3e A - programme 2012 mathématiques ch.G2 Ch.G2...

3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G2 – cahier élève sur 15

H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/

Ch.G2 : Trigonométrie

1 COSINUS, SINUS ET TANGENTE D'UN ANGLE AIGU

1.1 Définitions ex. 1 à 3

DÉFINITIONS 1

Dans un triangle rectangle,

le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ;

le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ;

la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.

Exemple 1 :

Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle

COR, puis la formule donnant la tangente de l'angle OCR.

Solution :

Le triangle COR est rectangle en R donc :

sin COR = côté opposé à COR

hypoténuse

sin COR = RC

CO .

cos COR = côté adjacent à COR

hypoténuse

cos COR = RO

CO

tan OCR = côté opposé à RCO

côté adjacent à RCO

tan OCR = RO

RC .

Remarques :

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.

La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.

Exercice du cours n°1 page 208

ENT est un triangle rectangle en E. Écris les rapports de longueurs donnant cos TNE, sin TNE et tan TNE.

ENT E

cos TNE = TNE

= NE

NT

sin TNE = TNE

= ET

NT

tan TNE = TNE

TNE =

ET

NE

Exercice du cours n°2 page 208 NOE est un triangle rectangle en O. Pour chacun des rapports suivants, précise s'il s'agit du cosinus, du sinus ou de la

tangente d'un des angles aigus du triangle NOE : NO

NE ;

OE

ON ;

EO

EN et

ON

OE . Tu préciseras lequel.

NOE O

NO

NE =

ONE = cos ONE

NO

NE =

NEO = sin NEO



OE

ON =

EON

EON = tan ENO

EO

EN =

NEO = cos NEO

EO

EN =

ONE = sin ONE

ON

OE =

NEO

NEO = tan NEO

Exercice du cours n°3 page 208 Sur la figure ci-contre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC

rectangle en A.

a) Écris de deux façons différentes les rapports de longueurs donnant cos ACB,

sin ACB et tan ACB.

b) Recommence avec l'angle ABC.

A

BC H

H A

ACH H

cos ACB = ACB

= CH

CA

sin ACB = ACB

= AH

CA

tan ACB = ACB

ACB =

AH

CH

ABC A

cos ACB = ACB

= CA

CB

sin ACB = ACB

= AB

CB

tan ACB = ACB

ACB =

AB

CA

ABH H

cos ABC = ABC

= BH

BA

sin ABC = ABC

= AH

BA

tan ABC = ABC

ABC =

AH

BH

ABC A

cos ABC = ABC

= BA

CB



sin ABC = ABC

= CA

CB

tan ABC = ABC

ABC =

CA

BA

Exercice n°1 page 209 Soit ABC un triangle rectangle en B.

a) Quelle est son hypoténuse ?

b) Quel est le côté opposé à l'angle ACB ?

c) Quel est le côté adjacent à l'angle ACB ? B

A

C

d) Quel est le côté opposé à l'angle CAB ?

e) Quel est le côté adjacent à l'angle CAB ?

[AC] [AB] [CB] [CB] [AB]

Exercice n°2 page 209 Le bon triangle On se place dans le triangle IKL rectangle en K.

a) Quelle est son hypoténuse ?

b) Quel est le côté opposé à l'angle KLI ?

c) Quel est le côté opposé à l'angle KIL ?

On se place dans le triangle IJM rectangle en M.

d) Quelle est son hypoténuse ?

e) Quel est le côté opposé à l'angle JIM ?

J

IM

L

K

[IL] [KI] [KL] [IJ] [JM]

Exercice n°3 page 209 À toi de jouer ! a) Construis un triangle BON rectangle en O tel que OB = 2,5 cm et ON = 4,5 cm.

b) Repasse en rouge l'hypoténuse, en vert le côté opposé à l'angle BNO et en bleu le côté adjacent à l'angle BNO.

