26 Espaces vectoriels

K désigne R ou C

26.1 Généralités

Exercice 398 Considérons les parties de R4 constituées des éléments (x, y, z, t ) telsque x + y + z + t = 0 et, respectivement

1. z = 0

2. 2x +3y = 0

3. x +2y = 0 et 5x − z = 0

4. x = 0 ou y = 0

5. z = 1

Quelles sont celles qui sont des sous-espaces vectoriels ? Le cas échéant, déterminerune base.

Exercice 399 Dans chacun des cas suivants examiner si E est un sous-espace vecto-riel de R3 et donner une base de E le cas échéant :

1. E = {(x,2x + y,0)/(x, y) ∈R2}

2. E = {(y,0, x + y)/(x, y) ∈R2}

3. E = {(x, y +1, x)/(x, y) ∈R2}

4. E = {(x, x2, y)/(x, y) ∈R2}

5. E = {(x3, y, z)/(x, y, z) ∈R3}

6. E = {(x, y, y +1)/(x, y) ∈R2}

7. E = {(x, y2)/(x, y) ∈R2}

Exercice 400 On munit R2 de l’addition usuelle et de la loi externe λ(x, y) = (λx, y).Est-ce un R-espace vectoriel ?

Exercice 401 Montrer que{(x, y, z) ∈R3/x + y + z = 0 et 2x − y +3z = 0

}est un sous-

espace vectoriel de R3.

Exercice 402 On pose dans R3 :

P1 = vect((2,3,−1), (1,−1,−2)) et P2 = vect((3,7,0), (5,0,−7))

Montrer que P1 = P2.

Exercice 403 Dans R3, (-14,1,19) est-il combinaison linéaire des vecteurs (-1,2,5) et(4,1,-3) ?

Exercice 404 Dans R3 (2,1,0), (-2,1,0) et (1,2,3), (-2,-4,-6) engendrent-ils le mêmesous-espace vectoriel ? Même question avec (-1,3,2), (0,-4,1) et (1,1,-3), (2,-2,-5).

Exercice 405 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F∪G estun sous-espace vectoriel de E ssi (F ⊂ G ou G ⊂ F).

72

Exercice 406 Soient E1,E2,E3 trois sous-espaces vectoriels de E tels que E1 ⊂ E3.Montrer que E1 + (E2 ∩E3) = (E1 +E2)∩E3.

Exercice 407 Dans R3, E est le sous-espace engendré par (1,-1,0) et (0,1,1), F est en-gendré par (1,0,1) et (0,1,1). Trouver un ensemble de générateurs de E∩F.

Exercice 408 Soient (e j )1≤ j≤n des vecteurs linéairement indépendants d’un espacevectoriel E. Soit u un élément de E. Montrer que {(e j )1≤ j≤n ,u} est une partie libre siet seulement si u n’appartient pas au sous-espace vectoriel engendré< (e j )1≤ j≤n ,u >.

Exercice 409 Soit E = C ([0,1],R). Montrer que { f ∈ E/∫ 1

0 f (t )dt = 0} est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 410 Soit E =C (R,R). Montrer que F = { f ∈ E/∀(x, y) ∈R2, f (x+y) = ex f (y)+ey f (x)} est un sous-espace vectoriel de E. Soit E′ la partie de E formée des fonctionsdérivables. Montrer que E′ et E′∩F sont des sous-espaces vectoriels de E. DéterminerE′∩F puis F.

Exercice 411 Soit E = C (R,R). Montrer que l’application u de E dans E définie paru : f 7→ u( f ) où pour tout x réel u( f )(x) = f (x)+ f (2x) est linéaire. Montrer que{ f ∈ E/u( f ) = 0} est un sous-espace vectoriel de E, pouvez-vous trouver une partiegénératrice ?

Exercice 412 Parmi les parties suivantes de F (R,R) déterminer lesquels sont dessous-espaces vectoriels :

1. Les fonctions continues

2. Les fonctions positives

3. Les fonctions paires

4. Les fonctions périodiques

5. Les fonction croissantes

6. Les fonctions monotones

7. Les fonctions dérivables

Exercice 413 Soient`∞ l’espace vectoriel des suites réelles bornées, K le sous-ensembledes suites stationnaires, `0 le sous-ensemble des suites qui convergent vers 0.

Question 413.1 Montrer que K et `0 sont des sous-espaces vectoriels de `∞.

Question 413.2 Déterminer K∩`0 et K+`0

Exercice 414 Soit E = C 1(R,R) et F = {f ∈ E/ f (0) = f ′(0) = 0

}. Montrer que F est un

sous-espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.

73

26.2 Bases

Exercice 415 Soient E1 et E2 les parties de R4 définies par

E1 = {(x, y, z, t )/x−y = z−t = 0} et E2 = {(x, y, z, t )/3x−2y+4z+t = x+y−3z−2t = 0}

Montrer que ce sont des sous-espaces de R4 et exhiber des bases de E1 et E2.

Exercice 416 Les vecteurs suivants sont-ils linéairement indépendants dans R4 ?– (2,-5,2,-3), (-1,-3,3,-1), (1,1,-1,0), (-1,1,0,1)– (2,-3,0,4), (6,-7,-4,10), (-1,1,0,1)– (1,1,1,1), (1,2,3,4), (1,4,9,16), (1,8,27,64)– (1,2,1,3), (2,-1,2,1), (1,1,1,2), (0,1,0,1)

Exercice 417 Compléter {(1,-1,2,3), (3,0,4,-2)} en une base de R4

Exercice 418 Trouver un sous-ensemble maximal de vecteurs linéairement indé-pendants de

{(2,−3,0,4), (−1,3

2,0,−2), (1,−1,2,1), (6,−7,8,8)}

Exercice 419 (p

(3) − 2,p

(3) + 2) et (−1,7 + 4p

(3)) sont-ils linéairement indépen-dants ?

Exercice 420 Dans R3 la famille {~u,~v , ~w} est-elle libre, génératrice ?

1. ~u = (1,0,1), ~v = (0,1,1), ~w = (1,1,0)

2. ~u = (1,1,2), ~v = (2,1,1), ~w = (1,0,−1)

3. ~u = (5,0,1), ~v = (1,2,3), ~w = (2,−1,−1)

Exercice 421 Soient, dans R4

e1 = (1,−1,2,−3), e2 = (1,1,2,0), e3 = (3,−1,6,−6), e4 = (0,−2,0,−3), e5 = (1,0,1,0)

S =< e1,e2,e3 > et T =< e4,e5 >. Trouver des bases (et donc les dimensions) de S, T,S∩T et S+T.Même question avec

e1 = (2,3,4,−1,−2,1) e2 = (1,1,2,1,3,1) e3 = (0,−1,0,3,6,2)e4 = (2,1,3,−1,4,−1) e5 = (−1,1,−2,2,−3,3) e6 = (1,5,0,4,−1,7)

et S =< e1,e2,e3 >, T =< e4,e5,e6 >

Exercice 422 Soient f (x) = cos(x), g (x) = cos(x)cos(2x) et h(x) = sin(x)sin(2x). Dé-terminer une base de Vect( f , g ,h).

Exercice 423 Quel est le rang de {(1+ i),1, i), (i,−1,1− i), (2+ i,0,−i)} dans C3 ?

