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BTS CIRA Chap II : Codificationa

2009-2010 page 1/7 btscira.perso.sfr.fra

BTS CIRA Chap. II : Codification

1 Le code binaire naturel

1.1 Presentation

Cest la representation des nombres entiers avec seulement deux chires (base 2) : 01.

Un nombre N qui secrit bnbn1....b1b0 (avec b=0 ou b=1) vauti=ni=0

bi 2i.Ainsi :(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (0 ; 1 ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110 ; 111...)Remarque :Les chires composants un nombre binaire sappellent un bit (byte).

1.2 Conversion par divisions euclidiennes

Il sagit de diviser recursivement N par 2, et de considerer le reste.Exemple :

On a donc 76 = 100 1100(2)Verification :100 1100(2) = 22 + 23 + 26 = 4 + 8 + 64 = 76

1.3 Conversion par soustractions

Il sagit de soustraire recursivement a` N la puissance de 2 immediatement inferieure.Exemple :

27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 1On a donc 76 = 26 + 23 + 22

76 = 100 1100(2)

1.4 Addition de deux nombres binaires

On procede comme avec les nombres decimaux. Il sut de mettre les deux nombres lun au dessus delautre, et on fait laddition bit a` bit. Attention, il ne faut pas oublier la retenue.Exemple :

1 1 10 1 1 1

+ 0 1 0 11 1 0 0

2



1.1 Presentation









27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 1On a donc 76 = 26 + 23 + 22

76 = 100 1100(2)



1 1 10 1 1 1

+ 0 1 0 11 1 0 0

2

Chap II : Codification1. Le code binaire naturel

1.1. PrsentationC'est la reprsentation des nombres entiers avec seulement deux chiffres (base 2) : 01.

Ainsi : (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (0 ; 1 ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110 ; 111...)Remarque : Les chiffres composants un nombre binaire s'appellent bit.

1.2. Conversion par divisions euclidiennesIl sagit de diviser rcursivement N par 2, et de considrer le reste.

1.3. Conversion par soustractionsIl sagit de soustraire rcursivement N la puissance de 2 immdiatement infrieure.

1.4. Addition de deux nombres binairesOn procde comme avec les nombres dcimaux. Il suffit de mettre les deux nombres l'un au dessus de l'autre, et on fait l'addition bit bit. Attention, il ne faut pas oublier la retenue.Exemple :

Un nombre N qui s'crit bnbn-1....b1b0 (avec b=0 ou b=1) vaut :



1.1 Presentation









27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 1On a donc 76 = 26 + 23 + 22

76 = 100 1100(2)



1 1 10 1 1 1

+ 0 1 0 11 1 0 0

2



1.1 Presentation






76 2

380 2

0 19 2

1 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1




27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 1On a donc 76 = 26 + 23 + 22

76 = 100 1100(2)



1 1 10 1 1 1

+ 0 1 0 11 1 0 0

2

On a donc 76 = 1001100(2)Vrification :

1001100(2) = 26 + 23 + 22 = 64 + 8 + 4 = 76



1.1 Presentation









27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 1

76

-64

12

-8

4

-4

0

On a donc 76 = 26 + 23 + 22

76 = 100 1100(2)



1 1 10 1 1 1

+ 0 1 0 11 1 0 0

2

On a donc 76 = 26 +23+2276 = 1001100(2)

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1.5 Limite

Les nombres entiers dans les appareils numeriques sont representes avec un nombre n limite de bits(generalement 8 ou 16). Donc, on ne pourra representer que les nombres compris entre 0 et (2n 1).Attention : si les nombres sont codes sur 8 bits, 1111 1111 + 1 = 0 ! Il y a debordement.

2 Representation des nombres entiers signes

2.1 Bit de signe

Pour completer la representation des entiers, il faut pouvoir ecrire des entiers negatifs. On ajoute pourcela a` la representation un bit de signe, place en tete. Un bit de signe 0 indique une valeur positive, unbit de signe positionne a` 1 une valeur negative. Cette re`gle permet de rester coherent avec le syste`me derepresentation des entiers positifs : il sut dajouter un 0 en tete de chaque valeur.

0111(2bit de signe) = +71111(2bit de signe) = -7

Ce code nest pas utilise par le microprocesseur car la somme dune chire positif et du meme chire maisnegatif ne donne pas 0.