2,5

cm

N O

B

4,5 cm

Exercice n°4 page 209 Écritures EFG est un triangle rectangle en E.

Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle EGF dans le

triangle EFG.

E

F G

sin EGF = EF

FGcos EGF =

EG

FGtan EGF =

EF

EG

Exercice n°5 page 209

AMI est un triangle rectangle en I. Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle AMI dans ce

triangle.

sin AMI = AI

AM

cos AMI = MI

AM

tan AMI = AI

MI

I

A

M




Dans quel(s) triangle(s) peut-on écrire que sin IKJ = IJ

IK ? Justifie ta réponse.

a)

K

I

4 cm

5 cm

3 c

m

J

b) I

K

J

c)

I

K

J

d)

I

K

J

e) J

I

K

f)

I

J

K

[IK]

J I K

IJK J

KI2 = 52 = 25 KJ2 + JI2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25

IJK K

[IK] IK IJK

J

[KJ]

IJK

IJK J

Exercice n°7 page 209 Indique dans chaque cas si on peut calculer, à l'aide des données, le sinus, le cosinus ou la tangente de l'angle marqué. a)

2,8 cm

2,1

cm

B

A

C

b)

I

K

J

8 cm

9 cm

c)

FG

E 2,7 cm

4,2 cm

d)

O

N

M

4 cm

3 cm

ABC B

tan ACB = 2,1

2,8

IJK K

sin JIK = 8

9

EFG E

sin EFG = 2,7

4,2

ABC B

tan MON = 4

3

Exercice n°8 page 209 Quels rapports ? MOI est un triangle rectangle en O.

Que calcules-tu lorsque tu écris :

a) OI

MI ? b)

OI

MO ? c)

MO

OI ? d)

MO

MI ?

Il peut y avoir plusieurs réponses possibles. Précise l'angle pour chaque réponse donnée.



MOI O [MI]

cos OIM sin OMI

tan OMI

I

O

M

tan OIM

cos OMI sin OIM

Exercice n°44 page 213 Sans calculatrice Pour chaque question, justifie la construction.

a) Construis un angle A tel que tan A = 8

9 .

A B

C

8

9

@options;

repereortho(294,427,54,1,1){ 0 ,

moyen , noir , num1 ,i};

trame();

@figure;

A = point( -5.03 , -1 )

{ grisfonce };

B = point( 3.97 , -1 )

{ grisfonce };

C = point( 4 , 7 ) { grisfonce }; sAB = segment( A , B );

sCB = segment( C , B );

sAC = segment( A , C );

p_disBC = milieu( B , C ) { i };

t_disBC = texte( p_disBC ,"#BC=#") { noir ,

(0.24,0) , dec2 };

p_disAB = milieu( A , B ) { i };

t_disAB =

texte( p_disAB ,"#AB=#") { noir ,

(0,0.15) , dec2 };

ABC B

tan A = BC

AB =

8

9

b) Construis un angle B tel que sin B = 0,6.

B A

C

5

3

ABC A

sin B = AC

BC =

3

5 = 0,6

1.2 Calculer des longueurs ex. 4 à 8

Exemple 2 : Calculer une longueur

On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et

ELO = 62°.

a) Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre.

b) Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.

62°

5,4 c

m

O

L

E

Solution :

a) Dans le triangle LEO rectangle en E,

[LO] est l'hypoténuse ;

[OE] est le côté opposé à l'angle ELO.

On cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser.

On doit utiliser le sinus de l'angle ELO.

sin ELO = côté opposé à ELO

hypoténuse

sin ELO = OE

LO

On écrit le sinus de l'angle connu. (La longueur cherchée doit apparaître dans le rapport.)



OE = LO sin ELO On applique la règle des produits en croix.

OE = 5,4 sin 62° On saisit 5,4 × 62 à la calculatrice.

OE 4,8 cm. OE est inférieure à LO.

Le résultat est cohérent.

b) Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes.