Exercice 424 Calculer le rang de(2,-3,4,-1), (1,2,-1,2), (3,-1,2,-3), (3,-1,1,-7) dans R4

74

Exercice 425 Soient α et β dans C, On pose

e1 = (α,−α,β,−β) e2 = (α,−α,β,β)

e3 = (β,β,α,α) e4 = (β,−β,α,α) e5 = (1,1,1,1)

Calculer les rangs de (e j )1≤ j≤5 et de (e j )1≤ j≤4

Exercice 426 Soit α dans C, On pose

e1 = (1,α,−α2,α3), e2 = (α,α2,α3,1)

e3 = (α2,α3,1,α), e4 = (α3,1,α,α2), e5 = (1,1,1,1)

Calculer le rang de {e1,e2,e3,e4,e5} (discuter suivant α).

Exercice 427 Soient E = K[X] et (P j )1≤ j≤n des polynômes non nuls vérifiant l’unedes conditions

1. les degrés sont deux à deux distincts ;

2. les valuations sont deux à deux distinctes.

Montrer qu’alors (P j )1≤ j≤n est une partie libre.

Exercice 428 Soit a un réel. Trouver un supplémentaire dans R[X] du sous-espacevectoriel Va des polynômes P tels que P(a) = 0. Donner une base de V1 ∩V2

Exercice 429 Soient a un réel, I = [a,+∞[ et E le R-espace vectoriel des fonctionsdéfinies sur I. Dans chacun des cas suivants, étudier l’indépendance des ensembles{ fα/α ∈ A} de vecteurs.

Question 429.1 A =C et fα(x) = eαx

En déduire :

Question 429.2 a > 0, A =C et fα(x) = xα

Question 429.3 a > 1, A =C et fα(x) = | ln x|α

Exercice 430 E =F (R,C), montrer que {einx /n ∈Z} et {cos(nx), sin(nx)/n ∈ N} sontdes parties libres.

Exercice 431 Soient n éléments c j distincts deux à deux dans K. Montrer que {(X−c j )n/1 ≤ j ≤ n} est une partie libre deK[X].Cet exercice se généralise aux fonctions définies sur un intervalle I de R avec {|X−c|α/c ∈R, α ∈C}

Exercice 432 Soit A une partie non vide de R, E = F (A,R). Soit f dans E telle que] f (A) =∞. Montrer qu’alors ( f n)n∈N est une partie libre de E.

Exercice 433 Soient (α j )1≤ j≤n des réels deux à deux distincts et (λ j )1≤ j≤n des réelsnon tous nuls. Montrer que l’ensemble des réels x positifs tels que

∑1≤ j≤n λ j xα j = 0

a au plus n éléments (procéder par récurrence et utiliser le théorème de Rolle).

75

Exercice 434 Montrer que B = {t 7→ 1[a,x](t )/x ∈]a,b]}∪ {t 7→ 1{x}/x ∈ [a,b]} est unebase de l’espace vectoriel des fonctions en escalier sur [a,b].

Exercice 435 Montrer que B = {t 7→ |t − c|/c ∈ [a,b]} est une base de l’espace vecto-riel des fonctions affines par morceaux sur [a,b].

Exercice 436 Montrer que {sin x, sin x2, sin x3} est une partie libre de fonctions surR.

Exercice 437 Montrer que {∏

0≤k≤m(X−k)/0 ≤ m ≤ n} est une base de E =Kn[X].

26.3 Applications linéaires

Exercice 438 Dans chacun des cas suivants, f est une application de R2 dans R2 ouR. Trouver les applications linéaires.

f (x, y) = 2x f (x, y) = 2x +3yf (x, y) = x

y2+1f (x, y) = x2 + y

f (x, y) = x −2y −1 f (x, y) = (x − y,3x +5y)

Exercice 439 Déterminer les images et noyaux des applications linéaires f , g et h :

1. f ∈L (R2,R3) :f : (x, y) 7→ (x + y,2x +3y,−3x + y)

2. g ∈L (R3,R2) :g : (x, y, z) 7→ (x +3y +3z,3x + y −4z)

3. h ∈L (R3,R3) :

h : (x, y, z) 7→ (x + y − z,2x +3y +4z,3x + y − z)

Exercice 440 Soient E = R[X], a un réel et φ l’application de E dans lui-même qui àP associe le polynôme P(X)+ (aX+1)P′(X). φ est-elle linéaire ? surjective ? injective ?(discuter suivant a).

Exercice 441 Soit E =K[X], montrer que–

∑n≥0 anXn 7→∑

n≥0 anX2n est injective mais pas surjective–

∑n≥0 anXn 7→∑

n≥0(a2n +a2n+1)Xn est surjective mais pas injective

Exercice 442 Soit E =K[X], étudier l’injectivité et la surjectivité des endomorphismesφ : P 7→ P−P′ et ψ : P 7→ Q où Q est le polynôme défini par l’intermédiaire des fonc-tions polynômes par Q(x) = ex (e−x P(x))′.

Exercice 443 Soient E unK-espace vectoriel et f un endomorphisme involutif de E.Montrer que :

Ker( f − i dE) = Im( f + i dE)

Ker( f + i dE) = Im( f − i dE)

Ker( f − i dE)⊕ Ker( f + i dE) = E

76

Exercice 444 Soient E un K–espace vectoriel et f un endomorphisme tel que f 2 +f −2i dE = 0. Montrer que :

E = Ker( f − i dE)⊕ Ker( f +2i dE)

Exercice 445 Soient E =R2[X], E? =L (E,R) et les éléments f0, f1, f2 de E∗ :

f0 : P 7→ P(0); f1 : P 7→ P(1); f2 : P 7→ P(2)

Question 445.1 Montrer que { f0, f1, f2} est une base B de E∗

Question 445.2 Soit φ : P 7→ ∫ 20 P(t )d t . Calculer les coordonnées de φ dans B (for-

mule de Simpson).

Exercice 446 Soit E = Kn[X], calculer les coordonnées de Xm (0 ≤ m ≤ n) dans labase {(X−1)k /0 ≤ k ≤ n}.

Exercice 447 Soit E unK–espace vectoriel.

Question 447.1 Montrer que l’endomorphisme p est un projecteur si et seulementsi i dE −2p est une involution.

Question 447.2 Soient p et q deux projecteurs, montrer que p+q est un projecteursi et seulement si p ◦q = q ◦p = 0 (ou ssi p ◦q +q ◦p = 0).

Exercice 448 Soient E =Kn[X], l’endomorphisme f : P 7→ f (P) de E défini par :

f (P)(X) = P(X+1)+P(X−1)−2P(X)

Déterminer l’image et le noyau de f .

Exercice 449 Soient f et g deux endomorphismes d’un K–espace vectoriel E telsque f ◦ g = g ◦ f , montrer que :

f ( Kerg ) ⊂ Kerg ; f ( Img ) ⊂ Img

Exercice 450 Soient f et g dans le dual E∗ =L (E,K) d’unK-espace vectoriel E telsque g |ker f = 0. Montrer qu’il existe un scalaire λ tel que g = λ f .

Exercice 451 Soit φ l’endomorphisme de Rn[X] défini par φ(P)(X) = P(1−X). Déter-miner les vecteurs x tels que φ(x) soit colinéaire à x.