2.2 Complement a` deux

Finalement, il faut que xxxx + (-xxxx) = 0000. Cest le nombre que lon appelle le complement a` 2.Exemple :

1 1 1 10 1 1 1

+ 1 0 0 11 0 0 0 0

Ainsi, 1001(C2)=-7Comme precedement, les nombres debutants par un 1, sont negatifs.Comment obtenir le complement a` 2 : on remplace tous les bits 0 par des 1 et vice-versa ; on ajoute 1, au nombre obtenu.Remarque : Avec n bits, ce syste`me permet de representer les nombres entre 2n1 et 2n1 1.

2.3 Soustraction de deux nombres binaires

Pour soustraire deux nombres binaires, il sut dadditionner au premierle complement a` deux du second.Exemple : 0101(C2) 0011(C2)Complement a` 2 de 0011(C2) : 1100(C2) + 1 = 1101(C2)0101(C2) 1101(C2) = 0100(C2)

1 1 10 1 0 1

+ 1 1 0 11 0 0 1 0

3 Representation des nombres decimaux

3.1 Nombre a` virgule fixe

Comme la definition des nombres binaires naturels, on peut definir un nombre decimal positif par uneconvention du meme type, la virgule etant placee a` un endroit fixe :

1010, 1010(2) = 23 + 2 +

1

2+

1

23= 8 + 2 + 0, 5 + 0, 125 = 10, 625

3




1.5 Limite



2.1 Bit de signe






1 1 1 10 1 1 1

+ 1 0 0 11 0 0 0 0




1 1 10 1 0 1

+ 1 1 0 11 0 0 1 0




1010, 1010(2) = 23 + 2 +

1

2+

1

23= 8 + 2 + 0, 5 + 0, 125 = 10, 625

3

1.5. LimiteLes nombres entiers dans les appareils numriques sont reprsents avec un nombre n limit de bits (gnralement 8 ou 16). Donc, on ne pourra reprsenter que les nombres compris entre 0 et 2n-1.Attention : si les nombres sont cods sur 8 bits, 1111 1111 + 1 = 0 ! Il y a dbordement.

2. Reprsentation des nombres entiers signs2.1. Bit de signe

Pour complter la reprsentation des entiers, il faut pouvoir crire des entiers ngatifs. On ajoute pour cela la reprsentation un bit de signe, plac en tte. Un bit de signe 0 indique une valeur positive, un bit de signe positionn 1 une valeur ngative. Cette rgle permet de rester cohrent avec le systme de reprsentation des entiers positifs : il suffit d'ajouter un 0 en tte de chaque valeur. 0111(2-bit~de~signe) = +7 ; 1111(2-bit~de~signe) = -7 ;

Ce code nest pas utilis par le microprocesseur car la somme dune chiffre positif et du mme chiffre mais ngatif ne donne pas 0.

2.2. Complment deuxFinalement, il faut que xxxx + (-xxxx) = 0000. C'est le nombre que l'on appelle le complment 2.Exemple :

Ainsi, 1001(C2)=-7Comme prcdemment, les nombres dbutants par un 1, sont ngatifs.Comment obtenir le complment 2 : On remplace tous les bits 0 par des 1 et vice-versa ; On ajoute 1, au nombre obtenu.

Remarque : Avec n bits, ce systme permet de reprsenter les nombres entre -2n-1 et 2n-1-1.

2.3. Soustraction de deux nombres binaires

Pour soustraire deux nombres binaires, il suffit d'additionner au premier le complment deux du second.Exemple : 0101(C2) - 0011(C2)Complment 2 de 0011(C2) : 1100(C2)+1 = 1101(C2)0101(C2) - 1101(C2) = 0010(C2)


1.5 Limite



2.1 Bit de signe






1 1 1 10 1 1 1

+ 1 0 0 11 0 0 0 0




1 1 10 1 0 1

+ 1 1 0 11 0 0 1 0




1010, 1010(2) = 23 + 2 +

1

2+

1

23= 8 + 2 + 0, 5 + 0, 125 = 10, 625

3





3. Reprsentation des nombres dcimaux3.1. Nombre virgule fixe

Comme la dfinition des nombres binaires naturels, on peut dfinir un nombre dcimal positif par une convention du mme type, la virgule tant place un endroit fixe :1010,1010(2) = 23 + 2 + 2-1 + 2-3 = 8 + 2 + 0,5 + 0,125 = 10,625Dans le sens inverse, prenons N = 0,347 (Pour la partie devant la virgule, il suffit de faire comme dans le paragraphe 2.2. 0,3472 = 0,694 < 1, je pose 0 : 0,347=0,0(2) 0,6942 = 1,388>1, je pose 1 et je le retranche : 0,347=0,01(2) 0,3882 = 0,7661, je pose 1 et je le retranche : 0,347=0,0101(2)

Avec notre codage sur 8 bits on s'arrte l ; 0,347 = 0,0101(2) 2-4 prs.Ce codage est trs peu utilis car il ne permet pas d'avoir une grand rapport Nmax/Nmin.

