Chapitre 2 :

Modlisation mathmatiques des systmes linaires continus

I) Dfinitions :

Si le systme possde une seule entre et une seule sortie le systme est dit monovariable.

Notation : u(t) y(t)

1- Systme continu : Un systme est dit continu si les grandeurs physiques qui le caractrisent dlivrent une

information tout instant. On oppose les systmes continus aux systmes chantillonns, par exemple les systmes commands par calculateur.

Signal continu chantillonnage signal chantillonn

2- Systme linaire :

Un systme est dit linaire sil vrifi le principe de superposition: u1(t) y1(t) alors : au1+bu2 ay1(t)+by2(t)

u2(t) y2(t)

SortiesSystme

Pertubations

Entres de commandes

Schma fonctionnel.

SystmeMonovariable

SL

SL

SL

Principales non linarits :

- Seuil : Un systme prsente un seuil lorsque la sortie nvolue que lorsque lentre dpasse un seuil minimal. Exemple la conduction dune diode.

- Saturation : Un systme prsente une saturation lorsque la sortie nvolue plus au del dune valeur limite. Exemple: limite mcanique (bute).

- Courbure : La quasi totalit des systmes prsentent des courbures plus au moins prononce. Dans la plupart des cas le systme est peut tre linaris autour dun point de fonctionnement.

Exemple : Le pendule simple est rgi par

lquation non linaire : 0sin222

=+ td

d .

Elle peut tre linarise, pour de faible valeur

de autour de 0 par : 0222

=+ td

d

-Hystrisis : Un systme prsente une rponse en hystrisis lorsque le comportement en monte est diffrent de celui en descente. Par exemple cycle de magntisation.

y(t)

u(t)seuil

y(t)saturation

3- Systme Causal : Un systme est dit causal (ou non anticipatif ) sil ne rpond pas avant dtre excit.

(Si u(t) est nulle pour t

Modlisation dun moteur courant continu :

1) EdtdiLRitv ++=)( : loi dOhm

2) efdtdJ =+ : principe de la dynamique

3) = kE : force contre-lectromotrice

4) kie = : couple lectrique.

(2)+(4) +

=

kf

dtd

kJi

donc : ++++= kdtd

kLf

dtd

kLJ

kRf

dtd

kRJtv 2

2

)(

do: )()()( 22

kRfk

dtd

kLf

kRJ

dtd

kLJtv ++++=

=f(v) est une quation diffrentielle linaire du second ordre.

III) Fonction de Transfert :

u(t) y(t)On considre le systme dcrit par :

)1()()(....)()()(

)()(....)()()(

012

2

21

1

1

012

2

21

1

1

tuatdtduat

dtudat

dtudat

dtuda

tybtdtdybt

dtydbt

dtydbt

dtydb

m

m

nm

m

mm

m

m

n

n

nn

n

nn

n

n

+++++

=+++++

et on suppose que les conditions initiales sont nulles cest dire :

SLCM

^>

v(t) R,L

E

i(t)

f

J

.1,...,00)0(

1,...,00)0(

==

==

+

+

mkpourdt

udet

nkpourdt

yd

k

k

k

k

Alors, dans ce cas: ).()( pYpdt

ydL kkk

=

On applique alors la transforme de Laplace lquation (1) :

).()(...)()()()(...)()( 011

1011

1 pUappUapUpapUpapYbppYbpYpbpYpbm

mm

mn

nn

n ++++=++++

donc :

).(]...[)(]...[ 011

1011

1 pUapapapapYbpbpbpbm

mm

mn

nn

n ++++=++++

do : )(......

)()(

011

1

011

1 pFbpbpbpbapapapa

pUpY

nn

nn

mm

mm

=

++++

++++=

F(p) est appele Fonction de Transfert du systme.

U(p) Y(p) alors Y(p)=F(p).U(p)

Remarque : Si les conditions initiales ne sont pas nulles; alors :

011

1 ...)()()(

bpbpbpbinitialesconditionslescontenantpolynomepUpFpY n

nn

n +++++=

*Proprits de la fonction de transfert :

u1 u La variable u1 est identique u2=u. u2

U1 +U2 sortie Y +U3 -

Les sommateurs permettent dadditionner et soustraire des variables. Ils possdent plusieurs entres mais une seule sortie. Ici Y=U1+U2-U3

Le comparateur fait la diffrence de deux entres : Y=U1-U2 : U1 + Y

F1(p

) F1(p)+F2(p)

F(p)

+ -

V) Fonction de transfert de quelques systmes physiques :

1- Potentiomtre

2- Moteur courant continu :

++= 0122

2)( bdtdb

dtdbtv alors :

012

2

1)()()(

bpbpbpF

pUp

++==

.

max

2

1

2

)()(

==

RR

pVpV

3-

F2(p)

F1(p) F2(p) F1(p)F2(p)

F(p))(1

)(pF

pF+

)(et 12max

1212

max

22

max

11

=

=== cteVVVV

4-

RppX

=

)()(

1

2

2

1

)()(

NN

rr

ppL

==

5- Gnratrice tachymtrique La tension dlivre par la gnratrice tachymtrique est proportionnelle la vitesse de rotation, do

cteppV

=

)()(2

6- Amplificateur inverseur

Lamplificateur est suppos idal

1

2

)()(

RR

pVpV

i

o=

Modlisation mathmatiques des systmes linaires continus Un systme est dit linaire sil vrifi le principe de superposition: Principales non linarits:- Saturation: Un systme prsente une saturation lorsque la sortie nvolue plus au del dune valeur limite. Exemple:limite mcanique (bute).-Hystrisis: Un systme prsente une rponse en hystrisis lorsque le comportement en monte est diffrent de celui en descente. Par exemple cycle de magntisation.

3- Systme Causal:Un systme est dit causal (ou non anticipatif ) sil ne rpond pas avant dtre excit. (Si u(t) est nulle pour t