Exercice 452 Soient a, b, c trois réels distincts deux à deux et u l’endomorphismede R2[X] qui, à un polynôme P associe le reste de la division de X3P(X) par (X−a)(X−b)(X − c). Soit λ un réel. À quelle condition l’équation : u(P) = λP admet-elle dessolutions non nulles ?

77

Exercice 453 Soient E un C–espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel quef 3 = i dE. Posons Am = {x ∈ E/ f (x) = j m x}. Montrer que

E = A0 +A1 +A2

Déterminer (A0 +A1)∩A2.

Exercice 454 Soit p un entier positif, K[Xp ] est l’espace vectoriel des polynômes Pde la forme Q(Xp ) où Q est dansK[X].

Question 454.1 Calculer dimK[Xp ]∩Kn[X]

Question 454.2 Montrer que tout élément P deK[X] s’écrit de manière unique sousla forme

P(X) = ∑0≤k≤p

Qk (Xp )

où pour tout k, Q est dansK[X].

Question 454.3 Soit P dans C[X]. Montrer que P est dans C[Xp ] si et seulement si

P(e2iπ

p X) = P(X).

Question 454.4 Démontrer que h : P 7→ 1p

∑0≤k≤p−1 P(e

k2iπp X) est un endomorphisme

de C[X] et donner sa nature.

Exercice 455 Soient f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. Montrer queker( f ) ⊂ ker(g ◦ f ) et Im(g ◦ f ) ⊂ Im(g ).

Exercice 456 Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦g = g ◦ f . Montrerque ker( f ) et Im( f ) sont stables par g .

Exercice 457 Soit f ∈ L (E) telle que f 3 = f 2 + f + i d . Montrer que f est un auto-morphisme.

Exercice 458 Soit f ∈L (E) telle que f 3 = f 2+ f . Montrer que E = ker( f )⊕Im( f ) (onremarquera que f ◦ ( f 2 − f − i d) = 0).

Exercice 459 Soient p et q deux projecteurs de L (E).

1. Montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes :

i. p +q est un projecteur.

ii. p ◦q +q ◦p = 0.

iii. p ◦q = q ◦p = 0.

2. On suppose désormais que l’une de ces conditions est réalisée. Montrer queIm(p) ⊂ ker(q) et Im(q) ⊂ ker(p).

3. Montrer que ker(p +q) = ker(p)∩ker(q).

4. (*) Montrer que Im(p +q) = Im(p)⊕ Im(q).

Exercice 460 Soit f ∈L (E). Montrer que ker f ∩ Im f = f (ker f ◦ f ).

78

Exercice 461 Soit

f : R2 → R2

f : (x, y) 7→ 13 (−x +2y,−2x +4y)

Déterminer l’espace invariant par f et un vecteur non nul u colinéaire à son image.En déduire la nature de f .

Exercice 462 Montrer que F est un sous-espace de l’espace vectoriel E puis déter-miner une bases et la dimension de F si :

1. F = {u ∈ `(K)/∀n ≥ 0 : un+2 = 5un+1 −6un} ;

2. F = { f ∈ C∞(R,R)/ f ′′ = f ′+2 f }.

79

27 Matrices et déterminants

Sauf mention du contraire, le corps de base est C.

27.1 Matrices

Exercice 463 Calculer les matrices des applications linéaires f , g et h relativementaux bases canoniques :

1. f ∈L (R2,R3) :f : (x, y) 7→ (x + y,2x +3y,−3x + y)

2. g ∈L (R3,R2) :g : (x, y, z) 7→ (x +3y +3z,3x + y −4z)

3. h ∈L (R3,R3) :

h : (x, y, z) 7→ (x + y − z,2x +3y +4z,3x + y − z)

Exercice 464 Parmi les six matrices :

A =−1 8 5

9 −6 −23 1 7

, B =(9 0 −21 −2 −1

)

C = 9 1−2 11 −3

, D =(−1 0 2

8 −4 6

)

E = (5 −1 4

), F =

5−34

déterminer tous les couples de matrices composables, et effectuer les calculs.

Exercice 465 Soit A =−1 5 3

0 1 40 0 2

. Calculer An en fonction de n (n ∈Z).

Exercice 466 Soit A =1 −5 3

0 1 20 0 1

.

Question 466.1 Calculer An en fonction de n (n ∈Z).

Question 466.2 Calculer le réel λ tel que (A−λI)3 = 0.

Question 466.3 En déduire des réels a2, a1, a0 tels que :

A3 +a2A2 +a1A+a0I = 0

puis A−1 en fonction de A.

80

Exercice 467 Soit A =2 3 5

2 5 73 5 7

. Montrer qu’il existe des suites réelles (un), (vn) et

(wn) telles que pour tout n ≤ 0 :

An = unA2 + vnA+wnI

Exercice 468 Soit A =0 1 1

1 0 11 1 0

.

Question 468.1 Montrer qu’il existe une base (e) = {e1,e2,e3} deR3 et des réels λ1,λ2,λ3

tels que pour tout j : Ae j = λ j e j .

Question 468.2 Soit a l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base cano-nique est égale à A. Calculer la matrice de a dans la base (e).

Question 468.3 Calculer, en fonction de l’entier n, la matrice de a dans la base (e).

Question 468.4 En déduire An en fonction de n.

Question 468.5 Même question avec B =−3 1 4

0 2 0−2 1 3

puis C =1 1 1

1 2 11 1 3

.

Question 468.6 Même question, dans R2 avec R =(cos(θ) εsin(θ)sin(θ) cos(θ)

)où ε=±1 (dis-

cuter suivant les valeurs de θ).

Exercice 469 Résoudre l’équation

X2 =(1 11 0

)Exercice 470 Parmi les matrices suivantes déterminer celles qui sont inversibles etcalculer les inverses (le cas échéant, discuter suivant les valeurs des paramètres) :1 a a2

0 1 a0 0 1

1 2 30 1 20 0 1

1+a1 1 11 1+a2 11 1 1+a3

−2a 2 3

3 a 51+a 2 1

1 a a2

1 b b2

1 c c2

49 25p

321 15 π−14 −10 e

Exercice 471 Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme de C3 dont lamatrice, dans la base canonique, est :a2 ab ac

ab b2 bcac bc c2

Discuter suivant la valeur des paramètres.

81

Exercice 472 Soient a1, a2, a3 trois nombres complexes,

A =a1 a2 a3

a2 a3 a1

a3 a1 a2

et P =

((e

2iπ j k3 )1≤ j≤3

1≤k≤3

). Calculer tPP puis P−1AP.

Exercice 473 Soit A =1 1 0

3 1 24 2 2

. Trouver une matrice 3×3 non nulle telle que AB =

0.

Exercice 474 Dans R2 on considère D = Vect((1,3)) et D′ = Vect((−2,4)). Montrerque R2 = D⊕D′. Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection vec-torielle sur D de direction D′.

Exercice 475 DansR3 rapporté à la base canonique, on considère le plan (P) d’équa-tion x + y +3z = 0 et la droite (D) d’équation{

x = 3zy = 2z

Déterminer :– la matrice A de la projection vectorielle p sur (P) de direction (D) ;– la matrice B de la symétrie vectorielle s par rapport à (P) de direction (D) ;– la matrice C de la projection vectorielle p ′ sur (D) de direction (P) ;– la matrice E de la symétrie vectorielle s′ par rapport à (D) de direction (P).

