23/04/2014 Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ Loïc TONNELIER.
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11/04/23
Les Options Exotiques
Emmanuel BIOUX
Matthieu FOURNIL-MOUSSÉ
Loïc TONNELIER
PFE : Les Options Exotiques
m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Sommaire
Introduction Modélisation des options exotiques Simulation des options exotiques Conclusion
11/04/23
PARTIE 1
Modélisation des options exotiques
PFE : Les Options Exotiques
m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Modélisation des options
I) Les option Non-Path-Dependent• Le prix dépend du chemin suivi par le sous jacent
II) Les options Path-Dependent • Le prix ne dépend pas du chemin suivi par le sous
jacent
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt Non Path DependentII) Opt. Path Dependent
PFE : Les Options Exotiques
m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Différentes options exotiquesPartie 1 : Modélisation des opt.I) Opt Non Path DependentII) Opt. Path Dependent
PFE : Les Options Exotiques
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Options Non Path Dependent
On s’intéresse qu’à la valeur du sous-jacent à maturité de l’option, et non durant sa vie
3 principales options non Path dependent :• Option binaire• Option à panier• Option Contingente
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt Non Path DependentII) Opt. Path Dependent
PFE : Les Options Exotiques
m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Les options Binaire
Option dont le Pay-Off dépend du franchissement par le sous-jacent à l’échéance de l’option d’un niveau de cours prédéterminé
4 types d’options binaires :• All or Nothing• Asset or Nothing• Gap• Contingent Premium
I) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pay-Off des options binairesI) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pay-Off des options binaires
Pour simplifier :
Avec :
I) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
GKSHX TeCallBinair GSKHX TPutBinaire
NG ngAllOrNothi
ThingAssetOrNot SMG
YSG TGap
Pr DSKG TemiumContingent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pourquoi utiliser des options binaires ?
Certitude du Pay-Off
Flexibilité pour le client
Vente d’options binaires tout en connaissant parfaitement le risque maximal de pertes
I) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Modélisation des options Binaires en Temps Discret
I) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Modélisation des options Binaires en Temps Continu
Asset Or Nothing :
Asset Or Nothing :
Gap :
Avec :
2dNeNC tTrngAllOrNothi
1dNSMC hingAssetOrNot
tbxbNeXbxbNeSbC trtdgap
tt
eX
eS
xtr
td
2
1ln
I) Opt. Non Path Dependent1) Options Binaire
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
PFE : Les Options Exotiques
m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Les options à panier
L’actif sous-jacent servant à déterminer le Pay-Off est composé de plusieurs actifs avec une pondération déterminé par avance
Formation d’un indice synthétique : le panier
I) Opt. Non Path Dependent2) Option à panier
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
0,max 2211 XSaSaSaX nnc
0,max 2211 nnp SaSaSaXX
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pourquoi utiliser des options à panier ?
Réduction du prix
Diversification des risques
Choix de la devise de référence
I) Opt. Non Path Dependent2) Option à panier
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Modélisation des options à panier
Approximation : A+B est lognormal Utilisation de la formule de Black&Scholes
I) Opt. Non Path Dependent2) Option à panier
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Les options Chooser
Permet de choisir à l’échéance entre un Call et un Put de strike prédéfini
I) Opt. Non Path Dependent3) Option chooser
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
PCX ,max
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pourquoi utiliser des options chooser ?
Incertitude sur l’évolution du sous-jacent : • Élection dont l’issue n’est pas sûr• Conflit armé• Négociation avec l’Irak
I) Opt. Non Path Dependent3) Option chooser
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
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Modélisation des options chooser
En temps continu :
Pricing :
Avec :
I) Opt. Non Path Dependent3) Option chooser
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) ModélisationII) Opt. Path Dependent
1212,max,max ttrttd eXSeCCPC
SeXeCPC ttdrttd 1212 ,0max,max
ttyNeXyNeS
ttxNeXxNeSC
ttrttd
ttrttdreg
1
2
22
22
tt
tt
eX
eS
xttr
ttd
2
22
1ln
2
2
tt
tt
eXeS
yttr
ttd
1
1 2
1ln
2
2
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m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Options Path Dependent
Leur Pay-Off dépend de la valeur du sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option
3 principales options Path dependent :• Option Barrière• Option Look Back• Option Asiatique
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt Non Path DependentII) Opt. Path Dependent
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Les options Barrière
Valeur à l’échéance dépend du franchissement au cours de vie d’une barrière
Différents types :• Barrière activantes (in)• Barrière désactivantes (out)
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pay-off d’un callPartie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
PFE : Les Options Exotiques
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Pay-off d’un putPartie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
PFE : Les Options Exotiques
m
Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pourquoi utiliser des Options à barrières ?
