Universit Paul Sabatier 2008/09.

L3 MAPES, ANALYSE, Feuille 7 (analyse vectorielle).

Exercice 1. Appliquez la formule de Green pour valuer laire des rgions R suivantes :1. R est le domaine born dlimit par les courbes y = x2, x = y2, 8xy = 1 .2. R est dlimite par la courbe dquations x(t) = a cos3(t), y = a sin3(t), a > 0 et t [0, 2].

Exercice 2. Appliquez la formule de Green pour montrer que{x2/a2+y2/b21}

(x4 + y4)dxdy =ab(a4 + b4)

8.

Exercice 3. Calculer lintgrale curviligney2dx+x2dy ou est le quart de lellipse x2/a2+

y2/b2 = 1, a, b > 0, reliant A = (a, 0) B = (0, b). On commencera par un calcul direct puis onretrouvera le rsultat (2ab(a b)/3) en appliquant la formule de Green-Riemann sur le compactdlimit par [B, (0, 0)] [(0, 0), A].

Exercice 4. On considre la forme diffrentielle dfinie sur louvert U = R2 \ {(0, 0)} par

(x, y) = y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy.

(1) Montrer que est ferme sur U ; le cours nous permet-il daffirmer que est exactesur U ? et sur U1 = {(x, y) R

2 : x > 0}, ou U2 = {(x, y) R2 : x < 0} ?

(2) Dterminer les primitives de sur U1 puis sur U2.

(3) En dduire que ne peut tre exacte sur U .

(4) Soit > 0, calculerC

ou C est le cercle C(0, ) orient positivement ; en dduire unautre preuve de la non exactitude de .

Exercice 5. Soient f, g C 1([a, b]) deux fonctions convexes telles que

f(a) = g(a), f(b) = g(b), t [a, b] : g(t) f(t).

Lobjectif est de montrer que ba

1 + f 2(t)dt

ba

1 + g2(t)dt.

(1) Faire un dessin, commentaire ?

(2) On suppose f et g de classe C 2. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange a (t) =(1+ t2)1/2, montrer que (1+ g(t)2)1/2 (1+ f (t)2)1/2+(g(t) f (t))(f (t)) sur [a, b]et conclure.

(3) Si les fonctions ne sont pas de classe C 2 reprendre le raisonnement prcdent en utilisantla formule de la moyenne.

Exercice 6. 1) Montrer que dans Rd, le plus court chemin reliant deux points est la lignedroite.2) Montrer que le plus court chemin reliant deux point sur la sphre S de R3 est un mridien

(se placer en coordonnes sphriques).

Exercice 7. On considre la forme diffrentielle dfinie sur louvert U = R2 \ {(0, 0)} par

(x, y) =3x3 + xy2x2 + y2

dx3y3 + x2yx2 + y2

dy.

Le but de cet exercice est de calculer de deux manires diffrentes lintgrale curviligne

y

AB

oy

AB est le quart de lellipse x2/a2 + y2/b2 = 1, x 0, y 0 orient positivement.1

2(1) On va montrer que est exacte sur U .

(a) Montrer que est ferme sur U , peut-on ce niveau affirmer quelle est exacte surU ?

(b) Si admet une primitive U sur U montrer quil existe une fonction C 1(R)telle que

U(x, y) =

3x3 + xy2x2 + y2

dx+ (y).

(c) Avec le changement de variables t =x2 + y2 montrer que lon peut choisir U(x, y) =

(x2 y2)x2 + y2 + (y).

(d) A laide de U/y dterminer , en dduire que est exacte sur U et conclure.

(2) Pour 0 < < min(a, b) on considre le circuit = AB [(0, b), (0, )]C [(, 0), (a, 0)]ou C est le quart du cercle C(0, ) situ dans le premier quart de plan.

(a) Montrer que = 0.

(b) Montrer que = (a3 + b3) + 23

C

.

(c) En dduire que

y

AB = (a3 + b3).