Exercice 476 DansR3 rapporté à la base canonique, on considère le plan (P) d’équa-tion 2x− y +z = 0 et la droite (D) engendrée par le vecteur a = (1,2,−1) Déterminer :

– la matrice A de la projection vectorielle sur (P) parallèlement à (D) ;– la matrice B de la symétrie vectorielle par rapport à (P) de direction (D) ;– la matrice C de la projection vectorielle sur (D) de direction (P) ;– la matrice E de la symétrie vectorielle par rapport à (D) de direction (P).

Exercice 477 Soit E =R3[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réelsde degré au plus 3. On considère les endomorphismes suivants :

u : E → E v : E → EP 7→ P(X−2) P 7→ (X+1)P′

Si λ ∈ R, on note Mλ la matrice de u +λv dans la base canonique. Déterminer Mλ etle rang de u +λv en fonction de λ.

Exercice 478 Image et noyau de l’endomorphisme v deR3 de matrice A dans la basecanonique :

A = 1 1 −1

−3 −3 3−2 −2 2

.

82

Montrer que dans une base de R3 bien choisie que l’on précisera, la matrice de v est

A′ = 0 1 0

0 0 00 0 0

.

Montrer que dans une base de R3 bien choisie, la matrice de v est

A′′ = 0 0 1

0 0 00 0 0

.

Exercice 479 Soit E =R3[X] et

f : E −→ EP 7−→ P(X+2)+P(X)−P(X+1)

Vérifier que f (E) ⊂ E et que f ∈L (E).Déterminer ker f et Im f .Peut-on trouver une base B de E sur laquelle la matrice de f est :

M =

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

.

Exercice 480 On pose

A =(

2 −8 01 2 7

).

Trouver une matrice B ∈M3,2(R) telle que AB = I2. La matrice B est-elle unique ?Existe-t-il C ∈M3,2(R) telle que CA = I3 ?

Exercice 481 Soit n ∈N∗ et ω= exp(2iπ/n). On définit les matrices A = (ai , j ) et B =(bi , j ) ∈Mn(C) par :

ai , j =ω(i−1)( j−1) et bi , j =ω−(i−1)( j−1).

Calculer A2, B2, AB, BA. Déterminer A−1.

Exercice 482 Déterminer le rang des matrices suivantes :

A = 1 2 3

−1 2 41 6 10

, B =

1 −1 1−1 1 11 −2 11−1 2 3

,

C = 0 m −1

m 2 m−1 0 1

, D =

t 2 −1 70 t

p2 −1

0 0 2+ t 30 0 0 1+ t

E = 0 r −q

−r 0 pq p 0

, F = 4 5 −1 6

2 −1 3 −4−1 1 −2 3

83

Exercice 483 Image et noyau de l’endomorphisme u deR3 de matrice A dans la basecanonique :

A = 2 −1 −1

−1 2 −1−1 −1 2

.

Caractériser u géométriquement.

Exercice 484 Soient A et B deux matrices carrées de taille n telles que AB = 0 et A+Best inversible. Montrer que rangA+ rangB = n.

Exercice 485 On considère la matrice

A =

1 −1 −1 −30 1 3 1−1 1 1 31 0 2 −2

On note u l’endomorphisme de R4 de matrice A dans la base canonique.

1. Déterminer une base de Im u et le rang de u.

2. Déterminer une base de keru.

3. Montrer que R4 = Imu ⊕keru.

Exercice 486 On considère (Ei , j )1≤i≤n, 1≤ j≤n la base canonique de Mn(K). Si i 6= j etλ ∈K, montrer que In +λEi , j est inversible et donner son inverse. Que peut-on diresi i = j ?

Exercice 487 1. Soit n ∈N,n ≥ 2. Soit A = (ai , j ) ∈Mn(R) avec ai , j = Ci−1j−1 avec les

conventions habituelles. Montrer A est inversible.

2. En considérantf :Rn−1[X] →Rn−1[X],P 7→ P(X+1),

déterminer l’inverse de A.

Exercice 488 Soit la matrice

A =(

3 21 4

).

1. Déterminer deux réels α et β tels que

A2 +αA+βI2 = 0.

2. En déduire que A est inversible, et calculer A−1.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2+αX+β pour n ∈N.

4. En déduire la valeur de An pour tout n ∈N.

Exercice 489 Déterminer An et Bn , si on pose

A = 2 0 0

0 2 00 0 −1

et B = 2 0 0

0 1 30 0 1

.

84

Exercice 490 Soit n ∈N∗. Une matrice N de Mn(R) est nilpotente s’il existe un entierp tel que Np = 0. Si N est nilpotente, montrer que In +N est inversible.

Montrer que les matrices N suivantes sont nilpotentes et déterminer (I3 +N)−1 : 0 4 10 0 20 0 0

,

1 0 −1−2 0 21 0 −1

.

Exercice 491 On considère la matrice

A = 1 1 1

0 1 10 0 1

.

Calculer An . On remarquera que A− I3 est nilpotente.

Exercice 492 On considère le corpsK=R ou C. Soit J = (1) ∈ Mn(K).

1. Calculer J2 puis Jp pour p ∈N. J est-elle inversible ?

2. Soit A = (ai , j ) avec ai ,i = 0 et ai , j = 1 si i 6= j . Montrer que A est inversible etcalculer A−1.

Exercice 493 On considère la base canonique B = (1,X,X2,X3) de R3[X].a) montrer que la famille

B′ = (1,X,X(X−1),X(X−1)(X−2))

est une base de R3[X].

1. Déterminer la matrice de passage P de B à B′.2. Déterminer la matrice de passage Q de B′ à B.

3. Soit u l’endomorphisme de dérivation. Déterminer la matrice A de u dans labase B puis la matrice A′ de u dans la base B′.

Exercice 494 Soit u l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canoniqueB est

A = 2 1 1

−1 0 21 2 −1

On pose e ′1 = (1,0,1), e ′2 = (−1,0,2) et e ′3 = (1,2,1). Vérifier que B′ = (e ′1,e ′2,e ′3) est

une base de R3. Déterminer la matrice A′ de u dans la base B′.

Exercice 495 Soit u l’endomorphisme de R4 dont la matrice sur la base canonique(ε1,ε2,ε3,ε4) est

M =

0 1 5 92 1 6 80 0 0 30 0 1 −2

.

On considère les vecteurs suivants deR4 : e1 = (−13,−37,3,1), e2 = (−1,1,0,0), e3 =(1,2,0,0) et e4 = (−7,1,−5,5). Montrer que B = (e1,e2,e3,e4) est une base de R4. Dé-terminer la matrice M′ de u dans la base B.

85

Exercice 496 Soient α,β,γ trois réels. On considère l’endomorphisme f de R3 dontla matrice dans la base canonique (ε1,ε2,ε3) est

A = α2 αβ αγαβ β2 βγαγ βγ γ2

.

Rang de f ? Image ? Noyau ? Déterminer une base dans laquelle la matrice de f estsimple. En déduire An .

Exercice 497 Soit G =

2x 0 00 1 x0 0 1

, x ∈R. Montrer que G est un groupe multi-

plicatif.

