N dordre : 76-2007Anne 2007 THESE prsente devant lUniversit Claude Bernard Lyon 1 pour lobtention du DIPLOME DE DOCTORAT (arrt du 7 aot 2006) prsente par Pierre-Emmanuel THROND Mesure et gestion des risques d'assurance : analyse critique des futurs rfrentiels prudentiel et d'information financire Directeur de thse : Professeur Jean-Claude AUGROS Soutenue publiquement le 25 juin 2007, devant le jury compos de : Jean-Claude AUGROS (Professeur, Universit Claude Bernard Lyon 1) Franois EWALD (Professeur, Conservatoire National des Arts et Mtiers) Hans GERBER (Professeur, Universit de Lausanne-HEC), Rapporteur Jean-Paul LAURENT (Professeur, Universit Claude Bernard Lyon 1) Etienne MARCEAU (Professeur, Universit Laval), Rapporteur Frdric PLANCHET (Professeur associ, Universit Claude Bernard Lyon 1) Sommaire Sommaire........................................................................................................... 1 INTRODUCTION GNRALE................................................................................ 3 PARTIE INOUVELLES APPROCHES COMPTABLE, PRUDENTIELLE ET FINANCIRE DES RISQUES EN ASSURANCE......................................................... 9 Chapitre 1 Traitement spcifique du risque : aspects thoriques .............. 13 1.Les outils mathmatiques de lanalyse des risques ................................ 13 2.Un traitement diffrenci du risque ....................................................... 29 3.Contrats en units de compte : les garanties plancher............................ 36 4.Conclusion ............................................................................................. 42 Bibliographie ............................................................................................... 44 Chapitre 2 Traitement spcifique du risque : aspects pratiques ................ 47 1.De nouveaux rfrentiels distincts ......................................................... 47 2.Des incidences oprationnelles .............................................................. 52 3.Cas pratique : portefeuille dassurance vie ............................................ 64 Bibliographie ............................................................................................... 70 Chapitre 3 Incidence sur la gestion technique dun assureur..................... 71 1.Modlisation de la socit dassurance.................................................. 72 2.Critre de maximisation des fonds propres conomiques...................... 73 3.Recherche de lallocation optimale........................................................ 77 4.Conclusion ............................................................................................. 88 Annexe A : Dmonstration des rsultats mathmatiques............................. 91 Annexe B : Simulation des ralisations de la charge de sinistres................. 93 Bibliographie ............................................................................................... 94 PARTIE IIMODLISATIONS AVANCES EN ASSURANCE................................ 95 Chapitre 4 Limites oprationnelles : la prise en compte des extrmes ...... 97 1.Calcul de VaR en assurance................................................................... 99 2.Notations.............................................................................................. 101 3.Estimation de quantiles extrmes......................................................... 102 4.Application du bootstrap...................................................................... 105 5.Robustesse du SCR.............................................................................. 111 6.Conclusion ........................................................................................... 117 2Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Annexe A : Loi de Pareto gnralise (GPD) ............................................ 118 Annexe B : Rsultats probabilistes ............................................................ 121 Annexe C : Estimation du paramtre de queue.......................................... 125 Bibliographie ............................................................................................. 129 Chapitre 5 Prise en compte de la dpendance............................................ 133 1.Analyse mathmatique de la dpendance ............................................ 134 2.Rappels sur la dpendance linaire ...................................................... 143 3.La thorie des copules.......................................................................... 145 4.Rachat de contrats dpargne : un modle ad hoc................................ 161 5.Capital de solvabilit : les mthodes dagrgation............................... 165 Bibliographie ............................................................................................. 168 Chapitre 6 Techniques de simulation.......................................................... 171 1.Introduction.......................................................................................... 171 2.Discrtisation de processus continus.................................................... 172 3.Estimation des paramtres ................................................................... 180 4.Gnration des trajectoires................................................................... 185 5.Simulation de la mortalit dun portefeuille dassurs......................... 193 6.Conclusion ........................................................................................... 197 Annexe : Tests dadquation une loi ....................................................... 198 Bibliographie ............................................................................................. 200 CONCLUSION GNRALE ............................................................................... 201 AnnexeSolvabilit 2 - les modles proposs par QIS 3 ............................ 205 1. Modles dvaluation : lapproche standard .......................................... 206 2. Provisions techniques en assurance vie.................................................. 209 3. Provisions techniques en assurance non-vie .......................................... 210 4. Capital ligible....................................................................................... 210 5. Capital de solvabilit (SCR) : formule standard .................................... 211 BIBLIOGRAPHIE GNRALE........................................................................... 217 Notations utilises ......................................................................................... 225 Table des illustrations .................................................................................. 227 Table des matires ........................................................................................ 229 INTRODUCTION GNRALE Les prmices de lassurance moderne Les premiers dispositifs dassurance modernes remontent au XIVe sicle et concernentlassurancemaritime.Lecommercemaritimestaitjusqualors dveloppgrceauxprtslagrosseaventurequiconsistaient,pour larmateur,emprunterunesommedargentgagesurlavaleurdes marchandises qui devaient tre expdies par del les mers. En cas darrive bon port, lemprunteur remboursait cette somme majore dun intrt trs lev venant en contrepartie du risque des voyages maritimes puisque, si la cargaison tait perdue, ni lintrt, ni le capital ntaient rembourss. Cetteoprationntaitpasproprementparleruneoprationdassurance mais plutt une opration de crdit dans laquelle le prteur porte le risque de la perte du capital. Le fait que lintrt stipul soit fix arbitrairement sans relle considrationaurisqueeffectivementencouruaconduitaudveloppement dune activit spculative sur ce type de contrats. Aussi, le recours au prt la grosseaventureapratiquementdisparusuitelinterdictiondelapratiquede lusure par lglise catholique en 1234. Il a alors fallu trouver un autre moyen de financer ces expditions qui participaient au dveloppement du commerce et delconomie.Cestainsiquenatlaconventiondassurancesoussaforme moderne :desbanquiersacceptentdegarantirlavaleurdubateauetdesa cargaison (le capital sous risque) en cas de naufrage du navire (le risque) contre lepaiementdunesommefixe(laprime).Ledveloppementdecetypede contrat connat un rel succs compte tenu, notamment, des consquences de la survenance des risques de la mer sur la solvabilit des armateurs. Ledeuximetypedassuranceconnatreunessorconsidrableest lassurance incendie. Le dbut de son dveloppement est gnralement associ augigantesqueincendiequifrappaLondresauXVIIesicle.Eneffet,le2 septembre 1666, un feu se dclare dans Londres et ravage les quatre cinquimes delavilleenunesemaine.Lebilan1estde13 200maisonset87 glises dtruitesdontlacathdraleSaint-Paul.Lecotdelareconstructionest considrable,aussiltatbritanniqueencouragelacrationdesocits dassurance pour couvrir ce risque dans le futur.Les facteurs du dveloppement de lassurance Ces deux exemples historiques illustrent parfaitement les deux axes qui ont conduit ces derniers sicles au dveloppement de lassurance. Le premier est celui du dveloppement conomique : des projets de grande envergure comportent un grand nombre de risques diffrents dont la survenance dunseuldecesrisquespeutmettreenprillintgralitdelentreprise.Les oprationsdassurance,entransfrantlerisquedelassurverslassureur, permettent denvisager de telles initiatives qui seraient impossibles sinon. Cest ainsi que des projets qui ntaient concevables auparavant que par les tats du

1. Cf. Ewald et Lorenzi (1998) pour les donnes chiffres sur lincendie de 1666. 4Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond fait de leur capacit lever limpt et de la solvabilit que cela leur procure, ont pu,aufuretmesuredudveloppementdelactivitdassurance,tre envisagspardessocitsprivesqui,pardfinition,disposentderessourceslimites. Parexemple,laconstructionduviaducdeMillau(400M)at intgralementfinanceparlaCompagnieEiffageduviaducdeMillauet ralisepardessocitsdugroupeEiffageenchangeduneconcessionde lexploitation pour une dure de 75 ans. Cest donc cette socit de droit priv qui supporte les risques inhrents la construction. Une socit prive ne peut envisagerdesupporterlecotdunteldificesanslamiseenplacede dispositifs dassurance ad hoc.Onpeuttrouverdautresexemplesdansdesdomainestelsquelenvoide satellitesspatiaux,initialementrservdesusagesmilitairesetscientifiques, qui est maintenant largement ouvert aux socits de communication.Le second axe de dveloppement est celui de la scurisation financire de la socitengnraletdelindividuenparticulier.Lorsquelesautorits britanniquesfavorisentledveloppementdessocitsdassuranceaprs lincendiedeLondresde1666,celapermetauxlondoniensdavoirla possibilitdeseprmunirdecerisquequipouvait emporter la totalit de leur richesse.Decepointdevue,lecontratdassuranceouvreuneoption lindividu ou la compagnie : celle de ne pas subir le risque comme une fatalit. Loffredassurancemetdonclagentconomique,quelquilsoit,devantsa responsabilitenluioffrantuneissueluipermettantdchapper,nonpasla survenance du risque, mais ses consquences financires.Danscertainscas,leprocessusdescurisationdelasocitvaplusloin, puisqueltatatamenimposerlobligationdassurancedansuncertain nombredecas :responsabilitcivileprofessionnelle,responsabilitciviledu conducteur,assurancemaladieouretraitepourlessalaris,etc.Lecaractre obligatoire de ces assurances vise protger les assurs (pour les assurances de personnes obligatoires) et les individus qui ils seraient susceptibles de causer des dommages (assurances de responsabilit). Un rle croissant dans lconomie Souslimpulsiondesdeuxfacteursprcdemmentvoqus,lemarchde