1ère STMG – Activité n°6

Statistiques

Exercice 1

On effectue des essais sur un échantillon de 220 lampes électriques afin de tester leur duréede vie exprimée en heures. Voici les résultats :

Durée Effectifs Fréquences[1000; 1200[ 6[1200; 1300[ 14[1300; 1400[ 25[1400; 1500[ 75[1500; 1600[ 80[1600; 1700[ 10[1700; 1800[ 8[1800; 2100[ 2

1. Compléter la colonne des fréquences.

2. Représenter cette série par un diagramme ba-tons.

3. Déterminer la moyenne, l’écart-type, la classemodale, et l’étendue de cette série.

4. Peut-on déterminer la médianne de cette série ?

Exercice 2

Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton armé de diamètre théorique25mm. On contrôle le fonctionnement de la machine en prélevant un échantillon de 100 piècesau hasard dans la fabrication. Les mesures des diamètres ont donné les résultats suivants à 0,1mm près :

Diamètre 24,1 24,3 24,5 24,7 24,9 25,1 25,3 25,5 25,7 25,9Effectif 1 4 13 24 19 14 10 8 5 2

1. Calculer la moyenne m de cette série.

2. Déterminer la médianne M de cette série.

3. On estime que la machine a un fonctionnement "normale" si :

◦ l’étendue de la série reste inférieure à 10% de la valeur moyenne ;

◦ l’écart entre la moyenne et la médianne est inférieur à 0,2 ;

◦ 95% des diamètres au moins sont dans l’intervalle [m-0,8 ;m+0,8].

Cette machine a-t-elle un fonctionnement "normal" ?

Exercice 3

On considère la série suivante :

Valeur xi 1 10 11 12 13 14Effectif ni 10 30 20 20 10 10

1. Si l’on remplace la valeur 1 par la valeur 9, quels sont (sans calculs) les paramètresmodifiés parmi les suivants :moyenne médiane écart type étendue intervalle inter-

quartile

2. Construisez un diagramme en boîtes :

1ère STMG – Activité n°6 1

(a) dans le cas où la première valeur est égale à 1.

(b) dans le cas où la première valeur est égale à 9.

Exercice 4

1. Lors d’une journée de promotion, on a relevé le montant (en C= ) des achats effectués parles clients d’un magasin. Le schéma suivant représente le diagramme en boîte obtenu.Les extréminités de ce diagramme correspondent aux montants minimal et maximal desachats effectués par les clients.

10 30 50 7020 40 60 80

b b

Diagrammes en boïtes des achats effectués dans le magasin

lors de la journée de promotion

Quels sont les renseignements que l’on peut lire sur ce diagramme concernant les achatseffectués dans le magasin lors de la journée de promotion ?

2. Le tableau ci-dessous donne les montants en euro, arrondis à l’unité, des achats effectuéspar les 80 clients du magasin pendant une journée ordinaire.

2 3 5 5 5 8 8 88 10 10 10 10 10 10 1011 13 14 14 14 20 20 2020 20 20 21 24 24 25 2630 30 30 30 30 30 31 3333 35 36 38 38 38 38 3839 39 39 39 39 40 40 4040 40 40 40 40 40 42 4242 43 43 43 44 44 45 4545 45 45 46 46 47 55 60

(a) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats entre 30 et 40C= inclus.

(b) Déterminer le pourcenrage de clients ayant effectué des achats pour un montant nedépassant pas 25C= .

(c) Déterminer la médiane, le premier quartile Q1 et le troisième quartie Q3 de la sériedes montants d’achats donnée par le tableau ci-dessus.

(d) Construire le diagramme en boîte de cette série.

(e) Le magasin a annoncé sa journée de promotion par une distribution de tracts surlesquels était indiqué : "Grande journée de promotion ! Dépensez moins !".Au vu des deux diagrammes en boite précédents, quelle analyse peut-on faire de cemessage publicitaire ?

1ère STMG – Activité n°6 2

Exercice 5

L’histogramme suivant indique la répartition des élèves d’un lycée en fonction de leur tailleen cm.

On suppose que, à l’intérieur de chaque classe, la répartition est régulière.