Première méthode : On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LEO rectangle en E.

LO2 = OE2 + EL2

5,42 4,82 + EL2

EL2 5,42 – 4,82 6,12

EL 6,12 donc EL 2,5 cm.

Deuxième méthode : On utilise une deuxième relation trigonométrique. Dans le triangle LEO rectangle en E,

[LO] est l'hypoténuse ;

[EL] est le côté adjacent à l'angle ELO.


On doit utiliser le cosinus de ELO.

cos ELO = côté adjacent à ELO

hypoténuse

cos ELO = EL

LO

On écrit le cosinus de l'angle connu. (La longueur cherchée doit apparaître dans le rapport.)

EL = LO cos ELO On applique la règle des produits en croix.

EL = 5,4 cos 62° On saisit 5,4 62 à la calculatrice.

EL 2,5 cm. EL est inférieure à LO. Le résultat est cohérent.


Le triangle NIV est rectangle en N ; VN = 4 m et l'angle VIN mesure 12°.

Calcule la longueur NI arrondie au centimètre.

NIV N

[VN] VIN

[NI] VIN

VIN

tan VIN = VIN

VIN

tan VIN = VN

NINI =

VN

tan VIN

NI = 4

tan 12°

NI 18,82 m


Le triangle AUE est rectangle en U ; AE = 10 cm et EAU = 19°.

Donne la valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [UE].

AUE U

[AE]

[UE] EAU

EAU

sin EAU = EAU

= EU

EA

EU = EA × sin EAU



EU = 10 × sin 19°

EU 3,3 cm


Le triangle VLR est rectangle en V ; LR = 8,7 cm et VRL = 72°. Donne la valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [VR].

VLR V

[LR]

[VR] VRL

VRL

cos VRL = VRL

cos VRL = RV

RL

RV = RL × cos VRL RV = 8,7 × cos 72°

RV 2,7 cm

Exercice n°9 page 210 À l'aide de la calculatrice, donne la valeur arrondie au centième de : a) sin 75° b) cos 26° c) tan 83° d) sin 18°

0,97 0,90 8,14 0,31

Exercice n°10 page 210 Donne la valeur arrondie au degré de x.

a) sin x = 0,24 b) tan x = 52 c) cos x = 0,75 d) tan x = 7

2 e) cos x =

2

3 f) sin x =

9

10

x 14° x 89° x 41° x 74° x 48° x 64°

Exercice n°11 page 210 Recopie et complète le tableau suivant avec des arrondis au dixième.

Mesure de l'angle 35°

89°

Sinus

0,5 0,33

0,02

35° 30° 19,3° 89° 1,1°

0,6 0,5 0,33 1,0 0,02

Exercice n°12 page 210 Calcule x dans chacun des cas suivants.

a) x

5,5 = 0,6 b)

13

x = 0,25 c) 0,8 =

36

x

x = 0,6 × 5,5

x = 3,3

x = 13

0,25

x = 52

x = 36

0,8

x = 45

Exercice n°13 page 210 Calcul de la longueur d'un côté

a) Exprime le cosinus de l'angle OLI en fonction des longueurs des côtés du triangle.

b) Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce cosinus ? Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur.

c) Exprime le sinus de l'angle OLI en fonction des longueurs des côtés du triangle.

O

63°

6 cmIL

d) Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce sinus ? Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur.

cos OLI = OL

LI



OL

OL = LI × cos OLI

OL = 6 × cos 63° OL 2,7 cm

sin OLI = OI

LI

OI

OI = LI × sin OLI

OI = 6 × sin 63° OI 5,3 cm

Exercice n°14 page 210 Que faut-il choisir ? a) Quelle relation trigonométrique dois-tu utiliser pour calculer BN ?

b) Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur.

