Présentation | 5.6 Les bases de la technologie moderne

5.6 Les bases de la technologie moderne

Lors de Show Math, lorsqu’il a été question de la musique que l’on stocke sur les MP3, on a parlé des séries de Fourier. Il n’est pas du tout question ici de faire l’étude de ces séries. L’activité n’est qu’un prétexte pour travailler sur les courbes sinusoïdales, les fonctions périodiques et les sommes de fonctions.

On notera également la contribution de ce modèle mathématique à divers domaines de la science et de la technologie. Si on veut déve-lopper un peu plus l’aspect technique, cette activité pourrait aussi être présentée en TS.

Il serait préférable de faire cette activité après avoir assisté au Show Math.

Intentions de l’activité

•  Faire explorer ou renforcer des thèmes au programme de mathéma-tiques comme les fonctions périodiques ou sinusoïdales

• Éveiller l’intérêt sur l’apport des mathématiques dans le développe-ment de la technologie

• Montrer « à quoi ça sert » les mathématiques

Forme de la production attendue

• Graphiques, conjectures

Concepts utilisés pour la réalisation de l’activité

•  Fonctions périodiques

•  Fonctions sinusoïdales

•  Somme de fonctions

•  Fonctions définies par parties

Ressources matérielles

• Calculatrice à affichage graphique ou ordinateur avec logiciel tra-ceur de courbes

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Préparation

•  Le phénomène du stockage de données sur les MP3 et les autres supports numériques est une bonne amorce. On peut revenir un peu sur ce qui a été dit lors de la présentation de Show Math. On peut même avertir les élèves qu’il y aura une activité se rapportant à cette partie du spectacle.

• Bien indiquer aux élèves que nous ne pouvons pas examiner com-plètement le phénomène, car il leur manque des notions mathé-matiques. Par contre, si c’est opportun, certains élèves pourraient choisir ce sujet comme activité d’approfondissement.

Réalisation

•  Il s’agit avant tout d’une activité d’exploration qui vise à « asseoir » des concepts comme la somme de fonctions et les fonctions pério-diques, il serait bon que les élèves puissent vraiment faire des essais et réaliser ce qui se passe, surtout dans la deuxième partie. Sans aborder le concept de convergence, on peut faire remarquer que si les coefficients d’une série deviennent plus grands, l’amplitude de-vient plus grande et on risque fort de s’éloigner de la courbe visée plutôt que de l’approcher.

• Dans la deuxième partie, insister sur un texte clair pour la descrip-tion en mots de la courbe.

•  La troisième partie est une activité intéressante pour développer l’habileté à faire des conjectures. Les élèves ne peuvent pas vrai-ment procéder autrement que par essais et erreurs et l’intérêt est de voir comment l’ajout (l’addition de fonctions) permet de changer la forme du graphique. Cette partie ne peut pas se réaliser sans uti-liser la technologie.

• On pourrait faire une petite introduction sur les notations avec des indices ou des signes de sommation, mais ce n’est vraiment pas né-cessaire et peut-être n’est-ce pas souhaitable non plus.

Intégration

•  Le retour devrait porter avant tout sur l’influence de la périodicité dans les exemples donnés, notamment sur le fait que lorsque l’argu-ment est multiplié par un nombre entier, on obtient des graphiques où les courbes ont les zéros de la première fonction.

Déroulement

Piste de différenciation

•  Les indices indiqués dans le texte (coefficients à dénomina-teurs simples, arguments crois-sants) peuvent être omis pour des élèves plus performants, comme on peut en ajouter dans le cas contraire.

Cahier de l’élève | 5.6 Les bases de la technologie moderne | 1

Nom : _________________________________________________________

5.6 Les bases de la technologie moderne

Lors de la présentation de Show Math, lorsqu’il a été question de la technologie MP3, nous avons fait allusion au fait que toutes les mu-siques et tous les bruits sont des ondes et qu’il existe des moyens de stocker un grand nombre d’ondes en utilisant, entre autres, les séries de Fourier.