1. Quelle est la classe modale ? Justifier.

2. Dans quelle classe se trouve la médiane de cette série ? Justifier.

3. On précise que 20 élèves mesurent entre 150 et 160cm.

(a) Quelle est le nombre d’élèves de ce lycée ?

(b) Calculer la moyenne de la taille des élèves au millimètre.

150 160 170 175 180 200

Exercice 6

On considère la série statistique suivante :

Notes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Effectifs 1 6 5 7 12 10 7 4 6 3 0

1. Déterminer la moyenne m et l’écart-type s de cette série statistique.

2. Quel pourcentage de l’effectif totale l’intervalle [m− s;m+ s] contient-il ?

3. Déterminer le réel t tel que l’intervalle [m− t;m+ t] contienne 95% de l’effectif total.

Exercice 7

Le tableau de l’annexe présente pour les vainqueurs des sept dernières éditions du Tour deFrance, la distance parcourue en km, et leur vitesse moyenne en km/h. Le tout est répertoriédans une feuille de calcul.

L’annexe sera à compléter et à rendre avec votre copie.

Les valeurs demandées pourront être rentrées directement dans les cellules.

Les formules demandées, quant à elles, devront être indiquées en clair sur la copie.

PARTIE A–EXPLOITATION D’UNE FEUILLE DE CALCUL AUTOMATI-SÉE

1ère STMG – Activité n°6 3

1. On rappelle l’égalité : vitesse (km/h) =distance (km)

temps (h). Quelle formule a-t-il fallu saisir

en F2 pour calculer le temps de parcours du Tour 1990, avant de la recopier vers le basjusqu’en F18, pour obtenir les temps de parcours de chaque Tour ?

2. On a choisi pour les cellules de la colonne F un format d’affichage « Nombre à 2 déci-males ».

Compléter les cellules F15 à F18 en arrondissant au centième. Interpréter le contenu dela cellule.

3. Quelle formule a-t-il fallu rentrer en E19 pour obtenir la moyenne des valeurs des cellulesE2 à E18 ?

4. On appellera « vitesse moyenne cumulée depuis 1990 » la vitesse moyenne qu’aurait euele coureur imaginaire qui aurait gagné tous les Tours depuis 1990.

Par exemple, pour calculer la vitesse moyenne cumulée en 2000, on divisera la distancetotale des Tours depuis 1990 à 2000 par la somme des temps de parcours des vainqueurs.

On a calculé dans la colonne G les vitesses moyennes cumulées depuis 1990, pour lesannées 1994 à 2006. Quelle formule faut-il rentrer en G12 (à recopier de G3 à G18) pourobtenir ce résultat ?

5. Compléter les cellules G3 à G5.

6. Expliquer pourquoi les deux résultats affichés on G18 et E19 sont différents.

PARTIE B - STATISTIQUESDans cette partie, la série statistique étudiée est la liste des vitesses moyennes (colonne E

du tableur) dont les valeurs ordonnées sont les suivantes :

38,38 38,62 38,7 38,74 39,19 39,23 39,24 39,5 39,5739,98 39,98 40.,07 40,8 40,56 40,79 40,96 41,65

1. Quelle est la valeur médiane de la série ? Justifier.

2. Indiquer les quartiles Q1 et Q3 puis le minimum et le maximum de la série.

3. Représenter ces données dans une « boîte à moustaches » (ou diagramme en boîte) dontles extrémités seront les minimum et maximum en utilisant le support donné dans l’an-nexe.

4. Placer les points correspondant aux vitesses moyennes des 4 dernières années.

5. Exprimer par une phrase utilisant le mot « quartile » la position dans la série de ces 4valeurs.

ANNEXE

PARTIE A - Source : Site officiel du Tour de France

1ère STMG – Activité n°6 4

A B C D E F G1 Année Prénom Nom Distance

(km)Vitesse

moyenne(km/h)

Temps deparcours(heures)