29°

3 c

m

O

B

N

tan ONB = OB

BN

BN = OB

tan ONB =

3

tan 29° 5,4 cm

Exercice n°15 page 210 À toi de construire

a) Construis un triangle KOA rectangle en A tel que AK = 5 cm et AKO = 40°. b) Calcule la longueur OA arrondie au mm.

A

K

O

5 c

m

40°

tan AKO = OA

AKtan 40° =

OA

5OA = 5 tan 40° 4,2 cm


Construis un triangle TOY rectangle en O tel que TO = 4,5 cm et YTO = 73°. Calcule la valeur arrondie au dixième de l'hypoténuse de ce triangle.

73

°

O

Y

T@

opt

ions

;

@fi

gur

e;

O

= p

oint(

1 , 7

.9 )

{ g

risf

once

};

Y

= p

oint(

1 , -

6.83

);

sY

A =

segm

ent(

Y ,

O )

;

T

= p

oin

t( 5

.5 , 7

.9 )

;

sA

T =

segm

ent

( O

, T

);

sY

T =

segm

ent(

Y ,

T )

;

4,5

cm



cos OTY = TO

TY

TY = TO

cos OTY =

4,5

cos 73° 15,4 cm

Exercice n°18 page 210 À toi de choisir ! Dans chaque cas, calcule la valeur arrondie au dixième de la longueur SO.

a)

27°

5,5

cm

OS

L

b)

@options;

repereortho(313,263,30,1,1){ 0 ,


@figure;

L = point( -7.3 , -1.43 ) { noir };

S = point( -7.8 , 2.9 ) { noir , (-

0.27,-0.67) };

sSL = segment( S , L ) { noir };

cediaSL = cercledia( S , L )

{ noir , i };

O = pointsur( cediaSL , 41.13 )

{ noir , (-0.53,0.03) };

sSO = segment( S , O ) { noir };

sOL = segment( O , L ) { noir };

angleSOL = angle( S , O , L )

{ noir };

angleSLO = angle( S , L , O )

{ noir , i };

angleOSL = angle( O , S , L )

{ noir };

56°

7 c

m

O

S

L

c) L

S

O

83°

5 c

m

cos OSL = SO

SLcos 27° =

SO

5,5SO = 5,5 cos 27° 4,9 cm

tan SOL =SL

SOtan 56° =

7

SOSO =

7

tan 56° 4,7 cm

sin SOL = SL

SOsin 83° =

5

SOSO =

5

sin 83° 5,0 cm

Exercice n°19 page 210 Avec deux triangles Calcule la longueur OM arrondie au millimètre.

A

M

P

O

47° 23°

4,6 cm

PM PAM A

sin APM = AM

PM

PM = 4,6

sin 47° 6,3

POM O

cos OMP = OM

MP

OM = 4,6

sin 47° × cos 23°

OM 5,8 cm

Exercice n°21 page 211 Triangle rectangle ? a) Démontre que le triangle IUV est rectangle.

b) Calcule les longueurs IU et UV arrondies au dixième.

U

I

V

58°32°

2,3 cm

180° UIV = 180° – (58° + 32°) = 90° UIV

I

cos IVU = VI

UVcos 32° =

2,3

UVUV =

2,3

cos 32° 2,7 cm

tan IUV = IV

IUtan 58° =

2,3

IUIU =

2,3

tan 58° 1,4 cm


Construis un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm, BAC = 27° et CBA = 63°.

a) Ce triangle est-il rectangle ? Pourquoi ? b) Calcule les longueurs AC et BC arrondies au dixième.



ABC C

180° ACB = 180° – (63° + 27°) = 90°

A B

C

@options;

@figure;

A = point( -3.1 , 0.5 );

B = point( 1.4 , 0.5 );

sAB = segment( A , B );

C = point( 0.47 , 2.33 ) { (0.32,-

0.53) };


sCB = segment( C , B );

4,5 cm

27° 63° cos BAC = AC

AB

AC = AB × cos BAC

AC = 4,5 cm × cos 27° 4,0 cm

BC = 4,5 cm × cos 63° 2,0 cm

Exercice n°35 page 212 Piste noire Un skieur descend une piste ayant une pente de 25°. Des fanions sont

plantés aux positions S et P de la piste.