Essentiellement, les séries de Fourier sont des fonctions dont nous nous servons pour approximer d’autres fonctions plus complexes. Ce sont des sommes et des produits de sinus et de cosinus. De plus, nous pouvons limiter l’étude à un petit intervalle qui se reproduit indéfiniment puisque ce sont des fonctions périodiques.

Ces séries de Fourier sont utiles en acoustique, en électrodyna-mique, en optique, en thermodynamique, en génie électrique et dans plusieurs autres domaines. Par exemple, nous nous en servons pour prévoir l’ampli tude des marées dans tous les ports impor-tants du monde. Nous les retrouvons dans de nombreuses applica-tions technologiques. Nous allons examiner quelques exemples de courbes que nous pouvons exprimer comme une somme de fonc-tions de sinus ou de cosinus. Ce ne sont pas toutes les fonctions qui peuvent se transformer ainsi ; les conditions pour savoir lesquelles sont « acceptables » sont connues, mais nous ne considérerons pas cet aspect ici.

Si la musique occupe beaucoup de place dans ta vie, savais-tu que c’est en grande partie grâce aux mathé-matiques. Il n’y a pas si longtemps, les chansons étaient enregistrées sur un cylindre de cire sur lequel on pouvait à peine conserver quelques minutes de musique. Viens lever un coin du voile qui cache les mystères de cette technologie.

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Partie 1 : ExempleVoici le graphique sur l’intervalle [0,2p] d’une fonction périodique qui reproduit ce modèle à l’infini dans les deux sens.

On peut définir cette fonction en trois parties pour cet intervalle :

Il serait particulièrement difficile de la définir ainsi si nous voulions englo-ber la fonction au complet sur tous les réels.

Il existe une façon de faire la somme de plusieurs fonctions sinusoïdales qui nous permet de représenter presque parfaitement cette courbe.

Une première approximation de cette courbe peut être faite en utilisant la fonction : f

1(x) = sin(x).

T(x) =

si x ∈ 0,

si x ∈

si x ∈ 2π

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

π

2

πx

4

π2

4+

π

2

3π

2,

,

- ,

πx

4

3π

2

π2

2+ ,

πx

4, [ [

[ [[ [

f(x)

x

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Voici le graphique de : f(x) = f1(x) = sin(x).

Si, nous additionons la fonction f2(x) = - sin(3x)

1

9 à cette fonction, nous

obtenons le graphique suivant :

f(x) = f1(x) + f

2(x) = sin(x) - sin(3x)

1

9 .

Comme nous pouvons le consta-ter, cette approximation n’est pas très satisfaisante. Nous pouvons l’améliorer en additionnant une autre fonction.

f(x)

x

f1(x)

f(x)

x

f2(x)

f(x)

x

f1(x) + f

2(x)

f(x)

x

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Cette somme de fonctions est une bien meilleure approximation de la fonction de départ T(x).

Nous pouvons faire mieux encore !

Si à la dernière fonction trouvée, nous ajoutons f3(x) = sin(5x)

1

25, nous

obtenons ce graphique :

f(x) = f1(x) + f

2(x) + f

3(x) = sin(x) - +sin(3x)

1

9sin(5x)

1

25

f(x)

x

f1(x) + f

2(x)

f(x)

x

f3(x)

f(x)

x

f1(x) + f

2(x) + f

3(x)

f(x)

x

Cahier de l’élève | 5.6 Les bases de la technologie moderne | 5

Nous voyons que l’approximation faite par la somme des fonctions de f1(x)

à f7(x) s’approche beaucoup de la fonction initiale T(x) :

f(x) = sin(x) - sin(3x)1

9+ sin(5x)

1

25+ sin(9x)

1

81+ sin(13x)

1

169- sin(7x)

1

49- sin(11x)

1

121f(x)

x

f(x)

x

Nous pourrions continuer. Par exemple :

f(x) = f1(x) + f

2(x) + f

3(x) + f

4(x) + f

5(x) + f

6(x) + f

7(x)

6 | Cahier de l’élève | 5.6 Les bases de la technologie morderne

Partie 2 : ExercicePour l’exemple suivant, utilisez un logiciel graphique (Graph, par exemple) ou votre calculatrice à affichage graphique. On désire approximer la forme d’une onde par une série de Fourier dont les premiers termes sont :

f(x) = cos(x) - cos(3x)1

3+ cos(5x)

1

5- ...