3.2. Nombre virgule flottante (float)La norme IEEE dfinie le code de reprsentation d'un nombre dcimal sur 32 bits (single) avec trois composantes : Le signe est reprsent par un seul bit, le bit de poids fort (celui le plus gauche) ; L'exposant est cod sur les 8 bits conscutifs au signe ; La mantisse sur les 23 bits restants.

On a :N = (signe)2exposant-1271, mantisse(2)

Attention : Signe = 1 : nombre ngatif ; L'exposant 0 est interdit ; L'exposant 255 est interdit. On s'en sert toutefois pour signaler des erreurs, on appelle alors cette

configuration du nombre NaN, ce qui signifie 'Not a Number'.

signe1 bit

x

exposant8 bits

xxxx xxxx

mantisse23 bits

xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx






3.3. Conversion dcimal vers binaireRien ne vaut un exemple, donc prenons N = -6,625.1. Signe = 1 car le nombre est ngatif.2. On divise le nombre successivement par 2 jusqu' obtenir un nombre du type 1,xxxx.6,625/2 = 3,3125 [1]3,3125/2 = 1,65625 [2] : Exposant = 2 + 127 = 129 = 128 + 1 = 1000 0001(2)3. On dtermine la valeur binaire de la mantisse code sur 23 bits.0,65625 2 = 1,3125 => 1 0,3125 2 = 0,625 => 0 0,625 2 = 1,25 => 1 0,25 2 = 0,5 => 0 0,5 2 = 1 => 1 Ainsi, la reprsentation de -6,625 est :

4. Le code binaire rflchi (code Gray)4.1. Prsentation

Ainsi : (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (000 ; 001 ; 011 ; 010 ; 110 ; 111 ; 101 ; 100...)

signe1 bit

1

exposant8 bits

1000 0001

mantisse23 bits

101 0100 0000 0000 0000 0000

Cest un codage qui a la particularit de ne changer quun bit lors du passage dune valeur sa suivante. De plus, on opre de telle manire que le bit modifi soit d'un poids le plus faible possible. La constitution de cette table rclame lexercice suivant : crire les deux premires valeurs : 0 et 1 ; Ajouter 1 devant les 21 suivants ; Par un effet miroir on complte les premiers bits ; Ajouter 1 devant les 22 suivants ; Par un effet miroir on complte les premiers bits ; Etc...


4 Le code binaire reflechi (code Gray)

4.1 Presentation

Cest un codage qui a la particularite de ne changerquun bit lors du passage dune valeur a` sa suivante.De plus, on ope`re de telle manie`re que le bit modifiesoit dun poids le plus faible possible.

La constitution de cette table reclame lexercice sui-vant : ecrire les deux premie`res valeurs : 0 et 1 ; ajouter 1 devant les 21 suivants ; par un eet miroir on comple`te les premiers bits ; ajouter 1 devant les 22 suivants ; par un eet miroir on comple`te les premiers bits ; etc...

4. Le code binaire reflechi (code Gray)

Cest un codage qui a la particularite de ne changer quun bit lors du passage dune valeur a` sasuivante. De plus, on ope`re de telle manie`re que le bit modifie soit dun poids le plus faible possible.La constitution de cette table reclame lexercicesuivant :

ecrire les deux premie`res valeurs : 0 et 1 ;

par un eet miroir ces deux bits sereflechissent : le troisie`me refle`te le deuxie`meet le quatrie`me refle`te le premier ;

ajouter 1 devant le troisie`me et le quatrie`me ;

cet eet miroir permet de remplir de lacinquie`me a` la huitie`me place ;

il faut ajouter 1 devant ces quatre dernie`resvaleurs et lon continue ainsi pour les valeurssuivantes.

Decimal GRAY0 0001 0012 0113 0104 1105 1116 1017 100

Ainsi :(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (000 ; 001 ; 011 ; 010 ; 110 ; 111 ; 101 ; 100...)

P. Gatt (Lycee Rouvie`re) Chap. II : Codification 2008-2009 10 / 14

Ainsi :(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (000 ; 001 ; 011 ; 010 ; 110 ; 111 ; 101 ; 100...)

