour que la hauteur ait une valeur comprise ente H et H+dH s'écrira donc d'après (6.23) avec ε=0 :

(6.36) p H dH fH

dH H

mHm

dH( ) exp= ��

�� = −

�

��

�

��

2 2 4 80

2

0



6.4.2.1. Hauteur moyenne La hauteur moyenne est la moyenne de toutes les hauteurs de l'enregistrement.

(6.37) HN N

H Hp H dH mm ii

N

=→∞

= ==

∞

� �lim ( )1

21

00π

6.4.2.2. Hauteur quadratique moyenne La hauteur quadratique moyenne (root-mean-square) est la racine carrée de la moyenne des carrés des N hauteurs d'un enregistrement :

(6.38) HN N

Hrms ii

N

=→∞ =

�lim1 2

1

Elle correspond à la hauteur que devrait avoir chacune des N composantes sinusoïdales du signal si elles véhiculaient toutes 1/N ième de la totalité de l'énergie de l'état de mer. Elle s'exprime donc, en fonction du moment d'ordre zéro, sous la forme :

(6.39) H m Hrms m= =2 2 1130 .

6.4.2.3. Hauteur significative La hauteur significative (significant value) est la moyenne du tiers des plus grandes hauteurs. Pour des raisons de commodités, la hauteur "significative" Hs est habituellement définie par l'expression (6.40) qui correspond au cas particulier de la distribution de Rayleigh, et constitue un majorant de H1

3

pour les largeurs de bande non nulles.

(6.40) H H m H Hs rms m= = = =13

4 2 1600 .

6.4.2.4. Hauteurs ayant une chance sur n d'être dépassées

La hauteur médiane est la hauteur qui a une chance sur deux d'être dépassée. (6.41) H m H Hrms m1

22 2 2 2 0 940= = =ln ln .



De même la hauteur qui a une chance sur dix d'être dépassée est : (6.42) H m H Hrms m1

102 2 10 10 1710= = =ln ln .

La moyenne des ces hauteurs s'écrit alors : (6.43) H H Hrms m1

10180 2 03= =. .

6.4.2.5. Hauteur la plus probable La hauteur la plus probable correspond au maximum de la fonction densité de répartition p(H), et s’obtient en annulant sa dérivée :

(6.44) H m H Hp rms m= = =212

0800 .

6.4.2.6. Hauteur de la plus grande vague L'espérance mathématique de la hauteur maximale Hmax d'un enregistrement de N vagues doit naturellement être légèrement inférieure à la valeur H

N1 qui correspond à la moyenne des 1/ N ième hauteurs d'un

échantillon plus important de mN valeurs. D'après l'expression (6.28), la probabilité que la variable Hmax prenne une valeur supérieure à H est donnée par la fonction de probabilité de répartition des pics :

(6.45) Prob[ ]maxH H FH≥ = �

��

��

2

La probabilité que les N valeurs de l'enregistrement, supposées indépendantes, que prend la variable Hmax, soient toutes inférieures à H est alors :

(6.46) Prob[ ]max∀ < = − ��

��

�

��

�

��H H F

HN

12

La probabilité qu'au moins une de ces valeurs, qui sera la plus grande, dépasse H est donc donnée par :

(6.47) Prob[ ]max∃ ≥ = − − ��

��

�

��

�

��H H F

HN

1 12



La probabilité que le maximum Hmax soit compris dans l'intervalle [H, H+dH] est la densité de probabilité de Hmax. Elle s'obtient donc par dérivation :



(6.48) Prob[ ]maxH H H dHN

FH d

dHF

HdH

N

<<<< ≤≤≤≤ ++++ ==== −−−− ��

��

��

��

��

��

��

��

−−−−

21

2 2

1

L'espérance mathématique du maximum s'écrit alors :

(6.49) E HN

H FH

dFH

N

( )max ==== −−−− ��

��

��

��

��

��

��

��

−−−−∞∞∞∞

��21

2 2

1

0

En ne conservant que le premier terme du développement asymptotique de (6.26), chacun des monômes peut être intégré, et leur série converge vers une expression connue. Ainsi, en désignant par γ la constante d'Euler qui vaut approximativement 0.5772157, la hauteur la plus grande vague probable correspondant à un enregistrement de N hauteurs crête à creux s'écrit (M.S. Longuet-Higgins /1952/) :

(6.50) ( ) ( )H m N

Nmax ln

ln≈ − +

−

�

�

��

�

�

��

2 2 12 1

02

2ε γ

ε

Le tableau 6.1 donne les relations entre les différentes hauteurs en fonction du nombre de vagues.