En examinant les modifications subies par l’argument du cosinus et son coefficient, déterminez les trois prochains termes de cette série.

2.

1.

2.

3.

Pourriez-vous trouver les trois prochains termes que nous pourrions ajou-ter à la fonction f(x) pour s’approcher encore plus de T(x) ?

1.

2.

3.

1.

Savais-tu que ?

Il existe une façon de détermi-ner les coefficients des fonctions sinusoïdales pour qu’elles s’ap-prochent de plus en plus de la courbe désirée. Cette méthode utilise le calcul intégral que vous étudierez peut-être au collégial. Les séries ainsi formées épouse-raient parfaitement la forme vou-lue si on continuait à ajouter des termes jusqu’à l’infini.

Cahier de l’élève | 5.6 Les bases de la technologie moderne | 7

Par essais et erreurs, à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice graphique, déterminez la série de Fourier qui donne la meilleure approximation de cette courbe.

Toutes les notes et tous les bruits sont des ondes que nous pouvons représenter par des séries de Fourier. C’est à partir de principes de ce genre que nous pouvons maintenant stocker de la musique sur différents supports en économisant de l’espace.

Partie 3 : Conjecture

f(x) =

Savais-tu que ?

La série de Fourier qui représente cette fonction périodique est une somme de sinus dont les coeffi-cients des x augmentent à chaque terme et dont les coefficients des sinus sont des fractions à dénomi-nateurs simples.

4.

f(x)

x

Reproduisez cette fonction sur votre logiciel ou sur votre calculatrice graphique.

Décrivez en mots la forme de cette onde. Elle porte le nom de fonction créneau ou de fonction porte et elle a des applications en électricité et en informatique.

3.

Corrigé | 5.6 Les bases de la technologie moderne | 1

5.6 Les bases de la technologie moderne Corrigé

Pourriez-vous trouver les trois prochains termes que nous pourrions ajou-ter à la fonction f(x) pour s’approcher encore plus de T(x) ?

Partie 2 : ExercicePour l’exemple suivant, utilisez un logiciel graphique (Graph, par exemple) ou votre calculatrice à affichage graphique. On désire approximer la forme d’une onde par une série de Fourier dont les premiers termes sont :

f(x) = cos(x) - cos(3x)1

3+ cos(5x)

1

5- ...

En examinant les modifications subies par l’argument du cosinus et son coef-ficient, déterminez quels seront les trois prochains termes de cette série.

Partie 1 : Exemple

1.

1. - sin(15x)1

2252. sin(17x)

1

2893. - sin(19x)

1

361

2.

1. - cos(7x)1

72. cos(9x)

1

93. - cos(11x)

1

11

(Page 6)

(Page 6)

f(x)

x

2 | Corrigé | 5.6 Les bases de la technologie morderne

Décrivez en mots la forme de cette onde. Elle porte le nom de fonction créneau ou de fonction porte et elle a des applications en électricité et en informatique.

Il s’agit d’une courbe rectangulaire (des créneaux) comme le sommet des châteaux.

Par essais et erreurs, à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice graphique, déterminez la série de Fourier qui donne la meilleure approximation de cette courbe.

Partie 3 : Conjecture

f(x) = sin(2x) + sin(4x)1

2+ sin(6x)

1

3+ sin(10x)

1

5+ sin(14x)

1

7+ sin(16x)

1

8+ sin(8x)

1

4+ sin(12x)

1

6

3.

Reproduisez cette fonction sur votre logiciel ou sur votre calculatrice graphique.

4.

(Page 7)

(Page 7)

f(x)

x