3.1 La notation sigma L’intégrale définie...

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-1

L’intégrale définie 3

Nous verrons dans ce chapitre qu’il existe une relation étonnante entrela notion de primitive et la notion de somme. Cette relation permettrade résoudre rapidement certaines sommes provenant aussi bien desmathématiques que de la physique, de la chimie, de la biologie, del’économie, de la psychologie, de la sociologie, etc...


On aura souvent à traiter de sommes à plusieurs termes. Il convientd’adopter une notation appropriée pour les traiter. La notation “sigma”sera celle utilisée. Elle tire son nom de la lettre grecque ∑ l’équivalentde notre lettre S, la première lettre du mot somme.

lire “la somme des termesde la forme i où i varie

de 1 jusqu’à 10”

Une façon d’abréger l’écriture

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

est d’écrire ∑i=1

10

i

symbole correspondant à la somme des dix premiers entiers positifsc’est-à-dire à 55.

Ainsi, ∑i=1

7

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72

= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49

= 140

La variable i est une variable fictive (indice de sommation). On peututiliser une autre lettre sans changer la valeur de la somme. Les bornesde cette variable fictive sont des valeurs quelconques entières. La borneinférieure est toujours plus petite que la borne supérieure.

Par exemple

∑j = -2

1

3j + 2 = (3(-2) + 2) + (3(-1) + 2) + (3(0) + 2) + (3(1) + 2)

= (-4) + (-1) + 2 + 5

= 2



∑k = 0

n

(k + 1)3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + (n + 1)3

= 1 + 8 + 27 + 64 + ... + (n + 1)3 (n ≥ 0)

D’une façon générale,

notation sigma ∑i=m

n

ai = am + am+1 + am+2 + am+3 + ... + an-1 + an

où m et n sont des entiers tels que m ≤ n eta i est un nombre réel.

exemple 3.1.1

solution

Si a1 = -4, a2 = 1/2, a3 = 7, a4 = -7/2, a5 = 1 alors calculer ∑k=1

5

ak .

____________

∑k=1

5

ak = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = (-4) + 1/2 + 7 + (-7/2) + 1 = 1

exemple 3.1.2 Écrire à l’aide de la notation sigma.

ƒ(x1)∆x1 + ƒ(x2)∆x2 + ƒ(x3)∆x3 + ƒ(x4)∆x4 + ... + ƒ(xn)∆xn____________

exemple 3.1.3 Évaluer ∑j=2

100

1j -

1j - 1 .

____________

rép: - 0,99



propriétés de lasommation

m et n sont des entierstels que n ≥ m

1) ∑ i=m

n

ca i = c ∑ i=m

n

a i où c est une constante,

2) ∑ i=m

n

( ) a i ± b i = ∑ i=m

n

a i ± ∑ i=m

n b i ,

démonstration 1) ∑ i=m

n

ca i = cam + cam+1 + cam+2 + cam+3 + cam+4 + .. . can-1 + can

= c (am + am+1 + am+2 + am+3 + am+4 + ... an-1 + an)

= c ∑ i=m

n

a i ,

2) ∑ i=m

n

( ) a i + b i =

∑ i=m

n

( ) a i - b i = ∑ i=m

n

a i - ∑ i=m

n b i se démontre de la même façon.



exemple 3.1.4

solution

Si ∑ k=1

28

ak = 19 et ∑ k=1

28

bk = 8 alors trouver ∑ k=1

28

2ak + 3bk.

____________

∑ k=1

28

2ak + 3bk = ∑ k=1

28

2ak + ∑ k=1

28

3bk (par la propriété 2)

= 2 ∑ k=1

28

ak + 3 ∑ k=1

28

bk (par la propriété 1)

= 2(19) + 3(8) (par hypothèse)

= 62

formules utiles

noter que la borne inférieure dela variable fictive i est 1

pour les 3 formules

1) ∑ i=1

n

c = nc pour toute valeur de n ≥ 1 (c est une constante),

2) ∑ i=1

n

i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1,

3) ∑ i=1

n

i2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1.

démonstration

preuve par induction

1) ∑ i=1

n

c = c + c + c + c + c + ... + c (n fois)

= nc

2) ∑ i=1

n

i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1

a) Vérifions que la proposition est vraie pour n = 1.

∑ i=1

1

i = 1(1 + 1)

2

1 = 1 (vraie pour n = 1)



puisque par hypothèse , laproposition est vraie pour n = k

alors ∑ i=1

k i =

k(k + 1)2

b) Démontrons que la proposition est vraie pour n = k + 1 lorsqu’elle est vraie pour n = k.

∑ i=1

k+1

i = ∑ i=1

k

i + ( k + 1)

= k(k + 1)

2 + (k + 1)

= k(k + 1) + 2(k + 1)

2

= (k + 2)(k + 1)

2

= ( ) (k+ 1) + 1 (k + 1)

2

La proposition est toujours vraie pour n = k + 1 lorsqu’elle est vraie pour n = k.

On conclut qu’elle est vraie pour toute valeur de n ≥ 1.

3) ∑ i=1

n

i2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1

Prouver cette proposition par induction.



exemple 3.1.5

solution

Évaluer ∑j=1

17

9 .

____________

∑j=1

17

9 = 17(9) (par la formule 1)

exemple 3.1.6

solution

Évaluer ∑i=1

10

5 - 3i .

____________

∑i=1

10

5 - 3i = ∑i=1

10

5 - ∑i=1

10

3i (par la propriété 2)

= ∑i=1

10

5 - 3∑i=1

10

i (par la propriété 1)

= 10(5) - 3

10(11)2 (par les formules 1 et 2)

= 50 - 165

= -115



exemple 3.1.7 Évaluer ∑i=1

n

(2i + 1) .

____________

rép: n(n + 2)

exemple 3.1.8 Évaluer ∑i=1

n

6(1 + i)2 .

____________

rép: n(2n2 + 9n + 13)



exemple 3.1.9 Évaluer dans R_

limn → ∞

∑i=1

n

i

n2 .

____________

rép: 1/2



Exercices 3.1

1. Évaluer chacune des sommes.

a) ∑k=1

4

1k d) ∑k=1

1000

(-1)k

b) ∑i=0

5

2i e) ∑k=1

100

( ) √ k - √k - 1

c) ∑j= -5

6

j3

2. Si ∑k=1

18

ak = 37 et ∑k=1

18

bk = -83 alors trouver ∑k=1

18

bk - 3ak

utiliser les propriétés de lasommation (page 3-3) ainsi que

les formules de la page 3-4

3. Évaluer chacune des sommes.

a) ∑i=1

75

(2i - 1) b) ∑k=1

20

(5 - 3k2)



4. Calculer chacune des sommes.

a) ∑i=1

n

(3 + 2i ) c) ∑i=1

n

i (3i - 2)

b) ∑j=1

n

(j2 - 2j + 1) d) ∑j=1

n

(2j - 1)2



5. Évaluer chacune des limites dans R_

.

a)limn → ∞ ∑

i=1

n

in

2

1n b)

limn → ∞ ∑

k=1

n

2kn

2

2n



Réponses 3.1

1. a) 25/12 d) 0b) 63 e) 10c) 216

2. -194

3. a) 5625 b) -8510

4. a) n(4 + n) c)n(2n - 1)(n + 1)

2

b)n(2n - 1)(n - 1)

6 d)n(2n - 1)(2n + 1)

3

5) a) 1/3 b) 8/3

3.2 Somme intégrale et intégrale définie



Examinons trois problèmes de nature différente que l’on tentera de ré-soudre en utilisant dans chacun des cas une approche similaire.

Problème 3.2.1:évaluation d’une aire

solution

1 2 3

y = x2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

figure 3.2.1

y = x2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1/2 1 3/2 2 5/2 31/4 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4

figure 3.2.2

Calculer l’aire de la région délimitée par la courbe y = x2, l’axe des xet la droite verticale x = 3.____________

Le problème présente une difficulté de taille. La région en question(figure 3.2.1) possède une forme irrégulière. Les règles de la géométrieélémentaire ne sont d’aucune utilité.

Nous pouvons néanmoins obtenir une approximation de cette aire endécomposant la région en six rectangles.

Pour cela,

• on subdivise l’intervalle [0,3] en six sous-intervalles de longueur 1/2,

0 1 2 31/2 3/2 5/2

• dans le but d’approximer l’aire de la région hachurée, on considère le point milieu de chaque sous-intervalle,

1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4

puis, on construit six rectangles ayant pour base, la longueur dessous-intervalles et pour hauteur, l’image du point milieu des sous-intervalles (voir la figure 3.2.2),

• on calcule l’aire de chacun des rectangles puis, on additionne cesaires,

on obtient

(1/4)2×1/2 + (3/4)2×1/2 +(5/4)2×1/2 + (7/4)2×1/2 + (9/4)2×1/2 + (11/4)2×1/2

= 1/32 + 9/32 + 25/32 + 49/32 + 81/32 + 121/32

= 286/32 ou 8,937.

Nous n’avons pas résolu le problème mais, nous savons que l’aire estapproximativement de 8,937.



Problème 3.2.2:évaluation d’une distance

solution

le nombre de sous-intervallesconsidérés est arbitraire et ceux-ci pourraient ne pas être égaux

la valeur choisie dans chaquesous-intervalle est aussi

arbitraire, son choix est souventfonction de la simplicité des

calculs

distance = vitesse . temps

La vitesse d’un escargot est de v = (2t + 1) mm/s. Évaluer la distanceparcourue par l’escargot entre t = 0 s et t = 4 s.____________

Nous savons que la distance parcourue par un objet est fonction de savitesse. Les deux quantités sont reliées par l’équation

distance = vitesse × temps .

Si la vitesse de l’escargot avait été constante sur l’intervalle de tempsconsidéré, le problème aurait été très simple à calculer. La vitesse étantvariable il est beaucoup plus difficile de le résoudre. Contentons-nousd’approximer la distance parcourue par l’escargot.

Comme au problème précédent,

• on subdivise l’intervalle [0,4] en quatre sous-intervalles de 1 s,

0 1 2 3 4

• la vitesse de l’escargot dans chaque sous-intervalle est variable, on approxime cette vitesse en utilisant le point milieu du sous-intervalle,

1/2 3/2 5/2 7/2

v(1/2) = 2(1/2) + 1 = 2 mm/s dans le premier sous-intervalle,v(3/2) = 2(3/2) + 1 = 4 mm/s dans le second sous-intervalle,v(5/2) = 2(5/2) + 1 = 6 mm/s dans le troisième sous-intervalle,v(7/2) = 2(7/2) + 1 = 8 mm/s dans le quatrième sous-intervalle,

• on calcule la distance approximative parcourue par l’escargot dans chacun des sous-intervalles puis, on additionne lesdistances,

on obtient

(2(1/2) + 1) × (1) + (2(3/2) + 1) × (1) + (2(5/2) + 1) × (1) + (2(7/2) + 1) × (1)

= 2 + 4 + 6 + 8

= 20 mm.

Encore ici, bien que le problème n’ait pas été résolu, nous savons quela distance approximative parcourue par l’escargot est de 20 mm.



Problème 3.2.3:évaluation d’un volume

solution

3 m 3 m

3 m

figure 3.2.1

1/2

3/2

5/2

0

1

2

3

figure 3.2.2

1/20

1

3/2

25/2

3

figure 3.2.3

Calculer le volume d’une tente pyramidale dont un des côtés estperpendiculaire à la base. La hauteur de cette tente mesure 3 m et sabase est un carré de 3 m de côté (voir la figure 3.2.1) . _____________

Bien que le problème soit à trois dimensions, nous allons utiliser unetechnique de solution semblable aux deux derniers problèmes.

• On subdivise la hauteur de la tente en six parties égales. Associons la valeur 0 au sommet de la tente et la valeur 3à la base de celle-ci.

1/2 1 3/2 2 5/2 30

Cette subdivision a pour effet de sectionner en six parties le volume cherché (voir la figure 3.2.2).

• Nous allons maintenant estimer le volume des six tranches

obtenues en considérant la plus grande valeur de chacune des six parties associées à la hauteur.

1/2 1 3/2 2 5/2 3

La section du bas sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 3 m de côté par 1/2 m de hauteur (voir la figure 3.2.3). La section suivante sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 5/2 m de côté par 1/2 m de hauteur. La troisième section sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 2 m de côté par 1/2 m de hauteur. La quatrième section sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 3/2 m de côté par 1/2 m de hauteur. La cinquième section sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 1 m de côté par 1/2 m de hauteur. La section du haut sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 1/2 m de côté par 1/2 m de hauteur.

À titre d’exercices montrer que les bases des six boîtes sont des carrés et que les longueurs d’arêtes de ces carrés sont respective-ment: 3 m pour la boîte du bas, 5/2 m, 2 m, 3/2 m, 1 m, et 1/2 m.

• On calcule le le volume de chacune des boîtes puis, on additionneces volumes. On obtient

(1/2)2(1/2) + (1)2 (1/2) + (3/2)2(1/2) + (2)2 (1/2) + (5/2)2(1/2) + (3)2 (1/2)

= 18 +

12 +

98 + 2 +

258 +

92

= 918 ou 11,375 m3.

Rappelons que 11,375 m3 n’est qu’une valeur approximative duvolume cherchée.



Isaac Newton(1642-1727)

etGottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716)sont considérés comme les pèresdu calcul différentiel et intégral

Afin de résoudre partiellement les trois derniers problèmes, on a dûrecourir à une technique un peu spéciale. Cette technique loin d’êtrenouvelle, était utilisée dans l’Antiquité. Les mathématiciens de cetteépoque ne se contentaient pas de réponses partielles à leurs problèmes.Ils développèrent des méthodes de solution très avancées mais aussiexcessivement longues (nous le constaterons un peu plus loin). AuXVII ième siècle NEWTON et LEIBNIZ les créateurs du calculintégral introduisirent une méthode de solution basée sur le calculdifférentiel qui fit oublier les longs développements de leursprédécesseurs et bouleversa du même coup les mathématiques. Cetteméthode porte le nom de théorème fondamental du calcul.

Pour approximer les réponses des trois problèmes précédents, nousavons construit des sommes en utilisant un même modèle. Nousétudierons maintenant ce modèle.

somme intégrale(somme de Riemann)

les sous-intervalles ne sont pasnécessairement égaux

les sommes intégrales sontégalement appelées sommes de

Riemann en l’honneur deGeorg Riemann,

mathématicien du XIX ièmesiècle pour sa contribution au

développement du calcul intégral

Soit une fonction ƒ continue sur un intervalle [a,b].

a) On subdivise l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles plus petits, on obtient ainsi une partition de l’intervalle [a,b].

a = x0 , x1, x2, ... xi-1, xi, ... xn-1 , xn = b

a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b.... ....

La longueur de chaque sous-intervalle est notée ∆xi .