lassurance connat un dveloppement continu depuis ses prmices. EnFrance,ledveloppementdelassurancesavreinitialementpluslent quenAngleterre.Pourpreuve,en1681,lordonnancedeColbertsurles activitslieslamerestmuetteenmatiredassurance.Deplus,lamme anne,lesoprationsdassuranceviesontprohibescarjugesimmorales. Danslemmetemps,lapremiretabledemortalitconstruitesurderelles basesscientifiquesvoitlejouren1690,enAngleterre.Cettedatemarquele dbutdelassurancevie.Cependant,enFrance,cenestquen1787,quun arrtduConseildtatautoriselacrationduneCompagnieroyaledes assurancessurlavie.Autorisationdecourtedure,puisquesixansplustard, lesentreprisesdassurancessontsupprimesparlarvolutioncarconsidres commespculatives.Ilfaudraattendrelarestaurationpour voir la renaissance des socits dassurance. Introduction gnrale5 LadeuximepartieduXIXeetleXXesiclesvoientlexpansiondela diversitdeloffreenassurance :deplusenplusderisquessontconcerns. Ainsi,lemontantdescapitauxassursparlessocitsfranaisesdassurance vie progresse, en moyenne, de 35 % par an entre 1907 et 1913 (cf. le rapport du Snat de Lambert (1998)). Silemontantdescapitauxassursprogresse,cestgalementlecasdes provisions techniques que doivent constituer les assureurs du fait de linversion deleurcyclede production. En effet, les assureurs percevant les primes avant derglerlesprestations,ilsdoiventconstituerdesrservesdemaniretre capabledepayerlessinistresenleurtemps.Cesprovisionssontinvestiessur les marchs financiers de manire dgager des produits financiers. Leniveaudecesencoursestunindicateurdudveloppementdelactivit dassurance. Ainsi entre 1976 et 1995, ils ont augment de 17,8 % en moyenne paran(cf.EwaldetLorenzi (1998)).lafindelanne2005,lavaleur2des actifs grs par les assureurs slve 1 285 milliards deuros. Cette somme est investie,pourmoiti,dansdesobligationsoudesactionsdentreprises industriellesetcommerciales.Ainsilassuranceestdefactounacteurmajeur du dveloppement conomique en cela quil participe fortement au financement des projets industriels et commerciaux. Le secteur de lassurance est galement uncrancierdestatspuisque36 %deleuractifestconstitudobligations dtat. Le reste tant investi en immobilier et en montaire. Un contrle spcifique En vertu de leur rle essentiel dans la scurisation financire des individus commedessocits,lescompagniesdassurancefontlobjetduneattention particuliredespouvoirspublicsavecpourobjectifdeprserverlintrtdes assurs,dessouscripteursetdesbnficiairesdecontrats.Lecontrledes assurances se dveloppe partir des annes 30 dans un souci de protection des assursenvuedeparerdessituationstellesquecelledelacaisseLafarge miseenplacelafinduXVIIIesicleetquisesttermineen1888.Cette affairesymbolisetoutcequilnefautpasfaireenassurance :mauvaise information des assurs qui, au surplus, ne comprennent pas les mcanismes en jeu, utilisation dhypothses actuarielles (mortalit) extravagantes, opportunits darbitrages des assurs, malversations suspectes des crateurs de la tontine et affres de la rvolution La veille prudentielle de ltat sur les oprations dassurance sorganise en deux niveaux. Lepremierniveaudinterventiondulgislateurestceluidescontrats.En effet, le Code des assurances oblige les assureurs inscrire dans les contrats des clauses de protection des assurs (telles que les clauses de rachat de contrat, de renonciation, etc.) et impose un formalisme cens procurer lassur une bonne visibilit des droits contractuels dont il bnficie. Ledeuximeniveaurelveducontrledelasoliditfinanciredes assureursetdoncdeleurcapacithonorerleursengagements.Ledroit

2.ValeurestimeparlaFdrationFranaisedesSocitsdAssurances(FFSA)dans son rapport annuel. 6Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond nationaletlatranspositiondesdirectiveseuropennesaconduitlasituation actuelledanslaquellelasolvabilitdesentreprisesdassuranceestapprcie annuellementparlautoritdecontrle3aumoyendesescomptessociaux, dtats rglementaires spcifiques et de divers rapports (rapport de rassurance, rapport de solvabilit, etc.).Il est dailleurs intressant de noter que les actuelles rgles de solvabilit se sontenrichiesdansletempsaveclvolutiondelagestiondesrisqueset notammentlapriseencomptercentedecertainsrisques4pesantsurles assureurs.Aussilesystmedesolvabilitsestconstruiten empilant des nouvelles contraintes au fur et mesure de lidentification de nouveaux risques (cf.Thrond (2005)).Cestainsiquesontapparusrcemmentdenouveaux tats rglementaires tels que : les tats trimestriels T3 de suivi actif-passif ; letestdexigibilit(tatC6bis)quipermetdapprcierlasoliditde lentreprisedesscnariosadversesdactifs(chutedesmarchs boursiersetimmobilier,haussedestauxdintrt)etdepassifs (triplement des rachats, sur-sinistralit, etc.) ; les stress-tests sur les dispositifs de rassurance (tats C8 et C9). De nouveaux enjeux Aujourdhui, le secteur de lassurance est confront une triple mutation : prudentielleaveclavnementdufuturcadreprudentieleuropenqui rsultera du projet Solvabilit 2 ; dureportingfinancieraveclerecoursdeplusenplusmassifaux mthodes dEuropean Embedded Value de valorisation de compagnie dassurance ; comptable avec la prparation de la phase II de la norme internationale IFRS consacre aux contrats dassurance. Danscecontexte,lesassureurssontinvits,pourchacundecestrois aspects,mieuxidentifier,mesureretgrerlesrisquesauxquelsilssont soumis.Cestroisrfrentielssinscriventdansunemmelogiqueduniformisation internationale ( tout le moins communautaire) et de transparence. Pour cela, la rfrence aumarch estomniprsente :dsquecestpossible,cesten rfrence au march que les engagements dassurance doivent tre valoriss. En particulier,lesrisquesfinanciersdoiventtretraitsdelammemanireque des instruments financiers qui seraient cots sur un march financier liquide. Ce principe nest pas sans poser des problmes conceptuels et oprationnels. Poursenconvaincre,ilsuffitdeconsidrerun simple contrat dassuranceviedetypepargne.Cescontratsprsententleplussouventdes taux garantis (taux minimum garanti, taux technique ou taux annuel garanti) et

3. LAutorit de Contrle des Assurances et des Mutuelles (ACAM). 4.Laplupartdecesrisquesnesontpasproprementparlernouveaux :cest gnralement laugmentation de la vraisemblance de leur survenance et lvolution des outils techniques qui a entran leur prise en compte. Introduction gnrale7 uneclausedeparticipationauxbnficestechniquesetfinanciers(clause rglementaire du Code des assurances ou contractuellement plus favorable pour lassur).Ainsi,chaquefindanne,lemontantdelpargneaccumuleest revaloris des intrts techniques et de la participation aux bnfices. Dans les faits,laparticipationauxbnficesaccordeauxassurssavresouvent suprieure la clause rglementaire ou contractuelle. Par ailleurs, la plupart des nouveauxcontratsnedisposentplusdetauxtechniqueoudetauxminimum garantisurladureducontratmaispluttdestauxgarantisannuellementen fonctiondesperformancesdelannecoule.Orpourcescontrats, lengagementdetauxestrelativementfaibleetla PB discrtionnaire constitue une grande partie de la revalorisation. La revalorisation provient donc, en grand partie de la dcision de lassureur. Cette dcision intervient de deux manires : dans le pilotage du rendement financier de la compagnie, dans le choix du niveau de revalorisation des contrats. Lalatitudementionneaupremierpointrsidedanslefaitquelesclauses de participation aux bnfices font rfrence au rendement comptable des actifs enreprsentationdesengagements5.Ainsiuncontratpourraprvoirqueles assursbnficierontdaumoins95 %desbnficesfinanciers.Sicettergle sembleconstituerunminimumobjectif,lassureurdisposedunemargede manuvre dans la constitution du rendement qui sert dassiette ce calcul. En effet,dufaitdumodedecomptabilisationdesactifsfinanciers(largle gnrale tant le cot historique dans la rglementation franaise), un assureur quidisposedetitresenplusoumoins-valueslatentespeutdcider,par exemple, de vendre des titres en plus-values latentes, pour doper son rendement ou,aucontraire,delesconservercommematelasdescuritpourdestemps plus difficiles. Concernantledeuximepoint,demanirediscrtionnaire6,lassureurpeut revaloriserdavantagelpargnepourcertainsproduitsquepourdautres,en favorisant, par exemple, les plus rentables de manire conserver ces contrats. Deplus,lesassursbnficientdudroitderacheterleurcontratnimporte quel moment moyennant une pnalit de rachat qui ne peut pas tre suprieure 5 % de la valeur de lpargne. On voit donc que, pour un contrat aussi simple que celui prsent et dont on auraitpudire,apriori,quilsagissaituniquementdunproduitdrivsur lactifdelassureur,lednouementducontratetlvolutiondelpargneva non seulement dpendre de celle des rendements financiers mais galement du comportement de lassureur (revalorisation notamment) et de lassur (rachat). Parailleurs,onserendrapidementcomptequecomportementsdesassurset delassureurnesontpasindpendants :silassureurnerevalorisepas suffisamment lpargne, il risque de voir les assurs racheter leurs contrats et ne pas en souscrire dautres. De plus, en pratique, on observe des comportements quelonpourrait juger irrationnels : rachats de contrats avec des taux garantis plus levs que les taux actuels de march (en vue de financer un emprunt par

5.Leplussouventlactifgnraldelacompagnieetdanscertainscasdesactifs cantonns. 6.Lassureuresttenuderevaloriserlpargneselonunminimum contractuel mais cela ne constitue quun minimum, il peut leur accorder une revalorisation plus favorable. 8Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond exemple),parexemple.Aussilassimilation,desfinsdevalorisation,dune optionderachatsuruncontratdpargneeneurosuneoptionfinancire caractreeuropennestpasvidentepuisque,defacto,lesassursnese comportent pas comme des investisseurs sur un march financier liquide. Lescomportementsobservspeuventtrerapprochs,pourleuraspect irrationnel,delaprospecttheoryouthoriedesperspectives(1979)de Kahneman7etTverskyquireposesurlobservationdecomportements asymtriques des individus selon quils viennent de subir un gain ou une perte. En effet, aprs des gains, les personnes ont tendance consolider leurs gains en vendant leurs actifs financiers par exemple de manire matrialiser le gain et seprmunircontreunebaisse.Alorsquaprsuneperte,surtoutsielleest consquente,latendanceestsurinvestirdansdesplacementsrisqus, puisquil ny a plus rien perdre de manire conserver une probabilit de se refaire . Ainsilesmthodesdinspirationfinancire,prnesparlesnouveaux rfrentiels,seheurtentparfoislaralitdesobservations.Eneffet,ces mthodesonttlaboresdansdescontextesolesinstrumentsquelon cherche valoriser sont des drivs de titres cots dont lvolution du cours est indpendante du comportement des parties prenantes. En assurance, la situation est diffrente. Ces mthodes de valorisation ncessitent donc la modlisation du comportementdesassursetdelassureur.Orceux-ciontdescomportements parfois diffrents de ceux dinvestisseurs sur un march financier. Organisation de la thse Lobjectif de cette thse est de prsenter les principes communs sur lesquels reposent les trois nouveaux rfrentiels, dillustrer la limite de leur application en assurance et de proposer des modles pour leur mise en uvre effective.Pourcela,lapremirepartieestconsacrelaprsentationdesnouveaux rfrentielsprudentiel,comptableetdecommunicationfinancireetinsiste plusparticulirementsurlamaniredontlesrisquessontvalorisset lincidence de ces principes dvaluation en termes de gestion dune compagnie dassurance. Lasecondepartieabordecesnouvellesnormessousunangleplus oprationnel en identifiant un certain nombre de problmes pratiques auxquels leur mise en uvre confronte lactuaire et en proposant des modles permettant de surmonter ces difficults.