N 10 20 50 100 200 500 1000 10000

Hmax/Hm 1.93 2.14 2.40 2.57 2.74 2.94 3.09 3.53 Hmax/Hrms 1.71 1.89 2.12 2.28 2.42 2.60 2.73 3.13 Hmax/Hs 1.20 1.34 1.50 1.61 1.71 1.84 1.93 2.21

Tableau 6.1 : rapport entre la hauteur maximale espérée et les hauteurs quadratique moyenne et significative en fonction du nombre de vagues.

Lorsque la largeur de bande du spectre est suffisamment grande pour n'être pas négligeable, les différentes valeurs caractéristiques varient. La figure 6.3 montre l'évolution des valeurs exactes, obtenues en résolvant numériquement l'équation (6.28) puis en intégrant numériquement l'expression (6.30) en fonction des paramètres n et ε.



6.4.2.7. Cas d'un spectre large

Figure 6.3 : Evolution des valeurs de H m

n1 4 0/ en fonction de ε pour

différentes valeurs de n. Toutefois, en raison de sa simplicité, la formule correspondant à la loi de Rayleigh continue d'être utilisée de manière systématique, d'autant plus qu'elle est pessimiste et que son usage va donc, en général, dans le sens de la sécurité.

6.4.2.8. Valeurs stochastiques des maxima pendant une durée donnée : valeurs extrêmes à court terme

Certaines opérations marines ne peuvent être menées à bien que dans des conditions de calme relatif. En d'autres termes, l'excursion maximale d'un paramètre de réponse ou de la hauteur de la houle rencontrée ne doit pas dépasser une certaine valeur pendant la durée de ces opérations. Il s'agit donc ici de déterminer la probabilité α pour que la plus grande valeur, crête à creux, que prend une variable aléatoire X pendant un enregistrement d'une durée significative donnée Tds, dépasse une valeur



donnée X max( )α . Dans la pratique, Tds est de l'ordre de vingt minutes à une

heure. D'après le paragraphe 6.4., la probabilité que la variable X prenne une valeur supérieure à X max

( )α est donnée par la fonction de probabilité de répartition des pics : (6.51) Prob[ ] ( )max

( )max( )X X F X≥ =α α

La probabilité que toutes les N valeurs, supposées indépendantes, que prend la variable X au cours de l'enregistrement de durée Tds, soient inférieures à X max

( )α est alors : (6.52) Prob[ ] [ ( )]max

( )max( )∀ < = −X X F X Nα α1

La probabilité qu'au moins une de ces valeurs, qui sera la plus grande, notée �X , dépasse X max

( )α est donc donnée par : (6.53) Prob[ ] [ ( )]max

( )max( )∃ ≥ = − −X X F X Nα α1 1

La probabilité α qu'un maximum �X soit supérieur à X max

( )α s'écrit donc : (6.54) α α= 1 1− −[ ( )]max

( )F X N Cette équation peut alors se mettre sous la forme explicite suivante : (6.55) F X N( ) [ ]max

( )α α= 1 11− −

Si la probabilité α est petite, il devient possible de développer le binôme en série pour n'en garder, une fois de plus, que le premier terme : (6.56) α α≈ NF X( )max

( ) De plus, si ε n'est pas trop proche de l'unité (ε < 0.9), il est possible de ne garder que le premier terme du développement de F X( )max

( )α , ce qui conduit à une solution approchée semblable à celle de (6.32) :

(6.57) X mN

max( ) lnα

αε≈ −�

��

��2 10

2

Le nombre de maxima rencontrés est obtenu en faisant le quotient de la durée significative par la période des maxima. d'où les expressions approchées suivantes en fonction de Tuc ou de T max :



(6.58) X mTT

mTTmax

( )

max

ln lnα

αε

α≈ −

�

��

�

�� =

�

��

�

��2 1 20

20

ds ds

uc

La moyenne des valeurs supérieures à X max

( )α s'obtient encore d'une manière similaire à ce qui a été fait précédemment au moyen des formules (6.34) et (6.35). A noter que s'il s'agit d'une excursion crête à creux, il faut multiplier par deux la valeur de l'amplitude maximale.