∆x1 = x1 - x0, ∆x2 = x2 - x1, ... ∆xi = xi - xi-1, ... ∆xn = xn - xn-1

b) On choisit un point arbitraire (le représentant ) dans chaquesous-intervalle. Le représentant est noté ci .

c1 ∈ [x0,x1], c2 ∈ [x1,x2], ... ci ∈ [xi-1,xi], ... , cn ∈ [xn-1,xn].

c1 c2 ci cn.... ....

c) On effectue la somme,

ƒ(c1)∆x1 + ƒ(c2)∆x2 + ƒ(c3)∆x3 + ƒ(c4)∆x4 + ... + ƒ(cn)∆xn .

En utilisant la notation sigma la somme devient,

∑i=1

n

ƒ(ci) ∆xi .

La somme obtenue est appelée somme intégrale (somme de Riemann)pour la fonction ƒ sur l’intervalle [a,b] .



exemple 3.2.1

solution

Calculer la somme intégrale de la fonction ƒ(x) = 1 - x2 surl’intervalle [0,3] en considérant 6 sous-intervalles égaux et en prenantle point milieu comme représentant de chaque sous-intervalle. ____________

• On subdivise l’intervalle [0,3] en six sous-intervalles égaux de longueur ∆xi = 1/2 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

0 1 2 31/2 3/2 5/2

x0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1, x3 = 3/2, x4 = 2, x5 = 5/2, x6 = 3

• On choisit comme représentant ci , le point milieu de chaque sous-intervalle.

1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4

c1 = 1/4, c2 = 3/4, c3 = 5/4, c4 = 7/4, c5 = 9/4, c6 = 11/4

• On effectue la somme ∑i=1

6

ƒ(ci) ∆xi

= ƒ(c1)∆x1 + ƒ(c2)∆x2 + ƒ(c3)∆x3 + ƒ(c4)∆x4 + ƒ(c5)∆x5 + ƒ(c6)∆x6

= ƒ(1/4)(1/2)+ƒ(3/4)(1/2)+ƒ(5/4)(1/2) +ƒ(7/4)(1/2)+ƒ(9/4)(1/2)+ƒ(11/4)(1/2)

= 15/32 + 7/32 + (-9/32) + (-33/32) + (-65/32) + (-105/32)

= -190/32 (- 5,9375)

Si dans l’exemple précédent, nous avions choisi un autre représentantque serait devenue la somme intégrale ?

1) En prenant la valeur inférieure de chaque sous-intervalle, onobtient: c1 = 0, c2 = 1/2, c3 = 1, c4 = 3/2, c5 = 2, c6 = 5/2

La somme intégrale devient dans ce cas, ƒ(0)(1/2) + ƒ(1/2)(1/2) + ƒ(1)(1/2) + ƒ(3/2)(1/2) + ƒ(2)(1/2) + ƒ(5/2)(1/2) = -3,875.

2) En prenant la valeur supérieure de chaque sous-intervalle, onobtient: c1 = 1/2, c2 = 1, c3 = 3/2, c4 = 2, c5 = 5/2, c6 = 3

La somme intégrale devient dans ce cas, ƒ(1/2)(1/2) + ƒ(1)(1/2) + ƒ(3/2)(1/2) + ƒ(2)(1/2) + ƒ(5/2)(1/2) + ƒ(3)(1/2) = -8,375.

Dans ce cas, le choix du représentant a une grande influence sur lavaleur obtenue. En est-t-il toujours ainsi ?



Pour répondre à la question on a construit un tableau comparatifdes sommes intégrales obtenues pour un nombre croissant desous-intervalles égaux en considérant dans chaque cas trois choixde représentant:

a) la valeur inférieure de chaque sous-intervalle,b) la valeur médiane de chaque sous-intervalle,c) la valeur supérieure de chaque sous-intervalle.

nombre inférieure médiane supérieure

3 -2 -5,75 -116 -3,875 -5,9375 -8,37512 -4,90625 -5,98775 -7,1562524 -5,445313 -5,996094 -657031348 -5,720703 -5,999023 -6,28320396 -5,859863 -5,999756 -6,141113

192 -5,929809 -5,999940 -6,070435384 -5,964874 -5,999985 -6,035187768 -5,982430 -5,999996 -6,017586

Il apparaît à la lecture du tableau que pour un nombre élevé de sous-intervalles, les sommes intégrales s’approchent de la valeur -6 indé-pendamment du représentant choisi. Nous verrons qu’effectivementsous certaines conditions, lorsque la longueur des sous-intervalless’approche de 0 , quels que soient les représentants choisis, lessommes intégrales convergent.

intégrale définie

lire: l’intégrale définie de lafonction ƒ de a à b

Soit une fonction ƒ et l’intervalle [a,b].

Si limmax ∆xi → 0 ∑

i=1

n

ƒ(ci) ∆xi = A ∈ R

alors ƒ est dite intégrable sur [a,b] et la quantité A est appeléel’intégrale définie de la fonction ƒ sur [a,b].

Elle sera notée ∫a

b

ƒ(x) dx = A .

Le symbole ∫ est une déformation de la lettre S pour somme.Les valeurs a et b sont les bornes d’intégration.ƒ(x) est l’intégrande du problème.dx représente un petit intervalle sur l’axe des x.



La valeur A (lorsqu’elle existe) est indépendante

a) de la subdivision de l’intervalle et,b) du représentant choisi dans chaque sous-intervalle.

Puisque la subdivision de l’intervalle n’affecte pas la quantité A, onutilisera des sous-intervalles égaux pour calculer cette quantité. Dansce cas la définition de l’intégrale définie de la fonction ƒ sur [a,b]deviendra:

∫a

b

ƒ(x) dx = limn → ∞ ∑

i=1

n

ƒ(ci) ∆xi

En effet lorsque les sous-intervalles sont égaux, on aura

∆xi = (b - a)

n

si de plus,

max ∆xi → 0

⇒ (b - a)n → 0

⇒ n → ∞

La valeur de A étant indépendante du représentant choisi, on prendrala plupart du temps comme valeur ci, le point supérieur, inférieur oumilieu du sous-intervalle. Ce choix aura pour avantage de simplifier lescalculs.

On en vient maintenant à la question d’existence de cette valeur A. Lethéorème qui suit permettra de déterminer si une fonction est intégrablesur un intervalle. On se contente d’énoncé la proposition en laissant àun cours plus avancé sa démonstration.

Théorème 3.2.1condition d’existence

Si ƒ est continue sur [a,b] alors ƒ est intégrable.

Retournons au problème précédent et cherchons à montrer quel’intégrale définie de la fonction

ƒ(x) = 1 - x2 sur [0,3]

est bien la quantité -6 obtenue à partir du tableau de la pageprécédente.



exemple 3.2.2

on commence toujours parvérifier si la fonction estcontinue sur l’intervalle

∆xi = b-a n

= 3-0n

= 3n

propriétés 1 et 2 de la sommation(p 3-3)

formules 1 et 3 (p 3-4)

Montrer que ∫0

3

(1 - x2) dx = -6 en utilisant les sommes intégrales.

____________

La fonction est continue sur [0,3] donc elle est intégrable .

• On subdivise l’intervalle [0,3] en n sous-intervalles égaux

0 3/n 6/n 9/n 12/n 3....

de longueur ∆xi = 3n (i = 1,2,3,4, ... , n).

• On choisit un représentant ci dans chaque sous-intervalle (on utilise comme représentant la valeur supérieure de chaque sous-intervalle).

c1 = 3n

, c2 = 2( ) 3n

, c3 = 3( ) 3n

, c4 = 4( ) 3n

. ... ci = i( ) 3n

• On évalue la somme intégrale correspondante.

∑i=1

n ƒ(ci) ∆xi = ∑

i=1

n

1 - ( )

3in

2 ( )

3n

= ∑i=1

n

3n -

27 i2

n3

= 3n

∑i=1

n

1 - 27n3 ∑

i=1

n

i2

= 3n

. (n) - 27n3 ( )

n(n+1)(2n+1)6

= -6 - 272n

- 9

2n2

• On considére la somme intégrale lorsque n tend vers l’infini,

∫0

3

(1 - x2) dx = limn → ∞ ∑

i=1

n ƒ(ci) ∆xi

= limn → ∞ ( ) -6 -

272n

- 9

2n2

= -6



exemple 3.2.3 Évaluer ∫0

4

(2 - 3x) dx en utilisant les sommes intégrales.

____________

rép: -16



exemple 3.2.4 Évaluer ∫1

4

x2 dx en utilisant les sommes intégrales.

____________

rép: 21



exemple 3.2.5

1 2 3

y = x2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

lorsque ƒ est une fonctioncontinue et non négative sur

[a, b] alors

∫a

b

ƒ(x) dx

correspond à l’aire sous lacourbe y = ƒ(x) au dessus de

l’axe des x entre x = a et x = b

Calculer la valeur exacte de l’aire de la région définie à la page 3-11(problème 3.2.1) en utilisant les sommes intégrales.____________

rép: 9



Exercices 3.2

utiliser la démarche del’exemple 3.2.1

1. Calculer la somme intégrale de la fonction

ƒ(x) = 1

x + 1 sur l’intervalle [0, 1]

en utilisant 4 sous-intervalles égaux et les points milieux des sous-intervalles comme représentants.


2. Calculer la somme intégrale de la fonction

g(x) = √ x sur l’intervalle [1, 4]

en utilisant 6 sous-intervalles égaux et les points supérieurs des sous-intervalles comme représentants.


3. Évaluer

a) ∫0

2

3 dx d) ∫0

1

(x2 + 2) dx

b) ∫0

1

x dx e) ∫1

3

(1 - 4x) dx

c) ∫0

3

(2x + 1) dx f) ∫2

3

(3x2 - 2) dx


4. Montrer que

a) ∫a

b

c dx = c(b - a) où c est une constante .

b) ∫a

b

x dx = b2

2 - a2

2 .

c) ∫a

b

x2 dx = b3

3 - a3

3 .

5. Calculer la distance exacte parcourue par l’escargot à la page 3-12 (problème 3.2.2) en utilisant les sommes intégrales.



6. Calculer le volume exact de la tente à la page 3-13 (problème 3.2.3)en utilisant les sommes intégrales.

7. Calculer l’aire de la région délimitéepar la courbe y = x2, l’axe des x et les droites verticales x = 1 et x = 2.

(Utiliser les sommes intégrales)

1 2

y = x2

8. Après t secondes, la vitesse d’un objet est de t2 mètres par seconde.Trouver la distance parcourue par l’objet dans l’intervalle [2,5].


diviser la hauteur en n sous-intervalles égaux et former

n disques

(le volume d’un disque de rayonr et de hauteur h est πr2h)

9. Calculer le volume d’un cône dont le rayon est de 2 mètres et la hau-teur est aussi de 2 mètres.


3 m

3 m2 m

2 m



Réponses 3.2

1. 0,691

2. 4,91

3. a) 6 d) 2,33b) 0,5 e) - 14c) 12 f) 17

4.

5. 20 mm

6. 9 m3

7. 2,33

8. 39 m

9. 8,378 m3

3.3 Le théorème fondamental du calcul



Les quelques problèmes que l’on a résolu à la section précédente mon-trent à quel point il est difficile et long de calculer une intégrale définie.Avant le XVII siècle, on était contraint à utiliser ces méthodes. Newtonet Leibniz ont découvert une façon simple de résoudre ce genre deproblème. Leur méthode utilise le lien profond qui existe entrel’intégration et la dérivation. Cette section a pour objet l’exposé decette méthode.

Lorsqu’on a introduit la notion d’intégrale définie, on a supposé a < b.Que se passe-t-il si b < a ou si b = a ?

définition

1. ∫a

b

ƒ(x) dx = - ∫b

a

ƒ(x) dx si ∫b

a

ƒ(x) dx existe,

2. ∫a

a

ƒ(x) dx = 0 si ƒ(a) existe.

propriétés del’intégrale définie

1 ∫a

b

c ƒ(x) dx = c ∫a

b

ƒ(x) dx où c ∈ R

2. ∫a

b

( ) ƒ(x) ± g(x) dx = ∫a

b

ƒ(x) dx ± ∫a

b

g(x) dx

3. ∫a

b

ƒ(x) dx = ∫a

c

ƒ(x) dx + ∫c

b

ƒ(x) dx où a, b, c ∈ R

(pourvu que les trois intégrales existent)

démonstration

propriétés de la sommation etdes limites

par définition

1. ∫a

b

c ƒ(x) dx = limn→ 0 ∑

i=1

n c ƒ(ci) ∆xi

= c

limn → 0 ∑

i=1

n ƒ(ci) ∆xi

= c ∫a

b

ƒ(x) dx



propriété de la sommation

propriété de la limite

par définition

2. ∫a

b

( ) ƒ(x) ± g(x) dx = limn→ 0 ∑

i=1

n ( ) ƒ(ci) ± g(ci) ∆xi

= limn → 0

∑i=1

n

ƒ(ci) ∆xi ± ∑i=1

n

g(ci) ∆xi

= limn → 0 ∑

i=1

n ƒ(ci) ∆xi ±

limn→ 0 ∑

i=1

n g(ci) ∆xi

= ∫a

b

ƒ(x) dx ± ∫a

b

g(x) dx

(cette propriété se généralise à plusieurs fonctions)

a bc

propriété de la limite

par définition

3 a) Supposons d’abord que a < c < b.

∫a

b

ƒ(x) dx = limn → 0 ∑

a

b ƒ(ci) ∆xi

= limn→ 0

∑a

c ƒ(ci) ∆xi + ∑

c

b ƒ(ci) ∆xi

= limn → 0

∑a

c ƒ(ci) ∆xi +

limn→ 0

∑c

b ƒ(ci) ∆xi

= ∫a

c

ƒ(x) dx + ∫c

b

ƒ(x) dx .

a bca b c

en utilisant 3 a)

car si b < c

∫c

b

ƒ(x) dx = - ∫b

c

ƒ(x) dx

3 b) Supposons maintenant que a < b < c.

∫a

c

f(x) dx = ∫a

b

f(x) dx + ∫b

c

f(x) dx

⇒ ∫a

b

ƒ(x) dx = ∫a

c

ƒ(x) dx - ∫b

c

ƒ(x) dx

= ∫a

c

ƒ(x) dx + ∫c

b

ƒ(x) dx .

3 c) À démontrer: b < a < c ; b < c < a ; c < b < a ; c < a < b .



1re application del’intégrale définie

valeur moyenne d’une fonctionsur un intervalle

Soit ƒ une fonction continue sur l’intervalle [a,b]. La valeur moyenneµ de cette fonction sur l’intervalle [a,b] est donnée par

µ = 1

b - a ∫a

b

ƒ(x) dx

____________

démonstration Pour résoudre le problème,on subdivise l’intervalle [a,b]en n sous-intervalles égauxpuis, on considère la valeurla plus grande de chaquesous-intervalle. Soient

c1, c2, c3, c4, ... , ci ... , cn

les n valeurs. a c1 c2 c3 c4 cn = bci ......

y = f(x)

∆xi = b - a

n ⇒

1n

= ∆xib - a

pour obtenir la valeur exactede µ, on fait tendre le nombre de

sous-intervalles vers l’infini

propriété de la sommation etpropriété de la limite

par définition

La valeur moyenne µ peut être approximée de la façon suivante.