Prix des options comparées aux options standards
Grande flexibilité
Levier et rendement important
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 1) Options Barrière
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
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Les options LookBack
On ne retient parmi les niveaux atteints par le sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option que la valeur la plus favorable pour le détenteur de l’option
3 Types d’options Lookback :• Price Lookback• Strike Lookback• Partial LookBack
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Price LookBack Option
Permet de recevoir à l’échéance la différence entre le prix d’exercice défini à l’origine, et le cours le plus favorable
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
0,supmax_ KSX priceLBC 0,infmax_ SKX priceLBP
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Strike LookBack Option
Permet de recevoir à l’échéance la différence entre le prix d’exercice le plus favorable et le cours à l’échéance
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
0,infmax_ SSXTstrikeLBC 0,supmax_ TstrikeLBP SSX
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Partial LookBack Option
Partial LookForward :
Partial Strike LookBack :
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
0,)(supmax_ KSX
PériodePemière
dlookforwarLBC
0,infmax_ SKX
PériodePemière
dlookforwarLBP
0,infmax_ SSX
PériodePemièrelTkForwardpStrikeLooLBC
0,supmax_ lT
PériodePemière
kForwardpStrikeLooLBP SSX
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Emmanuel BIOUX - Matthieu FOURNIL MOUSSÉ - Loïc TONNELIER
Pourquoi utiliser des options lookback ?
Capter les points extrêmes
La vente d’options lookback permet de bénéficier de primes élevées
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 2) Options LookBack
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
PFE : Les Options Exotiques
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Les options Asiatique
La valeur à l’échéance dépend du prix moyen de l’actif sous-jacent au cours de la durée de vie de l’option
Avec :
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
0,max KSMoyX t
tqueCallAsiati
0,max t
tuePutAsiatiq SMoyKX
N
iObst
Arithmi
SN
SMoy1.
1 N
N
iObst
Géomi
SSMoy
1.
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m
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Pourquoi utiliser une option Asiatique ?
Réduction du risque
Flexibilité du produit
Prix d’acquisition
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
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Modélisation des options Asiatiques
Moyenne géométrique
Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
zxNeXxNeeXC trz
ytr
ag 2
²
0
zz
yX
X
x
0ln
fTT
fT
fTT
T
SAX
21
2
21
1
00
2
²
2 21
220
dr
fTT
fTTTy
²6
2²
221
2220
fTT
fTfTTTz
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Partie 1 : Modélisation des opt.I) Opt. Non Path DependentII) Opt. Path Dependent 3) Options Asiatique
a) Déf. et caractéristiques b) Intérêts
c) Modélisation
Modélisation des options Asiatiques
Moyenne arithmétique
1
0
1
1
00
11t
t
tTrtTr
aa duuStT
XetTr
eSC
T
t
duuStT
00
1Avec: moyenne calculée entre 0t et T
11/04/23
PARTIE 2
Simulation des options exotiques
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Simulation des options exotiques
Introduction Modélisation Simulations d’actif Path independ Génération de variables normalement distribuées Génération de variables uniformément distribuées Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en
normalement distribuée Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées Qualité du résultat Comparaisons des résultats Path dependent Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière
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Modélisation
WddtrS
dS ˆ
S, est supposé suivre un mouvement brownien géométrique, tel que, dans l'univers risque neutre :
tWTWtTrtSTS ˆˆ²
2
1exp
Le lemme d'Itô, suivie d'une intégration donne:
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Simulations d’actif
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
02/01/04 02/04/04 02/07/04 02/10/04 02/01/05 02/04/05 02/07/05 02/10/05
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Path independ (1/3)
Seule la valeur de l’actif à l’échéance compte Cas d’un call :
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Path independ (2/3)
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L’erreur doit tendre vers 0 lorsque l’on augmente N
Le choix du générateur aléatoire est donc capital
Path independ (3/3)
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Génération de variables normalement distribuées
La simulation de variables distribuées selon cette loi exige d'abord la génération de variables uniformément distribuées
²2
1
2
1 xexf
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Génération de variables uniformément distribuées
Les Générateurs Linéaires Congruentiels • Xn=(a Xn-1 + b) mod m
• Le choix des constantes n’est pas à négliger : • m = 1012 - 11
a = 427419669081b = 0:
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Les Registres à Décalage à Rétroaction Linéaire
• Le registre est successivement à la valeur 0111, 0011, 0001, 1000, 0100...
Génération de variables uniformément distribuées
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Transformation d'une variable aléatoire uniformément distribuée en normalement distribuée
Inversion de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Inversion de Moro
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Performances des méthodes de génération de valeurs normalement distribuées
Performances temporelles
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Qualité du résultat
Cf p72
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Comparaisons des résultats
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Path dependent
barrière Down & Out option annulée
98
98,5
99
99,5
100
100,5
101
101,5
102
102,5
02/01/2004 02/04/2004 02/07/2004 02/10/2004 02/01/2005 02/04/2005 02/07/2005 02/10/2005
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Ponts Browniens : Correction de la probabilité d’atteindre la barrière
Andersen et Brotherton-Ratcliffe (1996)
11/04/23
Les options
Les options Exotiques
Emmanuel BIOUXMatthieu Fournil-MousséLoïc Tonnelier