Calcule la distance entre les deux fanions S et P arrondie au dixième de

mètre.

S

PR

200 m

25°

SRP P sin SPR = RS

SPsin 25° =

200

SP

SP = 200

sin25° 473,2 m

Exemple 3 : Calculer un angle

Soit FUN un triangle rectangle en U tel que : UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.

Calcule la mesure de l'angle UNF arrondie au degré.

Solution :

Dans le triangle FUN rectangle en U,

F

U 8,2 cm N

5,5

cm

[FU] est le côté opposé à l'angle UNF ;

[UN] est le côté adjacent à l'angle UNF.


On doit utiliser la tangente de UNF.

tan UNF = côté opposé à UNF

côté adjacent à UNF

tan UNF = UF

UN

On écrit la tangente de l'angle recherché.

tan UNF = 5,5

8,2 et UNF 34°. On saisit ou puis (5,5 ÷ 8,2) à la

calculatrice.

Exercice du cours n°7 page 208 Le triangle EXO est rectangle en X tel que EX = 3 cm et OE = 7 cm.

Calcule les valeurs arrondies au degré de la mesure des angles EOX et XEO.

EXO X

[OE]

[EX] EOX

EOX

sin EOX = EOX

sin EOX = EX

EO =

3

7

EOX 25°

XEO = 90° – EOX 90° – 25° 65°




Le triangle JUS est rectangle en U. Calcule la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle UJS sachant que

UJ = 6,4 cm et US = 4,8 cm.

JUS U

[US] UJS

[JU] UJS

UJS

tan UJS = UJS

UJS

tan UJS = US

JU =

4,8

6,4

UJS 37°

Exercice n°24 page 211 Soit RDS un triangle rectangle en S.

a) Exprime le sinus de l'angle DRS en fonction des longueurs des côtés du triangle.

b) Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle DRS.

2,5 c

m

R

S

D

6,5 cm

sin DRS = DS

DR

sin DRS = 2,5

6,5DRS 23°


Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle MNO ; donne la valeur arrondie au degré.

a) N

M

O

2 cm

5 cm

b)

N

M

O

1,2 cm

1,6 c

m2 c

m

c)

M

O

N

5 cm

7 cm

d)

55°

P

N

8,5 cm

M

2 cm

O

sin MNO = 2

5= 0,4

MNO 24°

sin MNO = 1,2

2 = 0,6

MNO 37°

tan MNO = 5

7

MNO 36°

NOP cos NOP = NO

OP

NO = 8,5 × cos 55°

MNO sin MNO = MO

NO

sin MNO = 2

8,5 × cos 55°

MNO 24°



Exercice n°27 page 211 Triangles croisés

a) Calcule la mesure de l'angle IGH.

b) Déduis-en la mesure de l'angle EGF.

c) Calcule les longueurs EF et FG arrondies au dixième. E

H

I

G

F

@options;

repereortho(313,263,30,1,1){ 0 ,


@figure;

E = point( -5.33 , 2.2 ) { noir , (-

0.57,-0.6) };

H = point( 1.27 , 2.2 ) { noir };

sEH = segment( E , H ) { noir };

perpHsEH = perpendiculaire( H ,

sEH ) { i };

I = pointsur( perpHsEH , 2.13 )

{ noir , (-0.1,-0.77) };

G = pointsur( sEH , 0.38 ) { noir ,

(-0.13,0.1) };

dGI = droite( G , I ) { i };

perpEsEH = perpendiculaire( E ,

sEH ) { i };

F = intersection( perpEsEH ,

dGI ) { noir };

sFE = segment( F , E ) { noir };

sFI = segment( F , I ) { noir };

sIH = segment( I , H ) { noir };

angleFEG = angle( F , E , G )