µ ~ ƒ(c1) + ƒ(c2) + ƒ(c3) + ƒ(c4) + ... + ƒ(ci) + ... + ƒ(cn)

n

~ ∑i=1

n ƒ(ci)

1n

~ ∑i=1

n ƒ(ci)

∆xib - a

⇒ µ = limn → ∞

∑i=1

n ƒ(ci)

∆xib - a

= limn → ∞ ∑

i=1

n ƒ(ci)

∆xib - a

= 1

b - a

limn → ∞ ∑

i=1

n ƒ(ci) ∆xi

et µ = 1

b - a ∫a

b

ƒ(x) dx

Le résultat précédent est plus souvent utilisé sous la forme suivante.

théorème 3.3.1théorème de la moyenne

(pour l’intégrale)

Si ƒ est une fonction continue sur l’intervalle [a,b] alors il existe unnombre c dans [a,b] pour lequel

∫a

b

ƒ(x) dx = ƒ(c) (b - a)



démonstration Si m et M sont respectivement la plus petite et la plus grande valeurde ƒ(x) sur [a,b] alors

m ≤ µ ≤ M

m ≤ 1

b - a ∫a

b

ƒ(x) dx ≤ M

ƒ(x) étant continue sur [a,b], elle prend toutes les valeurs comprisesentre m et M. On aura donc pour une certaine valeur de c (a ≤ c ≤ b)

µ = ƒ(c)

⇒ 1

b - a ∫a

b

ƒ(x) dx = ƒ(c) où a ≤ c ≤ b

⇒ ∫a

b

ƒ(x) dx = ƒ(c) (b - a) où a ≤ c ≤ b

exemple 3.3.1

Calculer la valeur moyenne µ de ƒ(x) = x2 sur [0,2].____________

solution

par le résultat du #4 c),à la page 3-22

∫a

b

x2 dx = b3

3 -

a3

3

La valeur moyenne µ de ƒ(x) = x2

sur [0,2] est donnée par

1b - a ∫

a

b

ƒ(x) dx = 1

2 - 0 ∫0

2

x2 dx

= 12

23

3 - 03

3

= 43 = 1,33

2

f(x) = x2

1,33

exemple 3.3.2

Calculer la valeur moyenne de ƒ(x) = 2x2 - 3x - 2 sur [-1,3].

(utiliser les propriétés de l’intégrale définie page 3-25 ainsi que lestrois résultats du # 4 à la page 3-22)

____________

rép: -0,33



la valeur de l’intégrale définie nedépend pas de la variable

d’intégration

∫a

b

ƒ(x) dx = ∫a

b

ƒ(y) dy = ∫a

b

ƒ(t) dt

À l’aide du théorème fondamental du calcul on est maintenant enmesure

a) d’établir le lien qui existe entre l’intégration et la dérivation,b) de développer un moyen rapide pour calculer une intégrale

définie.

On a vu que si une fonction ƒ est continue sur [a,b] alors

∫a

b

ƒ(x) dx

existe et correspond à un nombre réel. Si maintenant la borne supé-rieure est variable

∫a

x

ƒ(x) dx où x ∈ [a,b]

la valeur de l’intégrale variera en conséquence. L’intégrale définie seraalors une fonction de sa borne supérieure. Supposons que F(x) est cettefonction. (pour éviter toute confusion utilisons la lettre t comme va-riable d’intégration.

∫a

x

ƒ(t) dt = F(x) où x ∈ [a,b]

Déterminons la nature de F(x).

théorème 3.3.2théorème fondamental du

calcul (première partie)

Soit ƒ(x) une fonction continue sur [a,b] et soit x une valeur del’intervalle.

Si F(x) = ∫a

x

ƒ(t) dt alors F(x) est une primitive de ƒ(x).

démonstration

x+∆xxa b

y = f(x)

figure 3.3.1

par une propriété de l’intégraledéfinie

Soit ƒ(x) une fonction continue sur [a,b] et x une valeur del’intervalle. Donnons à la variable x un accroissement ∆x positif(figure 3.3.1) ou négatif.

On admettra facilement à partir de la remarque du haut que:

∫a

x

ƒ(t) dt = F(x) et ∫a

x + ∆x

ƒ(t) dt = F(x + ∆x)

où F(x) est une fonction définie sur [a,b] .

⇒ F(x + ∆x) - F(x) = ∫a

x + ∆x

ƒ(t) dt - ∫a

x

ƒ(t) dt

= ∫a

x

ƒ(t) dt + ∫x

x + ∆x

ƒ(t) dt - ∫a

x

ƒ(t) dt



donc

F(x + ∆x) - F(x) = ∫x

x + ∆x

ƒ(t) dt

∫a

b

ƒ(x) dx = f(c) (b - a)

où c ∈ [a,b]

Appliquons le théorème de la moyenne (théorème 3.3.1) à la dernièreintégrale. On obtient

F(x + ∆x) - F(x) = ƒ(c)(x + ∆x - x)

= ƒ(c) ∆x où c est entre x et x + ∆x

par définition de la dérivéeet ƒ est continue sur [a,b]

On divise chaque membre de l’équation par ∆x.

F(x + ∆x) - F(x)∆x = ƒ(c)

Par conséquent lorsque ∆x → 0,

lim∆x→ 0

F(x + ∆x) - F(x)

∆x = lim∆x→ 0 ƒ(c)

Puisque c est entre x et x + ∆x alors c → x lorsque ∆x → 0,

lim∆x→ 0

F(x + ∆x) - F(x)

∆x = limc→ x ƒ(c)

F’(x) = ƒ(x)

On conclut que F(x) est une primitive de ƒ(x).

théorème 3.3.3théorème fondamental du

calcul (seconde partie)

Si F(x) est une primitive de la fonction continue ƒ(x) sur [a, b] alors,

∫a

b

ƒ(x) dx = F(b) - F(a)

démonstration

deux primitives d’une mêmefonction diffèrent par une

constante

Par hypothèse F(x) est une primitive de ƒ(x) et d’après le théorèmeprécédent,

∫a

x

ƒ(t) dt est aussi une primitive de ƒ(x).

On conclut que

∫a

x

ƒ(t) dt = F(x) + C



par définition

cette formule est souvent appeléeformule de Newton-Leibniz

L’égalité tient pour toute valeur de x alors

lorsque x = a on a, ∫a

a

ƒ(t) dt = F(a) + C

0 = F(a) + C

C = - F(a)

lorsque x = b on a, ∫a

b

ƒ(t) dt = F(b) + C

Puisque C = - F(a), ∫a

b

ƒ(t) dt = F(b) - F(a)

En utilisant la variable x comme variable d’intégration on obtient,

∫a

b

ƒ(x) dx = F(b) - F(a)

exemple 3.3.3

Effectuer ⌡⌠

-2

-1

2x2 - 4x3 - 2 dx

____________

solution

condition nécessaire pourappliquer la formule de

Newton-Leibniz

a) ⌡⌠

2x2 - 4x3 - 2 dx = ∫ ( 2x-2 - 4x3 - 2) dx

= 2 x-1

-1 - 4 x4

4 - 2x + C

= - 2x - x4 - 2x + C

b) La fonction ƒ(x) = 2x2 - 4x3 - 2

est continue sur R \ {0} donc elle est continue sur [-2,-1].

il est inutile de tenir compte de laconstante C puisque de toute

façon, elle s’annule

c) ⌡⌠

-2

-1

2x2 - 4x3 - 2 dx =

-

2x - x4 - 2x + C

-1 -2

= ( ) 2 - 1 + 2 + C - ( 1 -16 + 4 + C)

= 3 + C + 11 - C

= 14



exemple 3.3.4

Effectuer ∫-3

3

dt36 + 4t2

____________

Soit ƒ une fonction continue sur [-a, a]

a) Si ƒ est une fonction paire(ƒ(x) = ƒ(-x) ∨– x)

alors

∫-r

r ƒ(x) dx = 2 ∫

0

r ƒ(x) dx

b) Si ƒ est une fonction impaire(ƒ(x) = -ƒ(-x) ∨– x)

alors

∫-r

r ƒ(x) dx = 0

rép: π/24

exemple 3.3.5

Effectuer ∫0

π/3

x cos x dx

____________

rép: π√ 3 - 3

6



changement des bornesd’intégration lors d’un

changement de variable

Soit ƒ une fonction continue sur l’intervalle [a,b],u = h(x) une fonction continue et dérivable sur l’intervalle [a,b] etg une fonction continue sur [h(a), h(b)].

Si ƒ(x) dx = g(h(x)) h’(x) dx sur [a,b]

alors ∫a

b

ƒ(x) dx = ∫h(a)

h(b)

g(u) du où u = h(x)

exemple 3.3.6

Effectuer ∫0

3

√9 - x2 dx

____________

solution

u =arcsin( )x3

est continue et

dérivable sur [0,3]

u

x3

9 - x2

x2

sin u =3

Posons u = arcsin( )x3

⇒ sin u = x3

⇒ cos u du = 13 dx

∫ √9 - x2 dx = ∫ (3 cos u) (3 cos u du)

= 9 ∫ cos2 u du

= 9 ⌡⌠

1 + cos 2u2 du

= 92 ∫ 1 du +

92 ∫ cos 2u du

= 92 u +

92

sin 2u

2 + C

= 92 u +

92

2 sin u cos u

2 + C

= 92 u +

92 sin u cos u + C (1)

= 92 arcsin( )x

3 +

92

x

3

√9 - x2

3

= 92 arcsin( )x

3 +

12 x√9 - x2 + C (2)



évaluation de l’intégrale définieen utilisant la primitive sous la

forme (2)

évaluation de l’intégrale définieen utilisant la primitive sous la

forme (1)

La fonction f(x) = √9 - x2 est continue sur [-3, 3]; elle est donccontinue sur [0,3].

⇒ ∫0

3

√9 - x2 dx =

92 arcsin( )x

3 +

12 x√9 - x2

3

0

=

92 arcsin 1 -

92 arcsin 0

= 92

π2 -

92 (0)

= 9π4

Il est possible d’intégrer en laissant la primitive exprimée à l’aide de lavariable u. Dans ce cas les bornes d’intégration deviennent

x = 0 ⇒ u = arcsin ( )03

= arcsin 0

⇒ u = 0

x = 3 ⇒ u = arcsin ( )33

= arcsin 1

⇒ u = π2

donc

∫0

3

√9 - x2 dx = 92 ∫

0

π/2

1 + cos 2u du

La fonction g(u) = 1 + cos 2u est continue sur l’ensemble des réels;elle est donc continue sur [0, π/2].

=

92 u +

92 sin u cos u

π/2 0

=

92

π

2 + 92 (1) (0) -

92 (0) +

92 (0) (1)

= 9π4 .



Exercices 3.3

utiliser la définition ainsi que lespropriétés de l’intégrale définie

(page 3-25)

1. Si ƒ et g sont deux fonctions continues telles que

∫1

2

ƒ(x) dx = 3 , ∫1

5

ƒ(x) dx = 2 , ∫1

5

g(x) dx = 1 alors évaluer:

a) ∫5

5

g(x) dx c) ∫1

5

ƒ(x) + g(x)5 dx e) ∫

2

5

ƒ(x) dx

b) ∫2

1

4ƒ(x) dx d) ∫1

5

(3ƒ(t) - 2g(t)) dt

utiliser la définition ainsi que lespropriétés de l’intégrale définie

(page 3-25)

2. Si ƒ est une fonction continue telle que

∫a

c

ƒ(x) dx = b et ∫a

b

ƒ(x) dx = c alors évaluer ∫b

c

(aƒ(t) - b) dt

il est important de toujoursvérifier que l’intégrande soit

continue sur l’intervalled’intégration

3. Effectuer chacune des intégrales.

a) ∫-3

-1

1x2 -

1x3 dx h) ∫

0

π/3

dx1 - sin x

b) ∫0

4

dx

√ 9 - 2xi) ∫

0

1

ln(y2 + 1) dy

c) ∫-2

2

dxx2 + 4

j) ∫0

π/2

sin3y cos3y dy

d) ∫π/6

π/3

dysin2 y

k) ∫-1

2

dxx2 - 9

e) ∫-2

-1

dx9x2 + 6x + 1

l) ∫0

π/4

sec4θ dθ

f) ∫-π/4

π/2

sin2 x dx m) ∫0

√ 2

x3ex2 dx

g) ∫0

2

x3

x + 1 dx n) ∫π/6

π/3

sin4x cotg2x dx



si vous faites un changement devariable, effectuer le changement

de bornes

4. Effectuer chacune des intégrales.

a) ∫-1

4

dx 2 + √ 5 + x

d) ∫-2

-1

dx

√ (x2 + 4x + 5)3

b) ∫-2

2

dx

√ 4 + x2e) ∫

-1

1

x2 √ 4 - x2 dx

c) ∫0

1

√4

x1 + √ x

dx f) ∫2

4

√ 16 - x2

x2 dx

5. Quelle est la valeur moyenne des fonctions suivantes surl'intervalle indiqué.

a) ƒ(x) = x2 sur [-1, 3] d) ƒ(x) = √4 - x2 sur [-2, 2]

b) ƒ(x) = ln x sur [1, e] e) ƒ(x) =arctg x sur [0, 1]

c) ƒ(x) = 1

x + x2 sur [2, 3]

6. La population du Mexique peut être modélisée à l'aide de lafonction suivante

P = 67,38 (1.026)t

où P est en millions d'habitants et t en années depuis 1980. Utilisezcette fonction pour prédire la valeur moyenne de la population duMexique entre les années 2000 et 2020.

7. Une barre de métal se refroidit, passant de 1000˚C à la températureambiante, soit 20˚C. La température T de la barre, t minutes aprèsqu'elle commence à refroidir, est donnée en degrés Celcius par

T = 20 + 980e-0,1t

Trouver la valeur moyenne de la température durant la premièreheure.

8. Le nombre d'heures H où il fait jour à Madrid en fonction de ladate est calculé approximativement par la formule

H = 12 + 2,4 sin(0,0172(t - 80))où t est le nombre de jours depuis le début de l'année. Trouver lenombre d'heures moyen où il fait jour à Madrid en janvier.