6.4.3. Les groupements de vagues Un groupement de vagues est un train de vagues successives dont les hauteurs sont supérieures à un seuil donné. A partir d'observations réalisées au large du Japon, Y. Goda /1976,1983/ a mis en évidence que les occurrences de groupements de vagues supérieures à H1

3 ou à H1/2 sont plus nombreuses que leur probabilité

obtenue en supposant l'indépendance des vagues successives et la distribution de leurs hauteurs suivant la loi de Rayleigh. Sur l'observation de 20051 vagues jeunes répartis en 171 enregistrements, 122 groupements de 3 vagues successives supérieures à H1

3 ont été recensés alors que la distribution de Rayleigh n'en prévoyait

que trente. Ces observations ont également montré que, dans 75% des cas, la plus haute vague de chaque enregistrement apparaît dans un groupement de 2 à 7 vagues de hauteurs supérieures à H1

3.

Il est donc clair que la corrélation entre les hauteurs de deux vagues successives n'est pas nulle et que l'hypothèse d'indépendance des vagues n'est pas toujours vérifiée. D'après les travaux de H. Rye /1974/ la corrélation entre les hauteurs de vagues successives est plus importante avant le maximum de la tempête, lorsque l'état de mer est encore en cours de formation, qu'après. Les conditions d'apparition des groupements de vagues ne sont toujours pas bien connues, et de nombreuses recherches se poursuivent sur ce sujet. Il s'agit la d'un point fondamental car les conséquences des groupements de vagues sur la tenue des structures ou des ouvrages à la mer dépassent souvent celles inhérentes à la simple superposition des effets de chaque vague prise isolément.



6.5. Houles de projet Les valeurs extrêmes des sollicitations dues à l'environnement jouent un rôle capital dans la conception d'un ouvrage maritime ou d'une structure offshore dont la durée annuelle d'indisponibilité ou dont le risque de ruine est étroitement associé au franchissement d'une valeur critique, par exemple, en terme d'agitation ou de contrainte. L'ingénieur est donc confronté au problème de l'estimation des valeurs extrêmes associées à un niveau de risque donné et à une période commensurable avec la durée de vie de l'ouvrage. Il a donc besoin de définir une houle de projet, c'est à dire la hauteur et la période significatives ou maximale de la houle pour laquelle il va mener ses calculs et effectuer ses essais. Le plus souvent, ces statistiques sont obtenues à partir de données portant sur les maxima du processus.

6.5.1. Formules empiriques Lorsque les conditions géographiques s'y prêtent, il est possible de définir une hauteur de houle maximale réaliste, et donc pas trop majorante, pouvant exister sur un site donné.

6.5.1.1. Hauteur limitée par la profondeur C'est d'abord le cas lorsque la profondeur h est relativement faible pour que les houles soient écrêtées par le déferlement. La hauteur maximale à prendre en compte peut être alors donnée par le critère de M.A. Cowan /1874/ :

(6.59) H

hmax .= 0 78

mais, dans certains cas, cette valeur théorique peut être dépassée comme le laisse prévoir le critère de déferlement de J.A. Battjes /1974/ qui montre que ce rapport peut atteindre 1.2, voire 1.3 et plus !

6.5.1.2. Hauteur limitée par le fetch C'est également le cas lorsque le fetch sur lequel la mer peut se lever est bien identifié. La hauteur maximale de la houle à prendre en compte peut alors être définie à partir de différentes formules empiriques prenant en compte le fetch F et la vitesse maximale du vent W qui peut y souffler et sa durée maximale D (formules de Bretschneider ou de Hasselmann).



