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Chapitre I Age de temprature de la terre

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Chapitre I I

En physique de la terre, on comprend par forme de la terre la surface de sa partie solide,

et le relief de la surface terrestre. La notion de champ de pesanteur de la terre est base sur la

loi de gravitation universelle et les principes fondamentaux de la dynamique.

II.1 Potentiel de la force dattraction newtonienne, force centrifuge et force de la

pesanteur

La loi mathmatique de lattraction universelle est donne par la formule :

o est la constante gravitationnelle.

Introduisons la notion du potentiel newtonien. La loi de conservation de lnergie pour

un systme de deux points en attraction selon (II.1) scrit :

E + U = C (II.2)

o E est lnergie cintique du systme et U lnergie potentielle.

Soit un point P (x , y , z) de masse m. Considrons la position dun point P (x,y,z) par

rapport P immobile, alors ;

( ) (II.3)o v est la vitesse du point P et sont ses composantes.En diffrenciant (II.2), on obtient

(II.4)Soient X, Y, Z les composantes de la force applique au point P. La formule (II.4)

devient :

( ) (II.5)

Forme de la terre

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Etant donn que sur le point m1nous navons que leffet de F, alors, on obtient pour les

composantes X, Y, Z les expressions suivantes :

}

En tenant compte de (II.6), lexpression (II.5) scrit sous forme de :

Etant donn quon a :

on peut avoir :

En tenant compte de (II.7), lexpression (II.9) devient :

[ ] En intgrant (II.10), on obtient :

Le potentiel sannule linfini, ce qui implique

do

C = 0

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Rcrivons (II.5) sous la forme :

Le membre de droite de (II.5) est le travail dA, cest--dire :

dA = Xdx + Ydy + Zdz.

En intgrant (II.5) entre les deux positions de P, on obtient :

Ainsi, laction de la force gravitationnelle ne dpend pas du parcours, mais du point

initial et final de celui-ci.

Si au point P, m1 = 1, on obtient selon (II.1) :

qui pour m donn, elle est une fonction de la position de P dans lespace.

Lnergie potentielle pour m = 1 est selon (II.12) :

Cest lnergie potentielle du champ des forces newtoniennes gravitationnelles au point P.

Posons U aussi le potentiel au point P, ce qui donne :

Alors (II.14) permet dcrire :

Les formules (II.14) proviennent des relations (II.6) et (II.9).

Le potentiel U peut tre considr comme une fonction complexe des arguments

x, y, z, donc :

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o

sont les cosinus directeurs de llment d s,cest pourquoi si lon tient compte de (II.15), on aura :

o - est la composante de la force suivant la direction d s.

Si nous avons un ensemble de points alors le potentiel deviendra :

Si les masses occupent un certain volume V et si lon considre une masse lmentaire

d m dans V on obtient en intgrant (II.18) :

Soit dV le volume occup par la masse dm, alors la densit ce point est :

Donc (II.19) scrit sous la forme :

Le potentiel (II.21) sappelle potentiel des masses volumiques.

Pour le cas de masses reparties en couches infiniment minces sur une surface

dpaisseur dn et de densit , on aura selon (II.20) : do - est la densit superficielle de la couche

La formule (II.22) permet de trouver le potentiel de la couche matrielle, cest--dire la

couche simple :

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Etant donn que la terre est en rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire ,

il faut considrer en plus de la force F gravitationnelle, la force centrifuge gale :

o d- est la distance entre le point P et laxe de rotation de la terre. Elle est gale :

Les projections de sur les axes X et Y donnent :

Le potentiel Q des forces centrifuges est alors :

Donc, le potentiel W des forces gravitationnelles au point P (x, y, z) est :

Lintgration de (II.28) se fait dans tout le volume V de la terre

II.2 Potentiel dune couche sphrique homogne et dune sphre forme de couches

concentriques homognes

Soit une couche sphrique de rayon r et de densit superficielle . Cherchons lepotentiel dattraction cre par cette couche lextrieurde lespace sphrique. Soit un point Psitu une distance r du centre (r>r) (fig. II.1). Appliquons cet effet la formule (II.23) en

prenant constante ; on aura :

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Fig II.1

Du triangle OPP (fig II.1), on tire :

( ) On peut dcomposer cette expression en srie par des fonctions sphriques Pn() :

Remplaons (II.30) dans (II.23) :

En utilisant les critres dorthogonalit des fonctions sphriques et sachant que

P0() = 1, on obtient de (II.31) :

avec o M- est la masse de toute la couche. Donc le potentiel de la sphre homogne ou point P

situ lextrieur de lespace :

De (II.32) on peut trouver la force F dattraction :

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Si P est lintrieur de lespace (rR) externe cette couche sera :

La relation entre la densit superficielle et la densit volumique est :

Pour une couche infiniment petite, on a :