Réponses 3.3

1. a) 0 c) 3/5 e) -1b) -12 d) 4

2. (b - c)(a + b)

3. a)109 h) 1+ √ 3

b) 2 i)π2 - 2 + ln 2

c)π4 j)

112

d)2√ 3

3 k)16 ln

110 ou -

16 ln 10

e)1

10 l)43

f)3π - 2

8 m)e2 + 1

2

g)8 - 3 ln 3

3 n)2π + 3√ 3

96

4. a) 2 + 4 ln 45 d) √ 2

2

b) ln

√ 2 + 1

√ 2 - 1 = 2 ln(√ 2 + 1) e)

4π - 3√ 36

c)3π - 8

3 f)3√ 3 - π

3

5. a)73 c) ln 98 e)

π4 -

ln 22

b)1

e - 1 d)π2

6. environ 147 millions d'habitants

7. 183˚C

8. 9,9 heures

3.4 Intégrales impropres



Jusqu’à maintenant seule l’intégration de fonctions continues sur desintervalles finis ont été considérées. La formule de Newton-Leibnizs’applique seulement si ces conditions sont satisfaites. Nous verronsdans cette section comment contourner la difficulté lorsqu’elle seprésente.

intégrale impropre

L’intégrale définie ∫a

b

ƒ(x) dx est une intégrale impropre si

a) ƒ(x) possède au moins un point de discontinuité sur [a,b] et/ou, b) au moins une des bornes d’intégration est infinie.

exemple 3.4.1

Lesquelles parmi ces intégrales sont des intégrales impropres ?____________

a) ∫1

5

dxx - 2 b) ∫

0

1

√ r dr c) ∫1

3

1

√t - 1 dt d) ∫

- ∞

2

1x dx

intégrande discontinue sur

l’intervalle d’intégration

intégrale convergente etintégrale divergente

Soit ƒ une fonction continue sur [a,b]

a) sauf à droite en a, on définit

∫a

b

ƒ(x) dx = limt → a+ ∫

t

b

ƒ(x) dx ( si la limite existe dans R)

b) sauf à gauche en b, on définit

∫a

b

ƒ(x) dx = limt → b- ∫

a

t


c) sauf en c ∈ ]a, b[, on définit

∫a

b

ƒ(x) dx = ∫a

c

ƒ(x) dx + ∫c

b

ƒ(x) dx

= limt → c- ∫

a

t

ƒ(x) dx + limt → c+ ∫

t

b

ƒ(x) dx

(pourvu que les limites existent dans R)

L’intégrale est dite convergente lorsque la limite du second membreexiste dans R, et divergente dans le cas contraire.



exemple 3.4.2

solution

arcsin 1- = π/2arcsin 0 = 0

Effectuer ∫0

3

dx

√ 9 - x2

____________

ƒ(x) = 1

√ 9 - x2 est continue sur [0,3] sauf à gauche en x = 3.

⌡⌠ dx

√ 9 - x2 = arcsin

x3 + C

⇒ ∫0

3

dx

√ 9 - x2 =

limt → 3- ∫

0

t

dx

√ 9 - x2

= limt → 3-

arcsin

x3

t 0

= limt → 3-

arcsin

t3 - arcsin 0

= arcsin 1- - arcsin 0

= π2

exemple 3.4.3

si on n’avait pas tenu compte dela discontinuité au point x = 2quelle aurait été la réponse du

problème?

montrer à l’aide des sommesintégrales que ce résultat est

impossible!

Effectuer ∫0

4

dx (x - 2)2

____________

rép: diverge (∞)



exemple 3.4.4

Effectuer ∫0

1

ln x dx

____________

rép:-1

borne(s) infinie(s)

on utilisera la valeur c = 0lorsque le problème le permet

Soit ƒ une fonction continue

a) sur [a, ∞[ , on définit

∫a

∞ ƒ(x) dx =

limt → ∞ ∫

a

t


b) sur ]-∞, b] , on définit

∫-∞

b

ƒ(x) dx = limt → - ∞ ∫

t

b


c) sur R, on définit

∫-∞

∞ ƒ(x) dx = ∫

-∞

c

ƒ(x) dx + ∫c

∞ ƒ(x) dx ( où c ∈ R )

= limt → - ∞ ∫

t

c

ƒ(x) dx + limt → ∞ ∫

c

t

ƒ(x) dx

(pourvu que les limites existent dans R)

L’intégrale est dite convergente lorsque les limites du second membreexistent dans R, et divergente dans le cas contraire.



exemple 3.4.5

solution

Effectuer ∫2

∞ dx

x2

____________

ƒ(x) = 1x2 est continue sur R \ {0} donc continue sur [2, ∞[ .

⌡⌠

dxx2 = -

1x + C

⇒ ∫2

∞ dx

x2 = limt → ∞ ∫

2

t

dxx2

= limt → ∞

-

1x

t 2

= limt → ∞

-

1t +

12

= 12

exemple 3.4.6

Effectuer ∫-∞

1

dx1 + x2

____________

rép: 3π/4



exemple 3.4.7

Effectuer ∫-∞

∞ xex dx

____________

rép: diverge (∞)

exemple 3.4.8

Effectuer ∫0

∞ dx

√ x (x + 4)____________

rép:π/2



Exercices 3.4

Effectuer chacune des intégrales.

1. ∫0

1

dxx3 13. ∫

1

∞ dx

(x2 - 1)

2. ∫0

4

dx

√ 4 - x14. ∫

0

2

√ 9 - x2

x2 dx

3. ∫0

2

dx

(x - 1)2 15. ∫-∞

∞ dx

ex + e-x

4. ∫0

π/4

sec2x

√tg x dx 16. ∫

-1

-1/2

dx

x√4x2 - 1

5. ∫-2

2

dx

√ 4 - x217. ∫

3

∞ dx

x √ x - 1

6. ∫π/4

π/2

sec x dx 18. ∫-∞

∞ xe-x2

dx

7. ∫0

∞ dx

ex/2 19. ∫1

2

dx

x2 √ 4 - x2

8. ∫-∞

3

dx

√ 7 - x20. ∫

0

e x ln x dx

9. ∫2

∞ dx

x ln2x21. ∫

0

∞ dx

x(x + 1)

10. ∫-∞

∞ dx

1 + x2 22. ∫0

∞ e-x sin x dx

11. ∫-∞

0

xex dx 23. ∫1

∞ ln x

x2 dx

12. ∫0

π/2

cos x

√ 1 - sin x dx 24. ∫

0

π/2

(sec x tg x - sec2x) dx



Réponses 3.4

1. diverge 13. diverge

2. 4 14. diverge

3. diverge 15.π2

4. 2 16. - π3

5. π 17. π - 2arctg√ 2

6. diverge 18. 0

7. 2 19. √ 34

8. diverge 20.e2

4

9.1

ln 2 21. diverge

10. π 22.12

11. -1 23. 1

12. 2 24. -1

3.5 Calcul d’aires


3.5 Calcul d’airesLes applications de l’intégrale se retrouvent dans une multitude de do-maines. La physique est sûrement la discipline qui utilise le plus ceconcept. De nos jours on retrouve des applications de l’intégrale aussibien dans des domaines scientifiques (physique, chimie, biologie, ...)que dans des domaines tels l’administration , l’économie, la sociologie,la psychologie ...

Le champ des applications de l’intégrale est énorme. Le cours n’a paspour but de couvrir d’une façon exhaustive l’ensemble des possibilitésde ce concept. On se contentera d’applications de nature strictementmathématique en laissant aux autres disciplines le soin de de compléterle travail.

calcul de l’aire entredeux courbes

(découpage vertical)

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b]. Si on aƒ(x) ≥ g(x) pour toute valeur dans l’intervalle [a,b] alors l’aire de larégion bornée par les deux courbes entre x = a et x = b est donnée par

∫x = a

x = b

h(x) dx où h(x) = ƒ(x) - g(x)

a b

y = f(x)

y = g(x)

figure 3.5.1

Essayons d’approximer l’aire de la région en question (figure 3.5.1) àl’aide d’une somme intégrale. Pour cela,

- subdivisons d’abord l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur ∆x1, ∆x2, ∆x3, ∆x4, .... , ∆xn ;

- considérons ensuite la valeur la plus grande de chaque sous-intervalle, soient x1, x2, x3, x4, .... , xn les n valeurs ;

- construisons dans chaque sous-intervalle, un rectangle ayant pour hauteur et pour base:

hauteur base

h(x1) = f(x1) - g(x1) ∆x1h(x2) = f(x2) - g(x2) ∆x2h(x3) = f(x3) - g(x3) ∆x3h(x4) = f(x4) - g(x4) ∆x4 etc ...

On obtient le découpage vertical ci-dessous.

x1 x2x3x4x5 xi-1xi xn-1a b

y = f(x)

y = g(x)

h(xi) = f (x i) - g(x i)

∆∆∆∆ xi

aa

figure 3.5.2



puisque les ∆xi sont égaux

par définition

En additionnant l’aire des rectangles on obtient une approximation del’aire A cherchée.

A ~ h(x1) ∆x1 + h(x2) ∆x2 + h(x3) ∆x3 + ... + h(xn) ∆xn

~ ∑i = 1

n

h(xi) ∆xi où h(xi) = ƒ(xi) - g(xi)

L’aire exacte est donnée par

A = lim n → ∞ ∑

i = 1

n

h(xi) ∆xi

= lim max ∆xi → 0 ∑

i = 1

n

h(xi) ∆xi

= ∫a

b

h(x) dx où h(x) = ƒ(x) - g(x)

exemple 3.5.1

solution

y = x2

yy y =y = y = 2y = 2x

((2(2,(2 , 4(2, 4)

y = 2x

(2, 4)

x i

2xi

x i2

∆∆∆∆ xi

figure 3.5.3

Calculer l’aire de la région bornée par les courbes d’équationsy = x2 et y = 2x.____________

On trace d’abord les deux courbes puis, on détermine les pointsd’intersection des courbes. Il suffit pour cela de résoudre le systèmeformé des équations y = x2 et y = 2x.

y = x2 et y = 2x ⇒ x2 = 2x ⇒ x2 - 2x = 0 ⇒ x(x - 2) = 0

⇒ x = 0 ou x = 2

Les courbes se coupent aux points (0,0) et (2,4).

Une fois la région délimitée, on trace un petit rectangle de base ∆xi(découpage vertical). La hauteur de ce rectangle est égale à l’ordonnéeen xi de la courbe supérieure moins l’ordonnée en xi de la courbeinférieure (figure 3.5.3).

h(xi) = ysupérieur - yinférieur= 2xi - xi2

L’aire du rectangle est (2xi - xi2) ∆xi et celle de la région entière

A = lim n → ∞ ∑

i = 1

n

(2xi - xi2) ∆xi

= ∫x = 0

x = 2

(2x - x2) dx =

x2 -

x3

3 2 0 = 4 -

8 3 =

43



exemple 3.5.2

Calculer l’aire de la région bornée par les courbes d’équations

y = -x2 + 4x - 3, y = 0 et x = 0.____________

rép: 43

exemple 3.5.3


y = x3 et y = x.____________

rép: 12



Il existe une seconde façon d’obtenir l’aire entre les deux courbes. Aulieu d’utiliser un découpage vertical, on utilise un découpage horizon-tal. Toutes les données doivent au préalable être exprimées en fonctionde la variable y.

calcul de l’aire entredeux courbes

(découpage horizontal)

Soit q et p deux fonctions continues sur l’intervalle [c,d]. Si on aq(y) ≥ p(y) pour toute valeur dans l’intervalle [c,d] alors l’aire de larégion bornée par les deux courbes entre y = c et y = d est donnée par

∫y = c

y = d

h(y) dy où h(y) = q(y) - p(y)

c

d

x = p(y)

x = q(y)

figure 3.5.4

On approxime l’aire de la région (figure 3.5.4) à l’aide d’une sommeintégrale en y. Pour cela,

- on subdivise l’intervalle [c,d] en n sous-intervalles égaux de longueur ∆y1, ∆y2, ∆y3, ∆y4, .... , ∆yn ;

- on considère la valeur la plus grande de chaque sous-intervalle, soient y1, y2, y3, y4, .... , yn les n valeurs ;

- on construit dans chaque sous-intervalle, un rectangle ayant pour hauteur et pour base:

hauteur base

h(y1) = q(y1) - p(y1) ∆y1h(y2) = q(y2) - p(y2) ∆y2h(y3) = q(y3) - p(y3) ∆y3h(y4) = q(y4) - p(y4) ∆y4 etc ...

Cette fois les n rectangles sont empilés les uns sur les autres. Lahauteur de chaque rectangle est h(yi) = q(yi) - p(yi) et la base ∆yi .

c

d

yi

p(yi) q(yi)

x = p(y)

x = q(y)

h(yi) = q(yi) - p(yi)

∆∆∆∆yi

figure 3.5.5

L’addition de l’aire des rectangles donnera une approximation de l’airecherchée; lorsque le nombre de sous-intervalles augmente vers l’infini,on aura

A = ∫y = c

y = d

h(y) dy où h(y) = q(y) - p(y)



exemple 3.5.4

solution

y = x2

yy y =y = y = 2y = 2x

((2(2,(2 , 4(2, 4)

y i

y i y i/ 2yi2

∆∆∆∆ yi

yi yi/ 2

figure 3.5.6

Calculer l’aire de la région bornée par les courbes d’équationsy = x2 et y = 2x.____________

Le problème est le même que celui de l’exemple 3.5.1. Cette fois on lerésout à l’aide d’un découpage horizontal. On trace un petit rectanglede base ∆yi (figure 3.5.6). La hauteur de ce rectangle est égale àl’abscisse en yi de la courbe supérieure moins l’abscisse en yi de lacourbe inférieure.

h(yi) = xsupérieur - xinférieur

= √yi - yi2

L’aire du rectangle est (√yi - yi2 ) ∆yi ,

et celle de la région entière

A = lim n → ∞ ∑

i = 1

n

√yi -

yi2 ∆yi

= ⌡⌠

y = 0

y = 4

√ y -

y2 dy

=

23 y3/2 -

y2

4 4 0

= 23 ( )√ 4 3 -

42

4

= 163 - 4

= 43

La réponse est bien la même que celle de l’exemple 3.5.1. On remarquepar ailleurs que la solution de l’exemple 3.5.1 est sensiblement pluscourte que celle de l’exemple 3.5.4. Dans les problèmes qui suivront, àmoins d’avis contraire, on choisira la méthode qui semble la plus facileà calculer.



exemple 3.5.5

solution

y2 = x

y = x - 2

figure 3.5.7

y2 = x

y = x - 2

figure 3.5.8

Calculer l’aire de la région bornée par les courbes d’équationsy2 = x et y = x - 2 .

a) Utiliser un découpage horizontal. b) Utiliser un découpage vertical.____________

rép: a) ∫-1

2

((y + 2) - y2) dy ; b) ∫0

1

(√ x - (-√ x)) dx + ∫1

4

(√ x - (x - 2)) dx ; 92



exemple 3.5.6


y2 = x + 2 et y2 = 2x.____________

rép: 163

exemple 3.5.7

4x2 + y2 = 4

figure 3.5.9

Calculer l’aire de l'ellipse d'équation 4x2 + y2 = 4 ;____________

rép: 2π



exemple 3.5.8

solution

1

y = x2 x

figure 3.5.10

Calculer l’aire de la région bornée par la courbe d’équation y = 2√ x,la droite tangente à cette courbe au point x = 1 et l’axe des x.____________

rép: 23

exemple 3.5.9

solution

aire = 2/3

y = x2

y = cx3

figure 3.5.11

Sachant que l’aire de la région bornée par les courbes d’équationsy = x2 et y = cx3 (c > 0) est 2/3, on demande de calculer la valeur de c.