Exercice 498 Soit A(θ) =(cosθ −sinθsinθ cosθ

)pour θ ∈R. Calculer An(θ) pour n ∈Z.

Exercice 499 Soit A =

0 . . . 0 1... 1 0

0 1...

1 0 . . . 0

. Les «1» sont sur la seconde diagonale. En

utilisant l’application linéaire associée, de L (Kn ,Kn), calculer Ap pour p ∈Z.

Exercice 500 Même chose avec A =

0 1 . . . 0...

. . .. . .

......

. . . 10 . . . . . . 0

.

Exercice 501 Soit J = (1) ∈ Mn(K).

1. Calculer Jp pour p ∈N.

2. J est-elle inversible ?

3. Soit A = (ai , j ) avec ai ,i = 0 et ai , j = 1 si i 6= j . Montrer que A est inversible etcalculer A−1.

Exercice 502 Soit A = 0 0 0−2 1 −12 0 2

.

1. Calculer A3 −3A2 +2A.

2. Quel est le reste de la division euclidienne de Xn par X3 −3X2 +2X ?

3. Calculer An pour n ∈N.

4. A est-elle inversible ?

Exercice 503 Déterminer la matrice de la projection de R2 sur R~i de direction R(~i +~j ) dans la base (~i +~j ,~j ) puis (~i ,~j ).

86

Exercice 504 Soient A et B ∈ Mn(K) telles que ∀X ∈ Mn(K) tr(AX) = tr(BX). Montrerque A = B.

Exercice 505 Que peut-on dire d’une matrice A ∈ Mn(R) qui vérifie tr(AtA) = 0 ?

Exercice 506 Soit f ∈ L (R3) de matrice

3 −1 10 2 01 −1 3

dans la base canonique. Dé-

terminer la matrice de f dans la base (1,0,−1), (0,1,1), (1,0,1).

Exercice 507 Soit f l’endomorphisme de R2 de matrice

(2 2

3− 5

2 − 23

)dans la base ca-

nonique. Soient e1 = (−2,3) et e2 = (−2,5).

1. Montrer que (e1,e2) est une base de R2 et déterminer mat( f ,e).

2. Calculer An pour n ∈N.

3. Déterminer l’ensemble des suites réelles qui vérifient

∀n ∈N{

xn+1 = 2xn + 23 yn

yn+1 =− 52 xn − 2

3 yn

Exercice 508 Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈L (E)− {0} telle que

f 2 = 0. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de f est

0 0 01 0 00 0 0

.

Exercice 509 Soit E = vect(AB−BA,(A,B) ∈ Mn(K)2).

1. Montrer que E = ker tr (pour l’inclusion non triviale, on trouvera une base deker tr formée de matrices de la forme AB−BA).

2. Soit f ∈ Mn(K)∗ telle que ∀(A,B) ∈ Mn(K)2 f (AB) = f (BA). Montrer qu’il existeα ∈R tel que f =αtr.

Exercice 510 Soient A =(1 10 1

)et

Φ : M2(R) → M2(R)Φ : M 7→ AM−MA

Montrer queΦ est linéaire, déterminer sa matrice dans la base canonique et calculerkerΦ et ImΦ.

Exercice 511 Soit A =(

a bc d

)∈ E =M2(K)), on considère3 ∈L (E) définie par M 7→

AM. Calculer la matrice de 3 dans la base canonique de E. ‘A quelle condition 3est-elle inversible ?

Exercice 512 Discuter suivant les valeurs de λ ∈R le rang de la matrice

1 12

13

12

13

14

13

14 λ

.

87

Exercice 513 Calculer l’inverse de

1 2 11 2 −1−2 −2 −1

.

Exercice 514 Soient n entier supérieur à 1 une matrice An = (a j ,k )1≤ j≤n1≤k≤n

telle que

a j , j = 0 et a j ,k =±1 sinon.

1. Démontrer que A2n est inversible.

2. Soient 2n+1 cailloux tels que toute partie de 2n cailloux peut être partagée endeux tas de n cailloux de mêmes masses. Démontrer que tous les cailloux ontla même masse.

88

27.2 Permutations

Exercice 515 Soit K = {Id, f1, f2, f3} où f1, f2, et f3 sont les permutations de E ={1,2,3,4} définies par f1 =

(1 2 3 42 1 4 3

), f2 =

(1 2 3 43 4 1 2

)et

(1 2 3 44 3 2 1

). Mon-

trer que K est un sous-groupe de S4.

Exercice 516 Soient σ1,σ2,σ3 et σ4 les permutations de l’ensemble �1,10� définiespar

σ1 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 8 7 10 3 2 9 6 1 4

σ2 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 6 9 10 1 8 5 2 3 4

σ3 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 6 8 10 2 1 3 5 7 9

σ4 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 2 5 6 4 3 1

1. Décomposer les permutations σ1,σ2,σ3 et σ4 en produits de cycles.

2. Calculer les signatures de σ1,σ2,σ3 et σ4.

3. Pour chacune des permutations σ1,σ2,σ3 et σ4, déterminer le plus petit entier

strictement positif dk tel que σdkk = id�1,10�.

Exercice 517 Calculer la signature d’un cycle en fonction de sa longueur.

Exercice 518 Soient σ et σ′ dans Sn . Déterminer σ−1 ◦σ′ ◦σ.

Exercice 519 Décomposer σ=(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)en produit de transpositions.

Exercice 520 Soient n un entier supérieur à 1 et i , j ,k deux à deux distincts dans�1,n�.

1. Calculer (i j )(i k)(i j ).

2. Démontrer que tout élément de Sn peut être décomposé comme produit detranspositions de la forme (1 k) avec k ∈ �2,n�.

3. Démontrer que tout élément de Sn peut être décomposé comme produit detranspositions de la forme (k k +1) avec k ∈ �1,n −1�.

4. Démontrer que tout élément de Sn peut être décomposé comme produits dela transposition (1 2) et du cycle (1 2 · · ·n).

Exercice 521 Soient n un entier supérieur à 1 et i , j ,k,` deux à deux distincts dans�1,n�.

1. Calculer (i j )̨( j k `).

89

2. Calculer ( j k)(k `).

3. Démontrer que le produit de deux transpositions est égal au produit de deuxcycles de longueur 3 ou 3-cycles.

4. Démontrer que le groupe alterné An est engendré par les 3-cycles.

5. Démontrer que toute transposition est égal à un produit de transpositions dela forme (i i +1).Indication : utiliser une conjuguaison σ 7→ τ◦σ◦τ avec une transposition τ.

6. De même prouver que tout 3-cycle est égal à un produit de cycles de la forme(i i +1 i +2), en remarquant que (i i +2 i +1) = (i i +1 i +2)2.S’inspirer de la question précédente.

7. Application : les permutations du jeu de taquin.

1234

8765

9101112

16151413

Les petits carrés sont numérotées de 1 à 16 dans l’ordre indiqué, le carré nu-méro 16 est gris. Le carré gris représente une case vide. Les carrés numérotéspeuvent se déplacer horizontalement ou verticalement sur la case vide si elleest contigüe. Une succession de mouvements est permise si la case vide est ànouveau en bas à droite : la permutation de �1,15� représente alors une confi-guration possible.

(a) Calculer (1 2 3 4 5 6 7)−k ( j j +1 j +2)(1 2 3 4 5 6 7)k .