7.KahnemanreutleprixNobeldconomieen2002poursestravauxenfinance comportementale. PARTIE I NOUVELLES APPROCHES COMPTABLE, PRUDENTIELLE ET FINANCIRE DES RISQUES EN ASSURANCE Lapremirepartiedecettethseestddieauxrisquesportsparles socits dassurance, leurs caractristiques et leur traitement. En effet, lactivit dassuranceestnedubesoindeseprmunircontrelerisque(lesagents conomiquessontgnralementaversesauxrisquesquipeuventrduireleur patrimoine), ce que permet lopration dassurance en transfrant les risques de lassur vers lassureur qui, en vertu de la loi des grands nombres, bnficie de leseffetsdelamutualisationetestdoncrelativementmoinsexposaurisque que lassur. Les volutions rcentes ou venir amnent les assureurs reconsidrer, au moinspourpartie,leurvisiondesrisquesquilsassurent.Ainsi,quilsagisse desnouvellesdispositionsrglementaires(Solvabilit 2),decommunication financire(EEV/MCEV)oucomptables(IFRS),lobjectifestsimilaire : identifier les risques et les analyser le plus finement possible.Le passage dun systme o les hypothses sont exognes et prudentes, car contraintesparlarglementation,unsystmeoleshypothseslesplus ralistesdoiventtreprivilgiesconduitprendreenconsidrationde nouveaux risques . Ces risques ne sont gnralement pas proprement parler nouveaux :laplupartdutemps,ilsexistaientdjmaisnavaientpast soittudisplusavantdufaitdeleurcaractresecondaireparrapportaux risquesprincipaux,soitidentifis.Parexemple,danslecasdurisquede mortalit,unassureurquiveuttudiercerisqueva,dansunpremiertemps, considrersonportefeuilleetlhistoriquedesdonnescorrespondantde maniretablirdesstatistiquesdescriptivesdesuividurisque.Surdes portefeuillesdassureurs,compte-tenudelatailledeschantillons,detelles tudesmettrontenvidencelephnomnedefluctuationdchantillonnage autour de la tendance centrale qui est le risque principal, mais certainement pas lesrisquessystmatiquesdemortalit(mortalitstochastiqueetrisquede longvit)quisavrentrelativementpluspetits(cf.Planchetet Thrond (2007a)pourunetudedurisquedemortalitsurunportefeuillede rentiers).Cesdeuxrisquesnepourronttreidentifisquepardestudesplus pousses,entudiantparexemple,enparalllelesstatistiquesnationalesde lvolution au cours du temps de la mortalit. Cette partie sorganise en trois chapitres. 10Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Lepremierchapitresintresseauxaspectsthoriquesdutraitementdu risque.Aprsunepremirepartieconsacrelanalysemathmatiquedes risques(leurmesureetleurcomparaison),nousverrons,dansundeuxime temps, que diffrents modles de valorisation co-existent en assurance et que le recoursauxmodlesconomiquesissus de la thorie financire est de plus en plus frquent. Il convient nanmoins de remarquer quassocier une valeur un risqueetlegrerdemanireeffectiverelventdedeuxdmarchesdistinctes. Cepointestillustrdanslecasdunegarantieplancherencasdedcsde lassur sur un contrat dpargne en units de compte. Ledeuximechapitresattacheidentifierlesdivergencesentreles diffrentielsprcdemmentvoqusdemanireentirerlesconclusions adquatesentermesoprationnels.Eneffet,mmesilsreposentsurunsocle deprincipescommuns,ladiversitdesfinalitsdesrfrentielsconduitdes options diffrentes dans la modlisation des produits dassurance.En particulier, un des principes fondamentaux commun aux trois approches estlutilisationdhypothsesbestestimate,i.e.lerecoursauxhypothsesles plus ralistes compte-tenu de linformation dont dispose lassureur. Ce point est fondamental car il diffre du contexte traditionnel de lassurance qui repose sur des hypothses prudentes. Par exemple, le taux dactualisation dun rgime de rentiers ne doit pas, selon la rglementation franaise, tre suprieur 60 % du tauxmoyendesempruntsdeltatfranais(TME)quandbienmmeune socitdassuranceinvestiraitintgralementenOATdisposeraitdun rendement(certain)suprieurcetauxdactualisation.titreillustratif,une attentionparticulireestportesurlvolutionrcentedestablesdemortalit pourlesrisquesviagers.Cetexemplemontrequesurunepriodedetemps relativementrduite,lestimationdelvolutiondeteloutelphnomne (lesprance rsiduelle de vie 60 ans pour un assur n en 1950 par exemple) peut tre rvise en profondeur et avoir un impact important sur les niveaux de provisionstechniques.Deplusdanscertainscas,unmmephnomnesera modlissurdesbasesdiffrentesselonqueloncherchevaloriserun portefeuille de contrats ou assurer sa solvabilit.Parailleurs,lavalorisationdesportefeuillesdassurancencessite frquemmentlamodlisationducomportementdelassureuretdesassurs, particulirement en assurance vie. Aussi les modles implments ont de rels impactssurlesvalorisationsobtenues.Unexempledanslecasdelagestion dun portefeuille financier vient illustrer cela. Enfincechapitreseconclutsurlamodlisationetlavalorisationdun portefeuille dassurance vie. LesexigencesquantitativesprvuesdanslePilier IdeSolvabilit 2 prvoientnotammentdesexigencesdefondspropresenrfrenceaurisque global support par lassureur. Cette dmarche impose des contraintes fortes en termesdegestiontechnique.Letroisimechapitremetainsienvidenceles consquences du changement de rfrentiel prudentiel sur la gestion des actifs de la socit. Le projet Solvabilit 2 fixant les exigences quantitatives de fonds propres en fonction du risque global support par la compagnie, nimporte quel actedegestionmodifiantlastructureoulaformedecerisqueapour consquenceautomatiqueetimmdiatedemodifierlexigenceminimalede Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques11 capitauxpropres.Noustudieronsceladanslecasduchoixduneallocation stratgiquedactifsetobservonsnotammentlamaniredontleprocessusde fixationdelallocationvolueentrelarglementationprudentielleactuelleet Solvabilit 2. Chapitre 1 Traitement spcifique du risque : aspects thoriques Lactivitdassurancereposesurleconceptdetransfertderisque : moyennant une prime, lassur se protge dun ala financier. Mesurer le risque assur savre donc invitable puisque cette information est ncessaire dans le cadre de la tarification pour dterminer les chargements de scurit ajouter la prime pure et dans une approche de solvabilit pour dterminer le niveau des rserves et des fonds propres dont doit disposer lassureur pour tre solvable. En effet, bien que bnficiant de leffet de mutualisation, lassureur ne peut secontenterdedemanderlaprimepuredesrisquesquilassure.Cepourune raisonvidente :lamutualisationnesauraittreparfaiteetdslorsne demanderquelaprimepurereviendraitceque,enmoyenne,lasocit dassurance soit en perte prs dun exercice sur deux1. Leniveaudefondspropresvientensuitecommeunmatelasdescurit destin amortir une sinistralit excessive mais aussi des placements risqus.Lebutdecechapitreest,dansunpremiertemps,deprsenterlesoutils permettantdecomparerlesrisquesetdapprcierleurdangerosit,puis danalyserletraitementdurisquequiesteffectuselonquelonsuitune dmarche financire de valorisation ou une dmarche assurantielle de contrle et de gestion du risque.Cesconceptssontillustrsdanslecasdunegarantieplancherencasde dcs adosse un contrat dassurance vie en units de compte. 1.Les outils mathmatiques de lanalyse des risques Cepremierparagrapheapourobjectifdersumerenquelquespagesles outilsmathmatiquesusuelsdemesureetdecomparaisonsdesrisques.Une attention particulire est porte aux caractristiques particulires que lon peut attendredesmesuresderisquepourpouvoirtreutilisesdesfinsde solvabilit et de mesure de capitaux conomiques. 1.1.Les mesures de risque Aprsavoirdfinicequestunemesurederisque,nousrappelonsles principales proprits quelles doivent respectes pour tre juges satisfaisantes puis faisons un rapide tout dhorizon des mesures de risque les plus utilises.

1.Daprslethormedelalimitecentraleledboursmoyendelassureurconverge avec le nombre de polices vers une variable gaussienne et donc symtrique. 14Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond 1.1.1.Dfinition et proprits Nousreprenonsiciladfinitiondunemesurederisquetellequelleest formalise dans Denuit et Charpentier (2004). Dfinition 1. Mesure de risque On appelle mesure de risque toute application associant un risque X un rel( ) { } R X+ + . En particulier, cette dfinition nous permet dtablir que lorsquils existent, lesprance, la variance ou lcart-type sont des mesures de risque. Siungrandnombredapplicationsrpondentladfinitiondemesurede risque,pourtrejuge satisfaisante ilestsouventexigdunemesurede risque davoir certaines proprits dont les plus frquentes sont rappeles infra. 1.1.1.1Chargement de scurit Lanotiondechargementdescuritesttroitementliecellede tarification :unprincipedeprimecontientunchargementdescuritsil conduit exiger une prime suprieure celle qui est exige si la mutualisation des risques est parfaite (cf. Partrat et Besson (2005)). Dfinition 2. Chargement de scurit Unemesurederisquecontientunchargementdescuritsipourtout risque X, on a( ) | | E X X . NousverronsdanslasuitequuneTail-Value-at-Risk(TVaR),lorsquelle existe, contient un chargement de scurit ce qui nest pas le cas dune Value-at-Risk (VaR). 1.1.1.2Mesure de risque cohrente Ladfinitiondunemesurederisqueesttrsgnralepuisquetoute fonctionnellerellepositivedunevariablealatoirepeuttreconsidre commetantunemesurederisque.Aussi,enpratique,onexigedetelles mesuresquellesdisposentdepropritsmathmatiquesdontlatranscription conceptuelle permette de les jauger. En pratique, on exige frquemment quune mesure de risque possde une partie des caractristiques suivantes : Invariance par translation :( ) ( ) c X c X + = + pour toute constante c. Sous-additivit :( ) ( ) ( ) Y X Y X + + quelsquesoientles risques X et Y. Homognit :( ) ( ) X c X c =pour toute constante positive c. Monotonie :| | ( ) ( ) Pr 1 X Y X Y < = quelsquesoientles risques X et Y.Cescaractristiquestrouventuneinterprtationnaturelledanslasituation o la mesure de risque doit permettre de dfinir un capital de solvabilit dune socit dassurance. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques15 Ainsilasous-additivitreprsenteleffetdeladiversification :unesocit qui couvre deux risques ne ncessite pas davantage de capitaux que la somme de ceux obtenus pour deux entits distinctes se partageant ces deux risques. Lamonotonietraduitquantellelefaitquesilemontantrsultatdun risqueestsystmatiquement(ausenspresquesr)infrieurceluirsultant dun autre risque, le capital ncessaire couvrir le premier risque ne saurait tre suprieur celui ncessaire pour couvrir le second. Lassociationdecesquatreaxiomesadonnnaissanceauconceptde cohrence dune mesure de risque dans Artzner et al. (1999). Dfinition 3. Mesure de risque cohrente Unemesurederisqueinvariantepartranslation,sous-additive,homogne et monotone est dite cohrente. Cettenotiondecohrencenesttoutefoispascequelonattendaminima dunemesurederisque.Ainsicertainesmesuresderisqueparmilesplus exploites actuellement ne le sont pas. Cest notamment le cas de la Value-at-Risk (VaR) ou encore de la variance. 