____________

rép: 12



Exercices 3.5

déterminer graphiquementchacune des régions puis,

résoudre en utilisant undécoupage vertical


résoudre en utilisant undécoupage horizontal


résoudre en utilisant d'abord undécoupage vertical

et ensuite undécoupage horizontal

1. Calculer l’aire de la région bornée par les courbes suivantes:

a) y = 2x - x2 , y = 0 ;

b) y = x2 - 3 , y = x - 1 ;

c) y = 1x

, y = 0 , entre x = -1 et x = -2 ;

d) y = ex , y = 2 , x = 0 ;

e) y = x3 - x , y = 0 .


a) x = y2 - 1 , x = 0 ;

b) y = √ x , x = 4 , y = 0 ;

c) y2 = 2x , x - y = 4 ;

d) y = 2x , y = 3 - x ;

e) x - 4y + 4 = 0 , x - y - 2 = 0 , x = 0 , y = 0 .


a) y = x2 , y = 4 ;

b) x = y2 , y = 3 , x = 0 ;

c) y = ln x , y = -1 , x = 1 ;

d) y = arctg x , x = 1 , y = 0 ;

e) x2 = 8y , y2 = x .

4. Calculer l’aire à l’intérieur

a) du cercle d’équation x2 + y2 = 4 ;

b) de l’ellipse d’équation x2

4 + y2

9 = 1.



5. Calculer l’aire des régions hachurées.

a) b)

y2 = x2 (1 - x)

y = 7 - 3x

y = 4x2

c) d)

y = 4x3

y = 3x - 1

y = - x - 3

x = y2 - 9

e) f)

y = cos x

y = sin(2x)

y = cos x

yy y =y = y = sy = siy = siny = sin y = sin 2y = sin 2x (1, -1)

(2, 4)

((-(-1(-1,(-1,1(-1,1)(-1,1)



6. La région délimitée par les courbes de y = 1/x2 , l’axe des x et lesdroites x = 1 et x = 2 est partagée en deux régions de même airepar la droite d’équation x = c. Quelle est la valeur de c?

7. Trouver la valeur de c telle que la droite d’équation y = c diviseen deux régions d’aires égales le triangle borné par les droites d’équations y = 2x, y = 0 et x = 1.

8. La région bornée par les courbes d’équations y = x - x2 et y = ax(a < 0) a une aire de 9/2. Quelle est la valeur de a ?

9. Calculer si possible l’aire des régions hachurées non bornées.

a)

y = ln x

b)

y = x2 e-x

1

e- xe- x

10. Calculer l’aire de la région bornée par la courbe d’équationy = x2 , la droite tangente à cette courbe en x = 2 et l’axe des y.

11. Calculer l’aire de la région bornée par la courbe d’équation y = x3

et la droite tangente à cette courbe en x = 1.

12. Calculer l’aire de la région bornée par la courbe d’équationy = 4 - x2 la droite tangente à cette courbe au point x = 1 et la droite

a) x = 0 (utiliser un découpage vertical)b) y = 0 (utiliser un découpage horizontal)



utiliser

un découpage vertical en a)un découpage horizontal en b)

13. Calculer l’aire de la région bornée par les courbesy = ex, la droite tangente à cette courbe en x = 0 et

a) la droite x = -2,b) la droite y = 3.

y = ex

x = -2

y = 3

14. Calculer l’aire de la région bornée par la courbe d’équation y = x2 et les deux droites tangentes à cette courbe en x = 1 et enx = -2.

y = x2

1-2

15. Déterminer c pour que lesrégions R1 et R2 aient

a) des aires égales,b) une aire totale minimale.

y = e- x

y = 1

x =

c

R 2

R 1



Réponses 3.5

1. a) ∫0

2

(2x - x2) dx = 43

b) ∫-1

2

((x - 1) - (x2 - 3)) dx = 92

c) ⌡⌠

-2

-1

(- 1x) dx = ln 2

d) ∫0

ln 2

(2 - ex) dx = 2ln 2 - 1

e) ∫-1

0

(x3 - x) dx + ∫0

1

(- (x3 - x)) dx = 12

2. a) ∫-1

1

(- (y2 - 1)) dy = 43

b) ∫0

2

(4 - y2) dy = 163

c) ⌡⌠

-2

4

( (4 + y) - y2

2 ) dy = 18

d) ⌡⌠

1

2

( (3 - y) - 2y ) dy =

32 - 2 ln 2

e) ∫0

1

(y + 2) dy + ∫1

2

((y + 2) - (4y - 4)) dy = 4

3. a) V ∫-2

2

(4 - x2) dx = 323

H ∫0

4

2√ y dy = 323



b) V ∫0

9

(3 - √ x) dx = 9

H ∫0

3

y2 dy = 9

c) V ∫1/e

1

( ln x - (-1)) dx = 1e

H ∫-1

0

(1 - ey) dy = 1e

d) V ∫0

1

arctg x dx = π4 - ln √ 2

H ∫0

π/4

(1 - tg y ) dy = π4 - ln √ 2

e) V ⌡⌠

0

4

(√ x - x2

8 ) dx = 83

H ∫0

2

(√8y - y2) dy = 83

4. a) 4π b) 6π

5. a)8

15 b)12

c)2716 d)

323

e)12 f) 6

6.43

7. 2 - √ 2

8. -2

9. a) 1 b)5e

10.83



11.274

12. a) ∫0

1

( (-2x + 5) - (4 - x2) ) dx = 13

b) ⌡⌠

0

3

( 5 - y2 - √4 - y ) dy =

712

13. a) 1 - 1e2 b) 4 - 3 ln 3

14.94

15. a) 1 b) - ln( )12 ou ln 2

3.6 Calcul du volume d’un solide de révolution



À la section précédente nous avons utilisé l’intégrale pour obtenir l’aired’une région bornée par deux courbes. Dans cette section nous allonsl’utiliser pour obtenir la mesure d’un volume.

Imaginons que l’on fasse tourner une région autour d’une droite fixe(appelée axe de rotation) . Chaque point de la région décrira une orbitecirculaire délimitant un solide de révolution.

-1 2

y = x2

figure 3.6.1

Rotation autour de l’axe des x de larégion bornée par les courbes d’équations:

y = x2 , y = 0 entre x = -1 et x = 2.

-1 2

y = x2

figure 3.6.2

Solide de révolution correspondant.

a) la méthode du disque

Dans la plupart des cas, il est possible de calculer le volume d’un solidede révolution en faisant appel au calcul intégral. Nous verrons deuxfaçons de le faire:

a) la méthode du disque, b) la méthode des enveloppes cylindriques.

Avant d’entreprendre cette étude, rappelons d’abord deux formules dela géométrie élémentaire.

r

h

Le volume V d’un disque de rayon r et dehauteur h est donné par la formule:

V = πr2h

Rr

h

Dans le cas d’un disque troué de rayons R et r et de hauteur h, le volume V devient:

V = πR2h - πr2h= π(R2 - r2)h



calcul du volume d’unsolide de révolution

(méthode du disque)

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b]. Si pourtoute valeur de l’intervalle [a,b] on a ƒ(x) ≥ g(x) ≥ c alors le volumeV du solide de révolution engendré par la rotation autour de la droitey = c de la région bornée par les deux courbes entre x = a et x = b(figure 3.6.3) est donné par

V = ∫x = a

x = b

π ( ( ƒ(x) - c )2- ( g(x) - c )2) dx

y = f(x)

y = g(x)

x = bx = a

y = cy = c

figure 3.6.3

y = f(x)

y = g(x)

x = bx = a

y = cx1x2x3x4x5 xi

y = c

figure 3.6.4

Ri = ƒ(xi) - cri = g(xi) - c

hi = ∆xi

Pour approximer le volume en question, utilisons une somme intégralecomportant un découpage vertical.

- subdivisons l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur: ∆x1, ∆x2, ∆x3, ... , ∆xi, ... , ∆xn ;

- prenons comme représentant, la valeur la plus grande de chaque sous-intervalle: x1, x2, x3, ... , xi, ... , xn ;

- construisons dans chaque sous-intervalle un rectangle ayant une base ∆xi et une hauteur ƒ(xi) - g(xi ) ; (figure 3.6.4)

- faisons faire une rotation à ces rectangles autour de la droite y = c,on obtient n disques troués ; (figure 3.6.5)

xi

f(xi)

g(xi)

c

∆xi

figure 3.6.5

le volume du i ième disque troué est

Vi = π (Ri2 - ri2) hi

Vi = π (( ƒ(xi) - c)2 - ( g(xi) - c)2) ∆xi



ƒ et g sont continues sur [a,b],on peut donc utiliser le théorème

fondamental du calcul

- en additionnant les volumes des n disques troués, on obtient une approximation du volume cherché.

V ~ ∑i=1

n

π ( ( ƒ(xi) - c )2- ( g(xi) - c)2) ∆xi

V =lim n → ∞ ∑

i=1

n

π ( ( ƒ(xi) - c)2- ( g(xi) - c )2) ∆xi

V = ∫x = a

x = b

π ( ( ƒ(x) - c )2- ( g(x) - c )2) dx

xi

y = f(x)

y = g(x) = c

f(xi)

x = a x = b

figure 3.6.6

xi

y = cc

f(xi)

g(xi)

g(xi)

f(xi)

x = a x = b

y = g(x)

y = f(x)

figure 3.6.7

Si pour toute valeur de l’intervalle [a,b] on a ƒ(x) ≥ g(x) = c, c’est-à-dire si la fonction g correspond à l’axe de rotation sur l’intervalle [a,b](figure 3.6.6), la somme intégrale sera constituée de disques non trouéset le volume deviendra

V = ∫x = a

x = b

π ( ƒ(x) - c )2 dx

Si pour toute valeur de l’intervalle [a,b] on a ƒ(x) ≤ g(x) ≤ c, c’est-à-dire si la région se trouve sous l’axe de rotation sur l’intervalle [a,b](figure 3.6.7), la mesure des rayons se trouve inversée et le volumedevient

V = ∫x = a

x = b

π ( ( c - ƒ(x) )2- ( c - g(x) )2) dx

Lorsque l’axe de rotation traverse la région, la solution du problèmedépend du cas considéré. Nous aurons l’occasion d’étudier quelquesexemples de problèmes reliés à cette situation.

Évidemment la rotation pourra se faire autour d’un axe vertical. Dansce cas la méthode du disque exige un découpage horizontal. On solu-tionne ce genre de problème en utilisant les mêmes règles que pour undécoupage vertical. Nous verrons un peu plus loin plusieurs exemplesde problèmes utilisant un découpage horizontal.

La méthode du disque utilise toujoursun découpage perpendiculaire à l’axe de rotation.



exemple 3.6.1

Trouver le volume engendré par la rotation de la région bornée par lescourbes d’équations y = x2 , y = 0 , x = 2

a) autour de l’axe des x,____________

y = x2

x = 2

xi

xi2

∆xifigure 3.6.8

Pour obtenir le volume du solide de révolution en utilisant laméthode du disque, considérons une somme intégrale quiutilise un découpage vertical.

Traçons dans la région hachurée un rectangle vertical.Lorsque ce rectangle tourne autour de l’axe des x, ilengendre un disque. Le volume de ce disque (non troué)est

Vi = π ri2hi où ri = xi2

hi = ∆xi

Vi = π (xi2)2 ∆xi

⇒ V = lim n → ∞ ∑

i=1

n

π (xi2)2 ∆xi

V = ∫x = 0

x = 2

π x4 dx =

πx5

5 2 0 =

32π5

b) autour de la droite y = 4,____________

xi

xi2

y = 4

y = x2

x = 2

∆xi

figure 3.6.9

rép: 224π15



c) autour de l’axe des y,____________

y = x2

x = 2

yi

yi

∆yi

figure 3.6.10

rép: 8π

d) autour de la droite x= 2.____________

y = x2

x = 2

yi

yi

∆yi

figure 3.6.11

rép: 8π3



b) la méthode desenveloppes cylindriques

h

Rr

h

Rr

figure 3.6.12

Il existe une autre façon d’obtenir le volume d’un solide de révolution.Au lieu d’approximer le volume à l’aide d’une somme intégraleconstituée de disques, on utilise plutôt des enveloppes cylindriques.

Considérons un disque troué ayant un rayon extérieur R, un rayonintérieur r et une hauteur h. Le volume V du disque troué est donnépar

V = π(R2 - r2) h

V = π(R - r)(R + r) h

Lorsque R → r le disque troué devient ce qu’on appelle uneenveloppe cylindrique avec une paroi très mince de ∆r = R - r.Le volume de cette enveloppe cylindrique sera donc

V = π (∆r) (r + r) h

V = 2πrh∆r

Le volume V d’une enveloppe cylindriquede rayon r et de hauteur h ayant une paroid’épaisseur ∆r est donné par la formule

V = 2πrh∆r

calcul du volume d’unsolide de révolution

(méthode des enveloppescylindriques)

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b]. Si a ≥ c etsi, pour toute valeur de l’intervalle [a,b] on a ƒ(x) ≥ g(x) alors levolume V du solide de révolution engendré par la rotation autour de ladroite x = c de la région bornée par les deux courbes entre x = a et x= b (figure 3.6.13) est donné par

V = ∫x = a

x = b

2π (x - c) (ƒ(x) - g(x)) dx

x = c x = b

x = a

y = f(x)

y = g(x)

figure 3.6.13

Pour approximer le volume en question, utilisons encore une fois unesomme intégrale comportant un découpage vertical.

- subdivisons l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur: ∆x1, ∆x2, ∆x3, ... , ∆xi, ... , ∆xn ;

- prenons comme représentant, la valeur la plus grande de chaque sous-intervalle: x1, x2, x3, ... , xi, ... , xn ;

- construisons dans chaque sous-intervalle un rectangle ayant une base ∆xi et une hauteur ƒ(xi) - g(xi ) ; (figure 3.6.14)

- faisons faire une rotation à ces rectangles autour de la droite x= c,on obtient n enveloppes cylindriques ; (figure 3.6.15)



xi

x = c x = b

x = a

y = f(x)

y = g(x)

figure 3.6.14

x = c x = bx = a

y = f(x)

figure 3.6.15

ri = xi - chi = ƒ(xi) - g(xi)

∆ri = ∆xi (voir figure 3.6.16)

Le volume de la i ième enveloppe est

Vi = 2π ri hi ∆ri

Vi = 2π (xi - c)((ƒ(xi) - g(xi) ) ∆xi

- en additionnant les volumes des n enveloppes cylindriques, on obtient uneapproximation du volume cherché.