(b) Constater que (1 2 3 4 5 6 7) est une permutation permise. Démontrerque les configurations possibles sont représentées par les permutationspaires. Indication : montrer que les 3-cycles de la forme ( j j +1 j +2) sontdes permutations permises et que toute permutation autorisée est paire.

90

27.3 Déterminants

Exercice 522 Soit A ∈M3(R) anti-symétrique. Calculer det(A). Ce résultat vaut-il en-core pour A ∈M2(R) ?

Exercice 523 Sachant que 1445, 2091, 6188 et 5627 sont divisibles par 17, prouver,

sans calcul, que

∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 4 52 0 9 16 1 8 85 6 2 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ est divisible par 17. Et

∣∣∣∣∣∣1 44 52 9 16 18 8

∣∣∣∣∣∣ ?

Sans calcul, montrer que

∣∣∣∣∣∣2 0 45 2 72 5 5

∣∣∣∣∣∣ est divisible par 17.

Exercice 524 Soient u0, . . . ,un n vecteurs deRn . On pose P(x) = det(u1+xu0, . . . ,un+xu0). Montrer que degP ≤ 1.

Calculer : ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a b b · · · · · · bc a b · · · · · · bc c a · · · · · · b...

......

. . ....

......

......

. . .... b

c · · · · · · · · · c a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Exercice 525 Soit ∆(x) = det(ai , j (x)) où les ai , j sont des fonctions dérivables.

1. Montrer que ∆′(x) est la somme des n déterminants obtenus en remplaçantsuccessivement dans ∆(x) chaque colonne par sa dérivée.

2. Calculer

∣∣∣∣∣∣x +a1 x x

x x +a2 xx x x +a3

∣∣∣∣∣∣ et

∣∣∣∣∣∣1+x 1 1

1 1+x 11 1 1+x

∣∣∣∣∣∣.

Exercice 526 Calculer

∣∣∣∣∣∣1 1 1x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ et déterminer la condition d’inversibilité de la

matrice et calculer l’inverse.Plus généralement, calculer :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 · · · 1a1 a2 · · · an...

.... . .

...an−1

1 an−12 · · · an−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Exercice 527 La famille (2,1,0), (1,3,1), (5,2,1) est-elle libre ?

91

Exercice 528 Calculer

∣∣∣∣∣∣235111 235106 235101235106 235104 235101235103 235102 235101

∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 08 2 0 09 7 3 05 3 7 4

∣∣∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣∣∣4 1 1 10 2 45 770 0 1 610 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣1 1 1x y z

y + z z +x x + y

∣∣∣∣∣∣,.

Exercice 529 Factoriser

∣∣∣∣∣∣a b cc a bb c a

∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣∣∣a2 ab ab b2

ab a2 b2 abab b2 a2 abb2 ab ab a2

∣∣∣∣∣∣∣∣.Exercice 530 Calculer et factoriser les déterminants suivants (a, b et c sont réels)∣∣∣∣∣∣

1 cos(a) cos(2a)1 cos(b) cos(2b)1 cos(c) cos(2c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sin(a) sin(2a) sin(3a)sin(b) sin(2b) sin(3b)sin(c sin(2c) sin(3c)

∣∣∣∣∣∣Exercice 531 Factoriser

∣∣∣∣∣∣1 sin x cos x1 sin y cos y1 sin z cos z

∣∣∣∣∣∣.Exercice 532 Démontrer que :∣∣∣∣∣∣

1 cosb cosccosb 1 cos acosc cos a 1

∣∣∣∣∣∣= 4sin( a +b + c

2

)sin

( a −b + c

2

)sin

( a +b − c

2

)sin

(−a +b + c

2

)

Exercice 533 Calculer

∣∣∣∣∣∣∣∣1 a b ab1 c b cb1 a d ad1 c d cd

∣∣∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣∣∣a a a aa b b ba b c ca b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1 11 0 a b1 a 0 c1 b c 0

∣∣∣∣∣∣∣∣Exercice 534 Soit A ∈Mn(K).

1. Montrer que si ∀X ∈Mn(K) det(A+X) = det(X) alors A = 0.

2. Soit B ∈ Mn(K) telle que ∀X ∈ Mn(K) det(A + X) = det(B + X). Montrer queA = B.

Exercice 535 Calculer Dn où

1.

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1+x2 x 0 · · · · · · 0

x 1+x2 x 0 · · · ...0 x 1+x2 x · · · 0...

......

. . .. . .

......

...... x 1+x2 x

0 · · · · · · 0 x 1+x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

92

2.

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 · · · 1 1−1 x 0 · · · 0 00 −1 x · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 · · · −1 x 00 0 · · · 0 −1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3.

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a 0 · · · · · · 0 b

0. . . . . .

0...

... a b...

......

... b a...

...

0 . . . . . . 0b 0 · · · · · · 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Exercice 536 Calculer

a2 b2 c2 d 2

(a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2

(a +2)2 (b +2)2 (c +2)2 (d +2)2

(a +3)2 (b +3)2 (c +3)2 (d +3)2

Exercice 537 On considère les n applications u1, . . . ,un de classe Cn (n ≥ 0) sur[−1,1] à valeurs dans Rn . Démontrer que det(u1, . . . ,un) est de classe Cn sur [−1,1]et calculer son développement limité à l’ordre 1 en 0.

Exercice 538 Calculer l’inverse de1 2 3 · · · n −1 n0 1 2 · · · n −2 n −1...

......

......

...0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 1

Exercice 539 Calculer :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 +b1 b1 b1 · · · b1 b1

b2 a2 +b2 b2 · · · b2 b2...

......

......

...bn−1 bn−1 bn−1 · · · an−1 +bn−1 bn−1

bn bn bn · · · bn an +bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Exercice 540 Soit P un polynôme de degré n −1 (n ∈N?).

1. Soit A la matrice(

j k

k !

)0≤ j≤n−10≤k≤n−1

. Calculer det(A).

93

2. Calculer le déterminant de la matrice M = (m j ,k (x))1≤ j≤n1≤k≤n

avec

m j ,k (x) = P( j +k +x)

où x est un scalaire.Indication : écrire M comme produit de matrices à l’aide de A et de la matriceN = (P( j+k)(x))0≤ j≤n−1

0≤k≤n−1.

Exercice 541 Déterminant de Smith : j ∧k désigne le pgcd de j et k. Soit A = ( j ∧k)1≤ j≤n

1≤k≤n, démontrer que det(A) = ∏

1≤k≤n3(k) où 3 est la fonction indicatrice d’Eu-

ler. Indication : faire le produit de la matrice M = (mi , j )1≤i≤n1≤ j≤n

:

mi , j ={

1 si j | i

0 sinon

et de la matrice N = (ni , j )1≤i≤n1≤ j≤n

:

ni , j ={3(i ) si i | j

0 sinon

Indication : la fonction d’Euler est multiplicative, i.e.

∀(p, q) ∈ (N?)2, p ∧q = 1 ⇒3(pq) =3(p)3(q)

et ∑d |n3(d) = n

Voir la section concernant l’arithmétique.

Exercice 542 λ= (λ j )1≤ j≤n et a = (a j )1≤ j≤n sont deux suites finies de nombres réels.Soit la fonction 3 définie pour t réel par

3(t ) = ∑1≤ j≤n

λ j |t −a j |

Nous désirons approcher une fonction f , définie sur R et à valeurs réelles, par unefonction 3, la suite a étant donnée.