1.1.1.3Mesure de risque comonotone additive Rappelonsquunvecteuralatoire( )2 1X X ; ,defonctionsderpartition marginales 2 1F F, , est un vecteur comonotone sil existe une variable alatoire Udeloiuniformesur| | 1 0; telleque( )2 1X X ; alammeloique ( ) ( ) ( ) U F U F1211 ; . Dfinition 4. Mesure de risque comonotone On appelle mesure de risque comonotone additive toute mesure de risque telleque :( ) ( ) ( )2 1 2 1 X X X X + = + pourtoutvecteurcomonotone ( )2 1X X ; . Unemesurederisquecomonotoneadditiveintgredonclefaitquedeux risquescomonotonesnesemutualisentpas.Pourunemesureutilisepour dterminer un capital de solvabilit, cette proprit est souhaitable puisque, ds que le risque U se produit, les risques X1 et X2 se produisent galement avec une ampleur croissante avec celle de U. 1.1.2.Mesures de risque usuelles Lobjetdeceparagrapheestdeprsenterlesmesuresderisquelesplus usuelles. On sattardera particulirement sur la Value-at-Risk et la Tail-Value-at-Risk dont lutilisation en assurance va tre prennise par le futur systme de solvabiliteuropen(Solvabilit 2)puisquellesserontlabasedela dterminationduniveauprudentieldesprovisionstechniquesetdubesoinen fonds propres : le capital cible ou Solvency Capital Requirement (SCR). 1.1.2.1Lcart-type et la variance Cesontlespremiresmesuresderisqueavoirtutilises ;onles retrouvenotammentdans le critre de Markowitz (moyenne-variance) qui sert 16Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond de socle aux premires thories dvaluation des actifs (MEDAF). Toutefois ce critre nest pas bien adapt lactivit dassurance, notamment parce quil est symtrique et pnalise autant les bonnes variations que les mauvaises . 1.1.2.2La Value-at-Risk (VaR) La notion de Value-at-Risk ou valeur ajuste au risque sest originellement dveloppedanslesmilieuxfinanciersavantdtrelargementreprisedansles problmatiquesassurantielles.Elleestnotammentlamesurederisquesur laquelle repose le nouveau rfrentiel prudentiel Solvabilit 2. De plus, elle est voque dans les travaux de lIAS Board comme une des mesure envisageables pour le calibrage des marges pour risque des provisions techniques. Dfinition 5. Value-at-Risk (VaR) La Value-at-Risk (VaR) de niveau associe au risque X est donne par :( ) | | { }, Inf Pr VaR X x X x = . On notera que( ) ( ) 1 =XF X VaR ,o 1 XFdsigne la fonction quantile de laloideX.Rappelonsque,danslecasgnral,lafonctionquantileestla pseudo-inverse de la fonction de rpartition, soit ( )( ){ }1inf |XF p x F x p= . Cettemesurederisquealemritedereposersurunconceptsimpleet facilementexplicable :( ) , VaR X estlemontantquipermettradecouvrirle montantdesinistresengendrparlerisqueXavecuneprobabilit .Ce conceptestdirectementliceluideprobabilitderuinepuisquesiune socit, disposant dun montant de ressources gal ( ) , VaR X , assure un unique risque X, sa probabilit de ruine est gale 1 . Comme voqu prcdemment, la VaR nest pas cohrente car elle nest pas sous-additive. Ce rsultat peut se dmontrer laide dun contre-exemple. Soit X et Y deux variablesalatoiresindpendantesdeloisdeParetodeparamtres(2 ;1)et (2 ; 2), alors| | 0;1 ,( ) ( ) ( ) X VaR X VaR Y X VaR + > + , comme lillustre la Figure 1. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques17 Figure 1 - Value-at-Risk de la somme de deux v.a. de Pareto 0246810120% 20% 40% 60% 80% 100%Ordre de la VaRVaR(X+Y) VaR(X)+VaR(Y) RappelonsquunevariablealatoireXdeloidePareto( ) ; Par apour fonction de rpartition 1||.|

\|+ =xx FX) (si0 > x , et0 = ) (x FX sinon. Sa fonction quantile se calcule facilement et vaut : ( ) ( )1 1 1 1XF p p (= . LesValue-at-Riskontuncertainnombrede bonnes proprits mathmatiquesparmilesquelleslefaitquepourtoutefonctiongcroissanteet continue gauche, on a :( ) ( ) ( ) ( ) X VaR g X g VaR = . Ildcouledecettepropritenprenant 1 11 2g F F = + etX U = ,queles VaRsontcomonotonesadditivespuisquepourtout| | 1 0 ; ,ona ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U VaR F F U F F VaR12111211 + = + .1.1.2.3La Tail-Value-at-Risk (TVaR) InitialementprsentedanslestravauxdelaCommissionEuropenne commeunedesdeuxalternativespossibles(aveclaValue-at-Risk)comme critre de fixation de lexigence de capitaux propres dans Solvabilit 2, la Tail Value-at-Risk a rencontr beaucoup de partisans parmi les techniciens arguant du fait que linformation sur la probabilit de ruine fournie par la VaR nest pas suffisantemaisquilfautaussienconnatresonampleur.Nanmoinsellena finalementpaseulesfaveursduCEIOPS(cf.lannexeddieQIS 3) notamment du fait de sa difficult de mise en uvre : esprance sur les valeurs extrmesdunedistributionquelonnobservepasdirectementlaplupartdu temps (cf. le Chapitre 4). 18Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Dfinition 6. Tail Value-at-Risk (TVaR) La Tail Value-at-Risk de niveau associe au risque X est donne par :( ) ( )=11 11 dp p F X TVaRX, . On remarque que la TVaR peut sexprimer en fonction de la VaR : ( ) ( ) ( ) ( )1, , E , 1 TVaR X VaR X X VaR X+ (= + ( . Ilvientdecettercriturequepourtout| | 1 0 ; , ( ) | |E TVaR X X < + < + . Par ailleurs, le deuxime terme du membre de droitereprsentelapertemoyenneau-deldelaVaR,laTVaRestdonctrs sensible la forme de la queue de distribution.Proprits : Une Tail Value-at-Risk : est cohrente ; inclut un chargement de scurit ; est comonotone additive. Les deux derniers points rsultent : pourlechargementdescurit,dufaitquepourtout 0 , ( ) ( )| |; ; 0 E TVaR X TVaR X X =; pourlapropritdadditivitpourdesrisquescomonotones,dufait quelaTVaRestunesommedeVaRquisontelles-mmes comonotones additives. Dfinition 7. Expected Shortfall (ES) Lexpectedshortfalldeniveaudeprobabilitestlapertemoyenneau-del de la VaR au niveau , i. e.( ) ( ) ( )E , ES X X VaR X+ (= ( . On peut remarquer que si X reprsente la charge brute de sinistres,( ) X ES estlemontantdelaprimeStop-Lossdontlartentionpourlassureurestla VaR au niveau . Dfinition 8. Conditionnal Tail Expectation (CTE)LaConditionnalTailExpectationdeniveauestlemontantdelaperte moyenne sachant que celle-ci dpasse la VaR au niveau , i. e.( ) ( ) , E VaR , CTE X X X X( = > . CettedfinitionesttrsprochedecelledelaTail-Value-at-Risketen particulier, ces deux mesures concident lorsque la fonction de rpartition XFdu risqueXest continue. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques19 Remarquons que si la TVaR est comonotone additive, ce nest, en gnral, paslecasdelaCTE(cf.Dhaene,Vanduffeletal. (2004)pouruncontre-exemple). 1.1.2.4Mesures de risque de Wang LesmesuresderisquedeWang (2002)utilisentloprateuresprancesur destransformationsdeladistributiondelavariablealatoiredintrt.Lide esteneffetdalourdirlaqueuedeladistributiondelavariabledintrtafin dengendrer un chargement par rapport la prime pure. Cette transformation de la fonction de rpartition sera effectue laide dune fonction de distorsion. Rappelonsquunefonctiondedistorsion est une fonction non dcroissante | | | | 1 0 1 0 ; ; : gtelle que0 0 = ) ( get1 1 = ) ( g . Dfinition 9. Mesure de risque de Wang On appelle mesure de risque de Wang issue de la fonction de distorsion g, la mesure g dfinie par :( ) | | ( )0 PrgX g X x dx= >. OnremarquequetoutemesuredeWangpeutscrirecommesommede VaR, i. e.( ) ( ) ( ) 1 10dg X VaR Xg = , . Eneffet,silonnote| | ( ) 1 PrXF x X x = ,ona ( )( )0( ) ()XF xXg F x dg = puisque( ) 0 0 = g donc( ){ }( ) =010 dx dg Xx FgX) (1 .Ondduitdu thorme de Fubini que :( ){ }( ) ( ) = =10110 0 1 dg F dg dx XXx FgX) ( 1) (. Dfinition 10. Wang-Transform (WT) On appelle Wang-Transform (WT) la mesure de risque de Wang issue de la fonction de distorsion( ) ( ) ( )1 1 g x x (= . Certaines mesures de risque usuelles telles que la VaR ou la TVaR sont des mesuresderisquedeWang,letableauci-dessousreprendlesfonctionsde distorsion correspondantes. 20Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Tableau 1 - Fonctions de distorsion associes quelques mesures de risque Mesure de risqueParamtreFonction de distorsion Value-at-RiskVaR ( )| |( );g x x+= 1Tail-Value-at-RiskTVaR( ) ( ) min /(1 );1 g x x = Mesure de risque PH PH( ) 1/x x g =Wang-transformWT( ) ( ) ( )1 1 g x x (= Figure 2 - Quelques fonctions de distorsion 0,000,250,500,751,000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0VaR (75%) TVaR (75%) PH (2) WT (0,25) Les mesures de risque de Wang sont homognes, invariantes par translation et monotones. Une mesure de Wang nest en revanche sous-additive que si, et seulement si, la fonction de distorsion dont elle est issue est concave. Ainsi une mesure de Wang est cohrente si, et seulement si, la fonction de distorsioncorrespondanteestconcave.Eneffet,sigestunefonctionde distorsionconcave, Xg Festcontinuedroiteetestdonclafonctionde queue dune variable alatoire. Ainsi ( )gXest lesprance mathmatique de la variable alatoire de fonction de queue Xg F. Enfin comme une mesure de Wang peut scrire sous la forme dune somme deVaRquisontcomonotonesadditives,elleestelle-mmeadditivepourdes risques comonotones. Ladmarchedesmesuresdedistorsionestrapprocherdecelledela valorisationdedrivsfinanciers(cf.leparagraphe2.2) :ondtermineune esprancesurunedformationdela distribution de la variable dintrt. Dans lapprochefinancire,latransformationsedduitdesprixobservssurle Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques21 march :lechoixdelunoprateur de distorsion ne revient pas lactuaire, il lui est impos par le march. 1.1.2.5Mesure de risque dEsscher La mesure de risque dEsscher consiste mesurer le risque comme tant la prime pure, i. e. lesprance de la transforme dEsscher du risque initial. Dfinition 11. Mesure de risque dEsscher OnappellemesuredEsscherdeparamtre0 > h durisqueX,lamesure de risque donne par : ( )| || |E; ln EEhXhXhXX e dEs X h edhe ( = = . LamesurederisquedEsschernestpascohrentecarellenestni homogne, ni monotone. En revanche, elle contient un chargement de scurit puisque( ) h X Es ;est une fonction croissante en h et( ) | | ; 0 E Es X X = . 1.1.3.Choix dune mesure de risque pour dterminer un capital conomique Les travaux en cours sur Solvabilit 2 voquent lutilisation de mesures de risquedansladterminationducapitalciblencessaireunesocit dassurancepourprennisersonactivit.Cecapitalcibleseradterminen rfrenceunemesurederisqueappliqueaurisqueglobalsupportparla socit.Cerisqueglobalseramodlispartirduneformulecommune toutes les compagnies dassurance europenne ou partir dun modle interne. LesmesuresderisquelesplussouventcitessontlaValue-at-RisketlaTail-Value-at-Risk.UndesprincipauxargumentsenfaveurdelaTVaRest notammentlefaitquelle soit sous-additive, ce qui est assez intuitif sagissant dune mesure de risque destine calculer un capital de solvabilit. NanmoinslestravauxrcentsdeDhaene,Laevenetal. (2004)montrent quelapropritdesous-additivitestparfoistropforte.Eneffetconsidrons deuxrisquesX1etX2,etlamesurederisqueassocieladterminationdu capital rglementaire. Si est trop sous-additive, on peut se retrouver dans une situation o( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2E E E X X X X X X X X+ + + (((+ + > + ((( . Cetteingalitsignifiequelampleurdelaruinemoyennedunesocit pratiquant les risques X1 et X2 et disposant dun capital de niveau( )2 1 X X+estplusimportantequelasommedelampleurdelaruinemoyennededeux socitsdecapitauxrespectifs( )1 X et( )2 X couvrantrespectivementles risquesX1etX2.Dhaene,Laeven et al. (2004) illustrent cette ingalit lorsque lamesurederisqueconsidreestlaTVaR,enprenantdeuxrisques indpendants de loi de Bernoulli de mme paramtre. Dans le cadre du choix de la mesure de risque permettant de dterminer le capital cible (au sens de Solvabilit 2), ils proposent donc de ne retenir que les 22Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond mesuresderisquequirespectentlaconditiondurgulateur,savoirles mesures de risques telles que pourfix dans| | 1 0;et pour tous risques X1 et X2, lingalit suivante soit vrifie : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }21 2 1 2 1 21E E i i iiX X X X X X X X X+ +=+ + + + + (( . Notonsquepeutsinterprtercommelecotdelimmobilisationdu capital,puisque,ledeuximetermedupremiermembredelingalit prcdentepeutsinterprtercommelefluxdestinationdelactionnairede manirelermunrerducapital ( )1 2 X X + quil prte lasocit.A partir de cette condition, ils dmontrent les trois proprits suivantes. Soit| | 1 0 ; .Laconditiondurgulateurenrfrenceauniveau est satisfaite : pour les pTVaRtelles que 1 > p , pour la 1VaR , pourtoutemesurederisquesous-additivetelleque ( ) ( ) 1 , X VaR X . Enconclusion,ilsdmontrentenfinquelaVaRdeniveau 1 estla mesure de risque respectant la condition du rgulateur qui conduit au plus petit niveau de capital. 