Vitessemoyennedepuis1990

(km/h)2 1990 Greg LEMOND 3504 38,62 90,733 1991 Miguel INDURAIN 3 914 38,74 101,034 1992 Miguel INDURAIN 3 983 39,50 100,845 1993 Miguel INDURAIN 3 714 38,70 95,976 1994 Miguel INDURAIN 3 978 38,38 103,65 38,797 1995 Miguel INDURAIN 3 653 39,19 93,21 38,858 1996 Bjarne RIIS 3 907 39,23 99,59 38,919 1997 Jan ULLRICH 3950 39,24 100,65 38,9510 1998 Marco PANTANI 3 850 39,98 96,30 39,0611 1999 Lance ARMSTRONG 3870 40,28 96,08 39,1812 2000 Lance ARMSTRONG 3663 39,57 92,57 39,2213 2001 Lance ARMSTRONG 3454 40,07 86,20 39,2814 2002 Lance ARMSTRONG 3278 39,88 82,20 39,3215 2003 Lance ARMSTRONG 3427 40,96 39,4216 2004 Lance ARMSTRONG 3391 40,56 39,4917 2005 Lance ARMSTRONG 3607 41,65 39,6218 2006 Floyd LANDIS ? 3 657 40,79 39,6819 39,73

Partie B

37 38 39 40 41 42

Exercice 8

Les deux parties de l’exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Un site de vente de livres par Internet désire réaliser une étude statistique de sa clientèle,

1ère STMG – Activité n°6 5

afin de prévoir l’évolution de ses ventes pour les années à venir.

PARTIE 1 : L’âge de la clientèle

La première partie de l’étude concerne l’âge de la clientèle. Pour répondre à cette question,les responsables de l’étude utilisent un échantillon de 2 100 clients, parmi les plus réguliers dusite.

Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Classe d’âge [18 ;20[ [20 ;24[ [24 ;30[ [30 ;36[ [36 ;46[ [46 ;56[ 56 anset +

total

Effectif 190 300 360 450 400 200 200 2 100

• On assimilera la dernière classe d’âge à l’intervalle [56 ; 76[.• On fera l’hypothèse de l’uniforme répartition de l’effectif dans chaque classe d’âge.

1. À l’aide du quadrillage figurant en annexe 1, représenter ces données par un histo-gramme où un carreau représente 20 individus.

2. En utilisant les centres des classes pour valeurs du caractère, déterminer l’âge moyen m

et l’écart type s de la série.

On ne demande pas de justification, les valeurs seront arrondies au dixième.

3. Hachurer clairement l’histogramme pour faire apparaître l’effectif correspondant à laclasse d’âge [m− s ; m+ s].

Calculer le pourcentage de clients de cette classe d’âge par rapport à l’effectif de l’échan-tillon (arrondir à 1 %).

PARTIE 2 : L’évolution de la fréquentation

La seconde partie de l’étude porte sur l’évolution du nombre moyen de connexions par jour,calculé sur une année. Le tableau ci-dessous indique ce nombre pour les quatre dernières années :

Année 2006 2007 2008 2009Fréquentation 2 678 2 879 3 095 3 327

Ainsi, durant l’année 2006, le site de vente de livres par Internet a compté une moyenne de2 678 connexions par jour.

1. (a) Calculer le taux d’accroissement de la fréquentation entre 2006 et 2007 (réponse enpourcentage arrondi à 0,1 %).

(b) Calculer de même le taux d’accroissement annuel de cette fréquentation sur lesannées suivantes. Que constate-t-on ?

2. Au vu de ces résultats, constatant que le taux d’ accroissement annuel est constant surla période 2006-2009, les responsables de l’étude décident de modéliser la fréquentationfuture du site par une suite géométrique (un) de premier terme u0 = 3327 et de raison1, 075.

L’indice n indique le nombre d’années après 2009.

(a) Justifier le choix de 1, 075 comme raison à l’aide de la question 1.

(b) Calculer u1 et interpréter ce résultat.

3. Avec cette modélisation :

(a) Quelle fréquentation peut-on prévoir pour l’année 2015 ?

1ère STMG – Activité n°6 6

(b) Au cours de quelle année dépassera-t-on le nombre moyen de 6 000 connexions parjour ?