En intgrant (II.34) de 0 R, on obtient :

Ainsi,

o M est la masse de la sphre. De (II.34 ), on a :

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Lattraction dun point , situe lintrieur de le sphre (r

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Si nous avons deux surfaces quipotentielles proches, la famille (II.37) pour laquelle C

diffre de deviendra :W = C (II.37)

et

W = C + C, (II.37)donc, la distance suivant la normale n entre les surfaces (II.37) et (II.37) est selon (II.39)est exprime par :

Elle sera gale :

Si lon remplace W par W1diffrent de W par rapport W, on obtiendra :

W = C ; (II.37)

La distance

n entre les surfaces quipotentielles W1 et W est selon (II.39) :

La fonction W est le potentiel dexcitation d au dplacement des surfaces

quipotentielles dune grandeur dtermine par la formule (II.40).

II.4 Dcomposition du potentiel par les fonctions sphriques

Soit un point extrieur P (x, y, z) (fig II.2). Le potentiel est exprim selon (II.28) par :

Etant donn que le potentiel de la force centrifuge est une expression simple, alors on doit

tenir compte du potentiel gravitationnel U :

Selon la figure(II.2), on a :

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mais

Do selon le thorme daddition des fonctions sphriques, on obtient :

En tenant compte de (II.43), nous avons :

Fig. II.2

En remplaant (II.41) dans (II.21) et en considrant les coordonnes r, , , on

obtient :

Posons :

On obtient alors le potentiel U :

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En remplaant dans (II.45) les coordonnes r, , , par les coordonnes x, y, z on

obtient alors :

}

Do on obtient les valeurspour

:

o M est la masse de la terre ; x0, y0, z0- les coordonnes du centre dinertie de la terre.

Analogiquement, on ralise les mmes transformations des coefficients pour les

membres du deuxime ordre :

Les formules (II.48") expriment les moments centrifuges dinertie. En introduisant les

moments dinertie par rapport laxe des coordonnes, on obtient :

On crit maintenant les expressions D

0

2 et D

2

2 sous forme :

}

Si lon considre le centre dinertie de la terre lorigine des coordonnes, on aura :

x0 = y0 = z0 = 0.

Si lon prend pour axes de coordonnes les axes principaux dinertie de la terre, (II.48")

sera nulle et (II.46) deviendra :

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Posons :

Afin dobtenir la dcomposition de W satisfaisant (II.51), on ajoute le potentiel

centrifuge Q reprsente en coordonnes polaires :

Exprimons (II.53) travers la fonction sphrique principale P2() :

En associant (II.51) et (II.54), on obtient W.

II.5 Gode, sphrode normale, force gravitationnelle sur la surface dune sphrode

normale

Si lexpression (II.55) est gale une constante, on obtiendra une des quations des

surfaces quipotentielles de la force gravitationnelle. Si K0 est choisie de sorte que la surface

quipotentielle concide avec le niveau de locan calme, cette surface sappellera gode. Le

gode est gnralement pris pour la forme de la terre.

On crit lquation du gode sous forme :

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La surface du gode est complexe, do lon prend une surface simple de la terre, en

simplifiant lquation du gode.

Le cas le plus simple de (II.56) ne prend en considration que le premier membre, cest

pourquoi on obtient lquation de la sphre suivante :

Le potentiel correspondant est :

La force de la pesanteur gs est selon (II.39).

En liminant

de (II.57) et (II.59), on obtient :

K0 = rgs. (II.60)

Connaissant lacclration de la pesanteur g et le rayon de la terre , on peut dterminer

par (II.60) la constante K0. On peut aussi, calculer la masse de la terre M par (II.59) si lon

connat la constante . On utilise souvent la sphrode de Clairaut. Cette dernire est obtenuepar les premiers quatre membres de (II.56) :

Etant donn que la sphrode obtenue est une de rotation, alors les moments dinerties A et B

par rapport lquateur sont gaux. Do

A + B = 2Bm.

Lquation de la sphrode de Clairaut est donc :

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Lquation de la sphrode ne contient que la fonction sphrique principale du deuxime

ordre, alors :

La proprit dorthogonalit permet dcrire :

R est le rayon de la sphre. En mettant (II.62) dans (II.61), on a :

La formule (II.64) nest valable que si les coefficients pour les mmes fonctions sphriques

gauche et droite de (II.64) sont gaux. Donc

}

avec

q est le rapport de la force centrifuge lquateur et de la force de la pesanteur. Pour la terre

q . En remplaant de (II.65) dans (II.62), on obtient : [ ]

Pour = 0 et selon la formule (II.67), on obtient le demi axe polaire c de la sphrode, pour

= 90, on a le demi axe quatorial :

[ ] [ ]

Laplatissement 0dune sphrode normale est dtermine par:

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29

En comparant (II.68), (II.69) avec (II.67), on obtient lquation dune sphrode

normale de Clairaut.