V ~ ∑i=1

n

2π(xi - c)(ƒ(xi) - g(xi))∆xi

xi

g(xi)

f(xi)

c a bb

y = g(x)

y = f(x)

xi

g(xi)

f(xi)

c a bb

y = g(x)

y = f(x)

figure 3.6.16

⇒ V =lim n → ∞ ∑

i=1

n

2π (xi - c)(ƒ(xi) - g(xi)) ∆xi

V = ∫x = a

x = b

2π(x - c)(ƒ(x) - g(x)) dx

La rotation pourra aussi se faire autour d’un axe horizontal. Dans ce casla méthode exige un découpage horizontal.

La méthode des enveloppes cylindriquesutilise toujours un découpage parallèle

à l’axe de rotation.



exemple 3.6.2

comparer chacune des solutionsavec celles de l’exemple 3.6.1

Trouver le volume engendré par la rotation de la région bornée par lescourbes d’équations y = x2 , y = 0 , x = 2

a) autour de l’axe des y,____________

x = 2

y = x2

xi

xi2

∆xi

x = 2

y = x2

xi

xi2

∆xi

figure 3.6.17

Pour obtenir le volume du solide de révolution en utilisantla méthode des enveloppes cylindriques, considérons unesomme intégrale qui utilise un découpage vertical. Traçonsdans la région hachurée un rectangle vertical. Lorsque cerectangle tourne autour de l’axe des y, il engendre uneenveloppe cylindrique dont le volume est

Vi = 2π ri hi ∆ri où

ri = xi

hi = xi2

∆ri = ∆xi

Vi = 2π( xi) (xi2) ∆xi

⇒ V = lim n → ∞ ∑

i=1

n

2π xi3 ∆xi

V = ∫x = 0

x = 2

2π x3 dx =

2π

x4

4 2 0 = 8π

b) autour de la droite x = 2,____________

x = 2

y = x2

xi

xi2

∆xi

x = 2

y = x2

xi

xi2

∆xi

figure 3.6.18

rép: 8π3



c) autour de l’axe des x,____________

x = 2

y = x2

yi

yi

∆yi

x = 2

y = x2

yi

yi

∆yi

figure 3.6.19

rép: 32π5

d) autour de la droite y= 4.____________

x = 2

y = x2

yi

yi

∆yi

x = 2

y = x2

yi

yi

∆yi

y = 4

figure 3.6.20

rép: 224π

15



exemple 3.6.3

Trouver le volume engendré par la rotation de la région bornée par lescourbes d’équations y = x2 , y = x+6 autour de l’axe des y.

(Utiliser la méthode de votre choix)____________

y = x2

y = x + 6

figure 3.6.21

rép: 63π

2



exemple 3.6.4

Une sphère de rayon 3 cm est coupée en trois morceaux en divisantson diamètre en trois parties égales. Calculer le volume du morceau aucentre.

(Utiliser la méthode de votre choix)____________

x2 + y

figure 3.6.22

rép: 52π

3 cm3



Exercices 3.6

déterminer graphiquementchacune des régions

Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation,autour de l’axe donné, de la région comprise entre les courbesd’équations:

laisser votre réponse

sous forme symbolique(n'évaluer pas les intégrales)

1. y = 3√ x , y = 0 , x = 1 ;

a) autour de l’axe des x,b) autour de l’axe des y,c) autour de la droite x = 1,d) autour de la droite y = 3.

(utiliser la méthode du disque puis, celle des enveloppes cylindriques)



2. y = x2 , y = -1 , x = 0 ;

a) autour de l’axe des x,b) autour de l’axe des y,c) autour de la droite y = -1,d) autour de la droite x = -3.




3. y = ln x , x = e , y = 0 ;

a) autour de l’axe des x,b) autour de l’axe des y.


4. y = 1x , y = 0 , x = 1 , x = 4 ;

a) autour de l’axe des x,b) autour de la droite y = 2,c) autour de la droite x = 4.

5. y = sin x , y = 0 , x = -π , x = 0 ;


6. y = ex , y = 1 , x = -1 ;




7. y2 = 2x , y = x - 4 ; autour de l’axe des x.

8. y = 2x , y = 4 , x = 0 ;

a) autour de la droite y = 2, b) autour de la droite y = 3. (Ne pas évaluer l’intégrale.)

9. Trouver le volume de la soucoupe volante engendrée par la rotation autour de l’axe des y de la région comprise entre les courbes

y = x4 - 1

4 , y = 1 - x6

6 , x = 0 , x = 1

1 - x6

6y =

x4 - 14

y =

-1 1

figure 3.6.23

10. Déterminer le volume d’une sphère de rayon r en faisant tourner autour de l’axe des x le demi-cercle de rayon r d’équation

y = √r2 - x2

11. Calculer le volume du solide résultant de la rotation autour de l’axedes x de la partie supérieure de la boule elliptique définie par

x2

a2 + y2

b2 = 1 .

12. Soit la région délimitée par les courbes d’équations

y = x et y = ax2 ( a > 0 )

Sachant que le volume engendré par la rotation de cette région autour de l’axe des y est π/48, trouver la valeur de a.

13. Soit la région délimitée par les courbes d’équations

y = √ x , y = x2 de x = 0 à x = a ( 0 < a < 3 )

Sachant que le volume engendré par la rotation de cette région autour de l’axe des x est πa3/3, trouver la valeur de a.

14. Soit la région (non bornée), délimitée par les courbes d’équations:

y = 1x , l’axe des x et à droite de x = 1.

a) Calculer l’aire de cette région.b) Calculer le volume engendré par la rotation de cette région

autour de l’axe des x.



15. Calculer le volume du solide de révolution obtenu par la rotation autour de l’axe des x de la région bornée par la boucle d’équation

2y2 = x(x2 - 4)

2y2 = x(x2 - 4)

figure 3.6.24

16. Soit le triangle formé par les points (1,3), (3,1) et (3,3). Calculer le volume du solide engendré par la rotation de ce triangle autour

a) de l’axe des x,b) de la droite x = -1.

17. Un trou cylindrique de 3 cm de rayon est percé dans une sphèrede 5 cm de rayon. Quel est le volume de matériau enlevé ?

3 cm

5 cm

figure 3.6.25

18. Trouver le volume d’un tore (beignet) engendré par la rotation autour de la droite x = 3 du cercled’équation

x2 + y2 = 1

x = 3x = 3x = 3

x2 + y2 = 1

figure 3.6.26



Réponses 3.6

1. a) D ∫0

1

π (3√ x)2 dx = 9π2

E ⌡⌠

0

3

2π y

1 -

y2

9 dy = 9π2

b) D ⌡⌠

0

3

π

12 -

y2

9

2 dy =

12π5

E ∫0

1

2π x(3√ x) dx = 12π5

c) D ⌡⌠

0

3

π

1 -

y2

9

2 dy =

8π5

E ∫0

1

2π (1 - x)(3√ x) dx = 8π5

d) D ∫0

1

π (32 - (3 - 3√ x)2) dx = 15π2

E ⌡⌠

0

3

2π (3 - y)

1 -

y2

9 dy = 15π2

2. a) D ⌡⌠

-2

0

π

12 -

-x

2

2 dx =

4π3

E ∫-1

0

2π (-y) (-2y) dy = 4π3

b) D ∫-1

0

π (-2y)2 dy = 4π3



E ⌡⌠

-2

0

2π (-x)

x2 + 1 dx =

4π3

c) D ⌡⌠

-2

0

π

x2 + 1

2 dx =

2π3

E ∫-1

0

2π (y + 1) (-2y) dy = 2π3

d) D ∫-1

0

π ((3)2 - (2y + 3)2) dy = 14π3

E ⌡⌠

-2

0

2π (x + 3)

x2 + 1 dx =

14π3

3. a) D ∫1

e

π (ln x)2 dx = π (e -2)

E ∫0

1

2π y (e - ey) dy = π (e -2)

b) D ∫0

1

π (e2 - e2y) dy = π (e2 + 1)

2

E ∫1

e

2π (x)(ln x) dx = π (e2 + 1)

2

4. a)3π4

b) π

4(ln 4) -

34

c) 2π (4(ln 4) -3)

5. a)π2

2b) 2π2



6. a) π

12 +

12e2

b) π

4e - 1

7.128π

3

8. a)20π3

b)31π6

⌡⌠

3

4

2π (y - 3)

y

2 dy + ⌡⌠

0

2

2π (3 - y)

y

2 dy

9.7π24

10. 4πr3/3

11.43 πab2

12. a = 2

13. a = 65

14. a) l’aire est infinieb) π

15. 2π

16. a)28π3

b)40π3

17.244π

3 cm3

18. 6π2

3.7 Longueur d’un arc de courbe



Sous certaines conditions, l’intégration permet de calculer la longueurd’une courbe même si celle-ci n’est pas une figure régulière (droite,polygone, cercle). Comme pour les applications précédentes, nouschercherons à approximer la longueur de la courbe à l’aide d’unesomme intégrale puis, à évaluer cette longueur en utilisant l’intégraledéfinie.

calcul de la longueur d’unarc de courbe

Soit y = ƒ(x) une fonction continue surl’intervalle [a,b]. Si ƒ’ est continue surl’intervalle ]a,b[ alors la longueur L del’arc de courbe défini par la fonction ƒentre x = a et x = b est donnée par

L = ⌡⌠

x = a

x = b

√1 + (ƒ’(x))2 dx

a b

y = f(x)

figure 3.7.1

Nous pouvons approximer la longueur de l’arc de courbe de la façonsuivante:

- subdivisons l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur: ∆x1, ∆x2, ∆x3, ... , ∆xi, ... , ∆xn ; cette partition de l’intervalle détermine les points: P0, P1, P2, P3, ... , Pn ;

(xi , f(xi))

(xi-1 , f(xi-1))

(xi , f(xi))

a x1 x2 x3 x4 x5 xi-1 xi b

y = f(x)

P0P1

P2P3

P4P5

Pi-1

Pi

Pn(xi - 1 , f(xi - 1))

(xi , f(xi ))

Pi - 1

figure 3.7.2

- joignons ces points par des segments de droite; on obtient alors une

ligne polygonale qui constitue une approximation de la longueur d’arc cherchée.



par le théorème de Pythagore

La longueur du ie segment decette ligne brisée est

√(xi - xi-1)2 + (ƒ(xi) - ƒ(xi-1))2

(xi , f(xi ))

(xi - 1 , f(xi - 1))

xi - xi - 1

f(xi ) - f(xi - 1 )

figure 3.7.3

par hypothèse

a) ƒ est continue sur [xi-1, xi]b) ƒ est dérivable sur ]xi-1, xi[

xi - xi-1 = ∆xi

La somme des n segments constitue une approximation de la valeurcherchée

L ~ ∑i=1

n

√(xi - xi-1)2 + (ƒ(xi) - ƒ(xi-1))2

Selon le théorème de la moyenne il existe une valeur x = ci danschaque sous-intervalle ]xi-1, xi[ telle que

ƒ(xi) - ƒ(xi-1) = ƒ’(ci) (xi - xi-1)

⇒ L ~ ∑i=1

n

√(xi - xi-1)2 + (ƒ’(ci) (xi - xi-1))2

L ~ ∑i=1

n

√(xi - xi-1)2 + (ƒ’(ci))

2(xi - xi-1)2

L ~ ∑i=1

n

√1 + (ƒ’(ci))2 (xi - xi-1)

L ~ ∑i=1

n

√1 + (ƒ’(ci))2 ∆xi

La longueur de l’arc de courbe sera donc de

L = lim n → ∞ ∑

i=1

n

√1 + (ƒ’(ci))2 ∆xi où xi-1 < ci < xi

L = ⌡⌠

x = a

x = b

√1 + (ƒ’(x))2 dx



exemple 3.7.1

solution

si u = 4 + 9xdu = 9 dx

Trouver la longueur de l’arc de courbe définie par l’équation

ƒ(x) = √x3 entre x = 1 et x = 4.____________ a) La fonction ƒ est continue sur [0, ∞ [, ⇒ ƒ est continue sur [1,4].

b) ƒ’(x) = 3√ x

2La fonction ƒ’ est continue sur [0, ∞ [,

⇒ ƒ’ est continue sur ]1,4[.

La longueur L de la courbe entre x = 1 et x = 4 est donnée par

L = ⌡⌠

x =1

x = 4

√1 + (ƒ’(x))2 dx

= ⌡⌠

x =1

x = 4

√1 +

3√ x

2

2 dx

= ⌡⌠

x =1

x = 4

√1 + 9x4

dx

= ⌡⌠

x =1

x = 4

√4 + 9x2

dx

= 1

18 ∫u = 13

u = 40

√ u du

=

√u3

27 40

13

= √403

27 - √133

27

= 80√10 - 13√13

27

= 7.63



Lorsque la variable x est exprimée en fonction de la variable y, nouspouvons à l’aide d’un raisonnement semblable au précédent, démontrerle résultat suivant.

calcul de la longueur d’unarc de courbe

Soit x = ƒ(y) une fonction continue surl’intervalle [c,d]. Si ƒ’ est continue surl’intervalle ]c,d[ alors la longueur L del’arc de courbe défini par la fonction ƒentre y = c et y = d est donnée par

L = ⌡⌠

y = c

y = d

√1 + (ƒ’(y))2 dy

c

dx = f(y)

figure 3.7.4

exemple 3.7.2


ƒ(y) = 23

y3/2 - 1 entre les points (-1,0) et (17,9)

____________

(17,9)

(-1,0)

23

y3/2 - 1xx x =3

figure 3.7.5

rép: 23(10√10 - 1) = 20,42



exemple 3.7.3


y = x3

24 + 2x entre x = 2 et x = 4.

____________

2 4

x3

242x

x3

+yy y =

figure 3.7.6

rép: 176

= 2.83



Exercices 3.7

1. Calculer la longueur d’arc de la courbe définie par l’équation

y = √25 - x2

pour 0 ≤ x ≤ 5√ 22

.


y = ln(cos x)

pour 0 ≤ x ≤ π3.

3. Trouver la longueur du segment de droite y = 3x - 2 entre les points (1,1) et (4,10).

a) Utiliser le résultat de la page 3-77.b) Utiliser le résultat de la page 3-80.c) Utiliser le théorème de Pythagore.


y = 2

√27 (x - 2)3/2

pour 2 ≤ x ≤ 11.


y = ln(x + √x2 - 1)pour 2 ≤ x ≤ 3.