Écrire le système d’inconnue λ et en calculer le déterminant.

Exercice 543 Soient a = (a j )1≤ j≤n et b = (b j )1≤k≤n et deux suites finies de nombresréels telles que pour tous j et k, a j +bk 6= 0. Calculer le déterminant de la matriceM = (m j ,k )1≤ j≤n

1≤k≤navec

m j ,k = 1

a j +bk

Indication : déterminer une fonction f de la forme

f (x) = ∑1≤k≤n

λk

x +bk

telle que pour tout j , tel que 2 ≤ j ≤ n : f (a j ) = 0.En déduire :

det

(1

j +k −1

)1≤ j≤n1≤k≤n

= (1!2! · · · (n −1)!)4

1!2! · · · (2n −1)!

94

27.4 Méthodes de calcul

Il n’y a pas tant de méthodes que cela : en général, nous utiliserons toujours ladéfinition du déterminant, à savoir que c’est une forme multilinéaire alternée et lecalcul par blocs. Pour des déterminants remarquables, il existe des méthodes parti-culières de calcul.

Exercice 544 (Calcul par récurrence.) Déterminant tridiagonal.Soit le déterminant d’ordre n :

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a b 0 0 · · · 0 0 0c a b 0 · · · 0 0 00 c a b · · · 0 0 0...

......

......

......

...0 0 0 · · · · · · c a b0 0 0 · · · · · · 0 c a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Nous avons D1 = a et D2 =

∣∣∣∣a bc a

∣∣∣∣ = a2 −bc. Pour le début nous supposerons que

a = 3, b = 2 et c = 1.

1. Calculer D3 avec la méthode que vous voudrez.

2. Calculer D4 en développant la première colonne.

3. Soit n ≥ 2. Calculer Dn en fonction de Dn−1 et Dn−2.

4. En déduire que la suite (Dn)n satisfait à une relation de récurrence linéaire.

5. Calculer Dn en fonction de n (≥ 1).

Exercice semblable : no 535.

Exercice 545 (Utilisation de polynômes (1)) Déterminant de Van der Monde.Soient x1, x2, x3, des complexes. Pour n = 2 le déterminant de Van der Monde V(x1, x2)est

V(x1, x2) =∣∣∣∣x1 x2

1 1

∣∣∣∣= x1 −x2

Pour n = 3. Le déterminant de Van der Monde V(x1, x2, x3) est défini par :

V(x1, x2, x3) =∣∣∣∣∣∣x2

1 x1 1x2

2 x2 1x2

3 x3 1

∣∣∣∣∣∣Soit P le polynôme unitaire admettant x1 et x2 pour racines :

P(x) = (x −x1)(x −x2) = x2 +λx +µ

Effectuer l’opération élémentaire :

C1 ← C1 +λC2 +µC3

et en déduire une expression factorisée de V(x1, x2, x3).La méthode se généralise aisément à V(x1, . . . , xn).

95

Exercice 546 (Utilisation de polynômes (2)) Soient a1, . . . , a4, b et c six nombres com-plexes. Nous considérons le déterminant |D| de la matrice D suivante

D =

a1 b b bc a2 b bc c a3 bc c c a4

Soit J =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

. Définissons le polynôme P par

P(x) = det(D+xJ)

1. Démontrer que deg(P) = 1. Ainsi, il existe des nombres α et β tels que P(x) =αx +β.

2. Calculer P(−b) et P(−c). En déduire |D|.

Exercice 547 (Utilisation de changement de base) Soient a et b deux nombres com-plexes. Nous considérons le déterminant |D| de la matrice D suivante

D =

a b b bb a b bb b a bb b b a

Soit J =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

.

1. Démontrer qu’il existe une base B′ telle que l’endomorphisme de matrice Jdans la base canonique de R4 ait une matrice diagonale dans B′.

2. En déduire |D|.

96

27.5 Quelques applications des déterminants

Exercice 548 L’espace usuel est muni d’un repère (O,~ı ,~ ,~k). Soit les points M1, M2

et M3 de coordonnées respectives (x1, y1,1), (x2, y2,1) et (x3, y3,1).

1. Montrer que les points M1, M2 et M3 sont alignés si et seulement si les vecteurs−−−→OM1,

−−−→OM2 et

−−−→OM3 sont coplanaires.

2. En déduire que les points M1, M2 et M3 sont alignés si et seulement si∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣= 0

3. Le plan usuel est muni d’un repère (O,~ı ,~). ax +by + c = 0 est l’équation car-tésienne d’une droite, relativement à ce repère, si et seulement si (a,b,c) 6=(0,0,0). les M1, M2 et M3 de coordonnées respectives (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3)sont alignés si et seulement s’il existe a,b,c tels que (a,b) 6= (0,0) et

ax1 +by1 + c = 0ax2 +by2 + c = 0ax3 +by3 + c = 0

Démontrer que M1, M2 et M3 sont alignés si et seulement si∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

4. En déduire que les points M1, M2 et M3 d’affixes respectives z1 = x1 + iy1, z2 =x2 + iy2 et z3 = x3 + iy3 sont alignés si et seulement si∣∣∣∣∣∣

z1 z2 z3

z1 z2 z3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

Indications : on pourra écrire la matrice M des opérations simultanées

L1 ← L1 + iL2

L2 ← L1 − iL2

5. Soient trois triplets non nuls, (a j ,b j ,c j ) ∈ R3 \ {(0,0,0)}, chacun définit uneéquation d’une droite D j .

(a) À quelle condition le système

(x, y, z) ∈R3,

ax1 +by1 + c1z = 0ax2 +by2 + c2z = 0ax3 +by3 + c3z = 0

admet-il plus d’une solution ?

(b) Montrer que les droites D1, D2 et D3 sont concourantes si et seulementsi ∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c1

a3 b3 c1

∣∣∣∣∣∣= 0

97

Exercice 549 Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et à valeurs réelles.Démontrer que f est convexe si et seulement si pour tous x, y et z dans I :

x < y < z ⇒∣∣∣∣∣∣f (x) f (y) f (z)

x y z1 1 1

∣∣∣∣∣∣< 0

98

28 Espaces affines

Sauf mention du contraire, le corps de base est le corps des réelsPlan affine = sous-espace affine de dimension deux et espace = sous-espace affine de

dimension trois

Exercice 550 Soient a, b, c et m quatre points d’un sous-espace affine. Montrer que−−→ma +−−→

mb −2−−→mc est indépendant de m.

Exercice 551 Soit (a,b,c) un triangle d’un sous-espace affine. Montrer que a, b et csont alignés si et seulement s’il existe des scalaires non tous nuls α,β et γ tels que

αa +βb +γc =~0

Nous dirons que ,a, b et c sont liés. Généraliser.Soient trois points non alignés a,b et c et trois points p1, p2, p3. Alors il existe des

scalaires α j ,β j ,γ j pour 1 ≤ j ≤ 3 tels que pour tout j , α j +β j +γ j = 1 etp1 = α1a +β1b +γ1cp2 = α2a +β2b +γ2cp3 = α3a +β3b +γ3c

Démontrer que p1, p2 et p3 sont alignés si et seulement si∣∣∣∣∣∣α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

∣∣∣∣∣∣= 0

Exercice 552 (Division harmonique) Soient trois points a,b et c non alignés, unquatrième point d appartenant à la droite (bc) mais pas aux droites (ab) et (ac).

a

b

c

d

m

m’

n

m”

À tout point m de la droite (ab), distinct de a et de b nous associons le point m′,intersection des droites (dm) et (ac). Appelons n le point d’intersection des droites(bm′) et (cm).