1.1.4.Value-at-Risk LaValueatRisk(VaR)tenddevenirunindicateurderisquelargement utilis tant par les tablissements financiers que par les compagnies dassurance carellepermetdapprhenderlerisqueglobaldansuneunitdemesure commune tous les risques encourus, quelle que soit leur nature. Lobjectif de cette section est de fournir une prsentation plus intuitive de la notion de VaR que la formalisation mathmatique directe prsente supra. Pour simplifierlaprsentation,onseplacedanslecontextedunportefeuille financier. Pour un horizon de gestion donn, la VaR correspond au montant de perte probableduportefeuille.Elleexprimelaperteliedesvariations dfavorables.Silonnote leseuildeconfiancechoisi,laVaRvrifiedonc lquation suivante : | | Pr perte 1 VaR > = . Afin de calculer la VaR, il est essentiel de spcifier la priode sur laquelle la variation de valeur du portefeuille est mesure et le seuil de confiance 1 .IlexisteenpratiquetroismthodesdecalculdelaVaR.Notonsds prsentquelesdeuxpremiresmthodesutilisentlesdonnesdupasspour estimerlesvariationspotentiellesdelavaleurduportefeuille.Celasuppose implicitementquelefutursecomportecommelepass:ilfautdoncfaire lhypothse que la srie temporelle des valeurs du portefeuille est stationnaire. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques23 1.1.4.1Les diffrentes approches La VaR analytique Danscemodle,lavaleuralgbriquedunportefeuilleestreprsentepar unecombinaisonlinairedeKfacteursgaussiens.Notons( ) t P lavaleurdu portefeuilleent,( ) t F levecteurgaussiendesfacteursetalevecteurdes sensibilits aux facteurs, de dimension K. Supposonsque ( )( ) , F t m V N .Aladatet,lavaleurduportefeuilleest ) ( ' ) ( t F a t P = . Ent,) ( 1 + t P estunevariablealatoiregaussiennedeloi( ) , a m a Va N . La valeur de la VaR pour un seuil de confiance x correspond alors : ( ) ( ) ( )Pr 1 P t P t VaR + = . Ladiffrence( ) ( ) 1 P t P t + reprsentelavariationdevaleurdu portefeuilleentrelinstant1 + t etlinstantt.Onestdoncenprsencedune pertesilavaleurraliseduportefeuilledansunepriodeestinfrieuresa valeur daujourdhui.Comme) ( 1 + t P estunevariablealatoiregaussiennedemoyennem a' et de varianceVa a' , nous avons alors lquation suivante : ( )( )11 'Pr 1 'P t a ma Va| | + = | |\ ., o1estlinversedelafonctionderpartitiondunegaussiennecentreet rduite. Comme( ) ( ) 11 1 = , nous obtenons alors que( ) 1 + = Va a m a t P VaR ' ' ) ( . LorsquelesfacteursFmodlisentdirectementlavariationduportefeuille, etcommenoussupposonsengnralque0 = m ,nousobtenonsalors ( ) 1 = Va a VaR ' . La VaR apparat alors proportionnelle lcart type de la variation de valeur du portefeuille. Cettemthodeanalytiquereposesurtroishypothsesquipermettentde simplifier les calculs : lindpendance temporelle des variations de la valeur du portefeuille, la normalit des facteurs de risque) (t F et la relation linaire entre les facteurs de risque et la valeur du portefeuille. Laprincipaledifficultdecettemthodeestdidentifierlesfacteurset destimerlamatricedecovariance.Cettemthodeanalytiqueneprenden comptequedesrelationslinairesentrelesfacteursderisqueetlavaleurdu portefeuille. 24Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond La VaR historique Contrairement la VaR analytique, la VaR historique est entirement base surlesvariationshistoriquesdesfacteursderisque.Supposonsquenous disposionsdunhistoriquedetailleN.En 0t nouspouvonsvaloriserle portefeuille avec les facteurs de risque de lhistorique en calculant pour chaque date ( )0 01, , t t t N = une valeur potentielle du portefeuille. On dtermine ainsi N variations potentielles. Ainsi, partir de lhistorique, nous construisons ainsi une distribution empirique de laquelle il est possible dextraire le quantile %. Pour cela, il faut ranger les N pertes potentielles par ordre croissant et prendrelavaleurabsoluedela ( )1 N -mepluspetitevaleur.Lorsque ( )1 N nestpasunnombreentier,oncalculelaVaRparinterpolation linaire. Engnral,laVaRhistoriquenimposepasdhypothsessurlaloides facteurs de risque la diffrence de la mthode analytique. Mais il est tout de mmencessairedavoirunmodlesous-jacentpourestimerlesfacteursde risquepourlhistoriquedelongueurN.Cettemthodeesttrsutilisedansla pratiquecarelleestsimpleconceptuellementetestfacileimplmenter. Cependant,elleprsentequelquesdifficults :eneffet,lestimationdun quantiledemandebeaucoupdobservations,conditionrarementraliseen pratiqueenassurance.Cestparticulirementlecaslorsquilsagitdestimer desvaleursdanslaqueuedunedistribution.LeChapitre4sintresseces problmatiques, dans lesquelles, le recours la thorie des extrmes permet de disposer destimateurs performants compars aux estimateurs empiriques. La VaR alatoire (ou VaR Monte-Carlo) La VaR Monte Carlo est base sur la simulation des facteurs de risque dont on se donne la distribution. Cette mthode consiste valoriser le portefeuille en appliquantcesfacteurssimuls.Ilsuffitalorsdecalculerlequantile correspondanttoutcommepourlamthodedelaVaRhistorique.Laseule diffrence entre ces deux mthodes est que la VaR historique utilise les facteurs passs, alors que la VaR Monte Carlo utilise les facteurs simuls. Il faut cependant noter que cette demande beaucoup de temps de calcul. De plus,elledemandeuneffortimportantdemodlisationpuisquelledtermine entirementles trajectoires des facteurs de march utiliss pour le calcul de la VaR. 1.1.4.2Les difficults dadaptation de la VaR lassurance La VaR est lorigine un modle bancaire, et son adaptation lassurance pose certaines difficults. En effet, il existe, dans les contrats dassurance, des options caches qui font apparatre des problmes de fluctuations des encours et donc de la valeur sur laquelle on calcule la VaR. De plus, les dures de vie des contratsdassurancesontbeaucouppluslonguesquecellesdescontrats bancaires, ce qui amne reconsidrer la question de lhorizon de calcul de la VaR. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques25 La valeur sur laquelle on calcule la VaR Alorsquunportefeuillebancairepossdeunevaleurdemarchfacile calculer,ilestsimpledecalculerlavaleurdelactifdunproduitdassurance (on peut prendre la valeur boursire des actifs dtenus) mais il est souvent plus difficile de calculer la valeur de son passif. En effet, il nexiste pas de march o cette valeur soit change (malgr lapparition de certains produits drivs et lestentativesdetitrisationdecertainsrisques).Lunedesdifficultsdansla valorisationdupassifrsideenparticulierdanslavalorisationdesoptions caches. Eneffet,unecaractristiqueimportantedurisqueenassurance-vieestla prsence doptions incluses dans les contrats : option de rachat, de versements (pourlesancienscontratsdontletauxestgarantivie),etrisquedarbitrage pour les contrats multi-supports : Loption de rachat : le client qui a souscrit un contrat dassurance vie aledroitdelersilieravantterme.Danscecas,sisonretraitsefait aprsleseuilfiscal,ilnencourtengnralaucunepnalitetil rcupre le montant investi additionn des intrts capitaliss. Comme cestseulementaprsuncertainnombredannescouruesquele contrat devient rentable pour lassureur, les rachats anticips sont trs coteux pour ce dernier, et ce dautant plus si le rachat intervient dans un contexte de hausse des taux, obligeant lassureur vendre des actifs en situation de moins-value. Le risque darbitrage pour les contrats multi-supports : le client peut transfrerunepartiedesaprovisionmathmatiqueversdessupports enunitdecompte.Celaestprjudiciablelassureurcarcedernier nesaitpasquandcestransfertsvontavoirlieuetdoncquandses engagements vont changer. Loptiondeversement:ledtenteurduncontratdassurancevieest autorisverserdelargentquandilledsiresursoncontrat.Sile contratestancien,ilsepeutquilgarantisseuntauxanormalement lev par rapport au taux du march. Dans ce cas, il est coteux pour lassureur de tenir ses engagements. On pourrait rsumer le problme en disant que la banque calcule un risque sur un montant fixe dargent plac (systme ferm) tandis que dans lassurance, lemontantplacnestpasfig :ilfauttenircomptedesentresetdessorties (systmeouvert).Autrementdit,danslabanqueilnyapasdeproblmesde fluctuationsdesencoursalorsquenassurance,labonnegestiondecetaspect est primordiale. Lhorizon de calcul de la VaR Le risque en assurance nest pas court terme mais plutt un horizon de quelques annes. En effet, en assurance-vie, le cycle de production est long. La dureavantrachatduncontratestengnralauminimumgale8 ans puisquecestseulementau-deldecedlaiquelassurpeutreprendreses intrts sans tre soumis la fiscalit. De plus, en assurance-vie, les obligations misesenreprsentationdescontratsdupassifontengnralunechance 26Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond lointaine. Si les taux baissent, les assureurs peuvent continuer servir des taux quinesontplusaccessiblessurlemarchobligataire,parcequilspossdent dans leur portefeuille des obligations anciennes de taux suprieurs aux taux du march.Cependant,ilsdoiventrenouvelerleurportefeuillecarlesobligations arriventmaturit,etpourcelailsontaccsdestauxmoinslevs.Par consquent,lorsquilsnaurontplusdobligationsanciennesdansleurs portefeuille, ils proposeront des produits dpargne moins attractifs. Il y a donc une inertie des taux servis par les assureurs qui fait que si le march varie trop vite,ilsnepourrontpassyadapteretlesclientsrachterontleurscontrats. Maislerisquenestpascourtterme,aucontrairedelabanque,oun portefeuilledactifsestimmdiatement(quotidiennement)sensibleaux variations des cours. 