4.2 Codeur de position

Ce code est surtout utilise pour des capteurs de positions absolue, par exemple sur les re`gles optiques. Ilpermet une resolution double avec la meme precision de gravure.

5 Le code binaire BCD

Il sut de remplacer chaque chire decimal par son image binaire de quatre bits.Exemple :

1 2 8 (10)0001

0010

1000 (BCD)

5






4.1 Presentation



Ainsi :(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (000 ; 001 ; 011 ; 010 ; 110 ; 111 ; 101 ; 100...)





1 2 8 (10)0001

0010

1000 (BCD)

5




4.1 Presentation



Ainsi :(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7...) devient (000 ; 001 ; 011 ; 010 ; 110 ; 111 ; 101 ; 100...)





1 2 8 (10)0001

0010

1000 (BCD)

5

4.2. Codeur de positionCe code est surtout utilis pour des capteurs de positions absolue, comme les rgles optiques. Il permet une rsolution double de la rgle avec la mme prcision de gravure.

5. Le code binaire BCDIl suffit de remplacer chaque chiffre dcimal par son image binaire de quatre bits.Exemple :

6. Le code hexadcimal6.1. Prsentation

La reprsentation binaire des nombres amne vite des reprsentations de nombre trs longue.1024 = 1000000000(2)

Pour simplifier la reprsentation des nombres tout en se rapprochant de la reprsentation binaire, on utilise la reprsentation hexadcimale. C'est la reprsentation des nombres avec 16 chiffres (base 16) : 0123456789ABCDEF.

Ainsi :1024 = 200(16)

Remarque :Avec la base 16 un nombre est reprsent avec 4 fois moins de chiffres qu'avec la base 2.

0CODE GRAY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0CODE BINAIRE NATURELLE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Un nombre N qui s'crit hnhn-1....h1h0 vaut :


6 Le code hexadecimal

6.1 Presentation

La representation binaire des nombres ame`ne vite a` des representations de nombre tre`s longue.

1024(10) = 10 0000 0000(2)

Pour simplifier la representation des nombres tout en se rapprochant de la representation binaire, on utilisela representation hexadecimale.Cest la representation des nombres avec 16 chires (base 16) : 0123456789ABCDEF.

Un nombre N qui secrit hnhn1....h1h0 vauti=ni=0

hi 16i =i=ni=0

hi (24)i.

Ainsi :

1024(10) = 200(16)

Remarque :Avec la base 16 un nombre est represente avec 4 fois moins de chires quavec la base 2.

6.2 Division euclidienne

Il sagit de diviser recursivement N par 16, et de considerer le quotient et le reste.Exemple :

On a donc :76 = 4 16 + 1276 = 4C

6.3 Tableau des 19 premiers nombres

Decimal Binaire Hexadecimal Decimal Binaire Hexadecimal0 0000 0 10 1010 A1 0001 1 11 1011 B2 0010 2 12 1100 C3 0011 3 13 1101 D4 0100 4 14 1110 E5 0101 5 15 1111 F6 0110 6 16 1 0000 107 0111 7 17 1 0001 118 1000 8 18 1 0010 129 1001 9 19 1 0011 13

6.4 Conversion Hexa/Binaire

Comme 16 = 24, le technique consiste a` grouper les bits par quatre et dutiliser le tableau ci-avant.Exemple :

11 1010 1100 0001 (2)3 A C 1 (16)

6






6.1 Presentation


1024(10) = 10 0000 0000(2)



hi 16i =i=ni=0

hi (24)i.

Ainsi :

1024(10) = 200(16)




On a donc :76 = 4 16 + 1276 = 4C





11 1010 1100 0001 (2)3 A C 1 (16)

6





6.1 Presentation


1024(10) = 10 0000 0000(2)



hi 16i =i=ni=0

hi (24)i.

