ApplicationdunemthodedetypeMeshlessla rsolutiondeproblmesdetransfertsradiatifsen gomtrie complexe Chengan WANG, Hamou SADAT, Vital LE DEZ, Denis LEMONNIER Laboratoire dEtudes Thermiques,Universit de Poitiers 40 Avenue du Recteur Pineau 86022 Poitiers Cedex chengan.wang@etu.univ-poitiers.fr Rsum -On prsente une mthode de type Meshless pour la rsolution de problmes detransfertradiatifdfinisdansdesgomtriesdeformecomplexe.Lamthodedes ordonnesdiscrtesdanssaformulationenvariablespairesestutilisepourladiscrtisation angulaire,tandisquunemthodedecollocationbasesurlapproximationglissante moindrescarrspermetladiscrtisationspatialedesquationssurdesnuagesdepoints gnrsdansledomaine.Desexemplesbidimensionnelettridimensionnelsontprsentset permettent de valider la mthode.NomenclatureMA matricedapproximationdiffuseau pointM( ) M M pi, vecteur ligne des monmes M point courant J nombre de directions discrtes ) ( W poids associ une direction discrte ) ( I luminancedirectionnellepourune direction de propagation,Wm-2sr-1 bIluminance de corps noir du milieu, Wm-2sr-1 bwI luminancesurfaciquedecorpsnoir,Wm-2sr-1 n normale extrieure la surfaceq flux parital, Wm-2 Symboles grecs fonction de pondration vecteurdelestimedesdrives partielles successives champ scalaire ouverture des fentres de pondration coefficient dabsorption, m-1 coefficient de diffusion, m-1 coefficient dextinction, m-1 direction de propagation fonction de phase de diffusion missivit dune surface Indices et exposants bcorps noir (matire) bwcorps noir (paroi) 1.IntroductionAucoursdeladerniredcennie,denombreusesmthodesonttproposespour rsoudredesquationsauxdrivespartiellesdfiniesdansdesgomtriescomplexessans utilisation de maillages en lments finis. Dans le prsent article, on dveloppe une mthode decollocationutilisantlapproximationglissantemoindrescarrs[1].Cettemthodeat utilise pour rsoudre des problmes de conduction [2], de convection naturelle 2D [3] et 3D [4], tudier leffet du champ magntique sur la convection naturelle [5] et lcoulement autour dobstacles [6].Ilexistedenombreusessituationsd'ingnierie(fours,hauts-fourneaux,chambresde combustion),pourlesquelleslefonctionnementesttroitementdpendantdestransferts thermiques au sein des systmes considrs, et o le rayonnement peut tre le mode dominant dchange de chaleur. En raison de l'absorption du rayonnement et des possibles phnomnes de diffusion dans les milieux semi-transparents, la luminance, quantitfondamentale partir delaquellepeuttreobtenulechampdefluxradiatif,obitunequationintgro-diffrentielle(ETR)dontlaprincipaledifficultdersolutionestliesanature directionnelle.Danslamthodedesordonnesdiscrtes(DOM),primitivementdveloppe parLathrop[7],lETResttransformeenunsystmed'quationsauxdrivespartielles rsolueslaidedemthodesnumriquesapparentesauxvolumesfinis[8-9]oulments finis[10-11].LaformulationenvariablespairesdelETR[12-13]alavantagedenutiliser quuneseulequationpourunedirectiondiscrtedonne,contrairementauxvariables primitivesquincessitentdeuxquations(directions+et-).Parailleurs,lesquations obtenuesenvariablespairesontunestructuresimilairecellequelonobtientdansdes problmes de diffusion. Onprsenteicilapplicationdelamthode Meshless larsolutiondeproblmesde transfertsradiatifsdfinisdansdesgomtriesdeformecomplexebidimensionnelleet tridimensionnelle. La mise en uvre de la mthode par minimisation dun cart quadratique, la discrtisation spatiale des quations laquelleelle conduit et la construction des systmes dquationssontdaborddveloppes.Lesrsultatsobtenussurquelquesexemples,relatifsaux flux paritaux, sont ensuite prsents et comments.2.La mthode de lapproximation diffuse Considronsunchampscalaire) , ( y x dfinidansundomainebidimensionneldiscrtis ennnuds. A partir dun point de calcul( ) y x M , on cherche une estime *idu champi , souslaformedundveloppementdeTaylortronquunordrechoisi(icilordre2),de sorte que ( ) ( )TM i i i iM M p y x = , ,*(1) avec( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2, , , , , 1 , y y y y x x x x y y x x M M pi i i i i i i =(2) etT TM 5 4 3 2 1 0, , , , , =(3) Lesdiffrentscoefficients i correspondent,uneconstanteprs,auxdrives successives du champ scalaire au pointiM . On connecte ensuite les variables gnralises aux valeurs connues par minimisation de lerreur quadratique qui sexprime par :( ) ( ) ( ) [ ]=)` =njTM j j j MM M p M M I12, , (4) o( ) ( )( )2 22) ( si0 ,10 ln 3 exp , > = (((