La formule du potentiel selon (II.61) est :

En utilisant (II.39), on obtient lacclration de la force de pesanteur sous la forme

suivante :

On remplace dans (II.72) lexpression de r donne par (II.70), et on introduit la formule

de lacclration de la pesanteur lquateur e. On comprend par lacclration de lapesanteur lquateur dune sphrode normale. Aprs quelques transformations, onobtient :

La formule (II.73) sappelle la rpartition normale de la force de pesanteur. La constante

quatoriale est :

On utilise souvent la distance polaire avec la latitude . Donc (II.70) et (II.73)scrivent sous forme :

Les observations de le force de pesanteur permettent dobtenir les paramtres et par la formule (II.73) et laplatissement

par (II.74) dune sphrode normale. Les formules

(II.73) et (II.74) obtenues par Clairaut sont importantes dans ce type de calcul.

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30

Si lon dispose de mesures godsiques, du demi axe , et si et , sont connus onpourra calculer par (II.75) la masse de la terre M et mme la densit moyenne m.

De (II.69), on obtient :

La formule (II.76) permet de trouver la diffrence entre les moments dinertie de la terre

par rapport aux axes quatorial et polaire. Laplatissement dynamique H quon peut obtenir

des observations astronomiques est :

Les formules (II.76) et (II.77) permettent dobtenir le moment dinertie de la terre :

II.6 Paramtres principaux de la sphrode terrestre

Les tudes godsiques ont permis de dfinir une ellipsode de rfrence dont :

- le demi axe quatorial = 6378245

- laplatissement En utilisant des stations continentales et maritimes, il a t obtenu

Ce qui donne laplatissement :

En utilisant que des stations continentales, il a t obtenu : En considrant lellipsode triaxial, on obtient :

Laplatissent dynamique H obtenu partir des donnes astronomiques est : H = 1 : 305.

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La grandeur q est q = 1 : 288,4.

Les formules du paragraphe prcdent permettent de trouver :

la masse de la terre est :

M = 5,976.1027g,

ce qui donne la densit moyenne de la terre gale :

Le moment dinertie C de la terre est de termine enfin par :

II.7 Forme dquilibre dune masse liquide htrogne en rotation

La description de lquilibre hydrostatique dune masse liquide htrogne permet de

comprendre certains aspects lis la forme de la terre.

Les quations dquilibre dun liquide idal scrivent sous la forme :

}

o - densit ; p- pression, W-potentiel des forces dattraction; laxe des coordonnes tourneavec la terre. En multipliant les quations (II.79) par dx, dy, dz respectivement, on obtient :

A la surface quipotentielle, on a

dW = 0,

ce qui donne :

dp = 0.

Donc, les surfaces quipotentielles sont des surfaces de pression identique.

De (II.80), on tire :

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Il sen suit alors, que le potentiel peut tre considr comme une fonction de la densit .Soit une sphre de rayon r dont le volume est dlimit par la surface quipotentielle W

= C. Le rayon vecteurdun point P situ sur une surface quipotentielle peut tre dterminpar :

et les coordonnes x,y,z de P sont exprimes en fonction de , lazimut et la distance polaire, do :

caractrise linclinaison de la surface quipotentielle par rapport la surface de la sphre de

rayon r.


o dest llment de surface de la sphre de rayon gal lunit. La distance l entre le pointde coordonnes x, y, z ou et un point P est :

Ici exprime langle compris entre les vecteurs

et

. Le potentiel U est :

Le potentiel de la force centrifuge est :

Lquation des surfaces quipotentielles passant par le point P est :

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Soit q le rapport de la force centrifuge lquateur et la force gravitationnelle

lquation (II.86) devient aprs avoir remplac U par lexpression (II.84) :

En remplaant parle produit

o

est un paramtre quelconque on trouve :

Pour cela, on a :

Dcomposons (II.84) en srie :

Si , on aura :


Soit :

Donc est une fonction de r.Reprenons (II.84) sous la forme :

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Pour on a (II.84") sous forme :

Do, on a :

A travers b ou r, on peut avoir :

Revenons la premire intgrale (II.84") :

en posant :

on trouve :

En tenant compte de la forme de la fonction , on obtient :

par consquent,

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De (II.90) et (II.91), on obtient :

En remplaant dans (II.86)U selon (II.87) et en tenant compte de (II.88) et (II.92), on obtient :

Cette dernire expression peut tre simplifie en utilisant les relations du potentiel pour une

couche sphrique (II.23), (II.32) et (II.32).

Donc :

mais,

et

En remplaant lexpression obtenue dans la formule de F(r), on obtient :

Pour r et donns, dpendra que de la vitesse angulaire.