6.5.2. Période de retour d'un événement La période de retour T associée à la valeur HT d'une variable aléatoire H est l'espérance mathématique du nombre n d'unités de temps (mois, année …) séparant deux occurrences successives de l'événement H HT≥ . D'après cette définition, l'événement H HT≥ se réalisera, en moyenne, une et une seule fois pendant chaque période T choisie. Sous réserves : � que le phénomène observé soit stationnaire (si n est compté en unités

inférieures à l'année, cette hypothèse qui peut être mise en défaut par des phénomènes saisonniers comme les cyclones),

� que les réalisations successives de H pendant l'unité de temps soient statistiquement indépendantes,

la période de retour peut s'exprimer en fonction de la probabilité F(HT) que H soit supérieur ou égal à HT. La probabilité de n s'écrit en effet : (6.60) p n F H F HT T

n( ) ( )[ ( )]= − −1 1

D'où, compte tenu de l'égalité ( )1 2 1

1

− =− −

=

∞

�x nxn

n

valable si x < 1,

l'expression de la période de retour:

(6.61) T E n np n F H n F HF Hn

T Tn

Tn

= = = − ==

∞−

=

∞

� �( ) ( ) ( ) [ ( )]( )1

1

1

11

La probabilité que n soit inférieur à une valeur donnée N s'écrit alors :

(6.62) Prob[ ] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]n N p n F H F H F Hn

N

T Tn

TN

n

N

≤ = = − = − −=

−

=� �

1

1

1

1 1 1

Ainsi, si N est la durée de vie souhaitée d'un ouvrage, et si la période de retour choisie pour son dimensionnement est T, la probabilité E qu'il subisse un dommage associé à l'occurrence d'au moins un événement H HT≥ pendant la durée N s'écrit, en ne considérant que les valeurs de T assez grandes :

(6.63) E n NT

NT

N

= ≤ = − −�

��

��≈ − −�

��

��Prob[ ] exp1 1

11

De même, la période de retour T à prendre en compte pour que la probabilité de dommage au cours de la durée de vie N ne dépasse pas le seuil E est :



(6.64) ( )TN

E≈ −

−ln 1

T/N 1 2 5 10 20 50 100 E 0.63 0.39 0.18 0.10 0.05 0.02 0.01 Tableau 6.2 : Probabilités d'un événement en fonction du rapport entre la période de retour et la durée de vie souhaitée.

Le tableau 6.2 montre clairement que, pour limiter réellement le risque à un faible niveau, la période de retour d'un événement provoquant la ruine de l'ouvrage doit être égale à plusieurs fois sa durée de vie. Toutefois, lorsque l'effet de durée du risque, ou l'effet de répétition du phénomène prend une signification importante, il est plus rationnel de fonder la définition de la période de retour sur la notion de durée cumulée. La houle de période de retour ~T est alors définie comme la houle dont la hauteur ~HT est atteinte et dépassée en moyenne pendant une durée cumulée de 24 heures au cours d'une durée totale égale à ~T . Ainsi, en exprimant ~T en années, sa probabilité d'occurrence est définie par :

(6.65) F HTT( ~ ) ~= 1

365

6.5.3. Méthode probabiliste Pour déterminer la période de retour d'une hauteur de houle donnée (hauteur maximale ou hauteur significative, durée cumulée ou non, …), ou la hauteur de houle associée à une période de retour donnée, (houles décennale H10, cinquantennale H50, centennale H100, …), il suffit de connaître la probabilité F(HT) que H soit supérieur ou égal à HT. Comme le montre la figure 6.4, sur un diagramme semi-logarithmique, pour un lieu d'observation donné, les points représentatifs de la hauteur maximale en fonction de la probabilité d'occurrence s'alignent. C'est la loi de Larras : (6.66) H H A F HT T= −0 log( ( ))

Expression dans laquelle H0 désigne le "bruit de fond" qui peut être très faible, voire nul. Il vient, en inversant cette relation :

(6.67) F HH HA e

H HAT

T T( ) explog

exp .= − −�

��

�

�� = − −�

��

��0 02 30



Les paramètres H0 et A de cette loi sont déterminés par ajustement au sens des moindres carrés à partir des observations sur le site considéré.

Figure 6.4 : extrapolation des hauteurs maximales aux grandes périodes de retour.

Naturellement, pour pouvoir procéder à une extrapolation convenable sur des périodes longues, il est nécessaire de disposer, pour le site considéré, de mesures continues pendant au moins deux à trois années, et, si possible, plus. C'est sans doute pour cela que la houle de projet augmente souvent sensiblement pendant les études. Cette approche qui peut être utilisée, à condition de disposer de données directionnelles, en tenant compte des incidences, ne fournit malheureusement pas d'indication sur la période des houles.