|||

\| = X X X X XX XX X Xi iii(5) ( ) M Mj, estunefonctiondepondrationcontinue,positive,maximaleen iM et dcroissant rapidement quand on sen loigne : ainsi( ) M Mj, dfinira le nombre de nuds voisins connects au nud de calcul. La minimisation de( )MI par rapport TM , cest--dire ( )0 =iMI, conduit au systme matriciel : [ ]T MTMMB A = (6) O [ ] ( ) ( ) ( ) M M p M M p M M AjnjTj jM, , ,1= = (7) et( ) ( )jTjnjjTM M p M M = =, , B1M (8) dont on dduit : ( )*225*24*223*2*1*0! 21! 21,|||

\|=|||

\| =|||

\|=|||

\|= ||

\|= =y y x xy xy x (9) 3.Formulation en variables paires Dans un milieu semi-transparent mettant, absorbant et diffusant, lETR scrit, aprs avoir remplacletermeintgraldediffusionparsonapproximationdiscrte,souslaforme classique, le long dune trajectoire caractrise par sa direction iet son abscisse curviligne s := + + =Jjj i j j b iiW I I IdsdI1) ( ) , ( ) (4) () ( (10) J i ... 1 = estlordredeladirectiondiscrte i , , et sontlescoefficients dabsorption, de diffusion et dextinction du milieu suppos gris. bI est la luminance de corps noir du milieu, et) , (i j est la fonction de phase de diffusion entre les directions jet i ,) (jW tantlepoidsassociladirectiondiscrtej pourlaquadratureangulaire choisie. Les conditions aux limites pour une paroi rflchissant le rayonnement de faon purement diffuse, scrivent aprs avoir transform lintgrale de rflexion en une somme discrte : ) ( ) (1) (0 jnj j bw iW n I I Ij + = < (11) Oest lmissivit de la surface et bwIla luminance de corps noir la paroi de normale intrieuren . En appelant) (+Iet) (Iles intensits relatives aux directions positive + et ngative -, il vient pour les variables paires et impaires : ) ( ) ( ) ( + = +I I F , ) ( ) ( ) ( = +I I G(12) En injectant alors les luminances + et dans lETR (10) il vient [12-13]: 0 ) (4212 /122= + + + =Jjj ij j ij b iiG B F A I FdsF d (13) ) () ( =GdsdF(14) Les matrices ijAet ijB sexprimant respectivement par) ( )] , ( ) , ( [j i j i jW + et ) ( )] , ( ) , ( [j i j i jW .Quantauxconditionsauxlimites,ellesscriventdansle cadre de ce formalisme: + =|||