6. Calculer la longueur d’arc de la courbe définie par y = x2/3 pour 1 ≤ x ≤ 8.

a) Utiliser le résultat de la page 3-77.b) Utiliser le résultat de la page 3-80.


y = x2

4 - ln x

2pour 1 ≤ x ≤ 2.


y = x4 - 12x + 3

6xpour 2 ≤ x ≤ 3.




y = ex + e-x

2pour 0 ≤ x ≤ 1.


y = ln(1 - x2)

pour 0 ≤ x ≤ 12.

11. Trouver la longueur totale de la boucle définie par l’équation 9y2 = x(x - 3)2 .

9y2 = x (x - 3)2

3

figure 3.7.7


y = ln x

entre x = 1 et x = 2√ 2.


y = ln

ex - 1

ex + 1pour 2 ≤ x ≤ 4.

14. Calculer la longueur d’arc de la courbe définie par 16x = y2

entre les points (4,8) et (4,-8).



Réponses 3.7

1.5π4 = 3,93

2. ln(2+√ 3) = 1,32

3. a) , b) et c) 3√10 = 9,49

4. 14

5. 2√ 2 - √ 3 = 1,10

6. a) et b) 80√10 - 13√13

27 = 7,63

7. 3 + 2ln 2

4 = 1,10

8.134 = 3,25

9.e2 - 1

2e = 1,18

10. ln 3 - 12 = 0,60

11. 4√ 3 = 6,93

12. 3 - √ 2 - ln(2 - √ 2) = 2,12

13. ln(e4 + 1) - 2 = 2,02

14. 8√ 2 + 4 ln

√ 2 + 1

√ 2 - 1 = 18,36

3.8 Aire d’une surface de révolution



Dans cette section nous allons utiliser l’intégrale définie pour calculerl’aire d’une surface de révolution. On appelle surface de révolutionune surface engendrée par la rotation d’un arc de courbe autour d’unedroite.

y = f(x)

figure 3.8.1

Rotation autour de l’axe des x de l’arcde courbe définie par y = ƒ(x).

y = f(x)

figure 3.8.2

Surface de révolution correspondante(région hachurée).

D’abord rappelons les formules permettant d’obtenir

a) l’aire latérale d’un cône,b) l’aire latérale d’un cône tronqué.

Pour obtenir l’aire latérale d’un cône de rayon R et de hauteur latérale S(figure 3.8.3), il suffit de couper ce cône selon sa hauteur latérale et dele déplier pour en faire une surface plane. On obtient ainsi un secteurcirculaire de rayon S (figure 3.8.4).

S

R

figure 3.8.3

S

2πR figure 3.8.4

aire du secteur circulaireaire du cercle

=

longueur de l’arc du secteur circonférence du cercle

L’aire du secteur circulaire est obtenue à l’aide d’un simple rapport.

aire du secteur circulaireπS2 =

2πR2πS



Donc l’aire du secteur circulaire est

(2πR)(πS2)

2πS = πRS

et par conséquent

L’aire latérale d’un cône de rayon Ret de hauteur latérale S est πRS.

On tranche maintenant le cône de la figure 3.8.3à l’aide d’une coupe horizontale et on considèrela partie du bas. On obtient un cône tronqué derayons r et R et de hauteur latérale s (figure 3.8.5).

L’aire latérale du cône tronqué est obtenue ensoustrayant l’aire latérale du cône de rayon r del’aire latérale du cône de rayon R.

πR(S + s) - πrS

S

R

rS

ss

S

figure 3.8.5

puisque par (*) Rs = r(S + s)

Les côtés correspondants étant proportionnels dans les trianglessemblables, nous avons

S

S + s = rR

⇒ RS = r(S + s) (*)

Il en découle que

πR(S + s) - πrS = πRs + πRs - πrS

= πr(S + s) + πRs - πrS

= πrS + πrs + πRs - πrS

= πrs + πRs

= π(r + R)s

et par conséquent

L’aire latérale d’un cône tronquéde rayons r et R et de hauteur

latérale s est π(r + R)s.

Cette dernière formule combinée à l’intégrale définie permettrad’évaluer l’aire d’une surface engendrée par la révolution d’un arc decourbe autour d’un axe.



calcul de l’aire d’unesurface engendrée parla révolution d’un arc

de courbe autourde l’axe des x

Soit y = ƒ(x) une fonction continue et non-négative sur l’intervalle [a,b].Si ƒ’ est continue sur l’intervalle ]a,b[ alors l’aire de la surface engen-drée par la révolution autour de l’axe des x de la courbe définie par lafonction ƒ entre x = a et x = b est donnée par

Asr = ⌡⌠

x = a

x = b

2π ƒ(x)√1 + (ƒ’(x))2 dx

x0x0 x1x2x3 xi-1 xi xn-1 xn

y = f(x)P0

P1P2

P3Pi-1Pi

Pn-1Pn

y = f(

y = f(x)

a = = b

figure 3.8.6

Nous pouvons approximer l’aire de la surface de révolution de la façonsuivante:

- subdivisons l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur: ∆x1, ∆x2, ∆x3, ... ∆xi-1, ∆xi, ... , ∆xn ; cette partition

de l’intervalle détermine les points: P0, P1, P2, P3, ...Pi-1, Pi ..., Pn;

f(xi-1) f(xi)

f(x0)f(x1)

f(x2)f(x3)

f(xn-1)

f(xn)

L1L2 L3 Li

Ln

y = f(x)

figure 3.8.7

l’aire latérale d’un cône tronqué

est donnée par la formule:

π(r + R)s

- joignons ces points par des segments de droite; on obtient alors une ligne polygonale; dans sa rotation autour de l’axe des x, le i ème segment tracé engendre un cône tronqué dont l’aire latérale est

π(ƒ(xi-1) + ƒ(xi)) Li

(Li correspond à la longueur du i ème segment)



à la section précédenteon a montré que

Li = √1 + (ƒ ’(ci))2 ∆xi

La somme des n aires constitue une approximation de la valeurcherchée

Asr ~ ∑i=1

n

π(ƒ(xi-1) + ƒ(xi)) Li

Asr ~ ∑i=1

n

π (ƒ(xi-1) + ƒ(xi))√1 + (ƒ’(ci))2∆xi où xi-1 < ci <

xi L’aire de la surface de révolution est donc

Asr = lim n → ∞ ∑

i=1

n

π (ƒ(xi-1) + ƒ(xi)) √1 + (ƒ’(ci))2∆xi

Puisque xi-1 < ci < xi alors lorsque n → ∞ on a ci → xi-1 et ci → xi


i=1

n

π (ƒ(ci) + ƒ(ci))√1 + (ƒ’(ci))2∆xi


i=1

n

2π ƒ(ci)√1 + (ƒ’(ci))2∆xi où xi-1 < ci < xi

⇒ Asr = ⌡⌠

x = a

x = b

2π ƒ(x)√1 + (ƒ’(x))2 dx

Lorsqu’une courbe est donnée sous la forme x = ƒ(y) et que l’axe derotation est l’axe des y , on peut démontrer le résultat suivant de lamême façon.

calcul de l’aire d’unesurface engendrée parla révolution d’un arc

de courbe autourde l’axe des y

Soit x = ƒ(y) une fonction continue et non-négative sur l’intervalle [c,d].Si ƒ ’ est continue sur l’intervalle ]c,d[ alors l’aire de la surface engen-drée par la révolution autour de l’axe des y de la courbe définie par lafonction ƒ entre y = c et y = d est donnée par

Asr = ⌡⌠

y = c

y = d

2π ƒ(y)√1 + (ƒ’(y))2 dy



exemple 3.8.1

solution

Calculer l’aire engendrée par la rotation autour de l’axe des x de lacourbe définie par l’équation ƒ(x) = √2x entre x = 0 et x = 1.____________

a) La fonction ƒ est continue sur [0, ∞ [, ⇒ ƒ est continue sur [0,1].

b) ƒ ’(x) = 1

√2xLa fonction ƒ ’ est continue sur ]0, ∞ [,

⇒ ƒ ’ est continue sur ]0,1[.

1

f(x) = 2x

figure 3.8.8

L’aire Asr de la surface de révolution de la courbe entrex = 0 et x = 1 est donnée par

Asr = ⌡⌠

x =0

x = 1

2π ƒ(x) √1 + (ƒ’(x))2 dx

= ⌡⌠

x =0

x = 1

2π √2x √1 +

1

√2x

2 dx

= 2π ⌡⌠

x =0

x = 1

√2x √1 + 1

2x dx

si u = 2x + 1du = 2 dx

= ⌡⌠

x =0

x = 1

√2x √2x + 1

√2x dx

= 2π ∫x =0

x = 1

√2x + 1 dx

= 2π2 ∫

u = 1

u = 3

√ u du

= 2π3

√u3 3

1

= 2π3 (√33 - √13)

= 2π (3√ 3 - 1)

3 = 8.79



exemple 3.8.2

solution

Calculer l’aire engendrée par la rotation autour de l’axe des y de lacourbe définie par l’équation y = 2x - 1 entre x = 1 et x = 2.____________

y = 2x - 1

1 2

figure 3.8.9

rép: 3π√ 5 = 21,07



exemple 3.8.3

solution

Calculer l’aire de la surface d’une sphère de rayon r.____________

r

figure 3.8.10

rép: 4πr2



Exercices 3.8

∫

sec3u du =

sec u tg u + ln|sec u + tg u|2

+ C

1. Calculer l’aire engendrée par la rotation autour de l’axe des x de la courbe définie par l’équation

y = x3 entre x = 0 et x = 1 .


y = √25 - x2 entre x = 0 et x = 4.

3. Calculer l’aire engendrée par la rotation

a) autour de l’axe des x,b) autour de l’axe des y,

de la courbe définie par l’équation

y = 4x entre x = 2 et x = 4.


y2 = 12x entre x = 0 et x = 3

5. Calculer l’aire engendrée par la rotation autour de l’axe des y de la courbe définie par l’équation

y = x2 entre x = 1 et x = 2

6. Calculer l’aire de la surface de l’ellipse définie par l’équationx2

16 + y2

4 = 1


y = x3

6 + 1

2x entre x = 2 et x = 4.


y = x3 entre x = 0 et x = 2




y = sin x entre x = 0 et x = π


y = ln x entre x = 1 et x = e



Réponses 3.8

1.π27 (10√10 - 1) = 3,56

2. 40π = 125,66

3. a) 48π√17 = 621,75 b) 12π√17 =155,44

4. 24π(2√ 2 - 1) = 137,86

5.π6 (17√17 - 5√ 5) = 30,85

6.8π9 (9 + 4√ 3π) = 85,91

7. 364,57

8.π3 (12√145 + ln(√145 +12)) = 154,65

9. 2π(√ 2 + ln(1 + √ 2)) = 14,42

10. π(e√1 + e2 + ln(e + √1 + e2) - √ 2 - ln(√ 2 + 1)) = 22,94

3.9 Centre de masse


3.9 Centre de masse

centre de masse

en état d’équilibre, le centre demasse de la plaque coïncide avec le

point d’appui

figure 3.9.1

m 1 m 2

d1 2d

point d'appui figure 3.9.3

Considérons une plaque mince de forme quelconque et de densitéhomogène. À l’aide de l’intégrale définie nous chercherons maintenantà obtenir le centre de masse de cette plaque c’est-à-dire le point d’appuisur lequel la plaque demeure en équilibre.

En se basant sur un principe découvert par Archimède et appelé «la loidu levier», on sait que deux personnes assises aux extrémités d’unebalançoire demeurent en équilibre s’ils sont à une certaine distance dupoint d’appui de la balançoire. Un petit garçon peut contrebalancer ungarçon plus gros si le point d’appui est situé à un endroit bien précis.

figure 3.9.2

Selon le principe d’Archimède si deux masses m1 et m2 sont situéessur une tige (de masse négligeable) de part et d’autre du point d’appuiet que ces masses se trouvent respectivement à des distances d1 et d2 dupoint d’appui alors la tige sera en équilibre si

m1d1 = m2d2

moments statiques Plaçons maintenant la tige sur un axe que nous considérerons être l’axedes x et déposons la masse m1 au point x1, la masse m2 au point x2 et lepoint d’appui au point x.

123 14424430 x

x

m1 m2

x2x1

x - x21x - x

x

figure 3.9.4

La tige sera en équilibre si

m1(x- - x1) = m2(x2 - x-)

m1 x- + m2 x- = m1x1 + m2x2

⇒ x- = m1x1 + m2x2

m1 + m2

Les quantités m1x1 et m2x2 sont appelées les moments statiques (ousimplement moments) des masses m1 et m2 par rapport à l’origine. Enadditionnant les moments des deux masses puis, en divisant le tout parla masse totale, on obtient le centre de masse x- du système.

3.9 Centre de masse


Un système qui possède n particules de masses:

m1, m2, m3, ... , mn

situées sur l’axe des x respectivement aux points:

x1, x2, x3, ... , xn

aura son centre de masse au point

x- = ∑i=1

n

mixi

∑i=1

n

mi

exemple 3.9.1

-4 1 3 8

10 g 45 g 32 g 24 g

0

figure 3.9.5

Trouver le centre de masse d’un système constitué de quatre objetsdont les masses de 10 g, 45 g, 32 g et 24 g sont situées respectivementaux points -4, 1, 3 et 8 de l’axe des x.____________

x- = ∑

i=1

4

mixi

∑i=1

4

mi

= m1x1 + m2x2 + m3x3 + m4x4

m1 + m2 + m3 + m4

= 10(-4) + 45(1) + 32(3) + 24(8)

10 + 45 + 32 + 24

= 293111

= 2,64

Le centre de masse se situe au point 2,64 de l’axe des x.

De la même façon nous pouvons obtenir les coordonnées du centre demasse d’un système à deux dimensions.

Un système qui possède n particules de masses

m1, m2, m3, ... , mn

situées dans un plan cartésien respectivement aux points

(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)

aura son centre de masse au point de coordonnées:

x- = ∑

i=1

n

mixi

∑i=1

n

mi

y- = ∑i=1

n

miyi

∑i=1

n

mi

3.9 Centre de masse


exemple 3.9.2

centre de masse

3 g

8 g

4 g

(3, 2)

(2, -1)

(-1, 1)

figure 3.9.6

Trouver le centre de masse d’un système comprenant trois objets demasses 3 g, 4 g et 8 g situés dans un plan cartésien respectivement auxpoints (-1, 1), (2, -1) et (3, 2).____________

x- = ∑

i=1

3

mixi

∑i=1

3

mi

= m1x1 + m2x2 + m3x3

m1 + m2 + m3 =

3(-1) + 4(2) + 8(3)3 + 4 + 8 = 1,93

y- = ∑i=1

3

miyi

∑i=1

3

mi

= m1y1 + m2y2 + m3y3

m1 + m2 + m3 =

3(1) + 4(-1) + 8(2)3 + 4 + 8 = 1

Le centre de masse se situe au point (1,93; 1) du plan cartésien

centroïde

ℜℜℜℜ

a b x

y

figure 3.9.7

le centroïde de la mince plaque (dedensité uniforme) de la figure 3.9.8

est localisé au point (x, y)

le centroïde d’un fil contenu dans unplan n’est pas nécessairement unpoint du fil (voir la figure 3.9.9)

centroïde

figure 3.9.10

Trouver le centre de masse d’un ensemble fini de points matériels donton connaît les masses relève de l’arithmétique et non pas du calculintégral. Par ailleurs l’évaluation du centre de masse d’une distributioncontinue de matière nécessite l’utilisation de l’intégrale définie.