6.5.4. Méthode du renouvellement Lorsque la durée des observations est trop courte, il reste possible, sous certaines hypothèses, d'obtenir une estimation indirecte des périodes de retour des houles maximales à partir des informations les plus significatives sur les probabilités des fortes houles, c'est à dire les hauteurs de houle maximales de chaque tempête supérieures à un seuil donné. Cette méthode de détermination de la houle de projet dite "par renouvellement" a été mise au point par le L.N.H. (EDF Chatou).



Elle suppose donc que, pour un site donné, toutes les tempêtes caractérisées par une hauteur H supérieure à un seuil donné H0 sont connues sur une durée de plusieurs années. Par ailleurs, le seuil H0 est sensé être suffisamment élevé pour que deux tempêtes successives puissent être supposées statistiquement indépendantes. Alors, la probabilité pour que la hauteur maximale Hmax soit supérieure à une valeur HT peut s'écrire sous la forme :

(6.68) Prob[ ] ( )[ ( )]maxH H p n F HT Tn

n

≥ = − −=

∞

�1 10

Expression dans laquelle p(n) désigne la probabilité qu'il y ait, au cours d'une année, n tempêtes de hauteur supérieure au seuil et F(HT) la probabilité qu'une tempête donnée ait une hauteur supérieure à HT, sachant qu'elle est au dessus du seuil H0. Si F(HT) est proche de zéro, ce qui est vérifié sous deux conditions : � que l'échantillon de tempêtes observées soit assez important, ce qui

suppose que la hauteur H0 du seuil soit assez petite et que la durée d'observation soit assez longue ;

� que la hauteur considérée HT soit assez grande c'est à dire que sa probabilité d'occurrence soit suffisamment petite (vague décennale, trentennale, cinquantennale ou centennale) ;

alors la relation (6.68) peut se mettre sous la forme approchée suivante :

(6.69) Prob[ ]( )

maxH HF H

DTT≥ ≈

Expression dans laquelle D est la durée moyenne qui sépare deux tempêtes. C'est donc le rapport entre le nombre d'années d'observation et le nombre de tempêtes observées. La période de retour associée à la hauteur HT s'écrit alors :

(6.70) TD

F HT

≈( )

A partir d'un nombre suffisamment important d'enregistrements effectués régulièrement sur un grand nombre d'années, et sachant que la distribution des hauteurs crête à creux suit une loi qui est asymptotiquement une loi de Rayleigh pour un état de mer donné, l'estimation des valeurs extrêmes à long terme ne devraient plus poser de problème.



6.5.5. Extrapolation stochastique La vraie difficulté du problème provient de ce que la quantité des données nécessaires, de bonne qualité, et réparties sur une durée suffisante n'existe quasiment pas en dehors des sites côtiers. Il faut alors recourir, dans la pratique, à des extrapolations stochastiques. Des lois asymptotiques sont donc souvent utilisées pour approcher F(HT) au voisinage des valeurs intéressantes de HT. Le choix des différentes asymptotes n'est pas unique. Il est guidé par l'expérience et l'idée qu'il est, a priori, possible de se faire de la queue de la distribution initiale. L'asymptote de Weibull conduit à écrire :

(6.71) F HH H

ATT

B

( ) exp( )≈ − −�

��

�

��

0

Les deux paramètres A et B de la loi doivent être ajustés sur les observations. A noter qu'elle correspond à la loi de Larras quand B=1 et à la loi de Rayleigh quand B=2 ; mais l'expérience montre que l'exposant peut atteindre des valeurs allant jusqu'à 5. La première asymptote de E.J. Gumbel /1958/ conduit à écrire :

(6.72) F HH H

ATT( ) exp exp≈ − − − −�

��

��

��

�

��1 0

Les deux paramètres de la loi A et H0 doivent être ajustés sur les observations, en écrivant les deux relations suivantes à partir de la moyenne HM et de l'écart type σM des M valeurs de l'échantillon observé :

(6.73) π σ

γ6

0

A

H A H

M

M

=

+ =

Expression dans laquelle γ=0.57722 est la constante d'Euler. Ces expressions permettent d'estimer F(HT) à partir d'observations. Il convient de noter que l'ajustement de la loi de Gumbel peut se faire graphiquement puisqu'elle correspond à une droite dans le plan défini par : (ln(-ln[1-F(HT)]), HT).

6. Analyse statistique de la houle réelle · Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique...

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