\| 2) ( ) ) ( (21 1 1) (21Jjj j i j i bwii iW n G n sign F IdsdFn sign F (15) Les flux paritaux sont donns simplement par: = =21) ( ) (Jij i iW G n q(16) Pour rsoudre ces quations, on remplace d'abord le domaine continu par un ensemble de pointsdiscrets.Lafonctiondepondrationchoisieestalorsutilisepourslectionnerun certain nombre de points autour de chaque point isol o l'approximation diffuse de l'quation estenfincrite.Celaconduitunsystmelinairedontlesinconnuessontlesvaleurs nodales ) , ( y x Fi.4.Rsultats Danslesdeuxcastudis,lemilieuestmettant-absorbantetsupposisotherme,confin dansuneenceintedontlesparoissontnoiresetfroides(0K).Lecoefficientdabsorption variede0.1,10.0m-1.Lesgomtriesconsidressontdonnessurlesfigures1et2.Les calculs ont t effectus laide dune quadrature S6. Figure 1 : Description du quadrilatre tudiFigure 2 : Reprsentation du pentadre 4.1.Cas dun quadrilatre irrgulier Figure 3 : MaillageFigure 4 : Comparaison des flux paritaux adimensionns sur la paroi infrieure pour plusieurs absorptions ( =10 m-1,5050; =0.1, 1 m-1, 2525) Le problme dun milieu isotherme absorbant etmettant considr par Chai [14] dans la gomtrie de la figure 1 a t trait avec deux maillages 2525 (pour =0.1 m-1 et 1 m-1) et 5050 (pour =10m-1). La figure 3 montre un exemple de nuage de points utilis tandis que lafigure4prsentelesfluxparitauxadimensionnelssurlaparoiinfrieureainsiqueles rsultats obtenus par Chai [14]. 4.2.Cas dun pentadre base rectangulaire Figure 5 : Maillage utilisFigure 6 : Flux paritaux adimensionns sur laxe A-A pour diffrentes absorptions La figure 5 montre un nuage de points utilis pour la discrtisation du pentadre. Les Flux paritaux obtenus sur lesegment A-A de la figure 2 ont t regroups sur la figure 6 pour 3 valeursdistinctesducoefficientdabsorption.Onconstatenouveaulabonneconcordance des rsultats avec ceux de Chai et al.[15]. 5.Conclusion Unemthodedetype Meshless estutilisepourrsoudreletransfertradiatifdansdes gomtries de forme complexe, bidimensionnelle et tridimensionnelle. Les rsultats montrent quelamthodepermetdobtenirdesrsultatsdassezbonneprcision.Nousenvisageons dtendre cette approche ltude des transferts coupls. Rfrences[1]B.Nayroles,G.TouzotandP.Villon,L'approximationdiffuse,C.R.Acad.Sci.Paris313 pp.293296,1991 [2]H.Sadat,NDubus,LGbahou,TSophy.OntheSolutionOfHeterogeneousHeatConduction ProblemsbyaDiffuseApproximationMeshlessMethod.NumericalHeatTransfer,PartB: Fundamentals. Vol.50, no.6,pp.491498 december,2006 [3]HSadat,SCouturier.Performanceandaccuracyofameshlessmethodforlaminarnatural convection. Numerical Heat Transfer, Part B, Vol.37, no.4, pp.455467,2000[4]T.Sophy,H.SadatandC.Prax,Ameshlessformulationforthreedimensionallaminarnatural convection. Numerical Heat Transfer, Part B, Vol.41, pp.433445, 2002 [5]ToninoSophy,HamouSadat,LaurentGbahoue.Convectionthermomagntiquedansunecavit diffrentiellementchauffe,InternationalCommunicationsinHeatandMassTransferVol.32, no.7, pp.923930,2005 [6]T SOPHY, H SADAT, R BOUARD. Calcul de l'coulement autour d'un cylindre semi-circulaire par une mthode de collocation, C. R. Mcanique Vol.330, pp.193198,2002 [7]K.D. Lathrop.Use of discrete ordinates method for solution of photon transport, problems. Nucl. Sci. Eng, vol.4, pp.381388,1966 [8]RaithbyGD,ChuiEH.Afinite-volumemethodforpredictingaradiantheattransferin enclosures with participating media. J HeatTransf, Vol.112, pp. 41523, 1990 [9]Chai JC, Lee HS, Patankar SV. Finite volumemethod for radiation heat transfer. J Thermophys Heat Transf, Vol.8, pp.41925, 1994 [10]AnW,RuanLM,QiH,LiuLH.Finiteelementmethodforradiativeheattransferinabsorbing and anisotropic scattering media. JQSRT, Vol.96, pp.40922, 2005 [11]Seok Hun Kang, Tae-Ho Song, Finite element formulation of the first- and second-order discrete ordinatesequationsforradiativeheattransfercalculationinthree-dimensionalparticipating media,JournalofQuantitativeSpectroscopyandRadiativeTransfer,Vol.109,pp.20942107,2008 [12]CheongKB,SongTH.Examinationofsolutionmethodsforthesecond-orderdiscreteordinate formulation. Numer Heat Transf B, Vol.27, pp.15573, 1995 [13]Fiveland W.A. and Jessee J.P., Comparaison of discrete ordinates formulations for radiative heat transfertinmultidirectionalgeometries.Journalofthemophysicsandheattransfer,Vol.9, no.1,1995. [14]Chai, J. C. Parthasarathy, G., Lee, H. S. and Patankar, S. V., AIAA J. Thermophys. Heat transfer, 1995, 9,410. [15]Chai, J. C., Moder, J. P. and Parthasarathy, G., AIAA Paper 96-1889, 1996.