Posons m = xa+bx+1 , m′ = x′a+c

x′+1 , d = δb+cδ+1 et n =αa +βb +γc (α+β+γ= 1).

99

1. Notons hp ou h′p une homothétie de centre p. Ainsi

– ha est l’homothétie de centre a telle que ha(b) = m ;– hn : m 7→ c ;– h′

a : c 7→ m′ ;– h′

n : m′ 7→ b ;Démontrer que hn ◦ha et h′

n ◦h′a sont des homothéties de même centre ω ou

des translations.

2. Calculer α,β et γ en fonction de x, δ et γ.

3. En déduire queω ne dépend pas du point m de (ab)à {a,b}.Par définition, les points [ω,d ,b,c] forment une division harmonique.

4. Deux droites D et D′ ont un point d’intersectionω en dehors de la feuille. Don-ner, pour tout point m n’appartenant pas à ces droites, une méthode pour tra-cer la partie du segment [ω,m] sur la feuille à l’aide d’une règle aussi longueque l’on voudra (et d’un crayon).

M

D’

D

Exercice 553 Soient (a,b,c) un triangle d’un plan affine et λ, µ, ν trois réels tousdifférents de -1. Soient

– p le barycentre de (b,1) et (c,λ)– q le barycentre de (c,1) et (a,µ)– r le barycentre de (a,1) et (b,ν)

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que

1. les points p, q et r soient alignés (théorème de Ménélaüs).

100

a

b

c

q

p

r

2. les droites (ap), (bq) et (cr ) soient concourantes (Théorème de Giovanni Ceva).

a

b

c

q

p

r’

r

n

Exercice 554 (Théorème de Ménélaüs) Soient (a,b,c) un triangle d’un plan affine,a′ un point de la droite bc, b′ un point de ca et c ′ un point de ab. Montrer que a′, b′et c ′ sont alignés si et seulement si le milieu de [a, a′], le milieu de [b,b′] et le milieude [c,c ′] sont alignés.

Exercice 555 Soient P = 0, Q = 0 et R = 0 les équations de trois droites d’un planaffine muni d’un repère. Soient α, β et γ trois réels. Trouver une condition pour queles droites d’équations

Q−αR = 0, R−βP = 0, P−γQ = 0

soient concourantes.

Exercice 556 Soient (a,b,c) et (a′,b′,c ′) deux triangles d’un plan affine. On supposeque les trois parallèles menées des points a′, b′ et c ′ respectivement au droites (bc),(ca) et (ab) sont concourantes en un point m′. Que peut-on dire des parallèles me-nées des points a, b et c respectivement au droites (b′c ′), (c ′a′) et (a′b′) ?

101

a b

c

m

a’

b’

c’m’

Exercice 557 Soit (a,b,c,d) un tétraèdre de l’espace. À tout P, point de la droite (ab)et tout Q, point de (cd), on associe le milieu I de [P,Q]. Déterminer l’ensemble despoints I.

Exercice 558 (Rapport anharmonique) Le plan affine est appelé A.Soient quatre droites, D1,D2,D3 et D4, sécantes en ω, deux droites ∆1 et ∆2 sé-

cantes enω′, en position générique. Nous notons a,b,c,d et a′,b′,c ′,d ′ les différentspoints d’intersections (voir le schéma). Il existe deux réels λ et µ tels que :

d = a +λ(c −a) d = b +µ(c −b)

Le rapport anharmonique des points a,b,c,d , égal à λµ , est noté [a,b,c,d ]. De même

d ′ = a′+λ′(c ′−a′) d ′ = b′+µ′(c ′−b′)ω

ω′a b c d

a’b’

c’

d’

Démontrer que [a,b,c,d ] = [a′,b′,c ′,d ′].Notations : m ∈ A: f j (m) = 0 est une équation affine de D j .

Exercice 559 Soient a,b,c,d ,m des points deux à deux distincts de l’espace telsqu’il existe des points p, q,r, s vérifiant :

(mab)∩(cd) = {p}, (mbc)∩(ad) = {q}, (mcd)∩(ab) = {r }, (mad)∩(bc) = {s}

Montrer que p, q , r et s sont coplanaires.

102

Exercice 560 Soient a, b, c trois points non alignés d’un plan affine, une droite Dcoupe les droites ab, bc, ca respectivement en r , p, q . On définit les points I, J, K par

−→aI =−→aq +−→ar ,

−→bJ =−→

br +−→bp,

−→cK =−→cp +−→cq

Montrer que I, J et K sont alignés.

Exercice 561 Montrer que si trois points p, q , r situés sur les cotés bc, ca, ab d’untriangle (a,b,c) sont alignés, alors les symétriques de ces points par rapports auxmilieux des cotés correspondants sont alignés.

Exercice 562 Soit P un plan affine muni d’un repère R. À tout point m de coordon-nées (x, y), on fait correspondre le point m′ de coordonnées (x ′, y ′) :

x ′ = ax +byy ′ = cx +d y

où a,b,c,d sont quatre réels tels que ad −bc 6= 0.

Question 562.1 À quelle condition existe-t-il un point fixe unique ? Calculer alorsses coordonnées.

Question 562.2 À quelle condition existe-t-il une infinité de points fixes ? Dans cecas donner l’équation de l’ensemble ∆ de ces points fixes.

Question 562.3 Supposons que a = d = 2 et b = c = 1.

1. Donner l’équation de ∆.

2. Trouver un point p tel que O, p et p ′ soient distincts et alignés.

3. Faire un changement de repère en gardant la même origine et en choisissantpour axe des abscisses la droite ∆. Pour axe des ordonnées prendre la droite

de vecteur directeur−−→pp ′.

4. Calculer l’expression analytique de m 7→ m′ dans ce nouveau repère. Quelleest la nature de cette application ?

Exercice 563 (Helly) Soient n entier supérieur à 1, C1, . . . ,Cn+2 des parties convexesd’un espace affine réel. Supposons que pour toute partie I de cardinal n+1 de �1,n+2� : ⋂

j∈IC j 6=∅

Alors ⋂1≤ j≤n+2

C j 6=∅

Indication : mk ∈ ⋂1≤ j≤n+2

j 6=kC j , l’un des points est le barycentre des autres ; autre-

ment dit, il existe des nombres réels α j tels que∑1≤ j≤n+2

α j m j = 0

103

Exercice 564 (Desargues) Soient (a,b,c) et (a′,b′,c ′) deux triangles tels que les droites(aa′), (bb′) et (cc ′) soient sécantes enω. Supposons les droites (bc) et (b′c ′) sécantesen a1, (ca) et (c ′a′) sécantes en b1, enfin (ab) et (a′b′) sécantes en c1. Démontrerque les points a1, b1 et c1 sont alignés.

ω

a

b

c

a′b′

c′

a1

b1

c1

104