1.2.Comparaison des risques Lobjet de ce paragraphe est de prsenter des outils permettant de classer les risques selon leur dangerosit .1.2.1.Relation associe une mesure de risque Dansleparagraphe1,nousavonstudiuncertainnombre de mesures de risque. Une ide naturelle pour comparer deux risques X et Y est de choisir une mesurederisqueetdecomparer( ) X et( ) Y ,cequelonpeuttoujours fairepuisqueRestordonnparlarelationdordretotale .Cettedmarche nous permet dintroduire la relation dfinie comme suit. Y Xsi( ) ( ) Y X La relation issue de la mesure de risque est rflexive et transitive. De plusilesttoujourspossibledecomparerpar deuxloisdeprobabilitou deux variables alatoires. N.B.Cetterelationnestpasunerelationdordrecarellenestpas antisymtrique.Eneffet,avoirsimultanment( ) ( ) Y X et( ) ( ) Y X nimplique pas que dX Y =(et a fortiori queY X= ). Leprincipalmrite de ce type de relation est quil est toujours possible de comparerdeuxrisques.Ilfautnanmoinsresterprudentcarlonpeutavoir simultanmentY X etY X' ~ pourdeuxmesuresderisqueet diffrentes. Cest pour cette raison que lon prfrera se tourner vers des ordres partiels qui permettent de disposer de davantage de proprits. 1.2.2.Ordre stochastique Dfinition 12. Dominance stochastique On dit que X domine selon lordre stochastique Y( ) X Ystsi pour toute fonction de distorsion g, on a :( ) ( ) X Yg g . Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques27 CettenotionestquivalentecelledecomparaisonuniformedesVaR puisquetoutemesurederisquedeWangpeutscrire comme somme de VaR (cf. le paragraphe 1.1.2.4) : ( ) ( )( ) ( ) | | pour toute fonction de distorsion Var , Var , 0;1 .st g gX Y X Y gX Y La relation stest un ordre partiel sur lensemble des lois de probabilits. Lordrestochastiquenepermetpasdecomparertouteslesvariables alatoires. En effet, il est possible davoir simultanment : ( ) ( ) Var , Var , X Y , et ( ) ( ) Var , Var , X Y > . Pour sen convaincre, une simple exprience Bernoulli peut tre envisage. Considrons les deux variables alatoires : | || |0 0, 23 0, 8P XP X = == = et | || |1 0, 52 0, 5P YP Y = == = On a( ) ( ) Var ; 0,1 Var ; 0,1 X Y et( ) ( ) Var ; 0, 4 Var ; 0, 4 X Y > . Enrevanche,onalquivalencesuivante(pourautantquelesesprances existent) : ( ) ( ) E EstX Y X Y(( pour toute fonctioncroissante. En particulier, on a limplication : | | | | E EstX Y X Y , qui signifie intuitivement que le risque X est plus petit que le risque Y. Cette consquenceexpliquelefaitquelonparlededominancestochastiqueau premier ordre pour dsigner la relation st . 1.2.3.Ordre convexe Dfinition 13. Ordre convexe croissant OnditqueXestmoinsdangereuxqueYsurlabasedelordreconvexe croissant( )icxet lon noteY Xicxsi, pour toute fonction de distorsion g concave, on a :( ) ( ) Y Xg g . CettenotionestquivalentecelledecomparaisonuniformedesTVaR, puisque : ( ) ( )( ) ( ) | | pour toute fonction de distorsion concaveTVar , TVar , pour tout 0;1 .icx g gX Y X Y gX Y On supposera dans la suite que les risques ont des primes pures finies ce qui garantitlexistencedesTVaR.Cetterelationestgalementconnuesousles 28Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond nomsdedominancestochastiquedudeuximeordre,dordreStop-Losset dordre sur les TVaR. Dfinition 14. Ordre convexeOn dira que le risque X est moins dangereux que le risque Y de mme prime pure au sens de lordre convexe( )cx , sil est moins dangereux au sens de lordre convexe croissant, i. e. si cx icxX Y X Y et | | | |E E X Y = . Pourtoutefonction convexecroissanteetpourautantquelesvariances existent, on a :( ) ( ) E E cxX Y X Y(( . Enparticulierpour 2 x x : pour0 x ,ona : | | | | Var VarcxX Y X Y pourautantquelesvariancesexistent. IntuitivementcettepropritsignifiequesiY Xcx ,lerisqueXestmoins variable que le risque Y. Lordreconvexepermetdecomparerdesvariablesalatoiresdemme esprance, ce que ne permettait pas lordre stochastique puisque | | | | etE Est loiX Y X Y X Y = = . Proposition 1.Thorme de sparation On a lquivalence :Z Y Xicx tel queY Z Xcx st . LethormedesparationpermetdtablirquesiXestmoinsdangereux queYselonlordreconvexecroissant,Xestlafoisplus petit ( )st et moins variable ( )cxque Y. 1.2.4.Bornes comonotones dune somme de variables alatoires Lordreconvexenouspermetdedisposerdebornespourunesommede variables alatoires. Proposition 2.Bornes comonotones dune somme de variables alatoires Pour tout vecteur( )nX X X , , 1=et pour toute variable alatoire , on alesingalits :( )11 1 1Ein n ni cx i cx Xi i iX X F U= = = ( ,oUestune variable alatoire de loi uniforme sur| | 1 0; . Ce rsultat est dmontr dans Kaas et al. (2000). Le majorant de cette double ingalit est appel la contrepartie comonotone duvecteurX.Eneffetcesdeuxvecteursontlesmmesmarginalesmaisle vecteur( )1 11 =nX XcF F X , , est comonotone. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques29 Grceauxpropritsdelordreconvexe,cettemajorationnouspermetde disposerdunmaximumpourlesprimesStop-Lossdelasommederisques =niiX1.Concernantlaminorant,lorsquecestpossible,onchoisira de manireceque ( )1E , , ElnX X X(( = soitunvecteurcomonotone cequipermettraparfoisdexpliciteranalytiquement 1EniiX= ( .On trouveradansDhaene,Vanduffeletal. (2004)uneprocdurepourdterminer de manire ce que lXsoit comonotone lorsque les marginales de X sont log-normales. De plus, lorsque lon valuera le risque associ =niiX1 par une mesure derisquededistorsion,ondisposeradunencadrementdontlesbornesseront simplesdterminerpuisquelesmesuresderisquededistorsionsont comonotones additives (cf. le sous-paragraphe 1.1.2.4). 2.Un traitement diffrenci du risque Bienqueparticipantdunmmemouvementderationalisationet dhomognisation,lestroisrfrentielsenvolution(valorisation conomique :embeddedvalue,comptabilits :normesIFRSetcontrle prudentiel :Solvabilit 2)narriventpasconvergercompltementsurle traitementquidoittrefaitdurisque.Eneffet,sicestroisapproches saccordentsurlefaitquelesentreprisesdassurancedoiventutiliserla meilleureinformationdisponibleet,enparticulier,lesdonnesdemarchds quecestpossible,lesobjectifspoursuivissontdiffrentsetconduisentdes approches distinctes de traitement du risque.Eneffet,silapprocheprudentiellevisedterminerdesniveauxde provisions techniques et de fonds propres minimaux qui doivent permettre la compagnie de supporter le risque, les approches de valorisation conomique et comptable ont un objectif similaire, celui de donner une valeur un portefeuille de contrats ou une entreprise. Ces deux dmarches sont trs diffrentes. 2.1.Lapproche assurantielle La dmarche prudentielle adopte dans Solvabilit 2 est rapprocher de la philosophiedetransfertderisquesurlaquellesestdveloppelactivit dassurance. Rappelons que lopration dassurance consiste en un transfert de risque de lassurverslassureurmoyennantuneprime.Pourquecetteoprationsoit profitable pour les deux parties, il faut que laversion au risque des deux parties soitdiffrente.Cestlasituationdebaseenassurancepuisquelacompagnie dassurance,couvrantunensemblederisques,bnficiedeffetsde mutualisationquiontpourconsquencederduirelerisquerelatifde 30Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond lentreprise2.Siloprationainsiralisepeutsembledsquilibreen esprance,puisquesiletarifestbientabli,laprimepayeparlassurest suprieurelaprimepuredurisquetransfr,ellesquilibredufaitdela diffrence daversion relative au risque. Considrons un exemple trs simple : deux assurs sont soumis un risque demmenature(maistouchelesassursdemanireindpendante)qui,avec uneprobabilitde50 %leurcauseraunepertede1.Lasituationindividuelle dun assur peut tre rsume par 10, 0, 5,1, 1 0, 5.pXp= = = Laprimepure(lesprancemathmatique)poursassurercontreuntel risque slve 0,5. Supposons que nos deux assurs sassocient pour supporter les ventuelles pertes causes par ce risque. Leur association peut tre rsume par : ( )( )21 220, 0, 25,1, 2 1 0, 5,2, 1 0, 25.pX X p pp=+ = = = Cette association na pas dimpact sur le niveau de la prime pure (toujours 0,5).Enrevanche,onpeutremarquerquesilesdeuxassursontcontribu cette association en apportant la prime pure, cela leur suffira pour se prmunir decerisquedans75 %descas,compareravecuncassurdeuxlorsquils gardent ce risque individuellement. Ainsiloprationdassurancereposesurlamutualisationdcrite mathmatiquementparlaloidesgrandsnombres.Rappelonsquecelle-ci nonce le fait que si on considre ensemble un trs grand nombre de risques de mmenaturemaisindpendants,alorslemontantquelonaurapayersera proportionnelaunombredecesrisquesetcertain(ausenscontraire dalatoire). En pratique les assureurs se trouvent confronts deux cueils : les portefeuilles de risques similaires ne sont pas de taille infinie, lesrisquesquiconstituentcesportefeuillesnesontpas systmatiquement indpendants les uns des autres. Danscecontexteetdansunsoucideprotectiondesassurs,lespouvoirs publics ont impos aux assureurs de disposer, en plus des provisions techniques destinescouvrirlesprestationsfuturesespres,deressourcespropres destines pallier labsence de mutualisation totale. ce sujet, il est intressant queledispositifactuel(issunotammentdelaDirectiveSolvabilit 1)prvoit des exigences en matire de capitaux proportionnelles la masse des provisions en assurance vie et proportionnelles la somme des primes ou des sinistres en

2.Toutaumoinsdanslasituationderfrencedindpendanceentrelesdiffrents risques. La prise en compte de la possible dpendance entre ceux-ci est tudie dans le Chapitre 5. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques31 assurance non-vie. De tels dispositions nintgrent pas3 leffet de mutualisation qui va de pair avec la taille du groupe comme le montre la Figure 3 qui montre lerapprochementrelatifdesbornesde lintervalle de confiance 90 % autour de lesprance. Figure 3 - volution des bornes de lintervalle de confiance 90 % en fonction du nombre de polices assures LedispositifSolvabilit 2apourvocationderendrelesentreprises dassurance plus solvables en fixant notamment des exigences quantitatives de fondspropresenrfrenceaurisquerelsupportparcessocits. Incidemment,cetterfrenceexpliciteaurisquepassencessairementparle choix dune mesure de risque (cf. le paragraphe 1.1). 2.2.Lapproche conomique Lapprocheconomiquenerpondpasauxmmesimpratifsque lapproche prudentielle. En effet, quil sagisse de problmatiques dEmbedded ValueoudenormesIFRS,lobjectifestsimilaire :donnerunevaleurun portefeuille de contrats ou une compagnie. Lide est ici de donner la vision la plus juste possible de ce que vaut lentreprise ou le portefeuille.Par exemple, les travaux de lIASB sur la phase II de la norme IFRS ddie aucontratdassurancedfinissentlemontantinscrireenprovisionsautitre dun ensemble de contrats sa Current Exit Value (CEV) ou valeur actuelle de sortie,savoir,leprixquelassureurquidtientcetensembledecontrats pourraitdonnerunautreassureurpourluitransfrertouslesdroitsettoutes les obligations rsultants de ces contrats. Cettedfinitionrenvoiedonclanotiondeprixdemarchalorsmme quun tel march secondaire des contrats dassurance nexiste pas stricto sensu. Puisque lassureur ne peut lire ces prix sur un march organis, les travaux du Boardvoquentlesapprochesfinanciresdevalorisationquiontconnuun essorformidabledanslesannessoixante-dixavecnotammentlestravauxde Black,ScholesetMerton.Cestravauxsappuientnotammentsurlhypothse dabsence dopportunit darbitrage.