{ noir , i };

angleIHG = angle( I , H , G )

{ noir };

3 cm6 cm 3 cm

GHI H

sin IGH = IH

IG =

3

6 = 0,5 IGH = 30°

EGF = IGH = 30° EGF IGH

EFG E

tan EGF = EF

EGEF = 3 tan 30° 1,7 cm

cos EGF = EG

FGFG =

3

cos 30° 3,5 cm


Trace un cercle ( ) de diamètre [BC] tel que BC = 7 cm.

Place un point A sur le cercle ( ) tel que AB = 2,5 cm.

a) Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Place le point H.

b) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie ta réponse.

c) Calcule la valeur de l'angle ACB arrondie au degré.

d) Calcule la longueur AH arrondie au millimètre.

CB

A

H

@options;

repereortho(310,270,30,1,1){ 0 ,


@figure;

C = point( 1 , 1 ) { grisfonce };

B = point( -6 , 1 );

cediaBA = cercledia( B , C );

sBC = segment( B , C );

A = pointsur( cediaBA , 138.18 );

sBA = segment( B , A );


p_disBA = milieu( B , A ) { i };

sBC1 = segment( B , C );

p_disBA1 = milieu( B , A ) { i };

H = point( -5 , 0.97 );

sAH1 = segment( A , H );

7 cm

2,5

cm

ABC [BC] A

sin ACB = BA

BC =

2,5

7ACB 21°

ABC 180° ABC 180° – 90° – 21° 69°

ABH sin ABH = AH

ABsin 69°

AH

2,5

AH = 2,5 sin 69° 2,3 cm

Exercice n°32 page 212 Dans un trapèze rectangle À l'aide des informations de la figure, calcule la mesure arrondie au degré de l'angle

AIO.

A M

I O

3 cm

6 cm

4,5 cm



H [IO] IAH

H

AMOH AH = 4,5 cm

AM = 3 cm

A M

I O

3 cm

6 cm

4,5 cm

H

IH = IO – HO = 6 cm – 3 cm = 3 cm

AIH

tan AIO = tan AIH = AH

IH =

4,5

3 = 1,5

AIO 56°

Exercice n°33 page 212 MNOP est un rectangle de longueur MN = 18 cm et de largeur MP = 7,5 cm.

a) Calcule la mesure de l'angle OMN arrondie au degré.

b) Calcule la longueur de la diagonale de ce rectangle arrondie au millimètre. c) Soit H le pied de la hauteur issue de N dans le triangle MNO. Calcule la longueur NH arrondie au millimètre.

MON N

tan OMN = ON

MN =

7,5

18

OMN 23°

OMN N

MO2 = MN2 + NO2 = 182 + 7,52 = 380,25

MO = 380,25 = 19,5 cm

M N

OP

18 cm18 cm

7,5

cmH

MNH H sin HMN = HN

MNsin 23°

HN

18

NH 18 sin 23° 6,9cm

2 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES ex. 9 PROPRIÉTÉS

Pour tout angle aigu A, (cos A)2 + (sin A)2 = 1 et tan A = sin A

cos A .

Remarque :

La première formule peut aussi s'écrire cos2 A + sin2 A = 1.

Exemple 4 :

a) Calcule la valeur exacte de sin A sachant que A est un angle aigu tel que cos A = 0,8.

b) Puis calcule la valeur exacte de tan A.

Solution :

a) cos2 A + sin2 A = 1, donc sin2 A = 1 – cos2 A = 1 – 0,82 = 1 – 0,64 = 0,36.

Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif, donc sin A = 0,36 = 0,6.

b) tan A = sin A

cos A =

0,6

0,8 = 0,75.