Ainsi :

1024(10) = 200(16)




On a donc :76 = 4 16 + 1276 = 4C





11 1010 1100 0001 (2)3 A C 1 (16)

6

6.2. Division euclidienneIl sagit de diviser rcursivement N par 16, et de considrer le quotient et le reste.Exemple :

6.3. Tableau des 19 premiers nombres

6.4. Conversion Hexa/BinaireComme 16=24, le technique consiste grouper les bits par quatre et d'utiliser le tableau ci-avant.Exemple :

7. Le code ASCII7.1. Prsentation

La norme ASCII (American Standard Code for Information Interchange Code amricain normalis pour l'change d'information ) est la norme de codage de caractres en informatique la plus connue et la plus largement compatible. C'est galement la variante amricaine du codage de caractres ISO/CEI 646. ASCII contient les caractres ncessaires pour crire en anglais. Elle a t invente par l'amricain Bob Bemer en 1961. Elle est la base de nombreuses autres normes comme ISO 8859-1 et Unicode qui l'tendent.L'ASCII dfinit 128 caractres numrots de 0 127 et cods en binaire de 0000000 1111111. Sept bits suffisent donc pour reprsenter un caractre cod en ASCII. Toutefois, les ordinateurs travaillant presque tous sur huit bits (un octet) depuis les annes 1970, chaque caractre d'un texte en ASCII est stock dans un octet dont le 8e bit est 0.Les caractres de numro 0 31 et le 127 ne sont pas affichables ; ils correspondent des commandes de contrle de terminal informatique. Le caractre numro 32 est l'espace. Les autres caractres sont les



6.1 Presentation


1024(10) = 10 0000 0000(2)



hi 16i =i=ni=0

hi (24)i.

Ainsi :

1024(10) = 200(16)




76 16

4

12

-64 On a donc :76 = 4 16 + 1276 = 4C





11 1010 1100 0001 (2)3 A C 1 (16)

6

On a donc :76 = 4 16 + 12

76 = 4C

Dcimal0123456789

Binaire0000000100100011010001010110011110001001

Hexadcimal0123456789

Dcimal 10111213141516171819

Binaire101010111100110111101111

1 00001 00011 00101 0011

DcimalABCDEF10111213




chiffres arabes, les lettres latines majuscules et minuscules et quelques symboles de ponctuation.(D'aprs WIKIPEDIA)

7.2. Table des 128 caractres ASCII


7 Le code ASCII

7.1 Presentation

La norme ASCII (American Standard Code for Information Interchange Code americain normalise pourlechange dinformation ) est la norme de codage de caracte`res en informatique la plus connue et la pluslargement compatible. Cest egalement la variante americaine du codage de caracte`res ISO/CEI 646. ASCIIcontient les caracte`res necessaires pour ecrire en anglais. Elle a ete inventee par lamericain Bob Bemer en1961. Elle est a` la base de nombreuses autres normes comme ISO 8859-1 et Unicode qui letendent.LASCII definit 128 caracte`res numerotes de 0 a` 127 et codes en binaire de 0000000 a` 1111111. Sept bitssusent donc pour representer un caracte`re code en ASCII. Toutefois, les ordinateurs travaillant presquetous sur huit bits (un octet) depuis les annees 1970, chaque caracte`re dun texte en ASCII est stocke dans unoctet dont le 8e bit est 0. Les caracte`res de numero 0 a` 31 et le 127 ne sont pas achables ; ils correspondenta` des commandes de controle de terminal informatique. Le caracte`re numero 32 est lespace. Les autrescaracte`res sont les chires arabes, les lettres latines majuscules et minuscules et quelques symboles deponctuation.(Dapre`s WIKIPEDIA)

7.2 Table des 128 caracte`res ASCII0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 eot bel bs lf cr1 esc2 sp ! # $ % & ( ) * + , - . /3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?4 @ A B C D E F G H I J K L M N O5 P Q R S T U V W X Y Z6 a b c d e f g h i j k l m n o7 p q r s t u v w x y z { | } del

eot = end of transmission ; bel = bell ; bs = backspace ; lf = line feed ; = form feed ; cr = carriage return ; esc = escape ; sp = space ; del = delete.

Ce tableau nest pas a` apprendre par cur il est toutefois trois points de repe`re simples : Le zero est code 30(16) et les autres chires suivent ; le A majuscule est code 41(16) et les autres lettres suivent ; le a minuscule est code 61(16) et les autres lettres suivent.Cette facon de coder les lettres nest pas anodine. Elle permet, par exemple, le classement alphabetiquecar le codage de A est un nombre inferieur a` celui qui code B donc est classe avant.

7

Ce tableau nest pas apprendre par cur il est toutefois trois points de repre simples : Le zro est cod 30(16) et les autres chiffres suivent ; Le A majuscule est cod 41(16) et les autres lettres suivent ; Le a minuscule est cod 61(16) et les autres lettres suivent.

Cette faon de coder les lettres nest pas anodine. Elle permet, par exemple, le classement alphabtique car le codage de A est un nombre infrieur celui qui code B donc est class avant.

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