3.Cepointestnuancerenassurancenon-vieparlapplicationdedeuxcoefficients diffrents en fonction de la taille du portefeuille (cf. lexemple du Chapitre 3). 32Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond 2.2.1.Introduction binomiale Considrons une action cote 0Sen 0 et une option dachat sur cette action dont la valeur actuelle est 0C . Loption arrive chance en 1, date laquelle noussupposonsquelactionvaut( )01uS u S = + avecuneprobabilitpet ( )01dS d S = + avecuneprobabilit1 p .SonprixdexerciceestK ,le flux de loption peut donc tre rsum par : ( )( )00011u ud dC S K u S KCC S K d S K+ ++ + (( = = + (( = = + _ Onremarquequenprenantunepositionlongue(achat)suruneactionet courte(vendeuse)suruncertainnombrendoptions,ilestpossiblede constituer un portefeuille dont la valeur en 1 est certaine. En effet, il suffit pour cela de dterminer n tel que : u u d dS nC S nC = , soit( )u dS K S Knu d S+ + (( =. Unportefeuilleconstitudanscesproportionsprocureunmontantcertain en1,ilestdoncsansrisque.Enlabsencedopportunitdarbitrage4,untel portefeuille procure le taux sans risque r. Sa valeur actuelle est donc donne par sa valeur future (certaine) actualise au taux sans risque, soit : ( ) ( ){ } 0 0 0 01 1rS n C d S n d S K e+ ( = + + . On en dduit, la valeur actuelle de loption dachat : ( )( )( ){ } 0 0 011 1 1r rC d e S ne d S Kn+ ( = + + . Lavaleurdecetteoptionnedpendpasdirectementdela probabilit p de hausseducoursdelactionsurlapriode.Cersultatpeutintuitifsexplique parlefaitquecetteinformationestdjcontenuedansleniveauactueldu cours de laction 0S . En effet, potentiels et probabilits de hausse et de baisse

4. Un march prsente des opportunits darbitrage lorsquil permet de mettre en uvre desstratgiessystmatiquementmeilleuresquedautres.Lhypothsedabsence dopportunitdarbitragereposesurlhypothsederactivitdumarch :siune opportunit darbitrage existe, le march va lutiliser ce qui va modifier les prix pour les mettreauniveaudquilibrepourlesquelsilnyaurapluscetteopportunit. Incidemment, cette hypothse contraint ce que1 1rd e u + + . Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques33 du cours du titre ont dj t incorpors par le march dans la valeur initiale de laction. Si lon cherche exprimer la valeur du call en fonction de ses flux possibles en fin de priode, aprs quelques dveloppements et rductions, on obtient : ( ) { }01ru dC qC q C e= + , o ( )1re dqu d =. Cette rcriture nous permet dobserver que le prix du call peut sexprimer commelesprancedesesfluxfutursactualissautauxsansrisquedansun universdanslequellaprobabilitdehausseducoursdelactionvaut q.Dans cetunivers,leprixdunactifestgallesprancedesesfluxfuturs actualiss5. Cette proprit se traduit par le fait que, dans cet univers, les agents conomiques donnent le mme prix des investissements, de niveau de risque diffrent,maisdemmeesprancedegaindoladnominationd univers risque-neutre . Cet exemple binomial stend naturellement au cas multi-priodique : 0uuuuddddSSS SSS __ _ Ilsagitalorsdemettreenuvrelammetechniquequeprcdemment maisrebours(valorisationde uC et dC puisdeC)aveclhypothse supplmentairequilnyapasdefraisdetransaction(recompositiondu portefeuille darbitrage la fin de chaque priode). LelecteurintresspourraserfrerHull (1999)pouruneprsentation pluscompltedelapprochebinomialeetplusgnralementsurlesmthodes de valorisation des options et des drivs financiers. 2.2.2.Retour sur les hypothses Lemodlebinomialprsentsupraetplusgnralementlemodlede BlacketScholes (1993)etsesdrivs(cf.Hull (1999))reposentsurdeux hypothses principales relatives au march : celui-ci est parfait et complet. On qualifie de parfait un march idalis dans lequel : les titres sont divisibles, les ventes dcouvert sont autorises sans limite,

5. On parle de proprit martingale des flux futurs actualiss. 34Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond lesagentsconomiquesdisposentdelammeinformationetaucun dentreeuxnalacapacitdefairebougerlesprixparsonseul comportement, il ny a pas de friction (frais, fiscalit) sur les achats et les cessions de titres, les taux de prts et demprunts sont identiques. Dansuntelmarch,lesmthodesdevalorisationdesactifsfinanciers,et notammentdesdrivs,reposentsurlhypothsedabsencedopportunit darbitrage.Onditquilyaabsencedopportunitdarbitragelorsqueaucune stratgie financire nest systmatiquement prfrable une autre.Surlesmarchsfinanciers,cesopportunitspeuventexister,nanmoinsle fonctionnementdumarchconduitcequellessoientrepresetqueles arbitragistesprennentpositioncequiconduitmcaniquementquilibrerles prix. Par ailleurs, un march est complet lorsque tous les tats du monde darriv sontatteignablesparunecertainecompositionduportefeuilledesactifsdu march.Cestcettedernirehypothsequiassurelunicitdelamesurede probabilitsouslaquellelesprixactualisssontdesmartingales.Lorsquece nestpaslecas,ilexisteuneinfinitdeprobabilitsquivalentespour lesquelleslapropritmartingaleestvrifie.Lobtentiondunprixestalors conditionne par le choix dune de ces mesures de probabilit. Ballotta (2005) tudielesprixobtenussousdiffrentesprobabilitsdanslecasduncontrat participatif. 2.3.Confrontation des deux approches en assurance L'analysedescontratsd'pargnetoujoursplussophistiqusmontreque certainesgaranties(tauxgarantis,participationauxbnficesfinanciersou encore les garanties plancher sur les contrats en units de comptes), pouvaient treexprimesformellementcommedesfluxd'optionsetellessontalors valorisescommel'espranceactualiseenprobabilitrisqueneutredesflux qu'ellesengendrent.Onestconduitmettreenavantdeuxpointsen particulier : pourunengagementd'assurance,l'valuationfinancireestmene conditionnellementuneralisationdel'aladmographique(pour unegarantieplancher,parlethormedesprobabilitstotales,on conditionneparlaconnaissancedeladatedudcs,parexemple), le rsultatfinalconsistantprendrelavaleurmoyennedesrsultats obtenus.Comptetenudelamutualisationimparfaited'unportefeuille rel,le cot delagarantieoptionnellen'estinfinequ'une approximation de sa valeur thorique ; quelleestlalgitimitdel'valuationd'unengagementviala dterminationd'unprixsurunmarch?Laquestionpourl'assureur n'estpastantdedonnerunprixunportefeuille(saufpour lembeddedvalue)quedeprovisionnerunniveausuffisantpour garantir une matrise satisfaisante des risques grs. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques35 Concrtement, l'assureur doit faire face deux types de risques : des risques mutualisables, dont la prise en charge fonde l'activit d'assurance et des risques non mutualisables, comme ceux que l'on vient d'voquer. Lesrisquesnonmutualisablessontsouventfinanciersmaisilpeuventtre directementassocisauxengagementsd'assurance :mortalitstochastiqueet, plus gnralement, tous les phnomnes qui remettent en cause l'indpendance entre les assurs (attentats, risques environnementaux, etc.). Il importe donc de fixerunemthodetechniquementfondedecalculdesprovisionspourles risquesnonmutualisables.Eneffet,surcesrisquessystmatiques(autresque risquesdemarch),ilnestpaspossibledetenirleraisonnementintroduiten 2.2 qui permet de constituer une stratgie qui limine le risque. En particulier, onnedisposepasdactifsfinanciersoudedrivs dassurance qui permettent demettreenplacedetellesstratgies6.Pourcesrisquesdassurance systmatiques,ladistributiondupassifn'adoncsensquenprobabilit historique. C'est cette logique quadopte le projet Solvabilit 2 en fixant comme critre de rfrence le contrle de la probabilit de ruine un an. Parailleurs,unengagement(ouunemargederisque)dterminparles techniques financires n'a pas de sens autre que conventionnel (i.e. impos par la norme) puisque la gestion du portefeuille d'arbitrage n'est pas mise en oeuvre et,quandbienmmeelleleserait,lesimperfectionsetladuredes engagements rendent la couverture approximative. Ilconvientdoncdedistinguerlafixationd'unprixqui,enl'absenced'un marchorganis,relved'unedmarcheconventionnelleetlecontrledes risques pour la gestion technique. Si,danslepremiercas,lestechniquesdecouverture,pourlesquellesla probabilit risque neutre fournit un moyen de calcul simple, sont acceptables, il envadiffremmentpourquantifierlesrisquesportsparl'assureur,dont l'valuationsefaitdanslemonderel.Laprobabilitrisqueneutrepeuttre utiliselorsd'tapesintermdiairesdevalorisation,maislamesuredurisque ncessite le recours la probabilit historique. Les deux approches ne sont pas exclusives l'une de l'autre, elles traitent des problmatiques diffrentes. Ilfautgarderlespritquel'assuranceneconsistepasneutraliserdes risques via des techniques de couverture mais les grer en contrlant le niveau d'incertitudequileurestattach.Silerecoursdesmthodesfinancires basessuruneconditiond'absenced'opportunitd'arbitrageapparatlgitime pourfixerunprixdansuncadrenormatif(IFRSetMCEV),l'analysedela solvabilitdoittreeffectueaveclesloisdeprobabilitrelles.L'application des mthodes financires en assurance doit tre conduite avec discernement.