La dcomposition de donne :

Dans (II.94) =0 pour q=0 (rotation nulle). Alors (II.93) scrit sous forme :

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sous forme dune srie scrit alors :

Les coefficients An sont des fonctions de r, alors ;

Ainsi, le volume de la sphre de rayon r est gal au volume limit par la surface

quipotentielle, alors de (II.96), on a :

Pour trouver les autres coefficients de (II.95), on multiple les deux parties de (II .93) par

Pn () d :

Etant donn quon a :

Alors en multipliant les parties gauche et droite par et en intgrant, on obtient :

}

En utilisant (II.98), nous transformons le premier membre de (II.97) :

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37

En tenant compte de (II.96), on peut crire la dernire quation sous la forme :

()

()

En remplaant (II.99) dans (II.97) et en transformant le deuxime membre dans (II.97)

conformment (II.96), on obtient :

La dernire quation a deux formes : pour n = 2 et pour n 2. Si n 2, on aura

Si n = 2, on aura

Donc, on obtient deux formes dquations :

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()

}

Lquation (II.100) montre que tous les coefficients An = 0 sauf A2, ce qui implique :

Le rayon vecteurpeut scrire selon (II.81) et (II.101) sous forme :

Laplatissement des surfaces quipotentielles est dtermin par :

Ce qui donne selon (II.81) :

Do, lquation de la forme dquilibre dune masse liquide htrogne en rotation

sous la forme :

[ ]ou en introduisant le demi axe quatorial, = on obtient :

En comparant (II.103) avec (II.70), on peut dire que la sphrode de Clairaut est la

forme dquilibre dune masse liquide htrogne en rotation.

Laplatissement est dtermin par la distribution des densits lintrieur de la masseen rotation.

Afin de dterminer, remplaons (II.102) dans la deuxime quation de (II.100), onobtient :

()

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Lquation (II.104) est lquation intgrale de Clairaut. On peut lcrire sous une autre

forme en introduisant la densit moyenne de la terre :

et la densit moyenne D de la sphre de rayon r :

La formule de Clairaut devient alors :

()

En crivant (II.106) pour la surface de la plante, on obtient les conditions que doivent

satisfaire la densit et laplatissement des couches internes :

()

En diffrentiant deux fois (II.104), on obtient lquation de Clairaut :

La formule (II.107) permet de calculer laplatissement des couches de mme densit si lon a

et .II.8 Comparaison entre la forme de la terre et la forme dquilibre dun liquide

htrogne en rotation

La formule (II.106)permet de remarquer les limites de variation de laplatissement. Si

la plante est homogne ( = const), on obtiendra :

()

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Pour une htrognit limite, cest--dire si toute la masse de la plante est situe au

centre, et si est nulle partout part dans le centre, on aura :

() ()

pour r 0

et

Pour la terre, on a q = 1 : 288,4, ce qui donne les limites de laplatissement 1 : 231 et 1 : 577.

Posons C et B les moments dinertie dune ellipsode homogne de densit par

rapport a laxe polaire c et laxe quatorial . De la mcanique, on peut avoir :

Si est laplatissement de lellipsode et r le rayon de la sphre, on aura :

En tenant compte des dernires relations, on obtient :

Pour une couche ellipsodale dpaisseur dr, on a :

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[ ]

[

]

do pour une ellipsode forme de couches ellipsodales de mme densit, on obtient

les moments dinertie C et B :

[ ]

[

]

}

De (II.109), on obtient laplatissement dynamique H de la forme dquilibre :

()

En reportant dans (II.110) lexpression (II.106), on obtient :

La formule (II.111) permet de calculer laplatissement si lon connat la loi de

variation de la densit avec la profondeur.

Transformons lquation de Clairaut en introduisant une nouvelle variable :

En tenant compte de (II.112), lquation (II.107) devient :

La dernire expression finale peut scrire sous la forme :

( ) Soit :

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( ) ( ) En tenant compte de (II.113) dans la partie droite de (II.113), on obtient :

( ) Le paramtre au centre de la terre. Alors que pour la surface, on peut

lvaluercomme suit :


En remplaant (II.116) dans (II.115), on obtient :

Pour la surface terrestre r = R, D = m,on a :

() En remplaant (II.117) dans la partie droite de (II.106), on obtient :

La relation (II.118) montre que

sur la surface terrestre. Donc, on peut crire

(II.114) sous la forme :

( ) En intgrant de 0 R, on obtient :

Lintgration par parties donne :

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( ) et en tenant compte de :

Conformment (II.119) et (II.120), on obtient :

En posant (II.14) dans (II.111), on obtient aprs avoir remplac par (II.118), onobtient la relation principale suivante :

La formule (II.112) permet de dterminer laplatissement dune masse liquide en

rotation si lon connat la compression dynamique H et le rapport q de la force centrifuge

lquateur et la force gravitationnelle et ceci indpendamment de la loi de variation de la

densit avec la profondeur.

4- Chapitre 2

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