Calcule la valeur exacte de cos B et tan B sachant que B est un angle aigu tel que sin B = 5

13 .



cos2 B + sin2 B = 1

cos2 B = 1 – sin2 B = 1 –

5

13

2

= 1 – 25

169

cos2 B = 169

169 –

25

169 =

144

169

cos B = 144

169 =

12

13

tan B = sin B

cos B =

5

13

12

13

= 5

13 ×

13

12 =

5

12

Exercice n°59 page 216 Possible ou impossible ?

Existe-t-il un angle aigu A tel que :

a) cos A = 3

4 et sin A =

7

4 ? b) cos A =

2 5

5 et sin A =

2

5 ?

0 < 3

4 < 1 0 <

7

4 < 1

cos2 A + sin2 A = 3

4

2

+

7

4

2

= 32

42 + 7

2

42 = 9

16 +

7

16 =

16

16 = 1

A cos A = 3

4sin A =

7

4

0 < 2 5

5 < 1 0 <

2

5 < 1

cos2 A + sin2 A =

2 5

5

2

+ 2

5

2

= ( )2 5

2

52 + 22

52 = 22 5

2

25 +

4

25 =

20

25 +

4

25 =

24

25 ≠ 1

A cos A = 2 5

5sin A =

2

5

Exercice n°60 page 216 Avec une formule trigonométrique

Calcule la valeur exacte de sin B et de tan B sachant que B est un angle aigu tel que cos B = 2

3 .

cos2 B + sin2 B = 1

2

3

2

+ sin2 B = 1

( )22

32 + sin2 B = 1

2

9 + sin2 B = 1

sin2 B = 1 – 2

9 =

9

9 –

2

9 =

7

9

sin B sin B = 7

9 =

7

9 =

7

3

tan B = sin B

cos B =

7

3

2

3

= 7

3

3

2 =

7

2 =

7 × 2

2 2 =

14

2

Exercice n°61 page 216 Avec une formule trigonométrique (bis)

Calcule la valeur exacte de cos C et de tan C sachant que C est un angle aigu tel que sin C = 6 – 2

4 .

cos2 C + sin2 C = 1

cos2 C = 1 – sin2 C



cos2 C = 1 –

6 – 2

4

2

cos2 C = 1 – ( )6 – 2

2

42

cos2 C = 1 – 6

2 – 2 6 2 + 2

2

16

cos2 C = 16

16 –

6 – 2 6 2 + 2

16

cos2 C = 16 – 8 + 2 6 2

16

cos2 C = 8 + 2 6 2

16

cos2 C = 6

2

+ 2 6 2 + 22

16

cos2 C =

6 + 2

4

2

cos C =

6 + 2

4

2

= 6 + 2

4

cos2 C = 1 – 6 – 2 8 + 2

16

cos2 C = 1 – 8 – 2 4 2

16

cos2 C = 1 – 8 – 2 4 2

16

cos2 C = 1 – 4 2 – 4 2

16

cos2 C = 1 – 4( )2 – 2

4 4

cos2 C = 4

4 –

2 – 2

4

cos2 C = 4 – ( )2 – 2

4

cos2 C = 4 – 2 + 2

4

cos2 C = 2 + 2

4

cos C = 2 + 2

4 =

2 + 2

4 =

2 + 2

2

tan C = sin C

cos C

tan C =

6 – 2

4

6 + 2

4

tan C = 6 – 2

4

4

6 + 2

tan C = 6 – 2

6 + 2

tan C = ( )6 – 2 ( )6 – 2

( )6 + 2 ( )6 – 2

tan C = ( )6

2 – 2 6 2 + ( )2

2

( )62 – ( )2

2

tan C = 6 – 2 3 2 2 + 2

6 – 2

tan C = 8 – 4 3

4

tan C = 2 – 1 3

tan C = 2 – 3

tan C =

6 – 2

4

2 + 2

2

tan C = 6 – 2

4

2

2 + 2

tan C = 6 – 2

2( )2 + 2

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