Annexe 1 à rendre avec la copie

20 individus

1820 âge (ans)

Aide à la construction de l’histogramme (utilisation non obligatoire et donctableau non évalué)

Classe d’âge [18 ; 20[ [20 ; 24[ [24 ; 30[ [30 ; 36[ [36 ; 46[ [46 ; 56[ [56 ; 76[

Effectif 190 300 360 450 400 200 200Nombre de carreaux 9,5 15Largeur 1 2Hauteur 9,5 7,5

Exercice 9

Une société de location de véhicules possède un parc de 800 véhicules de trois marques diffé-rentes A, B et C. Dans chacune des marques, la société possède deux modèles de véhicules :« Essence » ou « Diesel ».Partie I : Répartition des véhiculesOn sait que :

– 62, 5 % des véhicules de la société sont des modèles « Diesel » ;– parmi les modèles « Diesel », 60 % sont de marque A, la moitié des autres modèles « Die-

sel » est de marque B, le reste de marque C ;– 10 % des véhicules de la société sont des modèles « Essence » et de marque A ;– un quart des véhicules de la société est de marque B.

1. Le tableau de l’annexe 1, à rendre avec la copie, présente la répartition des effectifsdes véhicules. Compléter ce tableau.

2. Quelle est la proportion, en pourcentage, des véhicules de marque B parmi les modèles« Diesel » ?

1ère STMG – Activité n°6 7

3. Quelle est la proportion, en pourcentage, des modèles « Essence » parmi les véhicules dela marque B ?

Partie II : Étude des immobilisations des véhicules « Diesel »Durant l’année, chaque véhicule peut être immobilisé pour subir des entretiens, des réglages,des vidanges, des réparations, etc.Pour l’ensemble des 500 véhicules « Diesel » de la société, on a étudié, au cours de l’année2005, le nombre de journées d’immobilisation. On a obtenu la série statistique S suivante :

Nombre de journéesd’immobilisation

1 2 3 4 5 6 7 8

Nombre de véhiculesconcernés

11 34 86 121 120 88 28 12

1. Calculer la moyenne x de la série S (le résultat sera arrondi à 0,1 près).

2. Déterminer la médiane m de la série S.

3. Déterminer le premier quartile Q1 de la série S. On admet que le troisième quartile Q3

est égal à 6.

4. En utilisant l’axe représenté en annexe 1, à rendre avec la copie, tracer le diagramme enboîte de la série S.

Partie III : Étude du coût d’utilisation d’un véhiculeUne personne souhaite louer un véhicule de cette société pour une durée d’une semaine. Ilhésite entre un véhicule « Essence » ou un véhicule « Diesel ».Le coût d’utilisation du véhicule pendant cette semaine est composée du prix fixe de la locationet du coût du carburant qui lui, dépend du nombre de kilomètres parcourus.

1. Le graphique de l’annexe 1, à rendre avec la copie, donne le coût d’utilisation (expriméen euro) en fonction du nombre de centaines de kilomètres pour un véhicule « Diesel ».

Déterminer par lecture graphique ce coût pour un trajet de 600 km.

2. Pour un véhicule « Essence », le prix de la location pour une semaine est de 250 C= .

La consommation de ce carburant est de 8 litres d’essence pour une centaine de kilomètresparcourus.

Le prix de l’essence est de 1,25 C= .

On appelle f la fonction qui, au nombre x de centaines de kilomètres parcourus par unvéhicule « Essence », associe le coût d’utilisation f(x) en euro.

(a) Calculer le coût d’utilisation de ce véhicule pour un trajet de 600 km.

(b) Exprimer le coût d’utilisation f(x) en fonction du nombre x de centaines de kilo-mètres parcourus.

(c) Tracer sur le graphique de l’annexe 1 la représentation graphique de la fonction f .

(d) Déterminer à partir de combien de kilomètres, il est plus économique pour cettepersonne de louer un véhicule « Diesel ».

Annexe 1 (À rendre avec la copie)

Tableau

1ère STMG – Activité n°6 8

Nombre devéhicules

Marque A Marque B Marque C Total

« Diesel » 100

« Essence »

Total 800

Diagramme en boîte

1 10

Graphique

200210220230240250260270280290300310320330340350360370

Coût

d’u

tilisa

tion

eneu

ros

Centaines de kilomètres0 5 10 15

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

1ère STMG – Activité n°6 9