Considérons maintenant une plaque mince de densité uniforme ρ (rhô)

occupant une région ℜ du plan. Tout au long de cette section nous

supposerons que ρ est constant et que le métal est par conséquentparfaitement homogène. Cherchons à trouver le centre de masse de cetteplaque mince que l’on appelle le centroïde de la région du plan.

figure 3.9.8 figure 3.9.9

Pour obtenir le centroïde d’une région du plan nous utiliserons unprincipe tiré de la physique qui affirme que lorsqu’une région ℜ est

symétrique par rapport à une droite l, le centroïde de la région ℜ se situesur la droite l, Par conséquent le centroïde d’un rectangle est situé enson centre.

De plus, le moment d’une région provenant de l’union de deux régionsqui n’ont pas de points en commun correspond à la somme des mo-ments de chacune des régions.

3.9 Centre de masse


proposition 3.9.1 Soit ℜ la région du plan bornée par la courbe y = ƒ(x) l’axe des x etles droites x = a et x = b. Si ƒ est continue et non négative surl’intervalle [a, b] et l’aire de la région est A alors le centroïde de ℜ est

situé au point (x-, y-) où

x- = 1A ∫

a

b

x ƒ(x) dx et y- = 1A ∫

a

b

12 [ ]ƒ(x)

2dx

démonstration

ℜℜℜℜ

a b x

y

figure 3.9.11

ℜℜℜℜ

a b x

y P (c ,1/2ƒ(c ))i i i

icfigure 3.9.12

mi = ρƒ(ci)∆xixi = ci

Essayons d’obtenir une valeur approchée du centroïde de la région enquestion à l’aide d’une somme intégrale. Pour cela,

• subdivisons d’abord l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur ∆x1, ∆x2, ∆x3, ∆x4, .... , ∆xn ;

• considérons ensuite le point milieu de chaque sous-intervalle,soient c1, c2, c3, ... ,cn les n valeurs ;

• construisons dans chaque sous-intervalle un rectangle de base ∆xi et de hauteur ƒ(ci) ;

On obtient le découpage vertical de la figure 3.9.12 représentant l’ap-proximation polygonale de la région ℜ. Le centroïde du ie rectangle estlocalisé en son centre c’est-à-dire au point

Pi ( )ci, 12 ƒ(ci)

Puisque

x- ≈ ∑

i=1

n

mixi

∑i=1

n

mi

et que la masse d’une mince plaque de densité homogène est égale auproduit de son aire par sa densité, la ie plaque rectangulaire aura doncune masse égale à ρƒ(ci)∆xi.

x- ≈

∑i = 1

n

(ρƒ(ci)∆xi)ci

∑i = 1

n

ρƒ(ci)∆xi

≈

∑i = 1

n

ρciƒ(ci)∆xi

∑i = 1

n

ρƒ(ci)∆xi

3.9 Centre de masse


mi = ρƒ(ci)∆xi

yi = 12

ƒ(ci)

Lorsque n → ∞, on a

x- =

ρ ∫a

b

x ƒ(x) dx

ρ ∫a

b

ƒ(x) dx

= ∫

a

b

x ƒ(x) dx

∫a

b

ƒ(x) dx

De même

y- ≈ ∑

i=1

n

miyi

∑i=1

n

mi

≈ ∑

i=1

n

(ρƒ(ci)∆xi) ( )12 ƒ(ci)

∑i=1

n

(ρƒ(ci)∆xi)

≈

∑i = 1

n

12 ρ [ ]ƒ(ci)2∆xi

∑i = 1

n

ρƒ(ci)∆xi

Lorsque n → ∞, on a

y- =

ρ ∫a

b

12 [ ]ƒ(x)

2dx

ρ ∫a

b

ƒ(x) dx

= ∫

a

b

12 [ ]ƒ(x)

2dx

∫a

b

ƒ(x) dx

D’une façon plus concise, le centre de masse d’une plaque mince ethomogène d’aire

A = ∫a

b

ƒ(x) dx

est situé au point (x-, y-)

x- =

1A ∫

a

b

x ƒ(x) dx et y- = 1A ∫

a

b

12 [ ]ƒ(x)

2dx

3.9 Centre de masse


exemple 3.9.3

l’aire d’un demi-cerclede rayon r = 1 est A = π/2

Trouver le centroïde du demi-cercle d’équation y = √1 - x2 .____________

Il est inutile de calculer x- puisque la région est symétrique par rapportà l’axe des y (la fonction est paire). Le centroïde est situé sur l’axe desy par conséquent x- = 0. On trouve y- à l’aide de la proposition 3.9.1.

y- = 1A ∫

a

b

12 [ ]ƒ(x)

2dx

= 1π2

12 ∫-1

1

( )√1 - x22 dx

= 1π ∫

-1

1

(1 - x2) dx

= 1π

x -

x3

3 1 -1

= 1π .

43 =

43π

Le centroïde est situé au point ( )0, 43π

exemple 3.9.4

centroïde

x

y y = 1 - 1/2x

0

Trouver le centroïde de la région triangulaire bornée par

l’axe des x, l’axe des y et la droite y = 1 - 12 x .____________

rép: (2/3, 1/3)

3.9 Centre de masse


exemple 3.9.5 Trouver le centroïde de la région bornée par l’axe des x, l’axe des y, ladroite x = π/2 et la courbe y = cos x.____________

rép: (π/2 -1, π/8)

proposition 3.9.2 Soit ƒ et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a, b]. Si pour toutevaleur de l’intervalle [a, b] on a ƒ(x) ≥ g(x) alors les coordonnées ducentroïde de la région d’aire A bornée par les courbes des deuxfonctions entre x = a et x = b sont

x- = 1A ∫

a

b

x [ƒ(x) - g(x)]dx ; y- = 1A ∫

a

b

12 [ ](ƒ(x))

2 - (g(x))

2dx

On peut démontrer cette propositionen utilisant une démarche semblableà celle de la proposition 3.9.1. Ladémonstration est laissée à l’étudiant.

figure 3.9.13

P (c , 1/2(ƒ(c ) + g(c )))i i ii

xa b

y

ci

y = ƒ(x)

y = g(x)

exemple 3.9.6 Trouver le centroïde de la région bornée par les courbes

y = x et y = x2 .____________

rép: (1/2, 2/5)

3.9 Centre de masse


centroïde etvolume de révolution

Le centroïde d’une région plane ℜ est étroitement lié au volume dusolide engendré par la rotation de la région ℜ autour d’un axe. Lethéorème de Pappus, mathématicien grec du quatrième siècle, met enlumière cette relation.

proposition 3.9.3théorème de Pappus

Soit ℜ une région du plan. Le volume du solide engendré par la rotationde la région ℜ autour d’une droite (qui ne rencontre pas la région)correspond à la distance parcourue par le centroïde de ℜ pendant sarotation multipliée par l'aire de ℜ.

démonstration

puisque par la proposition 3.9.2

x- = 1A

∫a

b

x [ƒ(x) - g(x)]dx

La démonstration est faite pour le cas où la région ℜ est située entre lescourbes y = ƒ(x) et y = g(x) comme à la figure 3.9.13. L’axe des ycorrespond à l’axe de rotation. À l’aide de la méthode des enveloppescylindriques, on a

V = ∫a

b

2πx[ƒ(x) - g(x)] dx

= 2π ∫a

b

x[ƒ(x) - g(x)] dx

= 2π (x- A)

= (2πx-) A

2πx- correspond à la distance parcourue par le centroïde durant sarotation autour de l’axe des y et A représente l’aire de la région ℜ.

exemple 3.9.7 À l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du tore (beignet)engendré par la rotation d’un cercle de rayon 3 cm autour d’une droitedistante de 5 cm de son centre.____________

rép: 90π2 cm3

3.9 Centre de masse


exemple 3.9.8 Soit la région hachurée

-1 1 2 3

1

2

3

4

a) Trouver le centroïde de cette région.b) Trouver le volume du solide engendré par la rotation de cette région

autour• de l’axe des x,• de la droite x = 3.

____________

rép: a) (2/3; 5/3) ; b) 40π ; 56π

3.9 Centre de masse


Exercices 3.9

1. Trouver le centroïde d’un système

on suppose que les objets ontune densité homogène

a) constitué de deux objets dont les masses de 4 g et 8 g sont situées respectivement aux points (-1, 2) et (2, 4),

8 g

4 g

b) constitué de trois objets dont les masses de 2 g , 1 g et 3 g sont situées respective-ment aux points (5, 1) , (4, -2) et (-2, 4),

1 g

2 g

3 g

c) constitué de quatre objets dont les masses de 3 g , 4 g , 6 g et 8 g sont situées respectivement aux points (0, 0), (1, 5) , (3, -4) et (-3, -2). 8 g

3 g

4 g

6 g

2. Trouver le centroïde de la région bornée par les courbes

a) y = x2 , y = 0 , x = 2

b) y = 1 - x2 , y = 0

c) y = 2x + 1 , y = 0 , x = 0 , x = 1

d) y = 1

x - 1 , y = 0 , x = 2 , x = 4

e) y = sin x , y = 0 , x = π/2 (entre x = 0 et x = π/2)

f) y = ex , y = 0 , x = 0 , x = 1

g) y = ln x , y = 0 , x = e

h) y = √ x , y = x

i) y = sin x , y = cos x , x = 0 , x = π/4

3.9 Centre de masse


3. À l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du solideengendré par la rotation des formes géométriques suivantes,• autour de l’axe des x ; • autour de l’axe des y.

a)

1

1

b)

1

1

4. Trouver le centroïde de la régionhachurée puis à l’aide du théorèmede Pappus, trouver le volume dusolide engendré par la rotation dela région hachurée autour

a) du segment AB ,

b) du segment AC .

2

2

3

6

13

A B

C

5. Trouver le centroïde de la région bornée par les courbes

y = √ x , y = 0 , x = 4puis, à l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du solideengendré par la rotation de cette région


6. Démontrer la proposition 3.9.2.

3.9 Centre de masse


Réponses aux exercices 3.9

1. a) ( )1 , 103

b) ( )43 , 2

c) ( )-221 , -20

21

2) a) ( )32 , 65

b) ( )0 , 25

c) ( )712 , 13

12

d) ( )2 + ln 3ln 3 , 1

3 ln 3

e) ( )1 , π8

f) ( ) 1e - 1 , e + 1

4

g) ( ) e2 + 14 , e - 2

2

h) ( )25 , 12

i)

π√ 2 - 4

4(√ 2 - 1) , 1

4(√ 2 - 1)

3 a) 32π2 (autour de l’axe des x) 16π2 (autour de l’axe des y)b) 36π (autour de l’axe des x) 12π (autour de l’axe des y)

4. le centroïde de la région est situé au point ( )2910

; 1

a) 20π b) 58π

5. le centroïde de la région est situé au point ( )125

, 34

a) 8π b)128π

5

6.


Problèmes de révision

(subdiviser l’intervalle en partieségales et utiliser le

point supérieurde chaque sous-intervalle pour

représentant )

1. Évaluer les intégrales suivantes en les considérant comme la limite d’une somme. (Ne pas utiliser la formule de Newton et deLeibniz)

a) ⌡⌠

0

2

(1 + 2x) dx b) ⌡⌠

1

3

(2x - 3) dx

2. Évaluer, si elles existent, les intégrales suivantes:

a) ⌡⌠

√ 3

2

√4 - x2

x2 dx d) ∫√ e

∞

x ln x dx

b) ⌡⌠

0

4

dx

(x - 2)2/3 e) ∫

- ∞

∞

x e-2x dx

c) ⌡⌠

0

e

ln x dx f) ⌡⌠

3

∞

dx

x√x - 2

3. Calculer l’aire de la surface délimitée par y = √ x, la droite tangente à cette courbe au point (9,3) et l’axe des x.

4. Considérer la région bornée par les courbes d’équations:

y = 6x - x2 et y = x + 4

a) Calculer l’aire de cette région.b) Calculer le volume engendré par la rotation de cette région

autour dei) l’axe des y,ii) la droite x = 3,iii) la droite y = -1.


5. Considérer la région bornée par les courbes d’équations:

x = 3y2 - 9 , x = 0 , y = 0 , y = 1a) Calculer l’aire de cette région.b) Calculer le volume engendré par la rotation de cette région

autour de

i) la droite x = 1,ii) la droite y = 2.

6. Considérer la région non bornée entre les courbes d’équations:

y = e-x , y = 0 et à droite de x = 0.

a) Calculer l’aire de cette région,b) Calculer le volume engendré par la rotation de cette région

autour dei) l’axe des x,ii) l’axe des y.

7. Calculer la longueur d’arc de la courbe définie par les courbes d’équations:

a) y = √9 - x2 pour 0 ≤ x ≤ 3,

b) y = x2

2 - ln x

4 pour 1 ≤ x ≤ e,

c) 6xy = x4 + 3 pour 1 ≤ x ≤ 2.

8. Considérer la région située dans le quatrième quadrant,comprise entrey = ln cx (c > 0) , l’axe des x

et l’axe des y.

Si le volume engendré par la rotation de cette région autour de la droite y = 1 est de 4π, déterminer la valeur de c en utilisant la méthode des enveloppes cylindriques. y = ln cx

1


Réponses aux problèmes de révision

1. a) 6 b) 2

2. a)1

√ 3 -

π6 d) diverge

b) 6√3

2 e) diverge

c) 0 f) √ 2

π2 - arctg

√ 2

2

3. 9

4. a) V ∫1

4

((6x - x2) - (x + 4)) dx

b) i) E ∫1

4

2πx((6x - x2) - (x + 4)) dx

ii) E ∫1

3

2π (3 - x)((6x - x2) - (x + 4)) dx

iii) D ∫1

4

π (((6x - x2) - (-1))2 - ((x + 4) - (-1))2) dx

5. a) H ∫0

1

(0 - (3y2 - 9)) dy

b) i) D ∫0

1

π((1 - (3y2 - 9))2 - (1 - 0)2) dy

ii) E ∫0

1

2π (2 - y)(0 - (3y2 - 9)) dy

6. a) 1

b) i) π2 b) ii) 2π


7. a)3π2 b)

e2

2 - 14 c)

1712

8. c = 1

3.1 La notation sigma L’intégrale définie...

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