6. Le dveloppement de la titrisation de risques dassurance permettra, peut-tre, dans le futurdemultiplierlenombrederisquespourlesquelsondisposeradedrivs dassurance. 36Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond 3.Contrats en units de compte : les garanties plancher Lagarantieplancherencasdedcssurlescontratsenunitsdecomptes estlexempletypedunengagementquidpendsimultanmentdurisquede march et du risque de mortalit. Aprsavoirprsentlescontratsenunitsdecomptestelsquilssont commercialissenFranceetlesrisquesquilspeuventprsenterpourles assureurs,nousrevenonsplusparticulirementsurlesproblmatiquesde tarification et de gestion des risques induits par les garanties plancher en cas de dcs. 3.1.Contrats en units de compte Lescontratsenunitsdecomptessontdescontratsdassuranceviepour lesquels les primes verses sont investies sur des supports choisis par lassur. Lpargnevolueenfonctiondecessupportsetlassureurnegarantitquele nombre de parts et pas la valeur de celles-ci. Cest donc lassur qui supporte le risque de placement. Ces contrats peuvent tre mono-support ou multi-supports et, dans ce cas, un des supports peut tre un fonds en euros, voire lactif gnral de la compagnie. Lessupportssontgnralementprofils(cf.lesnomsdessupportsdes assureurs :prudence,dynamique,performance)demanirepermettre lassur de choisir entre des investissements plus ou moins risqus et selon leur localisationgographique(France,Europe,tats-Unis,Asie,paysmergents, etc.) Cesproduitsenunitsdecomptesesontparticulirementdveloppsces derniresannes.EnFranceen2005,lechiffredaffairesdescontrats dpargnereprsente116,6milliardsdeuros7dontprsdunquartestaffect aux units de comptes. 3.2.Principaux risques Le risque de placement tant support par lassur dans ce type de contrats, les deux principaux risques proviennent de la prsence de garanties plancher en cas de vie ou en cas de dcs et du risque de renonciation rsultant dune clause contractuelle ou dune mauvaise information transmise lassur. 3.2.1.Garantie plancher Dans le cas le plus frquent, une garantie plancher sur un contrat en units de comptes permet lassur ou ses ayants-droits de toucher, au moment du dnouementducontrat,lemaximumentrelesprimesversesetlpargne valorise. On distingue deux types de garanties plancher : en cas de vie (cf. Bergonzat et Cavals (2006)) et en cas de dcs (cf. Merlus et Pequeux (2000)). Dans le premier cas, lassureur garantit lassur, quau terme du contrat, il percevra lpargne constitue sauf si elle savre infrieure aux primes verses auquelcas,cesontcesprimesluiserontreverses.Aujourdhuitrspeu

7. Cf. le rapport annuel de la FFSA 2005, p. 16. Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques37 dacteurs du march prvoient encore ce type de clause dans les contrats quils commercialisent. Danslesecondcas,cesontlesbnficiairesducontratquibnficientde cettedispositionladatededcsde lassur.Alorslincertitude porte sur la valeurdelpargneetsurledcsdelassur.Gnralement,lescontratsqui comportentcetypedegarantieprvoientleprlvementdunepartiede lpargnepourlafinancer.Selonqueceprlvementesteffectucommeune primederisqueoudemanireforfaitaireenpourcentagedesencours,il conviendra ou non de constituer une provision pour garantie plancher. 3.2.2.Renonciation La renonciation consiste, pour un assur, annuler le contrat et rclamer les primes quil a verses lassureur. Ce risque peut rsulter : delapplicationnormaledelart.L132-5-1quiprvoitquedansun dlaide30jourscompterdeladatederceptiondesoncertificat dadhsion,lassurpeutrenoncersonadhsion(cetteclauseest gnralement reprise dans les conditions gnrales des contrats) ; dun manque dinformation des assurs qui a pour effet de perptuer le droit renonciation.Surledeuximepoint,lesarrtsdemars2006prcisentlesinformations quidoiventtrecommuniqusauxclientslorsdelacommercialisationdes contrats. Larrtdu8mars2006prcisequenttedecontrat,unencadrdoit permettre de rpondre aux questions que se posent le plus souvent les assurs, savoir :lanatureindividuelleoudegroupeducontrat,lacaractregarantiou nondessommesinvesties,laparticipationauxbnfices,ladisponibilitdes sommes et les dlais de versement, les frais prlevs par lassureur, les enjeux duchoixdeladuredeplacementetlesmodalitsdedsignationdes bnficiaires. Larrtdu1ermars2006imposeauxassureursdefairefigurerdansun tableaulesvaleursderachatdes8premiresannesetdexpliquerclairement leurmcanismedecalcullorsquecelles-cinepeuventtretabliesdsla souscription (cas des contrats en units de compte). Cesdeuxarrtsviennentlasuitedelaloi2005-1564du15dcembre 2005 qui a cr larticle L132-5-2 qui prvoit lobligation de remise dune note dinformationdistinctedesconditionsgnralesducontratdemanire clarifierlexhaustivitdelinformationdontdoitdisposerlassur pour que le droitrenonciationnesoitpasprorog.Cependantcettelointantpas rtroactive, le contentieux pour les contrats souscrits antrieurement perdure. Lerisquederenonciationporteessentiellementsurlesproduitsavec supportsenunitsdecomptespourlesquelslapropensiondunediminution fortedelavaleurdusupportsurunhorizonmmerduit(30jours)est vraisemblable. Ondistinguedoncdeuxproblmatiquesdanslecadredelagestiondece risque :cellelielafacultcontractuelleetcellersultantdelventuelle incompltude de linformation aux assurs. 38Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Dune manire gnrale, pour parer au risque de renonciation sur la priode des30jourssuivantlasouscription,lesconditionsgnralesdescontratsen units de comptes spcifient que lpargne ne sera investie de manire effective surlessupportsUCquexpirationdecedlai.Enattendant,elleestleplus souvent investie sur un fonds montaire, voire lactif gnral de lassureur. Concernantlerisquelilinformationauxassurs,silesservices juridiquesdesassureursontintgrlesexigencesrsultatsdelaloidu15 dcembre2005etdesarrtsdemars2006auxnouveauxcontrats,lerisque existesouventpourlescontratsplusanciens.Enparticulier,larrtdu7mars 2006deladeuximechambreciviledelaCourdecassationaconfirmla mauvaise rdaction de nombreux contrats dassurance vie. La gestion de ce risque peut tre envisage de diverses manires : mise plat de linformation aux assurs avec mise en exergue du droit de renonciation de 30 jours ; clture des contrats par dcision de lassureur (lorsque cest possible) avec proposition de basculement de lpargne vers un nouveau contrat. 3.3.Valorisation et gestion des garanties plancher LestravauxdeFrantz,ChenutetWalhin (2003)illustrentparfaitementles diffrencesentrelesmthodesprsentesprcdemmentdansleparagraphe 2 etinsistentnotamment,enmatiredegestiondurisque,surlelienentrele procd de valorisation et les stratgies mises en uvre pour grer le risque. Cestravauxsinscriventdansuneproblmatiquedetarificationduntrait derassuranceprvoyantlacessionpleineetentiredurisqueinduitparune clause de garantie plancher en cas de dcs sur un contrat en units de comptes mono-support. Lesauteurstudientlesdeuxapprochesvoquesprcdemmentpour associer un prix un risque : lapproche financire qui repose sur lhypothse de compltude du marchetdoncsurlapossibilitdemettreenplaceunestratgie permettantdesecouvrircompltementcontrelerisque(oude minimiser le risque support dans le cas de marchs incomplets) ; lapproche actuarielle quireposesurlaloidesgrandsnombreset quiconduitdterminerlaprimecommesommedelaprimepure (moyennedesprestationsfutures)etdunemargepourrisque dtermineenfaisantrfrenceaurisquesupportparlebiaisdune mesure de risque (cf. le sous-paragraphe 1.1).La garantie plancher tudie prvoit quen cas de dcs, les bnficiaires du contrat peroivent le maximum entre la valeur des units de comptes du contrat et la somme des primes verses. Formellement,silonnote ( )0ttS S= leprocessusdcrivantlvolution delavaleurdesunitsdecomptesaucoursdutempsetK lasommedes primes verses, le rassureur cherche donner un prix lengagement de verser Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques39 tK S+ ( , en cas de dcs de lassur en t. 3.3.1.Modlisation Frantz et al. (2003) modlisent lvolution de la valeur de lpargne en UC par un mouvement brownien gomtrique : tttdSdt dBS= + , o ( )0ttB B=est un mouvement brownien sous la probabilit historique P. De plus, il est suppos que le march financier est complet, ne prsente pas dopportunit darbitrage et que le taux sans risque r est constant. Dans ce contexte, il existe une unique mesure de probabilit Q quivalente P sous laquelle les prix actualiss sont des martingales et, daprs le thorme deGirsanov,leprixdelpargnesuitleprocessussuivantsouscette probabilit : tttdSrdt dBS= +, o ( )0ttB B= estunmouvementbrowniensouslaprobabilitrisque-neutre Q. Parailleurs,lesassurssontcenssdcdertousselonunemmetablede mortalit. Dans la suite, les notations actuarielles classiques sont employes : xTla dure rsiduelle de survie (alatoire) sachant que lon est en vie lge x ; n xp ,laprobabilitdevivrenannessupplmentairessachantque lon a atteint lge x ; xq ,laprobabilitdedcderdanslannesachantquelonaatteint lge x. Enfin,lvolutiondesmarchsetlamortalitdesassurssontsupposes indpendantes. 3.3.2.Primes pures Enfaisantlhypothseimplicitequelesprestationssontpayesenfin danneetaveclaideduthormedesprobabilitstotales,enconditionnant par la survenance du dcs, le flux actualis auquel doit faire face le rassureur est donn, pour un assur dge x, par : xx xrTT Te K S+ ( 1 , odsigne le terme du contrat. 40Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Silestpossibledemettreenplaceunecouverturequipermetdese prmunir(compltement)durisque,leprixassocicerisquenesauraittre diffrent de celui de la couverture. Commeonleverrainfra,lemarchnestpasparfait,lescotsdefriction existentetlamiseenplacedunportefeuillerpliquantncessiteunarbitrage entrerebalancementsfrquents(etdonccotsdefrictionlevs)et rebalancements moins frquents (et donc cots de rajustement levs).Il est nanmoins possible dtablir une prime pure thorique, obtenue par le thorme des probabilits totales en conditionnant par la probabilit de dcs de lassur, soit : ( )( )( )( )( )1 1 2 0 11P Q 1 1 Q1EExx xr n rnn x x nnrTT Trnn x x n nnp q Ke d n S e d nSPP e K Sp q e K S + =+ + + = ( (= ( ( ( = ( (= ( 1 o( )( )202ln 2S K r td tt+ =et( ) ( )1 2fid t d t t = + . Sagissant dun risque mixte (mortalit et financier), il convient de prciser ce que lon entend par prime pure. En effet, si prime pure dsigne en assurance lemontantmoyenquedevradbourserlassureurquiassurelerisque,SPPnestpasrellementuneprimepurepuisquelavalorisationrisque-neutredu drivfinancierinclutimplicitementuneprimederisque(cf.lesous-paragraphe2.2)etconduitdoncunmontantsuprieurceluiquiauraitt obtenu par un calcul de valeur actuelle probable traditionnellement men sur les risques dassurance. 3.3.3.Gestion du risque Donner un prix au risque et le grer de manire effective sont deux choses diffrentes.Parexemple,dansleparagrapheprcdent,leshypothses financiresclassiquesdeperfectiondumarchetdabsencedopportunit darbitrage,ontpermisdedonnerunprixlagarantieplancher.Cependant, mmesiceprixestretenupourlacommunicationfinancire,parexemple,le gestionnairepeutounonmettreenplacedemanireeffectivelastratgiede couverture sur laquelle il repose. Enpratique,ilestconfrontaufaitqueleshypothsesidalesdans lesquellesonseplacepourutiliserlesmthodesdevalorisationrisque-neutre (cf. le sous-paragraphe 2.2.2) ne sont pas vrifies. En particulier, les cots de frictionnesontpasnulsetdoncrecomposersonportefeuillerpliquanten tempscontinunestpasenvisageable.Silonsouhaitemettreenplaceune couverture qui minimise le risque financier, il faut donc choisir une priodicit pourlesrecompositionsduportefeuillerpliquant.Commevoqu prcdemment, le gestionnaire est confronts deux sources de cot rsiduel : Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques41 les frais lis aux cessions et aux achats de titre ; lescotslisaucaractrenon-continudesrecompositionde portefeuille :entrelesinstantstet1 t + ,lactifapeut-trevolu dfavorablementauquelcas,legestionnairedoitfairefaceuncot supplmentaire. Cet aspect est dtaill dans Planchet, Thrond et al. (2005). En matire de gestion du risque, Frantz et al. (2003) remarquent quen tant que gestionnaire du risque, les deux situations peuvent tre envisages : mettre enuvreoupaslacouverturefinancire(mmesielleestimparfaitedufait desfrottementsvoqusprcdemment).Lesdeuxgraphiquessuivantssont repris de Frantz et al. (2003). LaFigure4reprendladistributiondelavaleuractuelledesfluxfuturs lorsque la couverture financire nest pas mise en place. Figure4 - Distribution des cots futurs en absence de gestion active de la couverture Demanirealternative,ilestpossibledemettreenuvrelastratgiede couverturedemanireminimiserlerisque.Ilsagitalorsdedterminerle cot de la couverture et de mesurer le risque rsiduel. Dansleurstravaux,Frantzetal. (2003)fontlhypothsequelesfraislis auxachatsetauxcessionsdetitresontnuls,quelesrecompositionsde portefeuille sont annuelles et que donc, seuls les cots de recomposition lis au caractre non-continu de ceux-ci prsentent une charge pour le gestionnaire. La Figure5reprendladistributiondelavaleuractuelledesfluxfutursdans lapproche lorsque la gestion active de la couverture est mise en place. 42Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thrond Figure 5 - Distribution des cots futurs lorsque la gestion active de la couverture est mise en place Lamiseenuvreeffectivedelacouvertureapoureffetderduire considrablement le risque support par lassureur, mme si elle ne conduit pas lliminercompltementdufaitducaractrediscretdesrecompositionsdu portefeuille.Ilsubsistedoncunrisquersiduelmalgrlamiseenplacedela couverture.Parailleurs,cerisquevientsajouterceluirsultantdela mutualisationimparfaitede